Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức cực tiểu của cos 2π/n

Mục đích của luận văn là tìm hiểu mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Yn(x) của cos 2p/n với các đa thức Chebysev. Thông qua các mối liên hệ này, chúng tôi trình bày phương pháp tìm đa thức cực tiểu Yn(x) và tính hệ số tự do của các đa thức cực tiểu này. Mời các bạn cùng tham khảo.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TÔ DUY HIỂN 2π ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA COS n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TÔ DUY HIỂN ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA COS 2π n Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đa thức Chebyshev Đa thức chia đường tròn 10 1.3 Đa thức cực tiểu cos 2π n 15 Đa thức cực tiểu cos 2π n đa thức Chebyshev 2.1 2.2 Công thức hồi quy liên hệ đa thức Chebyshev đa thức cực tiểu cos 2π n 20 20 Phân tích nhân tử đa thức Chebyshev theo đa thức Ψn (x) 27 Hệ số tự đa thức cực tiểu cos 2π n 3.1 Trường hợp n lẻ 37 38 3.2 41 Trường hợp n chẵn Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Lời nói đầu Với số nguyên dương n, e2πi/n nghiệm đa thức chia đường tròn 2πi/n nên số đại số Do cos 2π + e−2πi/n ) số đại số Nói n = (e cách khác cos 2π n nghiệm đa thức với hệ số hữu tỷ Việc tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n câu hỏi tự nhiên, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Nghiên cứu đa thức cực tiểu Ψn (x) thực D H Lehmer vào năm 1933, ông đưa phương pháp để xây dựng đa thức Ψn (x) từ đa thức chia đường tròn Năm 1993, W Watkins J Zeitlin đưa phương pháp khác để tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) nhờ sử dụng đa thức Chebychev loại I Sau D Surowski P McCombs chứng minh lại kết phương pháp khác đưa công thức cụ thể đa thức cực tiểu cos 2π p với p số nguyên tố vào năm 2003 Một năm sau, S Beslin V De Angelis đưa công thức 2π đa thức cực tiểu cos 2π p sin p p số nguyên tố Mặt khác, dựa vào kết W Watkins J Zeitlin, năm 2012, B Ozgur, A Yurttas I N Cangul trình bày phép tính Ψn (x) cách sử dụng ngơn ngữ lập trình Maple, giúp tìm nhanh đa thức Ψn (x) cho trường hợp n lớn Các nghiên cứu gần đa thức cực tiểu Ψn (x), tác giả I N Cangul, Yusuf Z Gurtas, tập trung vào việc tìm cơng thức tính trực tiếp hệ số đa thức Ψn (x) Mục đích luận văn tìm hiểu mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n với đa thức Chebysev Thơng qua mối liên hệ này, chúng tơi trình bày phương pháp tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) tính hệ số tự đa thức cực tiểu Các kết trình bày dựa báo C Adiga, I N Cangul, H N Ramaswamy [5], Yusuf Z Gurtas [6] W Watkins, J Zeitlin [7] Luận văn chia thành ba chương Chương kiến thức chuẩn bị, bao gồm định nghĩa, số tính chất đa thức Chebyshev đa thức chia đường tròn Trong chương nhắc lại khái niệm mở rộng trường, số đại số, từ trình bày định nghĩa đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n Chương tập trung xét mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) với đa thức Chebyshev loại I, Tn (x) loại II, Un (x) Kết chương đưa công thức hồi quy liên hệ đa thức Chebyshev đa thức cực tiểu Ψn (x), từ áp dụng tính tốn đa thức cực tiểu Một kết luận quan trọng đưa chương là, đa thức Tn (x) − 1, Tn (x) + Un (x) tồn dạng tích đa thức cực tiểu Ψd (x), với d ước n Nội dung chương dựa vào mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) đa thức Chebyshev loại I để tính tốn hệ số tự đa thức cực tiểu Ψn (x) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc với TS Đoàn Trung Cường Thầy người dành nhiều thời gian để bảo, động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhờ có tận tình, chu đáo tâm huyết thầy mà tác giả hoàn thành luận văn "Đa thức cực tiểu cos 2π n " Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo thuộc Khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả q trình học tập nghiên cứu Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 06 năm 2018 Tác giả luận văn Tô Duy Hiển Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tìm hiểu số kiến thức sở để chuẩn bị cho việc trình bày đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n chương sau Nội dung chương bao gồm định nghĩa, số tính chất đa thức Chebyshev đa thức chia đường tròn Một phần chương dành để nhắc lại khái niệm mở rộng trường, số đại số, từ trình bày định nghĩa đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4] 1.1 Đa thức Chebyshev Đa thức Chebyshev đặt theo tên nhà toán học tiếng người Nga Pafnuty Chebyshev (1821 - 1894) Đa thức Chebshev đóng vai trị quan trọng lý thuyết gần có nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học khác Trong nghiên cứu đa thức cực tiểu cos 2π n , năm 1993, W Watkins J Zeitlin đưa phương pháp để tính tốn đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n nhờ sử dụng đa thức Chebychev Nội dung tiết trình bày định nghĩa, số tính chất quan hệ đa thức Chebyshev loại I loại II Các kết tiết tham khảo từ tài liệu [4] Định nghĩa 1.1.1 Các đa thức Tn (x) với n ∈ N xác định quy nạp T0 (x) = 1, T1 (x) = x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) gọi đa thức Chebyshev loại I Ví dụ 1.1.2 Một số đa thức Chebyshev loại I T0 (x) = T1 (x) = x T2 (x) = 2x2 − T3 (x) = 4x3 − 3x T4 (x) = 8x4 − 8x2 + T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x T6 (x) = 32x6 − 32x4 + 2x2 + Định nghĩa 1.1.3 Các đa thức Un (x) với n ∈ N xác định quy nạp U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x, Un+1 (x) = 2xUn (x) −Un−1 (x) gọi đa thức Chebyshev loại II Ví dụ 1.1.4 Một số đa thức Chebyshev loại II U0 (x) = U1 (x) = 2x U2 (x) = 4x2 − U3 (x) = 8x3 − 4x U4 (x) = 16x4 − 12x2 + U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x U6 (x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − Tiếp theo ta tìm hiểu số tính chất đa thức Chebyshev Kết sau tính chất đặc trưng đa thức Chebyshev loại I Mệnh đề 1.1.5 Với α ∈ R n ∈ N ta có Tn (cos α) = cos (nα) Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phép quy nạp theo n Dễ thấy mệnh đề với n = n = Giả sử mệnh đề đến n = k, ta có Tk+1 (cos α) = cos α.Tk (cos α) − Tk−1 (cos α) = cos (α) cos (kα) − cos ((k − 1) α) = cos ((k + 1) α) Đa thức Chebyshev loại II liên quan đến công thức sin (nα) Mệnh đề 1.1.6 Với n ∈ N, α = kπ, k ∈ Z, ta có Un (cos α) = sin (n + 1) α sin α Chứng minh Dễ kiểm tra mệnh đề với n = n = 1, giả sử mệnh đề đến n = k, ta có Uk+1 (cos α) = cos αUk (cos α) −Uk−1 (cos α) cos α sin (k + 1) α sin kα = − sin α sin α sin (k + 2) α = sin α Tìm hiểu bậc hệ số đa thức Chebyshev, ta thu kết sau Mệnh đề 1.1.7 Với n ≥ 1, đa thức Tn (x), Un (x) có bậc n, hệ số nguyên hệ số cao 2n−1 2n Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp đa thức Tn (x), trường hợp Un (x) chứng minh hồn tồn tương tự Ta có T1 (x) = x, T2 (x) = 2x2 − Vậy mệnh đề với n = n = Giả sử mệnh đề đến n = k, Tk (x), Tk−1 (x) có hệ số nguyên, có bậc k, k − có hệ số cao 2k , 2k−1 Từ Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x) suy Tk+1 (x) phải có hệ số nguyên, có bậc k + hệ số cao 2.2k = 2k+1 Ta điều phải chứng minh Quan sát đa thức Chebyshev đầu tiên, ta thấy T1 (x) = x, T3 (x) = 4x3 −3x, T5 (x) = 16x5 −20x3 +5x, chúng hàm số lẻ, T0 (x) = 1, T2 (x) = 2x2 −1, T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, chúng hàm số chẵn Liệu điều tổng qt hóa hay khơng? Bằng phép quy nạp, ta thu tính chất thú vị sau đa thức Chebyshev Mệnh đề 1.1.8 Các hàm số Tn (x), Un (x) chẵn n chẵn lẻ n lẻ Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề cho trường hợp hàm số Tn (x), trường hợp Un (x) chứng minh hoàn toàn tương tự Dễ dàng kiểm tra mệnh đề với n = n = Giả sử mệnh đề đến n = 2k + 1, ta có T2k+2 (−x) = (−x) T2k+1 (−x) − T2k (−x) = 2x.T2k+1 (x) − T2k (x) = T2k+2 (x) , T2k+3 (−x) = (−x) T2k+2 (−x) − T2k+1 (−x) = −2x.T2k+2 (x) + T2k+1 (x) = −T2k+3 (x) Vậy T2k+2 (x) hàm chẵn T2k+3 (x) hàm lẻ Ta điều phải chứng minh Kết nói nghiệm đa thức Chebyshev loại I loại II Mệnh đề 1.1.9 Với n ≥ 1, (i) Tn (x) có n nghiệm phân biệt cos (2k+1)π 2n , với k = 0, 1, , n − 1; kπ , với k = 1, 2, , n (ii) Un (x) có n nghiệm phân biệt cos n+1 Chứng minh (i) Giả sử x ∈ [−1; 1] nghiệm Tn (x) Đặt x = cos α, với (2k + 1) π α ∈ [0; π] Ta có = Tn (x) = Tn (cos α) = cos nα Từ suy α = , k= 2n (2k + 1) π 0, 1, , n−1 Với k ∈ {0, 1, , n − 1}, ta n giá trị khác cos 2n Vậy Tn (x) có n nghiệm phân biệt cos (2k+1)π 2n , với k = 0, 1, , n − Vì Tn (x) có bậc n nên tất nghiệm Tn (x) (ii) Tương tự, giả sử x ∈ (−1; 1) nghiệm Un (x) Đặt x = cos α, sin (n + 1) α Từ suy với α ∈ (0; π) Ta có = Un (x) = Un (cos α) = sin α 37 Chương Hệ số tự đa thức cực tiểu cos 2π n Ở chương trước ta chứng minh kết quan trọng sau mối liên hệ đa thức Chebyshev loại I đa thức cực tiểu Ψn (x) (xem Định lý 2.1.3) (i) Nếu n = 2s + Ts+1 (x) − Ts (x) = 2s ∏ Ψd (x); d|n (ii) Nếu n = 2s Ts+1 (x) − Ts−1 (x) = 2s ∏ Ψd (x) d|n Dựa vào mối liên hệ người ta tính tốn hệ số tự đa thức cực tiểu Ψn (x) Chương dành để tìm hiểu tính tốn Trong phần đầu chương, chúng tơi trình bày kết hệ số tự đa thức Chebyshev loại I, sở cho tính toán hệ số tự đa thức Ψn (x) Phần chương dành để trình bày kết hệ số tự đa thức cực tiểu Ψn (x) hai trường hợp n chẵn n lẻ Các kết chương tham khảo từ tài liệu [5] Trong suốt chương ta ln kí hiệu Tn (x) đa thức Chebyshev loại I ϕ (n) hàm Euler 38 3.1 Trường hợp n lẻ Quan sát số đa thức cực tiểu Ψn (x) đầu tiên, ta phát quy luật thú vị n lẻ, hệ số tự đa thức dụ, ϕ(1) Ψ1 (x) = x − 1, ϕ(3) ϕ(n) Ψ3 (x) = 2x + 1, Ψn (x) ±1 Ví ϕ(5) Ψ5 (x) = 4x2 + 2x − 1, ϕ(7) 2 Ψ7 (x) = 8x3 + 4x2 − 4x − 1, Từ đây, câu hỏi tự nhiên đặt liệu điều có cho số ngun n lẻ hay khơng Mục tiêu tiết tìm hiểu câu trả lời câu hỏi Để làm việc này, trước tiên ta tìm hệ số tự đa thức Ts (x) Kết sau giúp cho việc tính toán hệ số đa thức Mệnh đề 3.1.1 Cho số tự nhiên s, (i) Nếu s lẻ s+1 Ts (x) = ∑ (−1) s−2k+1 Cs2k−1 x2k−1 − x2 s−2k+1 k=1 (ii) Nếu s chẵn s Ts (x) = ∑ (−1) s−2k Cs2k x2k − x2 s−2k k=0 Chứng minh Từ công thức Euler, eiθ = cos θ + i sin θ , ta có eisθ = (cos θ + i sin θ )s = cos (sθ ) + i sin (sθ ) Từ suy Ts (cos θ ) = cos (sθ ) = Re ((cos θ + i sin θ )s ) s = Re ∑ Csk cosk θ is−k sins−k θ k=0 ; 39 s−k (i) Với s lẻ k lẻ, s − k chẵn is−k = i2 đó, với s lẻ, ta Ts (cos θ ) = Cs1 cos θ (−1) s−1 − cos2 θ s−1 = (−1) +Cs3 cos θ (−1) s−k s−3 số thực, − cos2 θ s−3 + +Css coss θ Hay s+1 Ts (cos θ ) = ∑ Cs2k−1cos2k−1θ (−1) s−2k+1 − cos2 θ s−2k+1 k=1 Từ suy ra, s lẻ s+1 Ts (x) = ∑ (−1) s−2k+1 Cs2k−1 x2k−1 − x2 s−2k+1 k=1 s−k (ii) Với s chẵn k chẵn, s − k chẵn is−k = i2 thực, đó, với s chẵn, ta s Ts (cos θ ) = Cs0 (−1) − cos2 θ s +Cs2 cos2 θ (−1) s−2 = (−1) − cos2 θ s−k số s−2 + +Css coss θ Hay s Ts (cos θ ) = ∑ Cs2k cos2k θ (−1) s−2k − cos2 θ s−2k k=0 Từ suy s chẵn s Ts (x) = ∑ (−1) s−2k Cs2k x2k − x2 s−2k k=0 Từ mệnh đề trên, dễ dàng suy kết hệ số tự đa thức Ts (x) Ts+1 (x) − Ts (x) 40 Hệ 3.1.2 Hệ số tự đa thức Ts (x) Ts (0) =    s lẻ , s ≡ ( mod 4) ,   −1 s ≡ ( mod 4) Hệ 3.1.3 Hệ số tự đa thức Ts+1 (x) − Ts (x) Ts+1 (0) − Ts (0) = −1 s ≡ 0, ( mod 4) , s ≡ 2, ( mod 4) Các kết cho thấy rằng, hệ số tự đa thức Chebyshev loại I ba giá trị {−1; 0; 1} Dựa vào kết này, ta thu kết tương tự hệ số tự đa thức cực tiểu Ψn (x) cho trường hợp n lẻ Định lý 3.1.4 Nếu n lẻ, hệ số tự đa thức ϕ(n) Ψn (x) ±1 Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp Với n = 1, ta có ϕ(n) Ψn (x) = 2[ ] Ψ1 (x) = Ψ1 (x) = x − Với n = 3, ϕ(n) Ψn (x) = ϕ(3) Ψ3 (x) = 2Ψ3 (x) = 2x + Như định lí với n = n = Giả sử định lý với số nguyên lẻ nhỏ n = 2s + 1, ta chứng minh định lý với n = 2s + ϕ(d) Thật vậy, từ n = ∑ ϕ (d) = ∑ ϕ (d) + 1, suy s = n−1 ∑ = d|n d|n,d>1 d|n,d>1 41 Do đó, theo Định lý 2.1.3 ta có Ts+1 (x) − Ts (x) = 2s ∏ Ψd (x) = Ψ1 (x) 2s d|n Ψd (x) ∏ d|n,d>1 = Ψ1 (x) ϕ(d) ∏ Ψd (x) d|n,d>1 Với n lẻ d lẻ nên d > d ≥ 3, ϕ (d) số chẵn nên ϕ(d) = ϕ(d) Do ta Ts+1 (x) − Ts (x) = Ψ1 (x) ∏ ϕ(d) Ψd (x) = g (x) ϕ(n) Ψn (x) , d|n,d≥3 g (x) = Ψ1 (x) ∏ ϕ(d) Ψd (x) = (x − 1) d|n, d≥3,d=n ∏ ϕ(d) Ψd (x) d|n, d≥3,d=n Vì d lẻ nên theo giả thiết quy nạp, hệ số tự g (x) ±1, mặt khác theo Hệ 3.1.3, hệ số tự đa thức Ts+1 (x) − Ts (x) ±1 Vậy hệ số tự đa thức 3.2 ϕ(n) Ψn (x) ±1 Trường hợp n chẵn Trường hợp n chẵn, hệ số tự đa thức ϕ(n) Ψn (x) nhận nhiều giá trị khác giá trị ±1 Để tính hệ số tự đa thức Ψn (x) trường hợp này, ta cần chia số nguyên n chẵn thành lớp nhỏ sau (1) n = 2m, với m lẻ (2) n = 2m với m ≥ (3) n = 22 m với m lẻ m = 42 (4) n = 2k m, với k ≥ 3, m lẻ m = Với số nguyên chẵn n có dạng n = 2m m lẻ, ta thu kết tương tự trường hợp n lẻ ϕ(n) Định lý 3.2.1 Với n = 2m m lẻ, hệ số tự đa thức Ψn (x) ±1 Chứng minh Với n = 2, ta có ϕ(n) Ψn (x) = ϕ(2) Ψ2 (x) = 2[ ] (x + 1) = x + Với n = 6, ta có ϕ(n) ϕ(6) Ψn (x) = 2 Ψ6 (x) = 2[ ] x − = 2x − Như định lý với n = n = Giả sử định lý cho số nguyên nhỏ n có dạng 2k k lẻ Khi đó, với n = 2m, theo Định lý 2.1.3 ta có Tm+1 (x) − Tm (x) = 2m ∏ Ψd (x) = 2Ψ1 (x) Ψ2 (x) 2m−1 d|n ∏ Ψd (x) d|n d>2 Mặt khác, từ n = ∑ ϕ (d) = ϕ (1) + ϕ (2) + ∑ ϕ (d) = + ∑ ϕ (d) Suy d|n d|n d>2 m−1 = d|n d>2 n−2 = ∑ ϕ (d) 2 d|n d>2 Vậy ta Tm+1 (x) − Tm (x) = 2Ψ1 (x) Ψ2 (x) ∏ d|n d>2 = h (x) ϕ(n) Ψn (x) , ϕ(d) Ψd (x) = x2 − ∏2 d|n d>2 ϕ(d) Ψd (x) 43 với h (x) = x2 − ∏ ϕ(d) Ψd (x) d|n 24 Do n = 2m = ∑ ϕ (d) = ϕ (1) + ϕ (2) + ϕ (4) + ∑ ϕ (d) = + ∑ ϕ (d) nên d|2m d>4 d|2m d|2m d>4 ta có 2m−1 = + 12 ∑ ϕ (d) Từ ta biến đổi d|2m d>4 T2m−1 +1 (x) − T2m−1 −1 (x) = 22 x2 − x ∏m ϕ(d) Ψd (x) d|2 d>4 = xg (x) ϕ(2m ) Ψ2m (x) , g (x) = 22 x2 − ∏m−1 ϕ(d) Ψd (x) d|2 d>4 Đẳng thức suy hệ số x đa thức T2m−1 +1 (x)−T2m−1 −1 (x) hệ ϕ(2m ) số tự đa thức g (x) 2 Ψ2m (x) Với s = 2m−1 m ≥ s + 1, s − s − lẻ, theo Mệnh đề 3.1.1, hệ số cuả x Ts+1 (x) − Ts−1 (x) (−1) Cs+1 s (−1) −1Cs−1 = (s + 1) + (s − 1) = 2s Từ hệ số x T2m−1 +1 (x) − T2m−1 −1 (x) 2m Mặt khác, ý với d > 4, có m − giá trị d thỏa mãn ước 2m−1 Các giá trị 2m−1 , 2m−2 , , 23 Vậy theo giả thiết quy nạp, hệ số tự đa thức g (x) 22 (±2)m−3 = (±2)m−1 Từ suy hệ số tự đa thức ϕ(2m ) Ψ2m (x) ±2 Ta điều phải chứng minh Tiếp theo ta xét lớp số nguyên n có dạng n = 22 m với m lẻ m = Trước hết, với số nguyên n có dạng n = 22 pα , p số nguyên tố lẻ 45 α số nguyên dương, ta có kết sau Định lý 3.2.3 Cho n = 22 pα , p số nguyên tố lẻ α số nguyên ϕ(n) dương Khi đó, hệ số tự đa thức 2 Ψn (x) ±p Chứng minh Ta chứng minh định lí phép quy nạp theo α Giả sử định lí với số nguyên m = 22 pk , p số nguyên tố lẻ k số nguyên dương nhỏ α Ta chứng minh định lý cho n = 22 pα Thật vậy, tương tự nội dung chứng minh Định lý 3.2.2, ta có T2pα +1 (x) − T2pα −1 (x) = 22p α ∏2 α Ψd (x) = 22 x2 − x d|2 p = x 22 x − ∏2 d=p,p ∏ ϕ(d) Ψd (x) ϕ 22 pα ( ∏2 Ψd (x) ϕ(d) Ψd (x) × , ,2pα d=2p,2p Ψd (x) ϕ(d) d|2 p d=1,2,4 , ,pα ϕ(d) ∏2 α ) Ψ22 pα (x) d=22 p,22 p2 , ,22 pα−1 ϕ 22 pα ( = xh (x) ) Ψ22 pα (x) , với h (x) = 22 x − ∏2 d=p,p , ,pα ϕ(d) Ψd (x) ∏2 d=2p,2p ϕ(d) Ψd (x) × , ,2pα ∏ ϕ(d) Ψd (x) d=22 p,22 p2 , ,22 pα−1 Từ suy hệ số x đa thức T2pα +1 (x) − T2pα −1 (x) hệ số tự ϕ (22 pα ) đa thức h (x) 2 Ψ22 pα (x) Với n = 2s = 22 pα s = 2pα , suy s chẵn, 2s = pα lẻ 2s − chẵn Từ s − đó, theo Mệnh đề 3.1.1, hệ số cuả x Ts+1 (x) − Ts−1 (x) (−1) Cs+1 s −1 = − (s + 1)−(s − 1) = −2s Suy hệ số x T α (−1) Cs−1 2p +1 (x)− T2pα −1 (x) −22 pα 46 Mặt khác, theo Định lý 3.1.4, hệ số tự đa thức 22 x − ∏2 d=p,p ϕ(d) Ψd (x) , ,pα −22 (±1) Theo Định lý 3.2.1, hệ số tự đa thức ∏2 d=2p,2p ϕ(d) Ψd (x) , ,2pα ±1 Lại theo giả thiết quy nạp, hệ số tự đa thức ∏ ϕ(d) Ψd (x) d=22 p,22 p2 , ,22 pα−1 (±p)α−1 Kết hợp kết suy hệ số tự đa thức h (x) −22 (±1) (±1) (±p)α−1 = ±22 (±p)α−1 Như ta có −22 pα = ±22 (±p)α−1 × hệ số tự đa thức Suy hệ số tự đa thức ϕ(n) ϕ(n) Ψn (x) Ψn (x) ±p Mở rộng định lý trên, xét số nguyên n có dạng n = 22 m, m phân tích thành tích hai lũy thừa số nguyên tố lẻ, ta thu ϕ(n) kết bất ngờ, hệ số tự đa thức 2 Ψn (x) quay trở lại nhận giá trị ±1 α Hệ 3.2.4 Cho n = 22 m, m = pα1 pk k , với p1 , , pk số nguyên tố lẻ, α1 , , αk số nguyên dương k ≥ Khi hệ số tự đa thức ϕ(n) Ψn (x) ±1 Chứng minh Tương tự nội dung chứng minh Định lý 3.2.3 trên, ta có T2pα1 pαk +1 (x) − T2pα1 pαk −1 (x) = 22 x2 − x k k ∏ d|n d=1,2,4 ϕ(d) Ψd (x) 47 Và hệ số x đa thức T2pα1 pαk +1 (x) − T2pα1 pαk −1 (x) 1 k k −22 pα1 pk k , α với hệ số tự đa thức 22 x − ∏ ϕ(d) Ψd (x) d|n d=1,2,4 Bây giờ, theo Định lý 3.2.3, hệ số tự đa thức ∏ ϕ(d) Ψd (x) α d=22 pi ,22 p2i , ,22 pi i (±pi )αi , suy hệ số tự đa thức 22 x − ∏ ϕ(d) Ψd (x) α d=22 pi ,22 p2i , ,22 pi i 1≤i≤k −22 (±p1 )α1 (±pk )αk Vậy hệ số tự đa thức ϕ(n) Ψn (x) phải ±1 Phần cuối tiết này, ta tính hệ số tự đa thức ϕ(n) Ψn (x) trường hợp số nguyên n có dạng n = 2β m, với β ≥ m lẻ Trước hết ta xét số nguyên n có dạng n = 2β pα , p số nguyên tố lẻ, α, β số nguyên dương β ≥ Dựa vào Định lý 3.2.2, Định lý 3.2.3 phép quy nạp, ta thu kết sau Định lý 3.2.5 Cho n = 2β pα , p số nguyên tố lẻ, α, β số ϕ(n) nguyên dương β ≥ Khi hệ số tự đa thức 2 Ψn (x) ±1 Chứng minh Lập luận tương tự nội dung chứng minh Định lí 3.2.3, 48 ta có T2β −1 pα +1 (x) − T2β −1 pα −1 (x) = 22 x2 − x ∏ ϕ(d) Ψd (x) d|2β pα d=1,2,4 Với n = 2s = 2β pα s = 2β −1 pα , β ≥ suy s chẵn, 2s = 2β −2 pα chẵn 2s − lẻ Từ đó, theo Mệnh đề 3.1.1, hệ số cuả x Ts+1 (x) − Ts−1 (x) s s − (−1) −1C1 (−1) Cs+1 s−1 = (s + 1) + (s − 1) = 2s Suy hệ số x T2β −1 pα +1 (x) − T2β −1 pα −1 (x) 2β pα , phải với hệ số tự đa thức 22 x − ∏ ϕ(d) Ψd (x) d|2β pα d=1,2,4 Bây giờ, theo Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.3, hệ số tự đa thức 22 x2 − ∏ ϕ(d) Ψd (x) ∏ ϕ(d) Ψd (x) d=22 p, ,22 pα d=23 , ,2β (±2)β (±p)α Từ suy hệ số tự đa thức ϕ(n) Ψn (x) phải ±1 Cuối cùng, mở rộng định lý cho trường hợp số nguyên n có dạng n = 2β m, m phân tích thành tích hai lũy thừa số ϕ(n) nguyên tố lẻ, ta thu kết quen thuộc, hệ số tự đa thức 2 Ψn (x) ±1 α Hệ 3.2.6 Cho n = 2β m, m = pα1 pk k , với p1 , , pk số nguyên tố lẻ α1 , , αk , β số nguyên dương, β ≥ k ≥ Khi hệ số tự đa thức ϕ(n) Ψn (x) ±1 Chứng minh Ta có T2β −1 pα1 pαk +1 (x) − T2β −1 pα1 pαk −1 (x) = 22 x2 − x k k ∏ α α d|2β p1 pk k d=1,2,4 ϕ(d) Ψd (x) 49 Lập luận tương tự nội dung chứng minh Định lý 3.2.5 ta hệ số x đa thức T2β −1 pα1 pαk +1 (x) − T2β −1 pα1 pαk −1 (x) 1 k k α 2β pα1 pk k , với hệ số tự đa thức 22 x − ∏ α ϕ(d) Ψd (x) α d|2β p1 pk k d=1,2,4 Bây giờ, theo Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.3, hệ số tự đa thức 22 x − ∏ d=23 , ,2β ϕ(d) Ψd (x) ∏ d=22 p ϕ(d) Ψd (x) αi i , ,2 pi 1≤i≤k (±2)β (±p1 )α1 (±pk )αk Từ suy hệ số tự phải ±1 ϕ(n) Ψn (x) 50 Kết luận Nội dung luận văn trình bày lại số kiến thức sau đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n : Một số kiến thức chuẩn bị đa thức cực tiểu phần tử đại số, đa thức Chebyshev đa thức chia đường tròn; Kết quan trọng bậc nghiệm đa thức cực tiểu Ψn (x) Với 2kπ n ≥ 3, bậc Ψn (x) ϕ(n) tất nghiệm đa thức Ψn (x) cos n với ≤ k ≤ s, (k, n) = 1, s = n2 n chẵn s = n−1 n lẻ; Công thức hồi quy liên hệ đa thức Chebyshev đa thức cực tiểu cos 2π n , áp dụng tính đa thức cực tiểu này; Phân tích đa thức Tn (x) − 1, Tn (x) + Un (x) thành tích đa thức cực tiểu Ψd (x), với d ước n; Các kết hệ số tự đa thức cực tiểu Ψn (x) Kết cho thấy rằng, đa số trường hợp, hệ số tự đa thức ±1 ϕ(n) Ψn (x) 51 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Ngô Thị Thúy Hằng (2015), Căn nguyên thủy, trường chia đường trịn ứng dụng, Luận văn thạc sĩ tốn học, ĐH Khoa Học - ĐH Thái Nguyên [2] Nguyễn Đình Minh (2016), Đa thức chia đường trịn ứng dụng vào toán số học, Báo cáo Lớp bồi dưỡng Giáo viên chuyên - Chương trình trọng điểm quốc gia Phát triển Toán học đến năm 2020 [3] Lê Thanh Nhàn (2015), Giáo trình lý thuyết đa thức, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Wikipedia, Đa thức Chebyshev, https://vi.wikipedia.org/wiki/Đa_thức_Chebyshev#Tham_khảo Tiếng Anh [5] C Adiga, I N Cangul, H N Ramaswamy (2016), "On the Constant Term of The Minimal Polynomial of cos 1102 2π n over Q", Filomat, 30(4), 1097- [6] Yusuf Z Gurtas (2017), "Chebyshev Polynomials and the Minimal Polynomial of cos(2π/n)", The American Mathematical Monthly, 124(1), 7478 [7] W Watkins and J Zeitlin (1993), "The Minimal Polynomial of cos The American Mathematical Monthly, 100(5), 471-474 2π n ", ... 1.3 Đa thức cực tiểu cos 2π n Trong toàn luận văn này, ta ln kí hiệu Ψn (x) đa thức cực tiểu cos 2π n Nội dung tiết trình bày khái niệm phần tử đại số, đa thức cực tiểu phần tử đại số đa thức cực. .. gọi đa thức bất khả quy a Từ Mệnh đề 1.3.4, p (x) đa thức cực tiểu a K p (x) đa thức chuẩn có bậc nhỏ K [x] nhận a nghiệm √ Ví dụ 1.3.6 Đa thức x3 − ∈ Q đa thức cực tiểu số Đa thức x2 + ∈ R đa thức. .. Chương Đa thức cực tiểu cos 2π n đa thức Chebyshev Mục đích chương trình bày kết bậc nghiệm đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n , sở trình bày mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) với đa thức Chebyshev