Đang tải... (xem toàn văn)
Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày một số vấn đề của lý thuyết số tổ hợp. Cụ thể, luận văn trình bày về Định lý Van der Waerden về sự tồn tại một cấp số cộng đơn sắc trong một tập số tự nhiên liên tiếp được tô màu, về Định lý Szemerédi về mật độ cấp số cộng trong tập hợp các số tự nhiên liên tiếp, về khái niệm hệ phủ đồng dư và ứng dụng trong giải toán, về số Ramsey và tập đơn sắc trong bài toán tô màu.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN XUÂN VINH VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN, SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN XUÂN VINH VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN, SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Tổng quan lý thuyết số tổ hợp 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 1.1.2 Số Van der Waerden 1.1.3 Định lý Szemerédi 1.2 Hệ phủ đồng dư 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Giả thuyết Selfridge Schinzel số toán Số Ramsey tập đơn sắc 2.1 Số Ramsey 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất số Ramsey 2.1.3 Tiệm cận số Ramsey 2.1.4 Số Ramsey cho trường hợp tổng quát 2.2 Tập đơn sắc 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Tập đơn sắc vấn đề liên quan Kết luận Tài liệu tham khảo 4 10 10 13 16 16 16 17 18 22 27 27 28 34 35 Mở đầu Lý thuyết số tổ hợp chủ đề nhiều người quan tâm nghiên cứu lý thuyết số Các kết lý thuyết số tổ hợp có nhiều ứng dụng nghiên cứu môn khoa học khác ứng dụng vào vấn đề thực tế Ngoài ra, nhiều vấn đề lý thuyết số tổ hợp đề cập đến đề thi học sinh giỏi tốn Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày số vấn đề lý thuyết số tổ hợp Cụ thể, luận văn trình bày Định lý Van der Waerden tồn cấp số cộng đơn sắc tập số tự nhiên liên tiếp tô màu, Định lý Szemerédi mật độ cấp số cộng tập hợp số tự nhiên liên tiếp, khái niệm hệ phủ đồng dư ứng dụng giải toán, số Ramsey tập đơn sắc toán tơ màu Ngồi phần kết luận, mở đầu tài liệu tham khảo nội dung luận văn trình bày thành chương: Chương 1: Tổng quan lý thuyết số tổ hợp Mục đích chương trình bày Định lý Van der Waerden, Định lý Szemerédi, nêu vài giá trị biết số Van der Waerden số vấn đề liên quan tới hệ phủ đồng dư Chương 2: Số Ramsey tập đơn sắc Mục đích chương trình bày khái niệm số Ramsey số kết số Ramsey, tập đơn sắc số vấn đề liên quan tới tập đơn sắc tốn tơ màu Luận văn hồn thành với hướng dẫn, bảo tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối đóng góp ý kiến sát thầy, cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên Qua luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn đến hướng dẫn tận tình thầy hướng dẫn thầy, trường Đại học Khoa học - Đại học thái nguyên góp ý sâu sắc, tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành luận văn Tơn xin trân trọng cám ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh, tập thể sư phạm trường THPT Lý Thường Kiệt tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Chương Tổng quan lý thuyết số tổ hợp Trong Chương 1, luận văn trình bày hai định lý, gồm Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi, vài giá trị biết số Van der Waerden khái niệm hệ phủ đồng dư Tài liệu tham khảo chương tài liệu [1], [4] 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi hai định lý quan trọng lý thuyết số nghiên cứu cấp số cộng mật độ cấp số, đồng thời hai định lý tiền đề để tìm hiểu phát triển kết cấp số cộng Nhắc lại cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d khơng đổi Ta biểu diễn cấp số cộng dạng sau: a, a + d, a + 2d, , a + (m − 1)d, , đó: m số nguyên dương bất kỳ, a, d ∈ R, a gọi số hạng d gọi công sai cấp số cộng Với n số tự nhiên, ta kí hiệu [n] = {1, 2, , n} tập hợp số tự nhiên từ đến n Cho tập hợp X t ∈ N, X(t) = {A ⊂ X, |A| = t} , tức X(t) tập hợp gồm tập X có lực lượng t 1.1.1 Định lý Van der Waerden 1927 Định lý Van der Waerden phát biểu rằng: Với hai số nguyên dương m, k cho trước tồn số nguyên N = N (m, k) cho với n ≥ N [n] tơ k màu ln tồn cấp số cộng đơn sắc độ dài m [n] Giả sử Định lý Van der Waerden chứng minh Do tập [n] tô k màu nên ta chia tập [n] thành k tập xác định k màu riêng biệt Theo Định lý Van der Waerden tồn tập k tập mà tồn cấp số cộng độ dài m Ta phát biểu lại Định lý Van der Waerden dạng sau: Định lý 1.1 Đối với cặp số tự nhiên k, l tồn số tự nhiên n(k, l) cho đoạn dãy số tự nhiên có độ dài n(k, l) phân hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, có lớp k lớp chứa cấp số cộng độ dài l Để chứng minh Định lý Van der Waerden, ta chứng minh định lý tổng quát hơn: Định lý 1.2 Cho trước dãy vô hạn số tự nhiên: t1 , t2 , , tq , (1.1) Đối với cặp số tự nhiên k, l tồn số tự nhiên n(k, l) cho đoạn dãy số tự nhiên có dộ dài n(k, l) phân hoạch theo cách tuỳ ý thành k lớp, có lớp mà tồn dãy số c1 , c2 , , cl thỏa mãn diều kiện sau: (c2 − c1 ) : (c3 − c2 ) : : (cl − cl−1 ) = t1 : t2 : : tl−1 Nói cách ngắn gọn, l số lập nên cấp số cộng tổng quát độ dài l tạo dãy số (1.1) Định lý Van der Waerden trường hợp riêng Định lý 1.2 trường hợp t1 = t2 = · · · = tq = · · · = Chứng minh Định lý 1.2 Đặt số hạng dãy (1.1) đơn vị: t1 Dễ thấy Định lý 1.2 hiển nhiên với l = với k (bởi số n(k, l) nhận giá trị k + 1), tức tồn cấp số cộng dãy có độ dài 2, điều Giả sử định lý với số l ≥ k Đặt: q0 = 1, n0 = n(k, l), qs = (1 + t1 )ns−1 qs−1 , ns = n(k qs , l) > (1.2) Ta chứng minh định lý với l + 1, tức số n(k, l + 1) lấy qk Giả sử đoạn dãy số tự nhiện có độ dài qk phân hoạch thành k lớp Hai số a b đoạn gọi loại chúng nằm lớp viết a ∼ b Hai đoạn (a, a + 1, , a + r) (a, a + 1, , a + r) có độ dài nằm đoạn gọi loại viết ∼ , a + j ∼ a + j, j = 0, 1, , r Rõ ràng đoạn có độ dài m, số loại khác k m Vì qk = (1 + tl )nk−1 qk−1 nên đoạn xem gồm hai phần không nhau: Phần bên trái dãy gồm nk−1 đoạn có độ dài qk−1 , cịn phần bên phải dãy gồm tl nk−1 đoạn có độ dài qk−1 Ta nói đoạn có độ dài tạo nên cấp số cộng tổng quát cấp số lập nên số chúng Do định nghĩa số nk−1 nên ta khẳng định rằng: Phần bên trái đoạn chứa cấp số cộng tổng quát từ l đoạn loại với , , , l có độ dài qk−1 Ký hiệu khoảng cách đầu mút bên trái hai đoạn kề (tức hiệu hai số hai đoạn kề nhau) là: d1 , d1 t2 , , d1 tl−1 Đối với cấp số cộng tổng quát, từ đoạn loại ta gắn thêm vào phần tử thứ l + l+1 , phần tử khơng loại với phần tử đứng trước vượt phần tử đoạn , nằm đoạn Bây ta lấy phần tử i1 từ l phần tử cấp số cộng tổng quát, đoạn có độ dài qk−1 Ta tiến hành đoạn tương tự tiến hành với đoạn (tức coi đoạn dãy (1 + tl )nk−1 đoạn có độ dài qk−1 ) Do định nghĩa số nk−1 , ta khẳng định rằng, phần bên trái đoạn i1 bao gồm nk−1 đoạn có độ dài qk−2 chứa cấp số cộng tổng quát từ l đoạn loại i2 i2 (1 ≤ i2 ≤ l) có độ dài qk−1 Ta ký hiệu khoảng cách đầu mút trái hai đoạn kề i2 i2 là: d2 , d2 t2 , , d2 tl−1 Một lần nữa, ta lại nối thêm vào cấp số cộng tổng quát phần tử thứ l + rõ ràng phần tử nằm đoạn i1 Việc xây dựng tiến hành với tất đoạn i1 (1 ≤ i1 ≤ l + 1) tất đoạn ta lấy đoạn i2 i2 (1 ≤ i2 ≤ l + 1) theo vị trí tương ứng Bởi tất loại nên rõ ràng i2 i2 loại, ≤ i1 ≤ l, ≤ i2 ≤ l Quá trình xây dựng tiếp tục k lần Kết sau lần cuối ta nhận đoạn có độ dài q0 = 1, tức đoạn đơn giản mà cách tổng quát ta ký hiệu i1 i2 ik (1 ≤ i1 , i2 , , ik ≤ l+1) Như ta dễ thấy rằng, với ≤ s ≤ k, ≤ ir ≤ l, ≤ ir ≤ l(1 ≤ r ≤ s) (1.3) i1 i2 is ∼ i1 i2 is Hai nhận xét sau quan trọng phần lại chứng minh định lý 1) Giả sử: ≤ s ≤ k, ≤ ir ≤ l, ≤ ir ≤ l(1 ≤ r ≤ s), ≤ im ≤ l + (s + ≤ m ≤ k) Khi ∼ i1 i2 is is+1 ik i1 i2 is is+1 ik (1.4) Thật vậy, hai số đứng vị trí giống đoạn loại i1 i2 is i1 i2 is 2) Với số s ≤ k, is ≤ l, is = is + 1, đoạn i1 is−1 is i1 is−1 is đoạn kề bước xây dựng thứ s chúng ta, nên số is+1 , ik , số i1 i2 s−1 is is+1 ik i1 i2 s−1 is is+1 ik chiếm vị trí giống hai đoạn kề nhau, cho: i1 i2 s−1 is is+1 ik − i1 i2 s−1 is is+1 ik = ds tis (1.5) Để ngắn gọn, ta đặt l = l + Xét k + l số ar = · · · l · · · l , r = 0, 1, , k r (1.6) k−r Trong số đó, ta ln tìm hai số ar as nằm lớp (1.7) · · · 1l · · · l ∼ · · · 1l · · · l r s k−r k−s Xét số ar = · · · i · · · i l · · · l (1 ≤ i ≤ l ) r s−r (1.8) k−s Ta chứng minh chúng nằm lớp, tạo thành cấp số cộng tổng quát Thật vậy, số cl c1 loại (1.7), tất ci (i < l ) loại (1.4) Vì tất số ci (1 ≤ i ≤ l ) nằm lớp Phần lại, ta cần phải số lập thành cấp số cộng, tức là: (c2 − c1 ) : (c3 − c2 ) : · · · : (cl − cl ) = : t2 : · · · : tl (1.9) Để ngắn gọn, ta đặt i = i + Ta đưa vào xét số sau: · · · i · · · i i · · · i l · · · l (0 ≤ m ≤ s − r) ci,m = s m s−r−m k−s s−r Khi ci+1 − ci = (ci,m − ci,m−1 ) ci,0 = ci ci,s−r = ci+1 m=1 Nhưng (1.5) ta có ci,m −ci,m−1 = · · · i · · · i i · · · i l · · · l − · · · i · · · i i · · · i l · · · l = r m s−r−m k−s r m−1 s−r−m+1 k−s s−r dr+m ti , có nghĩa là: ci+1 − ci = dr+m ti m=1 s−r dr+m không phụ thuộc vào i, điều kiện (1.9) Nhưng m=1 thỏa mãn Do định lý chứng minh với giả thiết rằng, phần tử dãy số (1.1) đơn vị (tức 1) Nếu t1 khác đơn vị, ta xét dãy số sau đây: 1, t1 , · · · , tq , · · · (1.10) Khi l + số ci (i = 1, 2, · · · , l + 1) lập thành cấp số cộng tổng quát độ dài l + 1, tạo dãy số (1.10) nằm lớp, đương nhiên chứa l số lập thành cấp số cộng tổng quát độ dài l, tạo dãy số (1.1) nằm lớp Do định lý chứng minh 1.1.2 Số Van der Waerden Định nghĩa 1.1 Số tự nhiên nhỏ N = N (m, k) thỏa mãn Định lý Van der Waerden gọi số Van der Waerden, kí hiệu w(m, k) Một số giá trị xác w(m, k) Ta có w(m, 1) = m w(2, k) = k + Với giá trị khác k m, biết w(3, 2) = 9, w(4, 2) = 35, w(5, 2) = 178, w(6, 2) = 1132, w(3, 3) = 27 w(4, 3) = 76 Sau ta kiểm tra lại, chẳng hạn hai kết w(m, 1) = m w(2, k) = k + Thật vậy: +) w(m, 1) = m, tất phần tử [n] tô màu Như vậy, đặt N = m với n ≥ N, [n] tồn cấp 21 i\j 2 9 14 18 23 28 36 18 25-27 34-43 ≥ 49 ≥ 53 ≥ 69 43-52 57-94 ≥ 76 ≥ 94 102-169 Các số R(3, 3), R(4, 3), R(5, 3) R(4, 4) tìm thấy từ năm 1955 A M Gleason R E Gleenwood, R(6, 3) - J G Kalbfleisch năm 1966, R(3, 3) - J E Graver, J Yackel năm 1968, R(8, 3) - B M cKay Z Ke Min gần đây, R(9, 3) - C M Grinstead S M Robets năm 1982 Các định lý cho ta biết tồn số Ramsey, nhiên định lý khơng cho ta biết cách tính số Ramsey Nói chung khơng có cơng thức tính số Ramsey, người ta cố gắng tìm cơng thức đánh giá số Ramsey Các đánh giá chưa nhiều chưa có cơng thức xác để tính số Ramsey Trong mục ta trình bày số giá trị số Ramsey số công thức đánh giá số Ramsey Định lý 2.3 Với số nguyên p, q ≥ ta có R(s, t) ≤ R(s, t − 1) + R(s − 1, t) Chứng minh định lý cho mục trước Ví dụ 2.2 : R(3, 4) ≤ R(3, 3) + R(2, 4) ≤ + = 10 mà R(3, 4) = 9, nên: R(4, 4) ≤ R(3, 4) + R(4, 3) ≤ + = 18 R(4, 4) = 18 Vậy đánh giá cận số Ramsey, cận tốn khó Erd˝os đưa giới hạn số Ramsey với trường hợp i = j sau: R(s, s) > 2(s−1) Sau ta chứng minh khẳng định 22 Xét đồ thị đầy đủ K tô màu xanh đỏ Khi xác xuất đỉnh x đồ thị tô màu đỏ Vậy xác suất đỉnh Ks tô màu đỏ 2−s(s−1)/2 Do xác suất Ks đơn sắc 21−s(s−1)/2 Ta chọn n đủ lớn để tồn cách tô màu đỉnh Kn cho tập đơn sắc Xác suất tồn đồ thị đơn sắc Ks Kn là: P (Ks ) = (ns )21−s(s−1)/2 Chọn n đủ lớn để xác suất nhỏ Ta lấy n = 2(s−1)/2 Khi ta có điều phải chứng minh Sau ta đưa công thức đánh giá cận số Ramsey trường hợp đồ thị tô k màu √ Định lý 2.4 Ta có: R(Ks,t ; k) > (2π st)1/(s+t) ((s + t)/e2 ).k (st−1)/(s+t) với {k1 , k2 , k3 , · · · · · · , kk } tập hợp màu tô Chứng minh Xác k suất để Ks,t tô màu k1 là: k −st Xác suất để Ks,t đơn sắc là: k.k −st = k 1−st Xác suất đỉnh ks,t mà chọn từ Kn là: (ns+t )(s+t s ) Khi xác suất để tồn đồ thị đơn sắc Kn là: P (Ks,t ) = n 1−st (s+t )(s+t s )k √ Chúng ta chọn n đủ lớn để xác suất bé ta có: n ≤ 2π st)1/(s+t) ((s + t)/e2 ).k (st−1)/(s+t) có màu tơ mà khơng có đồ thị đơn sắc tồn Do dó ta có R(Ks,t ; k) > n Xác suất để đỉnh x (x ∈ Ks,t ) tô màu k1 là: 2.1.4 Số Ramsey cho trường hợp tổng quát Các số Ramsey giới thiệu mục trước họ số Ramsey Trong mục xét họ số Ramsey tổng quát a) Trường hợp tổng qt hóa nhiều màu để tơ cho đỉnh Kn Chẳng hạn ta tô màu cạnh Kn ba màu xanh, đỏ, tím, số n phải để chắn tìm K3 đỏ, K3 xanh K3 tím? Số n nhỏ có tính chất ký hiệu R(3, 3, 3; 2) Con số viết thành phần R(3, 3, 3; 2) cạnh (đối tượng tô màu) xác dịnh đỉnh Con số thay số nguyên dương Ba số thay số nguyên dương tuỳ ý để thu họ số Ramsey 23 Ví dụ 2.3 R(5, 4, 7; 2) số nguyên dương nhỏ n cho với cách tô màu cạnh Kn màu xanh, đỏ, tím Kn ln chứa K5 đỏ K4 xanh K7 tím hốn vị khác màu xanh, đỏ, tím cho K5 , K4 , K7 (vì màu có vai trò nhau) Định nghĩa 2.4 Giả sử i1 , i2 , · · · , in số nguyên dương, ij ≥ 2, với số j số nguyên dương m gọi có tính chất (i1 , i2 , · · · , in ; 2)-Ramsey với cách tô màu cạnh Kn n màu 1, 2, , n ln tìm Kij màu ij với j Số ngun dương nhỏ với tính chất (i1 , i2 , , in ; 2)-Ramsey gọi số Ramsey R(i1 , i2 , , in ; 2) Chú ý n = 2, số Ramsey R(i1 , i2 , , in ; 2) số Ramsey R(i1 , i2 ) mục trước Chúng ta biết số Ramsey R(i1 , i2 , , in ; 2) n ≥ Tuy nhiên ij = với j người ta chứng minh rằng: R(2, , 2; 2) = Khi ij ≥ 3, thời điểm xác định giá trị R(3, 3, 3; 2) = 17 (bởi R E Greenwood A M Gleason) Định lý 2.5 Cho r số tự nhiên, p1 , p2 , , pr , tồn số tự nhiên nhỏ R(p1 , p2 , , pr ) phụ thuộc vào số p1 , p2 , , pr cho với đồ thị đầy đủ n đỉnh, r màu, n ≥ R(p1 , p2 , , pr ) tồn đồ thị đầy đủ p1 đỉnh mà tất cạnh tô màu k1 , p2 đỉnh mà tất cạnh tô màu k2 , hoặc pr đỉnh mà tất cạnh tô màu kr Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp qui nạp theo r Với r = 1, R(p1 ) = p1 Với r = 2, Định lý Ramsey tô màu đồ thị màu Giả sử định lý đến r − Ta chứng minh định lý đến r Theo giả thiết tồn q = R(p1 , p2 , · · · , pr − 1) cho đồ thị đầy đủ q đỉnh r − màu tồn đồ thị đầy đủ p1 đỉnh mà tất cạnh tô màu k1 , p2 đỉnh mà tất cạnh tô màu k2 , pr − đỉnh mà tất cạnh tô màu kr − Ta lấy kr màu đỏ, màu k1 , k2 , , kr − màu xanh Theo Định lý Ramsey cho trường hợp màu, tồn số n = R(q, pr ) cho đồ thị đầy đủ n đỉnh hai màu, tồn đồ thị đầy đủ q đỉnh mà tất cạnh tô màu xanh, pr đỉnh mà tất cạnh tô màu đỏ 24 Vậy tồn số tự nhiên R(p1 , p2 , , pr ), cho với đồ thị đầy đủ n đỉnh r màu, n ≥ R(p1 , p2 , , pr ), tồn đồ thị đầy đủ p1 đỉnh, mà tất cạnh tô màu k1 , p2 đỉnh mà tất cạnh tô màu k2 , pr đỉnh mà tất cạnh tô màu kr Bài toán 2.2 Chứng minh R(3, 3, 3; 2) = 17 Hình 2.2: Đồ thị Clebsch Ta thấy đồ thị Clebsch có 16 đỉnh cạnh tơ màu xanh, đỏ, vàng khơng có tam giác có cạnh màu Suy R(3, 3, 3; 2) > 16 Bây ta xét đồ thị đầy đủ 17 đỉnh Các cạnh đồ thị tô ba màu xanh, đỏ, vàng Ta cần chứng minh đồ thị tồn ba đỉnh mà cạnh nối với màu Kí hiệu đỉnh A Vì A nối với 16 đỉnh lại ba màu nên theo nguyên tắc Dirichlet tồn đỉnh nối với A màu Giả sử sáu đỉnh B, C, D, E, F, G nối với A màu xanh Nếu sáu đỉnh có hai đỉnh nối với màu xanh, giả sử B, C ba đỉnh A, B, C nối với màu Nếu sáu đỉnh khơng có hai đỉnh nối với màu xanh Suy đỉnh B, C, D, E, F, G cạnh nối với hai màu đỏ vàng theo toán (2.1) tồn ba đỉnh mà cạnh nối với