Mô hình toán trong bảo hiểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ĐỖ HỮU QN MƠ HÌNH TỐN TRONG BẢO HIỂM Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, 07 - 2011 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Chí Long Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP HCM, ngày tháng năm Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Đỗ Hữu Quân MSHV: 09240487 Ngày, tháng, năm sinh: 29/12/1986 Nơi sinh: Bà Rịa – Vũng Tàu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 604636 I TÊN ĐỀ TÀI: MƠ HÌNH TỐN TRONG BẢO HIỂM II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG : III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : Tiến sĩ Nguyễn Chí Long Tp HCM, ngày tháng năm 2011 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên chữ ký) TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ ký) Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn - Tiến sĩ Nguyễn Chí Long - Giảng viên khoa Toán Tin, trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh, người ln quan tâm giúp đỡ, khuyến khích, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến tập thể Thầy Cơ mơn Tốn ứng dụng - Khoa Khoa học ứng dụng, phòng đào tạo Sau đại học - trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức cho tơi suốt khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến phòng Đào Tạo Sau đại học - trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể bạn học viên khóa K2009, lớp cao học Toán ứng dụng - người bạn đồng hành, giúp đỡ chia sẻ tài liệu khó khăn tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thân u nhất, ln khích lệ động viên tơi suốt q trình học tập vừa qua TP Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2011 Đỗ Hữu Quân Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Phần giới thiệu 10 KIẾN THỨC TỔNG QUAN 14 1.1 1.2 1.3 Không gian xác suất, hàm phân phối, kỳ vọng 14 1.1.1 Không gian xác suất 14 1.1.2 Hàm phân phối 15 1.1.3 Phân phối Poisson 16 1.1.4 Kỳ vọng 16 1.1.5 Kỳ vọng có điều kiện 17 Quá trình ngẫu nhiên 18 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 18 1.2.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 22 Quá trình Poisson 24 1.3.1 24 Quá trình đếm 1.3.2 Quá trình Poisson 24 1.3.3 Quá trình Poisson phức hợp 25 1.4 Quá trình đổi 26 1.5 Quá trình Markov 28 1.5.1 Định nghĩa 28 1.5.2 Phương trình Chapman - Kolmogorov 30 1.6 1.7 Mactingan 32 1.6.1 Định nghĩa 32 1.6.2 Một vài ví dụ mactingan 33 Thời điểm dừng 34 LÝ THUYẾT RỦI RO VÀ BẢO HIỂM 37 2.1 Bài toán thiệt hại 37 2.2 Xác suất thiệt hại 40 2.3 Áp dụng phương pháp mactingan để ước lượng xác suất thiệt hại 42 2.3.1 Đặt lại toán 43 2.3.2 Các giả thiết định lý Cramer - Lundberg 44 2.3.3 Định lý Cramer - Lundberg 45 2.3.4 Các ý quan trọng 50 XÁC SUẤT THIỆT HẠI DO YÊU CẦU