Chuyên đề: Giá trị tuyệt đối

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.[r]

(1)

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A.MỤC TIÊU

Thông qua việc giải toán phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn

B.THỜI LƯỢNG

Tổng số :(6 tiết)

1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)

2)Các dạng tập phương pháp giải(5 tiết)

1 Lý thuyết

*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối

của số a( a số thực)

* Giá trị tuyệt đối số khơng âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối

của

TQ: Nếu a0 a a

Nếu a0 a a

Nếu x-a  0=> |x-a = x-a | Nếu x-a  0=> |x-a = a-x | *Tính chất

Giá trị tuyệt đối số không âm TQ: a 0 với a  R

Cụ thể:

| |a =0 <=> a=0 | |a ≠ <=> a ≠

* Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối

TQ: 

 

    

b a

b a b a

* Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối

TQ:  a a a  a aa0;a a a0

* Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn

TQ: Nếu ab0 a  b

(2)

TQ: Nếu 0ab a  b

* Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối

TQ: a.b  a.b

* Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối

TQ:

b a b a 

* Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số

TQ: 2

a a 

* Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối

hai số, dấu xảy hai số dấu TQ: a  b  ab a b  ab a.b0

2 Các dạng toán :

I Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: A(x) k ( Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho

trước )

* Cách giải:

- Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số không âm )

- Nếu k = ta có A(x) 0A(x)0

- Nếu k > ta có: 

 

   



k x A

k x A k x A

) (

) ( )

( Bài 1.1: Tìm x, biết:

a) 2x5 4 b)

4

1  

x c)

3

1  

x d)

8

3   x

Giải

a1) | |x =

x= 

a2) 2x5 4

(3)

x =0,5

Tóm lại: x = 4,5; x =0,5 b) 4

1   x      

4-2x = -

1

Bài 1.2: Tìm x, biết:

a)

2

2 x  b) 7,5352x 4,5 c) 3,75 2,15 15       x Bài 1.3: Tìm x, biết:

a) 23x115 b) 2  x

c) 3,5

2   

x d)

5   x Bài 1.4: Tìm x, biết:

a) 5%

4  



x b)

4

2 x   c)

4

3  

x d)

6 5 ,

4  x 

a)

3 : ,

6  x  b)

2 :

11  

x c)

2 : ,

15  

x d) : 21    x

2 Dạng 2: A(x)  B(x) ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x ) * Cách giải:

Vận dụng tính chất: 

       b a b a b

a ta có: 

       ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x B x A x B x A x B x A

a) 5x4  x2 b) 2x3 3x2 0 c) 23x  4x3 d)

0

7x  x 

a) 5x4  x2

(4)

* 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 6x=

x=

Vậy x= 1,5; x=

a)

2

 

 x

x b)

5

  

 x

x c)

4

 

 x

x d)

2

  

 x

x

3 Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau:

) ( ) (x B x A  (1)

Điều kiện: B(x) 0 (*)

(1) Trở thành 

 

   



) ( ) (

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x

A ( Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện ( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a0 a a

Nếu a0 a a

Ta giải sau: A(x) B(x) (1)

 Nếu A(x) 0 (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện )

 Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện )

VD1: Giải :

a0) Tìm x  Q biết x+2 =2x * Xét x+

5  ta có x+

5 =2x *Xét x+

5 < ta có x+

(5)

a) x 2x

1  

b) x1 3x2 c) 5x x12 d) 7x 5x1 Bài 3.2: Tìm x, biết:

a) 9x 2x b) 5x 3x2 c) x6 92x d) 2x3x21 Bài 3.3: Tìm x, biết:

a) 42x 4x b) 3x12x c) x15 13x d) 2x5x2 Bài 3.4: Tìm x, biết:

a) 2x5  x1 b) 3x2 1x c) 3x7 2x1 d) 2x11x Bài 3.5: Tìm x, biết:

a) x55x b) x7 x7 c) 3x4 43x d) 72x 72x 4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x B x

A( )  ( )  ( ) 

Căn bảng xét khoảng giải toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ1 : Tìm x biết x   1 x 2x1 (1)

 Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta biến đổi biểu thức vế trái đẳng thức Từ tìm x

Giải

Xét x – = x = 1; x – < x < 1; x – > x > x- =  x = 3; x – <  x < 3; x – > x > Ta có bảng xét dấu đa thức x- x- đây:

Xét khoảng x < ta có: (1)  (1 – x ) + ( – x ) = 2x –  -2x + = 2x –  x =

4 (giá trị không thuộc khoảng xét) Xét khoảng  x  ta có:

(1)  (x – ) + ( – x ) = 2x –  = 2x –

x

(6)

 x =

2 ( giá trị thuộc khoảng xét) Xét khoảng x > ta có: (1)  (x – ) + (x – ) = 2x –

 - = -1 ( Vơ lí) Kết luận: Vậy x =

2 VD2 : Tìm x

|x+1 + | |x-1 =0 |

Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu

x -1

x+1 - + + x-1 - - + Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

Nếu x<-1 Nếu -1  x  Nếu x >1

a) 43x1 x 2x5 7x3 12 b) 3x4 2x15x3 x9 5

c) 1,2

5 5

1

2 x  x   d) x  x   x

5 2

1

a) 2x6  x3 8

c) x5  x39 d) x2  x3 x4 

e) x1 x2  x3 6 f) 2x2  4x 11

a) x2  x3  2x8 9 b) 3xx12xx2 12

c) x13x32x2 4 d) x5 12x  x e) x  2x3  x1 f) x 1x  x x3

a) x2  x5 3 b) x3 x5 8

(7)

5 Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: )

D(x C(x) B(x)

A(x)   (1)

Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x)0;B(x)0;C(x)0 Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

a) x1 x2  x3 4x b) x1 x2  x3 x4 5x1

c) x x x 4x

2

3

2     

 d) x1,1 x1,2  x1,3  x1,4 5x

a) x x x x 101x

101 100 101 101 101

1        



b) x x x x 100x

100 99 3 2 1         

c) x x x x 50x

99 97 5 3

1        



d) x x x x 101x

401 397 13 9 5 1         

6 Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết:

a) 1

2x   b)

2

2     x x

x c) 2

4

x x

x  

a) 1

2x   b)

5

1   

x c) x x   x

4

a) xx   x b) 4 2

1   

    

 x x x c)

4 2

1   

 x x

x

a) 2x3 x1 4x1 b) x11 2 c) 3x15 2 7 Dạng 7: A  B 0

(8)

* Nhận xét: Tổng số không âm số khơng âm tổng số hạng tổng đồng thời

* Cách giải chung: A  B 0

B1: đánh giá:

0

        

B A B

A

B2: Khẳng định: A  B 0   

  

0 B A

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:

a) 3x4  3y5 0 b) 25

9 

 

y y

x c) 32x  4y5 0

a)

7

5 x  y  b)

13 23 17 11 , 3

2     

y

x c)

0 2008 2007   

 y

x

* Chú ý1: Bài tốn cho dạng A  B 0 kết không thay đổi * Cách giải: A B 0 (1)

0

        

B A B

A

(2)

Từ (1) (2)  A  B 0   

  

0 B A

a) 5x1 6y8 0 b) x2y  4y3 0 c) xy2  2y1 0 Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) 12x811y5 0 b) 3x2y  4y10 c) xy7  xy10 0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) xy2  y30 b) x3y2007 y420080 c) xy20062007y10 d) xy52007y320080

(9)

a) x1 2  y32 0 b) 2x54 52y75 0

c)  

2

3 x y 2004 y  d)

2

2000

    



 

 

 y y

x

a) x2007  y2008 0 b)

3 10

7

  

y y

x

c)

