Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)

Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)Điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic (Luận văn thạc sĩ)

1 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm hiểu, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Duy Tân Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Hoàng Tùng Lời cảm ơn Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Duy Tân người tận tâm hướng dẫn, động viên suốt thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, bạn bè ngồi Viện Tốn học giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam suốt trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh động viên tơi q trình học tập nghiên cứu Danh mục ký hiệu chữ viết tắt K trường hồn thiện, có đặc số khác K bao đóng đại số cố định K GK/K nhóm Galois K/K Fq trường hữu hạn với q phần tử Fq bao đóng đại số Fq E [m] deg φ nhóm m-xoắn đường cong elliptic E bậc ánh xạ φ degs φ bậc tách ánh xạ φ degi φ bậc không tách ánh xạ φ eφ (P ) φ∗ số rẽ nhánh φ ánh trường hàm cảm sinh ánh xạ hữu tỉ đường cong Danh mục hình vẽ Hình 1.1: Kiểm tra luật hợp thành Hình 1.2: Luật hợp thành đường cong elliptic Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số 1.1.1 Đa tạp affine 1.1.2 Đa tạp xạ ảnh 10 1.1.3 Ánh xạ đa tạp 15 1.2 Đường cong đại số 16 1.3 Luật nhóm đường cong elliptic 20 1.4 Điểm có cấp hữu hạn 25 Đường cong elliptic trường hữu hạn 30 2.1 Định lý Hasse 30 2.2 Một định lý Gauss 37 Đường cong elliptic trường số hữu tỉ 46 3.1 Hàm độ cao 46 3.2 Định lý Mordell yếu 55 3.3 Định lý Mordell Q 74 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 MỞ ĐẦU Đường cong elliptic định nghĩa phương trình y = x3 + ax + b Đây đối tượng quan trọng lý thuyết số Chẳng hạn, sử trọng chứng minh Định lý cuối Fermat Ngồi cịn có ứng dụng lý thuyết mật mã (mật mã đường cong elliptic) Mục đích luận văn nghiên cứu tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn trường số hữu tỉ Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn, Định lý Mordell–Weil cấu trúc nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic Q Chương I luận văn gồm bốn phần Phần thứ khái niệm, định nghĩa, tính chất tập đại số Phần thứ hai khái niệm, định nghĩa, tính chât đường cong đại sô Phần thứ ba mơ tả cách xây dựng cấu trúc nhóm đường cong elliptic Phần thứ tư cho ta mô tả điểm có cấp hữu hạn Chương II luận văn gồm hai phần Phần thứ Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn Phần thứ hai trình bày Định lý Gauss, cho ta cơng thức tính xác số điểm hữu tỉ trường hợp riêng Định lý Hasse Chương III luận văn gồm ba phần Phần thứ xây dựng hàm độ cao chứng minh tính chất hàm Phần thứ hai Định lý Mordell yếu Phần thứ ba Định lý Mordell Q Trong phần này, ta xây dựng ví dụ cụ thể cho việc tính tốn nhóm E (Q) CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số Trong phần này, ta nêu định nghĩa tính chất đa tạp đại số không gian affine không gian xạ ảnh nhằm phục vụ cho phần sau luận văn 1.1.1 Đa tạp affine Định nghĩa 1.1.1 Không gian Affine n chiều trường K tập hợp An = An K = P = (x1 , , xn ) : xi ∈ K , K bao đóng đại số K Một cách tương tự, tập hợp điểm K -hữu tỷ An An (K) = {P = (x1 , , xn ) ∈ An : xi ∈ K} Chú ý 1.1.2 Nhóm Galois GK/K tác động lên An theo quy luật sau Với σ ∈ GK/K , ta có P σ = (xσ1 , , xσn ) , với xσi = σ (xi ) Vì vậy, An (K) xác định An (K) = P ∈ An : P σ = P ∀σ ∈ GK/K Gọi K [X] = K [X1 , , Xn ] vành đa thức n biến I ⊂ K [X] ideal vành Với I ta có tập An , VI = {P ∈ An : f (P ) = 0, ∀f ∈ I} Định nghĩa 1.1.3 (a) Một tập affine đại số tập có dạng VI (b) Nếu V tập đại số, ideal V I (V ) = f ∈ K [X] : f (P ) = 0, ∀P ∈ V (c) Một tập đại số gọi tập đại số xác định K ideal I (V ) sinh đa thức vành K [X] Ta kí hiệu tập đại số V /K Nếu V tập đại số xác định K tập điểm K -hữu tỷ V tập V (K) = V ∩ An (K) Chú ý 1.1.4 Định lý sở Hilbert K [X] K [X] vành Noether Chú ý 1.1.5 (a) Cho V tập đại số, ideal I (V /K) định nghĩa I (V /K) = {f ∈ K [X] : f (P ) = 0, ∀P ∈ V } = I (V ) ∩ K [X] Khi đó, V xác định K I (V ) = I (V /K) K [X] (b) Giả sử V xác định K Khi đó, theo Chú ý 1.1.4, tồn f1 , , fm ∈ K [X] các phần tử sinh I (V /K) Ta có V (K) tập hợp (x1 , , xn ) thỏa mãn f1 (x1 , , xn ) = · · · = fm (x1 , , xn ) = 0, với xi ∈ K (c) Nếu f (X) ∈ K [X] P ∈ An f (P σ ) = f (P )σ Vì thế, V xác định K tác động GK/K lên An cảm sinh tác động lên V Nói rõ hơn, V (K) = P ∈ V : P σ = P, ∀σ ∈ GK/K Định nghĩa 1.1.6 (a) Một tập đại số affine V gọi đa tạp affine I (V ) ideal nguyên tố vành K [X] (b) Cho V /K đa tạp affine Vành tọa độ affine V /K , kí hiệu K [V ], định nghĩa sau K [V ] = K [X] I (V /K) (c) Vì I (V /K) ideal nguyên tố K [X] nên K [V ] miền nguyên Vì thế, ta định nghĩa trường thương nó, kí hiệu K (V ) Ta gọi K (V ) trường hàm V /K (d) Tương tự, ta định nghĩa K [V ] K (V ) cách thay vai trò K K Tiếp theo, ta định nghĩa chiều đa tạp Định nghĩa 1.1.7 Cho V đa tạp affine Chiều V , kí hiệu dim (V ) bậc siêu việt K (V ) K Định nghĩa 1.1.8 Cho V đa tạp affine, P ∈ V f1 , , fm ∈ K [X] phần tử sinh I (V ) Khi đó, V gọi khơng kì dị (trơn) P ma trận ∂fi (P ) ∂Xj 1≤i≤m, 1≤j≤n có hạng n − dim (V ) Nếu V trơn điểm ta nói V đa tạp khơng kì dị (trơn) 10 Chú ý 1.1.9 Cho P ∈ V , ta định nghĩa ideal K [V ], kí hiêu MP sau MP = f ∈ K [V ] : f (P ) = Vì K [V ] /MP −→ K f −→ f (P ) đẳng cấu nên MP ideal cực đại Định nghĩa 1.1.10 (a) Vành địa phương V P , kí hiệu K [V ]P địa phương hóa K [V ] MP Ta có K [V ]P = F ∈ K [V ] : F = f , với f, g ∈ K [V ] g (P ) = g f f (P ) ∈ K [V ]P F (P ) = định nghĩa tốt Những g g (P ) hàm nằm K [V ]P gọi quy (xác định) P (b) Nếu F = 1.1.2 Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.1.11 Không gian xạ ảnh n chiều K , kí hiệu Pn Pn K tập lớp tương đương tập (x0 , , xn ) ∈ An+1 , tồn xi = Quan hệ tương đương ∼ định nghĩa sau (x0 , , xn ) ∼ (y0 , , yn ) ∗ tồn λ ∈ K cho (x0 , , xn ) = λ (y0 , , yn ) Ta kí hiệu phần tử Pn [x0 , , xn ] gọi xi tọa độ Tập hợp điểm K -hữu tỷ Pn tập Pn (K) = {[x0 , , xn ] ∈ Pn : xi ∈ K} 72 ta giả sử E [m] ⊂ E (K) nên σ cố định T (b) Tính tuyển tính theo P hiển nhiên Ta chứng minh κ tuyến tính với σ Giả sử σ, τ ∈ GK/K , ta có κ (P, στ ) = Qστ − Q = (Qσ − Q)τ − (Qτ − Q) = κ (P, σ)τ + κ (P, τ ) = κ (P, σ) + κ (P, τ ) Vì κ (P, σ) ∈ E [m] ⊂ E (K) nên τ cố định κ (P, σ) (c) Giả sử P ∈ mE (K), P = [m] Q với Q ∈ E (K) Khi đó, Q cố định σ ∈ GK/K , κ (P, σ) = Qσ − Q = O Ngược lại, giả sử κ (P, σ) = với σ ∈ GK/K Khi đó, chọn Q ∈ E K với [m] Q = P, ta có Qσ = Q, với σ ∈ GK/K Vì Q ∈ E (K) suy P = [m] Q ∈ mE (K) (d) Nếu σ ∈ GK/L κ (P, σ) = Qσ − Q = O, Q ∈ E (L) theo định nghĩa L Ngược lại, giả sử σ ∈ GK/K thỏa mãn κ (P, σ) = O với P ∈ E (K) Khi đó, với điểm Q ∈ E K thỏa mãn [m] Q ∈ E (K) ta có O = κ ([m] Q, σ) = Qσ − Q Mặt khác L trường sinh trường K (Q) với Q thỏa mãn [m] Q ∈ E (K) nên σ cố định L Vì σ ∈ GK/L Ta có L/K mở rộng Galois phần tử GK/K gửi [m]−1 E (K) vào Hơn nữa, từ (d) ta có GK/L hạt nhân đồng cấu GK/K −→ Hom (E (K) , E [m]) , σ −→ κ ( · , σ) , nên GK/L nhóm chuẩn tắc GK/K 73 Nhận xét 3.2.12 Với m = 2, Mệnh đề 1.4.1, điểm có cấp hai có dạng (x, 0) Vì E [2] hữu hạn Mặt khác, E (K) /2E (K) −→ E [2] phép ghép cặp song tuyến tính hoàn hảo nên E (K) /2E (K) hữu hạn GL/K hữu hạn Ta nêu không chứng minh mệnh đề sau Chứng minh mệnh đề tham khảo [2, Mệnh đề VIII.1.6] Mệnh đề 3.2.13 Với kí hiệu mệnh đề 3.2.11, ta có mở rộng L/K hữu hạn hay nhóm GL/K hữu hạn Ta có định lý sau Định lý 3.2.14 (Định lý Mordell yếu) Cho E/Q đường cong elliptic Khi đó, E (Q) /2E (Q) nhóm hữu hạn Chứng minh Theo Mệnh đề 1.4.1, điểm cấp hai có dạng (x, 0) Vì x nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = Vì E đường cong elliptic nên phương trình có ba nghiệm phân biệt, kí hiệu x1 , x2 , x3 Ta đặt K = Q (x1 , x2 , x3 ) Khi đó, ta có E [2] ⊂ K Gọi L trường sinh trường K (Q), với Q chạy điểm thỏa mãn 2Q ∈ K Áp dụng Mệnh đề 3.2.13 ta có GL/K hữu hạn Theo Nhận xét 3.2.12 ta thu E (K) /2E (K) nhóm hữu hạn Vì K/Q mở rộng Galois hữu hạn nên ta áp dụng Bổ đề 3.2.9 để thu E (Q) /2E (Q) nhóm hữu hạn 74 3.3 Định lý Mordell Q Trong phần chứng minh định lý Mordell Q Để chuẩn bị cho việc chứng minh, ta liệt kê mệnh đề, định lý chứng minh phần trước luận văn Cho E đường cong elliptic định nghĩa phương trình y = x3 + ax2 + bx + c, a, b, c ∈ Z Khi đó, ta có khẳng định sau (L1 ) Với số dương M cho trước, ta có # {P : h (P ) ≤ M } < +∞ (L2 ) Cho trước điểm P0 ∈ E (Q) , tồn số thực κ0 , phụ thuộc vào a, b, c, P0 cho h (P + P0 ) ≤ 2h (P ) + κ (L3 ) Với P ∈ E (Q) , tồn số thực κ, phụ thuộc vào a, b, c, cho 4h (P ) − κ ≤ h (2P ) (L4 ) Chỉ số (E (Q) : 2E (Q)) hữu hạn Ý tưởng chứng minh định lý dựa phương pháp "xuống thang" Hàm độ cao cho phép ta đo lường "độ phức tạp" điểm P thuộc E (Q) Ta xuất phát từ điểm P sau sử dụng phương pháp lặp để biểu diễn P qua hữu hạn điểm cho trước với điểm Pi Qua bước lặp, độ cao Pi giảm dần, độ cao nhỏ số M cho trước Khi đó, ta sử dụng (L1 ) để thu điều phải chứng minh Định lý 3.3.1 Cho E/Q đường cong elliptic Khi đó, E (Q) nhóm aben hữu hạn sinh 75 Chứng minh Theo (L4 ) , ta có (E (Q) : 2E (Q)) hữu hạn Vì tồn Q1 , , Qn ∈ E (Q) phần tử đại diện lớp kề 2E (Q) E (Q) Với P ∈ E (Q) bất kì, ta có P − Qj1 ∈ 2E (Q) , với i1 Điều tương đương với việc tồn P1 ∈ E (Q) , cho P = Qj1 + 2P1 Tương tự, tồn Qj2 P2 thuộc E (Q) cho P1 = Qj2 + 2P2 Tiếp tục trình đến bước thứ i, ta thu Pi−1 = Qji + 2Pi Ta có cơng thức sau P = Qj1 + 2Qj2 + · · · + 2i−1 Qji + 2i Pi Tiếp theo, ta đánh giá h (2Pi ) Theo (L3 ) , tồn số thức κ phục thuộc vào a, b, c, cho 4h (Pi ) − κ ≤ h (2Pi ) Vì ta có 2Pi = Pi−1 − Qji nên 4h (Pi ) − κ ≤ h (Pi−1 − Qji ) (3.3.7) Ta áp dụng (L2 ) cho −Qt Với Q ∈ E (Q) bất kì, tồn κt phụ thuộc a, b, c −Qt cho h (Q − Qt ) ≤ 2h (Q) + κt 76 Ta đặt κ = max {κt : ≤ t ≤ n} Ta có h (Q − Qt ) ≤ 2h (Q) + κ , ∀t Chú ý số κ phụ thuộc vào a, b, c Thay Q Pi−1 , ta có h (Pi−1 − Qji ) ≤ 2h (Pi−1 ) + κ (3.3.8) Từ (3.3.7) (3.3.8), ta có 4h (Pi ) − κ ≤ 2h (Pi−1 ) + κ Do đó, 4h (Pi ) ≤ 2h (Pi−1 ) + κ + κ Vì h (Pi ) ≤ h (Pi−1 ) − (h (Pi−1 ) − (κ + κ )) 4 Ta đặt M = |κ + κ | + > Nếu tồn i0 cho h (Pi0 ) ≤ κ + κ ≤ M ta dừng bước thứ i0 Nếu h (Pi ) > κ + κ với i h (Pi+1 ) < h (Pi ) , với i Khi đó, h (Pi ) giảm ngặt nên tồn i0 cho h (Pi0 ) ≤ M Ta dừng bước thứ i0 Theo (L1) , ta có # {P : h (P ) ≤ M } < +∞ Vì tồn P1 , , Pm thuộc E (Q) cho {P : h (P ) ≤ M } = {P1 , , Pm } Ta có {Q1 , , Qn , P1 , , Pm } hệ sinh hữu hạn E (Q) Chúng ta sử dụng định lý Mordell kĩ thuật tính tốn nêu tồn chương để tìm hệ sinh hữu hạn cho đường cong elliptic ví dụ sau Ví dụ 3.3.2 Cho đường cong elliptic E định nghĩa E : y = x3 + 6x2 + x 77 Bước Tính tốn đại lượng Ta có a = −2a = −2.6 = −12, b = a2 − 4b = 62 − = 32 Ta thu E : y = x3 − 12x2 + 32x Theo Định lý 3.2.3, ta có đồng cấu sau φ : E (Q) −→ E (Q) , định nghĩa   y y x2 −   , x x2 φ (P ) =   O, , P = (x, y) , x = P = O P = T, ψ : E (Q) −→ E (Q) , định nghĩa   y y x2 − 32   , , P = (x, y) , x = 4x2 8x2 ψ P =   O, P = O P = T Ta có {O; T = (0, 0) ; (−1, 2) ; (−1, −2)} ⊂ E (Q) , O; T = (0, 0) ; (4, 0) ; (8, 0) ⊂ E (Q) Bước Tìm lớp kề 2E (Q) E (Q) Áp dụng Mệnh đề 3.2.5, phần (a) với b = 1, b = 32, ta có đồng cấu sau α : E (Q) −→ Q∗ /Q∗ , định nghĩa α (P ) =   1 mod Q∗ , P = O P = T  x mod Q∗ , P = (x, y) , x = 78 α : E (Q) −→ Q∗ /Q∗ , định nghĩa    mod Q∗ , P = O    α P = mod Q∗ , P = T     x mod Q∗ , P = (x, y) , x = Theo Mệnh đề 3.2.5, phần (c), ta có α (E (Q)) ⊂ 1.Q∗ ; −1.Q∗ α E (Q) ⊂ 1.Q∗ ; −1.Q∗ ; 2.Q∗ ; −2.Q∗ Vì α (T ) = 1.Q∗ α ((−1, −2)) = −1.Q∗ nên α (E (Q)) = 1.Q∗ ; −1.Q∗ Tiếp theo, ta chứng minh α E (Q) = 1.Q∗ ; 2.Q∗ Giả sử tồn P (x, y) ∈ E (Q) , cho α P = −1.Q∗ Khi đó, −t2 e2 n y = 3, e x= t, e, n ∈ Z gcd (t, e) = gcd (n, e) = Thay vào phương trình định nghĩa E khử mẫu số, ta thu phương trình sau n2 = −t6 − 12t4 e2 − 32t2 e4 Ta có n2 = −t6 − 12t4 e2 − 32t2 e4 = −t2 t4 + 12t2 e2 + 32e4 = −t2 t2 + 6e2 − 4e4 Vì t2 t2 + 6e2 = 4t2 e4 − n2 79 Ta có đánh giá sau t2 t2 + 6e2 ≥ 36t2 e4 4t2 e4 − n2 ≤ 4t2 e4 Ta suy 36t2 e4 ≤ t2 t2 + 6e2 = 4t2 e4 − n2 ≤ 4t2 e4 =⇒ 36 ≤ (vì t e = 0) =⇒ vô lý Vậy không tồn P ∈ E (Q), cho α P = −1.Q∗ Giả sử tồn P ∈ E (Q) , cho α P = −2.Q∗ Khi đó, α P + T = α P α T = −2.Q∗ 2.Q∗ = −1.Q∗ Mâu thuẫn với việc không tồn P cho α P = −1.Q∗ Vậy không tồn P ∈ E (Q), cho α P = −2.Q∗ Mặt khác, ta có α O = 1.Q∗ α ((8, 0)) = 2.Q∗ Hơn nữa, ta có α E (Q) ⊂ 1.Q∗ ; −1.Q∗ ; 2.Q∗ ; −2.Q∗ Vì α E (Q) = 1.Q∗ ; 2.Q∗ Từ lập luân kết hợp với Mệnh đề 3.2.5, phần (b), ta có 2 E (Q) /ψ E (Q) ∼ = α (E (Q)) = 1.Q∗ ; −1.Q∗ , 2 E (Q) /φ (E (Q)) ∼ = α E (Q) = 1.Q∗ ; 2.Q∗ Mặt khác, ta có α (O) = 1.Q∗ α ((−1, −2)) = −1.Q∗ 80 α O = 1.Q∗ α ((8, 0)) = 2.Q∗ Vì thế, ta có E (Q) /ψ E (Q) = O + ψ E (Q) ; (−1, −2) + ψ E (Q) E (Q) /φ (E (Q)) = O + φ (E (Q)) ; (8, 0) + φ (E (Q)) Theo Bổ đề 3.2.7, E (Q) /2E (Q) có dạng {O + 2E (Q) ; (−1, −2) + 2E (Q) ; T + 2E (Q) ; (T + (−1, −2)) + 2E (Q)} = {O + 2E (Q) ; (−1, −2) + 2E (Q) ; T + 2E (Q) ; (−1, 2) + 2E (Q)} Bước Tính tốn κ Trường hợp P0 = O, ta có h (P + P0 ) = h (P ) ≤ 2h (P ) + 0, ∀P ∈ E (Q) Vì thế, κO = Trường hợp P0 = T, Với P = T, ta có h (T + T ) = h (O) = ≤ 2h (T ) + Vì thế, κT,T = Với P = O, ta có h (O + T ) = h (T ) ≤ 2h (T ) + Vì thế, κT,O = Với P = (x, y) , x = 0, ta có 6x2 + x − 6x2 y − x3 − 6x2 h (P + T ) = h (x (P + T )) = h =h x2 x2 =h = h (x) = h (P ) ≤ 2h (P ) + x 81 Vì thế, κT,P = Vì vậy, ta có κT = max {κT,T ; κT,O ; κT,P } = Ta có nhận xét sau h (P ) = h (−P ) , ∀P ∈ E (Q) Trường hợp P0 = (−1, −2) Ta có 2P0 = (0, 0) = T Với P = P0 , ta có h (P + P0 ) = h (2P0 ) = h (T ) = ≤ 2h (P ) + Vì thế, κP0 ,P0 = Với P = −P0 , ta có h (P + P0 ) = h (O) = ≤ 2h (P ) + Vì thế, κP0 ,−P0 = Với P = O, ta có h (P + P0 ) = h (P0 ) = ≤ 2h (P ) + Vì thế, κP0 ,O = Với P = (x, y) , x = −1, ta có 4y − x2 − 5x − x (P + P0 ) = x2 + 2x + Theo Mệnh đề 3.1.5, ta có √ √ κ(−1,−2),P = log max + + + 1; + + = log + √ Vì thế, κ(−1,−2) = log + Một cách tương tự, ta có √ κ(−1,2) = log + 82 √ Vậy κ = max κO , κT , κ(−1,−2) , κ(−1,2) = log + Bước Tính tốn κ Với P = O P có cấp lớn hai, ta có x (2P ) = x4 − 2x2 + f1 (x) = 4x3 + 24x2 + 4x f2 (x) Ta đặt 3 x − x + 1, 32 3 F2 (x) = x − x2 − x+ 128 64 128 32 F1 (x) = − Ta có F1 (x) f1 (x) + F2 (x) f2 (x) = m m Với phân số tối giản , không nghiệm f2 (x) , ta có n n m n4 f1 m4 − 2m2 n2 + n4 n = m n + 24m2 n2 + 4mn3 4m n f2 n m m Gọi R gcd n4 f1 , n4 f2 Thực giống chứng n n minh Bổ đề 3.1.9, ta thu R chia hết 128 H n4 f1 ( m n) n4 f2 ( m n) H m n ≥ α , 256 đó, α số thỏa mãn (|f1 (t)| + |f2 (t)|) ≥ α, ∀t max |t| , √ Bằng việc khảo sát, ta α = 544 − 384 Từ (3.3.9), ta có h (2P ) ≥ 4h (P ) − log 256 α (3.3.9) 83 Vậy ta chọn κ1 = log 256 α Với P = O, ta có h (2O) = ≥ 4h (O) + Ta chọn κ2 = Với P có cấp hai, ta có P = T h (2P ) = h (O) = ≥ 4h (T ) − 4h (T ) 256 α Bước Tìm điểm có độ cao bị chặn M Thực Định lý Chọn κ3 = 4h (T ) = Cuối cùng, ta chọn κ = max {κ1 ; κ2 ; κ3 } = log (3.3.1), ta thu h (Pi−1 ) κ + κ + Để thuận lợi cho việc tính tốn, ta cố gắng tìm số M nhỏ tốt Ta biến h (Pi ) ≤ đổi bất đẳng thức thành h (Pi ) ≤ 1000 h (Pi ) − 1001 999 κ+κ h (Pi ) − 2002 Nếu tồn i0 cho h (Pi0 ) < M = 2002 κ + κ 999 ta dừng bước lặp thứ i0 Nếu h (Pi ) ≥ M = 2002 κ + κ , với i 999 1000 h (Pi−1 ) với i Vì thế, dãy h (Pi ) giảm ngặt nên tồn 1001 i0 để h (Pi0 ) < M Đây mâu thuẫn h (Pi ) < Ta có {P ∈ E (Q) : h (P ) ≤ M } = P ∈ E (Q) : H (P ) ≤ eM Vì độ cao H số nguyên dương eM < 72 nên ta có {P ∈ E (Q) : h (P ) ≤ M } = {P ∈ E (Q) : H (P ) ≤ 71} 84 {P ∈ E (Q) : h (P ) ≤ M } = {O; T ; (−1, −2) ; (−1, 2)} Vậy E (Q) có hệ sinh {O; T ; (−1, −2) ; (−1, 2)} Mặt khác nhóm nên ta có E (Q) = {O; T ; (−1, −2) ; (−1, 2)} = (−1, 2) ∼ = Z/4Z Vì α E (Q) = 1.Q∗ ; 2.Q∗ nên E (Q) = α−1 1.Q∗ ∪ α−1 2.Q∗ = φ (E (Q)) ∪ α−1 2.Q∗ = O; (4, 0) ∪ α−1 2.Q∗ Tiếp theo, ta tính tốn nhóm E (Q) Nếu P ∈ α−1 2.Q∗ 2P ∈ α−1 1.Q∗ = φ (E (Q)) = O; (4, 0) Trường hợp Giả sử 2P = O suy P ∈ O; T ; (4, 0) (8, 0) Vì α P = nên ta có P ∈ (8, 0) ; T Trường hợp Giả sử 2P = (4, 0) , ta gọi y = λx + ν đường thẳng qua P (x, y) hai lần (4, 0) lần Hơn nữa, α P = = = α (4, 0) nên P = (4, 0) Vì thế, ta có λ= y−0 f (x) = x−4 2y Vì thế, y = xf (x) Thế y = x3 − 12x + 32 vào ta thu x3 − 12x2 + 64x − 128 = Phương trình có ba nghiệm 4, − 4i, + 4i Vì P = (4, 0) nên khơng có nghiệm thỏa mãn Vậy ta có E (Q) = O; T ; (4, 0) ; (8, 0) ∼ = T × (4, 0) ∼ = Z/2Z × Z/2Z 85 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề sau - Hệ thống lại số kiến thức đa tạp đại số, đường cong đại số - Trình bày cách xây dựng luật nhóm cho đường cong elliptic - Trình bày chứng minh định lý Nagell - Lutz, xây dựng ví dụ cho việc sử dụng định lý để nhận biết điểm có cấp vơ hạn - Trình bày chứng minh Định lý Hasse cho đường cong elliptic trường hữu hạn - Trình bày chứng minh Định lý Mordell Q - Xây dựng ví dụ minh họa cho việc sử dụng Định lý Mordell để tìm hệ sinh hữu hạn cho đường cong elliptic Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969 [2] J H Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, No.106, Second Edition, Springer, 1986 [3] R Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, No.52, Springer-Verlag, New York, 1977 [4] J.H Silverman, J Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Second Edition, Springer, 1992 86 ... mã đường cong elliptic) Mục đích luận văn nghiên cứu tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn trường số hữu tỉ Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu. .. eφ (P ) = 20 1.3 Luật nhóm đường cong elliptic Giả sử E đường cong xạ ảnh bậc ba Đường cong E giao với Z = điểm [0, 1, 0] khơng nhận điểm điểm kì dị Khi đó, đường cong E định nghĩa phương trình... hai điểm có cấp vơ hạn CHƯƠNG Đường cong elliptic trường hữu hạn Trong chương này, nghiên cứu đường cong elliptic trường hữu hạn Trước tiên, tìm hiểu Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu tỉ đường