Miền ổn định của hệ động lực liên tục​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN o0o PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LựC LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nơi - 2020 PHẠM HỒNG QN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LựC LIÊN TỤC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60112 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hồng Linh Chủ tịch đồng: GS TS Nguyễn Hữu Dư Mục lục 3.1 Kết luân 62 Tài liêu tham khảo 62 Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hoàn thành hướng dẫn PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ mơn Tốn học tính tốn Toán ứng dụng, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2018-2020), cảm ơn gia đình, bạn bè quan chủ quản động viên, giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020 Học viên Phạm Hồng Quân Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 Mở đầu 1.4 Từ nhiều kỷ trước, việc nghiên cứu tính ổn định hệ động lực xem toán khó hấp dẫn người, bỏi xuất nhiều lĩnh vực khác kinh tế, học, vật lý, kỹ thuật Cũng chủ đề rộng nên khái niệm độ ổn định hình thành theo nhiều cách khác tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu tính ổn định Trong đó, chủ đề quan trọng liên quan chặt chẽ đến ổn định miền ổn định hệ động lực phi tuyến 1.5 Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý kỹ thuật thiết kế để hoạt động ỏ trạng thái cân Nói cách khác, cấu tạo để vận hành điểm cân xung quanh điểm cân mơ tả trình vận hành bỏi hệ động lực phi tuyến Yêu cầu quan trọng để vận hành thành cơng hệ thống trì ổn định trạng thái cân Tính ổn định đòi hỏi chắn điểm cân nhiễu nhỏ tác động ỏ bên ngồi hệ thống gây Nói cách khác, trạng thái hệ thống dần điểm cân nhiễu nhỏ định Tuy nhiên, hầu hết hệ thống vật lý kỹ thuật khơng ổn định tồn cục Có thể hiểu hệ thống quay trỏ lại trạng thái cân kích thước có giới hạn nhiễu Mặc dù vấn đề quen thuộc toán đặt ỏ làm để tính miền ổn định xung quanh điểm cân hệ động lực cho trước Từ đó, cho phép hạn chế nhiễu nhỏ dao động bên miền ổn định tính tốn Cho đến nay, có số phương pháp dùng tính tốn xấp xỉ miền ổn định hệ động lực phi tuyến cho trước hầu hết phương pháp dựa hàm lượng hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12] Tuy nhiên, cách tiếpcận không dựa hàm Lyapunov xem xét trình bày [5] Phương pháp cho phép tìm miền ổn định xác hệ động lực phi tuyến cho trước Một cách tiếp cận khác dựa phương pháp mặt mức ẩn tập mức nghiên cứu [7], [11] 1.6 Trong luận văn này, chúng tơi trình bày “ Miền ổn định hệ động lực liên tục” Cụ thể hơn, trình bày lý thuyết miền ổn định cách tìm miền ổn định phương pháp số Luận văn chia thành ba chương sau • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm ổn định tính chất liên quan Ngồi ra, lý thuyết hàm lượng, hàm Lyapunov đề cập đến Các lý thuyết sử dụng để ước lượng miền ổn định hệ động lực phi tuyến có số chiều lớn • Chương 2: Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục Chương tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng biên ổn định biên tựa ổn định hệ động lực cuối chương, đưa thuật toán để xác định biên ổn định cách hồn chỉnh • Chương 3: Ước tính miền ổn định hệ động lực liên tục Trong chương cuối, tập trung vào phương pháp ước lượng miền ổn định hệ động lực cho trước dựa hàm lượng tập mức Bên cạnh đó, số thử nghiệm số thực cho số hệ động lực phi tuyến tiên tục có số chiều thấp đưa 1.7 Các tài liệu sử dụng luận văn bao gồm số sách báo tác giả Hsiao-Dong Chiang Luís Fernando Costa Alberto, [2], [4], [5], [12] Kết luận văn báo cáo seminar Bộ mơn Tốn học tính tốn Toán ứng dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học trình bày Hội thảo Một số tốn chọn lọc phương trình vi phân điều khiển Viện Nghiên cứu cao cấp Toán tổ chức Tuần Châu, Quảng Ninh, ngày 05-07/11/2020 1.8 Chương 1.9 Kiến thức chuẩn bị 1.10 Trong chương thứ này, nhắc lại định nghĩa tính chất tính ổn định hệ động lực Bên cạnh đó, lý thuyết hàm Lyapunov, hàm lượng hệ động lực ứng dụng trình bày mục cuối chương Đây kiến thức sỏ cho nội dung chương sau Phần lớn nội dung ỏ chương trình bày dựa tài liệu [1], [2], [4] [5] 1.1 Hê động lực phi tuyến 1.11 Trong chương này, xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm) sau x 1.12 1.13 = f (x); (1.1) x R biến véctơ hàm f : R ! R thỏa mãn điều kiện n n n đảm bảo toán giá trị ban đầu (1.1) tồn nghiệm Trong luận văn này, giả thiết hàm f khả vi r lần đạo hàm liên tục Điều kiện đảm bảo với giá trị ban đầu x , tồn khoảng cực đại I = (w_;W ) c R, I tồn + hàm khả vi liên tục x(t) : I ! R nghiệm phương trình (1.1) n cho x(0) = x 10 (2) tập {S(b, x ) \ A (x )} tập khác rỗng với b > c s s 1.435 Định lý khẳng định thành phần liên thông S(ê; x ) với c = s V(xj) xấp xỉ tốt miền ổn định A(xs") dựa mặt mức lượng Tiếp sau đây, ta trình thuật tốn xấp xỉ miền ổn định A(x ) s 1.436 Thuật toán ước lượng miền ổn định theo hàm lượng (A) Xác định giá trị mức hàm lượng 1.437 (A-1) Tìm tất điểm cân hyperbolic 1.438 (A-2) Sắp xếp điểm cân có giá trị V(.) lớn V(x ) theo thứ s tự tăng dần 1.439 (A-3) Trong số điểm cân đó, tìm điểm cân có giá trị hàm lượng thấp mà có đa tạp khơng ổn định chứa quỹ đạo nghiệm hội tụ đến điểm cân ổn định x Ký hiệu điểm s x 1.440 - Giá trị hàm lượng x giá trị mức tới hạn hàm (A 4) lượng (tức V(x)) (B)Ước lượng miền ổn định A(x ) s 1.441 (B-1) Thành phần liên thông tập {x : V(x) < V(x)g chứa điểm cân ổn định x miền ổn định ước lượng s 1.442 Đe làm sáng tỏ thuật toán trên, ta xét ví dụ đơn giản sau 1.443 Ví dụ 3.1 ([4]) Xét hệ động lực vi phân sau 1.444 x = — sin x — 0.5sin(x — x ) + 0.01 1 1.445 x = — 0.5 sin x — 0.5 sin(x 2 2 — x ) + 0.05 (3.4) 1.446 Giải f (x ,x ) = Matlab, ta thu (0.02801,0.06403) điểm cân ổn định ta ước lượng miền ổn định điểm cân Bên cạnh đó, ta thu điểm cân khác, tất số điểm cân hyperbolic nằm biên ổn định (0.02801,0.06403) Trong số điểm này, có sáu điểm cân hyperbolicloại sáu điểm nguồn Khơng cần tính tốn, theo Định lý 2.11, ta dự đốn miền ổn định điểm cân (0.02801, 0.06403) miền bị chặn 1.447 Ta sử dụng V(x ,x ) := —2cos x — cos x — cos(x — x ) — 0.02x1 2 — 0.1x hàm lượng hệ (3.4) Thật vậy, không khó để ta kiểm tra lại việc thỏa mãn tính chất (1)-(3) hàm lượng trinh bày Mục 1.4 Ký hiệu xs = (x1,x2) điểm cân ổn định có miền ổn định mà ta cần ước lượng DI dàng có quan sát sau (i) Có tất sáu điểm cân hyperbolic loại nằm miền 1.448 {(x , x ) : x'1 — K < x < x'1 + X, x'2 — X < x < x'2 + %} 2 (ii) Điểm cân (0.04667, 3.11489) điểm cân có giá trị hàm lượng thấp Giá trị mức tới hạn hệ —0.31329 (iii) 1.449 Bằng cách sử dụng hàm contour Matlab, ta thu mặt mức lượng Hinh 3.3 Tuy nhiên, có thành phần liên thông chứa x Bên cạnh đó, Hinh 3.4 so sánh biên ổn định xác biên ổn s định ước lượng thu 1.450 Thuật tốn vừa trinh bày ỏ u cầu tính tốn giá trị điểm cân khơng ổn định gần Một vấn đề đặt ỏ xuất hai hay nhiều hai điểm cân hệ có giá trị hàm lượng V Tuy nhiên, theo [4], [5], tất điểm cân hệ động lực có giá trị hàm lượng phân biệt Điều có nghĩa điểm cân không ổn định gần nhất 1.451 Như biết nhiều hệ động lực phi tuyến không tồn hàm lượng toàn cục, vi việc xây dựng hàm lượng để thuật toán hoạt động khơng thể Tuy nhiên, vấn đề khắc phục việc sử dụng hàm giống hàm lượng xung quanh điểm cân Do đó, đề xuất phương pháp ước lượng miền ổn định 1.452 1.454 1.453 Hình 3.3: Miền ổn đinh ước lượng theo mặt nang lượng 1.455 hệ động lực phi tuyến tổng quát liên lục mà khơng có hàm nang lượng tổng qt Trước bắt đầu phương pháp này, ta giới thiệu đinh nghĩa hàm nang lượng địa phương 1.456 Định nghĩa 3.8 Hàm số V : R ! R gọi hàm lượng địa n phương tập mở W thỏa mãn hai điều kiện sau tập mở W chứa điểm cân ổn định x W, s (1) đạo hàm hàm V(x) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) không dương, tức 1.457 V(x( ty) < 0, (2) x(t) quỹ đạo nghiệm tầm thường (tức là, x(t) điểm cân bằng), dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t), tập {t R : v(x(t)) = 0g có độ đo khơng R 1.458 Từ định nghĩa trên, ta dl dàng thấy hàm nang lượng địa phương V(x) thỏa mãn hai điều kiện đầu định nghĩa hàm nang lượng toàn cục Bây giờ, ta giả sử V(x) hàm nang lượng địa phương xung quanh điểm cân tiệm cận ổn định x S(d,x ) thành phần liên s s 1.459 1.460 Hình 3.4: Bức tranh pha hệ Ví dụ 3.1 So sánh biên ước lượng biên ổn đinh đinh xác 1.461 1.462 thơng chứa x tập {x R : V(x) < dg Rõ ràng, tập nằm trọn n s vẹn tập mỏ W nằm miền ổn đinh A(x ) Ký hiệu d s số lớn cho điều kiện ỏ thỏa mãn, tập S(d; x ) s ước lượng cực đại miền ổn đinh Ngoài ra, giá tri d gọi giá tri mức tối ưu ứng với hàm lượng địa phương V(:) Tuy nhiên, ta ý giá tri mức d khơng giá tri mức tối ưu với hàm lượng đia phương khác 1.463 Trong phần sau đây, tập trung trình bày phương pháp xấp xỉ miền ổn đinh hệ động lực phi tuyến tổng quát khơng tồn hàm lượng tồn cục 1.464 Bước 1: Xây dựng hàm lượng đia phương V(.) xung quanh điểm cân ổn đinh x Ký hiệu S(d; x ) thành phần liên thông chứa x tập s s s {x R : V(x) < dg n 1.465 Bước 2: Xác đinh giá tri mức V(.) x cho điều kiện s (1)-(2) thỏa mãn với x {S(d; x )g — {x g, từ xác đinh giá tri mức s tối ưu d s 1.466 Bước 3: Ước lượng miền ổn đinh A(x ) dựa theo hàm lượng đia s phươngV(.) Thành phần liên thông S(d,x ) chứa x {x : V(x) < dg s s miền ổn định ước lượng A(x ) s 1.467 Đe chi tiết hơn, giới thiệu kỹ thuật tiếng xây dựng hàm lượng địa phương V(x) xung quanh điểm cân ổn định x Kỹ thuật nghiên cứu trình bày tài liệu [4], s [5], [12] cơng việc thực Bước Cụ thể, ta giải phương trình ma trận Lyapunov B sau Bước 1.468 J B + BJ = -C, T 1.469 đó, J ma trận Jacobi Df x C ma trận đối xứng, xác s định dương Thông thường, ta chọn C ma trận đơn vị Tiếp theo, ta xây dựng hàm lượng địa phương có dạng hàm tồn phương sau V(x) := x Bx Khi đó, giả sử tồn tập mỏ W cho T 1.470 ỹ(x) = 2f (x) Bx < 0, T 1.471 với x fW — x g Sau bước này, ta xác định giá trị mức tối ưu cho s hàm lượng địa phương ước lượng miền ổn định dựa tập mức hàm lượng vừa xây dựng 1.472 Sau đây, ta đưa hai ví dụ để thử nghiệm thuật tốn vừa trình bày hệ động lực có số chiều khơng q cao Ví dụ thứ hệ động lực phi tuyến hai chiều, cịn ví dụ cịn lại hệ động lực phi tuyến liên tục ba chiều 1.473 Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình Vanderpol sau x = —x 1.474 1.475 x = x — (1 — x1)x 2 1.476 DI dàng kiểm tra (0, 0) điểm cân ổn định hệ ta ước lượng miền ổn định điểm cân ổn định (0, 0) Ta có 1.477 J(xi,x2) = (1 +2x1x2 x1 - 1) Thay C ma trận đơn vị, từ J(0, 0) B + B J = 1.478 T —I ta nhận / 0.593 —0.182! 1.479 = \-0.182 0.437 / 1.480 Do đó, hàm lượng địa phương , / ỵ í 0.593 1.481 Tr x —0.182! íx1 V (x1, x2) = x x 1.483 V V 0.182 0.437 y !x2 1.482 =0.593x1 - 0.364x1x1 + 0.437x2 1.484 Ta có 1.485 1.486 @V, , @V, (x) =-— @X V x ■ x2 @X1 1.487 =(1.186x — 0.364x )(—x ) + (0.752x2 — 0.364x )(x — (1 — 2 1 x2)x ) 1.488 Giá trị mức tới hạn V(x 5x ) (0, 0) Thực tế, ta cần đến toán tối ưu khác để tìm giá trị lớn d Bài tốn tối ưu khó để giải Thông thường, ta giả thiết giá trị tới hạn d = cố gắng tối ưu hóa hàm lượng Lyapunov thơng qua tốn khác thay tối ưu hóa giá trị tới hạn d Đây tốn lớn nên ta khơng xét ỏ Sử dụng mặt lượng hằng, thành phần liên thông tập {x : V(x , x ) < 1g chứa điểm cân ổn định (0, 0) miền ổn định ước lượng 1.489 Hình 3.5 biểu diễn miền ổn định ước lượng thu miền ổn định xác Dễ dàng thấy miền ổn định ước lượng thu giới hạn bỏi đường in đậm màu xanh nằm hoàn toàn miền ổn định (0, 0) (tức đường in đậm màu đỏ) 1.490 Tiếp theo, ta xét ví dụ hệ động lực phi tuyến liên tục ba chiều Đây hệ tiếng, nghiên cứu [3], [4], [5], [7] [12] 1.491 Ví dụ 3.3 Xét hệ động lực 1.492 - X2 x = 1.493 - X3 x_ = 1.494 x = — 0.915x + (1 — 0.915x2)x — x Hình 3.5: Miền ổn đinh xác miền ổn đinh ước lượng Ví dụ 3.2 1.495 1.496 Hệ có điểm cân ổn đinh (0, 0) miền ổn đinh điểm cân cần xấp xỉ Ta có 1.497 1.498 J (X1;X2;X3) = 0 -10 -1 1.499 Ỳ-0.915 - 1.83X1X2 - 0.915x2 -1 1.500 Bằng cách giải phương trình J B + BJ = — I, với J = J(0, 0, 0), ta thu T 1.501 -8.1 20.8 -8.5 1.502 Tương tự ví dụ trên, ta xây dựng hàm lượng địa phương sau 1.503 V(xi,X2,Xa)= (xi X2 £3 B x V3 1.504 Giá trị mức tới hạn V(x1 , x ,x ) (0, 0, 0) 1.0 Khi đó, thành phần liên thơng tập {x R : V(x1, x , x ) < 1g chứa (0, 0, 0) miền 3 ổn định ước lượng Hình 3.6 Hình 3.7 cho thấy miền ổn định ước lượng thu nằm trọn vẹn miền ổn định xác (0, 0, 0) 1.505 1.506 1.507 1.508 1.509 1.510 1.511 1.512 1.513 1.514 1.515 1.516 1.517 1.518 1.519 1.520 1.521 1.1 Hình 3.6: Miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.3 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 1.530 1.531 1.532 1.533 1.534 1.535 1.536 1.537 1.538 1.2 Hình 3.7: Miền ổn đinh ước lượng biên ổn đinh xác Ví dụ 3.3 1.539 Kết luân 1.540 Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết miền ổn định hệ động lực phi tuyến liên tục Cụ thể đã: Nhắc lại số số khái niệm tính ổn định hệ động lực, phương trình vi phân; hàm Lyapunov; hàm lượng tính chất liên quan Trình bày đặc trưng miền ổn định biên ổn định hệ động lực phi tuyến Trình bày phương pháp xác định xác biên ổn định hệ động lực phi tuyến phương pháp xấp xỉ miền ổn định cho hệ động lực phi tuyến có hàm lượng khơng có hàm lượng 1.541 Trong đó, đóng góp chúng tơi bao gồm: • Chi tiết hóa chứng minh số định lý quan trọng Định lý 1.11, Định lý 2.1, Định lý 2.7 Định lý 2.11 • Bổ sung nhận xét đặc trưng biên ổn định hệ động lực phi tuyến Định lý 2.1, Nhận xét 2.1, Nhận xét 2.2 đặc trưng điểm cân ổn định gần Nhận xét 3.1, Nhận xét 3.2 • Thử nghiệm số ví dụ đưa kết minh họa cụ thể cho thuật toán đưa 1.542 Tài liêu tham khảo [1] L Ya Adrianova, Introduction to linear systems of differential equations, Translations of Mathematical Monographs Vol 146, AMS, Providence, R.I (1995) [2] F M Amaral and L F C Alberto, “Stability boundary characterization of nonlinear autonomous dynamical Systems in the presence of saddlenode equilibrium points”, TEMA (São Carlos), volume 13(2), pages 143154, 2012 [3] H D Chiang and J S Thorp, “Stability regions of nonlinear dynamical systems: A constructive methodology”, IEEE Transactions on Automatic Control, volume 34(12), pages 1229-1241, 1989 [4] H D Chiang, Direct methods for stability analysis of electric power Systems: theoretical foundation, BCU methodologies, and applications, John Wiley & Sons, 2011 [5] H D Chiang and L F C Alberto, Stability regions of nonlinear dynamical systems: theory, estimation, and applications, Cambridge University Press, 2015 [6] M W Hirsch, Differential topology, Springer Science & Business Media, volume 3, 2012 [7] T J Koo and H Su, “A computational approach for estimating stability regions”, 2006 IEEE International Symposium on Intelligent Control, pages 62-68, 2006 [8] J Lee, Introduction to topological manifolds, Springer Science & Business Media, volume 202, 2010 [9] L Luyckx, M Loccufier and E Noldus, “Computational methods in nonlinear stability analysis: stability boundary calculations”, Journal of computational and applied mathematics, 168(1-2), pages 289-297, 2004 [10] J Milnor and D W Weaver, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton university press, 1997 [11] S Osher and R Fedkiw, Level set methods and dynamic implicit surfaces, Springer New York, volume 153, 2005 [12] A N Milchel, N R Sarabudla and R K Miller, “Stability analysis of complex dynamical systems: some computational methods”, Circuit,s, Systems and Signal Processing, volume I, pages 171-202, 1982 ... cân ổn định x điểm cân ổn định tồn cục Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm miền ổn định biên ổn định điểm cân ổn định 26 1.118 Định nghĩa 1.12 Miền ổn định điểm cân ổn định x s hệ động lực. .. định tựa ổn định hệ động lực liên tục Chương tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng biên ổn định biên tựa ổn định hệ động lực cuối chương, chúng tơi đưa thuật tốn để xác định biên ổn định cách... tính miền ổn định hệ động lực liên tục Trong chương cuối, tập trung vào phương pháp ước lượng miền ổn định hệ động lực cho trước dựa hàm lượng tập mức Bên cạnh đó, số thử nghiệm số thực cho số hệ