25 2008 2007

1

1 2006  

   



 

y

x d) 20072xy20082008y420070

8 Dạng 8: A B  AB

* Cách giải: Sử dụng tính chất: a  b  ab

Từ ta có: a  b  ab a.b0 Bài 8.1: Tìm x, biết:

a) x5  3x 8 b) x2  x5 3 c) 3x53x16

d) 2x3 2x5 11 e) x12x3 3x2 f) x3 5x 2x4 2 Bài 8.2: Tìm x, biết:

a) x4  x6 2 b) x1 x5 4 c) 3x7 32x 13

d) 5x1 32x  43x e) x2 3x1 x1 3 f) x2  x7 4 1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối

Bài 1: Tìm x, biết:

a) 2x6  x3 8 Ta lập bảng xét dấu

x -3

x+3 - + + 2x-6 - - + Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

* Nếu x<-3

Khi phương trình trở thành - 2x - x - =

-3x = - -3x = x = -

(10)

- 2x + x + = - x = -1

x = ( thỏa mãn -  x  3) * Nếu x >3

2x-6 + x + = x = 11 x = 11

3 ( thỏa mãn x >3)

2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ vào Bài 1: Tìm x, biết:

a)

5 1

2x  

* |2x-1 + | =

4 |2x-1 = |

5 - |2x-1 = |

10

2x-1=

10 2x =

10 + x= 13 20

  

<=>

  

<=>

  

2x-1= -

10 2x = -

10 + x= 20

* |2x-1 + | =-

4

|2x-1 =- | -

1

2 (không thỏa mãn)

3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) xy2  y3 0

(11)

2 x y y

   

   

x-y-2 =0 x=-1

  

<=>

  

y+3 =0 y= -3

Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :

a) x1 2  y32 0

Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:

a) x2007  y2008 0

Bài 4: Tìm x thoả mãn:

a) x5  3x 8

II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: A B m với m0

* Cách giải:

* Nếu m = ta có A  B 0   

  

0 B A

* Nếu m > ta giải sau:

m B

A  (1)

Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ tìm giá trị B A tương ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) x2007  x2008 0 b) xy2  y3 0 c) x y2 2y1 0 Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) x3y5  y4 0 b) xy5y34 0 c) x3y13y2 0 Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:

a) x4  y2 3 b) 2x1 y1 4 c) 3x  y5 5 d) 5x  2y3 7 Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

(12)

a) y2 3 2x3 b) y2 5 x1 c) 2y2 3 x4 d)

2 12

3y2   x

2 Dạng 2: A  B m với m > * Cách giải: Đánh giá

m B

A  (1)

0

        

B A B

A

(2)

Từ (1) (2) 0 A  B m từ giải tốn A B k dạng với

m k 

Bài 2.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) x  y 3 b) x5  y2 4 c) 2x1 y4 3 d) 3x  y5 4 Bài 2.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 5x1 y2 7 b) 42x5  y3 5 c) 3x52y1 3 d)

7

3 x  y 

3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a  b  ab xét khoảng giá trị ẩn số Bài 3.1: Tìm số nguyên x thoả mãn:

a) x1 4x 3 b) x2  x3 5 c) x1 x6 7 d) 2x5  2x3 8 Bài 3.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời điều kiện sau

a) x + y = x2  y 6 b) x +y = 2x1 yx 5

c) x –y = x  y 3 d) x – 2y = x  2y1 6 Bài 3.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:

a) x + y = x1 y2 4 b) x – y = x6  y1 4

c) x – y = 2x1 2y1 4 d) 2x + y = 2x3  y2 8

4 Dạng 4: Kết hợp tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dấu tích:

* Cách giải : A(x).B(x) A(y)

Đánh giá: A(y) 0A(x).B(x)0n xm tìm giá trị x

Bài 4.1: Tìm số nguyên x thoả mãn:

(13)

a) 2xx1 y1 b) x31x y c) x25x 2y12 Bài 4.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) x13x2y 1 b) x25x y1 1 c) x3x5 y2 0 5 Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức:

* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: Am (1)

Đánh giá: Bm (2) Từ (1) (2) ta có:

       m B m A B A

a)  2

2

1

2     

 x y

x b) 12       y x x c)

2 6 10 2      x

y d)

3       y x x

a)

 5 2 2       y x

x b)

2 16        y y x x

c)  

2 12 3       y x x d) 10       y y x

a)  

3 14 2        y y y

x b)  

5 20 2      y x c) 2008 2007      y x d) 30       y y x

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x4,1 a) A x3,5  4,1x b) B x3,5  x4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x < - 1,3:

a) A x1,3  x2,5 b) B x1,3 x2,5 Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) A x2,5  x1,7 b)

5   

 x x

(14)

Bài 4: Rút gọn biểu thức

7

3 

 x a) 5    

 x x

A b)      

 x x

B Bài 5: Rút gọn biểu thức:

a) A x0,8 x2,5 1,9 với x < - 0,8 b)

,

4   



 x x

B với 4,1

3  

x c) 5

2    

 x x

C với

5 

x d)

2

1  



 x x

D với x >

==============&=&=&==============

IV – Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

a) M = a + 2ab – b với a 1,5;b0,75 b) N =

b a

2 với a 1,5;b0,75 Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

a) A2x2xyy với

4 ;

5 ,

2  

 y

x b) B3a3abb với ; 0,25   b a c) b a C 3 

 với ; 0,25

3



 b

a d) D3x2 2x1 với



x

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a) A6x3 3x2 2x 4 với

2

 

x b) B2x 3y với ;    y x

c) C 2x2 31x với x = d)

1     x x x

D với

2



x

V – Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu từ tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A0,5 x3,5 b) B1,4x 2 c)

(15)

e) E 5,5 2x1,5 f) F 10,23x 14 g) G4 5x2 3y12 h) , 5 , ,    x

H i) I 2,5x 5,8 k) K 104x2

l) L5 2x1 m)

3    x

M n)

4 12     x N

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A1,7 3,4x b) B x2,8 3,5 c) C3,7 4,3x

d) D 3x8,4 14,2 e) E  4x3 5y7,5 17,5 f) F  2,5x 5,8

g) G 4,9x 2,8 h)

7    x

H i) I 1,51,9x

k) K 23x14 l) L23x2 1 m) M 514x 1 Bài 1.3: Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) 15     x A b) 21 15 21      x

B c)

8 5 20       y x C d) 2 24        x y x

D e)

  5 14 21 2       x y x E

a) 11      x x

A b)

6 2 13      y y

B c)

8 32 15      x x C

a) 24      x A b) 35 14     y B c) 35 3 28 12 15       x y x C

a) 33 21      x x

A b)

14 14      y y

B c)

12 68 15       x x C

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biểu thức:

a) A x5 2x b) B 2x12x6 c) C  3x583x

(16)

a) A2x32x5 b) B3x143x c)

1

4   

 x x

C

a) Ax5 x4 b) B2x32x4 c) C 3x173x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A2x5 2x6 b) B3x4 83x c) C55x 5x7

a) A x1 x5 b) B x2  x6 5 c) C  2x4  2x1 3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a  b  ab

a) A x2  x3 b) B 2x4  2x5 c) C 3x2  3x1 Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A x5  x14 b) B 3x7  3x2 8 c) C4x3 4x5 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A x3 2x5  x7 b) B x1 3x4  x15

c) C  x2 42x5  x3 d) D x356x1 x13 Bài 3.4: Cho x + y = tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 1  

 x y

A

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị biểu thức:

6   

 x y

B

Bài 3.6: Cho x – y = tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2   

 x y

C

Bài 3.7: Cho 2x+y = tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2    

 x y