màu Vậy 17 đỉnh tồn ba đỉnh mà cạnh nối với màu Suy R(3, 3, 3; 2) = 17 25 b) Trường hợp chia Kn thành họ Trươc tiên, ta quay trở lại với trường hợp đồ thị K6 với với tập đỉnh V , ta xét tất tập phần tử V (tức cạnh K6 ) chia tập làm hai họ C1 C2 Số có tính chất (3, 3)-Ramsey hai khả sau xảy ra: i) Tìm tập phần tử V cho tập phần tử thuộc vào C1 ii) Tìm tập phần tử V cho tập phần tử thuộc vào C2 Nếu coi C1 tập cạnh tô màu đỏ C2 tập cạnh tơ màu xanh, rõ ràng ta có tam giác đỏ điều kiện i) thực có tam giác xanh điều kiện ii) thực Tuy nhiên không cần dùng đến khái niệm cạnh Các tính chất phát biểu ngôn ngữ tập hợp tính chất họ tập Cách mô tả cho phép xét việc phân tập có kích thước r tùy ý (khơng phải có 2) thành số họ (không thiết phân làm họ C1 C2 ví dụ vừa nêu) Ta đến định nghĩa tổng quát số Ramsey Định nghĩa 2.5 Giả sử i1 , i2 , · · · , in , r số nguyên dương, n ≥ ij ≥ r với số j Số ngun dương m gọi có tính chất (i1 , i2 , · · · , in ; r)-Ramsey mệnh đề sau đúng: Nếu S tập m phần tử n họ C1 , C2 , · · · , Cn , tập r phần tử, với j tìm đươc tập S có lực lượng ij cho tập r phần tử thuộc vào Cj Số nguyên dương nhỏ có tính chất (i1 , i2 , · · · , in ; r)–Ramsey gọi số it Ramsey R(i1 , i2 , · · · , in ; r) Định lý 2.6 (Định lý Ramsey 1930) Nếu i1 , i2 , · · · , in , r số nguyên dương, n ≥ ij ≥ r với số j số Ramsey R(i1 , i2 , · · · , in ; r) tồn Khi r = số R(i1 , i2 , · · · , in ; 1) xác định dễ dàng, phải xét tập phần tử S Cơng thức tính cụ thể trường hợp cho định lý đây: 26 Định lý 2.7 : R(i1 , i2 , · · · , in ; 1) = i1 + i2 + · · · + in − (n − 1) Chứng minh Đặt m = i1 + i2 + · · · + in − (n − 1) Trước hết ta m có tính chất (i1 , i2 , · · · , in ; r) – Ramsey Lấy S tập m phần tử chia tập phần tử làm n lớp C1 , C2 , · · · , Cn Trước hết nhận thấy phải tìm số j0 cho | Cj0 |≥ ij0 (nếu trái lại | Cj |< ij với j, | Cj |≤ ij − 1) Suy ra: m =| C1 | + · · · + | Cn |< (i1 − 1) + · · · + (in − 1) = i1 + i2 + · · · + in − n = m − Nếu ta lấy ij0 phần tử Cj0 ta có tập S với lực lượng ij0 cho tập phần tử thuộc Cj0 Điều chứng tỏ R(i1 , i2 , · · · , in ; 1) ≤ i1 + i2 + · · · + in − (n − 1) Bây ta m − = i1 + i2 + · · · + in − n khơng có tính chất (i1 , i2 , · · · , in ; r)-Ramsey Lấy tập S gồm i1 + i2 + · · · + in − n phần tử Phân tập phần tử vào n lớp C1 , C − 2, · · · , Cn cho | Cj |= ij − Rõ ràng với cách phân chia khơng thể tìm tập S có lực lượng cho tập phần tử thuộc lớp Cj Khi i1 = i2 = · · · = in = 2, ta có R(2, 2, , 2; 1) = n + c) Trường hợp tổng quát Ở hai mục trên, ta thấy Định lý Ramsey phát biểu ngôn ngữ chia tập hợp thành hai lớp ngôn ngữ đồ thị hai màu Có thể đặt câu hỏi là: "Có thể tổng quát hóa Định lý Ramsey tập hợp chia thành nhiều lớp ngôn ngữ đồ thị nhiều màu hay không?" Giả sử S tập hợp gồm s phần tử, ký hiệu πr(S)là họ tất tập S tập có r phần tử r ≥ Ta nói họ πr(S) phân hoạch thành hai họ tập hợp A B A B khác rỗng thỏa mãn điều kiện: πr(S) = A ∪ B; A ∩ B = ∅ Định lý 2.8 (Định lý Ramsey tổng quát) Giả sử S tập hợp gồm s phần tử πr(S) họ tất tập gồm r phần tử S, r ≥ Giả sử có cách phân hoạch tập hợp πr(S) = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An , cho lớp Ai khác rỗng tập r phần tử S thuộc vào tập Ai (Ai ∩ Aj = ∅ với i = j) Giả sử k1 , k2 , · · · , kn số nguyên cho r ≤ ki ≤ s với i = 1, 2, , n Khi tồn số nguyên R(k1 , k2 , , kn ; r) phụ thuộc vào n, k1 , k2 , , kn r, mà không phụ thuộc vào tập S cho s ≥ R(k1 , k2 , , kn ; r) tồn tập Pi gồm ki phần tử S mà tập r phần tử Pi 27 thuộc vào tập Ai với giá trị i, ≤ i ≤ n Chứng minh Ta chứng minh theo qui nạp với n = làm điểm xuất phát Giả sử định lý chứng minh cho phép chia tập hợp πr(S) vào n − họ tập hợp Xét phép chia: πr(S) = (A1 ∪A2 ∪· · ·∪An−1 )∪An Giả sử ρ = R(k1 , k2 , , kn−1 ; r), s ≥ R(ρ, kn ; r) S tập gồm s phần tử Khi S chứa tập Pn gồm kn phần tử, tập r phần tử thuộc nA Trong trường hợp định lý chứng minh Hoặc S chứa tập T gồm ρ phần tử, tập r phần tử thuộc tập A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An−1 Theo cách chọn ρ theo qui nạp, tập T phải chứa tập Pi gồm ki phần tử, tập r phần tử thuộc họ Ai với giá trị i đó, ≤ i ≤ n − Nhưng Pi tập tập S trường hợp S chứa tập tập Pi gồm ki phần tử, tập r phần tử thuộc họ Ai với giá trị i ≤ i ≤ n Định lý chứng minh 2.2 2.2.1 Tập đơn sắc Định nghĩa Một tập Y tập X gọi đơn sắc cách tô màu tập X phần tử Y có màu Theo khái niệm áp dụng Định lý Ramsey ta có: Giả sử c : A(r) → {1, 2, , k} phép tô màu cho tập lực lượng r(1 ≤ r < ∞) tập vô hạn A k màu Khi A chứa tập đơn sắc vơ hạn Mở rộng theo Định lý Van der Waerden năm 1927: Cho m, k ∈ N Khi tồn số nguyên N = N (m, k) cho với n ≥ N , tập {1, 2, , n} tô k màu ln tồn cấp số cộng đơn sắc [n] có độ dài m Vậy theo Định lý Ramsey Định lý Van der Waerden chắn tìm tập đơn sắc cách tơ màu tập {1, 2, , n} với n đủ lớn k màu 28 2.2.2 Tập đơn sắc vấn đề liên quan Cũng theo hai Định lý Ramsey Định lý Van der Waerden muốn tìm tập đơn sắc phải tìm đươc số Van der Waerden số Ramsey Ở ta phát biểu Định lý Van der Waerden mạnh sau: "Cho m, k số tự nhiên Khi tồn số nguyên dương N = N (m, k) cho với n ≥ N [n] tơ k màu ln tồn cấp số cộng độ dài m, cho phần tử tạo thành tập đơn sắc", có nghĩa tồn a, d ∈ N cho a, a + d, a + 2d, , a + (m − 1)d có màu Định lý hồn tồn chứng minh phương pháp qui nạp toán học Chương ta có cách chứng minh Hệ 2.1 (Định lý Schur 1916) Cho k số tự nhiên, tồn số nguyên dương N = N (k) cho với n ≥ N để [n] tô k màu khác ln tồn x, y, z thuộc [n] tô màu, thỏa mãn x + y = z Hệ chứng minh Định lý Ramsey Định nghĩa 2.6 Lấy , r ∈ N Một đường thẳng đơn sắc, đơn giản, đường thẳng [ ]r tật hợp L ∈ [ ]r cho tập hợp khơng rỗng I = {i1 , i2 , , it } aj ∈ [ ]r cho j∈ / I, ta có: L = {x ∈ [ ]r : xj = aj , ∀j ∈ / I, xi1 = · · · = xit } Cho ≥ tập I tập hợp phần tử dương L aj j ∈ / I − + tập hợp phần tử âm L Lấy L L biểu thị điểm L cho L− = L+ = với i ∈ I L− L+ điểm cuối L, L− điểm đầu L+ điểm cuối L, có | L |= Ví dụ 2.4 Trong [3]2 , ví dụ đường thẳng là: L = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}, I = {1}; L = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}, I = {2}; L = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, I = {1, 2} Chú ý {(1, 3), (2, 2), (3, 3)} không đường thẳng (mặc dù xuất lần) Trong [5]3 , số đường thẳng là: L = {(4, 1, 1), (4, 2, 1), (4, 3, 1), (4, 4, 1), (4, 5, 1)}, I = {2}; L = {(1, 5, 1), (2, 5, 2), (3, 5, 3), (4, 5, 4), (5, 5, 5)}, I = {1, 3}; 29 L = {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5)}, I = {1, 2, 3} Trong trường hợp khác, L− L phần tử phần tử cuối danh sách tương ứng L Định lý 2.9 (Định lý Hales - Jewett, 1963) Cho l, k số tự nhiên, tồn số tự nhiên N = N ( , k) cho với r ≥ N , [ ]r tô với k màu ln tồn đường tổ hợp đơn sắc [ ]r Chứng minh Chứng minh định lý tương tự Định lý Van der Waerden Lấy màu [ ]r , nói L1 , L2 , , Ls hội tụ f ∈ [ ]r , + L+ i = f với i L1 , L2 , , Ls màu hội tụ f Li \{Li } + đơn sắc Li \{L+ i }, Lj \{Lj } có màu khác với i khác j Chúng ta sử dụng phép qui nạp với Định lý với = 1, với ≥ giả sử định lý với − với số lượng màu Ta chứng minh định lý với với số lượng màu từ định lý chứng minh Bổ đề 2.2 Với ≤ s ≤ k, tồn r = r( , s, k) cho [ ]r tơ k màu tồn đường đơn sắc [ ]r , tồn s đường đơn sắc hội tụ [ ]r Chứng minh bổ đề Lấy s = k, có đường đơn sắc k đường đơn sắc hội tụ Điều cho đường đơn sắc, không quan tâm màu hội tụ k đường Để chứng minh bổ đề Chúng ta sử dụng qui