BỒI THƯỜNG LỚN TRONG MƠ HÌNH RỦI RO CHẬM ĐỔI MỚI 52 3.1 Giới thiệu toán 52 3.2 Các kết 54 Kết luận 59 Lời nói đầu Tốn học tài lĩnh vực mẻ, tăng cường ứng dụng khoảng 30 năm gần Tuy mẻ, giới tài quan tâm Trong năm gần đây, ngành Tốn học tài thu hút ý người làm Tốn ứng dụng Một cơng trình sớm Filip Lundberg luận án tiến sĩ tiếng Đại học Uppsala (Thụy Điển) năm 1903 đưa đến việc sáng lập lý thuyết rủi ro tài Lundberg nhận trình Poisson phải cơng cụ trung tâm mơ hình bảo hiểm tài Bằng phép biến đổi thời gian thích hợp, ơng hạn chế vấn đề vào việc phân tích q trình Poisson Sau đó, Harald Cramer trường phái Stockholm phát triển ý tưởng Lundberg đóng góp vào việc hình thành nên lý thuyết trình ngẫu nhiên tốn học Mơ hình số đóng góp mơ hình Cramer - Lundberg Giả sử công ty bảo hiểm với số vốn ban đầu u phát hành loại chứng từ bảo hiểm bán cho khách hàng với phí suất bảo hiểm c Tại thời điểm t, công ty phải trả cho khách tổng số tiền bồi thường bảo hiểm S(t) Khi đó, quỹ vốn cơng ty U (t) = u + ct − S(t) Nếu U (t) < có cố thiệt hại cho cơng ty Sử dụng mơ hình toán học cho ta đánh giá xác suất thiệt hại Qua luận văn giúp ta có nhìn tổng qt lý thuyết rủi ro nói chung rủi ro bảo hiểm nói riêng, ước lượng thiệt hại cho công ty bảo hiểm đưa loại chứng từ bảo hiểm Phần giới thiệu Tính cấp thiết đề tài Việt Nam đánh giá thị trường tiềm cho hoạt động bảo hiểm, nhiều công ty bảo hiểm hoạt động Việt Nam, chủ yếu công ty có vốn đầu tư nước ngồi, nhân viên hoạt động tính tốn rủi ro chủ yếu người nước ngồi Chúng ta chưa có nghiên cứu sâu sắc ứng dụng vấn đề Ứng dụng tốn học bảo hiểm tài thu hút nhiều nhà toán học tham gia có nhiều nghiên cứu rủi ro bảo hiểm, đặc biệt nghiên cứu Cramer - Lundberg Mục tiêu nội dung nghiên cứu Một công ty bảo hiểm có số vốn u Cơng ty bán bảo hiểm cho khách hàng với phí suất bảo hiểm c Tại thời điểm t, công ty phải trả cho khách tổng số tiền bồi thường S(t) Khi đó, quỹ vốn cơng ty U (t) = u + ct − S(t) Công ty thiệt hại U (t) < Mục đích luận văn ước lượng xác suất thiệt hại công ty với số giả thiết cho trước 10 ∞ ∞ = ct − Eξi I(Ti ≤t) = ct − µ i=0 P (Ti ≤ t) i=0 ∞ = ct − µ P (Ni ≥ i) = ct − µENt i=0 = ct − µλt = t(c − µλ) Vậy muốn cơng ty bảo hiểm có lãi, phải có E(Ut − U0 ) > 0, t > 0, tức phải có c − µλ > (2.20) Ta thấy, với r > h(r) < Nt −r(Ut −U0 ) Ee −r(Ut −u) = Ee −rct =e ξi r Ee i=0 Nt ∞ r −rct e =e ξi i=0 P (Nt = n) n=0 ∞ = e−rct (1 + h(r))n n=0 ∞ =e −rct n=0 eλt (λt(1 + h(r)))n n! −rct λth(r) =e eλt (λt)n n! e = et(λh(r)−cr) Ta chứng minh Ee−r(Ut −U0 ) = etg(r) (2.21) Tương tự vậy, ta chứng minh với s < t Ee−r(Ut −Us ) = e(t−s)g(r) (2.22) • Đặt Gt = σ(Us , s ≤ t), tức σ− trường thông tin diễn biến quỹ vốn U công ty bảo hiểm thời điểm t Vì U = (Ut , t ≥ 0) trình ngẫu nhiên với số gia độc lập E e−r(Ut −Us ) |Gs = Ee−r(Ut −Us ) = e(t−s)g(r) P − hầu chắn, 47 E e−rUt −tg(r) |Gs = e−rUs −sg(r) (2.23) Zt = e−rUt −tg(r) (2.24) Nếu kí hiệu (2.23) có nghĩa E (Zt |Gs ) = Zs , s≤t (2.25) Vậy Zt mactingan họ σ− trường (Gt ) • Ta gọi biến ngẫu nhiên τ˜ = τ˜(ω) thời điểm Markov họ (Gt , t ≥ 0), với t ≥ {˜ τ (ω) ≤ t} ∈ Gt Ta nhận thấy trình Z = (Zt , t ≥ 0) trình khơng âm, với EZt = e−ru < ∞ Vậy Z martingan với thời gian liên tục, mà theo định lý Doob ta có: EZt∧˜τ = EZ0 (2.26) với thời điểm Markov τ˜ • Do biểu thức (2.25), ta suy từ (2.26) với thời điểm τ˜ = τ e−ru = Ee−rUt∧τ −(t∧τ )g(r) ≥ E e−rUt∧τ −(t∧τ )g(r) |τ ≤ t P (T ≤ t) = E e−rUτ −T g(r) |τ ≤ t P (T ≤ t) ≥ E e−rg(r) |τ ≤ t P (τ ≤ t) ≥ e−sg(r) P (τ ≤ t) (2.27) e−ru P (τ ≤ t) ≤ = e−ru max esg(r) −sg(r) 0≤s≤t e (2.28) 0≤s≤t Vậy ta có 0≤s≤t 48 • Bây ta xét hàm số g(r) = λh(r) − cr chi tiết chút Rõ ràng, ta có: g(0) = g (0) = λµ − c < theo (2.20) g (r) = λh (r) > Vậy tồn giá trị r = R cho g(R) = (2.29) Chú ý với r > ta có ∞ ∞ ∞ erx dF (y)dx rx e (1 − F (x)) dx = x 0 ∞ y erx dx dF (y) = r ∞ 0 (ery − 1)dF (y) = h(r) r (2.30) Phương trình g(r) = viết thành λh(r) − cr = hay λ h(r) =1 c r tức λ c ∞ erx (1 − F (x)) dx = • Cuối thay r = R vào (2.28): P (τ ≤ t) ≤ e−Ru max esg(R) = E −rU , g(R) = 0≤s≤t Vậy P (τ ≤ t) ≤ e−Ru Vậy hệ thức với t > nên ta có P (T < ∞) ≤ e−Ru Vậy định lý Cramer - Lundberrg chứng minh hoàn toàn 49 (2.31) 2.3.4 Các ý quan trọng Theo quan điểm ngẫu nhiên lý luận chứng minh đơn giản nhiều ta thay phân phối mũ σi = Ti − Ti−1 phân phối hình học P (σi = k) = pk q 1−k Khi biến thời gian Ti , τ lấy giá trị rời rạc việc nghiên cứu dựa vào lý thuyết martingan với thời gian rời rạc Các giả thiết mơ hình Cramer - Lundberg làm giảm nhẹ đi, làm cho mơ hình phức tạp hơn, phản ánh nhiều toán bảo hiểm thực tế Chẳng hạn, ta xét q trình rủi ro có dạng sau: Nt Rt = u + (ct + σBt ) − ξk , k=1 (Bt ) chuyển động Brown (Nt ) trình Cox, tức trình đếm với cường độ ngẫu nhiên Về tính chất hàm phân phối F = F (x) lợi nhuận bảo hiểm, người ta qui ước phân loại trường hợp bảo hiểm dẫn tới việc phải trả tiền bồi thường bảo hiểm làm loại: • loại bình thường (normal) • loại đặc biệt (extremal) • loại tai biến, tai họa (catastrophic) Kí hiệu F¯ (x) = − F (x) gọi hàm F¯ đuôi phân phối F Để mô tả biến cố thuộc loại bình thường, người ta dùng phân phối có nhẹ, chẳng hạn phân phối mũ thỏa mãn điều kiện F¯ (x) = − F (x) ≈ e−x Người ta mô tả cố bảo hiểm đặc biệt phân phối với đuôi nặng, tức F¯ (x) = − F (x) ≈ x−α , α > ( phân phối Pareto) 50 hay F¯ (x) = exp − với p ∈ (0, 1) x−µ σ p ,x > µ ( phân phối Weibull) Lưu ý rằng, định lý Cramer - Lundberg liên quan đến trường hợp bình thường, khơng thể áp dụng cho trường hợp trả bồi thường bảo hiểm lớn Tuy nhiên, người ta mở rộng Lý thuyết Cramer - Lundberg cho trường hợp bồi thường lớn 51 Chương XÁC SUẤT THIỆT HẠI DO YÊU CẦU BỒI THƯỜNG LỚN TRONG MƠ HÌNH RỦI RO CHẬM ĐỔI MỚI 3.1 Giới thiệu tốn Cho biến ngẫu nhiên khơng âm X với hàm phân phối tương ứng, F (x) = P (X ≤ x) Cho kỳ vọng hữu hạn µ > 0, phân phối F kí hiệu F (x) = − F (x) hàm phân phối cân kí hiệu Fe (x) = x µ−1 F (u) du Xét mơ hình rủi ro bảo hiểm sau: • Các số tiền đòi trả (ξi ), i ≥ dãy biến ngẫu nhiên không âm phân phối F (x) kỳ vọng hữu hạn µ > • Khoảng cách thời gian hai yêu cầu liên tiếp Yi , i ≥ 1, biến ngẫu nhiên độc lập dương, Yi , i ≥ m biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối với hàm phân phối chung G (x) với số nguyên dương 52 m ≥ G có kỳ vọng hữu hạn v n • Thời điểm đến yêu cầu đòi trả Tn = Yi , n ≥ số yêu cầu i=1 đến N (t) = sup {i : Ti ≤ t} • {ξi : i ≥ 1} {Yi , i ≥ 1} giả thiết độc lập với N (t) ξi − ct với t ≥ 0, Quá trình rủi ro đổi định nghĩa S (t) = i=1 c > phí suất bảo hiểm qui ước ξi = Xác suất thiệt hại ψ (x) i=1 trình rủi ro S (t) định nghĩa sau: n ψ (x) = P sup S (t) > x =P t≥0 (ξi − cYi ) > x sup n≥1 i=1 Nếu m = mơ hình gọi mơ hình rủi ro đổi thơng thường Đặc biệt, m = G có phân phối mũ N (t) trình Poisson Mơ gọi mơ hình Cramer – Lundberg Nếu m = 2, mơ hình gọi mơ hình rủi ro chậm đổi Nếu m = hàm phân phối ξ1 hàm phân phối cân G mơ hình gọi mơ hình rủi ro chậm đổi Để thuận tiện, ta gọi mơ hình rủi ro chậm đổi tổng quát với m ≥ Một hàm phân phối F có giá [0, ∞), biến ngẫu nhiên X khơng âm tương ∞ ứng nó, gọi đuôi nặng EeλX = eλx dF (x) = ∞ với λ > 0 Một số lớp quan trọng hàm phân phối đuôi nặng sau: F (x − y) = 1, ∀y > x→∞ F (x) • L : F ∈ L lim • D : F ∈ D lim sup x→∞ F (xy) < ∞, ∀y : < y < F (x) F ∗n (x − y) = n, ∀n ≥ 2, F ∗n kí x→∞ F (x) hiệu cho tích chập n - lần (n-fold convolution) F với tương ứng • S : F ∈ S lim F ∗n (x) = − F ∗n (x) 53 • M∗ : F ∈ M∗ F có kì vọng hữu hạn lim sup x→∞ xF (x) ∞ < F (u) du ∞ F (x) • M : F ∈ M có kì vọng hữu hạn lim x→∞ ∞ =0 F (u) du x Mệnh đề 3.1.1 Cho F hàm phân phối có giá [0, ∞) với kì vọng hữu hạn Khi đó: (i) F ∈ M ⇔ Fe ∈ L ; (ii) F ∈ M∗ ⇔ Fe ∈ D ⇒ Fe ∈ S 3.2 Các kết Định lý 3.2.1 Trong mơ hình rủi ro đổi thông thường với trọng số an toàn cEY1 − Eξ1 ρ= > 0, hàm phân phối cân Fe ∈ S ta có ξ1 ψ (x) ≈ ρ−1 F e (x) x→∞ (3.1) Chứng minh định lý 3.2.1: (xem [2]) Định lý 3.2.2 Trong mơ hình rủi ro đổi cản trở với độ an toàn tương đối cEY2 − Eξ2 ρ= > 0, hàm phân phối cân F ∈ S ta có Eξ2 ψ (x) ≈ ρ−1 F e (x) x→∞ (3.2) Nhận xét Vì M ∗ ⊂ M L ∩ D ⊂ S nên mệnh đề 3.1.1 cho ta kết Fe ∈ D ⇒ Fe ∈ S Định lý 3.2.3 sau hệ trực tiếp định lý 3.2.2 Định lý 3.2.3 Trong mơ hình rủi ro chậm đổi với độ an toàn tương đối ρ = cEY2 − Eξ2 > 0, hàm phân phối cân F ∈ D ta có (3.2) Eξ2 54 Định lý 3.2.4 Trong mơ hình rủi ro đổi cản trở tổng qt với độ an toàn cEYm − Eξm tương đối ρ = > 0, hàm phân phối cân F ∈ S ta có Eξm (3.2) Chứng minh định lý Chứng minh định lý 3.2.2 Đặt n ψ (x) = P n (ξi − cYi ) > x sup n≥2 =P ξi − cYi > x , x > sup n≥1 i=2 i=1 Yi : i ≥ dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi với hàm phân phối G Định lí 3.2.1 cho ta ψ (x) ≈ ρ−1 F e (x) Đặt (3.3) n (ξi − cYi ) M = sup n≥1 i=1 n (ξi − cYi ) M = sup n≥2 i=2 Như vậy, rõ ràng M = max ξ1 − cY1 , ξ1 − cY1 + M (3.4) Đặt H(x) = P (ξ1 − cY1 ≤ x), ta có ψ(x) = P (M > x) = P (ξ1 − cY1 > x) + P ξ1 − cY1 ≤ x, ξ1 − cY1 + M > x x ψ(x − u)dH(u) = H(x) + −∞ A ψ(x − u)dH(u)+ = H(x) + −∞ x−A x ψ(x − u)dH(u) + + A ψ(x − u)dH(u) x−A 55 (3.5) với A số dương đủ lớn Đặt A ψ(x − u)dH(u), I = H(x), J = −∞ x x−A ψ(x − u)dH(u) ψ(x − u)dH(u), Q = P = x−A A Từ mệnh đề 3.1.1 S ∩ L, ta có Fe ∈ S ⇒ F ∈ M Tức là, I ≤ F (x) = o(F e (x)) (3.6) Từ (3.3) S ∩ L, ta có ψ(x − u) ψ(x − A) F e (x − A) ≤ ∼ −→ ρ F e (x) F e (x) ρF e (x) với u ≤ A Theo định lí hội tụ bị chặn, ta có J = x→∞ F e (x) lim A ψ(x − u) dH(u) = ρ−1 H(A) x→∞ F (x) −∞ e lim (3.7) Mặt khác, ta có H(x − A) Q ≤ lim sup x→∞ F e (x) F e (x) F (x − A) F e (x − A) ≤ lim sup =0 x→∞ F e (x − A) F e (x) lim sup x→∞ (3.8) Bây ta xem xét P : Do (3.3), tồn số A0 > cho ψ(x − u) ≤ 2ρ−1 F e (x − u), ∀u ∈ (A, x − A) với A > A0 x > 2A Do đó, lấy tích phân hai vế, ta x−A P ≤ 2ρ−1 F e (x − u)dH(u) A = 2ρ−1 F e (x − A)H(A) − F e (A)H(x − A) + ≤ 2ρ−1 F e (x − A)H(A) + ρµ 56 µ x−A H(u)F (x − u)du A x F (u)F (x − u)du (3.9) với A > A0 x > 2A Cố định ε, tồn x0 > cho F (x) < εF e (x), ∀x > x0 F (x) = Fe ∈ S Vì vậy, với x > x0 , ta có x→∞ F e (x) Do đó, lim x x F (u)F (x − u)du = µ F (x − u)dFe (u) x x−x0 F (x − u)dFe (u) + ≤ F (x − u)dFe (u) x−x0 x−x0 ≤ε F e (x − u)dFe (u) + F e (x − x0 ) − F e (x) ≤ ε Fe∗2 (x) − F e (x) + F e (x − x0 ) − F e (x) Mà Fe ∈ S ∩ L, nên ta có x F (u)F (x − u)du lim sup F e (x) x→∞ ≤ ε µ Do đó, x F (u)F (x − u)du lim sup F e (x) x→∞ =0 ε chọn nhỏ tùy ý Kết hợp với (3.9) ta lim sup x→∞ P ≤ 2ρ−1 H(A) F e (x) (3.10) Kết hợp phương trình (3.6), (3.7), (3.8) (3.10) vào phương trình (3.5), ta H(A) = lim x→∞ ≤ lim sup x→∞ J ρ−1 F e (x) ≤ lim inf x→∞ ψ(x) e (x) ρ−1 F ψ(x) ≤ H(A) + 2ρ−1 H(A) (x) e ρ−1 F Do đó, (3.2) thõa mãn cho A → ∞ Nghĩa định lý 3.2.2 chứng minh 57 Chứng minh định lý 3.2.4 Giả sử m ≥ Đặt Gi (x) = P (Yi ≤ x) với ≤ i ≤ m − Theo đó, tất Gi , i ≥ có giá (0, ∞) Định nghĩa n ψm (x; G1 , , Gm − 1) = P (sup n≥1 (ξi − cYi ) > x) i=1 với m ≥ Ta cần chứng minh ψm (x; G1 , , Gm − 1) ∼ ρ−1 F e (x) (3.11) Ta chứng minh định lý quy nạp Nếu m = (3.11) suy từ định lý 3.2.2 Giả sử (3.11) có với m G1 , , Gm−1 hàm phân phối tùy ý Ta chứng minh (3.11) với m + G1 , , Gm hàm phân phối tùy ý Đặt M M định lý 3.2.2 Rõ ràng (3.4) Theo cách xây dựng, ta có P (M > x) ∼ ρ−1 F e (x) Phần lại chứng minh tương tự định lý 3.2.3 ta bỏ qua việc chứng minh chi tiết 58 Kết luận Trong năm gần đây, ngành tài thực trở thành ngành “cơng nghiệp” then chốt có tác dụng điều chỉnh thúc đẩy hoạt động ngành kinh tế trở thành nơi hội tụ ý tưởng xuất phát từ lĩnh vực tri thức ứng dụng thực tế khác Ngành tốn học tài có nhiều đóng góp quan trọng thúc đẩy phát triển thị trường tài Tuy nhiên, phát triển thị trường tài ln tồn rủi ro Một vài năm qua, giới xảy khủng hoảng tài nghiêm trọng, từ Mỹ Châu Âu, nơi mà thị trường tài phát triển mạnh Vì việc nghiên cứu lý thuyết rủi ro cần thiết, đặc biệt rủi ro bảo hiểm Các vấn đề trình bày luận văn nêu lên số kết lý thuyết rủi ro, ứng dụng vào rủi ro bảo hiểm Đặc biệt mơ hình Cramer - Lundberg, mơ hình có ý nghĩa vai trị lớn công việc bảo hiểm, kể bảo hiểm tài Với vốn kiến thức cịn hạn hẹp ban đầu, mong muốn tiếp tục nghiên cứu thu kết khả quan hơn, có ý nghĩa thực tiễn Tài liệu tham khảo [1] Corina Constantinescu, Analysis of the ruin probability using Laplace transforms and Karamata Tauberian theorems, 2002 [2] Fengyang Cheng, Ruin Probabilities for large claims in generalized delayed renewal risk model, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, No 28, 415420, 2004 [3] Harvie W Brown, Risk theory, Presented to the Institute of Actuaries Students’ Society, 1976 [4] H Schmidli, An extension to the renewal theorem and an application to risk theory, The Annals of Applied Probability, Vol 7, No 1, 121-133, 1997 [5] Nguyễn Chí Long, Xác suất thống kê q trình ngẫu nhiên , NXB Đại học quốc gia TP.HCM, 2008 [6] Nguyễn Chí Long, Định giá tài sản mơ hình nhị thức, Kỉ yếu Hội thảo Quốc tế Giải tích Toán ứng dụng (lần thứ nhất), tr 513 - 525, 14/03/2011 [7] Rick Durrett, Essentials of stochastic processes, Springer-Verlag New York Inc., 1999 [8] Tomasz Rolski, Hanspeter Schmidli, Volker Schmidt, Jozef Teugels, Stochastic processes for insurance and finance, John Wiley & Sons, 1999 [9] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học kĩ thuật, 2000 60 [10] Trần Hùng Thao, Nhập mơn Tốn học tài chính, NXB Khoa học kĩ thuật, 2009 61 ... rủi ro bảo hiểm nói riêng, ước lượng thiệt hại cho công ty bảo hiểm đưa loại chứng từ bảo hiểm Phần giới thiệu Tính cấp thiết đề tài Việt Nam đánh giá thị trường tiềm cho hoạt động bảo hiểm, nhiều... toán thiệt hại Một công ty bảo hiểm với số vốn ban đầu u Công ty phát hành loại chứng từ bảo hiểm bán cho khách hàng thu số tiền bảo hiểm với tốc độ c (gọi phí suất bảo hiểm) Tại thời điểm t, công... S(t) (2.4) u vốn ban đầu công ty bảo hiểm, c phí suất bảo hiểm, tức số tiền khách hàng phải đóng cho cơng ty bảo hiểm đơn vị thời gian, S(t) số tiền mà công ty bảo hiểm trả cho khách hàng tính thời