Đang tải... (xem toàn văn)
Một trong những lĩnh vực rất quan trọng trong toán học đó là lĩnh vực liên quan đến hàm số, có thể nói hàm số xuất hiện và đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực của toán học nh[r]
(1)ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH VÀ SONG ÁNH TRONG CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
I MỞ ĐẦU
“Tốn học khơng phải sách gói gọn tờ bìa mà người ta cần kiên nhẫn đọc hết nội dung, tốn học khơng phải một vùng mỏ quý mà người ta cần có thời gian để khai thác; tốn học khơng phải cánh đồng bị bạc màu vụ thu hoạch; tốn học cũng khơng phải lục địa hay đại dương mà ta vẽ chúng lại Tốn học khơng có giới hạn khơng gian mà cảm thấy chật chội cho khát vọng nó; khả tốn học vơ hạn bầu trời đầy sao; ta khơng thể giới hạn toán học quy tắc hay định nghĩa giống sống ln ln tiến hóa”
Sylvester
“Việc quan trọng khơng ngừng suy nghĩ Tính tị mị có lí riêng nó Con người bị lo sợ suy ngẫm bí ẩn vô tân, đời sống, cấu trúc tuyệt vời thực tế Nếu người ta ngày thấu hiểu chút những bí ẩn này, đủ Hãy đừng tò mị thiêng liêng”
(2)“Phương trình quan trọng trị, trị cho đại cịn phương trình cho vĩnh cửu”
Abert Einstein Vĩnh Yên, tháng 07-2011
Trần Ngọc Thắng II NỘI DUNG
A. PHẦN LÝ THUYẾT 1 Ánh xạ
1.1 Định nghĩa.Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với (và một) phần tử Y Phần tử gọi ảnh của x qua ánh xạ f kí hiệu f(x)
(i) Tập X gọi tập xác định f Tập hợp Y gọi tập giá trị f (ii) Ánh xạ f từ X đến Y kí hiệu
:
f X Y
x y f x
(iii) Khi X Y tập số thực, ánh xạ f gọi hàm số xác định X
(iv) Cho aX y, Y Nếu f a y ta nói y ảnh a a nghịch ảnh y qua ánh xạ f
(v) Tập hợp Y y Y x X y, f x gọi tập ảnh f Nói cách khác, tập ảnh
f X tập hợp tất phẩn tử Y mà có nghịch ảnh 2 Đơn ánh, tồn ánh, song ánh
2.1 Định nghĩa. Ánh xạ f X: Y gọi đơn ánh với aX b, X mà abthì f a f b , tức hai phần tử phân biệt có hai ảnh phân biệt.
Từ định nghĩa ta suy ánh xạ f đơn ánh với aX b, X mà
(3)2.2 Định nghĩa.Ánh xạ f X: Y gọi toàn ánh với phần tử yY đều tồn phần tử xX cho y f x Như f toàn ánh nếu Y f X
2.3 Định nghĩa. Ánh xạ f X: Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như ánh xạ f X: Y song ánh với
yY , tồn phần tử xX để y f x 3 Ánh xạ ngược song ánh
3.1 Định nghĩa. Ánh xạ ngược f, kí hiệu
f , ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử yY phần tử xX cho y f x Như
1
f x y f x y
3.2 Chú ý. Nếu f song ánh ta khơng thể định nghĩa ánh xạ ngược f Do nói đến ánh xạ ngược f song ánh
4 Ánh xạ hợp
4.1 Định nghĩa. Nếu g A: B f B: C g A B ánh xạ hợp :
f g AC xác định
f g a f g a Kí hiệu n
n
p p p p
5 Một số kí hiệu : Tập số tự nhiên
*: Tập số nguyên dương : Tập số hữu tỷ
: Tập số hữu tỷ dương
: Tập số nguyên
: Tập số nguyên dương
: Tập số thực