nạp s Với s = giả thiết qui nạp với tồn N = N ( − 1, k) cho [ − 1]N tơ k màu đường thẳng đơn sắc [ − 1]N Bổ đề rõ ràng với s = [ ]N tơ k màu lấy r = N Bây lấy s ≥ giả sử bổ đề với s − tức r = r ( , s − 1, k) giá trị cần tìm Ta r chứng minh bổ đề với s Tồn N ” = N ”( − 1, k ) cho r [ − 1]N ” tơ k màu f tồn đường đơn sắc [ − 1]N ” Chúng ta r = r + N ” giá trị chấp nhận cho s Thật lấy k màu tô [ ]r = [ ]r +N ” kết thúc [ ]r chứa đường đơn sắc, có [ ]r = [ ]r +N ” = [ ]r × [ ]N ” Điều có nghĩa tưởng tượng [ ]r [ ]N ” với 30 véc tơ [ ]N ” thay [ ]r Thực viết véc tơ v ∈ [ ]r với dạng v = (v , v”) v ∈ [ ]r v” ∈ [ ]N ” , v” chứng tỏ vị trí [ ]r r [ ]N ” v bao gồm tọa độ v nằm [ ]r Có k cách tơ màu [ ]r , tưởng tượng toàn cấu trúc r r [ ]r [ ]r tô k màu, với k màu tương ứng với trạng thái [ ]r tô k màu Bằng cách định nghĩa N ” có −1 tơ màu giống hệt [ ]r [ ]r Vậy chúng xác định với vec tơ tương ứng [ ]N ” , véc tơ trở thành L \ {L+ } vài đường L ∈ [ ]N ” Lấy I tập hợp véc tơ L có tọa độ dương, theo cách định nghĩa r có đường đơn sắc − tô màu tương tự [ ]r có s − đường đơn sắc hội tụ Nếu vấn đề trước lấy L đường đơn sắc [ ]r tương ứng với L− với tọa độ dương tập I Nhưng sau đó, đường [ ]r , với tọa độ dương I ∪ I toàn véc tơ đầu véc tơ cuối (L − , L− ) (L + , L+ ) đơn sắc, mâu thuẫn Vì khẳng định cuối Lấy L1 , , Ls−1 đường đơn sắc có tọa độ dương I1 , , Is−1 hội tụ f [ ]r + tương ứng với L− , ví dụ f = L+ = · · · = Ls−1 Chú ý f có màu khác với L1 , , Ls−1 , với ≤ i ≤ s − xét đường Li + + + − [ ]r với véc tơ (L− i , L ) véc tơ cuối (Li , L = (f, L ) tọa độ dương I ∪ Ii Vì Li màu hội tụ (f, L+ ) đường Ls [ ]r với véc tơ đầu véc tơ cuối (f, L− ), (f, L+ ) tọa độ dương I Như Ls \ {Ls+ } đơn sắc với màu khác từ Li \ {Li− } với ≤ i ≤ s − L1 , , Ls tập hợp đường đơn sắc hội tụ [ ]r hội tụ (f, L+ ) Bổ đề chứng minh qui nạp theo s Định nghĩa 2.7 Số nguyên lớn N = N ( , k) thỏa mãn Định lý Hales-Jewett gọi số Hales-Jewett, ký hiệu HJ( , k) Chứng minh Định lý Van der Waerden từ Định lý Hales- Jewett Với m, k cho ta chứng minh N = m.HJ(m, k) Lấy n ≥ N c : [n] −→ {1, , k} tô k màu cho trước xác định c : [m]n −→ {1, , k} tô k màu với c ((x1 , , xn )) = c(x1 + · · · + xn ) n = HJ(m, k) theo định lý (2.9), [m]n chứa đường đơn sắc L 31 cách tô màu C Đường L tương ứng tới cấp số cộng đơn sắc có độ dài m [n], cách tơ màu c, phần tử tổng tọa độ véc tơ L (phần tử chứa tổng tọa độ L− ) khác thơng thường kích thước tập hợp L chứa tọa độ dương Một nghiên cứu khác Định lý Hales- Jewett sử dụng để chứng minh Định lý Gallai định lý có kết hữu ích chứng minh Định lý Van der Waerden Trước phát biểu chứng minh Định lý Gallai có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.8 Lấy X = N X = R S ⊂ X r với n ∈ N Một đồng dạng S tập S ⊂ X r có dạng: S = aS + b = {av + b : v ∈ S}, với a ∈ X, a = b ∈ X r Định lý 2.10 (Định lý Gallai) Giả sử X = N X = R, r, k ∈ N S ⊂ X r tập hữu hạn Khi tập X r tơ k màu ln tồn đơn sắc đồng dạng S X r Định lý Gallai biết đến Định lý Grunwald Định lý Gallai-Witt Chúng ta coi Định lý Gallai trường hợp tổng quát Định lý Van der Waerden cách lấy X = N, r = S = {1, , m} m độ dài cấp số cộng đơn sắc mà muốn tìm thấy Định lý Van der Waerden Chứng minh Lấy S = {s(1), , s(m)} với m ∈ N n = HJ(m, k) với c : r X −→ {1, , k} tô k màu xác định c : [m]n −→ {1, , k} với c (x) = c(s(x1 )+· · ·+s(xn )) theo định lý (2.9) [m]n chứa đường đơn sắc việc tô màu c Nó dễ dàng để tìm thấy đường L tương ứng với đơn sắc đồng dạng S X r , liên quan đến việc tô màu c k màu Thực I tập hợp tọa độ dương L aj ∈ [m] , j ∈ / I tọa độ cịn lại L Khi liên quan đến việc tô màu c, tập hợp: {|I|s(1) + s(aj ), |I|s(2) + s(aj ), · · · , |I|s(m) + s(aj )} j ∈I / j ∈I / j ∈I / r đồng dạng đơn sắc S X Ví dụ sau cho ta thấy ứng dụng Định lý Gallai Định lý Van der Waerden giải tốn Ví dụ 2.5 Giả sử tập hợp số thực chia làm hai tập không giao tùy ý Khi đó, với cặp số nguyên dương (m, n) tồn 32 ba số thực x, y, z thuộc tập thỏa mãn x < y < z m(z − y) = n(y − x) Chúng ta giải tốn cách đơn giản cách sử dụng Định lý Gallai Chú ý toán tập số số thực theo định lý số tự nhiên Vì xem xét tốn việc giải tốn tơ màu tập số tự nhiên màu Theo Định lý Gallai với X = N, r = 1, k = S = {1, m + 1, m + n + 1}, có lớp màu chứa đồng dạng S tập hợp có dang {a + b, a(m + 1) + b, a(m + n + 1) + b} với a, b số nguyên a lớn Chúng ta kết thúc với x = a + b, y = a(m + 1) + b z = a(m + n + 1) + b có m(z − y) = amn n(y − x) = amn Suy điều phải chứng minh Ngoài ra, ta giải tốn cách sử dụng Định lý Van der Waerden Theo Định lý này, ta có lớp màu chứa cấp số cộng có độ dài m + n + với phần tử a ∈ N công sai d số tự nhiên Sau phần tử a a + md a + (m + n)d thuộc cấp số cộng số học Vì lấy x = a, y = a + md z = a + (m + n)d cho ta m(z − y) = dnm n(y − x) = dmn Suy điều phải chứng minh Ví dụ sau minh họa cho Định lý Van der Waerden trường hợp n = Ví dụ 2.6 Với cách tô màu số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, hai màu đỏ xanh, tồn ba số tơ màu lập thành cấp số cộng Lời giải Giả sử việc tơ màu dãy số khơng có cấp số cộng đơn sắc có phần tử số tơ màu đỏ Khi đó, rõ ràng số tô màu đỏ Giả sử hai số màu đỏ, theo tính đối xứng, giả sử đỏ 1, màu xanh (Hình 2.3) Chúng ta thu cấp số cộng đơn sắc màu xanh (Hình 2.4) Mâu thuẫn với giả sử Hình 2.3 33 Hình 2.4 Vì vậy, tô màu 3, dạng Hình 2.5, tức số màu đỏ hai số màu xanh Hình 2.5 Khi số 1, 5, khơng thể tơ hết màu đỏ Do màu xanh Do tính đối xứng, giả sử màu xanh Trong Hình 2.6, ta thấy tất khả xảy trường hợp Ta thấy rằng, tất trường hợp, ta có cấp số cộng đơn sắc với độ dài Vì mâu thuẫn với giả sử Suy điều phải chứng minh Hình 2.6 34 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: Trình bày Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi cấp số cộng mật độ cấp số cộng tập số tự nhiên liên tiếp Trình bày khái niệm hệ phủ đồng dư ứng dụng hệ phủ đồng dư giải tốn Trình bày số kết số Ramsey tập đơn sắc tốn tơ màu 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Đức Tân (2017), "Định lý Van der Waerden cấp số cộng số tổng quát hóa", dịch từ viết M A Lukomskaia, Tạp chí Epsilon số 13, trang 205-208 [2] Ngô Đắc Tân (2003), Lý Thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc gia HN [3] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành (2009), Giáo trình Tốn Rời Rạc, NXB Đại học Quốc gia HN Tiếng Anh [4] P Erd˝os (1980), "A survey of problems in combinatorial number theory", Annals of Discrete Mathemattics, 6, 89-115 [5] T Ahmead (2013), "Some more Van der Waerden numbers", Journal of Integer Sequences, Vol 16, Article 13.4.4, 1-9 [6] H Liu (2012), "Combinatorial Number Theory", available at http://www.cantab.net/users/henry.liu/comb nt.pdf [7] B A Asaad, "Generalization of Ramsey Numbers Further Research on Ramsey Theorem", slides available at https://www.slideshare.net/AlAhmadgaidAsaad/f-28030794 ... hai Định lý Ramsey Định lý Van der Waerden muốn tìm tập đơn sắc phải tìm đươc số Van der Waerden số Ramsey Ở ta phát biểu Định lý Van der Waerden mạnh sau: "Cho m, k số tự nhiên Khi tồn số nguyên... [4] 1.1 Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi Định lý Van der Waerden Định lý Szemerédi hai định lý quan trọng lý thuyết số nghiên cứu cấp số cộng mật độ cấp số, đồng thời hai định lý tiền... - NGUYỄN XUÂN VINH VỀ ĐỊNH LÝ VAN DER WAERDEN, SỐ RAMSEY VÀ TẬP ĐƠN SẮC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC