Tải Bài tập phát triển tư duy môn Toán lớp 7 - Tài liệu ôn tập lớp 7 môn Toán

 Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu đó..  Số trung bình cộng có thể không thuộc dãy[r]

Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  TẬP HỢP  CÁC SỐ HỮU TỈ I KIẾN THỨC CƠ BẢN Số hữu tỉ là số viết dạng phân số a với a, b  , b  b Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu là  Bất kì số hữu tỉ nào có thể biểu diễn trên trục số dạng phân số có mẫu dương; Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi là điểm x Với hai số hữu tỉ x , y ta luôn có x  y , x  y , x  y Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số đó: - Nếu x  y thì trên trục số, điểm x bên trái điểm y; - Số hữu tỉ lớn gọi là số hữu tỉ dương; - Số hữu tỉ nhỏ gọi là số hữu tỉ âm - Số không là số hữu tỉ dương không là số hữu tỉ âm II BÀI TẬP Bài 1: Điền ký hiệu (; ; ) vào ô trống   2 9;10  * 2      3; 0;2 9;10   9;10  Bài 2: Tìm phân số các phân số Tìm phân số các phân số 2 14 : 21 : 12 2     3; 0;2  14  21  12        Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 3: So sánh các số hữu tỉ ( ; ;  ) 15 17 13 b) 19 11 c) 12 2018 d) 2019 a) 19 21 19 23 19 18 Bài 4: Sắp xếp các số hữu tỉ theo thứ tự tăng dần a) 12 3 16 1 11 14 9 ; ; ; ; ; ; 17 17 17 17 17 17 17 b) 5 5 5 5 5 5 5 ; ; ; ; ; ; 11 14 14 17 18 ; ; ; ; ;0 c) 37 33 20 19  Số hữu tỉ là số viết dạng phân số với a, b   ;b ; a c   a.d  b.c b; d  0 b d  a) …………………………………………………………………………………………… b) ……………………………………………………………………………………………… c) ……………………………………………………………………………………………… Bài 5: Viết số hữu tỉ có mẫu khác lớn 1 nhỏ ?  số hữu tỉ có thể là: …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Bài 6: Cho số hữu tỉ: x  a 5 Với giá trị nào a thì: x là số dương x là số âm x không là số dương và không là số âm Bồi dưỡng lực học môn Toán a b Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 7: Cho số hữu tỉ: x  a 5 a  0 Với giá trị nào a thì x là số nguyên? a  …………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Bài 8: Hãy chứng minh tính chất sau:  Cho b  Nếu a  b thì  Cho b, d  Nếu a a 1 a a 1  Nếu a  b thì  b b 1 b b 1 a a c c a c   thì  b b d d b d  …………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Bài 9: So sánh các phân số sau: a) 1234 4319 và 1235 4320 b) 1234 4321 và 1244 4331 c) 31 31317 và 32 32327 d) 3246 45984 3247 45983 e) 22 51 và 67 152 f) 18 23 và 91 114 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 2: 16 14    21 24 Bài 3: 15  17 19 21 b) 1    12 24 13 19  19 23 11  12 2018 19  2019 18 Bài 4: 16 14 12 11 9 3 1 ; ; ; ; ; ( cùng mẫu thì so sánh tử) 17 17 17 17 17 17 17 5 5  5 5 5 5 (cùng tử thì so sánh mẫu) ; ; ; ; ; ; 11 14 14 17 18 ; ; 0; ; ; ; (so sánh với số 0, so sánh với số 1) 37 33 20 19 Bài 5: 1 1     Vậy phân số cần tìm: 1 1     11     8 13 1     11 13 Bài 6: a) a    a  b) a    a  c) a    a  Bài 7: x a 5   x   … suy a là ước a a Vậy a  1; 5;1;5 Bài 9: a) 1234 4319 và 1235 4320 1234 1 4319 1 1  ; 1  1235 1235 4320 4320 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Có 1235 < 4320  b) 1 1 1234 4319   1   Vậy 1235 4320 1235 4320 1234 4321 và 1244 4331 1234 10 1  ; 1244 1244 1244  4331  Vậy c) 4321 10 1 4331 4331 10 10  1244 4331  1234 4321 1  1 1244 4331 1234 4321  1244 4331 31 31317 và 32 32327 Sử dụng tính chất: a < b thì a n a  (a, b, n > ) b b n Có: 31.1010 31310  31 31310 31317     32 32.1010 32320 32320  32327 Vậy 31 31317  32 32327 d) 3246 45984 3247 45983 3246 3247 e) 1234 4319  1235 4320  1  45984 3246 45984 Vậy  45983 3247 45983 22 51 và 67 152 22 22 22 1 51 51 51 22 51       Vậy  67 67 66 153 152 152 67 152 f) 18 23 và 91 114 18 18 1 23 23 18 23     Vậy  91 90 115 114 91 114 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ I KIẾN THỨC CƠ BẢN Nhân, chia hai số hữu tỉ Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số áp dụng quy tắc nhân, chia phân số Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, tính chất phân phối phép nhân phép cộng Mỗi số hữu tỉ khác có số nghịch đảo Tỉ số Thương phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y  0) gọi là tỉ số hai số x và y, kí hiệu là x hay x : y y II BÀI TẬP Bài 1: Điền các số hữu tỉ thích hợp vào ô trống 3 × : × 8 : = 2 : = = × = = × × = = : : = 15 4 × = = × 2 = = Bài 2: Thực phép tính  4     21  a) 3, 5. 5 c) 7  3 :  4 b) 1 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] d) PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN     8  : 2       Bài 3: Thực phép tính (Tính hợp lý)  5   11  A      (30)  11  15  5     15  38 B         19  45  5   13  C         11  18  11  3  3 D  2  :    15 17 32   17       3 Bài 4: Cho P     x       ( x  )    13    Hãy xác định dấu x P  0; P   Bài 5: Tìm x biết  15 13 b)  x    19 24 a)  x  c) 2 4  x 15 d)  :x Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title]  5  5    PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN e)  x    x     3  3  f)  x    1,  : x    16   4  Hoạt động nhóm 3 3    Bài 6: Tính giá trị biểu thức M  11 13 13 13 13    11  ………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3x  x  3x  Bài Cho A  và B  x3 x3 Bài Tính: a) Tính A x  1; x  2; x  a) 1 1     1.4 4.7 7.10 100.103 b) Tìm x   để A là số nguyên b) 1 1 1 1 1      15 35 63 9999 c) 1 1       72 56 42 c) Tìm x   để B là số nguyên d) Tìm x   để A và B cùng là số nguyên Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 2: a) ; Bài 3: A  b)  35 ; c) 10 ;  5   11    30      30   14  11   5   15  15     B 1 15 38 1.15.2.19   19 45 2.3.19.3.15 C  5   13  23 23        11    18  11 18 66 D 32  15 32  17   32 3 :    3    17  15 32  Bài 4: P > thì x < 0; Bài 5: a) x  d) x  d) P < thì x > 2 ; 21 ; b) x  247 79 1 168 168 c) x  ; 25 e) x   5 x  ; f) x  x  1 1       3 3     11  Bài 6: M  11    13 13 13 13 13 1 1    13       11  11 Bài 7: a) x   A   ; x   A  8; x  b) A   A  19 x  x   11 11   3 Để A nguyên thì 11( x  3)  x   1; 11 x3 x3 x3 Ta tìm x  8; 2; 4;14 c) B  x  3x  x( x  3)  7   x Vì x   nên để B nguyên thì ( x  3) x3 x3 x3  x   1; 7  x  10; 4; 2; 4 d) Để A và B cùng là số nguyên thì x  4 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 8: a) 1 1  3 3             1.4 4.7 7.10 100.103 1.4 4.7 7.10 100.103  1 1 1 1    34   1             1 4 7 10 100 103  103  103 b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            15 35 63 9999 1.3 3.5 5.7 7.9 99.101  1  2 2  1 1 1 1 1 1                      1.3 3.5 5.7 7.9 99.101 1 3 5 7 99 101  1   50  1   101 101 c)                     72 56 42 9 8 2 9 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Bài 1: Một công nhân may 20 cái áo Biết suất làm việc không đổi, hỏi 12 người đó may bao nhiêu cái áo? Bài 2: Hai ruộng cùng chiều dài, còn chiều rộng tương ứng là 30m và 48m Vụ mùa vừa qua ruộng thứ thu hoạch 900 kg thóc Hỏi ruộng thứ hai thu hoạch bao nhiêu kg thóc? ( biết suất hai ruộng nhau) Bài 3: Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2,3,4 Hỏi đơn vị chia bao nhiêu tiền lãi tổng số tiền lãi là 135 triệu đồng và tiền lãi chia tỉ lệ thuận với số tiền vốn góp? Bài 4: Ba đơn vị cùng vận chuyển 700 hàng Đơn vị A : có 10 xe trọng tải xe là tấn; Đơn vị B có 20 xe trọng tải xe là tấn; Đơn vị C có 14 xe trọng tải xe là Hỏi đơn vị vận chuyển bao nhiêu hàng biết xe chở số chuyến nhau? Bài 5: Học sinh lớp giao trồng 36 cây Sau lớp 7A trồng lớp Lớp 7B trồng số cây số cây lớp và lớp 7C trồng số cây lớp thì số cây còn lại lớp Hỏi lớp trồng bao nhiêu cây? Bài 6: Chia số 552 thành phần: a) Tỉ lệ thuận với 3; 4;5 b) Tỉ lệ thuận với ; ; Bài 7: a) Tam giác ABC có số đo các góc A, B, C tỉ lệ với 3; 4;5 Tính số đo các góc tam giác biết tổng số đo góc tam giác 1800 b) Tam giác ABC có độ dài các cạnh tỉ lệ với 3; 5; Tính độ dài các cạnh tam giác biết chu vi tam giác lớn lần cạnh nhỏ là 24m Bài 8: Tìm hai số khác biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ với: 3; 1;8 Bài 9: Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho ba tổ theo tỉ lệ : : Nhưng sau đó, vì số người thay đổi nên đã chia lại theo tỉ lệ : : Do đó có tổ làm nhiều dự định 15(m) đường Tính số mét đường chia lại cho tổ Bài 10: Tìm số có chữ số, biết số đó là bội 18 và các chữ số nó tỉ lệ theo 1;2;3 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG: Bài 1: Số áo may 12 là  x  20 12  48 cái áo Bài 2: Theo tính chất đại lượng tỉ lệ thuận ta có: 30 900 48.900   y2   1440 48 y2 30 Vậy thứ hai thu 1440 kg thóc Bài 3: Gọi số tiền lãi ba đơn vị chia theo thứ tự là: x,y,z x y z x y z 135      15 234 Số tiền lãi đơn vị chia theo thứ tự là: 30 triệu đồng; 45 triệu đồng ; 60 triệu đồng Bài 4: Gọi khối lượng hàng các đơn vị A , B, C vận chuyển là x , y , z (tấn) Ta y x z   50 80 70 x y z x y z      3,  x  175; y  280; z  245 50 80 70 50  80  70 có: x  y  z  700 và Bài 5: Gọi số cây trồng ba lớp 7A; 7B; 7C là a; b; c (cây) với a ; b; c   * Theo bài ta có: 4 a b c và a  b  c  36 a b c   10 12 14 Vậy số cây trồng ba lớp 7A; 7B; 7C là 10 cây; 12 cây; 14 cây a b c   và a  b  c  552  a  138; b  184; c  230 Bài 6: a) Ba phần số 552 là 138; 184; 230 a b c   ; và a  b  c  552 3  a  144; b  192; c  216 b) Ba phần số 552 là 144; 192; 216 ,C  ABC là a; b; c 0  a;b; c  1800  A, B Bài 7: Gọi số đo các góc  a b c   và a  b  c  1800 ,B ,C  ABC là 450 ;600 ;750 Số đo các góc A Theo bài ta có: Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 8: Gọi hai số cần tìm là a, b (a, b  0) Theo bài ta có: a  b a  b a.b   1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:  a  b a b a  b  a b 2a a     3 1 a ab 4a ab     4a  ab  b  8 Thay b vào 1 ta có a b a b  a   a  4  a   3a  12  a  Vậy hai số cần tìm là và Bài 9: Gọi số mét đường ba tổ phải làm là A ( m) , số mét đường ba tổ theo dự định là x1 , y1 , z1 và chia lại là x2 , y2 , z2 Theo đề bài ta có: Suy x1  x1 y1 z1 x1  y1  z1 A     567 18 5A 6A A 7A ; y1   ; z1  (1) 18 18 18 x2 y z x2  y  z A     456 15 Suy x2  4A 5A A 6A 2A (2) ; y2   ; z2   15 15 15 So sánh (1) và (2) ta thấy có z2  z1 z2  z1  15  Vậy x2  2A A A   15   15  A  1350 18 90 1350 1350  360; y2   450; z2  1350  540 15 Bài 10: Vì số đó là bội 18 nên chia hết cho và Suy số đó có tận cùng là chữ số chẵn và có tổng các chữ số chia hết cho Gọi ba chữ số số đó là a, b, c (  a;b;c  ) Theo bài ta có : a b c   và a  b  c  9k Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a  b  c 9k      k 1  Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] Chọn k   a  PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN (loại) Chọn k   c  27 (loại) Chọn k   c  (loại) Chọn k   a b c a  b  c 18       a  ; b  6; c  (thỏa mãn) 12 Vậy số cần tìm là 396 936 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH Bài 1: Cho biết máy cày xong cánh đồng hết 20 Hỏi 10 máy cày (cùng suất) cày xong cánh đồng hết bao nhiêu giờ? Bài 2: Để làm công việc cần 30 công nhân Nếu có 40 công nhân thì công việc đó hoàn thành ? Bài 3: Một ô tô từ A lúc Đến ô tô khác xe từ A Xe thứ đến B lúc chiều Xe thứ hai đến B sớm xe thứ nửa Tính vận tốc xe biết vận tốc xe thứ hai lớn vận tốc xe thứ là 20 km/giờ Bài 4: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B 24 phút Biết vận tốc xuôi dòng ca nô là 18 km/h, vận tốc dòng nước là 1,8 km/h, hãy tính thời gian ca nô ngược dòng từ B A Bài 5: Có 85 tờ giấy bạc loại 10 000đ, 20 000đ và 50 000đ Trị giá loại tiền trên Hỏi loại có bao nhiêu tờ ? Bài 6: a) Chia số 315 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; b) Chia số 786 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 0,2; ; ,C  tỉ lệ nghịch với 3, 4, Tính số đo các góc Bài 7: ΔABC có số đo các góc A, B tam giác biết tổng số đo góc tam giác 1800 Bài 8: Một công việc dự định giao cho người làm 12 ngày cuối cùng có người làm, vì họ phải làm thêm ngày và hoàn thành công việc 16 ngày Biết suất lao động họ là Hỏi họ phải làm ngày Bài 9: Tổng số học sinh lớp 7A;7B;7C là 143 Nếu rút lớp 7A lớp 7B số học sinh, 1 số học sinh, lớp 7C số học sinh thì số học sinh còn lại lớp tỉ 11 lệ nghịch với 1 ; ; Tính số học sinh lớp 10 Bài 10: Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ nghịch với 35, 210 và 12? HẾT Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG: Bài 1: Gọi thời gian đội cày xong cánh đồng là x (x  0) Thời gian đội cày xong cánh đồng và số máy cày đội có là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Theo tính chất tỉ lệ nghịch, ta có : 7.20  10.x  x  14 Vậy đội có 10 máy cày thì phải cần 14 để hoàn thành xong Bài 2: Thời gian và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi thời gian 40 công nhân hoàn thành công việc là x (0  x  8) Theo tính chất tỉ lệ nghịch ta có: 8.30  40.x  x  Bài 3: Thời gian xe I hết đoạn đường AB là 14   (giờ) Thời gian xe II hết đoạn đường AB là 14  0, 5   4, (giờ) Trên cùng quãng đường, vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với Gọi v1 , t1 là vận tốc và thời gian xe I; v2 , t2 là vận tốc và thời gian xe II Ta có v1 v2 = t2 t1  4,  và v2  v1  20 Suy v1  20.3  60  km/h ; v2  60  20  80  km/h Bài 4: Vận tốc ngược dòng ca-nô là 18  2.1,  14,  km  Gọi thời gian ca-nô ngược dòng từ B A là x (giờ) Ta có 18 x 18.2,  x   (vì 24 phút = 2,4 giờ) 14, 2, 14, Đáp số: Bài 5: Gọi số tờ giấy bạc loại 10 000đ, loại 20 000đ, loại 50 000đ theo thứ tự là x , y, z Theo đề bài, ta có x  y  z  85 và 10000 x  20000 y  50000 z (*) Từ (*) ta có x  y  z hay x y z x yz 85      10 10   17 Suy x  5.10  50; y  5.5  25; z  5.2  10 Vậy có 50 tờ 10 000đ, 25 tờ 20 000đ và 10 tờ 50 000đ Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 6: a) Chia số 315 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; Gọi phần là x ; y; z Ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; Ta có : 3x  5y  6z x y z x y z 315      15 10 10   21  x  150; y  90; z  75 b) Chia số 786 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 0,2; ; Gọi phần là x ; y; z Ba phần tỉ lệ nghịch với 0,2; ; Ta có : 0,2x  y  z x 10y 4z   5 x y z x y z 786     6 100 25 100   25 131  x  600; y  36; z  150 , C  tỉ lệ nghịch với 3, 4, Tính số đo các góc Bài 7: ΔABC có số đo các góc A, B tam giác , B ,C là x ; y; z (độ) 0o  x ; y; z  180o Gọi số đo A x; y; z tỉ lệ nghịch với 3, 4,  3x  4y  6z  x y z   Mà x  y  z  1800 x y z x y z 1800      200 432 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  x  800 ; y  600 ; z  400 Vậy số đo ba góc tam giác ABC là 800 ; 600 ; 400 Bài 8: Gọi số ngày phải làm là x( giờ) Vì thời gian và số người là đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: 3.12.x  2(x  1).16  36x  32x  32  x  Vậy số ngày phải làm là 8( giờ) Bài 9: Gọi số học sinh lớp là a,b, c (  a, b, c   ) Số học sinh còn lại lớp tỉ lệ nghịch với 1 ; ; nên 10 10 1 a  b  c  a  b  c  55a  66b  48c 8 11 10 48 11 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a b c 143     1 48 40 55 48  40  55 143  a  48;b  40; c  55 Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C là 48 học sinh, 40 học sinh, 55học sinh Bài 10 Gọi số dương cần tìm là a, b (a  b  0) Theo đề bài ta có: 35(a  b)  210(a  b)  12ab Từ 35(a  b)  210(a  b)  a  b a b 2a 2b    7  5a  7b  a  b thay vào 210(a  b)  12ab  210( b  b)  12ab  84b  12ab  a  7;b  Vậy hai số cần tìm là và Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ, TẦN SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dấu hiệu - Vấn đề hay tượng mà người điều tra quan tâm gọi là dấu hiệu Dấu hiệu thường kí hiệu chữ in hoa X , Y , Giá trị dấu hiệu, dãy các giá trị dấu hiệu - Mỗi đơn vị điều tra cho số liệu gọi là giá trị dấu hiệu - Số các giá trị dấu hiệu số đơn vị điều tra, số này thường kí hiệu là N Tần số giá trị: - Mỗi giá trị có thể xuất nhiều lần dãy giá trị dấu hiệu - Số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu gọi là tần số giá trị đó - Giá trị dấu hiệu thường kí hiệu là x và tần số giá trị thường kí hiệu là n II BÀI TẬP Bài 1: Số lượng học sinh giỏi tiếng Anh lớp trường THCS ghi lại bảng sau: 14 16 12 15 11 12 11 13 14 15 13 15 12 12 11 12 13 14 13 17 12 12 14 14 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là gì và dấu hiệu đó có tất bao nhiêu giá trị? b) Có bao nhiêu giá trị khác dãy giá trị dấu hiệu đó? c) Viết các giá trị khác và tần số chúng Giải a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là: ………………………………………………………………… ……………………………………………………… … Dấu hiệu này có …… giá trị b) Có … giá trị khác dãy giá trị Giá trị x  c) Tần số n  Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 2: Màu sắc ưa thích các bạn nữ lớp A bạn lớp trưởng ghi lại bảng sau: Số thứ a) Dấu hiệu mà bạn lớp trưởng Tên học sinh Màu sắc ưa thích Quỳnh Màu hồng ……………………………… Ngân Màu đỏ ……………………………… Hoa Màu vàng ……………………………… Lan Màu tím ……………………………… Thương Màu đỏ b) Dấu hiệu có tất bao nhiêu Huệ Màu hồng Trang Màu vàng Huyền Màu trắng Phượng Màu tím 10 Hương Màu đỏ tự quan tâm là gì ? giá trị ? ……………………………… c) Có bao nhiêu giá trị khác dấu hiệu ? ……………………………… d) Viết các giá trị khác dấu hiệu và tính tần số chúng Giá trị x  Tần số n  Bài 3: Em hãy điều tra xem bạn tổ mình sinh vào tháng mấy? Lập bảng số liệu thống kê ban đầu và cho biết: a) Dấu hiệu mà em quan tâm là gì và dấu hiệu đó có tất bao nhiêu giá trị? b) Có bao nhiêu giá trị khác dãy giá trị dấu hiệu đó c) Viết các giá trị khác và tìm tần số chúng Bài 4: Em hãy điều tra xem bạn tổ mình nặng bao nhiêu kg? Lập bảng số liệu thống kê ban đầu và cho biết: a) Dấu hiệu mà em quan tâm là gì và dấu hiệu đó có tất bao nhiêu giá trị? b) Có bao nhiêu giá trị khác dãy giá trị dấu hiệu đó? c) Viết các giá trị khác dấu hiệu và tìm tần số chúng Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG: Bài 1: a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là số lượng học sinh giỏi tiếng Anh lớp trường THCS Dấu hiệu này có tất 24 giá trị b) Có giá trị khác c) Các giá trị khác và tần số tương ứng nó là: Giá trị 11 12 13 14 15 16 17 Tần số 1 Bài 2: a) Dấu hiệu bạn lớp trưởng quan tâm là: Màu sắc ưa thích các bạn nữ lớp 7A b) Dấu hiệu có 10 giá trị c) Có giá trị khác dấu hiệu d) Các giá trị khác dấu hiệu: Màu hồng, màu đỏ, màu vàng, màu trắng, màu tím Tần số chúng là: 2; 3; 2; 1; Bài và Bài 4: HS tự luyện Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  BẢNG “TẦN SỐ” CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Số trung bình cộng dấu hiệu Dựa vào bảng “tần số”, ta có thể tính số trung bình cộng dấu hiệu (kí hiệu là X ) sau:  Nhân giá trị với tần số tương ứng;  Cộng tất các tích vừa tìm được;  Chia tổng đó cho số các giá trị (tức là tổng các tần số) x n  x n  x n   xk nk  Công thức tính: X  1 2 3 , đó: N x1, x , x k , là k giá trị khác dấu hiệu X n1, n2, nk , là k tần số tương ứng N là số các giá trị Ý nghĩa số trung bình cộng  Số trung bình cộng thường dung làm “đại diện” cho dấu hiệu, đặc biệt là muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại  Khi các giá trị dấu hiệu có khoảng chênh lệch lớn thì không nên lấy số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu đó  Số trung bình cộng có thể không thuộc dãy giá trị dấu hiệu Mốt dấu hiệu  Mốt dấu hiệu là giá trị có tần số lớn bảng “tần số”, kí hiệu là MO Có dấu hiệu có hai mốt nhiều II BÀI TẬP Bài 1: Thời gian giải bài toán 50 em học sinh ghi lại bảng sau (tính theo phút) : 10 12 9 11 10 9 8 6 8 11 10 10 10 8 9 12 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN a) Lập bảng “tần số” nêu rõ dấu hiệu và số giá trị dấu hiệu N  b) Tính số trung bình cộng dấu hiệu ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bài 2: Một thầy giáo theo dõi thời gian làm bài tập (tính theo phút) 30 học sinh và ghi lại sau: 10 10 10 12 10 12 15 12 10 15 10 9 10 12 10 12 a) Dấu hiệu đây là ………………………………………………………………………… b) Lập bảng “tần số” và nêu nhận xét c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt dấu hiệu ………………………………………… n ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… d) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng O x Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 3: Đo chiều cao 30 học sinh lớp kết theo bảng đây (đơn vị cm ) : Chiều cao (sắp xếp theo khoảng) Tần số (n) a) Bảng này có gì khác so 105 với bảng tần số đã 110-120 biết ? 121-131 ……………………………… 132-142 ……………………………… 143-153 155 ……………………………… ……………………………… N  30 b) Tính số trung bình cộng trường hợp này ? Trước hết ta tính số trung bình cộng khoảng Số đó chính là trung bình cộng các giá trị lớn và nhỏ khoảng Ví dụ : trung bình cộng khoảng 110-120 là 110  120  ………… - Nhân các số trung bình vừa tìm với các tần số tương ứng - Thực tiếp các bước theo quy tắc đã học Để tiện việc tính toán ta kể thêm vào cột chiều cao là cột số trung bình cộng lớp ; sau cột tần số là cột tích trung bình cộng Chiều cao Trung bình cộng Tần số lớp Tích trung bình cộng lớp với tần số 105 105 315 110  120 115 805 121  131 132  142 143  153 155 N  30 Số trung bình cộng là : X  ……………………………………… Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 4: Số cân nặng (tính tròn đến kilogam) 20 học sinh ghi lại sau: 28 35 29 37 30 35 37 30 35 29 30 37 35 35 42 28 35 29 37 30 a) Dấu hiệu đây là gì? b) Lập bảng “tần số” và nêu nhận xét c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt dấu hiệu d) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng Bài 5: Hai xạ thủ A và B người bắn 15 phát đạn, kết (điểm lần bắn) ghi lại bảng sau: A 10 10 10 10 8 10 10 10 B 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 a) Tính điểm trung bình xạ thủ? b) Tìm mốt? c) Có nhận xét gì kết và khả người? Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG: Bài 1: a) Bảng tần số: Thời gian x  10 11 12 Tần số n  8 2 N  50 Dấu hiệu: Thời gian giải bài toán học sinh (tính theo phút) Số giá trị dấu hiệu: 50 b) X  7, 58 (phút) Bài 2: a) Dấu hiệu: Thời gian làm bài tập học sinh b) Bảng “tần số”: Thời gian (x) 10 12 15 Tần số (n) 8 N = 30 Nhận xét: - Cả 30 học sinh làm bài tập - Thời gian làm bài ít nhất: phút - Thời gian làm bài nhiều nhất: 15 phút - Số đông học sinh làm xong bài tập khoảng từ đến 12 phút  21   70%    30  c) Số trung bình cộng X  9,5 (phút) Mốt dấu hiệu: M  9, M  10 (có hai mốt) d) Học sinh tự vẽ biểu đồ đoạn thẳng Bài 3: a) Bảng cho giá trị dấu hiệu dạng khoảng b) Trước hết ta tính số trung bình cộng khoảng Số đó chính là trung bình cộng các giá trị lớn và nhỏ khoảng Ví dụ : trung bình cộng khoảng 110-120 là 115 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN - Nhân các số trung bình vừa tìm với các tần số tương ứng - Thực tiếp các bước theo quy tắc đã học Để tiện việc tính toán ta kể thêm vào cột chiều cao là cột số trung bình cộng lớp ; sau cột tần số là cột tích trung bình cộng Chiều cao Trung bình Tần số Tích cộng trung bình lớp cộng lớp với tần số 105 105 315 110  120 115 805 121  131 126 630 132  142 137 822 143  153 148 1036 155 155 310 N  30 4018 Số trung bình cộng là : X  3918  130,6 (cm) 30 Bài 4: a) Dấu hiệu: Số cân nặng học sinh b) Bảng “tần số”: Số cân (x) 28 29 30 35 37 42 Tần số (n) N = 20 Nhận xét: - Người nhẹ nhất: 28 kg - Người nặng nhất: 42 kg  14   70%  - Số cân nặng nhiều bạn khoảng 30 đến 37 kg   20  Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN c) X  33 (kg); M  35 d) Học sinh tự vẽ Bài 5: a) Điểm trung bình xạ thủ A là: XA  Giá trị  x  Tần số  n  Các tích  x.n  32 36 10 70 N  15 Tổng: 138 138  9, 15 Điểm trung bình xạ thủ B là: XB  Giá trị  x  Tần số  n  Các tích  x.n  12 7 9 10 11 110 N  15 Tổng: 138 138  9, 15 b) Mốt dấu hiệu là M  10 c) Nhận xét: hai xạ thủ có số điểm trung bình xạ thủ A bắn (số điểm các lần bắn nhau), còn xạ thủ B bắn phân tán (số điểm các lần bắn đôi lúc có chênh lệch nhau) Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Khi thay các biến biểu thức đại số số đã cho, ta biểu thức đại số Kết nhận thực các phép tính biểu thức đại số đó gọi là giá trị biểu thức đại số các giá trị cho trước các biến  II BÀI TẬP Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: Giá trị biểu thức Biểu thức x  3 x x x  1, 2x  5x  4x  3x Bài 2: a)   2x  2 Tính giá trị các biểu thức sau x  , y  A  2x  3x  Giải:  x  2 b) B  2x  3xy  y nên x  x   y  nên y  y  a) Với x  ta có A  ………………………………………………………………… Với x  ta có A  ………………………………………………………………… b) Với x  ; y  ta có B  ………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………  Với x  ; y  ta có B  ………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………  Với x  ; y  ta có B  ………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………  Với x  ; y  ta có B  ………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x (m), chiều rộng y (m) Người ta mở lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng z (m) x, y  2z a) Tính diện tích đất làm đường theo x , y, z b) Tính diện tích đất dành làm đường biết x  50; y  30; z  c) Tìm chiều dài và chiều rộng miếng đất biết diện tích dành làm đường là 384 m , chiều rộng đường là 2m và chiều dài chiều rộng 12m ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau biết x  y   D  x x  y   y x  y   x  y  2(x  y)   …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bài 5: Cho xyz  và x  y  z  Tính giá trị biểu thức M  x  y y  z x  z   …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bài 6: Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau: a) A  x  5  y   2000  2 b) B  x  y    2019    …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………  …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 1: Giá trị biểu thức Biểu thức x x  3 x x  1, 2x  5x  4x  3x   2x  2  1 1 3 Bài 2: Tại x  Tính A             1     2 2  2  1  1 1 3 Tại x   tính A                   2 2  2  2 b)  Tại x   Tại x  Bài 3: , y  tính B   Tại x   , y  tính B  , y  1 tính B   Tại x   , y  1 tính B  a) Diện tích mảnh vườn ban đầu là: xy (m ) Sau mở lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng z(m ) thì mảnh vườn còn lại có chiều dài là x  2z (m ) , chiều rộng là y 2z (m ) nên mảnh vườn lúc sau có diện tích là x  2zy  2z (m ) Vậy diện tích đất làm đường là: xy  x  2z y  2z  xy  xy  2xz  2yz  4z2  2z x  y   4z2 (m ) b) Với x  50; y  30; z  thì diện tích đất dành làm đường là:   50  30   22  304 (m ) c) Vì diện tích dành làm đường là 384m , chiều rộng đường là 2m nên ta có:   x  y    22  384  x  y  100 (1) Vì chiều dài chiều rộng 12m nên ta có: x  y  12 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x  100  12 :  56 (t / m ) và y  100  56  44 (t / m ) Vậy mảnh vườn ban đầu có chiều dài là 56m, chiều rộng là 44m Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài Từ x  y   suy x  y  1 Thay x  y  1 vào biểu thức D ta được: D  x (1)  y2 (1)  x y2  2.(1)   x  y2  x  y2    Bài x  y  z  nên x  y  z , y  z  x , x  z  y Thay các giá trị này vào biểu thức M ta được: M  (z )(x )(y )   xyz  2 Bài 6: Ta có : x  5  0, x và y   0, y nên A  x  5  y   2000  2000 x , y 2 x   x        y 7  y7     Dấu "  " xảy khi:  Vậy giá trị nhỏ biểu thức A là 2000 x  5; y  6   2 2 b) Ta có : x  0, x và y    0, y nên B  x  y    2019  2019, x , y       x 0   Dấu "  " xảy khi:   y     Vậy giá trị nhỏ biểu thức B là 2019 x  0; y  Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  ĐA THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đa thức: Đa thức là tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi là hạng tử đa thức đó Mỗi đơn thức coi là đa thức Thu gọn đa thức: Đưa đa thức dạng thu gọn (không còn hai hạng tử nào đồng dạng) Bậc đa thức: Bậc đa thức là bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức đó Số gọi là đa thức không và nó không có bậc Khi tìm bậc đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó II BÀI TẬP  chọn đa thức Bài 1: Biểu thức nào là đa thức các biểu thức sau: a) x  3; b) x   ; x d) xyz  ax  b; e) x2  ; a2  c) f) x  xy ; z  xz x 1 a ; b là số Bài 2:Thu gọn đa thức sau: a) A  y  y  y  y  y = …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… b) B  1 x y  xy  xy  xy  5xy  x 2y = ………………………………………………… 3 ………………………………………………………………………………………………………… 1 c) C  5x y  3xy  x y  xy  5xy  x   x  = …………………………………………… 3 ………………………………………………………………………………………………………… Bài 3: Thu gọn và tìm bậc các đa thức sau: a) A  6x  5x  4x  3x  2x = ………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN ………………………………………………………………………………………………………… 2 2 b) B  5x y  4x y  x  8x y  5x y = …………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… c) C  4 x y  6x  x 4y  5x 4y  x 4y = ……………………………………………………… 2 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4 d) D  3x 2y  xy   3x 2y  xy  xy = …………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Bài 4: Tính giá trị các đa thức sau: a) 6x  12 y  2  6y biết x  y  Khi x  y  ta có: 6x  12 y  2  6y = ………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………… b) 6xy  4x  2y  biết x  y Khi x  y ta có: 6xy  4x  2y  = ……………………………………………………… …… ……………………………………………………………………………… …………………………………… c) xy  x 2y  x 3y  x 4y   x 2019y 2019 x  1; y  1 Khi x  1; y  1 ta có xy  x 2y  x 3y  x 4y   x 2004y 2004 = …………………… ………… ……………………………………………………………………………… …………………………………… d) 3x  5x 2y  2y  2y , biết x  y  ….…………………… ……………….…… ……………………………………………………………………………… …………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………… Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 1: Các biểu thức là đa thức a,c,d,e Bài 2: a) A  y  y b) B  xy  xy c) C  1 x y  xy  x  A  6x  5x  4x  3x  2x  3x  5x  4x  2x Bài 3: Bậc đa thức là b) B  5x 3y  4x 2y  x  8x 2y  5x 3y  12x 2y  x Bậc đa thức là 2 c) C  x 4y  6x  x 4y  5x 4y  x 4y  6x  5x 4y Bậc đa thức là 4 d) D  3x 2y  xy   3x 2y  xy  xy  Bậc đa thức là Bài 4: a) Khi x  y  ta có 6x  12 y  2  6y  y  1  12 y  2  6y  30 b) Khi x  y ta có 6xy  4x  2y   6x2  4x2  2x   3 c) Khi x  1; y  1 thì xy  x 2y  x 3y  x 4y   x 2019y 2019    1   1   1  2018 so hang     d) 3x  5x 2y  2y  2y  3x  3x 2y  2x 2y  2y  2y  3x (x  y )  y2 (x  y )  2y  6x  4y  2y  6(x  y )  12 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà cạnh góc này là tia đối cạnh góc Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì D A  và BOD  đối đỉnh  AOC   BOD  AOC Chú ý: O B C - Mỗi góc có góc đối đỉnh với nó - Hai góc chưa đã đối đỉnh II BÀI TẬP Bài 1: Xem hình a , b , c , d , e Hỏi cặp góc nào đối đỉnh? Cặp góc nào không đối đỉnh? b) a) e)  cặp góc đối đỉnh  cặp góc không đối đỉnh d) c) Bài 2: a) Vẽ góc aOb  800 ' Ob ' đối đỉnh với góc aOb ( Oa và Oa ' đối nhau) b) Vẽ a c) Vẽ tia Om là phân giác góc aOb d) Vẽ tia đối Om ' tia Om ' Vì Om ' là tia phân giác góc a ' Ob ' ? e) Viết tên các cặp góc đối đỉnh ? f) Viết tên các cặp góc nhọn mà không đối đỉnh ?  Bài 3: Đường thẳng xx ' cắt yy ' O Vẽ tia phân giác Ot xOy ' và t a) Gọi Ot ' là tia đối tia Ot So sánh xOt ' Oy ?  ' Oy Tính góc mOt b) Vẽ tia phân giác Om x   AOD   20o Tính góc Bài 4: Hai đường thẳng AB và CD cắt O Biết AOC , COB , BOD , DOA  AOC Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN AOC  60 Bài 5: Hai đường thẳng AB và CD cắt O cho  a) Tính số đo các góc còn lại; AOC và Ot ' là tia đối tia Ot Chứng minh Ot ' là tia phân b) Vẽ tia Ot là phân giác   giác BOD m Bài 6: Trong hình vẽ bên, O  xx' n '  và nOx a) Tính xOm  ' là hai góc đối đỉnh b) Vẽ tia Ot cho xOt; nOx x 4x - 10° 3x - 5° x' O   900 Hai góc Trên nửa mặt phẳng bờ xx ' chứa tia Ot , vẽ tia Oy cho tOy mOn và tOy là hai góc đối đỉnh không? Giải thích? Bài 7: Cho điểm O nằm trên đường thẳng AB Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB các   BOD   30o Gọi OE là tia đối tia OD Tia OA là tia phân tia OC, OD cho AOC giác góc nào?   50o Gọi OC là tia phân giác góc đó Gọi OD là tia đối tia Bài 8: Cho góc AOB   25o Tìm góc đối OC Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia OA, vẽ tai OE cho DOE ? đỉnh với DOE BÀI LÀM ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 1: Hình a, e là hình có cặp góc đối đỉnh Hình b,c,d không phải Bài 2:  và a  , Om ' là tia đối 'Ob ' là góc đối đỉnh mà Om là tia phân giác góc aOb d) Vì aOb 'Ob ' tia Om nên Om ' là tia phân giác góc a e) Các cặp góc đối đỉnh là: b m  và a 'Ob ' - aOb ' và a - aOb ' Ob  và a 'Om ' - aOm ' và a - aOm ' Om a' O a  và m  - mOb ' Ob ' ' và b - bOm 'Om m' f) Viết tên các cặp góc nhọn mà không đối đỉnh  và bOm  - aOm - a ' Om ' và b ' Om '  và b - aOm ' Om '  - a ' Om ' và bOm b' Bài 3:   xOy :2 a) Ta có: O ) (Ot là phân giác xOy  O  (đối đỉnh) O y' x m O t' t   x xOy ' Oy ' (đối đỉnh)  O  O x' y '  xOy '  O  và t  Lại có: xOt ' Oy  x ' Oy  O '  x  O  mà xOy ' Oy (đối đỉnh) và O '  t ' Oy Do đó xOt   xOy ' , O   xOy  nên: b) Vì xOm 2   xOm  O   ( xOy '  xOy  )  900 mOt Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  AOC   AOD  200 và  AOC   AOD  1800 Bài 4: Ta có C nên  AOD  1800  200  :  800 ; A B AOC  80  20  100 và  0 O D  BOD AOC  1000 (đối đỉnh)   BOD AOC  1000 (đối đỉnh); BOC AOD  800 (đối đỉnh)   AOC   600 (đối đỉnh) Bài 5: a) BOD  COB AOC  1800 (kề bù)   1800    BOC AOC  1200 C t B   1200 (đối đỉnh)  AOD  BOC O A t' Vì Ot là phân giác góc AOC nên '  AOt   300 (đối đỉnh)   AOC   300  BOt AOt '  300  BOt '  DOt ' Tương tự: DOt D  Do đó Ot’ là phân giác BOD  và nOx ' Bài 6: a) Tính xOm   mOn   nOx '  1800 Vì Ox và Ox ' là tia đối nên xOm  4x  100  900  3x  50  1800 m n  7x  1050  x  1050 :  x  150   4x  100  4.150  100  500 xOm '  3x  50  3.150  50  400 nOx b) Vì 4x - 10° x 3x - 5° x' O t y   + xOt; nOx ' là hai góc đối đỉnh  Ot và On là hai tia đối (1)   nOx ' (hai góc đối đỉnh)  xOm   x   mOn   900 mà xOt + Lại có: tOy 'Oy   Mà Ox và Ox' là hai tia đối  Om và Oy là hai tia đối (2) 1    là hai góc đối đỉnh  và tOy Hai góc mOn Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN   300 (đối đỉnh) Bài 7:  AOE  BOD C D   AOE   AOC  tia OA là tia phân giác COE B 30° A 30° O E   1800  DOE   1800  250  1550 Bài 8: EOC  AOB 500  BOC    250 2 E   BOC   1550  250  1800 nên hai tia OE và OB đối EOC  là COB  Góc đối đỉnh với DOE D A C 250 250 B Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  TỪ VUÔNG GÓC TỚI SONG SONG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Quan hệ tính vuông góc và tính song song ba đường thẳng - Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với  a  c   a //b  b  c   - Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường  a //b  c b  c  a   Ba đường thẳng song song c a b Hai đường thẳng (phân biệt) cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với a a / /c   a / /b b / /c  b c II BÀI TẬP Bài 1:   1230 , B   57 Bài 1: Cho hình vẽ Biết A và d  a Hỏi d có vuông góc với b không? d c C A 123° AD / / CG a b 57° D Bài 2: Cho hình vẽ sau Hãy chứng tỏ B Bài 3: Em hãy giải nhiều cách:  a) Tính AIC b) Chứng minh AB //EF  c) Tính IFE B A 45° D E C I F Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN   80 Các tia Ax , By , Cz có Bài 4: Cho hình vẽ bên Biết BAC u B nằm trên các đường thẳng song song với không? Vì sao? 60° y 120°  Bài 5: Cho hình vẽ sau, đó AB //DE Tính BCE x 160° A C   Bài 6: Chứng minh DAx  BCN theo nhiều cách   và ADC Bài 7: Cho các thông tin hình và cho biết xx //yy  Hãy tính BCy Bồi dưỡng lực học môn Toán z Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG   ABD   1800  a // b Bài 1: CAB Mà d  a  d  b Do đó d  a Bài 2: Chỉ AD //BE và CG //BE để suy AD //CG Bài 3:  AB  BC (gt )   AB / /IC (dấu hiệu)  C  BC (gt )      AIC   180 ( hai góc cùng phía)  IAB B A 45°   180  AIC   135  45  AIC  CD  DE (gt )   CD / /FE (dấu hiệu) b)   FE  DE (gt )   Mà AB // IB (cm a) 2 D C I F E Từ ( 1 ; 2 suy AB //FE (t/c)   c) AB//FE (cmt )  IFE  IAB (hai góc so le trong)   Mà IAB  45  IFE=45 Bài 4: Kẻ tia Ax ' là tia đối tia Ax Khi đó:   60 x ' AB  uBy u  Ax ' // By Cũng có: x ' AC  80  60  20 B x 60° 120° x' 160° A   180  x ' AC  ACz  Ax ' // Cz y C z Do đó các tia Ax , By , Cz nằm trên ba đường thẳng song song với Bài 5: Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN B A 40° C D 30° K E   Kẻ CK //AB Ta có AB / / CK  C1  B = 400 ( hai góc so le )  CK // AB   CK// DE  DE // AB    E  = 300 ( hai góc so le ) CK / / DE  C   700 C  = 40  30  70  BCE Do đó C Bài 6: Ta có Mx //Ny vì cùng vuông góc với MN Vẽ Dz // Mx //Ny   DCy   90o ; DCy   zDC ; Ta có: BCN   zDC   90o Suy ra: BCN    zDA   90o ; zDA   DAx  Lại có: zDC   Suy ra: zDC  DAx  90o 2 Từ 1 và 2 suy đpcm Cách 2: Vẽ Bt // Mx //Ny Bài 7: Vẽ các tia Bm và Dn song song song với xx  hình Suy Bm và Dn song song với yy    xAB   60o (so le trong) Khi đó: ABm   30o  BCy   mBC   30o  mBC   DAx '  45o ;   Lại có: ADn nDC  DCy '  50o (so le trong)   95o Do đó: ADC Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC: CẠNH – CẠNH – CẠNH (C.C.C) I KIẾN THỨC CƠ BẢN  Nếu ba cạnh tam giác này ba cạnh tam giác thì hai tam giác đó A AB  A ' B '   AC  A ' C '  ABC  A ' B ' C '  c.c.c  BC  B ' C '  B C A' II BÀI TẬP B' C' Bài 1: Tìm các tam giác trên hình đây A M R N S Q P B C D E O T Bài 2: Cho hình vuông MNOP hình vẽ, tìm hình tam giác nào Bài 3: a) Vẽ tam giác ABC có BC  2cm , AB  AC  3cm b) Gọi E là trung điểm cạnh BC ABC câu a) Chứng minh AE là tia phân giác góc BAC Bài 4: Cho hình vẽ A B a) Chứng minh ACB  CAD   b) Chứng minh BAC  DCA và suy AB // DC c) Chứng minh AD //BC D C Bài 5: ( Bài toán dựng đường song song thước thẳng và compa ) Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng m Để vẽ đường thẳng qua A và song song với m , người ta vẽ sau : Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN - Lấy hai điểm B , C tùy ý trên đường thẳng m - Vẽ đường tròn tâm C, bán kính AB và đường tròn tâm A, bán kính BC - Gọi D là giao điểm hai đường tròn ( D và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ là AC) Em hãy chứng minh AD // m ( Vẽ lại hình vào bài làm) Bài 6: ( Bài toán vẽ tia phân giác thước thẳng và compa).(Vẽ lại hình vào bài làm) Cho góc xAy Lấy A làm tâm, vẽ dường tròn bán kính r cắt Ax B., cắt Ay D Lần lượt lấy B và D làm tâm vẽ hai đường tròn cùng có bán kính r , hai đường tròn này cắt C ( C khác A ) Chứng minh : a) AC là tia phân giác góc xAy b) BD là tia phân giác góc ABC c) AD // BC d) AC  DB Bài 7: Cho tam giác ABC có AB  AC ; D; E thuộc cạnh BC cho BD  DE  EC Biết AD  AE   DAC  a Chứng minh EAB  AE b Gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM là phân giác D  c Giả sử DAE  600 Tính các góc còn lại tam giác DAE HẾT Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 1: HS các cặp cạnh tương ứng hai tam giác từ đó kết luận ABC  AED (c.c.c), ABD  AEC (c.c.c) Bài 2: Do MNOP là hình vuông nên MN  NO  OP  PQ RN  SO  TP  QM từ đó suy MR  NS  OT  PQ A Kết quả: MQR  NRS  OSI  PTQ(c c c) Bài 3: a) HS tự vẽ hình (nêu cách vẽ)   CAE  (hai góc tương ứng) b) BAE  CAE (c.c.c)  BAE 3  AE là tia phân giác góc BAC B Bài 4: E C A B a) Xét ΔACB và ΔCAD có :  AB=CD    AD=BC    ΔACB  ΔCAD (c - c - c)  AC chung    D C   DCA  (cặp góc tương ứng) mà hai góc này vị trí b) Vì ACB  CAD cmt   BAC so le nên AB //CD   c) Vì ΔACB  ΔCAD  DAC  BCA (cặp góc tương ứng ) mà hai góc này vị trí so le nên AD / / BC Bài 5: (HS vẽ hình) * Chứng minh AD //m Nối A với D , D với C và A với C Xét ABC và CDA có AB  CD (bằng bán kính đường tròn tâm C ) BC  AD (bằng bán kính đường tròn tâm A ) AC là cạnh chung  ABC  CDA (c  c  c)   DAC  (cặp góc tương ứng ) mà hai góc này vị trí so le  BCA Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN nên AD //BC  AD //m (vì B, C  m ) Bài 6: a) Nối A với C Chứng minh ΔABC  ΔADC (c  c  c)   DAC  (cặp góc tương ứng ) mà AC là tia nằm BAD   BAC   AC là tia phân giác góc xAy ( Vì B  Ax ; D  Ay )  AC là tia phân giác BAD b) BD là tia phân giác góc ABC Nối B với D Chứng minh ΔABD  ΔCBD (c  c  c)   CBD  (cặp góc tương ứng ) mà BD là tia nằm  ABD  ABC  BD là tia phân giác  ABC c) Vì ΔABC  ΔADC (c  c  c)   DAC  (cặp góc tương ứng ) mà hai góc này vị trí  BCA so le  AD / / BC d) Gọi M là trung điểm BD * Chứng minh ΔABM  ΔADM (c  c  c)   AMD   180  900  AMB *Chứng minh ΔCBM  ΔCDM (c  c  c)   CMD   180  900  CMB   1800  A, M , C thẳng hàng * Cộng góc ta AMC  AC  BD M A Bài 7: a) ABE  ACD(c.c.c)   DAC   EAB b) ADM  AEM (c.c.c) B D M E C   EAM   AM là phân giác D  AE  DAM Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN c) ADB  AEC (c.c.c)   AEC   ADE   AED   180  30 :  75  ADB   Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN * Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông tam giác vuông này cạnh huyền và cạnh góc vuông tam giác vuông thì hai tam giác đó   = 0 A = A' 90   BC = B'C'   ΔABC = ΔA'B'C'  AC = A'C'    II BÀI TẬP Bài 1: Cho góc xOy Tia Oz là tia phân giác góc xOy Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A  O) Kẻ AB vuông góc với Ox , AC vuông góc với Oy ( B  Ox , C  Oy ) Chứng minh OAB  OAC Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm M Kẻ MD  BC ( D  BC ) a) Chứng minh BA  BD; b) Gọi E là giao điểm hai đường thẳng DM và BA Chứng minh ABC  DBE; c) Kẻ DH  MC ( H  MC ) và AK  ME ( K  ME) Gọi N là giao điểm hai tia DH và AK Chứng minh MN là tia phân giác góc HMK ; d) Chứng minh ba điểm B, M , N thẳng hàng Bài 3: Cho ABC có hai đường cao BM, CN Chứng minh BM  CN thì ABC cân Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B và C cắt I Kẻ ID  AC  E  AC  Chứng minh AD  AE Bài 4: Bài 5: Cho tam giác ABC có AB  AC Tia phân giác góc A cắt đường trung trực BC I Qua I kẻ các đường thẳng vuông góc với hai cạnh góc A , cắt các tia AB và AC theo thứ tự H và K Chứng minh rằng: a) AH  AK b) BH  CK c) AK  AC  AB AC  AB , CK  2 Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 6: Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm M , trên tia đối tia tia CB lấy điểm N cho BM  CN a) Chứng minh tam giác AMN cân; b) Kẻ BE  AM ( E  AM ), CF  AN ( F  AN ) Chứng minh BME  CNF ; c) EB và FC kéo dài cắt O Chứng minh AO là tia phân giác góc MAN d) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM , qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN , chúng cắt H Chứng minh ba điểm A , O , H thẳng hàng Bài 7: Cho ABC có M là trung điểm BC và AM là tia phân giác góc A Vẽ MI  AB I, MK  AC K Chứng minh: a) MI  MK b) ABC cân c) Cho biết AB = 37, AM = 35 Tính BC d) Trên tia đối tia BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Chứng minh  ADE cân e) Vẽ BQ  AD Q, CR  AE R Chứng minh  ABQ  ACR Bài 8: Cho tam giác ABC cân A (  A  90 ) Các đường trung trực AB, AC cắt O a) Chứng minh rằng: AO là tia phân giác góc A b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt K Chứng minh AK là tia phân giác góc A c) Vẽ BD  AC D, CE  AB e, BD cắt CE H Chứng minh A, O, H, K thẳng hàng Bài 9: Cho ABC có AB  AC Vẽ tia phân giác Ax Đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng Ax cắt AC D a) Chứng minh ABD cân b) Đường trung trực BC cắt Ax E Vẽ EF vuông góc với đường thẳng AB F, EG vuông góc với đường thẳng AC G Chứng minh: BF  CG Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG   nên AOB AOC , từ đó Bài 1: Do Oz là tia phân giác xOy x B OAB  OAC (cạnh huyền - góc nhọn) A z O Bài 2: a) Ta có BMA  BMD (cạnh huyền - góc nhọn), từ đó BA  BD C y b) Từ kết câu a) chứng minh ABC  DBE (g-c-g) c) Chú ý MA  MD , từ đó MAK  MDH (cạnh huyền - góc nhọn)  MK  MH B Do đó MKN  MHN (cạnh huyền - cạnh góc vuông)   HMN   ĐPCM  KMN D     AMD  KMH  HMN  d) Chứng minh AMB 2 M A   AMN   HMN   AMN   180  B, M , N thẳng Do đó AMB hàng C H K N E   90 ;CMB   90 Bài 3: Ta có: BM  AC ,CN  AB  BNC Xét BNC và CMB có:   CMB   90 (cmt) BNC BC là cạnh chung CN  BM (gt)  BNC  CMB(ch  cgv )  Bˆ  Cˆ (2 góc tương ứng)  ABC cân A Bài 4: Kẻ HI  BC BID  BIH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ID  IH 1 CIE  CIH (cạnh huyền – góc nhọn) suy IE  IH A E 2 D I Từ 1 và 2 suy ID  IE B H IAD  IAE (cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy AD  AE Bồi dưỡng lực học môn Toán C Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 5: A a) AIH  AKI (cạnh huyền – góc nhọn) suy AH  AK (1) K b) Gọi M là trung điểm BC M B BMI  CMI c.g.c   IB  IC C H I AHI  AKI (câu a) IH  IK IHB  IKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy BH  CK c) AC  AK  KC AB  AH – BH 1 2 Từ 1 và 2 suy AC  AB  AK  AH   KC – BH  Do AH  AK , BH  CK nên AC  AB  2AK , suy AK  AC  AB Từ 1 và 2 suy ra: AC – AB  AK – AH   KC  BH  Do AH  AK , BH  CK nên AC – AB  2CK , suy CK  AC  AB Bài 6: a) Chứng minh ABM  CAN (c-g-c)  đpcm A b) Từ kết câu a) chứng minh BME  CNF (cạnh huyền - góc nhọn) c) Từ kết câu b) ta có ME  NF , mà AM  AN  AE  AF   FCN   OBC   OCB   OBC cân O , từ đó Cũng có EBM OB  OC  OE  OF M Bởi AEO  AFO (c-g-c)  ĐPCM d) Chứng minh AMH  ANH (cạnh huyền - cạnh góc vuông), từ đó suy AH là phân giác góc MAN F E B C O H Mặt khác AO là phân giác góc MAN nên AH và AO trùng hay A , O , H thẳng hàng Bồi dưỡng lực học môn Toán N Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC A I KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu và nhỏ tổng các độ dài hai cạnh AB  AC  BC  AB  AC B C II BÀI TẬP Bài 1: Hãy lựa số số cho sau đây cho đó là độ dài cạnh tam giác Gạch ba là độ dài cạnh tam giác vuông: 3, 4; 5; 6; 8; 10 Bài2: Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB a) So sánh MC với AM  AC ; b) Chứng minh MB  MC  AB  AC Bài 3: Cho ABC Gọi M, N, K là điểm bất kì thuộc cạnh tam giác (không trùng với đỉnh) Chứng minh chu vi MNK bé chu vi ABC Bài 4: Cho ABC cân a) Tính AC, BC biết chu vi ABC là 23 cm và AB  cm b) Tính chu vi ABC biết AB  5cm , AC  12cm c) Tính chu vi ABC biết AB  cm , AC  13 cm Bài 5: Cho ABC có  AB  AC  và AD là phân giác góc A ( D  BC ) Gọi E là điểm thuộc cạnh AD ( E khác A ) Chứng minh AC – AB  EC – EB Bài 6: a) Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ là đường thẳng m , cho hai điểm A và B không thuộc đường thẳng m Xác định vị trí điểm N cho NA  NB có giá trị bé b) Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng n , cho điểm phân biệt C , D không thuộc đường thẳng n Xác định vị trí điểm M cho MC  MD có giá trị bé Hết Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 1: Bộ số số là độ dài cạnh tam giác là: (3;4;5) vì < + (3;5;6) vì < + (4;5; 6) vì < + (5; 6;8) vì < + (10; 6; 8) vì 10 < + (3;4;6) vì < + (3;6;8) vì < + (4;5; 8) vì < + (5; 6;10) vì 10 < + (3;8;10) vì 10 < + (4;6;8) vì < + (5; 8; 10) vì 10 < + (4;8; 10) vì 10 < + * Những ba là độ dài cạnh tam giác vuông: (3;4;5) ;(10; 6; 8) A Bài 2: a) AMC có MC  AM  AC b) Dùng kết câu a, ta có M MB  MC  MB  MA  AC  AB  AC Bài 3: B Theo bất đẳng thức tam giác , ta có : C A MN < AM + AN M N MK < BM + BK NK < CK + CN B K C  MN + MK + NK < (AM + MB) + (BK + CK) + (CN + AN)  MN + MK + NK < AB + AC + BC Bài 4: a) Tính AC, BC Biết chu vi ABC là 23 cm và AB  cm * Nếu AB là cạnh bên và ABC cân A  AB  AC  cm  BC  13 cm ( không thỏa mãn BĐT tam giác) * Nếu AB là cạnh bên và ABC cân B  AB  BC  cm  AC  13 cm ( không thỏa mãn BĐT tam giác) *Nếu AB là cạnh đáy thì ABC cân C  AC  BC  23  5 :  cm (thỏa mãn BĐT tam giác) Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Vậy: AC  BC  cm b) Tính chu vi ABC biết AB  cm , AC  12 cm * Nếu AB  BC  cm là cạnh bên  AC  12 cm là cạnh đáy Khi đó 12   ( không thỏa mãn BĐT tam giác) Vậy AC  BC  12 cm là cạnh bên ; AB  cm là cạnh đáy Chu vi ABC là : 12  12   29 (cm) c) Tính chu vi ABC biết AB  cm , AC  13 cm * Nếu AB  BC  cm là cạnh bên  AC  13 cm là cạnh đáy Khi đó 13   (thỏa mãn BĐT tam giác) Chu vi ABC là : 13    27 cm  * Nếu AC  BC  13 cm là cạnh bên  AB  cm là cạnh đáy Khi đó 13  13  (thỏa mãn BĐT tam giác) Chu vi ABC là : 13  13   29cm Bài 5: Trên cạnh AC lấy điểm F cho AB  AF Xét ABE và AFE có   AB  AF; BA EF AE; AE chung Do đó ABE = AFE (c.g.c)  BE  EF Trong tam giác EFC có FC  EC – EF mà BE  EF nên FC  EC – EB A 1 Lại có FC  AC – AF mà AF  AB nên E FC  AC – AB 2 F C D B Từ 1 và 2 suy AB – AC  EC – EB Bài 6: C A D n m M N B E Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN a) Nối A với B, đoạn thẳng AB cắt đường thẳng m N đó điểm A, B, N thẳng hàng đó NA  NB có giá trị bé b) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng n không chứa điểm C lấy E cho n là đường trung trực DE Nối E với C cắt n M , vì M thuộc đường trung trực n DE nên MD  ME Khi đó MC  MD  MC  ME ; Vì C , M , E thẳng hàng nên CM  ME là nhỏ hay MC  MD nhỏ Từ đó kết luận vị trí điểm M cần tìm Bài tập bổ sung: Bài 7: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác, tia BO cắt cạnh AC I a) So sánh OA và IA  IO , từ đó suy OA  OB  IA  IB; b) Chứng minh OA  OB  CA  CB; c) Chứng minh OA  OB  OC  AB  BC  CA Bài 8: Cho tam giác ABC có AB  AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D , trên cạnh AC lấy E cho AE  AB a) So sánh DB và DE; b) Chứng minh AC  AB  DC  DB Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM  AB  AC Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN A Định lí Ba đường trung trực tam giác cùng qua điểm Điểm này cách ba đỉnh tam giác đó O Trên hình bên, điểm O là giao điểm các đường trung trực ABC Ta có OA  OB  OC Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC B Định lí Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy II BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền Bài 2: Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K , trên cạnh MP lấy điểm D cho MK  DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O   PDO  a) Chứng minh MKO b) Chứng minh O thuộc đường trung trực MN  c) Chứng minh MO là tia phân giác NMP Bài 3: Cho tam giác ABC cân A,  A  90 Các đường trung trực AB và AC cắt O và cắt BC D và E Chứng minh rằng: a) OA là đường trung trực BC; b) BD = CE; c) ODE là tam giác cân; Bài 4: Cho ABC nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực AB và AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB  OD a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD và CD b) Chứng minh các tam giác ABD , CBD vuông   70 Hãy tính số đo góc ADC  c) Biết ABC   30 Kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC , cắt AC Bài 5: Cho ABC vuông A , C H và cắt BC D Nối A và D a) Chứng minh ABD Bồi dưỡng lực học môn Toán C Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN  cắt AD K , cắt DH kéo dài I Chứng minh I là tâm đường b) Kẻ phân giác góc B qua ba đỉnh tam giác ADC c) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc I xuống các đường thẳng BC , BA Chứng minh IE  IF  IK  d) Tính số đo góc DAI Bài 6:   90 Trên cạnh BC lấy các điểm D và E cho Cho tam giác ABC có A BD  BA , CE  CA Gọi I là giao điểm các tia phân giác tam giác ABC a) Chứng minh BI , CI là đường trung trực AB, AC b) Chứng minh IA  ID  IE Bài tập tự luyện Bài 7: Tam giác ABC cân A có AB = 14cm Đường trung trực AB cắt cạnh AC E Biết chu vi tam giác BEC 24cm Tính độ dài BC   90 Gọi d là đường trung trực BC, O là giao điểm Bài 8: Cho tam giác ABC có B AB và d Trên tia đối tia CO lấy điểm E cho CE = BA Chứng minh d là đường trung trực AE Bài 9: Cho tam giác ABC cân A , đường phân giác AK Các đường trung trực AB và AC cắt O a) Chứng minh ba điểm A , K , O thẳng hàng.b) Kéo dài CO cắt AB D , kéo dài BO cắt AC E Chứng minh AK và các đường trung trực AD và AE đồng quy Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vuông góc với BC , H  BC Tia phân giác  cắt BC E Chứng minh  cắt BC D , tia phân giác góc HAC góc HAB điểm cách ba cạnh ABC chính là điểm cách ba đỉnh ADE Hết Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN HDG Bài 1: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B Do đó, OA  OB  OC A , C A  Suy ra: B 1 O    180  2A   O  2      O1  180  2A1     O  O   360  A   180  BOC C A  B, O , C thẳng hàng, mà OB  OC  O là trung điểm BC M Bài 2: a) Từ giả thiết suy OK  OD , OM  OP D   PDO  MKO  PDO (c.c.c)  MKO   ODM  b) Từ kết câu a), suy OKN K Có MN  MP , MK  PD  NK  MD Chứng minh OKN  ODM (c.g.c)  ON  OM O N P  O thuộc đường trung trực MN c) Xét MNP có O là giao điểm các đường trung trực MN và MP  MO là đường trung trực NP  Mà MNP cân M nên MO đồng thời là tia phân giác góc NMP Bài 3: a) O là giao điểm các đường trung trực ABC  OB  OC ABC cân A  AB  AC Vậy AO là đường trung trực BC b) Gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm AC HBD  KCE (g.c.g)  BD  CE   KEC   ODE   OED  c) HBD  KCE  HDB  ODE cân O Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 4: a) Ta có OA  OB  OC nên OA  OD  OC  O là giao điểm hai đường trung trực AB và AC   BAO  b) Ta có : OA  OB  B A   DAO  OA  OD  D Xét BAD có:   BAO   DAO D   180 B 2  D    DAO   180  BAO O C B   90  BAD Vậy tam giác ABD vuông A Tương tự, ta chứng minh tam giác BCD vuông C D   90; B  D   90 c) Ta có: B 1  B D  D   180 Suy B 2   ADC   180  ABC   180 ABC   110  ADC B Bài 5:   30  B   60 a) C  C   30 Ta có: DA  DC  DAC D E K   60  ABD  BAD 30° A H F I C b) ABD  BK là đường trung trực AD  IA  ID Mà I  DH  IA  IC Vậy IA  IC  ID  I là tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ADC   IE  IF c) I thuộc phân giác góc B   IK  IE DH là đường trung trực AC  DH là phân giác ADC Vậy IE  IF  IK  d) IK  IF  AI là tia phân giác DAF    60  DAF   120  DAI   DAF  60 BAD Bồi dưỡng lực học môn Toán Toán Họa [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN Bài 6: a) Vì ABC và O là giao điểm ba đường trung trực nên  AO là tia phân giác A   MAO A  BAC  30 M P O   30 b) Tương tự câu a), OCP Có MAO  OPC (c.g.c) B N C c) Có: MAO  OPC  OM  OP 1 Chứng minh tương tự câu b), MAO  NBO (c.g.c)  OM  ON 2 Từ 1 và 2 suy O là giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP Bồi dưỡng lực học môn Toán