hsg toan 9 co d.a

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 150 phút) Bài (2,5 điểm) Giải phương trình sau: 3x2 + 4x + 10 = 14 x − 4 − x − x − 16 + x + + x + y − y − = − y x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n + 18 n − 41 hai số phương Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 = + Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? Hãy toàn số Bài 3: (3,25 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (O), (P, N hai tiếp điểm) 2 Chứng minh MN = MP = MA.MB Dựng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vng Chứng minh tâm đường trịn qua điểm M, N, P chạy đường thẳng cố định M di động đường thẳng d Bài 4: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP Trên trục hồnh lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Nối PM; PN; PQ cắt đường tròn (K) A; B ; C Tính độ dài cạnh tam giác ABC theo a; b; c Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 19b - a 19c3 - b 19a - c3 + + ≤ 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c2 ac + 5a Hết./ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 MƠN THI: to¸n (Thời gian làm 150 phút) Câu Ý Nội dung 1.1 (0,75đ ) Điể m − 2 ;x ≥ 2 2 =0 ⇔ x + x + + x − − 2 x − + Giải, xác định điều kiện: x < ⇔ ( x + 2) + ( x − − 7) =  x = −2 x + =   ⇔ ⇔   x = ⇔ x = (Thỏa mãn)  2x −1 − =   x = −2   0,25 0,25 0,25 1.2 (1.0đ) 4 − x ≥ (1)  (2)  x − 16 ≥ Điều kiện :  (3) 4 x + ≥ (2,5đ)  x2 + y − y − ≥ (4)  Từ (2) ⇔ (x2 – 4)(x2 + 4) ≥ ⇔ x − ≥ kết hợp với (1) (3) suy x = Thay vào (4): y2 – 2y + ≥ ; Đúng với giá trị y Thay x = vào phương trình giải đúng, tìm y = 1,5 Vậy nghiệm phương trình: (x = 2; y = 1,5) 1.3 Biến đổi đưa pt dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = (0,75đ ⇔ x2 – 2y – = ⇔ x2 = 2y2 + ⇔ x lẻ ) Đặt x = 2k + ; ( k∈ Z ) ⇔ 4k2 + 4k +1 = 2y2 + ⇔ 2y2 = 4k2 + 4k – ⇔ y2 = 2(k2 + k – 1) ⇔ y chẵn Đặt y = 2n; (n ∈ Z ) ⇔ 4n2 = 2(k2 + k – 1) ⇔ 2n2 + = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k k + hai số nguyên liên tiếp) ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ pt cho vô nghiệm 2.1 Để n + 18 n − 41 hai số phương (1,0đ) ⇔ n + 18 = p n − 41 = q ( p, q ∈ N) 0.5đ 0,5 0,25 0,25 0,25 ⇒ p − q = ( n + 18 ) − ( n − 41) = 59 ⇔ ( p − q ) ( p + q ) = 59  p − q =  p = 30 ⇔ Nhưng 59 số nguyên tố, nên:   p + q = 59  q = 29 2 Từ n + 18 = p = 30 = 900 suy n = 882 Thay vào n − 41 , ta 882 − 41 = 841 = 292 = q Vậy với n = 882 n + 18 n − 41 hai số phương (2,0đ) 2.2 (1,0đ) 0,5 0,5 Gọi số cần tìm : ab = 10a + b (a, b số nguyên a khác 0) Theo giả thiết: 10a + b = a + b số nguyên, nên ab b số phương, đó: b hoặc 2 Ta có: 10a + b = a + b ⇔ 10a + b = a + 2a b + b ⇔ 2a − b = a ( ( ) ) 0,5 ⇔ − b = a (vì a ≠ ) Do a phải số chẵn: a = 2k , nên − b = k Nếu b = ⇒ a = ⇒ 81 = + = (thỏa điều kiện toán) Nếu b = ⇒ a = ⇒ 64 = + = (thỏa điều kiện toán) Nếu b = ⇒ a = ⇒ 49 = + = (thỏa điều kiện toán) 3,25đ ) 3.1 (1,0) 0, D 0.25 N A E B L M d Kú thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2005 2006 Sở GD-ĐT Nghệ an Bài 1: a b c Bài 2: Môn: Toán Lớp Bảng A ( Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có mệnh đề mệnh đề sai A + 51 số phơng Chữ số tận bên phải số A số A 38 số phơng Giải hệ phơng trình: x2 +y2 + xy = x + y = Bµi 3: Cho hai sè thực x; y thoả mÃn điều kiện: x > y xy < Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: P = (x−y) + (x− y + 1 − ) x y Bµi 4: Cho đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC ( cã gãc C tï) A’; B ’; C ’ lÇn lợt tiếp điểm đờng tròn (I ) với cạnh BC,CA, AB tam giác Nối AA cắt đờng tròn (I) E, kéo dài C B BC cắt K a Chứng minh KE tiếp tuyến đờng tròn (I ) b.Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AA, đờng thẳng cắt CB kéo dài F Chứng minh đờng thẳng BC qua trung điểm AF =================== Sở GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh NghƯ an Năm học 2005 2006 Môn: Toán Lớp Bảng B ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kĨ thêi gian giao đề ) Bài 1: Giải hệ phơng trình: x + xy + y2 = x+ xy + y = Bài 2: Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có mệnh đề mệnh đề sai a A + 51 số phơng b Chữ số tận bên phải số A số c A 38 số phơng Bài 3: : Cho hai sè thùc x; y tho· m·n ®iỊu kiƯn: x>y xy < Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: 1 2 P = (x−y) + (x− y + x − y) Bµi 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm thuộc cung nhỏ BC ( M B; C ), E giao điểm BC với AM a Chøng minh: 1 = + ME MB MC b Gọi P giao điểm hai đờng thẳng AB CM; Q giao điểm hai đờng thẳng AC BM Chứng minh M di động cung nhỏ BC ( M không trùng với B C) PQ qua điểm cố đinh Sở GD-ĐT Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2005 2006 Môn: Toán Lớp Bảng C ( Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài 1: Giải hệ phơng trình: x + xy + y2 = x + xy + y = Bài 2: Cho hai số a; b nguyên dơng thoà mÃn điều kiện: a +1 b +1 + số b a nguyên dơng Gọi d ớc số cđa a vµ b Chøng minh: d ≤ a +b Bµi 3: Cho biĨu thøc: P = 2x + x + 2x x Tìm giá trị nhỏ P tập giá trị x tơng ứng Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm thuộc cung nhá BC ( M ≠ B; C ) a Chøng minh: MA = MB + MC b Gäi P lµ giao điểm hai đờng thẳng AB CM; Q giao điểm hai đờng thẳng AC BM Chứng minh M di động cung nhỏ BC (M không trùng với B C) PQ qua điểm cố định Sở GD-ĐT Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2006 2007 Môn: Toán Lớp Bảng A ( Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Bµi 1: Chøng minh r»ng: a Víi mäi sè tự nhiên n > số A = n 6- n + 2n + 2n kh«ng thể số phơng b Các số a b tổng hai số phơng tích a.b tổng hai số phơng Bài 2: a HÃy xác định giá trị x;y để có đẳng thức: 5x + 5y + 8xy + 2y – 2x + = b.Cho hai số thực x, y thoả mÃn phơng trình: 2x + 3y = Tìm giá trị nhỏ tổng S = 3x + 2y Bài 3: Giải phơng trình: x 11x + 25x − 12 = x2 +6x -1 Bµi 4: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) , kẻ đờng phân giác AD góc BAC đờng trung tuyến AM ( D;M BC) Vẽ hai đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ADM , hai đờng tròn cắt điểm thứ hai I, đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB AC theo thứ tự E F Tia AD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC J a Chứng minh: điểm I, M,J thẳng hàng b Gọi K trung điểm EF, tia MK cắt AC tia BA theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác PAQ cân Sở GD-ĐT Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2006 2007 Môn: Toán Lớp Bảng B ( Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài 1: Chứng minh r»ng: a Víi mäi sè tù nhiªn n > th× sè A = n 6- n + 2n + 2n số phơng b Các số a b tổng hai số phơng tích a.b tổng hai số phơng Bài 2: HÃy xác định giá trị x;y để có đẳng thức: 5x + 5y + 8xy + 2y – 2x + = Bµi 3: Cho hai sè thùc x, y thoả mÃn phơng trình: 2x + 3y = Tìm giá trị nhỏ tổng S = 3x + 2y Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) , kẻ đờng phân giác AD góc BAC đờng trung tuyến AM ( D;M BC) Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM , đờng tròn cắt cạnh AB AC tam giác ABC theo thứ tự E F Gọi K trung điểm EF Chứng minh: MK // AD Sở GD-ĐT Nghệ an TT Bài1 4điểm Bài điểm Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2006 2007 Hớng dẫn chấm Môn: Toán Lớp BảngA Lời giải a.Giả sử n6 n4 + 2n3 + 2n2 = k , k ∈ Z n4( n2 – 1) + 2n2 (n + 1) = k2 (n + 1) n 2(n – n2 +2) = k ( n+ 1)2 n2[( n – 1) + 1] = k =>( n 1) + phải sè chÝnh ph¬ng Nhng ta cã: (n – 1) < ( n- 1) + = n + (1 – n) < n n >1 suy ( n- 1) + kh«ng phải số phơng Vậy A= n6 n4 + 2n3 + 2n2 số phơng b Giả sử a = m2 + n b = p2 + q2 m;n;p;q∈ Z Ta cã: a.b = (m2 + n )( p2 + q2 ) = m2p + m2q +n2p2 +n2q2 = m2p + n2q2 + 2mnpq +m2 q2 +n2p2 – 2mnpq =(mp +nq)2 + (mq – np)2 §.p.c.m a ( ®iÓm) 5x + 5y + 8xy + 2y – 2x + = (1) (1) 25x + 25y + 40xy + 10y – 10x + 10 = 25 x2 + 16 y2 + + 40 xy – 10 x – x + 9y2 +18 y +9 = ( 5x + 4y – 1) + (x – 1) =  5x + y − =   y+ 1= VËy x = 1, y = - có đẳng thức (1) b.áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: (2x + 3y) = ( x + 35 ( 3x2 + 2y2 ) 6 Suy ra: 3x2 + 2y2 ≥ 35 = y ) ≤ ( + ) (3x2 + 2y2 ) Điểm Đẳng thức xảy khí: x 3: Bài điểm =y 2:  x + 3y =   3x 2y => x = 35 ; y = 35  = Ta cã: 7x3 – 11x2 + 25x – 12 = 7x3 – 7x2 + 21x – 4x2 + 4x – 12 =7x( x – x +3) – 4( x2 –x + 3) = ( 7x – 4)( x2 –x + 3) Phơng trình: (7 x 4)( x x + 3) = x +6x –1 §iỊu kiƯn: x ≥ 11 ( x2 –x +3 ≥ ) (7 x − 4)( x x + 3) Bài điểm 2x + 3y = ≤ (7x – 4) +( x2 x +3) = x2 +6x = VP Đẳng thức xảy khi: 7x = ( x2 –x +3) x2 – 8x + = x = vµ x = thoà nmÃn toán Vậy nghiệm phơng trình là: x = x = a (4 đểm)Tứ gi¸c AEDM néi tiÕp =>BE.BA = BD.BM =>BE = BD.BM/BA (1) Tơng tự: CF = CM.CD/CA áp dụng tính chất phân giác BD/ BA = CD/CA (2) Theo gt: BM = CM Thay vµo (1) ta cã: BE = CF EBI = ICF( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) AEI = AFI => IEB = IFC Suy ra:∆BEI = ∆CFI => IB = IC => IM ⊥ BC (vì M trung điểm BC) => IM qua J Đ.p.cm b.( điểm) ( giám khảo tự vẽ hình) Gọi G, H theo thứ tự giao ®iĨm cđa BF vµ CE I DƠ dµng cã tø giác KGMH hình thoi A =>KM phân giác góc GKH => KG// AD =>Chứng minh đợc tam giác PAQ c©n Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hồ Chí Minh ĐỀ CHÍNH THỨC E B B B B B F D J M J J KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2007 – 2008 MÔN TOÁN Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) C Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : x − (6m − 3) x − 3m + = ( x ẩn số) a) Định m để phương trình có hai ngiệm phân biệt âm b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 2 Định m để A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ Câu : (4 điểm) a b c d + + + b +c +d a +b +c + d c c > c + d + a a +b + c + d d d > d + a +b a +b + c + d Cộng bốn BĐT ta : < Ta lại có : a b c d + + + a +b+c b+c+d c+d +a d +a +b a a < a +b + c a + c c c < c +d +a a +c a c ⇒ + x thuộc khoảng (1 ; 4) nghiệm cđa (1) * NÕu x = 1, thư trùc tiÕp vµ thÊy x = lµ nghiƯm cđa (1) * Nếu x < 1thì áp dụng công thức A.B = A B với A, B 0, ta đợc: (1) − x − x + − x − x = − x − x − x + − x = − x (1b) Gi¶i (1b) với x < 1, đợc kết (1b) vô nghiệm Vậy phơng trình đà cho (1) có nghiệm x = Bài điểm x + x2 = y − +y2 => x ≥ 1; y ≥ 1 Gi¶ sư cã x, y tho¶ m·n - NÕu x = = y th× cã x = y (đpcm!) - Nếu x, y không đồng thời = cách nhân với BT liên hợp, đợc: x + x2 = y − + y2 ( x − y − ) + (x2 - y2) = 2 x − + y − ) + (x -y ) = (x - y)/( 1 (x - y).