Các dạng bài tập SỐ PHỨC có lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng 2 là đường thẳng có phương trình:?. Trục hoành và trục tungA[r]

(1)

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

SỐ PHỨC

Xét

Hai phần tử

: Phép cộng :

Phép nhân:

Định nghĩa Tập , với phép cộng phép nhân gọi tập số phức Phần tử gọi số phức

1 Định nghĩa số phức

Giao hoán: Kết hợp:

Tồn phần tử khơng: Mọi số có số đối: Phép trừ:

2 Tính chất phép cộng

Giao hốn: Kết hợp:

Tồn phần tử đơn vị:

Mọi số khác có số nghịch đảo :

Giả sử , để tìm Ta có: Giải hệ cho

ta Vậy,

Phép chia: với

(2)

Số phức biểu diễn dạng , ,

Hệ thức , suy từ định nghĩa phép nhân:

Biểu diễn gọi dạng đại số số phức Do đó:

: phần thực , : phần ảo Đơn vị ảo

Tổng số phức:

Hiệu số phức:

Tích số phức:

4 Định lý

, , , …, quy nạp ta được: , , , ,

Do đó:

5 Lũy thừa đơn vị ảo :

Cho , số phức gọi số phức liên hợp

Thật vậy, ( đpcm )

là số thực không âm

Thật vậy,

( đpcm ) Thật vậy,

( đpcm )

Thật vậy, tức ( đpcm )

,

Thật vậy, ,

Do , ( đpcm )

6 Số phức liên hợp:

(3)

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.

1 ví dụ minh họa

Ví dụ Xác định phần thực phần ảo số phức :

( )( )

z i i i= - + z 4i

4 i -=

-1

3 ( ) ( )1 i+ i z i+ = + +(1 2i z+ ) Ví dụ

1 Tìm mơđun số phức z, biết rằng: (1 2i z- ) = - +3 8i

2 Tìm số thực b, c để phương trình z2+bz c 0+ = nhận số phức z i= + làm nghiệm Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: 2+( )z z z+ éê 3-( )z 3ùú= +(1 4i z)éê 2+zz z+( )2ùú

ë û ë û

Ví dụ

1 Tìm phần ảo số phứcz, biết: z=( i+ ) (2 1- 2i). Tìm phần thực phần ảo số phức

3 i z

1 i

ổ +

= ỗỗ ÷÷ +

è ø

Ví dụ

Số gọi môđun số phức Môđun số phức

Mỗi số phức biểu diễn điểm hay véc tơ mặt phẳng phức.Ta viết:

hoặc

9 Biểu diễn hình học số phức

i Gọi Khi đó: đối xứng với qua ; đối xứng với qua

ii Gọi biểu diễn hai số phức Khi đó: biểu diễn

iii Cho

Khi đó: biểu diễn

10 Tính chất

Phương pháp: Dạng 1: Các phép tính số phức

Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân, chia lũy thừa số phức Dạng 2: Số phức thuộc tính

Tìm phần thực phần ảo: , suy phần thực , phần ảo Biểu diễn hình học số phức:

(4)

1 Tìm phần ảo số phức z, biết z 3z 2i+ = -( )2 Tìm phần thực số phức z, biết z i z 2i- +( ) =( )+ Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn:

1 z 3i iz- = - z z

- số ảo z z 2i= - - z 2i z

số ảo Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z 1

z i - =

- z 3i 1z i

- =

+

Ví dụ 8.1.7 Cho số phức z x yi; x,y= + Ỵ¢ thỏa mãn z3=18 26i+ Tính T=(z 2- )2012+(4 z- )2012

1i Bài tập tự luận tự luyện

Bài

1 Cho số phức z , z thỏa mãn1 2 z1 = z2 =1, z1+z2 = Tính z1-z2 2.Tìm số thực x,y cho :

a z z'= , biết rằng: z=(2x 3- ) (- 3y i+ ) , z'=(2y 1+ -) (3x i- ) b (x 2y i+ )( - ) (3+ 3x y x 2i- )( + )=47 20i-

c x yi 12 23 i yi

+ = +

+

d

( )3

3 xyi 2i

+

+ ( )3

x y 2i 2i

+

( phức ) liên hợp 3.Cho z cos18= 0+cos72 i0 Tính z

4 Xác định phần thực phần ảo số phức :

( ) ( )( )

33

10

1 i

z i 3i 3i

1 i i

ổ +

=ỗ ữ + - + + - +

-è ø

5 Thực phép tính :

( ) ( )9 10 A= -1 i + +1 i

5 18

M i= +i +i + + i ( )

21 13

13

1 i

B i i

1 i i

ỉ ưỉ +

= - +ỗ - ữỗ ữ

-è ø

è ø

( ) ( ) ( )2 ( )2010 N 1 i= + + + +1 i + +1 i + + + i Xác định phần thực phần ảo số phức :

a z=(2 3i 2i- )( + ) b z 2i

3 2i -=

+

c z= +( ) ( )1 i 2- -1 i

d ( ) ( )

3 i i 4) z

4 3i

+

-= + Cho z 2x= 2-3x x y i+ +( - )( - ) với x,y số thực Tìm x,y cho:

a.z số thực b. z là ảo z 4= c z 5i= + Thực phép tính :

( ) ( )

3

2 i i

A

2 i i

+ +

-=

+ -

-2 2009 C i i= + + + i

2009 3i B

2 3i

æ +

= ỗỗ ữữ

-ố ứ

( ) ( )2 ( )2010 D i= + + +1 i + + i+ Cho số phức z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i= - + + + +

Trong x,y số thực Tìm x,y cho

a.z số thực b z số ảo z 1= c z= - +20 15i

(5)

10 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a.z (1 2i)2

3 i + =

- b z (2 i)= + - +(3 2i)3

c z (3 i)(1 2i)2 (3 2i)

+

-=

+ d

2 2i z (1 3i)(2 i)

1 3i

-= + - +

-11 Tìm modun số phức z biết:

a.(1 2z)(3 4i) 29 22i+ + = + b 2i (2 3i)z 2i- = 3 2i+

+

-c z 2 (1 2i)(2 i)

(2 3i)- = + + d (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i)- + = + - Bài

1 Tìm phần thực phần ảo số phức :

( ) (1 i+ 2 i z i 2i z- ) = + + +( ) Đề thi Cao đẳng năm 2009.

2 Chứng minh z1 = z2 =1, z z1 2¹1 2

z z

1 z z +

+ số thực

3 Tìm số phức z thỏa mãn z i 1- + = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Tìm số phức z thỏa mãn(z z 2i- )( + ) số thực z 1- =

5 Tìm số phức z thỏa mãnz.z z z+ ( )- = -5 6i Tính z biết:

a (3i z- ) (= 2i 1+ )2 b z 2i 3 z

+ = +

- c z

3i 3z i

- = +

+

-7 Tìm số phức z biết :

a 4z (3i 1)z 25 21i+ + = + b 3z 2(z)- 2=0 Bài Xét điểm A,B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số 4i

i 1- , ( )(1 i 2i- + ), 6i3 i +

- Chứng minh ABC tam giác vuông cân

2 Tìm số phức biểu diễn điểm D cho ABCD hình vng

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A B hai điểm biểu diễn nghiệm phức phương trình:

z -6z 18 0+ = Chứng minh tam giác OAB vuông cân Bài Chứng minh rằng:

1.( )1 i- 2010+( )1 i+ 2010 số thực ( 3i 1+ )2009+( 3i 1- )2009 số ảo

Bài Cho u,vur ur biểu diễn hai số phức 3i+ 2i -1 3u 2vur+ ur ; 5u 3vur- ur biểu diễn số phức nào?

2 Gọi xr biểu diễn số phức 4i+ Hãy phân tích xr qua u, vur ur Bài Gọi A ,A ,A ,A1 2 3 4 biểu diễn hình học số phức

1

z = +1 3i, z = - +3 2i, z = -5 i, z = +4 5i Tính độ dài đoạn A A , A A , A A1 2 1 3 1 4

2 Tìm số phức có biểu diễn điểm M cho A A A M hình bình hành.1 4 Bài

1 Tìm phần thực số phức z= +( )1 i ,n Nn Ỵ thỏa mãn phương trình: log n log n 94( - )+ 4( + )=3 Tìm phần ảo số phức z, biết iz 3i z( ) z2

1 i - +

= +

(6)

1 Gọi z nghiệm phương trình z2-2z 0+ = Tính giá trị biểu thức Q z2012 20121 z

= +

2 Tính z , biết (2z 1+i- )( )+( )z 1 i+ ( )- = -2 2i

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn:

1 z 2i+ = - +z i z i z 2i

+

-+ số ảo z = phần thực z lần phần ảo

3 z z= z = z2 số ảo Đề thi Đại học Khối D ,2010 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn:

1

4

z z 200 0

1 7i

z + + - =

2 z i z

+

- - = Đề thi Đại học Khối B – năm 2011

3 z (2 3i)z 9i- + = - Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 z2 = z2+z

Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn:

( )2

2 z i z z 2i

z z 2

ì - = - +

ïï í

- =

ï ïỵ

3 z i( ) 10 z.z 25

ì - + = ï

í = ïỵ

5 z 2z i1 i+ = 1 i+

+

-7 z2+ z 8z 44+ =

2 z 2i z z i z

ì - =

ï

í = -ïỵ

4

( )( )

z 1

z 2i

z z i

ì + =

ï + í

ï + - =

ỵ

6 z i z i ì - = ï í

+ - = ïỵ

8 z3=z Bài 14

1 Nếu z1 = z2 =1, z z1 2¹ -1

1

z z

T

1 z z + =

+ số thực Nếu z1 = z2 = z3 =r ( 2)( 3)( 1)

1

z z z z z z

T

z z z

+ + +

= số thực 2 3

1

z z z z z z r

z z z

+ +

=

+ + với

1

z +z +z ¹0 Số phức w z

z -=

+ số ảo Û z 1= Bài 15

Cho ,a b hai số phức liên hợp thoả mãn a2ỴR

b a - b =2 Tính a Bài 16 Tính z1+z , z2 1-z , z z , z2 1 2 1-2z , 2z2 1+z2 biết:

1 z1= -5 6i, z2 = - -1 3i z1= +2 3i, z2 = +3 4i z1 3i, z2 2i

2 3

= - + = - + z1= 2i,z+ 2= - i

-Bài 17 Cho số phức z1= +1 2i,z2= - +2 3i,z i= - Tính : z1+z2+z2 z z1 2+z z2 3+z z3 1 z z z1 3

(7)

4 z21+z22+z23 5.

2

z

z z

z +z +z

2

1

2

z z

+ + Bài 18 Tìm số phức z thỏa mãn:

1 z 7i i- + = - 2 3i z+ + = - -5 i

3 z(2 3i) 5i+ = + z 2i

1 3i= + - +

5 iz 3i

1 i i

+ =- +

- + 2z(1 i) 2iz(1 i) 4i- = + +

Bài 19 Cho z 3i

2

= - Hãy tính: ; z; z ; z ; z z2 ( )3

z + +

Bài 20 Gọi A, B,C điểm biểu diễn số phức z1= +3 2i, z2 = -2 3i, z3= +5 4i Chứng minh A, B,C ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác

2 Gọi D điểm biểu diễn số phức z Tìm z để ABCD hình bình hành

3 Gọi E điểm biểu diễn số phức z' Tìm z' cho tam giác AEB vng cân E

Ví dụ 1.Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i- = ( )1 i z+ Ví dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i z+ = -Ví dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z z 5- + + =

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z2 số ảo Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

1 z2 =( )z 2 z i z z 2i- = - + Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: z' 1= +( 3i z 2) + , z số phức thỏa mãn z 2- = z i z i 4- + + = z z 10- + + = Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: z i- = + +z 3i

2 2z 5i 2+ - £

3 z 4i-( - ) =2

4 z 3i z 2i 10+ + + - + = Bài 5: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa:

1 z 3i+ + số thực z 2i 1- + =

3 z 3i z i+ = + - z 3i z 2i 2+ + + + + = 5 4i 3z 1- - £ 6 z i z 3i 2+ + - - - = Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa

1 2z iz 2i-- có phần thực z 2i 3z i-+ ++ số thực dương

Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: Phần thực z hai lần phần ảo

2 Phần thực z thuộc đoạn [ 2;1]-

3 Phần thực z thuộc đoạn [ 2;1]- phần ảo z thuộc đoạn [1;3]

4 z 2£ z 3£ £ z 2i 2- + £

7 z i- = - +z z 2i 8 z 2£ £ phần ảo lớn

(8)

Ví dụ 1.Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai z2 +mz i 0+ = có tổng bình phương hai nghiệm 4i- Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức:

1 z2-2z 17 0+ = z2+(2i 1)z 5i 0+ + - = 4z 7i z 2iz i- - =

( ) ( )

2 2

2

25 5z +2 +4 25z 6+ =0 Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức:

1 z3+(2 2i)z- 2+(5 4i)z 10i 0- - = biết phương trình có nghiệm ảo z4-2z3-z2-2z 0+ = z i

z ỉ - = ỗ + ữ

ố ứ

Vớ d Giải hệ phương trình: 2

2

78y

x 20

x y

78x

y 15

x y

ì

+ =

ï

+ ï

í

ï + =

ï +

ỵ

; 2

2

16x 11y

x

x y

11x 16y

y

x y

ì

-+ =

ï

+ ï

í +

ï - =

-ï +

ỵ

Ví dụ Giải hệ phương trình:

3

10x

5x y

y 1

5x y

ỡ ổ + ử=

ù ỗ + ữ

ï è ø

í

ỉ

ï ỗ - ữ=

-ù ố + ứ

ỵ

;

12

x

3x y 12

y

3x y

ỡ ổ - ử=

ù ỗ + ữ

ï è ø

í

ỉ

ù ỗ + ữ=

ù ố + ứ

ỵ Phương pháp:

1 Định nghĩa: Cho số phức Mỗi số phức thỏa gọi bậc hai Xét số thực (vì có bậc hai )

Nếu có hai bậc hai Nếu có hai bậc hai Đặc biệt : có hai bậc hai ( số thực khác 0) có hai bậc hai

2 Cách tìm bậc hai số phức

Với Để tìm bậc hai ta gọi

Từ giải hệ này, ta

3 Phương trình bậc hai với hệ số phức

Là phương trình có dạng: , số phức a Cách giải: Xét biệt thức bậc hai

Nếu phương trình có nghiệm kép:

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Định lí viét

Gọi hai nghiệm phương trình : Khi đó, ta có hệ thức sau:

Dạng 3. Căn bậc hai số phức phương trình bậc hai

(9)

Ví dụ Cho số phức z thoả mãn điều kiện 11z10+10iz9+10iz 11 0.- = Chứng minh z 1.=

Bài 1: Tìm bậc hai số phức:

1 z 6i= + 2 z 33 56i= - 3 z= - +1 4i z= - +5 12i Bài 2: Tìm bậc hai số phức sau:

1 3i

- + 2. (3 i)2

1 i

-+

3 (1 2i- )5 Bài 3: Giải phương trình sau trên£ :

1 z2- -(1 3i z 2i 0) - - = 2 4z 7i z 2i z i

- - =

Đề thi Cao đẳng năm 2009

4

z 200

z

1 7i

z + + - = ( ) ( )

3

z -3 2i z+ - 8i z 2i 0- - + = Bài 4: Giải phương trình sau trên£ :

1 z2+ -(1 5i z i) (- + =) z2+(3 2i z 5i 0- ) + - = ( )1 i z- 2-2 2i z 0( + ) - =

2 z2-(3 4i z 5i 0+ ) + - = z2-8 i z 63 16i 0( )- + - = z2+(2i z 5i 0+ ) + - = Bài 5: Giải phương trình sau trên£ :

1 z3+2 i z( )- 2+(5 4i z 10 0- ) - = z3-3 i z( - ) 2+2 9i z 30i 0( - ) + =

2 z3+(4 5i z- ) +4 5i z 40i 0( - ) - = Bài 6: Giải phương trình: z z

z

æ +

=ỗ - ữ

-ố ø , biết z 4i= + nghiệm phương trình Bài 7: Giải phương hệ trình sau trên£ : ( )

( ) 2

1 2

z z 2i

z z i

ì + = +

ï í

+ =

-ïỵ Bài 8: Giải hệ phương trình: 2

2

3x y

x

x y

x 3y

y

x y

ì

-+ =

ï

+ ï

í +

ï - =

ï +

ỵ

,

1

3x

x y

7y

x y

ỡ ổ + ử=

ù ỗ + ữ

ï è ø

í ỉ ư

ï ỗ - ữ=

ù ố + ứ

ợ Bài 9:

1 Tìm số thực a,b để: 2z3-9z2+14z (2z 1)(z- = - 2+az b)+ giải phương trình sau C:

3

2z -9z +14z 0- =

2 Tìm số thực a,b để : z4-4z2-16z 16 (z- = 2-2z 4)(z- 2+az b)+ giải phương trình sau C: z4 -4z2-16z 16 0- =

Bài 10:

1 Tìm tất cá giá trị thực m để phương trình sau có nghiệm thực: z3+(3 i)z+ -3z (m i) 0- + = Biết phương trình (1 i x- ) 2+ l +( i x i) + + l =0 nghiệm thực Tìm giá trị có l

Bài 11: Giải hệ sau tập số phức 12 22

1

z z z z 2i

z z 11 2i

ì + + =

-ï í

+ =

-ïỵ

z z z z z ì = ï í

+ =

ï ỵ

(10)

Bài 1: Giải phương trình sau trên£ : z4 z3 z2 z

- + + + =

Bài 2: Giải phương trình:

1 z4-(2 i z- ) 2-2i 0= 2z4-7z3+9z2-7z 0+ = 4z4-(6 10i z+ ) 3+(15i z- ) 2+(6 10i z 0+ ) + =

4 z4-(3 i z+ ) 3+(4 3i z+ ) 2-2 i z 0( + ) + = 25 5z( 2+2)2+4 25z 6( + )2 =0

Bài 3: Giải phương trình: (z 4+ ) (4+ z 6+ )4 =82 (z2 -1)4=16 z 1( - )4

2 (z2+1)2+(z 3+ )2=0 z z z z 10( + )( - )( + )= Bài 4: Gọi z ,z ,z ,z1 2 3 4 nghiệm phức phương trình

4

z 1

2z i ổ - = ỗ - ữ

ố ø Tính ( )( )( )( )

2 2

1

P= z +1 z +1 z +1 z +1

Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác Từ viết dạng đại số z2012

1 z= - +2 2i z= 6- 2i z cos isin

8

p p

= - +

Ví dụ Gọi z ,1 z2 nghiệm phương trình: z2- +(1 i z 4i 0)( )- - = Tính giá trị biểu thức

2012 2012

1

Q z= +z

Ví dụ 3.Tìm số phức z cho z5 12

z hai số phức liên hợp Ví dụ Giải phương trình cosx cos2x cos3x

2

- + =

Ví dụ Giải phương trình : cos x cos3x cos 5x cos7x cos9x

+ + + + =

Phương pháp:

Công thức De – Moivre: Có thể nói cơng thức De – Moivre công thức thú vị tảng cho loạt công thức quan trọng khác sau phép luỹ thừa, khai số phức, công thức Euler Công thức 1:

Công thức :

Số phức ta có:

Với góc gọi argument z, ký hiệu Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai

Dạng 5.Dạng lượng giác số phức

(11)

Bài :

1 Tính A= +( ) ( )1 i12+ i- 12

2 Tìm phần thực phần ảo số phức

3 i z

1 i

ỉ +

= ỗỗ ữữ +

ố ứ

Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 Cho số phức z ,z thỏa mãn1 2 z1-z2 = z1 = z2 >0 Tính

4

1

2

z z

A

z z

ổ ổ

=ỗỗ ữữ +ỗỗ ữữ

ố ứ ố ứ

4 Cho số phức z thỏa mãn ( ) 3i z

1 i -=

- Tìm mơđun số phức z iz+

Đề thi Đại học Khối A – năm 2010 Bài :

1 Tính giá trị biểu thức S C= 20100 -3C20102 +3 C2 42010 + + - ( )1 Ck 20102k + + 31004 2008C2010-31006 2010C2010 Rút gọn biểu thức:

A cosx cos2x cos3x cosnx= + + + + B sin x sin 2x sin 3x sinnx= + + + + Bài : Tính tích phân

1

cos5x

I dx

cos x p

=ò

2

sin5x

J dx

sin x

pæ ử

= ỗ ữ

ố ứ

ũ

Bài : Cho dãy số ( )un xác định u1=1, u2=0, un 2+ =un 1+ -un " În ¥* Chứng minh ( )un bị chặn

Bài : Viết số phức sau dạng đại số

2012

1 i z

1 3i

ổ -

= ỗ ữ

-è ø ( )

40 19

z (1 i) 1= + + 3i Bài : Cho ba số phức z ,z ,z1 2 3 thoả mãn hệ: 11 22 33

2

z z z

z

z z 1

z z z

ì = = =

ï

í + + =

ï î

Tính giá trị biểu thức T az= 1+bz2+cz3 với a,b,cỴ¡ Bài : Viết dạng lượng giác số phức sau:

1 z= - +3 3i 2 z cos isin

6

ổ p p

= - ỗ + ữ

è ø

3 z cos isin

9

p p

= - z sin icos

7

p p

=

-5 z sin icos

8

p p

= - + ( ) ( )

( )

7

9

1 3i i

z

1 i

- - +

=

-Bài : Viết số phức sau dạng đại số

1 z 1= + 3i z (1 i)= - -11 3.

5 (1 3) z

(1 i) -=

+ z (1 i) ( i)10 10 2i

( 3i)

- +

= +

- -

34 20

22 (1 2i) (1 i) z

( i)

+ +

=

-Bài : Tìm số phức z dạng lượng giác biết rằng:

1 z 2= argument (1 i z+ ) 12p zz 9= argument (1- 3i z)

(12)

3 z

= argument z

3 i+ 23p z

16

= argument z i 3i( )( ) 13 3i

- +

- + 12p

Bài 10 : Tìm số nguyên dương n để số phức sau số thực? số ảo?

n

13 9i 12 3i

æ +

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ø

( )

n 2n

7 17i 3i

+

( )

n 2n

59 11 3i 3 2i

-Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn:

1 z và4 13

z hai số phức liên hợp z3 322

z hai số phức liên hợp

Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z 3i 3- + = Tìm số phức z có modul nhỏ

Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z 4i 4- + = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z Ví dụ 3.6.7 Cho số phức z i m( ), m

1 m m 2i

-= Ỵ

- - ¡

1 Tìmm để z.z =

2 Tìm giá trị nhỏ số thực k cho tồn m để z k- £

Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z+ 2i có acgumen acgumen z+ cộng với

p Tìm giá trị lớn biểu thức T z z i= + + +

Bài 1: Tìm số phức z có mơđun nhỏ thỏa mãn: z 5i

z i

+ - =

+ - 12

z 4i

log

3 z 4i

ỉ - + +

=

ỗ ữ

ỗ - + - ÷

è ø

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn:

1 z 2i 2- - = Tìm số phức z có modul nhỏ z 4i z 2i- - = - Tìm số phức z có modul nhỏ Bài 3:

1 Cho số phức z thỏa mãn z 1= Chứng minh rằng:1 z£ + + + +1 z z2 £5 Chứng minh: z1+z22+z1-z22=2 z( 12+z22)

3 Chứng minh với số phức z, có hai bất đẳng thức sau xảy ra: z 2

+ ³ z2+ ³1 Cho số phức z 0¹ thỏa mãn z3 13

z

+ £ Chứng minh: z z

+ £

Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa điều kiện: z = + -z 3i biểu thức A z i z 3i= + - + - + có giá trị nhỏ

Bài 5: Cho hai số phức z1 z2 Chứng minh rằng:

Dạng 6. Cực trị số phức

(13)

1 z1+z22+ z1-z22 =2 z( 12+ z22)

2 z z- 1 22- z1-z2 2= +(1 z z1 2 ) (2- z1 + z2 )2 z1 -z2 £ z1+z2 £ z1 + z2

Bài 6: Cho số phức z thỏa z 1= Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: z 5i

A z +

= B z= 2+ + +z z3+1

Bài 7: Cho số phức thoả mãn z 1= Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của:

A z z= + + - B z z z= + + - +

Bài 8: Cho số phức thoả mãn z 2i 1.+ - = Tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ z Bài 9: Cho số phức a,b,c Đặt a b m, a b n+ = - = với mn 0¹ Chứng mỉnh rằng:

{ } mn2 2

max ac b , bc a

m n

+ + ³

+

1ii Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Vấn đề PHẦN THỰC – PHẦN ẢO

Câu Tìm phần thực phần ảo số phức z= +3 i

A Phần thực bằng-3 phần ảo bằng-2 i

B Phần thực -3 phần ảo bằng-2

C Phần thực phần ảo i

D Phần thực phần ảo

Câu Cho số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡ Tìm phần thực và)

phần ảo số phức z2.

A Phần thực a2+b2 và phần ảo bằng 2a b2 2.

B Phần thực a2-b2 và phần ảo bằng 2 ab

C Phần thực a b+ phần ảo a b2 2.

D Phần thực a b- phần ảo ab

Câu (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Số phức số ảo?

A z= - +2 i B z=3 i

C z= -2 D z= 3+i

Câu Kí hiệu a, b phần thực phần ảo số phức

3 2i- Tính P=ab

A P=6 i B P=6

C P= -6 i D P= -6

Câu Kí hiệu a, b phần thực phần ảo số phức z=i(1-i) Khẳng định sau đúng?

A a=1, b=i B a=1, b=1 C a=1, b= -1 D a=1, b= -i

Câu Tính tổng T phần thực phần ảo số phức

( )2

2

z= + i

A.T=11 B.T= +11 C.T= - +7 D.T = -7

Câu Tìm phần thực phần ảo số phức

( )3

4

z= - + -i i

A Phần thực phần ảo 5i- B Phần thực phần ảo 7i- C Phần thực phần ảo 5- D Phần thực 2- phần ảo 5i

Câu Tìm giá trị tham số thực m để số phức

( 1) ( 1)

z= m - + m+ i số ảo

(14)

Câu Tìm giá trị tham số thực ,x y để số phức

( )2 ( )

2

z= x iy+ - x iy+ + số thực A x=1 y=0 B x= -1 C x=1 y=0 D x=1

Câu 10 Cho số phức z= +a bi Khi z3 là số thực, khẳng

định sau ?

A b=0 a b2 =3a2.

B b=3a C b2=5a2.

D a=0 b b2 =a2.

Vấn đề HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU

Câu 11 Cho hai số phức z1= +a bi a b( ; Ỵ¡)

2 2017 2018

z = - i Biết z1=z2, tính tổng S= +a b

A.S= -1 B.S=4035 C S= -2019 D.S= -2016

Câu 12 Cho hai số phức z=(2x+ +3) (3y-1)i

( )

'

z = x+ y+ i Khi z=z', chọn khẳng định khẳng định sau:

A 5;

3

x= - y= B 5;

3

x= - y=

C x=3;y=1 D x=1;y=3

Câu 13 Biết có cặp số thực (x y; ) thỏa mãn

(x+y) (+ x-y i) = +5 3i Tính S= +x y

A.S=5 B.S=3 C S=4 D.S=6 Câu 14 Tìm tất số thực x y; thỏa mãn

( ) ( )2

2x y i- +y 2- i = +3 i

A x=1;y= -1 B x=1;y=1 C x= -1;y=1 D x= -1;y= -1

Câu 15 Cho hai số thực x y, thỏa mãn

( ) ( )

2x+ + -3 2y i=2 2- -i 3yi+x Tính giá trị biểu

thức 3

P=x - xy y-

A P=13 B P= -3 C P=11 D P= -12

Câu 16 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất số thực ;x y cho x2- +1 yi= - +1 2i

A x=0;y=2 B x= 2;y= -2 C x= 2;y=2 D x= - 2;y=2

Câu 17 Tìm tất số thực x y, thỏa mãn

( )

2 2 4 2

x + -y y+ i= i

A.(x y; )=( 3; 3- )hoặc (x y; )= -( 3;3) B.(x y; )=( 3;3) (x y; )=( 3; 3- ) C.(x y; )=( 3; 3- )hoặc (x y; )= -( 3; 3- ) D.(x y; )=( 3;3) hoặc(x y; )= -( 3; 3- )

Câu 18 Cho hai số phức z1= +a bi a b( ; Ỵ¡ và) z2= -3 4i

Biết

1

z =z , tính P=ab

A P=168 B P= -600 C P=31 D P= -12

Câu 19 Cho số phức z x iy= + thỏa mãn z2= - +8 6i.

Mệnh đề sau sai?

A 2

3

x y

xy

ìï - =-ïí

ï =

ïỵ B

4 8 9 0

3

x x

y x

ìï + - =

ïïï íï =

ïïïỵ

C x 13

y ì = ïï íï = ïỵ

1 x y ì = -ïï íï

=-ïỵ D

2 2 8 6

x +y + xy= - + i

Câu 20 Với x y, hai số thực thỏa mãn

( ) ( )3

3 14

x + i +y - i = + i Tính giá trị biểu thức

2 P= x- y

A 205

109

P= B 353

61

P= C 172

61

P= D 94

109

P=

Vấn đề BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC

Câu 21 Điểm biểu diễn số phức z= -2 3i có tọa độ là: A.( )2;3 B.(- -2; 3) C.(2; 3- ) D.(-2;3) Câu 22 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức

1

z= - i Điểm điểm biểu diễn số phức w=iz mặt phẳng tọa độ?

(15)

A.Q( )1;2 B N( )2;1 C M(1; 2- ) D P(-2;1 )

Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ

bên), số phức

3

z= - i biểu diễn điểm điểm , , , ?A B C D A Điểm A

B Điểm B C Điểm C D Điểm D

Câu 25 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Số phức có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M hình vẽ ?

A z4= +2 i

B z2= +1 i

C z3= - +2 i

D z1= -1 i

Câu 26 Giả sử M N P Q, , , cho hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z z z z1, , ,2

mặt phẳng tọa độ Khẳng định sau đúng?

A Điểm M điểm biểu diễn số phức z1= +2 i

B Điểm Q điểm biểu diễn số phức z4=- +1 i

C Điểm N điểm biểu diễn số phức z2= -2 i

D Điểm P điểm biểu diễn số phức z3=- -1 i

Câu 27 Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M điểm biểu diễn số phức z(như hình vẽ bên) Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức 2z ?

A Điểm N B ĐiểmQ

C Điểm E D Điểm P

Câu 28 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(4;0)

(0; 3)

B - Điểm C thỏa mãn điều kiện OC OA OBuuur uur uur= + Khi đó, số phức biểu diễn điểm C là:

A z= - -3 4i B z= -4 3i C z= - +3 4i D z= +4 3i

Câu 29 Gọi A điểm biểu diễn số phức z= - +1 6i B điểm biểu diễn số phức z'= - -1 6i Mệnh đề sau đúng?

A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành B Hai điểm A B đối xứng qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O D Hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y x= Câu 30 Gọi A điểm biểu diễn số phức z= +2 5i B điểm biểu diễn số phức z'= - +2 5i Mệnh đề sau đúng?

A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành B Hai điểm A B đối xứng qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O D Hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y x= Câu 31 Gọi A điểm biểu diễn số phức z= -4 7i B điểm biểu diễn số phức z'= - +4 7i Mệnh đề sau đúng?

A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành B Hai điểm A B đối xứng qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O D.Hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y x= D

C B

-4 -4

-3

O y

x

4 A

M

-2

1 x y

O

-1

-2

O y

x

Q P

N M

O y

x E Q

P N

(16)

Câu 32 Gọi A điểm biểu diễn số phức z= +3 2i B điểm biểu diễn số phức z'= +2 3i Mệnh đề sau đúng?

A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành B Hai điểm A B đối xứng qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O D Hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y x= Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z= +3 bi với bỴ¡ ln nằm đường có phương trình phương trình sau:

A x=3 B y=3 C y x= D y= +x Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z= +a a i2 với

¡ Khi điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường có phương trình phương trình sau:

A Parabol x=y2. B Parabol y= -x2.

B Đường thẳng y=2x D Parabol y=x2.

Câu 35 Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A B M, , điểm biểu diễn số phức -4, ,i x+3i Với giá trị thực x A B M, , thẳng hàng?

A x=1 B x= -1 C x= -2 D x=2 Câu 36 Xét điểm A B C, , mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn số phức z1= -2 2i, z2= +3 i

3

z = i Mệnh đề sau đúng? A Ba điểm A B C, , thẳng hàng B Tam giác ABC

C Tam giác ABC cân A

D Tam giác ABC tam giác vuông cân

Câu 37 Gọi A B C, , điểm biểu diễn số phức z1= - +1 ;i z2= - -3 ;i z3= +4 i Mệnh đề sau

đây đúng?

A Ba điểm A B C, , thẳng hàng B Tam giác ABC

C Tam giác ABC cân B

D Tam giác ABC tam giác vuông cân

Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ, ba điểm A B C, , biểu diễn cho ba số phức z1= +1 i, ( )

2

z = +i

( )

3

z = -a i ¡ Tìma để tam giác ABC vng B A a= -3 B a= -2 C a=3 D a=4 Câu 39 Cho số phức z z z1, 2, có điểm biểu diễn mặt

phẳng tọa độ ba đỉnh tam giác có phương trình đường

trịn ngoại tiếp ( ) (2 )2

2017 2018

x+ + -y = Tổng phần thực

và phần ảo số phức w= + +z1 z2 z3 bằng:

A.-1 B.1 C.3 D.-3

Câu 40 Cho tam giác ABC có ba đỉnh A B C, ,

biểu diễn hình học số phức

1 , ,

z = -i z = - + i z = +i Số phức z4 có điểm biểu

diễn hình học trọng tâm tam giác ABC Mệnh đề sau đúng?

A z4 =5 B z4= -3 i

C.( )2

4 13 12

z = + i D z4= -3 i

Vấn đề PHÉP CỘNG – PHÉP TRỪ HAI SỐ PHỨC Câu 41 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hai số phức

1

z = - i z2= +2 i Tìm số phức z= +z1 z2

A z= -7 i B z= +2 i

C z= - +2 i D z= -3 10 i

Câu 42 Tìm số phức w= -z1 2z2, biết z1= +1 2i 2

z = - i

A w= - -3 4i B.w= - +3 8i C w= -3 i D.w= +5 8i

Câu 43 Cho hai số phức z1= +1 2i z2= -2 3i Xác định

phần ảo a số phức z=3z1-2z2

A a=11 B a=12 C a= -1 D a= -12 Câu 44 Cho hai số phức z1= -1 2i z2= - +3 i Tìm điểm

biểu diễn số phức z= +z1 z2 mặt phẳng tọa độ

A M(2; - ) B N(4; - )

C P(- -2; ) D.Q(-1;7 )

(17)

Câu 45 Gọi A( )3;1 ,

( )2;3

B điểm biểu diễn số phức z1 z2

Trong hình vẽ bên điểm

trong điểm

, , ,

M N P Q biểu diễn số

phức z, biết

1

z + =z z

A M B .N

C .P D Q

Vấn đề NHÂN HAI SỐ PHỨC

Câu 46 Cho hai số phức z1=2017-i z2= -2 2016i

Tìm số phức z=z z1 .2

A z=2017 4066274- i B z=2018 4066274+ i C z=2018 4066274- i D z=2016 4066274- i Câu 47 Kí hiệu ,a b phần thực phần ảo số phức

1

2

z= z z với z1= -3 4i z2= -i Tính tổngS= - +a b

A.S=1 B S=4 C.S=0 D.S=16

Câu 48 Phân tích z=27+i dạng tích hai số phức Mệnh đề sau đúng?

A z= +(3 i)(8 3+ i) B z= -(3 i)(8 3+ i) C 1(3 )(8 3)

2

z= -i - i D 1(3 )(8 3)

2

z= - -i + i

Câu 49 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn

(1+i z) = -3 i Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm M N P Q, , , hình bên ? A Điểm P B Điểm Q

C Điểm M D Điểm N

x y M N

P Q

O

-1

2

-2

Câu 50 Cho hai số phức z= +m 3i z'= -2 (m+1)i Tìm giá trị tham số thực m để 'z z số thực

A.m=2 m= -3 B m= -2 m=3 C.m=1hoặc m=6 D m= -1hoặc m=6

Vấn đề SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Câu 51 Tìm số phức liên hợp z số phức z= +a bi A z = - +a bi B z= -b

C z = - -a bi D z= -a bi

Câu 52 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức

3

z= - i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực -3 phần ảo -2 i

B Phần thực bằng-3 phần ảo -2

C Phần thực phần ảo i

D Phần thực phần ảo

Câu 53 Cho số phức z= -1 2i Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức liên hợp số phức

z

A M1( )1;2 B M2(-1;2 )

C M3(- -1; ) D M4(1; - )

Câu 54 Tìm số phức liên hợp số phức z=i i(3 +1) A z = -3 i B z = - +3 i.C z= +3 i D z= - -3 i Câu 55 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức

2

z= + i Tìm số phức w= +iz z A w= -7 i B w= - -3 i

C w= +3 i D w= - -7 i

Câu 56 Cho hai số phức z1= +3 ,i z2= -4 3i Mệnh đề

sau đúng?

A z1=z2 B z1= -z2 C z1= -i z .2 D z1=i z .2

Câu 57 Cho số phức z¹0 số ảo Mệnh đề sau đúng?

A z=i z B z= -i z C z=z D z= -z Câu 58 Cho số phức z¹0 z¹z Gọi ,A B điểm biểu diễn số phức z z Mệnh đề sau ?

A ,A B đối xứng qua gốc tọa độ O B ,A B đối xứng qua trục hoành C ,A B đối xứng qua trục tung

O

2

-1

Q P

N M

y

(18)

D ,A B đối xứng qua đường thẳng y x=

Câu 59 Cho số phức z tùy ý hai số phức a =z2+( )z 2,

( )

z z i z z

b = + - Hỏi khẳng định đúng? A a b, số thực B a b, số ảo C a số thực, b số ảo

D a số ảo, b số thực

Câu 60 Cho số phức z= -5 3i Tìm phần thực a số phức

( )2

1+ +z z

A a= -22 B a=22 C a= -33 D a=33

Câu 61 Cho số phức z thỏa z= +(i 2) (2 1- 2i) Tìm phần ảo b số phức z

A b=2 B b= -2 C b= - D b=

Câu 62 Cho hai số phức ( )3

1

z = - + -i i z2= +7 i

Tìm phần thực a số phức w=2z z1

A a=9 B a=2 C a=18 D a= -74 Câu 63 Cho số phức z thỏa mãn z+2.z= -6 3i Tìm phần ảo b số phức z

A b=3 B b= -3 C b=3i D.b=2 Câu 64 Cho số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡) thỏa mãn

( )

2

iz= z- -i Tính S=ab

A.S= -4 B.S=4 C S=2 D.S= -2

Câu 65 Có số phức z thỏa mãn z z =10(z z+ )

z có phần ảo ba lần phần thực?

A B C D.3

Câu 66 Cho số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡) thỏa

(1+i z) +2z= +3 i Tính P= +a b

A

2

P= B P=1 C P= -1 D P=

-Câu 67 Cho số phức z thỏa mãn z- +(2 3i z) = -1 9i Gọi ,

a b phần thực phần ảo z Tính P=ab

A P=2 B P= -1 C P=1 D P= -2 Câu 68 Cho số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡) thỏa

(1+i z) + -(3 i z) = -2 6i TínhT= -b a

A.T=5 B.T= -8 C.T=1 D.T = -1 Câu 69 Cho số phức z thỏa mãn (1-i z) +2iz = +5 3i Tìm số phức w= +z z

A w= -6 i B.w= - -6 i C w= +6 i D.w= - +6 i

Câu 70 Gọi S tổng phần thực phần ảo số phức

3

w=z -i, biết z thỏa mãn z+ - = -2 4i (2 i iz) Mệnh đề sau đúng?

A S= -46 B S= -36 C.S= -56 D S= -1

Vấn đề MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC

Câu 71 Gọi M điểm biểu diễn số phức

( ; )

z= +a bi a bỴ¡ mặt phẳng tọa độ Mệnh đề sau đúng?

A.OM = z B.OM= a2-b2 .

C OM= +a b D.OM =a2-b2 .

Câu 72 Gọi M N, hai điểm biểu diễn số phức

1,

z z mặt phẳng tọa độ Mệnh đề sau đúng?

A z1-z2 =OM+ON

uuur uuur

B z1-z2 = MN

uuuur

C z1-z2 =OM+MN

uuur uuuur

D z1-z2 =OM-MN

uuur uuuur Câu 73 Mệnh đề sau sai?

A Hai số phức z1 z2 có z1 = z2 ¹0 điểm biểu

diễn z1 z2 mặt phẳng tọa độ nằm đường tròn

có tâm gốc tọa độ

B Phần thực phần ảo số phức z điểm biểu diễn số phức z nằm đường phân giác góc phần tư thứ thứ ba

C Cho hai số phức ,u v hai số phức liên hợp u v,

uv=u v

(19)

D Cho hai số phức ( )

( )

1

; ;

z a bi a b

z c di c d

ìï = + Ỵ

ùớ

ù = + ẻ

ùợ

¡

( ) ( )

1

z z = ac bd- + ad bc i+

Câu 74 Cho số phức 2

1

z=z +z với z1 số ảo Mệnh

đề sau đúng?

A z số thực âm B z=0 C z số thực dương D z¹0

Câu 75 Cho số phức z Mệnh đề sau đúng? A z2 =2 z B. z2 = z2.

C z2 =2z2. D. z2 = z2.

Câu 76 Cho số phức z thỏa mãn z =z Mệnh đề sau đúng?

A z số thực không âm B z số thực âm

C z số ảo có phần ảo dương D z số ảo có phần ảo âm

Câu 77 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức

2

z= +i Tính z

A z =3 B z =5 C z =2 D z = Câu 78 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hai số phức z1= +1 i

và z2= -2 i Tính mơđun số phức z1+z2

A z1+z2 = 13 B z1+z2 =

C z1+z2 =1 D z1+z2 =5

Câu 79 Cho hai số phức z1= +1 i z2= -2 3i Tính mơđun

của số phức z1-z2

A z1-z2 = 17 B z1-z2 = 15

C z1-z2 = 2+ 13 D z1-z2 = 13-

Câu 80 Tính mơđun số phức z, biết z thỏa mãn

3 iz= + i

A z =5 B z =3 C z =4 D z =5

Câu 81 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M( 2;3) Mệnh đề sau sai?

A Điểm M biểu diễn cho số phức có mơđun 11 B Điểm M biểu diễn cho số phức z mà có z= 3- i C Điểm M biểu diễn cho số phức z= 3+ i

D Điểm M biểu diễn cho số phức có phần ảo Câu 82 Tính mơđun số phức z, biết z= -(4 1i)( +i)

A z =25 2.B z =7 2.C z =5 D z = Câu 83 Gọi M điểm biểu

diễn số phức z, biết tập hợp điểm M phần tơ đậm hình bên (không kể biên) Mệnh đề sau :

A z £1 B 1< z £2 C 1< z <2 D 1£ z £2

Câu 84 Gọi M điểm biểu diễn số phức z, biết tập hợp điểm M phần tô đậm hình bên (kể biên) Mệnh đề sau ?

A 1< z <2 phần ảo lớn

2

-B 1£z £2 phần ảo lớn

2

-C 1< z <2 phần ảo nhỏ

2

-D 1£ z £2 phần ảo

2 O

y

(20)

không lớn

-Câu 85 Một hình vng tâm gốc tọa độ O , cạnh song song với trục tọa độ có độ dài Hãy xác định điều kiện a b để điểm biểu diễn số phức z= +a bi nằm đường chéo hình vng

A a >b³2 B a =b £ C a =b £2 D a < £b Câu 86 Gọi M điểm biểu

diễn số phức z, biết tập hợp điểm M phần tô đậm hình bên (kể biên) Mệnh đề sau ?

A z có phần ảo khơng nhỏ phần thực

B z có phần thực khơng nhỏ phần ảo có mơđun khơng lớn hơn3

C z có phần thực phần ảo

D z có mơđun lớn

Câu 87 Cho ba điểm A B C, , biểu diễn ba số phức

1, 2,

z z z với z3¹z1 z3¹z2 Biết z1 = z2 = z3

z +z = Mệnh đề sau đúng? A Tam giác ABC vuông C

B Tam giác ABC

C Tam giác ABC vuông cân C D Tam giác ABC cân C

Câu 88 Xét ba điểm A B C, , mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z z z1, 2, thỏa mãn

1

z = z = z z1+ + =z2 z3 Mệnh đề sau

đúng?

A Tam giác ABC vuông B Tam giác ABC vuông cân C Tam giác ABC D Tam giác ABC có góc

0

120

Câu 89 Cho số phức z z1, thỏa mãn z1 =3, z2 =4

z -z = Gọi A B, điểm biểu diển số phức

1,

z z Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc tọa độ

A S=12 B S=6 C.S=5 D 25 S=

Câu 90 Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng D hình vẽ Tìm giá trị nhỏ z

A zmin=2

B zmin=1

C zmin=

D min

2

z =

Câu 91 Tính mơđun số phức ( )2

1

w= -i z, biết số phức z

có mơđun m

A w =4m.B w =2m C w = 2m.D w =m Câu 92 Tìm phần ảo b số phức z= +m (3m+2)i ( m tham số thực âm), biết z thỏa

mãn z =2

A b=0 B

5 b=

-C

5

b= - D b=2

Câu 93 Cho số phức z thỏa 2z+3 1( -i z) = -1 9i.Tìm phần ảo b số phức z

A b=2 B b=3 C b= -2 D b= -3 Câu 94 Tính mơđun số phức z, biết z thỏa mãn

(1 2+ i z) + +(2 3i z) = +6 2i

A z =4 B z =2 C z = 10 D z =10 Câu 95 Cho số phức z thỏa mãn 5z+ - = - +3 i ( 5i z)

Tính ( )2

3

P= i z-

1

O y

x

O y

x C B

A

(21)

A P=144 B P=3 C P=12 D P=0 Câu 96 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức

( ; )

z= +a bi a bỴ¡ thỏa mãn z+ + -1 3i z i=0 Tính

3 S= +a b

A

3

S= B S= -5 C S=5 D S=

-Câu 97 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z

thỏa mãn z+ =3 5và z-2i = - -z 2i Tính z A z =17 B z = 17 C z = 10 D z =10 Câu 98 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z

thỏa mãn z =5 z+ = + -3 z 10i Tìm số phức

4 w= - +z i

A.w= - +3 i B w= +1 i

C.w= - +1 i D.w= - +4 i

Câu 99 Hỏi có tất số phức z thỏa mãn z- =1 z2 là số ảo?

A.0 B C Vô số D

Câu 100 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Có số phức z thỏa mãn z+ - =2 i 2 ( )2

1

z- số ảo?

A B C D

Câu 101 Có số phức z thỏa mãn z z- =z2?

A.1 B. C. D.

Câu 102 Có số phức z thỏa mãn z- + =2 i z i- số thực?

A B C D

Câu 103 Cho số phức z thỏa mãn zz=1 z- =1 Tính tổng phần thực phần ảo z

A B C 1.- D

Câu 104 Có số phức z thỏa mãn

2

z + zz+z = z+ =z 2?

A B C D Vơ số

Câu 105 Tính tổng phần thực số phức z thỏa mãn

1

z- = (1 i z i+ )( - ) có phần ảo

A B C D.0

Câu 106 Cho hai số phức z z1, thỏa mãn

1 2

z = z = z -z = Tính z1+z2

A B C D

2

Câu 107 Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn 2z i- = +2 iz ,

biết z1-z2 =1 Tính giá trị biểu thức P= z1+z2

A

2

P= B P= C

2

P= D P=

Câu 108 Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn z1 =6, z2 =8

và z1-z2 =2 13.Tính giá trị biểu thức P= 2z1+3z2

A P=1008 B P=12 C P=36 D P=5 13

Câu 109 Cho số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡ thỏa mãn điều)

kiện z2+ =4 2 z Đặt P=8(b2-a2)-12. Mệnh đề nào

dưới đúng?

A P=(z-2)2 B ( )2

4 P= z -

C ( )2

4

P= z- D ( )2

2 P= z -

Câu 110 Cho số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡ Mệnh đề sau)

đây đúng?

A z 2£ +a b B z 2³ +a b C z ³ 2a +b D z £ 2a b+

Câu 111 Xét số phức z thỏa mãn z2 = +(1 i z) -2 1( -i).

Mệnh đề sau đúng?

A z £ B z ³4

C 2< z <4 D 2< z <3

(22)

A

z < B z >2 C 2< <z D

1

2<z <2

Câu 113 Tìm mơđun số phức z biết

( ) ( )

4

z- = +i z - + z i

A z =1 B z =4 C z =2 D

2 z =

Câu 114 Cho số phức z z1, thỏa mãn z1 =2, z2 =

Gọi M N, điểm biểu diễn số phức z iz1,

cho MON·=450 với O gốc tọa độ Tính giá trị biểu thức 2

1

P= z + z

A P=4 B P= C P=5 D P=4

Câu 115 Cho ba số phức z z z1, 2, thỏa mãn 3

z = z = z = + +z z z =z z z = Tính giá trị biểu thức 2017 2017 2017

1

P=z +z +z

A P=2017 B P=6051 C P=0 D P=1

Vấn đề PHÉP CHIA SỐ PHỨC

Câu 116 Tìm phần ảo b số phức

3 z

i =

+

A

13

b= - B 13

b= C

13

b= - i D 13 b=

Câu 117 Tìm số phức liên hợp z số phức

1

z i =

+

A

2

z= +i B z= +1 i C z = -1 i D z= -12 i 23

Câu 118 Kí hiệu ,a b phần thực phần ảo số phức

z

với z= -5 3i Tính tổng S= +a b

A.S=2 B

17

S= C S= -2 D

17 S=

-Câu 119 Tìm phần ảo b số phức 1( )

2

w z z

i

= - với

5 z= - i

A b=0 B b= -6 C b= -3i D.b= -3

Câu 120 Tìm số thực x y, thỏa mãn

( )

( )2

3

1

2

x i

y i i

i

-+ - =

-+

A x=6;y= -5 B x=12;y= -10 C x=13;y= -2 D x=2;y=13

Câu 121 Tìm phần ảo b số phức z2, biết(1 i z) 1.

z

+ =

A b= -1 B b=1 C

b= D

2 b=

-Câu 122 Tìm mơđun số phức z, biết 12 1 2i z = +

A

2

z = B

2

z = C z =42. D. z = 2.

Câu 123 Cho số phức z= -2 3i Khẳng định khẳng định sai ?

A z3=64. B. 1

8 i

z= +

C z=( 3-i)2 D z= +2 3i

Câu 124 Cho ba số phức z z z1, 2, phân biệt thỏa mãn 3

z = z = z =

1

1 1

z +z =z Biết z z z1, 2,

được biểu diễn điểm A B C, , mặt phẳng tọa độ Tính góc ·ACB?

A 60 o B 90 o C 120 o D 150 o

Câu 125 Cho số phức z thỏa mãn z =1 điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức

1 w

z

= bốn điểm

, , ,

M N P Q Khi điểm biểu diễn số phức w là:

A Điểm M B Điểm Q

C Điểm N D.Điểm P

y

x A

Q P

N M

O

(23)

Câu 126 Cho số phức z

thỏa mãn

2

z = điểm

A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức w

z =

một bốn điểm

, , ,

M N P Q Khi điểm biểu diễn số phức w là:

A Điểm M B.Điểm Q

C Điểm N D.Điểm P Câu 127 Cho số phức z thỏa

mãn

2

z = điểm A

trong hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức w

iz

=

trong bốn điểm M N P Q, , , Khi điểm biểu diễn số phức w

A ĐiểmQ B Điểm M C Điểm N D Điểm P Câu 128 Cho số phức z thỏa mãn z =1 điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức

1 w

iz

= bốn điểm

, , ,

M N P Q Khi điểm biểu diễn số phức w

A Điểm M B Điểm N C Điểm P D Điểm Q

Câu 129 Gọi M điểm biểu diễn số phức

2

z z i

z

w= +

-+ ,

trong z số phức thỏa mãn (2+i z i)( + = -) z Gọi N điểm mặt phẳng cho góc lượng giác (Ox ON, )=2j , j =(Ox OM, ) góc lượng giác tạo thành quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm N nằm góc phần tư nào?

A Góc phần tư thứ( )I B Góc phần tư thứ ( )II C Góc phần tư thứ( )III D Góc phần tư thứ( )IV Câu 130 Cho số phức z 11 i 11 i

i i

+

-= +

- + Mệnh đề sau

là đúng? A z Ỵ ¡

B z có số phức liên hợp khác C Môđun z

D z có phần thực phần ảo khác

Câu 131 Cho số phức z thỏa mãn (1-i z) - + =1 5i Tính

A=z z

A A= 13 B A=13 C.A= +1 13 D A= -1 13

Câu 132 Cho số phức z thỏa mãn

(2 ) 2( )

i

i z i

i +

+ + = +

+ Kí hiệu ,a b phần

thực phần ảo số phức w= + +z i Tính P =a2+b2.

A P=13 B P=5 C P=25 D P=7 Câu 133 Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( )2

1 2+ i z=5 1+i Tổng bình phương phần thực phần ảo số phức w z iz= + bằng:

A B C D

Câu 134 Cho số phức z thỏa mãn 1 i

i z

- = +

+ Điểm M

biểu diễn số phức w=z3+1 trên mặt phẳng tọa độ có tọa

độ là:

A M(2; 3- ) B M( )2;3 C M(3; 2- ) D M( )3;2

1 z

z i+ =

- Tính mơđun

của số phức w=z2-z.

A.w = 10 B w =4 C w = 13 D w =2 10 y

x A

Q P

N M

O

-2

O y

x A Q

P N

M

O y

x A

(24)

Câu 136 Cho số phức z thỏa mãn (1 2+ i z) = +3 i Tính

4

1 P= z - z +

A P =1 B P=13 C P=3 D P=10

Câu 137 Cho số phức z thỏa mãn 1(3 )

1

z

z i

i = - +

+ Khẳng

định sau đâu đúng?

A Số phức z có phần thực B Số phức z có phần ảo bé

C Số phức z có phần thực lớn phần ảo D Số phức z có phần thực bé phần ảo

Câu 138 Cho số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡) thỏa mãn

( )

2

1

z z i

iz

z i

+

+ + =

- Tính tỷ số

a P

b =

A P= -5 B

5

P= C

5

P= - D P=5 Câu 139 Gọi S tập hợp giá trị tham số thực m để số phức

( )

1

m m i

z

mi

- +

-=

- số thực Tính tổng T phần tử S

A.T=15 B.T= -3 C.T = -1 D.T=2 Câu 140 Tìm giá trị tham số thực m để bình phương số

phức

1

m i

z

i + =

- số thực

A m=9 B m= -9 C m= ±9 D m= ±3

Câu 141 Cho số phức ( ),

1

i m z

m m i -=

- - m tham

số thực Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m

cho

2

z i- £ Hỏi tập S có tất phần tử nguyên?

A.1 B C D.3

Câu 142 Hỏi có tất số phức z thỏa mãn z =1

1 z z

+

- số ảo?

A.1 B C D Vô số

Câu 143 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Có số phức z thỏa mãn z+3i = 13

2 z

z+ số ảo?

A Vô số B C D

Câu 144 Cho số phức z thỏa mãn (3 4i z) z

- - = Trên

mặt phẳng tọa độ, gọi d khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z Mệnh đề sau đúng?

A

4

d> B 4< <d C

1

0

4 d

< < D 2< <d

Câu 145 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho số phức z

thỏa mãn (1 2i z) 10 i z

+ = - + Mệnh đề

đúng?

A

2< <z B z >2

C

2

z < D

2<z <2

Vấn đề LŨY THỪA ĐƠN VỊ ẢO

Câu 146 Mệnh đề sau đúng? A i2016= -i. B.i2017=1.

C i2018= -1. D.i2019=i.

Câu147 Điểm M biểu diễn số phức 2017

3 4i z

i +

= có tọa độ là:

A M( )3; B M(3; - ) C M( )4;3 D M(4; - )

Câu 148 Thu gọn biểu thức ( ) ( )2017

1

P=éë + i - + iùû ta

A P=22017. B. P=22017+i.

C P=22017i. D. P= -22017i.

Câu 149 Mệnh đề sau đúng? A.( )4

1+i =4 B.( )4

1+i =4i

C.( )8

1+i = -16 D.( )8

1+i =16

Câu 150 Mệnh đề sau đúng?

A.(1+i)2018=22009i. B.(1+i)2018= -22009i.

(25)

C.( )2018 2009

1+i = -2 D.( )2018 2009

1+i =2

Câu 151 Tìm số phức liên hợp z số phức ( )15

1 z= +i A z= -128 128- i B z= -i

C.z =128 128+ i D z=128 128- i

Câu 152 Tìm phần thực phần ảo số phức ( )7

2 z= - i A Phần thực 14 phần ảo 14-

B Phần thực 27 và phần ảo bằng-27.

C Phần thực 210 và phần ảo bằng -210.

D Phần thực 210 và phần ảo bằng 210.

Câu 153 Tìm phần ảo b số phức

( ) ( ) (2 )3 ( )2018

1 1

w= + + + +i i + +i + + +i

A.b=21009-1. B.b=22019+1.

C.b=21009. D. b=21009+1.

Câu 154 Thu gọn số phức w= + + + +i5 i6 i7 i18 có dạng

a bi+ Tính tổng S= +a b

A.S=0 B.S=210+1.

C.S=1 D.S=210.

Câu 155 Cho số phức

1 i z

i -=

+ Tìm phần thực phần ảo

số phức z2017.

A Phần thực phần ảo B Phần thực phần ảo 1- C Phần thực phần ảo -i D Phần thực phần ảo 1- Câu 156 Tính giá trị biểu thức 2024

1 i P

i ổ ửữ ỗ =ỗỗố - ứữữ

A 2024

1

P= - B 1012

1

P=

C 2024

1

P= D 1012

1 P= -

Câu 157 Cho số phức 2017

1 i z

i ổ + ữử ỗ

=ỗỗố - ữữứ Tính P=z z z .7 15 A P= -i B P=1 C P i= D P= -1

Câu 158 Cho số phức

5

1

i z

i ổ + ữử ỗ

=ỗỗố - ữữứ Tớnh

5 8.

S=z +z +z +z

A.S=0 B.S=1 C.S=3 D.S=4 Câu 159 Tìm phần ảo b số phức

16

1

i i

z

i i

ỉ + ư÷ ổ - ữử

ỗ ỗ

=ỗốỗ - ữữứ +ỗỗố + ữữứ

A b= -1 B b=2 C b=1 D.b=0 Câu 160 Cho số phức z thỏa mãn

1 i i z

i ổ ửữ ỗ

=ỗỗố + ữữứ Gi ,a b phần thực phần ảo số phức w= -(2 i z) Tính

S= +a b

A.S= -16 B.S=16 C S=32 D.S=48 Câu 161 Có số nguyên n cho ( )4

n i+ số nguyên?

A B C D Vô số

Câu 162 Có giá trị m nguyên dương thuộc đoạn

[1;50] để

3

m

i z

i ổ + ữử ỗ

=ỗỗố - ữữứ l s thun o?

A 24 B 25 C 26 D.50

( )( ) ( )( )

2 z-1 2- = +i i z+2i Tìm phần thực a số phức

9

z

A a=1 B a=16 C a= -1 D.a= -16 Câu 164 Cho số phức z thỏa mãn( )( ) ( )2015

2 1

z+ - i - = +i i

Tìm phần ảob số phứcw= + -z 3i

A b=22015. B.b=21007. C. b=0. D.b= -21007.

Câu 165 Cho số phức tùy ý z¹1

Xét số phức 2017 ( )2

1

i i

z z

z

a= - - +

-

( )

3 2

1 z z

z z z

b= - + +

(26)

A a số thực, b số thực.B a số thực, b số ảo C a số ảo, b số ảo D a số ảo, b số thực

Vấn đề 10 PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ THỰC

Câu 166 Giải phương trình z2- + =z 1 0 trên tập số phức.

A z= 23±21i B z= 3±i C z= ±1 3i D z= ±12 23i

Câu 167 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình 4 5 0

z - z+ = Tìm phần thực a số phức 2

w=z +z A a=0 B a=8 C a=16 D a=6 Câu 168 Gọi z z1, hai nghiệm phức phương trình

2 1 0

z - + =z Tính giá trị biểu thức P= z1 +z2

A P=2 B P=1 C P= D P=4 Câu 169 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình

2 2 10 0

z + z+ = Tính giá trị biểu thức 2

P= z +z

A P=2 10 B P=20

C P=40 D P= 10

Câu 170 Kí hiệu z z1, hai nghiệm phức phương trình 7 15 0

z + z+ = Tính giá trị biểu thức P= + +z1 z2 z z1

A P=22 B P=15 C P= -7 D P=8

Câu 171 Kí hiệu z z1, nghiệm phức phương trình

2z +4z+ =3 Tính giá trị biểu thức P= z z1 2+i z( 1+z2)

A

2

P= B

2

P= C P=1 D P=

Câu 172 Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn

2 4 5 0

z - z+ = Tính giá trị biểu thức ( )2017 ( )2017

1

z z

P= - + -

A P =0 B P=21008. C. P=21009. D. P=2.

Câu 173 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình 2 2 0

z - z+ = Tính giá trị biểu thức 2016 2016

P=z +z A P =21009.B. P=21008. C. P=2. D. P=0.

Câu 174 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương

trình z2+4z+20=0 Tính giá trị biểu thức 16

A=z - i

A A=0 B A=88 C A= -32 D A=32 Câu 175 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Phương trình nhận hai số phức 1+ 2i và1- 2i nghiệm?

A z2+2z+ =3 0. B. z2-2z- =3 0.

C z2-2z+ =3 0. D. z2+2z- =3 0.

Câu 176 Biết hai số phức có tổng tích Tổng mơđun hai số phức bằng:

A B C 10 D 12

Câu 177 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Kí hiệu z z1,

hai nghiệm phức phương trình z2+ =4 0 Gọi M N, lần

lượt điểm biểu diển z z1, mặt phẳng tọa độ Tính

T=OM ON+ với O gốc tọa độ

A.T= B.T=2 C.T=8 D

Câu 178 Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương

phương trình 4z2-16z+17=0 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm

nào điểm biểu diễn số phức w=iz0?

A

1 ;2

M ổỗỗỗố ửữữữứ B

1 ;2 M ổỗ-ỗỗố ửữữữứ

C

1 ;1

M ổỗ-ỗỗố ửữữữứ D

1 ;1 M ổỗỗỗố ửữữữứ

Cõu 179 Gi z z1, hai nghiệm phức phương trình

2z -3z+ =4 Hỏi điểm điểm M N P Q, , ,

dưới điểm biểu diển số phức 2

1

?

w iz z

z z

= + +

A 2;

Mổỗỗỗố ữữửữứ B Nổỗốỗỗ32;2 ứửữữữ C Pỗổỗốỗ34;2 ữữửữứ D.Qổỗ-ỗỗố 43;2 ư÷÷÷ø Câu 180 Cho hai số thực ,b c thỏa mãn c>0 b2- <c 0.

Kí hiệu A B, hai điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn hai nghiệm phức phương trình z2+2bz+ =c 0. Tìm điều kiện

của b c để tam giác OAB tam giác vuông O A c=2 b2 B. b2=c. C.b=c. D. b2=2 c

Câu 181 Tìm tham số thực m để phương trình

( )

2 2 2 0

z + -m z+ = nhận số phức z= -1 i làm nghiệm

(27)

A.m=6 B m=4 C m= -2 D m=2

Câu 182 Biết phương trình z2+mz n+ =0 (với m n, là các

tham số thực) có nghiệm z= +1 i Tính môđun số phức w m ni= +

A B C 2 D.16

Câu 183 Biết phương trình z2+az b+ =0 (với ,a b là tham

số thực) có nghiệm phức z= +1 2i Tính tổng

S= +a b

A.S=0 B S= -4 C.S= -3 D S=3 Câu 184 Cho số phức w hai số thực , a b Biết w i+ 2w-1 hai nghiệm phương trình z2+az b+ =0.

Tính tổng S= +a b

A

3

S= B

9

S= C

3

S= - D

9 S=

-Câu 185 Cho số phức w, biết z1= +w 2i 2

z = w- hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực TínhT= z1 +z2

A.T=2 13 B 97

3 T =

C.T=4 13 D 85

3 T=

Câu 186 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu z z z1, 2,

z bốn nghiệm phức phương trình z4- -z2 12=0.

Tính tổngT = z1 + z2 +z3 +z4

A.T=4 B.T =2

C.T= +4 D.T= +2

Câu 187 Kí hiệu z z z1, 2, z4 bốn nghiệm phức

phương trình 6x4+19x2+15=0. Tính tổng

1

1 1 1.

T

z z z z

= + + +

A

2

T= +i B.T =2

C.T=0 D.T= -2

Câu 188 Cho phương trình(z2-4z)2-3(z2-4z)-40=0. Gọi 1, 2,

z z z z4 bốn nghiệm phức phương trình cho

Tính 2 2

1

P= z + z + z + z

A P=42 B P=34 C P=16 D P=24

Câu 189 Gọi z z z z1, 2, 3, nghiệm phức phương

trình

4

1

z z i ỉ - ÷ư

ỗ ữ =

ỗ ữ

ỗố - ứ Tính giá trị biểu thức

( )( )( )( )

1

P= z + z + z + z +

A

2

P= B 15

9

P= C 17

9

P= D P=425

Câu 190 Cho phương trình 4z4+mz2+ =4 0 trong tập số

phức m tham số thực Gọi z z z z1, 2, 3, bốn nghiệm

của phương trình cho Tìm tất giá trị m để

( )( )( )( )

1 4 4 324

z + z + z + z + =

A m=1hoặc m= -35 B m= -1hoặc m= -35 C m= -1hoặc m=35 D m=1hoặc m=35

Vấn đề 11 TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Câu 191 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực đường thẳng có phương trình:

A x= -2 B x=2 C x=1 D x= -1 Câu 192 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z2+( )z 2=0 là:

A Trục hoành

B Trục hoành trục tung

C Đường phân giác góc phần tư thứ thứ ba D Các đường phân giác gốc tọa độ

Câu 193 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm M x y( ; )

biểu diễn số phức z= +x yi x y( ; Ỵ¡) thỏa mãn

1

z+ + i = - -z i là:

A Đường tròn tâm O bán kính R=1

(28)

C Đường trung trực đoạn thẳng AB với A(- -1; 3)

( )2;1

B

D Đường thẳng vng góc với đoạn AB A với

( 1; ,) ( )2;1

A - - B

Câu 194 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm M x y( ; )

biểu diễn số phức z= +x yi x y( ; Ỵ¡ thỏa mãn) z i

z i + - số thực là:

A Đường tròn ( )C x: 2+y2- =1 0 nhưng bỏ hai điểm( )0;1

và (0; 1- )

B Parabol ( )P :y=x2.

C Trục hoành

D Trục tung bỏ điểm biểu diễn số phức z i=

Câu 195 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

3

z + z+ z= là: A Đường trịn có tâm I(-3;0), bán kính R=3 B Đường trịn có tâm I( )3;0 , bán kính R=3 C Đường trịn có tâm I(-3;0), bán kính R=9 D Đường trịn có tâm I( )3;0 , bán kính R=0

Câu 196 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện(2 z z i- )( )+ số ảo là:

A Đường trịn có tâm 1;1

Iổỗỗỗố ứửữữữ, bỏn kớnh R= 25 B ng thng ni hai điểm A( )2;0 B( )0;1 C Đường trũn cú tõm 1;1

2

Iổỗỗỗố ứửữữữ, bỏn kính R= 25 bỏ

hai điểm ( )

( )

2;0 0;1 A B ìïï íï

ïỵ

D Đường trung trực đoạn thẳng AB với A( )2;0

( )0;1

B

Câu 197 Số phức z thỏa mãn điều kiện sau có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường trịn tâm I( )0;1 , bán kính R=2?

A z i- = B z+ =1

C z- =1 D z i- =2

Câu 198 Xét số phức z= +x yi x y( ; Ỵ¡ có tập hợp)

điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường trịn có phương trình ( ) ( ) (2 )2

:

C x- + -y = Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w= + +z z 2i

A Đường thẳng B Đoạn thẳng

C Điểm D Đường tròn

Câu 199 Gọi z1 z2 nghiệm phương trình 4 9 0

z - z+ = Gọi M N P, , điểm biểu diễn z1,z2 số phức w= +x yi x y( ; Ỵ¡ mặt phẳng)

tọa độ Khi tập hợp điểm P mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông P là:

A Đường thẳng có phương trình x2-2x+y2- =1 0

B Là đường trịn có phương trình (x-2)2+y2=5.

C Là đường trịn có phương trình ( 2)2 5

x- +y =

không chứa M N,

D Là đường trịn có phương trình x2-2x y+ 2- =1 0

nhưng không chứa M N,

Câu 200 Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z thỏa mãn điều kiện z- +3 4i £2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

2

w= z+ -i hình trịn có diện tích S bằng:

A S=19 p B S=12 p C.S=16 p D S=25 p

Câu 201 Cho ,z w số phức thỏa mãn z =1, z w- =1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w

A Hình trịn ( )C x: 2+y2£4.

B Đường tròn ( )C x: 2+y2=4.

C Hình trịn ( ) ( )2 2

:

C x- +y £

D Đường tròn ( ) (C : x-1)2+y2£4.

(29)

Câu 202 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

z i- + + =z i là: A Elip( ): 2

4

x y

E + = B Elip( ): 2

3

x y

E + =

C Elip( ): 2

4

x y

E + =

D Hình trịn tâm I(0; 1- ), bkính R=4

Câu 203 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức z

thỏa mãn z =4 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= +(3 4i z i) + đường trịn Tính bán kính r đường trịn

A.r=4 B r=5 C r=20 D r=22 Câu 204 Cho số phức z thỏa mãn z- =1 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= +(1 3i z) +2 đường trịn Tính bán kính đường trịn

A.r=2 B r=4 C r=8 D r=16

Câu 205 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

1

iz- + i = đường trịn Tìm tọa độ tâm I đường trịn

A I( )2;1 B I(- -2; ) C I( )1;2 D I(- -1; ) Câu 206 Cho số phức z thỏa mãn z- =1 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w với (3 2- i w) = +iz đường trịn Tìm tọa độ tâm I bán kính r đường trịn

A 1; ,

13 13 13

Iỗổỗốỗ ữứữửữ r= B I(-2;3 ,) r= 13

C 7; ,

13 13 13

Iổỗỗỗố ửữữữứ r= D Iỗổỗ -ỗố32; 21ữữứửữ, r=3

Câu 207 Cho số phức z thỏa mãn z =m2+2m+5, với

m tham số thực Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= -(3 4i z) -2i đường tròn Bán kính nhỏ đường trịn bằng:

A B C 20 D 22

Câu 208 Tính tích mơđun tất số phức z thỏa mãn 2z- = + +1 z i , đồng thời điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm I( )1;1 , bán kính R=

A B C D.1

Câu 209 Có số phức zthỏa mãn z- -3 6i = (1 2+ i z) - -1 12i =15?

A B.1 C D Vô số

Câu 210 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức

z thỏa mãn điều kiện z z =1và z- 3+ =i m Tìm số phần tử S

A B C.1 D.3

Vấn đề 12 BÀI TOÁN MIN - MAX TRONG SỐ PHỨC

Câu 211 Biết số phức z= +x yi x y( ; Î¡ thỏa mãn điều)

kiện z- -2 4i = -z 2i đồng thời có mơđun nhỏ Tính giá trị biểu thức M=x2+y2.

A M =8 B M =10 C M=16 D M =26 Câu 212 Cho số phức ,z w thỏa mãn z+ -2 2i = -z 4i w= +iz Giá trị nhỏ biểu thức P= w là:

A

2.

P = B Pmin=2

C Pmin =2 D

3 2.

P =

Câu 213 Cho số phức z1= +1 3i, z2= - -5 3i Tìm điểm

( ; )

M x y biểu diễn số phức z3, biết mặt phẳng tọa độ

điểm M nằm đường thẳng d x: -2y+ =1 môđun số phức w=3z3- -z2 2z1 đạt giá trị nhỏ nht

A 4; 5

Mổỗỗỗố ửữữữứ B C 3; 5

Mổỗỗỗố ửữữữứ D 1; 5 Mổỗ-ỗỗố ửữữữứ Cõu 214 Cho số phức z thỏa mãn z+ - = -1 i z 3i Tính mơđun lớn wmax số phức w

(30)

A max 10

w = B max

7

w =

C max

w = D max

10

w =

Câu 215 Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M, ' Số phức z(4 3+ i) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N, ' Biết

' '

MM N N hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ

P= + -z i A

5 34

P = B

2

P =

C

1 .

P = D

4 . 13

P =

( )( )

2 2 5 1 2 3 1

z - z+ = z- + i z+ -i Tìm giá trị nhỏ P=w , với w= - +z 2i

A

3.

P = B Pmin =2 C Pmin=1 D

1.

P =

Câu 217 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1-2i =3 2 2

z + + i =z + + i Giá trị nhỏ biểu thức

1

P= z -z bằng:

A P=1 B P=2 C P=3 D P=4

Câu 218 Cho số phức z1 thỏa mãn

2 2 1

z - -z +i = số phức z2 thỏa mãn z2- - =4 i Tìm giá trị nhỏ

1

P= z -z A

2

P = B Pmin=

C Pmin =2 D

3 5.

P =

Câu 219 Biết số phức z= +x yi x y( ; Ỵ¡ thỏa mãn đồng)

thời điều kiện z- +(3 4i)= biểu thức

2

P= +z - -z i đạt giá trị lớn Tính z

A z = 33.B z =50 C z = 10 D z =5

Câu 220 Xét số phức z z1, thỏa mãn điều kiện

2

z- - i = Gọi z z1, số phức có mơđun

nhỏ mơđun lớn Tính w= +z1 z2

A w= +4 i B w= +1 i

C w= +3 i D w= -4 i

Câu 221 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện

(1+i z) + -1 7i = Gọi m M, giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P= z Tính S=M m-

A S=10 B.S=2 C.S=24 D.S=4

Câu 222 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện

1

3 i

z i

- - + =

- Gọi m M, giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P= z TínhS=2020-M +m

A S=2022.B S=2016 C.S=2018 D S=2014

Câu 223 Xét số phức z thỏa mãn z- -2 3i =1 Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= + +z i là:

A 13 2+ 13 2- B 13 1+ 13 1-

C D 13 4+ 13 4-

Câu 224 Cho số phức z thỏa mãn z số thực

2

2 z w

z =

+ số thực Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức

1 P= + -z i

A Pmax=2 B Pmax=2

C Pmax= D Pmax =8

Câu 225 Xét số phức z thỏa mãn z ³2 Biểu thức z i

P z +

= đạt giá trị nhỏ giá trị lớn z1

và z2 Tìm phần ảo a số phức w= +z1 z2

A a= -4 B a=4 C a=0 D a=1

Câu 226 Cho số phức z1 z2 thỏa mãn z1- =4 2

iz - = Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức 2

P= z + z

(31)

A Pmin=2 2.- B Pmin =4

-C Pmin = -4 D Pmin =4 2+3

Câu 227 Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn z i- ³3 z- £1 Gọi z z1, 2ỴT số phức có mođun

nhỏ lớn Tìm số phức w= +z1 2z2

A.w=12 2- i B w= - +2 12i C.w= -6 4i D w=12 4+ i

Câu 228 Cho số phức z thỏa mãn z- + + =4 z 10 Giá trị lớn nhỏ z là:

A 10 B C D Câu 229 Cho số phức z thỏa mãn z 4i

z

+ = Gọi M m

lần lượt giá trị lớn nhỏ | |z Tính

S=M+m

A.S=2 B S=2 C.S= D S= 13 Câu 230 Cho số phức z thỏa mãn z =1.Tìm giá trị lớn củaT = + +z 2z-1

A.Tmax=2 B.Tmax =2 10

C.Tmax =3 D.Tmax=3

Câu 231 Xét số phức z thỏa mãn z =1 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

2 1 1

P= z + - +z Tính S=M+m

A.S= -2 B S= +2

C.S= 2.- D S= -

2 1 1

P= z - + + +z z Tính 1

M P

m =

+

A

4

P= B

26

P= C

4

P= D 13

16 P=

3 3

P= z + z+ - +z z z Tính mơđun w=M+mi

A

4

w = B 17

4

w =

C 15

4

w = D 13

4

w =

Câu 234 Cho số phức z thỏa mãn z =1 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1

P= + +z z- Khi đó:

A M=3 5,m= B M=3 5,m=4

C M=2 5, m=2 D M=2 10,m=2

Câu 235 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z- =1 2.Tìm giá trị lớn biểu thức T= + + - -z i z i

A.Tmax=8 B.Tmax=4

C.Tmax=4 D.Tmax =8

Câu 236 Xét số phức z z1, thỏa mãn z1-z2 =1

z +z = Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= z1 +z2 Tính

M m

A M

m = B

M

m = C

M

m = D

M m =

Câu 237 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét số phức z

thỏa mãn z+ - + - -2 i z 7i =6 Gọi m M, giá trị nhỏ giá trị lớn z- +1 i Tính

P= +m M

A P= 13+ 73 B 2 73

2

P= +

C P=5 2 73+ D P=5 2+2 73

Câu 238 Xét số phức z thỏa mãn

3 3

z+ - i + - + =z i Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= + + - -z z 3i

(32)

B M= 26 5,+ m=3

C M= 26 5,+ m=

D M= 17+ 5,m=

Câu 239 Xét số phức z thỏa mãn

2 17

z+ - i + - - =z i Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1 2

P= + -z i- - +z i

A M=3 2,m=0 B. M=3 2, m=

C M=3 2, m=5 2

-D M= 2, m=5 2

-Câu 240 Xét số phức z thỏa mãn

2 34

z- + i - + -z i = Tìm giá trị nhỏ biển thức P= + +z i

A

9 . 34

P = B Pmin =3

C Pmin = 13 D Pmin=4

Vấn đề 13 TỔNG HỢP

Câu 241 Nếu số phức z thỏa mãn z =1 z¹1 phần thực

1 z- bằng:

A

2 B

1

- C D.1

Câu 242 Cho số phức z thỏa mãn z =1 z¹1 Xác định phần thực a số phức

1 z w

z + =

-A a=0 B a=1 C a= -1 D a=2

Câu 243 Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 = z2 =1

1+z z ¹0 Tìm phần ảo a số phức 2

1

z z

w

z z + =

+

A a=0 B a=1 C a= -1 D a=2

Câu 244 Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 =2, z2 =1và

2z -3z =4 Tính giá trị biểu thức M = z1+2z2

A M =4 B M =2 C M= 11 D M=

Câu 245 Cho số phức z w, khác thỏa mãn

2

z w- = z = w Tìm phần thực a số phức u z w =

A

8

a= - B

a= C a=1 D

8 a=

Câu 246 Cho hai số phức z z1, thỏa

1 0, 0,

z ¹ z ¹ z + ¹z

1 2

1

z +z =z +z Tính giá trị

biểu thức

2

z P

z =

A P=2 B

3

P= C

2

P= D

2 P=

Câu 247 Cho hai số phức z z1, thỏa mãn điều kiện 2

z = z = z -z = Tính giá trị biểu thức

2 2

z z

P

z z

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ữ ỗ ữ

=ỗỗ ữữ +ỗỗ ữữ

ỗ ỗ

è ø è ø

A P= +1 i B P= - -1 i C P= -1 i D P= -1

Câu 248 Cho số phức z¹0 cho z số thực

và 1

z w

z =

+ số thực Tính giá trị biểu thức

2

1 z P

z =

+

A

5

P= B

2

P= C P=2 D

3 P=

Câu 249 Cho số phức z z z1, 2, thỏa mãn

z = z = z = z1+ +z2 z3 =a Tính giá trị biểu thức 2 3

P= z z +z z +z z theo a

A P=3a2. B. P=3a. C P a= . D. P=a2.

Câu 250 Cho ba số phức z z z, 2, thỏa mãn điều kiện

z = z = z = z1+ + =z2 z3 Tính giá trị biểu thức 2

1

A=z + +z z

A A=1 B A=0 C A= -1 D A=2 Câu 251 Cho số phức z thỏa mãn z z

z

= = - Tính

mơđun số phức w= +z

(33)

A w = B w =5 C w =1 D w = Câu 252 Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 = z2 =1

1

3z -4z =1 Tính môđun số phức z=3z1+4 z2

A z =5 B z =7

C z =4 D z =2

Câu 253 Cho số phức z có z =2018 w số phức thỏa

mãn 1

z+ =w z w+ Tính mơđun số phức w

A w =1 B w =2017

C w =2018 D w =2019

Câu 254 Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 = 3, z2 =2

được biểu diễn mặt phẳng phức điểm M N, Biết góc tạo hai vectơOMuuur ONuuur 300 Tính giá trị

của biểu thức 2

z z A

z z + =

-A A=1 B A= 13 C

2

A= D

13 A=

Câu 255 Cho số phức z thỏa mãn z =5 Kí hiệu M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

(1 2i z+ ) 3-z5 Tính P=M+m.

A P=250 B P=250 137

(34)

SỐ PHỨC

Dạng 1.Các phép tính số phức tốn định tính Ví dụ 1.Xác định phần thực phần ảo số phức :

( )( )

z i i i= - + z 4i

4 i -=

-1

3 ( ) ( )1 i+ i z i 2i z+ = + + +( ) Lời giải

1 z i i i= ( - )( + =) (2i i- 2)(3 i+ =) (2i i+ )( + = +) 7i 2i2+3

( )

7i 7i

= + - + = +

Vậy z có phần thực a 1= , phần ảo b 7=

2 ( )( )

( )( )

2 4i i

3 4i 12 13i 4i

z

4 i i i 16 i

- +

- -

-= = =

- - +

-( ) ( )

12 13i 16 13i 16 13 i

17 17 17

16

- - -

-= = =

-Vậy z có phần thực a 16 17

= , phần ảo b 13 17 = - ( )1 i+ 2=2iÞ( ) (1 i+ 2 i- =) 2i i( - = +) 4i

Giả thiết Û(2 4i z i 2i z+ ) = + + +( ) Û(1 2i z i+ ) = + z i 3i 2i

+

Û = =

-+ Vậy z có phần thực a 2= phần ảo b= -3

Ví dụ

1 Tìm mơđun số phức z, biết rằng: (1 2i z- ) = - +3 8i

2 Tìm số thực b, c để phương trình z2+bz c 0+ = nhận số phức z i= + làm nghiệm Lời giải

1 ( ) ( )( )

(3 8i 2i)( )

3 8i 2i z 8i z

1 2i 2i 2i

- + +

- +

- = - + Û = =

- - +

2

3 6i 8i 16i 19 2i 19

z z i

5 5

1

- - + + - +

-Û = Û = = +

+

Do đó: z 19 2i 19 2 73 365

5 5 5

- ỉ - ỉ

= + = ỗ ữ +ỗ ữ = =

è ø è ø

2 z i= + nghiệm phương trình z2+bz c 0+ = nên: ( )1 i+ 2+b i( + + = Û + +) c 0 b c (b i 0+ ) =

Theo điều kiện hai số phức thì: b c b ì + =

Û í + = ỵ

b

c ì = -í = ỵ Vậy, số thực cần tìm b= -2 c 2=

Ví dụ

Tìm số phức z thỏa mãn: 2+( )z z z+ êé 3-( )z 3úù=(1 4i z+ )êé 2+zz z+( )2ùú

ë û ë û

(35)

Lời giải

Đẳng thức cho :2+éz2-( )z 2ù éz2 +z.z+( )z 2ù= +(1 4i z)é 2+z.z+( )z 2ù

ê ú ê ú ê ú

ë û ë û ë û

( )2

z - z =4abi, z2+z.z z+( )2=3a2-b2

Khi đó: 3a+( 2-b 4abi 4i 3a2) = +( )( 2-b2)Þ = - -z i,z i= + Vậy, số phức cần tìm là: z= - -1 i,z i= +

