Luận văn thạc sĩ Toán giải tích, Toán tử quạt, Nghiệm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HỒNG HẢI MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoảng Hải Minh Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian kết liên quan 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Toán tử quạt 1.2.2 Xấp xỉ Yosida 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach 10 1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính 10 1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 20 Chương Sự tồn nghiệm mơ hình động học rừng điều chỉnh 33 2.1 Nghiệm địa phương 34 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 35 36 2.2 Hệ động lực 38 2.2.1 Nghiệm toàn cục 2.2.2 Hàm Lyapunov 38 43 LỜI MỞ ĐẦU Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng chủ đề môi trường quan tâm Những vấn đề nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng biết tới như: quy luật phát triển cá thể cây, khu vực rừng, rừng hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống rừng hệ thống khác đất, nước, thời tiết với tương tác hệ thống nêu trên, Nhiều nhà khoa học giới nghiên cứu vấn đề đạt kết quan trọng Vào năm 1972, D B Botkin [2] đưa mơ hình tốn học sở phát triển rừng Trong đó, Botkin nghiên cứu khu vực khoảng (100m3 tới 300m3 ) rừng đưa phương trình phát triển cho với tương tác khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya Antonovsky M D Korzukhin [1] đưa mơ hình tốn học rừng quan tâm tới mối quan hệ phụ thuộc tuổi Mơ hình sau vào năm 1994 tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev A Aponina [4] phát triển thành mơ hình mơ tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi trình tái sinh Cụ thể là, miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét hệ rừng đơn loài giả sử chia thành hai lớp tuổi non trưởng thành Có ba yếu tố cấu thành hệ rừng: non, trưởng thành hạt giống khơng khí Chúng tạo thành mơ hình động học thể trình phát triển hệ rừng sau:  ∂u   = β δ w − γ(v)u − f u Ω × (0, ∞),   ∂t     ∂v = f u − hv Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w   = d∆w − β w + αv Ω × (0, ∞),    ∂t   u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) Ω, 0 (0.1) Ω khu vực rừng phát triển (Ω ⊂ R2 miền hai chiều bị chặn) Các hàm u(x,t) v(x,t) mật độ non mật độ trưởng thành, vị trí x ∈ Ω thời điểm t ∈ [0, ∞) Hàm w(x,t) mật độ hạt khơng khí x ∈ Ω t ∈ [0, ∞) Phương trình thứ thứ hai mô tả phát triển non trưởng thành Phương trình thứ ba thể động lực hạt khơng khí; d > số khuếch tán hạt, α > β > tỉ lệ hạt tạo số hạt rơi xuống đất Trong đó, < δ ≤ tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > tỉ lệ chết non, phụ thuộc vào tỉ lệ trưởng thành v, f > tỉ lệ non phát triển thành trưởng thành, h > tỉ lệ chết trưởng thành Hàm γ(v) xác định γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > c > Với w, số điều kiện biên đặt biên ∂ Ω Các hàm giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ lấy Ω Mơ hình (0.1) số tác giả nghiên cứu Với điều kiện biên Neuman Dirichlet đặt lên w, tác giả L H Chuan, A Yagi T Shirai [3] [5] chứng minh tồn nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực tồn hàm Lyapunove cho hệ (0.1) Tuy nhiên, mơ hình chưa đầy đủ Các nghiệm dừng u, v toán (0.1) có giá hồn tồn Ω Tuy nhiên rừng tự nhiên khuếch tán, mật độ hạt bên biên tự nhiên dương Một số kết tính tốn số nghiệm dừng hệ (0.1) có mật độ miền bên biên rừng dương Hai tác giả A Yagi M Primicerio vào năm 2014 [7] đưa hình động học rừng điều chỉnh sau:  ∂u   = β δ (w − w∗ )+ − γ(v)u − f u Ω × (0, ∞),   ∂t     ∂v = f u − hv Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w   = d∆w − β w + α v˜ R2 × (0, ∞),    ∂t   u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) Ω R2 0 (0.2) Ở đây, w∗ > số cho trước ký hiệu (w − w∗ )+ phần dương w − w∗ , với w ≥ w∗ , (w − w∗ )+ = w − w∗ với w < w∗ , (w − w∗ )+ = Vì thế, w∗ mật độ tối thiểu hạt mặt đất, mật độ tối thiểu cần thiết để mọc lên Giờ hàm w mật độ hạt khơng khí, xác định tồn R2 Và v˜ ký hiệu hàm mở rộng v từ L∞ (Ω) tới L∞ (R2 ), v(x) ˜ = v(x) với x ∈ Ω v(x) ˜ =0 với x ∈ R \Ω Mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) cải thiện hai khía cạnh Khía cạnh đầu tiên, mở rộng miền xác định w thành tồn khơng gian R2 w biểu thị mật độ hạt khơng khí hạt phân tán xa so với biên Ω Một cách tự nhiên, ta khơng cịn cần phải quan tâm tới điều kiện biên w Khía cạnh thứ hai, ta có ngưỡng w∗ Nếu w ≤ w∗ khơng có non mọc, tất nhiên khơng có trưởng thành Điều khiến cho giá nghiệm dừng u, v compact Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương luận văn trình bày tóm tắt số kết biết khơng gian hàm, tốn tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, định lý kết liên quan tới luận văn Chương trình bày dựa tài liệu [6] • Chương luận văn trước tiên trình bày tồn nghiệm địa phương (0.2), sau tồn nghiệm tồn cục (0.2) Cuối chương phần trình bày hàm Lyapunov hệ động lực sinh (0.2) Chương trình bày dựa tài liệu [7] Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoàng Hải Minh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dựng sở lý thuyết nhằm tiếp cận tốn mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Cụ thể, ta hệ thống lại kiến thức số khơng gian hàm, tốn tử quạt, đồng thời nhắc lại kết phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính Phần cuối chương ta chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục đánh giá nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 1.1 Một số khơng gian kết liên quan Cho X không gian Banach với chuẩn , [a, b] ⊂ R, với hai số mũ < σ < β ≤ 1, ta định nghĩa khơng gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ ,σ ((a, b]; X), < σ < β ≤ 1, sau: Định nghĩa 1.1 Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm hàm liên tục (a, b] (hay [a, b] ) < β < (khi β = 1) thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn t → a (2) F hàm liên tục Holder với số mũ σ với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể (s − a)1−β +σ F(t) − F(s) sup (t − s)σ a≤s không phụ thuộc vào (u, v, w) Chứng minh Trong chứng minh đây, ta sử dụng ký hiệu C1 ,C2 , C, ρ, ρ số dương số mũ dương, xác định số cho trước a, b, c, d, f , h, α, β δ , Ω C, ρ, ρ thay đổi lần xuất Bước Đánh giá u L2 , v L2 , w L2 Nhân phương trình thứ (2.1) với u ta u ∂u = β δ (w − w∗ )+ u − γ(v)u2 − f u2 , ∂t 38 suy d (u ) = β δ (w − w∗ )+ u − γ(v)u2 − f u2 dt Lấy tích phân hai vế đẳng thức Ω ta d dt u2 dx + f Ω u2 dx = Ω Ω ≤ f γ(v)u2 dx β δ (w − w∗ )+ udx − u2 dx +C1 Ω Ω w2 dx − γ(v)u2 dx (2.8) Ω R Nhân phương trình thứ ba (2.1) với w lấy tích phân hai vế kết ta d dt w2 dx + β w2 dx = d R R w2 dx + β w2 dx + d w∆wdx + α R vwdx, R suy d dt R R |∇w|2 dx = α R vwdx R ≤ β w2 dx +C2 R v2 dx (2.9) R Lấy C3 > cho C1C3 ≤ β4 Nhân (2.8) với C3 ta C3 d dt u2 dx +C3 f Ω u2 dx ≤ Ω C3 f u2 dx +C1 C3 Ω w2 dx −C3 γ(v)u2 dx Ω R (2.10) Cộng vế 2.9 (2.10) ta C3 d dt u2 dx + Ω C3 f u2 dx+ Ω d dt β + w2 dx R v2 dx −C3 w2 dx ≤ C2 Ω R R γ(v)u2 dx (2.11) Tiếp theo, ta nhân phương trình thứ hai (2.1) với v sau lấy tích phân Ω ta d v2 dx + h v2 dx = f uvdx dt Ω Ω Ω Lấy C4 > cho C4 h ≥ 2C2 sau nhân đẳng thức với C4 ta có C4 d dt v2 dx + 2C2 Ω v2 dx = C4 f Ω 39 uvdx Ω ... Điều khiến cho giá nghiệm dừng u, v compact Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương luận văn trình bày tóm... dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán. .. KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) mô tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi q trình tái sinh Nội dung luận văn