Rẽ nhánh hopf và định lý tâm lyapunov​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TS LÊ HUY TIẾN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Hà Nôi - 2020 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn - người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Cảm ơn thầy cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành luận văn cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, cổ vũ em q trình học tập Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải Mục lục •• Lời cảm ơn 1.1 Kết luân 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh khái niệm ngược với ổn định Khái niệm rẽ nhánh lần giới thiệu Henri Poincaré vào năm 1885, sau nhà tốn học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu toán học thay đổi tranh pha nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Rẽ nhánh xảy thay đổi nhỏ giá trị tham số hệ động lực gây thay đổi đột ngột tranh pha Rẽ nhánh chia làm hai loại • Rẽ nhánh địa phương xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha xung quanh điểm cân điểm tuần hồn thay đổi • Rẽ nhánh tồn cục xảy tranh pha toàn cục thay đổi giá trị tham số thay đổi Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu rẽ nhánh Hopf định lý tâm Lyapunov Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân Trong chương này, ta trình bày lại kiến thức liên quan phục vụ cho việc tìm hiểu rẽ nhánh phương trình vi phân Sau đó, ta tính tốn chi tiết minh họa hình học số loại rẽ nhánh không gian chiều không gian hai chiều Chương Sự tồn rẽ nhánh phương trình vi phân Mục đích chương trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf Chương Sự bảo toàn tâm Lyapunov Trong chương ta tìm hiểu định nghĩa định lý tồn tâm Lyapunov Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ sách [2] Luận văn xét rẽ nhánh hệ liên tục, tức phương trình vi phân Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải Danh sách hình 1.1 1.2 1.3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẺ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.4 1.5 Trong chương nhắc lại kiến thức liên quan đến rẽ nhánh phương trình vi phân Cụ thể ta định nghĩa điểm cân bằng, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy) điều kiện liên quan phục vụ cho Chương Chương Sau số ví dụ rẽ nhánh không gian chiều không gian hai chiều tính tốn minh họa cụ thể 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.6 Xét phương trình vi phân phụ thuộc tham số 1.7 y = f (a,Ị/) = fa(Ị/) (1.1) 1.8 Trong toàn luận văn, ta giả sử vế phải thỏa mân điều kiện tồn nghiệm tồn cục Ta ký hiệu 'a,t dịng sinh phương trình vi phân trên; nói cách khác 1.9 x(t) = 'a,t(x0) 1.10 nghiệm (1.1) thỏa mân x(0) = x 1.11 Việc thay đổi giá trị tham số a từ a đến giá trị a1 gần a làm thay đổi tranh pha nghiệm phương trình vi phân Có hai trường hợp xảy 1.12 Trường hợp 1: tranh pha với a = a1 đồng phôi với tranh pha với a = a Tình ta nói ao điểm ổn định (stability) 1.13 Trường hợp 2: tranh pha với a = a1 không đồng phôi với tranh pha với a = a Ta nói a điểm phân nhánh hay rẽ nhánh (bifurcation) 1.14 Với phương trình sai phân, ta xét khái niệm điểm bất động, điểm tuần hoàn Điểm tuần hồn ánh xạ điểm bất động lũy thừa Điểm tuần hồn chu kỳ điểm bất động 1.15 Tuy nhiên phương trình vi phân, điểm cân (nghiệm hằng) điểm nằm quỹ đạo đóng (nghiệm tuần hồn) có đặc tính khác 0 0 1.16 Định nghĩa 1.1.1 Xét phương trình vi phân 1.17 y' = f(vì (1.2) 1.18 với f : R ! R ánh xạ trơn Điểm p gọi điểm cân bằng, hay điểm kỳ dị hệ (1.2) f (p) = Dễ thấy điểm cân hệ điểm bất động ánh xạ ' , hay nói cách khác m m t 1.19 x(t) = p 1.20 nghiệm phương trình vi phân 1.21 Nghiệm x(t) gọi nghiệm tuần hoàn tồn số T > cho 1.22 x(t + T) = x(t) 1.23 với t Số T nhỏ gọi chu kỳ nghiệm tuần hoàn x(t) 1.24 Điểm p gọi điểm tuần hồn hệ (1.2) nằm quỹ đạo tuần hồn y = x(t) đó, tức tồn t cho p = x(t ) 1.25 Với " > 0, ký hiệu N"(p) "-lân cận điểm p, tức 1.26 Ng(p) = fx R : ||x — p\\ < "} m 1.27 Định nghĩa 1.1.2 Cho p điểm cân Nếu tồn e > cho với x N (p) mà 1.28 lim 't(x) = p, e 1.29 t——+^c 10 1.424 y' = —x 1.425 Ma trận hệ 1.426 1.427 J = 1.428 10 1.429 Phương trĩnh đặc trưng A + = 0, nên ta thu giá trị riêng A = ±i ảo 1.430 iR 1.431 "i 1.432 Vĩ vậy, điểm cân (0; 0) tâm 1.433 Ta muốn nghiên cứu trạng thái hệ gần với hệ có tâm Từ nguyên lý tuyến tính hóa, ta đốn hệ tuyến tính hóa y = Ay có tâm 0, hệ ban đầu x = F(x) có tâm xo 1.434 Suy đốn nói chung sai Chúng ta hây trường hợp tuyến tính Đối với hệ tuyến tính hai chiều vừa xét 0 1.435 x = y 1.436 y' = —x 1.437 với giá trị riêng ±i, gốc (0; 0) điểm cân bằng, tất nghiệm 1.438 x = C cos t + C2 sin t 1.439 y = — C1 sin t + C2 cos t 1.440 quỹ đạo tuần hồn chu kỳ 2, v: đường trịn đồng tâm1 (0; 0) (xem hình dưới) 1Tên gọi tâm điểm xuất phát từ ví dụ tiêu biểu y 1.441 1.442 Bây ta nhiễu hệ số ma trận sau 1.443 Ma trận K có giá trị riêng ỏ ± i Với ỏ < 0, hệ u' = Ku ổn định (hút) Với ỏ > 0, hệ u' = Ku không ổn định (đẩy) Như vậy, với ỏ nhỏ khác khơng, hệ tuyến tính u' = Ku khơng có tâm, dù gần với hệ có tâm u' = Ju 1.444 Tóm lại dù hệ tuyến tính hóa y' = Ay có tâm 0, điểm cân x hệ ban đầu x' = F(x) điểm hút, điểm đẩy, điểm n ngựa, nghĩa tâm khơng bảo tồn 3.2 Hệ vi phân Hamilton 1.445 Có lớp hệ phi tuyến bảo toàn tâm Lyapunov: lớp hệ vi phân Hamilton 1.446 Định nghĩa 3.2.1 Cho hàm trơn H (gọi hàm Hamilton hàm lượng) H : R2 1.447 R 1.448 Hệ vi phân Hamilton hàm H hệ 1.449 dH ' x 1.450 y 1.451 1.452 Ví dụ 3.2.2 Phương trình sau Hamilton ' 1.453 x' = x + y — 2xy d'H dx ’ @y (3.1) y' = -y + y2 - x 1.454 với hàm Hamilton 1.455 1.456 Thật vậy, 1.457 H(x ; y) = xy + 3y3 - xy2 + 2x2 H 'x = (xy +31 y3 - xy2 + 1X2}2= y/ x- y2 + x = -y' \ 1.458 1.459 ' y V H' = ( xy + 7-y — xy2 + 2 27-JyX ) = X + y — 2xy = x' 1.460 Ví dụ 3.2.3 Xét hệ vi phân mơ hĩnh lắc đơn khơng có ma sát ngoại lực tác dụng 1.461 x" + k sin x = 1.462 x khoảng cách góc so với chiều thẳng đứng, k = g/l với độ dài lắc l gia tốc trọng trường g Đặt y = x', ta có hệ vi phân sau 1.463 {x' 1.464 y' =y = — sin x 1.465 Các dẫn dắt vật lý cho ta biểu thức lượng hệ 1.466 E (x,y) = y- + — cos x 1.467 Dọc theo quỹ đạo y(t) = (x(t),y(t)), ta có 1.468 dE dEdx , dE dy 1.469 dt dx dt dy dt 1.470 = (sin x)x' + yy' 1.471 = y sin x — y sin x = 1.472 nghĩa lượng bảo toàn dọc theo quỹ đạo 1.473 Chú ý hệ vi phân hệ Hamilton với hàm Hamilton hàm lượng E 3.3 Tâm Lyapunov bảo to àn 1.474 Trong hệ Hamilton, vị trí cân với giá trị riêng ảo có lân cận chứa quỹ đạo tuần hoàn 1.475 Chúng ta nghiên cứu Định lý tâm Lyapunov trường hợp hai chiều cho đơn giản không giảm tổng quát 1.476 Định lý 3.3.1 (Định lý bảo toàn tâm Lyapunov) Giả sử O tâm hệ Hamilton (3.1) ±bi giá trị riêng đơn ma trận Jacobi A trường véctơ O Thêm giả sử khơng có giá trị riêng khác A bội nguyên bi 1.477 Khi đó, lân cận U O chứa quỹ đạo tuần hoàn y, chu kĩ 2^ 1.478 nghiệm tiến dần tới y tiến O 1.479 Định lý chứng minh dựa vào Định lý rẽ nhánh Hopf Để chứng minh, ta xây dựng họ tham số phương trình vi phân mà (3.1) có thành phần a = Sau rẽ nhánh Hopf xảy a = 0, khơng có thành phần với a = có quỹ đạo tuần hoàn Khả quỹ đạo tuần hoàn bắt nguồn từ điểm rẽ nhánh Hopf phải xảy với a = 0, nghĩa chúng quỹ đạo tuần hoàn xung quanh tâm 1.480 Chứng minh • Bước 1.481 Từ (3.1) ta suy H0(v) = 0, v(x,y) 1.482 H0(v) = dH dx + dH dy dx dt dy dt 1.483 Do đó, Halmiton H số dọc theo nghiệm 1.484 Tổng quát: H R suy (x1, ,x ; y1, ,y ) R Khi đó, hai phương 2n dxi dt d Vi dt n dH @yi’ @i 2n i = 1, n dH x n , i = 1, n trình (3.1) trở thành hệ 2n phương trình 1.485 1.486 1.487 Bây giờ, giả sử Hamilton thỏa mân giải thiết hai chiều Định lý tâm Lyapunov; gốc O cân ±bi giá trị riêng ma trận Jacobi O Nhúng hệ Hamilton vào họ tham số dH phương trình vi phân @y @ 1.488 dH H x’ @x = a-dx 1.489 @H y’ = '';, @y 1.490 với a tham số vô hướng (a R) Khi a = 0, (3.2) trở thành (3.1) (3.2) 1.491 1.492 • Bước Chỉ f(a, O) : a Rg đường cân 1.493 Ta có điểm cân thỏa mân 1.494 dỳ (x’y) =0 1.495 = @H, 1.496 dỂ ' 1.497 Do O tâm Lyapunov (3.1) nên 1.498 1.499 Suy O = (0’ 0) điểm cân với a /ỠH\ dx dH \dy / Sử dụng kí hiệu gradH = dạng ma trận dạng 1.501 1.502 1.504 1.505 1.506 J = \ -1 1, ta viết (3.2) 1.500 @x 1.503 v' = (ai + J )gradH (v) • Bước Chỉ khơng có quỹ đạo tuần hồn (3.2) với a = Lấy (x (t)’y (t)) nghiệm (3.2) Ta có a 1.507 1.508 a dH (x (t)_u (t)) = @H' + @H ■di dx dt dy dt 1.509 _dH ( dH dH \ dH ( dH dH 1.510 1.511 dx \ dx + dy J dy ự @y a ((@H)■' + (@H)") @x 1.512 = a||gradH 112 = 1.513 Như ta thấy lượng tăng giảm, nói riêng khơng tuần hồn 1.514 Mục tiêu chứng minh (3.2) có rẽ nhánh Hopf a = 0, trường hợp tất quỹ đạo tuần hoàn rẽ nhánh xảy gốc O 1.515 (gốc Hamilton) Cuối cùng, cần đường giá trị riêng hệ tuyến tính cắt trục ảo ib a = 1.516 Lấy f (v) = (ai + J)gradH(v) Khi a D f (v) v a 1.517 = / d2 H d2H a dx + dydx d2H ẵ2H \dydx dx2 d2H d2HÁ dxdy + dy2 d 2H d H a dy2 dxdy/ 1.518 Do đó, D f (0) = (ai + J)M, v a 1.519 í @2H 1.520 Ơ H 1.521 1.524 1.522 M =ƠHessian H = s, dxdy H 1.523 Ơ H \dydx 1.525 2 2 1.526 1.527 1.528 • Bước Dễ thấy M ma trận đối xứng theo Định lý Schwartz ta có 1.529 Ơ2H _ d H 1.530 dxdy dydx 1.531 Ta chứng minh M ma trận đối xứng 1.532 b\ a 1.533 Đê tiện tính tốn gia sứ ma trận đối xứng M có dạng M = với cì 1.534 b detM = ac — b = Khi M-1 = 1.535 c —b\ 1.536 ac - b2 \-b 1.537 Vậy M-1 ma trận đối xứng 1.538 • Bước Có thể 1.539 v' = JMv (3.3) 1.540 hệ Hamilton với hàm Hamilton E(v) = Iv Mv T 1.541 • Bước Lấy c(a) + d(a)i đường (path) giá trị riêng 1.542 Dv fa(0) = (ai + J)M 1.543 Theo bước bước 4, a = c(a) = 1.544 • Bước 1.545 Nếu A giá trị riêng (ai + J)M, — A giá trị riêng (—ai + J )M 1.546 Gia sứ A giá trị riêng (ai + J)M 1.547 det((ai + J)M - Ai) = 1.548 Ta có 1.549 det((ai + J)M - XI) = detM-1 [(ai + J)M - XI] M T T 1.550 = detM- [M (ai + J) - AI] M 1.551 = det(M~1MT(ai + J)TM - M-1XIM) 1.552 = det((ai + J) M - XI) 1.553 = det(—(—ai + J )M + XI) T T 1.554 Như thế, 1.555 det(—(—ai + J )M + XI) = 1.556 hay —X giá trị riêng (—ai + J)M 1.557 • Bước Sử dụng bước bước 7, ta kết luận giá trị riêng 1.558 D f (0) cắt trục ảo ±bi a = 1.559 • Bước Từ phiên yếu (tức phiên hai chiều trình bày v a 1.560 trên) Định lý rẽ nhánh Hopf, ta suy chu kì quỹ đạo tuần hoàn tiến 2K 1.561 y với quỹ đạo tuần hoàn lân cận gốc O 1.562 1.563 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: 1.Trình bày lại khái niệm bản, tính tốn chi tiết minh họa hình học số ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân khơng gian chiều, hai chiều Trình bày định lý rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa phương trình vi phân chiều, rẽ nhánh Hopf phương trình vi phân hai chiều Áp dụng định lý để xác định loại rẽ nhánh cho phương trình vi phân khơng gian chiều, hai chiều Trình bày định lý tâm Lyapunov 1.564 Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 1.565 Tài liêu tham khảo 1.566 Tiếng Viêt [1] Lê Huy Tiễn (2019), Bài giảng hệ động lực (đang viết), Hà Nội 1.567 Tiếng Anh [2] K T Alligood, T D Sauer, and James A Yorke (1996), An introduction to dynamical systems, New York [3] D K Arrowsmith and C M Place (1990), An introduction to dynamical systems, Cambridge University Press [4] W E Boyce, R C Diprima, and D B Meade (2017), Elementary differential equations and boundary value problems, John Wiley Sons, Inc [5] A Dawes, Bifurcation theory for discrete time 1.568 systems, http://www.math.ualberta.ca/~atdawes/m371_2010/discre te_ bifurcation.pdf [6] J Guckenheimer and P Holmes (1983), Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, New York [7] J K Hale and H Kocak (1991), Dynamics and bifurcations, SpringerVerlag, New York [8] J H Hubbard and B H West (1995), Differential equations: a dynamical systems approach: higher-dimensional Systems, Springer-Verlag, New York [9] Y A Kuznetsov (2004), Elements of applied bifurcation theory, Springer- Verlag, New York [10] L Perko (2006), Differential equations and dynamical systems, SpringerVerlag, New York [11] S H Strogatz (2018), Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, CRC Press Taylor & Francis Group [12] S Wiggins (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer-Verlag, New York ... chương trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf Chương Sự bảo toàn tâm Lyapunov Trong chương ta tìm hiểu định nghĩa định lý tồn tâm Lyapunov... „0 0 1.319 @x3 ( ) = — = 1.320 Theo Định lý 2.3.1 điểm xảy rẽ nhánh dĩa (0; 0) 2.4 Rẽ nhánh Hopf 1.321 Rẽ nhánh Hopf hay rẽ nhánh Andronov -Hopf tượng rẽ nhánh sinh quỹ đạo tuần hồn 1.322 Trong... bằng, ta gọi rẽ nhánh rẽ nhánh "dĩa" Lý ta gọi rẽ nhánh rẽ nhánh "dĩa" quan sát lược đồ rẽ nhánh (Hình 1.5), ta thấy hình dáng đồ thị giống dĩa 1.100 1.101 Hình 1.5: Lược đồ rẽ nhánh dĩa không