(1/( x − + y − ) + x + y) = x− + y − ) + x + y > 0) x = y x - y = (v× 1/( x − + x2 = y − + y2 x = y (đpcm!) Vậy cã x, y tho¶ m·n Chó ý: Cã thĨ gi¶i cách xét trờng hợp: x + x2 > y − + y2 - NÕu x > y, CM đợc x +x < y − + y2 - NÕu x < y, CM đợc x +x = y + y2 th× x = y - VËy nÕu Cho ®iĨm 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 0,5 ® 0,5 ® 1,5 ® 1,5 ® 1,0 ® 0,5 ® Bµi 3 1) ®iĨm Do phơng trình x2 - 3ax - a = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 nên ta cã : 9a2 + 4a > 1,0 ® (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = ; x1 + x2 = 3a 0,5 ® => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a 3ax + x12 + 3a a2 a2 9a + 4a + + Khi ®ã: A = = 9a + 4a a2 3ax1 + x + 3a a2 2) ®iĨm Theo (1) 9a2 + 4a > nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A A = 9a2 + 4a = a2 a = -1/2 DƠ kiĨm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1/2 VËy Anhá nhÊt = 2, đạt đợc a = -1/2 ; x1 = -1 vµ x2 = -1/2 Bµi 4 1) 2,5 điểm Hình vẽ Gọi H, K lần lợt trung ®iĨm AM, AN => MN = HK Chøng minh đợc HK OO', OO' không đổi => MN ≤ 2OO' , dÊu = x¶y HK//OO' MN//OO' Suy MN lín nhÊt MAN // OO' (đpcm !) Chứng minh đợc : - A M N MIN + MBN = 1800 - Nếu N (hoặc M) AM (hoặc AN) MIN = MBN Từ suy bốn điểm B, M, I, N thuộc đờng tròn 2) 3,5 ®iĨm 0,5 ® 1,0 ® 0,75 ® 0,25 ® 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 1,5 ® 1,5 đ 0,5 đ Bài 4: Gọi O tâm đờng tròn tiếp xúc với cạnh AB, BC, CD, DA cđa tø gi¸c ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ đờng thẳng dA, dB, dC, dD cho dA ⊥ OA, dB ⊥ OB, dC ⊥ OC, dD OD Các cặp đờng thẳng dA dB, dB vµ dC, dC vµ dD, dD vµ dA tơng ứng cắt điểm K, L, M, N 1) Chứng minh ba điểm N, O, L thẳng hàng 2) Chứng minh OK.OM = OL.ON Sơ lợc lời giải Bài Bài 4 1) điểm Hình vẽ: Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO DNAO tứ giác nội tiếp đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng phân giác góc A, B, C, D cđa tø gi¸c ABCD Cã ∠NOK + ∠KOL = π - ∠ONA - ∠OKA + π - ∠OKB - ∠OLB = π - ∠ADO - ∠ABO + π - ∠BAO - ∠BCO = π - ( ∠A + ∠B + ∠C + ∠D )/2 = 2π - π = π Cho ®iĨm 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® Tõ ®ã suy c¸c ®iĨm N, O, L thẳng hàng Trớc hết ta chứng minh tứ giác KLMN néi tiÕp ThËt vËy, ta cã: ∠NKL + ∠NML = ∠AKO + ∠OKB + ∠DMO + ∠OMC = (1/2).( ∠A + ∠B + ∠C + ∠D ) = 2π 1,0 ® 1,0 ® Tõ ®ã chøng minh ®ỵc OK.OM = ON.OL 2) ®iĨm 0,5 ® 0,5 ® 1,0 đ Bài 4: Cho đờng tròn (O ; R) điểm A nằm đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC tới đờng tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiếp tuyến qua M cắt AB ë E, c¾t AC ë F a) BiÕt AO = a TÝnh chu vi tam gi¸c AEF theo a R b) Đờng thẳng BC cắt OE OF P Q Hạ OH BC (H BC) Chøng minh r»ng: PQ OH = EF R Bµi 4 1) điểm 2) điểm Hình vẽ: Chứng minh đợc chu vi AEF = AB Tính đợc AB = AO OB = a R (do A nằm (O) nên a>R) Suy chu vi ∆AEF = a −R Hạ OH BC Vì EB EM tiếp tuyến nên OEB = OEM = 900 - (∠AEF)/2 T¬ng tù ∠ABC = ∠ACB = 900 - (∠BAC))/2 Do ®ã ∠BPE = 1800-∠ABC-∠OEB =(∠AEF +∠BAC)/2 = 900-∠AFE/2 = ∠OFE Hay ∠OPQ = ∠OFE Suy ∆OPQ ®ång d¹ng ∆OFE Do vËy PQ/EF = OH/OM = OH/R ( đpcm !) sở giáo dục đào tạo quảng ninh Bài 1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ 2,0 đ 1,0 ® kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh lớp năm học 2005-2006 bảng A Rút gọn biÓu thøc sau : 1 1 a)A = + + + + + 13 + 2001 + 2005 + 2005 + 2009 b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 + 2 + 3 2 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đờng thẳng có phơng trình : (d1) : x - 5y + k = ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = ; (d3) : (k + 1)x - y + = Tìm giá trị tham số k để ba đờng thẳng đồng quy Bài x + y = 4z −   Gi¶i hệ phơng trình : y + z = x −   z + x = 4y Bài Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC BD vuông góc với Điểm M thay đổi cung nhỏ BC (M khác B C) điểm N thay đổi cung nhá CD cho gãc MAN = gãc MAB + góc NAD Dây AM cắt dây BC E, dây AN cắt dây CD F 1) Chứng minh ta lu«n cã : - Gãc AEB = gãc AEF - Đờng thẳng EF tiếp xúc với đờng tròn cố định 2) Đặt góc MAB = , tính diện tích tam giác AEF theo R     ≥ 80 víi ∀a ≥ 3, ∀b ≥ Bµi Chøng minh r»ng: 21 a +  + 3.b +   b  a      DÊu b»ng x¶y nµo ? HÕt híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh m«n toán lớp - bảng a năm học 2005-2006 Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm Bài 1.a 1,5 điểm Bài 1.b 2,5 điểm áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a= biến đổi => x3 = + 3x Suy A = 2006 2009 − 1,5 đ Bài điểm Chứng minh đợc (d2) cắt (d1) điểm M0(0 ; 1) Khi ®ã M0(0 ; 1) ∈ (d3) k = Vậy ba đờng thẳng đồng qui k = 1,5 đ 1,0 đ 0,5 đ Bài điểm §iỊu kiƯn cđa Èn : x, y, z ≥ 1/4 Nhân vế-vế ba phơng trình với cộng lại, ta đợc phơng trình: 1 4x + 4y + 4z = x − + y − + z − (*) 2 1 BiÕn ®ỉi (*) ( x − -1) + ( y − -1) + ( z − -1)2 = 4x − = 4y − = z − = x = y = z = 1/2 tháa m·n ®/kiÖn 0,5 ® Cã A = 5− + Rút gọn, đợc A = 9 −5 + 13 − 13 −9 + + +2 , b= 2005 − 2001 2005 −2001 + −2 2009 − 2005 2009 −2005 Thư l¹i, thÊy x = y = z = 1/2 tháa m·n hƯ VËy hƯ ®· cho cã nhÊt nghiƯm lµ (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2) Bài 4 1) điểm 2) điểm Bài điểm Ta có: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 ≥ DÊu b»ng x¶y (3/a) = a/3 vµ a = a = 21 7b + (2.3/3) = 16 (2) ∀b≥ b DÊu b»ng x¶y (21/b) = 7b/3 vµ b = b = Từ (1) (2) suy BĐT cần chứng minh ! DÊu b»ng x¶y a = b = Cách giải khác: Trớc hết chứng minh BĐT: (21/b) + (3b) ≥ 16 (*) víi ∀ b ≥ Víi b ≥ th× (*) 3b2 - 16b + 21 ≥ (b - 3)(3b - 7) ≥ Do b ≥ nªn (b - 3) ≥ vµ (3b - 7) ≥ 3.3 - = => (b - 3)(3b - 7) ≥ DÊu b»ng x¶y b = Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) 64 víi ∀ a ≥ 1,5 ® 1,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 0.75 ® 0,75 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 0,5 ® −α)) a + (62.3/3) = 64 (1) ∀a≥ a L¹i cã: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 ≥ 1,0 ® 0,5 ® Tríc hÕt tõ giả thiết suy MAN = 450 Gọi DB, cắt AN, AM P, Q Chứng minh đợc: ABEP ADFQ tứ giác nội tiếp => EPF = ∠EQF = 900 => tø gi¸c PQEF néi tiÕp Tõ ®ã ch/minh ®ỵc ∠AEB = ∠APB = ∠AEE => ∠AEB = AEF Kẻ AH EF (HEF) Chứng minh đợc ∆AEH = ∆AEB => AH=AB Suy EF lu«n tiÕp xúc với đờng tròn cố định (A;a) với a =AB=R Dể chứng minh đợc SAEF = SAEH + SAFH = SAEB + SAFD Tính đợc SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).R R tgα = R2 tgα vµ SAFD = = R2 tg(450-α) Suy SAEF = R2.(tgα + tg(450-α)) Chó ý: Cã thĨ tÝnh theo c¸ch kh¸c: * SAEF = (1/2).AF.EP = = SAEF = (R2/ cosα.cos(450-α)) * Hc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2 (1 tg) + (1 tg (45 đáp số cho điểm tối đa 1,25 ® 0,25 0,75 ® 0,5 ® 0,75 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® ( (a-3)(21a-1) ≥ 0) DÊu b»ng xảy a = Từ suy điều phải chứng minh Các ý chấm: Bài Tìm tất số nguyên dơng a, b, c tháa m·n : a3 + b3 + c3 = 2001 (Loại trừ , thử => đáp số) + Bài b) B = Bài 1.b 2,5 điểm + + − - + Nhân tử mẫu phân thức với = (2 + 3) 12 + +2 (2 − 3) 2 + ( −1) - , råi biÕn ®ỉi, ta ®ỵc: A = (2 + ) (2 − ) 12 + −2 (2 + = = + 3) - 3 +1 ((2 + )(3 −1) − (2 − )(3 +1)) (3 +1)(3 −1) = (1 + ) - (2 − 1,0 ® 3) 3 −1 = 1,5 đ 13 c) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m cã nghiÖm x1, x2, x3, x4 tháa m·n 1 1 + + + = -1 x1 x2 x3 x4 Cho phơng trình x4 - (m2 + 2)x2 + = víi m tham số 4 4 Gọi nghiệm cđa pt lµ x1, x2, x3, x4, h·y tÝnh theo m giá trị biểu thức A = x1 + x + x3 + x Bµi Chøng minh r»ng víi ∀x ∈ R, ∀y ∈ R ta cã :  21  x + +   y2   +9   +     y2 + + x2   +9   ≥ 80 DÊu b»ng xảy ? Tính đợc EF = R (1 −tgα) + (1 −tg (45 −α)) Suy SAEF = R2 (1 −tgα) + (1 −tg (45 −α)) ®Ị thi häc sinh giỏi hải dơng 2008 - 2009 Câu (2,0 điểm ) 1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( a + b + c)3 − a − b − c 2)Rót gän biĨu thøc sau : A = + 10 + + − 10 + − C©u ( 2,0 điểm ) 1)Chứng minh phơng tr×nh : x + ax + bx + ax + = cã nghiƯm th× : a + (b − 2) − > 2)Tìm giá trị m để hệ phơng trình :  mx + x − y = − m  Cã nghiÖm nhÊt  2 x + y =  C©u ( 2,0 điểm ) 1)Tìm số nguyên dơng a,b,c thoả mÃn ®ång thêi c¸c ®iỊu kiƯn : 1 a − b + c = a − b + c + + = a b c 2)Trên tờ giấy kẻ vô hạn ô vuông đợc tô màu đỏ xanh thoả mÃn hình chữ nhật kích thớc 2x3 có hai ô màu đỏ.Hỏi hình chữ nhật có kích thớc 2010x2011 có ô màu đỏ Câu4 ( 3,0 điểm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC 1 + = 2 R r a R 3r S ABCD = 2 ; ( KÝ hiƯu S ABCD lµ diƯn tÝch tø gi¸c ABCD ) b) Chøng minh : (R + r ) BC · 2) Cho tam gi¸c ABC cân A có BAC = 1080 Chứng minh : số vô tỉ AC Câu ( 1,0 ®iÓm ) Cho f ( x) = ax + bx + c tho¶ m·n víi mäi x cho −1 ≤ x ≤ vµ f ( x) ≤ p a) Chøng minh : T×m sè q nhá nhÊt cho a + b + c ≤ p.q HÕt Sở Giáo dục đào tạo Kì thi chọn học sinh giỏi lớp THCS hải dơng Hớng dẫn chấm Câu Phần Nội dung 3 3 Câu 1) Ta cã : (a + b + c) − a − b − c 2®iĨm 1®iĨm = (a + b + c)3 − ( a + b ) − 3ab( a + b) + c  =   3 (a + b + c) − ( a + b + c ) − 3(a + b)c (a + b + c) − 3ab(a + b)    = 3(a + b) [ c(a + b + c) + ab ] = 3(a + b)(a + c)(b + c ) 2) 1điểm Đặt B = + 10 + + − 10 + ,B>0 §iĨm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta cã B = + 10 + + − 10 + + (4 + 10 + )(4 − 10 + ) B = + 16 − (10 + 5) B = + B= Câu 2điểm 1) 1điểm ( ( ) −1 ) +1 2 0,25 = 6+2 = + , V× B > VËy A = + − = Giả sử x = x0 Là nghiệm PT x + ax + bx + ax + = ;(1)Ta thÊy x0 ≠ Vì x0 = dẫn đến 1= vô lÝ a 2 ⇒ x0 + ax0 + bx0 + ax0 + = ⇒ x0 + ax0 + b + + = x0 x0 0,25 0,25 0,25   1 1 ⇒  x0 + ÷ + a  x0 + ÷+ b − = 0; (2) x0  x0 Đặt y = x0 + ta cã PT(2) trë thµnh y + ay + b = PT có x0 nghiệm y thoả mÃn ĐK y = x0 + 0,25 ≥ hay y ≥ 4, ( 3) x0 Ta chứng minh bất đẳng thức sau : (ax + by ) ≤ (a + b )( x + y ) , (*) ThËt vËy : ThËt vËy (*) ⇔ 2abxy ≤ a y + b x ⇔ (ay − bx ) ( ) Đẳng thức xảy ay = bx áp dụng Bất đẳng thøc (*) ta cã 0,25 ⇒ − y = ay + b − ⇒ y = (ay + b − 2) ≤  a + (b − 2)   y + 1    ⇒ y − <  a + (b − 2)   y + 1    2) 1®iĨm 0,25 ⇒ y − < a + (b − 2) ⇒ ≤ y − < a + (b − 2) theo (3) ⇒ a + (b − 2) > Giả sử (x0;y0) nghiệm hệ phơng trình mx + x y = − m , (1)   2  x + y = 1, (2)  suy (-x0;y0) nghiệm hệ.Từ ta có x0 = x0 ⇔ x0 = 2 2 2 2 Víi x0=0 thay vµo (2) suy y0 = ±1 - Víi x0=0 vµ y0 = - thay vµo (1) suy m = Với m = Câu3 2điểm 1) 1điểm 2) 1điểm 0,25 0,25  x = y +1  x − y =1  x = y +1  x = y +1  x = y +1      ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  y = 2 2  x + y =  x + y = ( y + 1) + y = 2 y + y =  y = −1      HƯ PT kh«ng cã nghiƯm Nên m = loại -Với x0 =0 y0 = thay vµo (1) suy m = 0,25 2 2 x + x − y = −1 2 x + x + = y ;(3)   ⇔ Víi m = ⇒  2 x + y =  x + y = ;(4)   Tõ (3) ⇒ y ≥ vµ Tõ (4) ⇒ y ≤ VËy hÖ PT cã nghiÖm nhÊt (x;y) =(0;1) VËy m = th× hƯ PT cã nghiƯm nhÊt 0,25 0,25 Cã a − b + c = a − b + c ⇔ a − b + c + b = a + c ⇔ a − b + c + b(a − b + c ) + b = a + c + ac a = b ⇔ b(a − b + c) = ac ⇔ (a − b)(b − c ) = ⇔  b = c NÕu a = b vµ a , c d¬ng Ta cã 1 + + = ⇔ + = ⇔ 2c + a = ac ⇔ (a − 2)(c − 1) = a b c a c V× a,b,c nguyên dơng nên ta có trờng hợp sau : a − = a = = b a − = 1)  ⇒ 2)  ⇒ a =c =3=b c − = c = c − = NÕu b = c b,c dơng Ta có 1 1 + + = ⇔ + = ⇔ 2a + b = ab ⇔ (b − 2)(a − 1) = a b c a b V× a,b,c nguyên dơng nên ta có trờng hợp sau : b − = b − = b = = c 1)  ⇒a =b=3=c 2)  ⇒ a − = a − = a = Vậy cặp số nguyên dơng (a;b;c) thoả mÃn (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2) Ta chứng minh hình chữ nhật kích thớc1x3 chứa ô màu đỏ (1) Thật , điều không tức tồn hình chữ nhật k có số ô màu đỏ khác 1.hay số ô màu đỏ k giả sử số ô màu đỏ k Xét hình chữ nhật ABCD theo giả thiết ABCD chứa hai ô màu đỏ nên 1;2;3;4 màu xanh.lại suy ô 5;6 đỏ ( xét hình chữ nhật AHPQ) nên hình chữ nhật EHGF có ô màu đỏ.Mâu thuẫn Nếu số ô màu đỏ k o trái với giả thiết 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 E A B H P D Câu4 3điểm E A 1) 1điểm 2) 1điểm Q F C Vậy (1) đợc chứng minh Do ta chia hình chữ nhật kích thớc 2010x2011 670x2011 hình chữ nhật 1x3và (1) ta có số ô màu đỏ cần tìm 2011.670 =1347370 Tứ giác ABCD hình thoi nên AC đờng B trung trực đoạn thẳng BD,BD đờng trung trực AC.Do gọi M,I,K giao điểm M đờng trung trực đoạn thẳng AB với O C AB,AC,BD ta có I,K tâm đờng tròn ngoại I tiếp tam giác ADB,ABC Từ ta cã KB = r vµ IB = R.LÊy mét ®iĨm E K ®èi xøng víi ®iĨm I qua M , Ta có BEAI hình D thoi ( có hai đờng chéo EI AB vuông góc với cắt trung điểm đờng ) · · · · Ta cã BAI = EBA mµ BAI + · ABO = 900 ⇒ EBA + · ABO = 900 · XÐt ∆ EBK cã EBK = 900 ,đờng cao BM.Theo hệ thức tam giác vuông ta 1 + = cã 2 BE BK BM a 1 Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn ⇒ + = (§pcm) R r a vµ µ chung ∆AOB : ∆AMI · · XÐt ∆AOB vµ ∆AMI cã AOB = AMI = 90 A ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AO AM AM AB AB = ⇒ AO = = AB AI AI 2R Chứng minh tơng tự ta đợc BO = BM AB AB = BK 2r AB 4 Rr Mà theo định lí Pi ta go tam giác vuông AOB ta có 1 4R r AB = OA2 + OB = AB  + ÷ ⇒ AB = 2 r  R R +r Ta cã S ABCD = AO.OB = Tõ ®ã ta cã : S ABCD = 3) 1®iĨm 0,25 0,25 0,25 0,25 R 3r ( R + r )2 0,25 B A C x D à Kẻ tia Cx cho CA tia phân giác BCx , tia Cx cắt đờng thẳng AB à D.Khi Ta có DCA = à ACB = 360 DCA cân C , BCD cân B AB = AC = DC Theo tính chất đờng phân giác tam giác BCD ta cã CB AB BC CA = ⇒ = ; BC = BD CD AD CA BD − CA 0,25 ⇒ BC CA = ⇔ BC ( BC − CA) = CA2 ⇔ BC − BC.CA −CA2 = CA BC − CA 2  BC   BC   BC  ⇔ − ÷ = ÷ − ÷−1 = ⇔ CA   CA  CA    BC BC BC + > 0) Vậy ( Vì số vô tỉ = CA AC CA Vì f ( x) = ax + bx + c tho¶ m·n víi mäi x cho −1 ≤ x ≤ f ( x ) p Nên : - Víi x = ⇒ a + b + c p (1) Câu 1điểm 0,25 0,25 - Víi x = - ⇒ a − b + c ≤ p (2) - 0,25 Víi x = ⇒ c ≤ p (3) Tõ (1) vµ (2) ⇒ a + b + c + a − b + c ≤ p mµ a + b + c + a − b + c ≥ b 0,25 Nªn suy : b ≤ p 0,25 Ta cã −b − c = b + c ≤ c + b ≤ p + p = p KÕt hỵp víi (1): a ≤ a + b + c + −b − c ≤ p ⇒ a ≤ p 0,25 ⇒ a + b + c ≤ p VËy sè q nhá nhÊt lµ UBND TØNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo Đề chÝnh thøc kú thi chän häc sinh giái tØnh líp thCS - năm học 2008 - 2009 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc: A = − + 21 + 80 10 − 2 Giải phơng trình: x x + x − x − 18 = Bµi 2: (3,0 điểm) Cho phơng trình ( m + 1) x + ( 3m − 1) x − x − 4m + = (1) ( m lµ tham số) Biến đổi phơng trình (1) dạng phơng trình tích Với giá trị m phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt, có nghiệm âm Bài 3: (4,0 điểm) a+b Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt kì a, b ta có: ữ ab Dấu đẳng thức xảy nµo ? Cho ba sè thùc a, b, c không âm cho a + b + c = Chøng minh: b + c ≥ 16abc Dấu đẳng thức xảy ? Với giá trị góc nhọn biểu thøc P = sin α + cos α có giá trị bé ? Cho biết giá trị bé Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB lần lợt D, E F Đặt x = DB, y = DC , z = AE a Tìm hệ thức x, y z b Chøng minh r»ng: AB ×AC = DB ×DC Cho tam giác ABC cân A, BC = a Hai điểm M N lần lợt AC AB cho: AM = 2MC , AN = NB hai đoạn BM CN vuông góc với Tính diện tích tam giác ABC theo a Bài 5: (3,0 điểm) Một đoàn học sinh cắm trại ô tô Nếu ô tô chở 22 ngời thừa ngời Nếu bớt ô tô phân phối tất học sinh lên ô tô lại Hỏi có học sinh cắm trại có ô tô ? Biết ô tô chở không 30 ngời Một bìa hình chữ nhật có kích thớc 1ì HÃy cắt bìa thành mảnh để ráp lại thành hình vuông Giải thích Bi Đáp án đề hải dơng 2008 - 2009 Câu (4 ®iĨm) 1.1 (2 ®) A= − + 21 + 80 10 − ( 21 + 80 = + + ) 0,5 = 1+ 0,5 + 21 + 80 = + = + ( 3− 6−2 A= = = 2( − 1) −1 1.2 (2 ®) ) −1 −1 =1 x − x − + x − x − 18 = Điều kiện để phơng trình có nghĩa: x x Đặt t = x − x − ( t ≥ ) ⇔ x − x − 18 = t − 12 ( t ≥ ) Khi phơng trình đà cho trở thành: t + t − 12 = ( t ≥ ) ⇔ t = (t = −4 < lo¹i) − 61 + 61 t = ⇔ x − x − = > ⇔ x − x − 15 = ⇔ x1 = ; x2 = 2 ± 61 VËy ph¬ng trình đà cho có hai nghiệm: x1,2 = 2 1,0 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 (3 ®iĨm) 2.1 2.2 ( m + 1) x3 + ( 3m − 1) x − x − 4m + = (1) ⇔ ( m + 1) x3 − ( m + 1) x + 4mx − x − 4m + = ⇔ ( m + 1) x ( x − 1) + 4m ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( m + 1) x + 4mx + 4m − 1 =   0,5 0,5 0,25 Ta cã: ( x − 1) ( m + 1) x + 4mx + 4m − 1 =   x =1 (a)  ⇔  g ( x ) = ( m + 1) x + 4mx + 4m − = (b) Để phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt phơng trình (b) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tơng đơng với: m ≠ −1 m ≠ −1   1   ∆ ' = − 3m > ⇔  m < ⇔ m ≠ −1, m ≠ 0, m < (*)  3  g (1) ≠    9m ≠ Víi ®iỊu kiƯn (*), phơng trình (1) có nghiệm phân biệt, ®ã cã mét nghiƯm x = > vµ hai nghiệm lại x1 x2 (x1 < x2 ) nghiệm (b) Do để (1) có nghiệm phân biệt có hai nghiệm âm x1 < x2   m < −1 hay m > ⇔ ⇔ m < −1 hay m > (**)   S = x + x = −4 m <  m < −1 hay m >   m +1 Kết hợp (*) (**) ta có: Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt, có hai 1 nghiệm âm cần đủ lµ: m < −1 hay < m < 3 Điểm (4,0 điểm) 0,5 0,25 0,50 0,25 0,25 Vòng ii TP Hải Dơng Bài 1: (1,5 điểm) Cho a,b,c,d số thực thoả mÃn: Tính giá trị biÓu thøc sau:   a) M= 1 + a+b+c−d a+b+d −c c+d +a−b b+c+d −a = = = d c b a b + c  d + c  d + a  a + b  + a + b2 + c3 + d 1 + 1 + 1 +  ; b) N= a  b  c  d  1+ b + c2 + d + a4 x+4 x−4 + x4 x4 Bài 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức A= 1− 16 + x x2 víi x>4 a) Rót gọn A b) Tìm x Z để A Z Bài 3: (3 điểm) a) Tìm số nguyên tố p để 8p+9 số phơng b) Chứng minh với số nguyên dơng a,b,c,d,e số sau không số nguyên: A= a b c d e + + + + a+b+c+d a+b+c+e a+b+d +e a+c+d +e b+c+d +e Bài 4: (2 điểm) Cho ABC có trọng tâm G.O tâmđờng tròn nội tiếp Cho AB=c; BC=a; AC=b Chøng minh r»ng nÕu OG vu«ng gãc với phân giác góc ACB a + b + c 2ab = a+b 1 1 + + + + < 4 n A = x − a1 + x − a + x − a + + x − a 2009 b) Cho c¸c số thực a1 x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) Sơ lợc lời giải 3ax + x12 + 3a a2 a2 9a + 4a + + = 9a + 4a a2 3ax1 +