: Tập số thực dương
(4)BÀI T11/409 (THTT, THÁNG 07-2011). Tìm tất hàm số f : , liên tục thỏa mãn điều kiện
f xy f x y f xy x f y ,x y, (1) LỜI GIẢI
Thay y1 vào (1) ta được:
f x f x 1 f 2x f 1 , x (2)
1 2 1
f x f x f x f
f x f x 1 f 2x f 1 f x 1 f x 2 f 2x2
2 2 2 2 ,
f x f x f x f x x Do ta thu được:
2 ,
2 2k 2k
x x x x
f x f x f f f f k
2 lim 2 0
2k 2k
k
x x
f x f x f f f f
Từ suy ra:
f x 2 f x f 2 f 0 , x (3) Với n số nguyên dương đẳng thức (3) ta thu được:
2 2 0
f x n f x n f f
2 4 2 0
f x n f x n f f
2 2 0
f x f x f f
Cộng vế đẳng thức ta được:
f x 2nn f 2 f 0 f x , n 1,x (4) Tương tự ta có:
f x 2n 1 n f 2 f 0 f x 1 , n 1, x (5) Thay y2n vào (1) kết hợp với đẳng thức (4) ta được:
2 2 2 1 2 2
f n x f n f nx f x n f n x f nx f x n f n
f 2n1x f 2nxn f 2 f 0 f x 1 n f 2 f 0 f 1
f 2n1x f 2nx f x f 0 (6) Tương tự ta có đẳng thức:
f2nx f 2n1x f x 1 f 1 (7) Từ đẳng thức (6) (7) ta có:
2 2 1 1 1
f nx f n x f x f
2 2 0
(5)
2 1 1
f x f x f x f
Cộng vế đẳng thức ta được:
2 1 1 1 0
f nx f x n f x f n f x f
2 1 1 1 0
f nx n f x f x f n f
Kết hợp với đẳng thức (2) ta được:
2 2 1 0 ,
f nx nf x n f x f nx nf x n1 f , x (8)
Trong (8) thay n2,x1 ta được:
2 1 0 2 1 0 2 0 0 1 1 0 1
f f f f f f f f f f f f
Đặt a f 1 f 0 ;b f 0 Khi với số nguyên dương n từ đẳng thức (8) ta được:
1 1 0
f n nf n f an b
1 1
f n nf n f f a b
n n n n
1 1
f n nf n f f a b
n n n n
Với số hữu tỷ r biểu diễn dạng r m n
, * ,
m n nên theo đẳng thức (8) đẳng ta được:
1
m
f r f m mf n f a b ar b
n n n
f r arb (9)
Với x , tồn dãy số hữu tỷ xn hội tụ đến x nên từ đẳng thức (9) tính
liên tục f suy f x ax b Thử lại thấy thỏa mãn
Bài (IMO 1988). Tìm tất hàm * * :
f thỏa mãn đẳng thức:
f f m f n m n,
với *
,
m n
Lời giải. Thay mn vào đẳng thức ta f 2f n 2n (1), từ đẳng thức ta có: f n 1 f n 2 f f n 1 f f n 2 2n12n2 n1 n2 hay suy f đơn ánh
Ta có 2n n n n n f f n 1 f n 1 f f n f n , f đơn ánh nên f n 1 f n 1 2f n , n (2)
Từ đẳng thức (2) ta có:
1 1 2 2 1
f n f n f n f n f f a, suy
1 1
(6)Thay f n an b vào phương trình ban đầu ta a1,b0
Vậy *
,
f n n n
Nhận xét. Bằng cách làm tương tự ta giải tập sau: Bài (Canada 2008). Tìm tất hàm số f : thỏa mãn đẳng thức:
2
f f x f y xy, Với x y,
Bài (Mở rộng Canada 2008). Tìm tất hàm số f : thỏa mãn đẳng thức:
2
f f x f y xy, Với x y,
Bài (Balkan MO 2009). Kí hiệu *
tập hợp số nguyên dương Tìm tất
các hàm * *
:
f thỏa mãn đẳng thức:
2 2
2
f f m f n m n ,
Với *
,
m n
Lời giải. Nếu * 1,
m m cho
1 2
f m f m ff2 m1 2f2 n f f2 m2 2f2 n m122n2 m222n2, suy m1 m2 hay f đơn ánh
Dế thấy với *
,
n n ta có:
2 2 2 2
2 2
n n n n Từ đẳng thức kết hợp với phương trình cho ta được:
2 2 2
2 2
f f n f n f f n f n , f đơn ánh nên ta có:
2 2 2 2
2 2
f n f n f n f n (1) Từ đẳng thức (1) ta có:
2 2 2
2 2
2 1
3 2
f n f n f n f n f n f n
f f f a
(7)
2 2
2 2
2 2
2 2
1
2
1 2
2
f n f n f n f n a
f n f n f n f n a
f n f n f f a n
f n f n f f a n
2 2
f f f f
Cộng vế đẳng thức ta được:
2 2 2 2 1 2
1
2
a n n
f n f n f f (2) Từ đẳng thức (2) ta suy 2
f n có dạng: 2
f n bn cnd (3) Mặt khác phương trình ban đầu cho mn ta được:
2
3
f f n n (4) Từ (3) (4) ta thu b1,c d Vậy f n n, với n *
Nhận xét. Bằng cách làm tương tự ta giải toán sau:
Bài (HSG Lớp 10 Vĩnh Phúc 2011). Kí hiệu tập hợp số tự nhiên Giả sử f : hàm số thỏa mãn điều kiện f 1 0
2 2 2 2
2
f m n f m f n , với m n, Tính giá trị f 2 f 2011
Bài (Indonesia TST 2010). Xác định tất số thực a cho có hàm số :
f thỏa mãn:
,
x f y af y f x
với x y,
Lời giải
Dễ thấy a0 không thỏa mãn Do a0, thay y0 vào đẳng thức ta được:
f f x x f 0 a
(1) Từ đẳng thức (1) suy f toàn ánh nên tồn x cho f x 0 Khi từ phương trình ban đầu ta có:
1
(8)Từ đẳng thức (2) xẩy a1 f y const
+) Nếu f y const khơng thỏa mãn phương trình ban đầu
+) Nếu a1 lấy f x x, với x thỏa mãn toán Vậy a1
Bài (MEMO 2009) Tìm tất hàm số f : thỏa mãn đẳng thức:
f xf y f f x f y yf x f x f y , Với x y,
Lời giải
+) Nếu f x 0 với x , thử vào phương trình cho ta thấy thỏa mãn
+) Nếu tồn a cho f a 0 Khi với y y1, 2 cho f y 1 f y 2 , từ phương trình thay x a y y y1, ta được:
1 1
f af y f f a f y y f a f a f y (1)
2 2
f af y f f a f y y f a f a f y (2)
Từ (1) (2) ta y f a1 y f a2 y1 y2 Vậy f đơn ánh
Thay x0,y1 vào phương trình ta được: f 0 f f 0 f 1 f 0 f f 1 , sử dụng f đơn ánh ta f 0 0
Mặt khác thay y0 phương trình sử dụng f 0 0 ta được:
0 0
,
f xf f f x f f x f x f
f f x f x f x x x
Vậy f x 0, x f x x, x
Bài (T11/407 THTT tháng - 2011). Tìm tất hàm số f xác định tập
, lấy giá trị thỏa mãn phương trình
f x y f y f f x y,
với số thực x y, Lời giải
(9)
0
0 (4)
f f f y y f y f f f f y y
f y f f f f f y y
Từ (4) lần thay y y y1, ta
1 1
2 2
0
0
f y f f f f f y y
f y f f f f f y y
Từ hai đẳng thức kết hợp với (2) (3) ta y1 y2 Vậy f đơn ánh Do từ (1) ta có f x x f 0 thử lại thấy thỏa mãn
Bài (IRAN TST 2011) Tìm tất song ánh f : cho:
2 2
f x f x f y f x f y , Với x y, (42)
Lời giải
Do f toàn ánh nên với x tồn t cho
x f x f t x Khi thay vào phương trình ban đầu ta được:
f 2x f 2x f 2t f 2t 0 (1) Thay x y 2tvào phương trình hàm ban đầu kết hợp với (1) ta được:
f 2t f 2t 2f 2t 2f 4t f 4t 0 (2) Từ (1), (2) f đơn ánh nên ta có:
4 2
2
x f x
f t f t t t t x f x x
Vậy f x x, với x
Bài 10. Xét tất hàm đơn ánh f : thỏa mãn điều kiện:
f x f x x,
với x Chứng minh hàm số f x x song ánh.(19) Lời giải
Đặt g x f x x f x g x x Khi từ phương trình ban đầu ta được:
g x f x x f x xg g x g x x Do ta có
g g x g x 2 , x x (1) +) Ta chứng minh g đơn ánh Thật với x x1, 2 cho g x 1 g x 2 suy
1 2 2
(10)+) Ta chứng minh g toàn ánh Thật với x ta có:
2 2
f x f x f x
f x f f
kết hợp với f đơn ánh ta thu được:
2 2
f x f x f x
x f g
Đẳng thức chứng tỏ g tồn ánh
Do g song ánh hay f x x song ánh
Bài 11. Xét tất hàm f g h, , : cho f đơn ánh h song ánh
thỏa mãn điều kiện f g x h x , với x Chứng minh g x hàm song ánh Lời giải
+) Ta chứng minh g x đơn ánh Thật với x x1, 2 cho g x 1 g x 2 suy f g x 1 f g x 2 h x 1 h x 2 x1x2 (do h song ánh) Từ suy g đơn ánh
+) Ta chứng minh g x là toàn ánh Thật với x h song ánh nên tồn y cho
f x h y f g y x g y (do f đơn ánh) Từ suy g toàn
ánh
Vậy g x hàm song ánh
Bài 12. Xét tất hàm f : 0 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) f x y f x f y , với x y, 0
(ii) Số phần tử tập hợp x f x 0, x 0 hữu hạn Chứng minh f hàm đơn ánh.(25)
Lời giải
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng *
, ,
f nx nf x n x (1) Thay x y 0vào phương trình ban đầu ta f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 Giả sử x x1, 2 0 cho f x 1 f x 2 Khơng tính tổng quát ta giả sử x1x2 Khi theo điều kiện (i) ta được:
f x 1x2 f x 2 f x 1 f x 1x20 (2) Từ (1) (2) ta thu được: f n x 1x2nf x 1x20, với
*
n Từ kết
(11)Bài 13 (Shortlist IMO 2002). Tìm tất hàm số f : thỏa mãn điều kiện:
f f x y x f f y x , với x y,
Lời giải
+) Ta chứng minh f toàn ánh Thật vậy, thay y f x vào phương trình ban đầu ta được:
0 0
f x f f f x x f f f x x f x, suy f toàn ánh
+) Do f toàn ánh nên tồn a cho f a 0 +) Thay xa vào phương trình ban đầu ta được:
f y 2a f f y a f f y a a f y a (1) +) Do f toàn ánh nên với x tồn y cho x a f y Do từ
đẳng thức (1) ta thu được: x f x a f x x a, x Thử lại ta thấy thỏa
mãn điều kiện Vậy f x x a
Bài 14. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f f x f y f x y f y , với x y, (17)
Lời giải
Với y y1, 2 cho f y 1 f y 2 f f x 2f y 1 f f x 2f y 2 suy
1 2
f x y f y f x y f y y y Do f song ánh
Thay y f x vào phương trình ban đầu ta được:
2
f f x f f x f f x
f x f f x f x
f f x f x , x (1) Thay x f y vào phương trình ban đầu ta được:
2
, y
f f f y f y f f y y f y
f f y f y y f y y
Suy f tồn ánh
Do với x tồn t cho x f t Từ đẳng thức (1) ta có:
,
(12)Bài 14. Tìm tất hàm f : thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f f x y x f y , với x y,
(ii) Với x tồn y cho f y x.(27) Lời giải
Với x x1, 2 cho f x 1 f x 2 nên từ điều kiện (i) ta được:
2
f f x y f f x y x f y x f y x x suy f đơn ánh Thay x y vào phương trình điều kiện (i) ta được:
f f 0 f 0 f 0 0 (1) Thay y0 vào phương trình điều kiện (i) kết hợp với (1) ta được:
f f x x f 0 f f x x (2) Thay x f x phương trình điều kiện (i) kêt hợp với (2) ta được: f f f x y f x f y f x y f x f y (3) Với x0, tồn y0 cho x f y f f x y f x Từ suy với
mọi x0 f x 0
Ta chứng minh f hàm đồng biến Thật với x x1, 2 ,x1 x2 kết hợp với (3) ta có: f x 1 f x 1 x2 x2 f x 1x2 f x 2 f x 2 suy f hàm số đồng biến
Do hàm số f đồng biến đẳng thức (2) ta thu được: f x x, x Vậy f x x, x
Bài 14 (France 1995). Cho hàm số * * :
f song ánh Chứng minh tồn ba số nguyên dương a b c, , cho a b c f a f c 2f b
Ta chứng minh toán tổng quát toán Bài 15. Cho hàm số * *
:
f song ánh Chứng minh tồn bốn số nguyên dương a b c d, , , cho a b c d f a f d f b f c
Lời giải
Do f song ánh từ *
đến *
nên tồn n cho f(1) f n( )
*
: (1) ( )
M n f f n tập khác rỗng *nên tồn phần tử nhỏ M, kí hiệu b, b1 f b( ) f(1) Gọi c phần tử nhỏ tập M \ b , kí hiệu c, 1 b c f c( ) f(1) Từ f song ánh nên tồn *
d cho ( ) ( ) ( ) (1)
(13)Từ đẳng thức suy f d( ) f b f d( ), ( ) f c( ) d c b Do tồn *
, , ,
a b c d cho a 1 b c d f a( ) f d( ) f b( ) f c( ) Bài 16 (THTT Tháng 1/2011). Với *
n , kí hiệu an số tất song ánh
: 1, 2,3, , 1, 2,3, ,
f n n thỏa mãn điều kiện với k1, 2,3, ,n
f f k k
1) Chứng minh an số chẵn với n2 2) Chứng minh với n10 n an an9
Chứng minh. Ta có an tổng số song ánh thỏa mãn f n n số
song ánh thỏa mãn f n n Chú ý với f n n f n 1, 2,3, ,n1 nên
f n có n1 cách chọn Do ta có đẳng thức sau:
1 2,
n n n
a a n a n , với ý a0 a1 1
1) Bằng quy nạp ta chứng minh an số chẵn với n2 2) Từ đẳng thức ta chứng minh dễ dàng đẳng thức:
2 2 3 4,
n n n
a n a n n a n
3 3
n n n n
a a n a n n a
3 mod
n n
a a
n0 mod 3 Từ ta suy ra:
9 3 6 mod , 10
n n n n n n n n
a a a a a a a a n Bài 16. Tìm tất hàm số f : thỏa mãn điều kiện:
f x y f xy f f xy xy,
với số thực x y, (1) Lời giải
Trước hết ta chứng minh f hàm đơn ánh Thật vậy, xét hai số a,b
Chọn s cho 2
4 ;
s a s b Khi phương trình
0
t st a có hai nghiệm pbiệt t t1, 2
0
t st b có hai nghiệm pbiệt t t3,
Trong (1) thay (x,y) ( , ); ( , )t t1 t t3 ta được:
f s f a f f s a
f s f b f f s b
Từ f a( ) f b( ) a = b suy f đơn ánh
(14)Vậy f x x a, a số C. PHẦN BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 17. Tìm tất hàm * * :
f thỏa mãn điều kiện sau:
(i) f toàn ánh;
(ii) m ước n f m ước f n Bài 18 Tìm tất hàm * *
:
f thỏa mãn điều kiện:
1
f m f n n f m ,
với *
,
m n
Bài 19 (CH Séc 2006). Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
2006
f f x y x f y , với x y,
Bài 20 (Rumani 1988). Cho * * :
f toàn ánh * * :
g đơn ánh cho với số nguyên dương n ta có f n g n Chứng minh
f g
Bài 21 (IMO Shortlist 1995). Chứng minh tồn hàm số * *
:
f cho với số nguyên dương m n, ta có:
95
f m f n n f m Tính tổng 19
1
k
f k
Bài 22. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f x f x y x f f x f y , với x y, (9)
Bài 23 (Olimpiad Áo – Balan 1997). Chứng minh không tồn hàm số :
f cho với số nguyên x y, ta có f x f y f x y Bài 24. Xét tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f x f x y x f x f y , với x y, Chứng minh f song ánh (8) Bài 25. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f f x f y x f y f xy , với x y, (13)
