Các công thức vận tốc của sóng Rayleigh và sóng Stoneley

Các công thức vận tốc của sóng Rayleigh và sóng Stoneley Các công thức vận tốc của sóng Rayleigh và sóng Stoneley Các công thức vận tốc của sóng Rayleigh và sóng Stoneley luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Phạm Thị Hà Giang CÁC CƠNG THỨC VẬN TỐC CỦA SĨNG RAYLEIGH VÀ SĨNG STONELEY LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Phạm Thị Hà Giang CÁC CƠNG THỨC VẬN TỐC CỦA SĨNG RAYLEIGH VÀ SĨNG STONELEY Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 62440107 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Phạm Chí Vĩnh XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS.TS Phạm Chí Vĩnh GS.TSKH Nguyễn Đình Đức Hà Nội - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, năm 2017 Nghiên cứu sinh i Mục lục Danh sách hình vẽ iv Danh sách bảng vii Bảng ký hiệu viết tắt viii Mở đầu ix TỔNG QUAN 1.1 Sóng Rayleigh 1.2 Sóng Stoneley 1.3 Ứng dụng sóng Rayleigh sóng Stoneley 1.4 Ý nghĩa công thức vận tốc sóng Rayleigh sóng Stoneley 1.5 Mục tiêu luận án 1.6 Các cơng thức vận tốc sóng tìm 1.6.1 Các cơng thức xác 1.6.2 Các công thức xấp xỉ 1.7 Nội dung luận án 1.8 Các phương pháp nghiên cứu sử dụng luận án Các cơng thức vận tốc sóng Rayleigh 2.1 CTVTS Rayleigh BKGĐH có biến dạng trước chịu ràng buộc 2.1.1 Bán không gian biến dạng trước chịu ràng buộc 2.1.2 Phương trình tán sắc 2.1.3 Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh 2.1.4 Công thức vận tốc sóng số hàm lượng ràng buộc cụ thể ii 1 10 11 11 11 12 15 15 16 17 17 18 23 32 2.2 2.3 2.4 2.1.5 Các kết luận ý Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh truyền BKGĐH micropolar 2.2.1 Phương trình tán sắc 2.2.2 Công thức vận tốc sóng Rayleigh Các công thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh 2.3.1 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh BKGĐH đẳng hướng có biến dạng trước chịu ràng buộc 2.3.2 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh truyền BKGĐH micropolar đẳng hướng 2.3.3 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh truyền BKGĐH không nén chịu biến dạng trước 2.3.4 CTXX cho vận tốc sóng Rayleigh truyền BKGĐH nén chịu ứng suất trước Sóng Rayleigh mơi trường xốp trực hướng 2.4.1 Các phương trình dạng ma trận 2.4.2 Sóng Rayleigh Phát biểu Stroh 2.4.3 Phương trình tán sắc dạng 2.4.4 Phương trình tán sắc dạng ẩn 2.4.5 Phương trình tán sắc khơng thứ ngun 38 40 40 43 49 49 51 54 59 66 66 70 71 74 75 Các công thức vận tốc sóng Stoneley 81 3.1 CTVTS Stoneley truyền dọc theo BPC hai BKGĐH có liên kết trượt 81 3.1.1 Phương trình tán sắc 81 3.1.2 Các công thức vận tốc sóng Stoneley 84 3.1.3 Các trường hợp đặc biệt 93 3.2 CTVTS sóng Stoneley truyền dọc BPC hai BKGĐH liên kết chặt có vận tốc sóng khối 98 3.2.1 Cơng thức xác vận tốc songStoneley 98 3.2.2 Cơng thức xác cho độ chậm (slowness) 104 3.2.3 Sự tồn sóng Stoneley 104 3.3 Sự sóng Stoneley dọc BPC hai BKGĐH không nén chịu biến dạng trước tùy ý 106 Kết luận 119 Danh mục cơng trình khoa học 121 Tài liệu tham khảo 122 iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Bán không gian đàn hồi x2 ≥ Hai bán không gian đàn hồi x2 ≥ x2 ≤ với biên phân chia gắn chặt x2 = Biến dạng kéo nén (thể tích) hình lập phương Bán không gian đàn hồi có biến dạng trước chịu ràng buộc x2 ≥ Sự phụ thuộc vận tốc khơng thứ ngun sóng Rayleigh xr vào λ khoảng (0.66, 1.3) Bán không gian đàn hồi micropolar x3 ≥ Đường cong xác (đường gạch-gạch), đường cong xấp xỉ (2.164) (đường liền: sai số tương đối lớn 0.38%), đường cong xấp xỉ (2.168) (đường gạch chấm: sai số tương đối lớn 1.61%) vận tốc sóng Rayleigh đoạn γ ∈ [0.4 0.6] Đường cong xác (đường gạch-gạch), đường cong xấp xỉ (2.173) (đường liền: sai số tương đối lớn 0.62%) đường cong xấp xỉ (2.175) (đường gạch chấm: sai số tương đối lớn 0.81%) vận tốc sóng Rayleigh đoạn γ ∈ [0.4 0.6] Đường cong xác (đường gach-gạch), đường cong xấp xỉ (2.209) (đường liền: sai số tương đối lớn 0.1147%), đường cong xấp xỉ (2.212) (đường gạch chấm: sai số tương đối lớn 0.0483%) vận tốc sóng Rayleigh δ3 ∈ [1 2] iv 17 19 39 41 51 53 58 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Đường cong xác (đường gạch-gạch), đường cong xấp xỉ (2.254) (đường liền: sai số tương đối lớn 1.62%) đường cong xấp xỉ (2.257)) (đường gạch chấm: sai số tương đối lớn 2.09%) vận tốc sóng Rayleigh đoạn a ∈ [0.1 0.3] Bán không gian đàn hồi xốp trực hướng x3 ≥ Sự phụ thuộc bình phương vận tốc sóng khơng thứ ngun x = ρs c2 /C55 sóng Rayleigh vào độ xốp φ khoảng [0 0.7] Ở cho c11 = 1.5, c33 = 2, c13 = 0.9, α1 = 0.01, α3 = 0.02, m = 0.7, r = 0.01 Sự phụ thuộc bình phương vận tốc sóng khơng thứ ngun x = ρs c2 /C55 sóng Rayleigh vào c11 khoảng [0.5 2.0] Ở cho c33 = 2, c13 = 0.9, α1 = 0.01, α3 = 0.02, m = 0.7, φ = 0.1, r = 0.01 Sự phụ thuộc bình phương vận tốc sóng khơng thứ ngun x = ρs c2 /C55 sóng Rayleigh vào c33 khoảng [1 3] Ở cho c11 = 1.5, c13 = 0.9, α1 = 0.01, α3 = 0.02, m = 0.7, φ = 0.1, r = 0.01 Sự phụ thuộc bình phương vận tốc sóng khơng thứ nguyên x = ρs c2 /C55 sóng Rayleigh vào c13 khoảng [0 1.5] Ở cho c11 = 1.5, c33 = 2.0, α1 = 0.01, α3 = 0.02, m = 0.7, φ = 0.1, r = 0.01 65 66 77 78 78 79 Sự phụ thuộc vận tốc sóng Stoneley khơng thứ ngun ρ1 xs = c2 /c2T vào D = ∈ [0.4 0.5] B ∈ [0.8 0.9], E = ρ2 0.7, F = 0.6 96 Sự phụ thuộc vận tốc sóng Stoneley khơng thứ ngun ρ1 ∈ [0.4 0.5] F ∈ [0.5 0.6], B = xs = c2 /c2T vào D = ρ2 0.7, E = 0.8 97 Sự phụ thuộc vận tốc sóng Stoneley khơng thứ ngun ρ1 xs = c2 /c2T vào E = [0.72 0.9] F = [0.5 0.6], D = = ρ2 0.5, B = 0.7 97 Sự phụ thuộc vận tốc sóng Stoneley khơng thứ ngun ρ1 xs = c2 /c2T vào D = ∈ [0.4 0.5] E ∈ [0.65 0.85], ρ2 B = 0.9, , F = 0.6 98 √ Sự phụ thuộc vận tốc sóng khơng thứ ngun xs = c/c2 vào γ ∈ [0.1, 0.5] r ∈ [2, 10] 103 v Mặt phẳng phức với lát cắt L = [0 1] 108 √ √ Ảnh ánh xạ η = z − 1/ z, z ∈ S, S0 = {η = x0 + iy0 : x0 ≥ 0} 109 √ 3.8 Ảnh S1 ("miền không bị gạch") ánh xạ ξ1 (η) = η + a, a ≥ 0, η ∈ S0 110 √ 3.9 Ảnh S2 ("miền không bị gạch") ánh xạ ξ2 (η) = η − a, < a < 1, η ∈ S0 111 3.10 Mặt phẳng phức C với lát cắt L = [0 1/(1−a2 )], < a < 112 √ 3.11 Ảnh ánh xạ ξ3 (η) (phần không bị gạch) ξ3 (η) = η + a + ip, a ≥ 0, p > 0, η ∈ S0 113 3.6 3.7 vi Danh sách bảng 1.1 Sai số tương đối lớn xấp xỉ đoạn [0, 0.5] 13 2.1 Các giá trị bình phương vận tốc khơng thứ ngun sóng Rayleigh tính trực tiếp từ phương trình tán sắc (2.130) (x∗r ) từ cơng thức (2.153) (xr ) Ở ε = 0.001 48 3.1 Các giá trị bình phương vận tốc khơng thứ ngun sóng Stoneley tính trực tiếp từ phương trình tán sắc (3.80) (x∗ ), từ công thức (3.86) (xs ) (3.111) (ys ) số giá trị r cho trước Ở γ = 1/3 105 vii Bảng ký hiệu viết tắt CTVTS: Cơng thức vận tốc sóng BKGĐH: Bán không gian đàn hồi CTXX: Công thức xấp xỉ BPC: Biên phân chia viii + Đối với khả thứ 3: f + (0) f3+ (1/(1 − a2∗ )) = −1, − =1 f − (0) f3 (1/(1 − a2∗ )) (3.148) (ii) Các giá trị biên f + (t) f − (t) tính từ cơng thức bổ đề 3.1-3.3, 3.2∗ , 3.3∗ 3.3.0.3 Chứng minh mệnh đề 3.17 Từ (3.118)-(3.120) mệnh đề 3.18, khơng khó để có được: Mệnh đề 3.19 Hàm f (z) có tính chất sau: (f1 ) f (z) ∈ H(S),S = {z ∈ C, z ∈ / L}, L √ √ ba đoạn: [0, 1], 2 [0, √ 1/(1√− a )], [0, b/(1 − a∗ )], < a = e − m < 1, < a∗ = e∗ − m∗ < (f2 ) f (z) bị chặn N (1), N (1/(1 − a2 )) N (1/(1 − a2∗ )) (f3 ) f (z) = O(z −1/2 ) z → (f4 ) f (z) = O(A1 z + A0 ) |z| → ∞ (A0 , A1 số) (f5 ) f (z) liên tục từ bên phải bên trái L giá trị biên f + (t), f − (t) tính từ công thức bổ đề 3.1-3.3, 3.2∗ , 3.3∗ Tiến hành tương tự chương tới hai mệnh đề sau: Mệnh đề 3.20 Phương trình (3.119) tương đương với phương trình P (z) = miền S ∪ {hai điểm cuối L}, với P (z) đa thức bậc z, hệ số đa không đồng thời 0, nghĩa P (z) = Aˆ1 z + Aˆ0 , Aˆ20 + Aˆ21 = (3.149) Mệnh đề 3.21 Phương trình P (z) = có nhiều nghiệm mặt phẳng phức C Mệnh đề 3.17 suy từ mệnh đề 4.4,4.5, hàm f (z) khơng có nghiệm đoạn L (do tính khơng liên tục hàm f (z) đoạn này) 117 Chú ý rằng: Ta thu phương trình tán sắc trường hợp bán khơng gian vật liệu neo-Hookean từ phương trình (3.89) cách cho 2n = + m, 2n∗ = + m∗ (→ e = e∗ = 0) ([28]) η=δ x−1 ∗ , η = δ∗ x x−b , δ= x α ∗ , δ = γ α∗ γ∗ (3.150) Như vậy, ta có định lý sau Định lý 3.7: Đối với bán không gian đàn hồi không nén chịu biến dạng trước làm từ vật liệu neo-Hookean sóng Stoneley tồn Đây vấn đề mà Chadwick & Jarvis Dowaikh & Ogden để lại nghiên cứu [16, 17] [28] 118 Kết luận Do nhu cầu phát triển công nghệ đại mà vật liệu người tạo ngày nhiều, với tốc độ nhanh Việc đánh giá khơng phá hủy tính chất học vật liệu trước trình sử dụng trở nên quan trọng cấp bách Vì cơng thức vận tốc sóng, phương trình tán sắc dạng sóng mặt Rayeligh Stoneley sở lý thuyết cho việc đánh giá khơng phá hủy nên việc tìm chúng chúng có ý nghĩa Các kết luận án là: Tìm cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh cho mơi trường đàn hồi có biến dạng trước tùy ý, chịu ràng buộc đẳng hướng tổng quát Thu công thức vận tốc xác sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi micropolar đẳng hướng Thiết lập cơng thức xấp xỉ với độ xác cao cho vận tốc sóng Rayleigh truyền mơi trường đàn hồi có ứng suất trước, mơi trường đàn hồi micropolar Tìm cơng thức xác vận tốc sóng Stoneley truyền hai bán khơng gian đàn hổi đẳng hướng khác cho hai trường hợp: (i) Khi hai bán khơng gian có liên kết khơng chặt (ii) Khi hai bán khơng gian có liên kết chặt chúng khác mật độ khối lượng Chứng minh sóng Stoneley truyền hai bán không gian đàn hồi không nén có biến dạng trước tùy ý Tìm phương trình tán sác dạng sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi xốp trực hướng Các kết thu luận án mới, đóng góp nhỏ có ý nghĩa cho phát triển sóng mặt Rayeligh Stoneley phương diện lý thuyết ứng dụng thực tế Các kết luận án công bố báo đăng tạp chí khoa học 119 chun ngành quốc tế có uy tín, thuộc danh mục SCI Các vấn đề tiếp tục nghiên cứu sau luận án: Cơng thức xác vận tốc sóng Rayeligh cho bán khơng gian đàn hồi xốp đẳng hướng Công thức vận tốc sóng Stoneley mơi trường đàn hồi có biến dạng trước Cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh cho bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng Cơng thức xác vận tốc sóng Stoneley cho bán khơng gian đàn-từ có khe hở Các cơng thức xấp xỉ địa phương sóng Rayeligh mơi trường cơ-sinh (bio-mechanical solids) chịu biến dạng trước 120 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án [1] Pham C.V., Pham T.H.G (2010), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to an isotropic internal constraint", Int J of Eng Sci.48, pp 275-289 (SCI) [2] Pham C.V., Pham T.H.G (2011), "On formulas for the velocity of Stoneley waves propagating along the loosely bonded interface of two elastic half-spaces", Wave Motion 48, pp 646-656 (SCI) [3] Pham C.V., Pham T.H G (2012), "Uniqueness of Stoneley waves in pre-stressed incompressible elastic media", Int J Non-Linear Mech 47 , pp 128-134.(SCI) [4] Pham C.V., Malischewsky P.G., Pham T.H.G (2012), "Formulas for the speed and slowness of Stoneley waves in bonded isotropic elastic half-spaces with the same bulk wave velocities", Int J of Eng Sci 60, pp 53–58 (SCI) [5] Pham C.V., Aoudia A., Pham T.H.G (2016), "Rayleigh waves in orthotropic fluid-saturated porous media", Wave motion 61, pp 7382.(SCI) 121 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Chí Vĩnh (2015), Các phương pháp tìm phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng anh [2] Achenbach J.D (1973), Wave propagation in Elastic Solids, NorthHolland, Amsterdam [3] Adams S.D.M., Craster R.V., Williams D.P (2007), "Rayleigh waves guided by topography", Proc R Soc Lond A 463, pp 531-550 [4] Barnett D.M., Lothe J., Gavazza S.D., Musgrave M.J.P (1985), "Consideration of the existence of interfacial (Stoneley) waves in bonded anisotropic elastic half-spaces", Proc R Soc Lond A 412, pp 153-166 [5] Barnett D.M., Gavazza S.D., Lothe J (1988), "Slip waves along the interface between two anisotropic elastic half-spaces in sliding contact", Proc R Soc Lond A 415, pp 389-419 [6] Beatty M., Hayes M.A (1995), "Deformations of an elastic, internally constrained material Part 3: Small superimposed deformations and waves", Z.A.M.P 46(Special issue), pp 72-106 [7] Beatty M.F (2001), "Hyperelastic Bell materials, retrospection, experiment, theory, in: Y B Fu, R W Ogden (Eds.), NonLinear Elasticity: Theory and Applications", Cambridge University Press, London, pp 58-96 122 [8] Bergmann L (1948), Ultrasonics and their scientific and technical applications, New York [9] Briggs G.A.D (1992), Acoustic microscopy, Clarendon Press, Oxford [10] Biot M.A (1956), "Theory of propagation of elastic waves in a fluidsaturated porous solid I Low-frequency range", J Acoust Soc Am 28, pp 168-191 [11] Biot M.A., Willis D.G (1957), "The Elastic Coefficients of the Theory of Consolidation", J Appl Mech 24, pp 594-601 [12] Biot M.A (1962), "Mechanics of deformations and acoustic propagation in porous media", J Appl Phys 33, pp 1482-1489 [13] Bosi M., Salvatori M.C (1996), "Some non homogeneous deformations for a special class of isotropic constrained materials", Rend Mat VII(16), pp 689-713 [14] Brekhovskikh L.M (1990), Acoustics of layered media: plane and quasi-plane waves, Springer-Verlag, Berlin [15] Carroll M.M (2009), "On isotropic constraints", Int J Eng Sci 47(11), pp 1142-1148 [16] Chadwick P., Jarvis D.A (1979), "Interfacial waves in a pre-strain neo-Hookean body I Biaxial state of strain", Q JL Mech Appl Math 32, pp 387-399 [17] Chadwick P., Jarvis D.A (1979), "Interfacial waves in a pre-strain neo-Hookean body II Triaxial state of strain", Q JL Mech Appl Math 32, pp 401-418 [18] Chadwick P., Whitworth A.M (1985), "P Borejko, Basic theory of small-amplitude waves in a constrained elastic body", Arch Ration Mech Anal 87, pp 339-354 [19] Collet B., Destrade M (2004), "Explicit secular equations for piezoacoustic surface waves: Shear-horizontal modes" , J Acoust Soc Am 116, pp 3432-3442 [20] Cowles W.H., Thompson J.E (1947), Algebra, D Van Nostrand Company, New York [21] Dasgupta A (1981), "Effect of high initial stress on the propagation of Stoneley waves at the interface of two isotropic elastic incompressible media", Indian J Pure Appl Math 12, pp 919-926 123 [22] Destrade M (2001), "The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals", J Acoust Soc Am 109, pp 1398-1402 [23] Destrade M (2003), "Rayleigh waves in symmetry planes of crystals: explicit secular equations and some explicit wave speeds", Mech Mater 35, pp 931-939 [24] Destrade M., Scott N.H (2004), "Surface waves in a deformed isotropic hyperelastic material subject to an isotropic internal constraint", Wave Motion 40, pp 347-357 [25] Destrade M., Gilchrist M.D., Saccomandi G (2010), "Third- and fourth-order constants of incompressible soft solids and the acoustoelastic effect", J Acoust Soc Am 127(5), pp 2759-2763 [26] Delsanto P.P., Clark A.V (1987), "Rayleigh wave propagation in deformed