Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí CHUN ĐỀ TỐN (BD HSG) DÃY SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT I Phương pháp dự đoán quy nạp: Trong số trường hợp gặp tốn tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách ta biết kết (dự đoán, toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp chứng minh Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1) Thử trực tiếp ta thấy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dự đoán Sn = n2 hoc360.ne t Với n = 1; 2; ta thấy kết Giả sử với n = k (k 1) ta có Sk = k (2) Ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) (3) Thật cộng vế (2) với 2k +1 ta có 1+3+5 + + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1) Vì k2 + (2k +1) = (k +1) nên ta có (3) tức Sk+1 = ( k +1) Theo nguyên lý quy nạp toán chứng minh Vậy Sn = 1+3 + + + ( 2n -1) = n2 Tương tự ta chứng minh kết sau phương pháp quy nạp toán học 1, + 2+3 + + n = n(n 1) 2, 12 + 2 + + n = n(n 1)(2n 1) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí n(n 1) 3, +2 + + n = 3 4, 15 + 25 + + n5 = n (n + 1) (2n2 + 2n – 1) 12 II Phương pháp khử liên tiếp: Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta biểu diễn , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác, xác , giả sử : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ Khi ta có ngay: Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Ví dụ 2: Tính tổng: S= Ta có : hoc360.ne t 1 1 10.11 11.12 12.13 99.100 1 1 1 1 , , , 10.11 10 11 11.12 11 12 99.100 99 100 Do : S= 1 1 1 1 10 11 11 12 99 100 10 100 100 Dạng tổng quát Sn = 1 (n > 1) 1.2 2.3 n(n 1) = 1- n n 1 n 1 Ví dụ 3: Tính tổng Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Sn = 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) Ta có Sn = Sn = Sn = 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 n(n 3) 1.2 (n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) Ví dụ 4: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! hoc360.ne t n.n! = (n + 1) –n! Vậy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = (n+1) ! - 1! = (n+ 1) ! - Ví dụ : tính tổng Sn = 2n 2 (1.2) (2.3) n(n 1)2 Ta có : Do 2i i(i 1) 1 ; i (i 1) Sn = ( 1= 1- i = ; ; 3; ; n 1 1 1 ) 2 (n 1) 2 n n(n 2) (n 1) (n 1) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí III Phương pháp giải phương trình với ẩn tổng cần tính: Ví dụ : Tính tổng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) Ta viết lại S sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Từ (5) suy S = 1+ 2S -2101 S = 2101-1 Ví dụ 7: tính tổng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1) Ta viết lại Sn dạng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) hoc360.ne t Sn = + p ( 1+p +p + + p n-1 n n + p –p ) Sn = 1+p ( Sn –pn ) Sn = +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 Sn = P n 1 p 1 Ví dụ : Tính tổng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta có : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí P n 1 p.Sn=Sn (n 1) P n 1 ( theo VD ) P 1 p n 1 P 1 Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 Sn = (n 1) P n 1 p n 1 p 1 ( P 1) IV Phương pháp tính qua tổng biết n Các kí hiệu : a i a1 a a3 a n i 1 Các tính chất : n 1, n (a i i 1 i 1 n 2, n bi ) bi i 1 n a.ai a i 1 i 1 Ví dụ : Tính tổng : hoc360.ne t Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) n Ta có : Sn = n n n i(i 1) (i i) i i i 1 i 1 i 1 i 1 Vì : n i n i 1 n(n 1) n n(n 1)(2n 1) i i 1 (Theo I ) n(n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2) : Sn = Ví dụ 10 : Tính tổng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) n ta có : Sn = n i(3i 1) (3i i 1 i) i 1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/