Bài 26. Tìm tất hàm f : 0 0 thỏa mãn điều kiện:
(15)với x y, (14)
Bài 27. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f x f x f y x f x y f y , với x y, (15)
Bài 28 (Olimpic 30-04-2009). Cho hàm số * * :
f thỏa mãn điều kiện:
2009
mn chia hết cho f m f n , với m n, * Chứng minh
1 , , ,
f f f lập thành cấp số cộng với cơng sai dương
Bài 29. Có tồn hay không song ánh thỏa mãn điều kiện:
1 2
f f f n n, với số nguyên dương n
Bài 30. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f x f x y x f x f y , với x y, Chứng minh f 0 0.(11)
Bài 31. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f x f x y x f y f y , với x y, (10)
Bài 32 Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
2
f x f y x f x y f y , với x y, (16)
Bài 33. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
f x f x f y x y f y , với x y, (20)
Bài 34. Tìm tất hàm f : thỏa mãn điều kiện:
2
f x f y x f x y, với x y, (22)
Bài 35. Tìm tất hàm số f : 0 thỏa mãn điều kiện:
2
x f x
f y f x y
,
với x y, 0 (23)
Bài 36. Tìm tất hàm số f : 0 0 thỏa mãn điều kiện:
2
x f x
f y f x y
,
(16)Bài 37. Tìm tất hàm số f : thỏa mãn điều kiện:
f f f x f y z x f y f f z , với x y z, , (29)
Bài 38 (Morocco 2011). Tìm tất hàm số f : thỏa mãn điều kiện:
x2 f y f y 2f x f x yf x , với x y,
Bài 39. Tìm tất hàm số f : 0 0 thỏa mãn điều kiện:
f x f x f y f x y f y , với x y, 0 (44)
Bài 40 (Shortlist IMO 2007). Tìm tất hàm số f : thỏa mãn điều kiện:
f x f y f xy f y , với x y,
Bài 41 (Macedonia NMO 2008). Tìm tất hàm đơn ánh * * :
f thỏa
mãn điều kiện:
n f n
f f n , với n *
Bài 42 (Macedonia NMO 2007). Cho n số tự nhiên chia hết cho Xác định số song ánh f : 1, 2, , n 1, 2, ,nsao cho:
1
1
f j f j n , với j1, 2, , n
Bài 43. Tìm tất hàm số * * :
f thỏa mãn điều kiện:
f f n n, với số nguyên dương n
Bài 44. Cho X tập hữu hạn, cho song ánh f g X, : X thỏa mãn điều kiện với xX ta có: f f x g g x f g x g f x hai Chứng minh với xX , ta có f f f x g g g x
f f g x g g g x
Bài 45 (APMO 1989). Cho hàm số f tăng thực , nhận giá trị thực tập số thực Giả sử tồn hàm ngược
f Tìm tất hàm số f cho
1
2
f x f x x, với số thực x
Bài 46. Cho hàm số f g, : Chứng minh hàm số f g không
(17)Bài 47. Cho toàn ánh f : Chứng minh tồn hai hàm toàn ánh , :
g h cho f gh
Bài 48. Tìm tất hàm số f : thỏa mãn điều kiện:
2
f xf x f y f x y, với x y,
Bài 49. Cho mn hai số nguyên dương Chứng minh số toàn ánh
: 1, 2, , 1, 2, ,
f m n
1
1
n
k k m
n k
C n k
Bài 50 (Shortlist 1996). Cho U tập hợp hữu hạn cho f g, toàn ánh từ U vào U Đặt
:
S U f f g g , T U: f g g f ,
và giả sử U S T Chứng minh với U, f S g S Bài 51 (Shortlist 2009) Tìm tất hàm số f : thỏa mãn điều kiện: