Tuyển tập 44 đề thi HSG lớp 10 có lời giải chi tiết

Đường thẳng AE và BF cắt nhau tại I.. b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABC và tam giác AIC. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông [r]

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 ĐỀ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

CỤM CHUYÊN MÔN NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu 1: (2 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số

( ) :P yx 3x2 cắt đường thẳng ( ) :d y  x m hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ trung điểm I AB đến hai trục tọa độ Câu 2: (5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình:

a)  3

3 2

x  x  x  x

b)

 

2

4

1 1

x x y xy xy y

x y xy x

      



   



Câu 3: (3 điểm) Cho số thực dương , ,x y z thỏa x  y z xyz Chứng minh

2

1

1 x y 1 z

xyz

x y z

 

      

Câu 4: (2 điểm) Giải bất phương trình:

1

0 4 x

x x

 

   

Câu 5: (4 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm E cho CE = 2BE Lấy điểm F đường thẳng CD cho

2

CF  AB Đường thẳng AE BF cắt I

a) Tính AI CI; theo AB AD b) Chứng minh AIC900

Câu 6: (4 điểm) Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Đỉnh (0, 2)A M(1, 1) trung điểm BC Tìm tọa độ B C

Câu (2,0 điểm) Cho parabol (P):

4

yx  x

a) Khảo sát vẽ parabol (P)

b) Tìm m để phương trình x24x  5 m 0có nghiệm thuộc ;0  5; Câu (4,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau:

a) 3x  2 4x221x22

b) x 1 2x  3 x 1x22 Câu (3,0 điểm) Cho hệ phương trình:

2 ( 1)( 1)

x y x y

xy x y m

     

  



a) Giải hệ phương trình m12

b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Câu (3,0 điểm)

Cho số thực dương x x x1, 2, , 3 x2018 thỏa x1   x2 x3 x2018 1

Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 x1 1x2  1  x3 1x2018 Câu (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ABc BC, a CA, b, 60

BAC  Gọi M N P, , điểm thỏa mãn:

 

2MB MC 0, 3NA NC 0, APk AB k  a) Tính k theo a, b, c để AM vng góc PN

b) Gọi I điểm thỏa IA7IM 8IC0 Tính tỉ số diện tích tam giác ABC tam giác AIC Câu (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có tâm I 1;1 Các điểm M2; , N 2; 2  thuộc cạnh AB CD, Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A có hồnh độ dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

CỤM CHUYÊN MÔN NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (2,0 điểm) Cho parabol

( ) :P yx 4x3 a) Khảo sát vẽ parabol ( )P

b) Tìm m để phương trình x24x  4 m khơng có nghiệm thuộc đoạn [ 1, 0] Câu (4,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau:

a) x x

x x

    b) x2 1 2x x22x

Câu (3,0 điểm) Cho hệ phương trình: x y xy m

x y m

    

  



a) Giải hệ phương trình m 3

b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có hai nghiệm

Câu (3,0 điểm) Cho số thực dương , ,a b c thỏa a2b2c2 1 Chứng minh rằng: a) 2 3

(1 )

a a 

b) 2 2 2 2 2 2 3

a b c

b c a c a b 

Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, gọi M điểm đường trịn Chứng minh rằng:

a) MA22MB MC 3R2

b) MA2 MB2MC24MB MC

Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, đoạn AC lấy điểm M

Câu (4 điểm) Cho hàm số    

y f x x  m xm Tìm m để bất phương trình f x 0 có tập nghiệm

2 Tìm m để bất phương trình f x 0 có hai nghiệm x x1, 2 lớn Câu (4 điểm)

1 Giải phương trình: x 1 x 3 x2 4x 3 6,x 

2 Giải phương trình:  

3 2

2 2

,

2 2

x x y y xy x

x y

x y x y

    

 



     



Câu (4 điểm)

1 Giải bât phương trình: 3x 2 x 3 x33x1 2 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

   

4 3 4 6

cos sin 2sin sin cos sin cos

A  x x x x x  x x

Câu (6 điểm)

1 Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC ta có  2 2

1

6

GA GB GB GC GC GC  AB BC CA

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A (1;2) Đường thẳng chứa canh BC có phương trình: x + y + = Tìm tọa độ B C, biết AB = 2AC

3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1):   

2

1

x  y  (C2):   

2

2

x  y 

Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt đường tròn (C1) (C2)

tại M, N (M, N không trùng A)

Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh

3 3

a b c

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

CỤM TRƯỜNG HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu ( 5,0 điểm)

a) Tìm m để phương trình mx22m2x2m 7 (m tham số) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn:

4

x x 

b) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình

2

4

2 2( 1) 16

x x

x m x

 



   thỏa với x Câu ( 5,0 điểm)

a) Cho phương trình x42m2x22m 3 0(mlà tham số) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x x x x1, 2, 3, 4 thỏa mãn x14x24x34x44 52

b) Giải phương trình 4x212x x 1 27x1 Câu ( 5,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC có BC , a AC , b AB c, độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh , , A B Clần lượt h h ha, b, c Biết a sinA b sinB  c sinChahbhc, chứng minh tam giác ABC

b) Cho hai tia Ax, By với AB100 cm , xAB450

ByAB Chất điểm X chuyển động tia Axbắt đầu từ A

với vận tốc cm s/ , lúc chất điểm Y chuyển động tia By B với vận tốc cm s/  Sau t

(giây) chất điểm X di chuyển đoạn đường AM, chất điểm Y di chuyển đoạn đường BN Tìm giá trị nhỏ MN

Câu ( 5,0 điểm)

a) Cho hệ phương trình

mx y m

x my

   

  

 Khi hệ có nghiệm xo;yo, tìm giá trị nhỏ biểu thức Axo22yo5

b) Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c, độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ , ,A B C

là m m ma, b, c Chứng minh rằng:

a b c

a b c

m m m 

-HẾT -

y x

450

A B

M

Câu Cho hàm số yx22x2  1

a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P hàm số  1

b) Tìm m để phương trình x2 2x  2 m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1   1 x2 Câu

a) Giải bất phương trình sau:  

4

x  x x  x  b) Giải hệ phương trình sau :

2

2

2

4

x xy y x y

x y x y

       



    



c) Tìm m để bất phương trình

2

4

2

2

x x m

x x

 

  

  nghiệm  x ? Câu Cho tam giácABC Đặt aBC, bAC, cAB Gọi M điểm tùy ý a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức PMA2MB2MC2 theo a,b,c

b) Giả sử a cm, b2 cm, c 1 cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC

Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD;

I trung điểm BH Biết đỉnhA 2;1 , phương trình đường chéo BD là:x5y190, điểm 42 41

; 13 13

I 

 

a) Viết phương trình tham số đường thẳngAH Tìm tọa độ điểmH? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD

Câu Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh 2 2 2

3

a b c

b c c a a b 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu I (1,5 điểm)

1) Xác định tính chẵn - lẻ hàm số

10 10

x x

y

x x

  

 

2) Cho nửa khoảng A( ; a a1], B[ ; b b2) Đặt C A B Với điều kiện số thực a b C đoạn? Tính độ dài đoạn C

Câu II (2,0 điểm)

1) Tìm m để phương trình

1

x  m m  có bốn nghiệm phân biệt 2) Giải biện luận (theo tham số m) bất phương trình:  1

2

m x

m x

 

 



Câu III (2,5 điểm)

1) Giải phương trình: x27x 8 x

2) Giải hệ phương trình:

x y x y

x y x y

    

 

   

 Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b BAC60 Các điểm M, N xác định

MC  MB NB 2NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với 2) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA AB tam giác đó, lấy điểm A', B'

'

C Gọi Sa, Sb, Sc S tương ứng diện tích tam giác AB C' ', BC A' ', CA B' ' ABC

Chứng minh bất đẳng thức

a b c

S  S  S  S Dấu đẳng thức xảy nào? Câu V (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R khơng đổi) Gọi A B điểm di động trục hoành trục tung cho đường thẳng AB ln tiếp xúc với đường trịn Hãy xác định tọa độ điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ

Câu I (6 điểm)

1 Cho parabol  P :y2x26x1 Tìm giá trị k để đường thẳng :yk6x1cắt parabol  P hai điểm phân biệt M N, cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm đường thẳng

3

:

2

d y  x

2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m tham số): x22m1x m 3m12 0 có hai nghiệm

x , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau:

 

3

1 2 3

Px x x x x  x  Câu II (5 điểm)

1 Giải bất phương trình: x1x 4 x25x28 x  Giải hệ phương trình

      

2

2 2

2 2

,

3

x y y y

x y

x y x xy y x y

      

   



      



Câu III (2 điểm) Cho ;x y0 số thay đổi thỏa mãn 2018 2019

x  y  Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức P x y Câu IV (4 điểm)

1 Cho tam giácABCcó BC a AC b ;  diện tích S Tính góc tam giác biết  2

1

S a b

2 Cho tam giác ABClà tam giác cạnh a Trên cạnh BC CA AB, , lấy điểm , ,

N M P cho ; 2a; 0 

3

a

BN  CM  APx  x a Tìm x theo a để đường thẳng AN vng góc với đường thẳngPM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2013 - 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (5 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình

y x  , đường thẳng d có phương trình

3

y x

1 Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cho ∆ cắt (P) hai điểm phân biệt A, B AB =

2 Gọi I đỉnh (P); A, B hai điểm phân biệt thuộc (P) không trùng với I cho IA vng góc với IB Tìm quỹ tích trung điểm N đoạn AB A, B thay đổi

Câu (5 điểm)

1 Giải phương trình: x 1 x2 1 x x Giải hệ phương trình:

2

2

21

21

x y y

y x x

     



   



Câu (5 điểm)

1 Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E trung điểm AB, AC Đường phân gisc góc C cắt DE P Đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC N, M

a) TínhBM BN BP, , theo hai vectoBA BC, theo a, b, c b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng

2 Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c độ dài ba cạnh tam giác; m m ma, b, c độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC Chứng minh 1

2

c a b

abm bcm cam  RS tam giác

ABC

Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, đường thẳng BC có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua điểm M(1;6) Tìm tọa độ đỉnh A tính diện tích tam giác ABC

Câu (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2b2c2 12 Chứng minh rằng:

2 2

1 1 8

28 28 28

a b b c ca a  b  c 

Câu (5,0 điểm)

Cho đường thẳng dm:ymx2m1 parabol (P): yx23x2 (m tham số thực) Chứng minh dm cắt (P) điểm phân biệt với giá trị tham số m Tìm m để khoảng

cách từ đỉnh I parabol (P) đến đường thẳng dm đạt giá trị lớn

Cho phương trình x43x3(2m3)x212x160

(m tham số thực) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm thực

Câu (5,0 điểm) Giải phương trình

2

7 2

2 3

2

2

x x x

x x

x

  

  

 

 (x ) Giải hệ phương trình

8

1

8

x y x y x

xy x y

x

        



   

 

x y;   Câu (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi d đường thẳng cố định qua G d’ đường thẳng song song với d Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh tam giác ABC đến đường thẳng d không vượt tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh tam giác ABC đến đường thẳng d’

Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn sinA2018sinB2018sinC2018 Chứng minh tam giác ABC có góc nhọn

Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD (cạnh đáy AB), AB = 2CD,

135

ADC Gọi I giao điểm AC BD, đường thẳng d qua I vng góc với hai cạnh đáy hình thang có phương trình x3y 4 Tìm tọa độ điểm A biết diện tích hình thang ABCD 15

2 , hoành độ điểm I trung điểm AB có tung độ khơng âm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (5.0 điể

1 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P :yx2mx3m2, đường thẳng  d :x  y m (m

là tham số thực) hai điểm A 1; 1, B2; 2 Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol  P hai điểm phân biệt M N, cho A B M N, , , bốn đỉnh hình bình hành

2 Cho số thực ,x y thỏa mãn: 2x2y2 1 xy Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ biểu thức P7x4y44x y2 Tính M m

Câu (5.0 điể

1 Giải phương trình x1 6x26x2523x13 2 Giải hệ phương trình

3

2

( 1) ( 6) 12

x y x x y

x y x y x x y

       



       



Câu (2.0 điể

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giácABC cân ( 1;3)A  Gọi D điểm cạnh AB cho

AB AD Hlà hình chiếu vng góc B CD Điểm 1; 2

M  

 là trung điểm HC Xác định tọa độ đỉnh C, biết đỉnh B nằm đường thẳng có phương trình x  y

Câu (6.0 điể

1 Cho tam giác ABC có cạnh 15 Lấy điểm M N P, , cạnh , ,

BC CA AB choBM 5,CM 10, AP4 Chứng minh AM PN

2 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c ,R r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn

3 3

4

a b c r

abc R

   

Chứng tam giác ABC tam giác

3 Cho tứ giác lồi ABCD có ACBD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R1 Đặt diện tích tứ giác ABCD S ABa BC, b CD, c DA, d Tính giá trị biểu thức

ab cdad bc

T

S

 



Câu (2.0 điể Cho số thực dương , ,a b cthỏa mãn a b c  3 Chứng minh

2 2 2

2 2

2 2 6

a b c a b c

a b c a b c

 

  

     

Câu (2 điểm)

a) Cho hàm số yx22mx3m hàm số y  2x Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt hoành độ chúng dương

b) Giải bất phương trình:  x2 8x1210 2 x

Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình: 3 3

(4 3)

2

x  x x 

b) Giải phương trình: 2x211x234 x1 Câu (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1; 4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A (hoành độ A dương), d cắt trục tung B (tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)2 (y 3)2 9 điểm (1; 2)A  Đường

thẳng  qua A,  cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN Câu (3 điểm)

a) Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành

2 2 2

AB BC CD DA  AC BD

b) Tìm tất tam giác ABC thỏa 12 12 12

a

h b c (trong AB=c; AC=b; đường cao qua A ha)

Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:

     

 

2 2

2

2 2

3 a b b c c a

a b c

b c c a a b a b c

    

   

    

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2012 - 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (2,5 điểm)

a) Cho hàm số yx2 2 x hàm số y  x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt

tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ

b) Giải bất phương trình:

1

0 4 x

x x   

   Câu (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABC có B(1; 2) Đường thẳng  đường phân giác góc A có phương trình 2x  y 0; Khoảng cách từ C đến  gấp lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung

b) Cho tam giác ABC vng A, gọi  góc hai đường trung tuyến BM CN tam giác Chứng minh sin

5   Câu (2,5 điểm)

a) Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: ;

BD BC 1AC

4

AE Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng

b) Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:

2 2

2

b IBc IC a IA ; Tìm điểm M cho biểu thức (b MB2 2c MC2 22a MA2 2) đạt giá trị lớn

nhất

Câu (2,5 điểm)

a) Giải phương trình:     1 6x2 2x  1 5x 4x

b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y z xyz Chứng minh rằng:

2

1

1 x y 1 z

xyz

x y z

 

      

Câu I (2,0 điểm):

Cho parabol (P): y – 4 x2 x  đường thẳng (dm): y  x  m  (m tham số)

1) Biện luận số giao điểm (P) (dm) theo tham số m

2) Khi (dm) cắt (P) hai điểm A, B (A B trùng nhau), tìm tập hợp trung điểm I AB

khi m thay đổi Câu II (3,0 điểm):

1) Giải bất phương trình: 2x 5 x2 x 25 x25x6  2) Giải hệ phương trình:

3 3

2

2 5(8 )

2 31

x y x y

x y x y

   

 

     

Câu III (3,0 điểm):

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là: x2y 2 0, phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: 2x y  Điểm M(1;2) thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D cho DB DC có giá trị nhỏ

2) Cho tứ giác ABCD; hai điểm M, N thay đổi cho AM k AB; DN k DC (0 k 1) Gọi I điểm thỏa mãn 3IM   2IN Tìm tập hợp điểm I M, N thay đổi

Câu IV (2,0 điểm):

1) Tam giác ABC có S b2 (a c)2 với S diện tích tam giác, Tính tanB

2) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2

5 10 10 10 10 10 10

ab bc ca

M

a ab b b bc c c ca a

  

     

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu I(2,0 điểm) Cho parabol (P): y x2 đường thẳng (d) qua điểm (0; 1)I  có hệ số góc

k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giả sử A, B có hồnh độ x x1, 2 1) Tìm k để trung điểm đoạn thẳng AB nằm trục tung

2) Chứng minh x13x23 2 với k Câu II(3,0 điểm)

1) Giải phương trình: 3x 1 5x 4 3x2 x 2) Giải hệ phương trình:

2

4

1 (2 1)

x x y xy xy y

x y xy x

      



   

 Câu III(4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (2; 6)A , chân đường phân giác kẻ

từ đỉnh A điểm 2;

D  

 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm

;1

I 

  Viết phương trình đường thẳng BC

2) Cho tam giác ABC thỏa 2ma2 mb2mc2 Chứng minh a2 4 cotS A

Câu IV(1 điểm) Cho ; ; a b c số thực dương thay đổi thỏa mãn 3

a b c   Tìm giá trị

lớn biểu thức 2 12 2 12 2 12

3 3

M

a b b c c a

  

     

Câu I (2,0 điểm)

1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

2

6 2018 ( 1) 2( 1)

x x

y

m x m x

  

    có tập xác định 2) Cho hai hàm số yx22m1x2m y2x3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểmAvà B phân biệt cho OA2OB2 nhỏ (trong Olà gốc tọa độ)

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải phương trình 5 x 5x 4 2x7

2) Giải bất phương trình 11x219x19 x2  x 2x1 3) Giải hệ phương trình    

 

2

4

2 14

xy xy y y y

xy x y x y

     

 

    

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giácABCcóAB6;BC7;CA5.GọiMlà điểm thuộc cạnhABsao cho

AM  MB N điểm thuộc AC cho AN k AC (k ).Tìm k cho đường thẳngCM

vng góc với đường thẳngBN

2) Cho tam giácABC có I tâm đường trịn nội tiếp tam giác p nửa chu vi tam giác Biết

2 2

( ) ( ) ( )

2

c p a a p b b p c

IA IB IC

     

Chứng minh tam giác ABC

3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng ABlà

x y  Biết phương trình đường thẳng BD x7y140và đường thẳng ACđi qua điểm

(2,1)

M Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số

4x

yx   có đồ thị  P Tìm giá trị tham số m để đường thẳng  dm :y x m cắt đồ thị  P hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn

1 1

2

x x 

2) Cho hàm số y(m1)x22mx m 2 (mlà tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (; 2)

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:     

2 2

2

3

2 12

x y x xy y x y

x y x x

       

 

   



2) Giải phương trình x3 1 x x 4 x 2x26x3 3) Giải bất phương trình x3(3x24x4) x 1

Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm N thỏa mãn NB3NC 0 Gọi

P giao điểm AC GN, tính PA

PC

2) Cho tam giác nhọn ABC, gọi , ,H E K chân đường cao kẻ từ đỉnh , ,A B C Gọi diện

tích tam giác ABC HEK SABC SHEK Biết SABC 4SHEK, chứng minh

2 2

sin sin sin

4

A B C 

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân A Đường thẳng AB có phương trình

x  y , đường thẳng AC có phương trình x7y 5 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ đỉnh , ,A B C

Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn

Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyyzzx3 Chứng minh rằng:

2 2

3 3

8 8

x y z

x y z

  

  

Câu (4 điểm) Cho hàm số

2

yx  x

1 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

2 Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB khoảng cách từ O đến ∆

Câu (6 điểm)

1 Giải hệ phương trình:    2

10 10 81 10 10 18

xy x y

x y x y

   

 

    



2 Giải phương trình: x25x 7 3x1x 4

3 Tìm m để phương trình: 4 x 4 x 16x2 m có nghiệm Câu (4 điểm)

1 Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:  

   

4

1 1 a b c

ab ac bc ba ca cb a b b c c a

 

  

     

2 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x  y z x2y2 z2 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x y z

Câu (3 điểm)

1 Cho tam giác ABC thỏa mãn

2 cot cot

2

a b

A B

S



  Chứng minh tam giác ABC vuông Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác M điểm nằm tam giác M khác O.Gọi D E F hình chiếu vng góc m lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng OM qua trọng tâm tam giác DEF

Câu (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có (1;3)B Đường trung tuyến AM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT KIM LIÊN NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu Cho phương trình x 3 6 x 18 3 xx2 m, (1), (với mlà tham số) a) Giải phương trình (1) m3

b) Tìm tất giá trị mđể phương trình (1) có nghiệm

Câu a) Giải hệ phương trình

4 2

3

1

x x y x y

x y xy x

   

 

   



b) Một cầu treo có dây truyền đỡ có dạng Parabol ACB hình vẽ Đầu, cuối dây gắn vào điểm ,A B trục AA'và BB' với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A B' ' cầu 200 m Độ cao ngắn dây truyền cầu '

5

CC  m Gọi Q P H C I J K', ', ', ', ,' ', ' điểm chia đoạn ' '

A B thành phần Các thẳng đứng nối cầu với đáy dây truyền ' ' ' ' ' ' '

, , , , , ,

QQ PP HH CC II JJ KK gọi dây cáp treo Tính tổng độ dài dây cáp treo ?

Câu Cho tam giác ABC điểm M

a) Chứng minh (b2c2) cosAa c( cosC b cos )B b) Tìm tập hợp điểm M cho MB2MC2 MA2

Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (3;1)A , ( 1; 2)B 

a) Tìm tọa độ điểm N trục hoành Ox cho khoảng cách AN nhỏ

b) Cho điểm M di động đường thẳng d: yx Đường thẳng MA cắt trục hoành P đường

thẳng MB cắt trục tung Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định

Câu (2 điểm)

1 Cho hàm số yx22mx3mvà hàm số y = –2x + Tìm m để đồ thị hàm số cắt điểm phân biệt hoành độ chúng dương

2 Giải bất phương trình:  x2 8x1210 2 x Câu (2 điểm)

1 Giải phương trình:  3 3

4

2

x  x x 

2 Giải phương trình: 2x211x234 x1 Câu (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A (hoành độ A dương), d cắt trục tung B (tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 2 y32 9 điểm A (1;-2) Đường ∆ qua A, ∆ cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN

Câu (3 điểm)

1 Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành AB2BC2CD2 AC2BD2 Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: 12 12 12

a

h b c

Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:

     

 

2 2

2

2 2

3 a b b c c a

a b c

b c c a a b a b c

    

   

    

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN NĂM 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (2.5 điểm) Cho phương trình : x23x2x29x20  m (1) a Giải phương trình (1) với m5

b Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x26x 7 Câu (1.0 điểm) Giải phương trình: x4x2 4 x420x2 4 7x Câu (1.0 điểm) Giải bất phương trình: 3x22x15 3x22x 8 Câu (1.5 điểm) Giải hệ phương trình:

2

3 3

1 19

y y x x

x y x

    



 



Câu (1.5 điểm) Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M N P, , cạnh , ,

BC CA AB cho , ,

5

a

BM a CN  a AP Chứng minh AM PN

Câu (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A1;3 Gọi D điểm cạnh AB cho AB3AD H hình chiếu vng góc B CD Điểm 1;

2

M  

  trung điểm đoạn HC Xác định tọa độ đỉnh C, biết đỉnh B nằm đường thẳng có phương trình

7

x  y

Câu (1.0 điểm) Cho , ,a b c số thực dương thỏa mãn a b c  3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3 a2 3 b2 3 c2

a b c b c a c a b

  

     

Câu (4 điểm) Cho hàm số 2

2

yx  mx m  m có đồ thị  Pm Tìm m để  Pm cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu Tìm giá trị k để phương trình x24x k có nghiệm phân biệt Câu (4 điểm)

1 Tính tổng nghiệm phương trình: 2

3x 15x2 x 5x 1 2 Giải phương trình  x 3 x1x2 x24x32x

Câu (2 điểm) Chứng minh rằng:  

2 2

sin sin sin

3

a b c

m m m

a A b B c C

R

 

   với tam giác

ABC

Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1 Viết phương trình đường cao AD, phân giác CE ABC biết A4; 1 , B 1;5 ,  4; 5

C  

2 Cho B 0;1 , C 3; Đường phân giác góc BAC BC cắt Oy 0;

M  

  chia

ABC

 thành hai phần có tỉ số diện tích 10

11 (phần chứa điểm B có diện tích nhỏ diện tích phần chứa điểm C) Gọi A a b ;  a0 Tính T a2b2

Bài (2 điểm) Cho số thực dương , , 32

a b c thỏa a b c  2 93 Chứng minh rằng:

3 3

1 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (5,0 điểm)

1) Cho hàm số yx2 x có đồ thị (P) Tìm m để đường thẳng d y:   2x m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt ,A B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc toạ độ)

2) Tìm tất giá trị tham số m m R để phương trình: x43m1x26m 2 có bốn nghiệm phân biệt lớn 4

Câu

1) ( 3,0 điểm) Giải bất phương trình 2x 5 x2 x 25 x25x 6 2) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 2

2 10

x y x y

x y x y

     

 

    



Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa S b2 (a c)2 Tính tanB

Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ABc AC, b BAC600 Các điểm M N, xác định MC 2MB

2

NA  NB Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CNvng góc với

Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 1; , B3; 4  Tìm tọa độ điểm C cho

ABC

 vng C có góc B 60

Câu (2,0 điểm) Cho x y z, , số thực dương Chứng minh rằng: 3 2 2

2

2 x y z 1

x y  y z z x  x  y z

Câu 1: (6 điểm) Cho  

( ) 1

f x x  m x m 

a) Tìm điều kiện m để phương trình: f x( )mx m 21 có hai nghiệm trái dấu b) Tìm điều kiện m để f x 0 có tập nghiệm

Câu 2: ( điểm )

a) Giải phương trình: x2 7 x x   1 x2 8x 7 b) Giải hệ phương trình:

2

2 1

3 3 7

xy y y x y x

y x y x

       

 

     

 Câu 3: ( điểm )

a) Cho tam giác ABC có điểm M, N, P thỏa MA 2.MC, NB 3.NM , PBk PC Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A, B AD = 2BC Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên BD E trung điểm HD Giả sử H1;3, phương trình đường thẳng AE: 4x  y 5;

2

C 

  Tìm tọa độ đỉnh A, B D hình thang ABCD Câu 4: (2 điểm) Cho số thực ,x y thỏa mãn điều kiện x2y2 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức:

2

4

2

x xy

P

xy y

  

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT THANH MIỆN NĂM 2017 - 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (2 điểm)

a) Cho parabol (P): y x24x5 điểm I(1; 4) Tìm (P) hai điểm M, N đối xứng qua điểm I

b) Tìm giá trị m để phương trình x2 2 m4m2 có nghiệm phân biệt Câu (3 điểm)

a) Giải bất phương trình: (x1) x  2 (x 6) x 7 x27x12 b) Giải hệ phương trình:

2

2

( 1)( 6) ( 1) ( 1)( 6) ( 1)

x y y x

y x x y

    

 

   



c) Tìm m để phương trình x 1 m x 1 24 x21 có nghiệm Câu (3 điểm)

a) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ thức:

2 ;

5

AD AB AE AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng

b) Gọi H trực tâm ABC, M trung điểm BC Chứng minh

MH MA BC

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M( 2; 0) trung điểm cạnh AB, điểm (1; 1)H  hình chiếu B AD điểm 7;3

3

G 

  trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng HM cắt BC E, đường thẳng HG cắt BC F Tìm tọa độ điểm E, F B

Câu (1 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn 2

x y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

2 ( )

1

x y y

S

xy

  



Câu (1 điểm) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

( 1) ( 1)

A x y  x y  y

Câu (3.0 điể Cho hàm số   4 ; m

yx  x m P a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m1

b) Tìm m để  Pm cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn 1; 4

Câu (3.0 điể Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình x23x a 0; x3 x4 hai nghiệm phương trình x212x b 0 Biết

1

x

x x

x  x  x Tìm ,a b

Câu (6.0 điể

a) Giải phương trình: x2 x 2 x 1 b) Giải hệ phương trình:

 

3

3

4

x x x y y

x x x y

      



     

Câu (3.0 điể

a) Cho tam giác OAB Đặt OAa OB, b Gọi C, D, E điểm cho

1

2 , ,

2

AC AB OD OB OE  OA Chứng minh C, D, E thẳng hàng

b) Cho tam giác ABC vuông cân A có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh ECED

Câu (3.0 điể Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A1;1 ;  B 2; a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vng B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A

Câu (2.0 điể Cho x y, số thực dương thỏa mãn x y 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2019 2019

x y

P

x y

 

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT TÔ HIỆU NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (1,5 điểm) Cho hàm số

3

yx  x hàm số y  x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ

Câu (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3x 1 x 1 9x b) Giải bất phương trình sau:

5 x

x   

Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2

2 3

4 4

x y xy x y

x y x x y x y

       



       

Câu (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABC có B(1; 2) Đường thẳng  đường phân giác góc A có phương trình 2x  y 0, khoảng cách từ C đến  gấp lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung

b) Cho tam giác ABC vuông A Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b IB2 c IC2 2a IA2 0 Tìm điểm M cho biểu thức 2 2 2

2

Pb MB c MC  a MA đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm)

a) Chứng minh biểu thức E sin4x4 cos2x cos4x4sin2x không phụ thuộc vào x b) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB2KC, gọi L hình chiếu B AK, F trung điểm BC, biết KAB 2 KAC Chứng minh FL vng góc AC

Câu (1,0 điểm) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x  y z xyz Chứng minh rằng:

2

1

1 x y 1 z

xyz

x y z

 

      

Câu

1 Giải phương trình: 2x63 x 5 x3

2 Cho số thực a b c, , thỏa mãn điều kiện: a2b5c0 Chứng minh phương trình

0

ax bx c  có nghiệm Câu Giải hệ phương trình:

2

4 2

4

8

x xy x y

x x y x y

     



   



Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  1;3 ,B  5; 3 Xác định tọa độ điểm M đường thẳng :d x2y 1 cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ

Câu Tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cotAcotCcotB

1 Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC   2 Tìm giá trị lớn góc B 2

Câu Cho số thực dương , ,a b c thỏa mãn: 12 12 12

a b c  Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2 2

1 1

5 2 2 2

P

a ab b b bc c c ca a

  

     

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (4 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 2

2

x y m

x y x y m

   



     



a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Axy2xy2011 Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

2

1

3

x y xy

x y

    



   



Câu (1 điểm) Chứng minh x y, số thực dương

  2 2

1 1

1 1x  1y  xy

Câu (3,5 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; B 4;3 Tìm tọa độ điểm M trục hoành cho AMB 45

2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết    2;1 , 3; , 17;

5

D E F 

 

3 Cho tam giác ABC, có aBC b, CA c,  AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh

     

2 2

2

IA IB IC

c pa a p b b p c 

Câu 1:

1 Giải phương trình x2  x x2  x x 

2 Giả sử phương trình bậc hai x22m1x m 3m12 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Px13x23x1x23x13x28 Câu 2: Giải hệ phương trình:

   

2

4

1 , 1

x x y xy xy y

x y

x y xy x

     

 



   



Câu 3: Cho ,x y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x 1x2y 1y22012 Tìm giá trị nhỏ P x y

Câu

1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB Gọi H trực tâm tam giác ABC L trọng tâm tam giác MNP Chứng minh OA OB OC  OH ba điểm O, H, L thẳng hàng

2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm M1; , 

7 13 15

; , ;

2 2

N  P 

    (M, N, P không trùng với đỉnh ABC) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q1;1 điểm A có hồnh độ dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2012 - 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (3 điểm) Giải phương trình:

2

1

2

x x 

2 Cho phương trình bậc hai x22mxm22m 4 Tìm tất giá trị thực m cho phương trình cho có hai nghiệm khơng âm x x1, 2 Khi tìm giá trị nhỏ P x1 x2

Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình:  

2

2 ,

2

x xy y x y

x y

x xy y

     

 

   

Câu (1 điểm) Cho , ,a b c độ dài ba cạnh tam giác không nhọn Chứng minh rằng:  2 2

2 2 1

10

a b c

a b c

 

     

 

Câu (3 điểm)

1 Cho tam giác ABC, nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi G M trọng tâm tam giác ABC trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng OG vng góc với đường thẳng OM AC2

+ AB2 + 2BC2 = 12R2

2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C x2y0,x 2 0,x  y Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 10 đỉnh A có hồnh độ âm Câu (1 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD điểm M nằm tứ giác (M khơng nằm cạnh tứ giác ABCD) Chứng minh tồn góc

, , ,

MAB MBC MCD MDA có số đo khơng lớn 45

Câu (3 điểm)

1 Cho phương trình bậc hai x22mx3m 2 Tìm tất giá trị thực m cho phương trình cho có hai nghiệm x x1 2 thỏa Px12x22 đạt giá trị nhỏ

2 Cho tam thức bậc hai f x ax2bx c a , 0 Chứng minh f x 0 với x

thì 4a c 2b Câu (2 điểm)

1 Giải phương trình: x 2 3x  1 2x3

2 Giải hệ phương trình:       

2 2

2

3

,

6

x y x xy y x y

x y

x y x x

       

 



       

Câu (2 điểm)

1 Cho , ,a b c số thực dương thỏa mãn a b c  1 Chứng minh

 

2 2

2 2

a b c

a b c

b  c  a   

2 Giải bất phương trình: 33  x x2 Câu (3 điểm)

1 Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác ABC hai tam giác vuông ABE ACF với

90

BAECAF  cho tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF Gọi M trung điểm BC, chứng minh AM vng góc với EF

2 Cho tam giác ABC không vuông thỏa a2b2 2c2 tanAtanB2 tanC ABC tam giác cân

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp ttrong tâm có tọa độ I (4;0), G (11 1;

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2014 - 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số:  

2

2014 2015

2

f x

x x x x

 

   

Câu (1,0 điểm) Chứng minh hàm số  

1

x f x

x



 đồng biến khoảng  1;  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình

19 3 x4    x x 6 2 x 12 3x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

2 2

2

3

x y xy y

x y y

      



   



Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị m cho bất phương trình m122m 2 2m 2 vô nghiệm

Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, G’ trọng tâm tam giác MNP Chứng minh O, G, G’ thẳng hàng

Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không vuông Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn 2

2

a b  c tanAtanC2 tanB tam giác ABC

Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không vng nội tiếp đường trịn tâm I; điểm H(2; 2) trực tâm tam giác ABC Kẻ đường kính AM, BN đường trịn (I) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết M(5; 3) N(1; 3) đường thẳng BC qua điểm P (4;2)

Câu (1,0 điểm) Cho , ,a b c số thực dương thỏa điều kiện a b c  2015 Chứng minh

2 2

2015 2015 2015 2015 2015 2015

6 2

a a b b c c a b c

bc ca ab a b c

 

           

 

 

 

Câu (1,5 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau có tập xác định

2015 2016 ( 1) 2( 1)

x y

m x m x

 

   

Câu (2,5 điểm)

a) Giải bất phương trình x  2 2x 5 x1 b) Giải phương trình x42x3  2x2xx Câu (1,0 điểm) Cho phương trình

(2 1) ( 2)

x  m x  m x m   , m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3 thỏa mãn

2 2 17

x x x 

Câu (3,0 điểm)

a) Cho hình vng ABCD,M trung điểm CD Tìm vị trí điểm K đường thẳng BD cho K không trùng với D đường thẳng AK vng góc với KM

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A5;1, điểm C nằm đường thẳng :d x2y 3 Gọi giao điểm đường trịn tâm B bán kính BD với đường thẳng

CD (E ED) Hình chiếu vng góc D đường thẳng BE điểm N4;   Tìm tọa độ điểm , , B C D

c) Cho tam giác ABC không vuông với độ dài đường cao kẻ từ đỉnh ,B C h hb, c, độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A ma Tính cosA , biết hb 8,hc 6,ma 5

Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

3 2

2

2

2 13

x y x y

x y x y

      



    



Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn ab ab

b a

 

 Tìm giá trị nhỏ biểu thức   

2

1

a b

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN

Câu (2,0 điểm)

a Tìm tập xác định hàm số

2 2016

2017 3

y

x x x

 

 

b Chứng minh hàm số

y x



 nghịch biến tập xác định Câu (1,5 điểm) Giải phương trình 3x 1 x 2 2x 7 Câu (1,0 điểm) Tìm tham số m để hàm số

2

y  x mx m có tập xác định đoạn có độ dài

Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

   

3 2

2 16 11

2 9

y x x y y x

y x x y x x x

      

 

        



Câu (3,0 điểm)

a Cho tam giác ABC với cạnh tương ứng BC a CA, b AB, c Chứng minh sin 2sin

sin

2 cos cos

B C

A

B C

 

 tam giác ABC vng

b Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I trung điểm AC M điểm thỏa mãn

2

OM  OA OB  OC Biết OM vng góc với BI AC2 3BC BA Tính góc ABC

c Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có góc ABC tù Hai điểm   4;1 , 2; 1

D E  chân đường cao kẻ từ đỉnh A B tam giác ABC Trung điểm cạnh AB điểm N 1; , trung điểm cạnh AC điểm M nằm đường thẳng có phương trình

2x6y 5 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm M có hồnh độ lớn Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng:

9

6

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c

 

   

    

Câu Tìm tập xác định hàm số

2 2019 2018

5

y x

x x

  

  Câu Cho hai phương trình: 2

2

x  x a    1    

2 1

x  a xa a   2 a) Tìm a để phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình  1 x3; x4 hai nghiệm phương trình  2 với

x x Tìm tất giá trị a để x1; x2x3; x4

Câu Cho ,a bR a0 Xét hai hàm số f x 2x24x5và g x x2+ax b+ Tìm tất giá trị a b biết giá trị nhỏ g x  nhỏ giá trị nhỏ f x  đơn vị đồ thị hai hàm số có điểm chung

Câu Giải phương trình 2x22x 3 x2  x

Câu Tìm m để bất phương trình x22x 2 2m 1 2x24x có tập nghiệm Câu Giải hệ phương trình:

2

2

8

16

2

xy

x y

x y

x x x y x

   

 



       

Câu Cho tam giácABC, M điểm di động đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm vị trí

điểm M để PMB2MC22MA2 đạt giá trị nhỏ

Câu Cho tam giác ABCcó ABC60 GọiD giao điểm chân đường phân giác góc A

với BC, điểm E F hình chiếu vng góc D lên AB BC Đặt AB x

AC  , tính tỉ

số DEF ABC

S

S theo x tính tỉ số BD3,BC9

Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có AC2AB, phương

trình đường chéo BD x:   y 0, điểm B có hồnh độ âm Gọi M trung điểm cạnh BC  3;

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨNG TÀU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Bài (4,0 điểm) Cho parabol  

:

P yx  x đường thẳng  d :y x m. Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt  P hai điểm phân biệt A,B nằm hai phía đường thẳng có phương trình y1.

Bài (6,0 điểm)

1 Giải phương trình: 2 x 2 x  2 x2

2 Giải hệ phương trình: ( )( 1) 3

x x y y y x

y x y

     

 

  

 Bài (4,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC, cạnh AB AC, lấy điểm M, N cho 4MA3MB, 2NA NC = Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh rằng: 4AI 3IB2IC

2 Cho tam giác ABC có góc nhọn H trực tâm Gọi A1, B1, C1 chân đường cao hạ từ

A,B,C tam giác ABC Chứng minh

1 1

6

AH BH CH

HA HB HC  Tìm điệu kiện tam giác ABC

để bất đẳng thức xảy dấu

Bài (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có M0;10là trung điểm cạnh

AB Gọi H hình chiếu A BD, E điểm đối xứng D qua H;K hình chiếu

B đường thẳng AE Biết K9; 3  điểm H thuộc đường thẳng d có phương trình 20

x y  Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD

Bài ( 2,0 điểm) Cho số dương , ,a b c thỏa mãn 1 1

1a1b1c Tìm giá trị nhỏ

biểu thức Pa 4b2 b 4c2 c 4a2

Bài (2,0 điểm) Trong buổi lễ tuyên dương học sinh giỏi, có học sinh nhận giải thưởng Biết ba học sinh nhóm ln có hai học sinh quen biết với Chứng minh số học sinh ln chọn học sinh đôi quen biết

Câu (6,0 điểm):

1) Giải phương trình x3 + x2 = x23x2 2) Giải hệ phương trình

3 2

2

2 2

x y x y xy y x

x y x y x y

        



       

Câu (4,0 điểm):

1) Cho tam giác ABCcó diện tích Svà bán kính đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức

 

2 3

2

= sin sin sin

S R A B C Chứng minh tam giác ABC tam giác

2) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên cạnh BC CA AB, , lấy điểm , ,

N M P cho BN 1, CM 2, APx (0 x 3) a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB AC,

b) Tìm giá trị x để AN vng góc với PM

Câu (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D,

ADCD AB Điểm I thuộc đoạn AC cho

AI  AC Biết điểm (5;3),B đường thẳng DI

có phương trình 3x  y điểm D có hồnh độ dương Tìm tọa độ điểm D Câu (3,0 điểm): Cho phương trình  

4

x  m x m  m (m tham số)

1) Tìm tất giá trị ngun m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn 3

1 18

x x 

2) Tìm tất giá trị nguyên m cho phương trình cho có nghiệm ngun

Câu (3,0 điểm): Cho số thực dương , , ,a b c d thỏa mãn a b c d   4 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1

a b c d

b c c d  d a a b

   

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG NĂM 2018 - 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

Câu (4 điểm) Cho hàm số    

2 2

yx  m x m 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số  1 m0

2) Xác định m để đồ thị hàm số  1 cắt đường thẳng y3x1 hai điểm A B, phân biệt cho

OAB

 vuông O (với O gốc tọa độ )

Câu (2 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 2

x

y x m

x m

   

  xác định khoảng 1;3

Câu (5 điểm) Giải phương trình: 1) x23x  1 2x

2) 3x 1 4x 3 5x4

3) 3x 3 2 x x3 3x210x260 Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình:

 

2

4

1 1

x x y xy xy y

x y xy x

      

    



Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB1, ACx BAC 60 Các điểm M, N xác định MC 2MB NB 2NA Tìm x để AM CN vng góc với

Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC, ta có

2 2

1

( )

6

GA GB GB GC GC GA  AB BC CA

Câu (2 điểm) Cho x y z, , 2018; 2019 Tìm giá trị lớn biểu thức: 2018.2019 2018.2019 2018.2019

( ) ( ) ( )

xy yz zx

P

x y z y z x z x y

  

  

  

Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình: a) 2x27x 4 (x2) 2x1

b)

2 2

3 2

( 1)(2 )

x y y

xy y x x y

   



  



Câu 2: (2 điểm) Cho hàm số y   2 x2 6x5 có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến A(6, 2) nhỏ

Câu 3: (3 điểm) Cho số thực dương ,x y thỏa x y Chứng minh: 2

4x 4y x y 8x 12y

y x

     

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi D điểm đoạn AM Đường thẳng BD cắt AC E, CD cắt AB F

a) Chứng minh EF song song BC

b) Gọi H điểm cạnh BC, đường thẳng qua H song song CD cắt AB P Đường thẳng qua H song song BD cắt AC Q Đường thẳng PQ cắt DB DC R S Chứng minh PR = SQ

Câu 5: (3 điểm) Trên bảng người ta viết số 1, 2,3 , 2015 sau thực trị chơi sau: lần xóa hai số tùy ý ,a b viết lên số a b ab  , làm bảng số Hỏi số cịn lại bao nhiêu?

Câu 6: (4 điểm) Bảng giá cước taxi Mai Linh sau: 10.000đ cho 0,6km đầu tiên, 13.000đ/km cho đoạn từ 0,6km 25km 11.000đ/km cho đoạn từ 25km trở

a) Hãy thiết lập hàm số ( )f x để tính giá tiền phải trả cho quãng đường x km b) Vẽ đồ thị hàm số y f x( ) với 0 x 50

c) Bạn An sau xuống xe trả tài xế số tiền 371.200đ Hỏi quãng đường bạn An bao nhiêu?

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 2

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2015 – 2016

MƠN: TỐN - THỜI GIAN: 150’

Câu 1: (6 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình:

a)

2x 1 x 3x1

b)

2

2

4

5

x y

x y x y

x y

x y

xy

  

  

 



   



Câu 2: (3 điểm) Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có (1; 2), (3; 2); (2;3)A B  C Viết phương trình đường thẳng d qua B cắt AC D khác A cho ABBD

Câu 3: (3 điểm) Cho số thực dương a b, Chứng minh

2 2

a b

a b  ab 

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, gọi D điểm cạnh BC cho BD2CD E trung điểm AD Một đường thẳng qua E cắt AB AC, M N

a) Chứng minh AB 2AC

AM  AN 

b) Tìm vị trí điểm M AB cho diện tích tam giác AMN

3 diện tích tam giác ABD Câu 5: (2 điểm) Một cửa hàng có 350 đồ lưu niệm bán với mức giá ngàn, ngàn, ngàn,…, 349 ngàn, 350 ngàn Bạn Nam có 50 tờ ngàn 50 tờ ngàn khơng có tờ tiền khác Bạn muốn mua đồ lưu niệm trả xác số tiền đồ (khơng thối lại) Hỏi có số 350 đồ lưu niệm mà Nam chọn?

Câu 6: (4 điểm) Trên đường cao tốc hình trịn có trạm thu phí đặt cầu, kênh đập thủy điện theo chiều kim đồng hồ Khi qua trạm thu phí cầu phải trả 1000đ, qua trạm kênh phải trả 1.500đ, qua trạm đập thủy điện phải trả 1.800đ Một người xuất phát vị trí đập thủy điện cầu theo chiều kim đồng hồ phải tổng cộng 58.400đ Hỏi người phải trả trạm tiếp theo?

Câu 1: (6 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình: a) 2x2  x 2x2   x x

b)

3

3

3

2

x y x

xy x

   



  

Câu 2: (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 2

( ) :C x y 2x4y 5 điểm (0, 1)

A  Tìm tọa độ điểm B, C thuộc đường trịn (C) cho tam giác ABC

Câu 3: (3 điểm) Cho số thực dương x y, thỏa x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 12 32

P x

x y

  

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh AM OI

2 1

BC  AB AC

Câu 5: (2 điểm) Nhà toán học Hy lạp cổ đại Archimedes tìm định luật lực đẩy ngâm bồn tắm Nhờ lực đẩy mà vật thể có trọng lượng giảm nước Biết vàng nguyên chất nhẹ

20 lần bạc nguyên chất nhẹ

10 lần nước Một vương miện làm vàng bạc nặng 0,9kg trở nên nhẹ

18 lần nước hỏi khối lượng bạc vương miện bao nhiêu?

Câu 6: (3 điểm) Trong giải bóng đá có đội tham gia đấu vòng tròn lượt Đội thắng điểm, hòa điểm thua điểm Sau kết thúc giải người ta nhận thấy đội vơ địch có số điểm tổng số điểm hai đội hạng nhì, hạng ba tổng số điểm ba đội lại Tính số điểm đội vơ địch đội xếp cuối biết đội vô địch thua trận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 4

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2017 – 2018

MƠN: TỐN - THỜI GIAN: 150’

Câu 1: (5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình: a) Giải phương trình: x2 8 x38

b) Cho tam thức bậc hai ( )P x hệ số thực thỏa x2 2x 3 P x( ) 15 x230x17,x Biết P(13)2018, tính P(0)

Câu 2: (3 điểm) Trong hệ trục Oxy cho (3; 0), (0; 4)A B Biết tồn hình vng có hai đỉnh nằm đoạn AB hai đỉnh lại nằm đoạn OA OB, Hãy tìm tọa độ tâm I hình vng đó?

Câu 3: (3 điểm) Cho số thực dương x y z, , thỏa 1

x  y z Chứng minh

2

x y z  ,

đẳng thức xảy nào?

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O có ABAC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, gọi D E, giao điểm AI với BC đường trịn ( )O Đường thẳng qua I, vng góc AI cắt BC K, đường thẳng KA KE, cắt lại ( )O M N, Các tia ND NI, cắt lại đường tròn ( )O ,Q P

a) Chứng minh tam giác INE vuông b) Chứng minh PM PQ

Câu 5: (2 điểm) Trong câu lạc có 100 học sinh, có 90 học sinh chơi cầu lơng, 80 học sinh chơi bóng bàn 70 học sinh chơi bóng đá Hỏi có học sinh chơi ba môn? Câu 6: (3 điểm) Tại cơng ty có 10 xe đưa rước nhân viên xuất phát lúc từ bến xe đến cơng ty Mỗi tài xế có hai lựa chọn là:

1) Đi đường quốc lộ không kẹt xe xa nên 40 phút tới công ty

2) Đi đường nội thành ngắn 15 phút xe chạy, đường nhỏ nên có thêm xe chạy (chỉ xét xe cơng ty) thời gian xe tăng lên phút Cứ thời gian tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm

Hỏi tài xế nên thảo luận chọn xe nội thành để tổng thời gian 10 xe nhất?

Câu 1: (6 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình: a) 3x1 x2  x 3x2 x

b)

2

2

2

2

x y xy

x xy y

  

 

   

Câu 2: (5 điểm)

a) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi M trung điểm BC D hình chiếu vng góc M lên AC Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD cắt cạnh BC E Chứng minh E trung điểm CH

b) Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC với điểm định nghĩa trên, biết (7; 4), (4; 3)

C  E  diện tích tam giác AEC Tìm tọa độ điểm A

Câu 3: (3 điểm) Cho số thực dương ,a b thỏa a b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4

1

a b

P

a b

 

 

Câu 4: (3 điểm) Một nhóm cướp biển gồm 10 tên có rương chứa đồng tiền vàng Họ đồng ý chia số tiền theo quy tắc sau: Tên cướp thứ nhận dược

10 số vàng, tên cướp thứ nhận

10 số vàng lại,… tên cướp thứ k nhận 10

k

số vàng lại Biết số đồng tiền vàng số tự nhiên nhỏ thỏa mãn cách chia Hỏi tên cướp thứ 10 nhận đồng tiền vàng?