orthotropic materials", J Acoust Soc Am 81(4), pp 952960 [27] Dowaikh M.A., Ogden R.W (1990), "On surface waves and deformations in a pre-stressed incompressible elastic solids", IMA J Appl Math 44, pp 261-284 [28] Dowaikh M.A., Ogden R.W (1991), "Interfacial waves and deformations in pre-stressed elastic media", Proc R Soc Lond A 433, pp 313-328 [29] Duquennoy M., Ouaftouh M., Ourak M (1999), "Ultrasonic evaluation of stresses in orthotropic materials using Rayleigh waves", NDT & E International 32, pp 189-199 [30] Duquennoy M., Devos D., Ouaftouh M., Lochegnies D., Romero E (2006), "Ultrasonic evaluation of residual stresses in flat glass tempering: Comparing experimental investigation and numerical modeling", J Acoust Soc Am 119(6), pp 3773-3781 [31] Dyquennoy M., Ouaftouh M., Ourak M (1998), "Stress state evaluation of laminated aluminum alloy sheet by surface acoustic waves", Review of progress in Quantitative Nondestructive Evaluation 17, pp 1621-1625 [32] Edmondson R.T., Fu Y.B (2009), "Stroh formulation for a generally constrained and pre-stressed elastic material", Int J Non-Linear Mech 44, pp 530-537 [33] Ericksen J.L (1986), "Constitutive theory for some constrained elastic crystals", Int J Solids Struct 22, pp 951-964 124 [34] Eringen A.C (1966), "Linear theory of micropolar elasticity", J Math Mech 15(6), pp 909–923 [35] Eringen A.C (1999), Theory of microcotinuum Field theories, Springer [36] Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F (1957), Elastic waves in layered media, McGraw-Hill, New York [37] Gei M (2008), "Elastic waves guided by a material interface", European Journal of Mechanics A/Solids 27 , pp 328-345 [38] Gennisson J.L., Renier M., Catheline S., Barriere C., Bercoff J., Tanter M., Fink M (2007), "Acoustoelasticity in soft solids: Assessment of the nonlinear shear modulus with the acoustic radiation force", J.Acoust Soc Am 114(6), pp 3211-3219 [39] Hamilton M.F., Ilinskii Y.A., Zabolotskaya E.A (2004), "Separation of compressibility and shear deformation in the elatic energy density", J Acoust Soc Am., 116, pp 41-44 [40] Hassen G., De Buhan P (2005), "A two-phase model and related numerical tool for the design of soil structures reiforced by stiff linear inclusions", Eur J Mech A Solids 24, pp 987-1001 [41] Hayes M., Rivlin R S (1961), "Surface waves in deformed elastic materials", Arch Ration Mech Anal 8, pp 358-380 [42] Hess P., Alexey M Lomonosov, Andreas P Mayer (2014), ”Laserbased linear and nonlinear guided elastic waves at surfaces (2D) and wedges (1D)”, Ultrasonics 54(1), pp 39–55 [43] Hirao M., Fukuoka H., Hori K (1981), "Acoustoelastic effect of Rayleigh surface wave in isotropic material", J Appl Mech 48, pp 119-124 [44] Husson D (1985), "A perturbation theory for the acoustoelastic effect of surface waves" J Appl Phys 57(5), pp 1562-1568 [45] Hu E., He Y., Chen Y (2009), "Experimental study on the surface stress measurement with Rayleigh wave detection technique", Appl Acoust 70, pp 356-360 [46] Johns J.P (1961), "Rayleigh waves in a poroelastic half-space", J Acoust Soc Am 33, pp 952-962 [47] Kaufman A., Levshin A.L (2005), Acoustic and elastic wave fields in geophysics III, Elsevier 125 [48] Kruyt N.P (2016), "On weak and strong contact force network in granular materials", Int J Solids Struct 92(93), pp 135-140 [49] Lakes R.S (1986), "Experimental microelasticity of two porous solids", Int J Solids Struct 22, pp 55-63 [50] Lee D.A., Corbly D.M (1977), "Use of Interface Waves for Nondestructive Inspection", IEEE Trans Sonics & Ultrasonics 24, pp 206-212 [51] Lim T.C., Musgrave M.J.P (1970), "Stoneley waves in anisotropic media", Nature 225, pp 372-382 [52] Liu K., Liu Y (2001), "Rayleigh wave in transversely isotropic fluidsaturated poroelastic media", Proceeding of the Fourth International Symposium on Impact Engineering, Japan, pp 595-560 [53] Liu Y., Liu K., Tanimura S (2002), "Wave propagation in transverselyisotropic fluid-saturated poroelastic media", Japan Societyof Mechanical Engineers International Journal 45, pp 348-355 [54] Liu K., Liu Y (2004), "Propagation characteristic of Rayleigh waves in orthotropic fluid-saturated porous media", J Sound Vib 271, pp 1-13 [55] Makhort F.G (1978), "Some acoustic Rayleigh-wave relations for stress determination in deformed bodies", Prikl Mekh 14(10), pp 123-125 [56] Makhort F.G., Guscha O.I., Chernoonchenko A.A (1990), "Theory of acoustoelasticity of Rayleigh surface waves", Prikl Mekh 26(4), pp 35-41 [57] Malischewsky P.G (2000), "Comment to " A new formula for velocity of Rayleigh waves " by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199 205]", Wave Motion 31, pp 93 - 96 [58] Malischewsky P.G (2005), "Comparison of approximated solutions for the phase velocity of Rayleigh waves (Comment on ’Characterization of surface damage via surface acoustic waves’)", Nanotechnology 16, pp 995-996 [59] Mironov M.A., Pyatakov P.A., Konopatskaya I.I., Clement G.T., Vykhodtseva N.I (2009), "Parametric excitation of shear waves in soft solids", Acoust Phys 55, pp 567-574 [60] Mozhaev V.G (1991), "Approximate analytical expressions for the velocity of Rayleigh waves in isotropic media and on the basal plane in high-symmetry crystals", Sov Phys Acoust 37, pp 186-189 126 [61] Murty G.S (1975), "A theoretical model for the attenuation and dispersion of stoneley waves at the loosely bonded interface of elastic half spaces", Phys Earth Planet Interiors 11, pp 65-79 [62] Murty G.S (1975), "Wave propagation at an unbounded interface between two elastic half-spaces", J Acoust Soc Am 58, pp.10941095 [63] Muskhelishvili N.I (1953), Singular intergral equations, NoordhoffGroningen [64] Muskhelishvili N.I 1963, Some Basic problems of mathematical theory of elasticity, Noordhoff, Netherlands [65] Murdoch A.I (1977), "The effect of interfacial stress on the propagation of Stoneley waves", J Sound Vib 50, pp 1-11 [66] Nesvijski E.G (2001), "On Rayleigh Equation and Accuracy of Its Real Roots Calculations", J Thermo Plast Compt Mater 14, pp 356-364 [67] Nkemzi D (1997), "A new formula for the velocity of Rayleigh waves", Wave Motion 26, pp 199-205 [68] Ogden R.W (1984), Non-Linear Elastic Deformations, Ellis Horwood, Chichester [69] Ogden R.W., Pham C.V (2004), "On Raylegh waves in incompressible orthotropic elastic solids", J Acoust Soc Am 115(2), pp 530533 [70] Parfitt V.R., Eringen A.C (1969), "Reflection of plane waves from the flat boundary of a micropolar elastic half-space", J Acoust Soc.Am.45(5), pp 1258-1272 [71] Pucci E., Saccomandi G (1996), "Universal relations in constrained elasticity", Math Mech Solids 1, pp 207-217 [72] Pucci E., Saccomandi G (1998), "Universal generalized plane deformations in constrained elasticity", Math Mech Solids 3, pp 201216 [73] Rayleigh L (1885), "On waves propagating along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc Lond A 17, pp 4-11 [74] Rahman M., Barber J R (1995), "Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves", ASME J Appl Mech 62, pp 250-252 127 [75] Rahman M., Michelitsch T (2006), "A note on the formula for the Rayleigh wave speed", Wave Motion 43, pp 272-276 [76] Rokhlin S., Hefet M., Rosen M (1980), "An elastic interface wave guided by a thin film between two solids", J Appl Phys 51, pp 3579-3582 [77] Renier M., Gennisson J.L., Barriere C., Royer, D., Fink M (2008), "Fourth-order shear elastic constant assessment in quasiincompressible soft solids", Appl Phys Lett 93, pp 1-3 [78] Renier M., Gennisson J.L., Tanter M., Catheline S., Barriere C., Royer D., Fink M (2007), "Nonlinear shear elastic moduli in quasiincompressible soft solids", IEEE Ultrasonics Symposium, pp 554557 [79] Romeo M (2001), "Rayleigh waves on a viscoelastic solid halfspace", J Acoust Soc Am 110, pp.59-67 [80] Romeo M (2002), "Uniqueness of the solution to the secular equation for viscoelastic surface waves", Appl Math Lett 15, pp 649653 [81] Roxburgh O.G., Ogden R.W (1994), "Stability and vibration of pre-stressed compressible elastic plates", Int J Eng Sci 32, pp 427-454 [82] Scholte J.G (1942), "On the Stoneley wave equation", Proc Kon Acad 45, pp 159-164 [83] Scholte J.G (1947), "The range of existence of Rayleigh and Stoneley waves", Mon Not R Astr Soc Geophys Suppl 5, pp 120-126 [84] Sezawa K., Kanai K (1939), "The range of possible existence of Stoneley waves and some related problems", Bull Earthq Res Inst TokyoUniv 17, pp 1-8 [85] Sharma M.D., Gogna M.L (1991), "Wave propagation in anisotropic liquid-saturated porous solids", J Acoust Soc Am 90, pp 10681703 [86] Simon B.R (1984), "O.C Zienkiewicz and D.K Paul, An analytical solution for the transient response of saturated porous elastic solids", International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 8, pp 381-398 [87] Song Y.Q., Fu Y.B (2007), "A note on perturbation formulae for the surface-wave speed due to perturbations in material properties", J Elasticity 88, pp 187-192 128 [88] Stan Chirita, (2013), "Rayleigh waves in Cosserat elastic materials", Int J Eng Sci 51, pp 117-127 [89] Stoneley R (1924), "Elastic waves at the surface of seperation of two solids", Proc Roy Soc Lond A 106, pp 416-428 [90] Stoneley R (1963), "The Propagation of surface waves in an elastic medium with orthotropic symmetry", Geophys J Int 8, pp 176186 [91] Stroh A.N (1962), "Steady state problems in anisotropic elasticity", J.Math Phys 41, pp 77-103 [92] Sotiropolous D.A (1999), "The effect of anisotropy on guided elastic waves in a layered half-space", M ech Mater 31, pp 215–233 [93] Tajuddin M (1984), "Rayleigh waves in a poroelastic half-space", J Acoust Soc Am 75, pp 682-684 [94] Tanuma K., Man C.S (2006), "Pertubation formula for phase velocity of Rayleigh waves in prestressed anisotropic media", J Elasticity, 85, pp 21-37 [95] Ting T.C.T (2002), "Explicit secular equation for surface waves in monoclinic materials with the symmetry plane at x1 = 0, x2 = or x3 = 0", Proc R Soc Lond A 458, pp 1017-1031 [96] Ting T.C.T (2002), "An explicit secular equation for surface waves in an elastic material of general anisotropic", Q J Mech Appl Math 55, pp 297-311 [97] Ting T.C.T (2002), "A unified formalism for elastostatics or steady state motion of compressible or incompressible anisotropic elastic materials", Int J Solids Structures 39, pp 5427-5445 [98] Ting T.C.T (2004), "The polarization vector and secular equation for surface waves in an anisotropic elastic half-space", Int J Solids Structures 41, pp 2065-2083 [99] Ting, T.C.T (2013), "A new secular equation for slip waves along the interface of two dissimilar anisotropic elastic half-spaces in sliding contact", Wave motion, pp 1262-1270 [100] Vinh P.C., Ogden R.W (2004), "On formulas for the Rayleigh wave speed", Wave Motion 39, pp 191-197 [101] Vinh P.C., Ogden R.W (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Ach Mech 56(3), pp 247-265 129 [102] Vinh P.C., Ogden R.W (2005), "On a general formula for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Meccanica 40, pp 147-161 [103] Pham C.V., Malischewsky P (2006), "Explanation for Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh wave velocity", Ultrasonics 45, pp 77-81 Vinh P.C., Malischewsky P.G (2007), "An approach for obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity", Wave Motion 44, pp.549-562 [104] Vinh P.C., Malischewsky P (2007), "An improved approximation of Bergmann’s form for the Rayleigh wave velocity", Ultrasonic 47, pp 49-54 [105] Vinh P.C., Malischewsky P (2008), "Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity", J Thermoplast Comp Mater 21, pp 337-352 [106] Vinh P.C., Malischewsky P (2008), "Improved Approximations for the Rayleigh Wave Velocity in [-1, 0.5]", Vietnam J Mech 30, pp 347-358 [107] Vinh P.C (2009), "Explicit secular equations of Rayleigh waves in elastic media under the influence of gravity and initial stress", Appl Math Compt 215, pp 395-404 [108] Vinh P.C.(2010), "On Formulas for the velocity of Rayleigh waves in prestrained incompressible elastic solids", ASME, J Appl,Mech 77(2), 021006 (9 pages) [109] Vinh P.C., Giang P.T.H (2010), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to an isotropic internal constraint", Int J of Eng Sci 48, pp 275-289 [110] Vinh P.C (2011), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-stressed compressible solids", Wave Motion 48, pp 613-624 [111] Vinh P.C., Giang P.T.H (2012), "Uniqueness of Stoneley waves in pre-stressed incompressible elastic media", Int J Non-Linear Mech 47, pp 128-134 [112] Vinh P.C., Giang P.T.H (2011), "On formulas for the velocity of Stoneley waves propagating along the loosely bonded interface of two elastic half-spaces", Wave Motion 48(7), pp 646-656 [113] Vinh P.C., Malischewsky P.G., Giang P.T.H (2012), "Formulas for the speed and slowness of Stoneley waves in bonded isotropic elastic half-spaces with the same bulk wave velocities", Int J Eng Sci 60, pp 53–58 130 [114] Merodio J (2013), "Wave velocity formulas to evaluate elastic constants of soft biological tissues" J Mech Master Struct 8(1), pp 51–56 [115] Pham C.V., Hue T.T.T (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in anisotropic solids", Wave Motion 51, pp 1082-1092 [116] Vinh P.C., Hue T.T.T (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in incompressible anisotropic half-spaces", Int J Eng Sci 85, pp 175-185 [117] Vinh P.C., Abdelkrim A., Giang P.T.H (2016), "Rayleigh waves in orthotropic fluid-saturated porous media", Wave motion 61, pp 73-82 [118] Vinh P.C., Vu T.N.A., "Explicit surface impedance matrices and their applications", submitted [119] Voloshin V (2010), Moving load on elastic structures: passage through the wave speed barriers, PhD thesis, Brunel University [120] White R.M., Voltmer F.M (1965), "Direct piezoelectric coupling to surface elastic waves", Appl Phys Lett 7, pp 314-316 [121] Xian-Fang, Li (2006), "On approximate analytic expressions for the velocity of Rayleigh waves", Wave Motion 44, pp 120-127 [122] Yang J.F.C (1982), "Lakes R.S., Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone in bending", J Biomech 15, pp 91-98 [123] Yang J (2001), "A note on Rayleigh wave velocity in saturated soils with compressible constituents", Can Geotech J 38, pp 1360-1365 131 ... QUAN 1.1 Sóng Rayleigh 1.2 Sóng Stoneley 1.3 Ứng dụng sóng Rayleigh sóng Stoneley 1.4 Ý nghĩa công thức vận tốc sóng Rayleigh sóng Stoneley. .. cứu: Sóng Rayleigh sóng Stoneley • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn nhất, phương trình tán sắc, cơng thức vận tốc sóng Rayleigh sóng Stoneley Phương pháp nghiên cứu Để tìm cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh. .. Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh truyền BKGĐH micropolar 2.2.1 Phương trình tán sắc 2.2.2 Công thức vận tốc sóng Rayleigh Các công thức xấp xỉ vận