Ví dụ

1 Tìm phần ảo số phức z , biết : z=( i+ ) (2 1- 2i) Tìm phần thực phần ảo số phức

3 i z

1 i

ổ +

= ỗỗ ữữ +

è ø

Lời giải

1 Ta có: z=(1 2i 1+ )( - 2i)= -1 2i 2i 4i+ - = +5 2iÞ = -z 2i Vậy phần ảo z -

2 z 3i 9i22 3i3 2i i

1 3i 3i i

+ + +

= = = +

-+ -+ +

Vậy phần thực z phần ảo z Ví dụ

1 Tìm phần ảo số phức z , biết z 3z 2i+ = -( )2 Tìm phần thực số phức z , biết z i z 2i- +( ) =( )+ Lời giải

1 Đặt z a bi= + ị = -z a bi, (a,bẻĂ)

Ta cú: z 3z 2i a bi a bi+ = -( )2 + + ( - ) (= +1 2i)2 Û4a 2bi 4i 4- = + -3

4a a

4a 2bi 4i 2b 4

b

ì

-ì = - ï =

Û - = - + Ûí Ûí

- =

ỵ ï = -ỵ

Vậy, z 2i

-= - , phần ảo -2 z a bi= + Þ = -z a bi

Từ giả thiết, suy a bi i a bi+ - +( )( - ) (= -1 2i)2

( ) ( )

a bi a bi b 4i b 2b a i 4i

Û + - + - + = - - - + - =

-b b

2b a a 10

ì = ì =

Ûí Ûí

- = - =

ỵ ỵ

Vậy, z 10 3i= + , phần thực 10 Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z 3i iz- = - z

z

- số ảo z z 2i= - - z 2i z

số ảo Lời giải

1 Đặt z a bi a, b= + ( Ỵ¡) Khi z 3i iz- = - tương đương với

( ) ( ) ( )

(36)

-( ) (2 ) ( )2 2

a b b a b

Û + - = - + - Û =

Khi ( ) ( )

3

2

a 5a 2a 26 i a 2i

9

z a 2i a 2i

z a 2i a 4 a 4

- + +

= + - = + - =

+ + + số ảo a3-5a 0=

hay a 0, a= = ±

Vậy số phức cần tìm z 2i, z= = 2i, z+ = - 2i+

2 Đặt z a bi a, b= + ( Ỵ¡) Khi z = - -z 2i tương đương với

( ) ( )

a bi+ = a 2- + b i- tức a2+b2=(a 2- ) (2+ b 2- )2 Û b a= - ( )1

Ta có: ( )

( ) ( ( ) ()2 2 )

a b i a bi

a b i z 2i

z a bi a 2 b

é + - ù é - - ù

+

= =ë û ë û

- - + - +

( ) ( )

( )

( )( )

( )

2 2

a a b b a b ab

i

a b a b

- + - - -

-= +

- + - + số ảo

( ) ( )

( )2

a a b b

a b

- +

-=

- + ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy a 0,b 2= = tức ta tìm z 2i= Ví dụ 7.Tìm số phức z thỏa mãn: z 1

z i - =

- z 3i 1z i

- =

+ Lời giải

Cách 1:

Giả sử z a bi= + , (a,bỴ¡) z 1 z z i z i

- = Û - = - Û

- (a bi- +) = +a (b i- ) hay

(a 1- )2+b2 =a2 +(b 1- )2 tức a b= Lại có: z 3i

z i

- =

+ Û -z 3i = + Û +z i a (b i a- ) = +(b i+ ) hay

( )2 ( )2

2

a + b 3- =a + b 1+ Û = Þ =b a Vậy, số phức cần tìm z i= +

Cách 2:

Với số phức z z' (z' 0¹ ), ta ln có: z z z' = z' Ta có: z 1 z z i

z i

- = Û =

Gọi A B điểm biểu diễn số i tức làA 1;0 ,( ) B 0;1 Với giả( ) thiết: z z i- = - ÛMA MB= , M M z= ( ) điểm biểu diễn số phức z Như vậy, M nằm đường trung trực ABÛM nằm đường thẳng y x= ( )a

Lại có: z 3i z i

- =

+ Û -z 3i = + Ûz i MA MB= tức M nằm trung trực AB , nghĩa điểm M nằm đường thẳng y 1= ( )b

Từ ( )a ( )b suy M nằm đường thẳng y x= y 1= tức M 1;1( ) Þ = +z i

Ví dụ Cho số phc z x yi; x,y= + ẻÂ tha z3 =18 26i+ Tính T=(z 2- )2012+(4 z- )2012 Lời giải

( ) ( )

3 2

2

x 3xy 18

z x 3xy 3x y y i 18 26i

3x y y 26

ì - =

ï

= - + - = + Þ í

- =

ïỵ

(37)

Do x y 0= = không nghiệm hệ, đặt y tx= Khi ta có: ( )

( ) ( )( )

3

2

3

x 3t 18

3t 3t 12t 13

x 3t t 26

ì - =

ï Þ - - - =

í

- =

ï ỵ

Khi t=13 x 3,y 1= = , thỏa mãn

Khi 3t2 -12t 13 0- = thì x, y Ï¢ Vậy số phức cần tìm là: z i= + Vậy, T=(z 2- )2012+(4 z- )2012 =( )1 i+ 2012+ -( )1 i 2012 = -21007 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài

1 Cho số phức z , z1 2 thỏa mãn z1 = z2 =1, z1+z2 = Tính z1-z2 2.Tìm số thực x,y cho :

a z z'= , biết rằng: z=(2x 3- ) (- 3y i+ ) , z'=(2y 1+ -) (3x i- ) b (x 2y i+ )( - ) (3+ 3x y x 2i- )( + )=47 20i-

c x yi i

2

3 yi +

= +

+

d

( )3

3 xyi 2i

+

+ ( )3

x y 2i 2i

+

( phức ) liên hợp 3.Cho z cos18= 0+cos72 i0 Tính z

4 Xác định phần thực phần ảo số phức :

( ) ( )( )

33

10

1 i

z i 3i 3i

1 i i

ổ +

=ỗ ữ + - + + - +

-è ø

5 Thực phép tính :

( ) ( )9 10 A= i- + i+

5 18

M i= +i +i + + i ( )

21 13

13 1 i

B i i

1 i i

ổ ửổ +

= - +ỗ - ữỗ ữ

-ố ứ

ố ø

( ) ( ) ( )2 ( )2010 N 1 i= + + + +1 i + i+ + + + i Xác định phần thực phần ảo số phức :

a z=(2 3i 2i- )( + ) b z 2i

3 2i -=

+

c z=( ) ( )1 i+ 2- -1 i

d ( ) ( )

3 i i 4) z

4 3i

+

-= + Cho z 2x= 2-3x x y i+ +( - )( - ) với x,y số thực Tìm x,y cho:

a z số thực b z ảo z 4= c z 5i= + Thực phép tính :

( ) ( )

3

2 i i

A

2 i i

+ +

-=

+ -

-2 2009 C i i= + + + i

2009 3i B

2 3i

ổ +

= ỗỗ ữữ

-è ø

( ) (2 )3 ( )2010 D= i+ + i+ + + i+ Cho số phức z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i= - + + + +

Trong x,y số thực Tìm x,y cho

(38)

10 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a.z (1 2i)2

3 i + =

- b

3

z (2 i)= + - +(3 2i) c z (3 i)(1 2i)2

(3 2i)

+

-=

+ d

2 2i z (1 3i)(2 i)

1 3i

-= + - +

-11 Tìm modun số phức z biết:

a.(1 2z)(3 4i) 29 22i+ + = + b 2i (2 3i)2 z 2i 2i

- = +

+

-c z 2 (1 2i)(2 i)

(2 3i)- = + + d (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i)- + = + - Bài

1 Tìm phần thực phần ảo số phức :

( ) (1 i+ 2 i z i 2i z- ) = + + +( ) Đề thi Cao đẳng năm 2009.

2 Chứng minh z1 = z2 =1, z z1 2¹1thì 2

z z

1 z z +

+ số thực

3 Tìm số phức z thỏa mãn z i 1- + = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Tìm số phức z thỏa mãn (z z 2i- )( + ) số thực z 1- =

5 Tìm số phức z thỏa mãn z.z z z+ ( )- = -5 6i Tính z biết:

a (3i z- ) (= 2i 1+ )2 b z 2i 3 z

+ = +

- c z

3i 3z i

- = +

+

-7 Tìm số phức z biết :

a 4z (3i 1)z 25 21i+ + = + b 3z 2(z)- =0

Bài Xét điểm A,B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số 4i

i 1- , ( )(1 i 2i- + ), 6i3 i +

- Chứng minh ABC tam giác vng cân

2 Tìm số phức biểu diễn điểm D cho ABCD hình vng

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A B hai điểm biểu diễn nghiệm phức phương trình: z2-6z 18 0+ = Chứng minh tam giác OAB vuông cân

Bài Chứng minh rằng:

1.( )1 i- 2010+ +( )1 i 2010 số thực ( 3i 1+ )2009 +( 3i 1- )2009 số ảo

Bài Cho u,vur ur biểu diễn hai số phức 3i+ 2i -1 3u 2vur+ ur ; 5u 3vur- ur biểu diễn số phức nào?

2 Gọi xr biểu diễn số phức 4i+ Hãy phân tích xr qua u, vur ur Bài Gọi A ,A ,A ,A biểu diễn hình học số phức1 2 3 4

1

z = +1 3i, z = - +3 2i, z = -5 i, z = +4 5i Tính độ dài đoạn A A , A A , A A1 2 1 3 1 4

2 Tìm số phức có biểu diễn điểm M cho A A A M hình bình hành.1 4 Bài

1 Tìm phần thực số phức z=(1 i ,n N+ )n Ỵ thỏa mãn phương trình: log n log n 94( - )+ 4( + )=3

(39)

2 Tìm phần ảo số phức z , biết iz 3i z( ) z2 i

- + = + Bài 10

1 Gọi z nghiệm phương trình z2-2z 0+ = Tính giá trị biểu thức Q z2012 20121 z

= +

2 Tính z , biết (2z 1+i- )( )+( )z 1 i+ ( )- = -2 2i

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn:

1 z 2i+ = - +z i z i z 2i

+

-+ số ảo

2 z = phần thực z lần phần ảo

3 z z= z = z số ảo Đề thi Đại học Khối D ,20102 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn:

1

4

z 200

z

1 7i

z + + - =

2 z i z

+

- - = Đề thi Đại học Khối B – năm 2011

3 z (2 3i)z 9i- + = - Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 z2 = z2 +z

Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn:

( )2

2 z i z z 2i

z z 2

ì - = - +

ïï í

- =

ï ïỵ

3 z i( ) 10 z.z 25

ì - + = ï

í = ïỵ

5 z 2z i i i

+ = +

+

-7 z2+ z 8z 44+ =

2 z 2i z z i z

ì - =

ï í

= -ïỵ

4

( )( )

z 1

z 2i

z z i

ì + =

ï + í

ï + - =

ỵ

6 z i z i ì - = ï í

+ - = ïỵ

8 z3=z Bài 14

1 Nếu z1 = z2 =1, z z1 2 ¹ -1thì 2

z z

T

1 z z + =

+ số thực Nếu z1 = z2 = z3 =r ( 2)( 3)( 1)

1

z z z z z z

T

z z z

+ + +

= số thực 2 3

1

z z z z z z r

z z z

+ +

=

+ + với

1

z +z +z ¹0 Số phức w z

z -=

+ số ảo Û z 1= Bài 15

Cho ,a b hai số phức liên hợp thoả mãn a2ỴR

b a - b =2 Tính a Bài 16 Tính z1+z , z2 1-z , z z , z2 1 2 1-2z , 2z2 1+z2 biết:

(40)

-Bài 17 Cho số phức z1= +1 2i,z2 = - +2 3i,z i= - Tính : z1+z2+z2 z z1 2+z z2 3+z z3 1 z z z1 3 z21+z22+z32

2

z

z z

z +z +z

2

1

2

z z

+ + Bài 18 Tìm số phức z thỏa mãn:

1 z 7i i- + = - 2 3i z+ + = - -5 i

3 z(2 3i) 5i+ = + z 2i

1 3i= + - +

5 iz 3i

1 i i

+ =- +

- + 2z(1 i) 2iz(1 i) 4i- = + +

Bài 19 Cho z 3i

2

= - Hãy tính: ; z; z ; z ; z z2 ( )3

z + +

Bài 20 Gọi A,B,C điểm biểu diễn số phức z1= +3 2i, z2= -2 3i, z3= +5 4i Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác

2 Gọi D điểm biểu diễn số phức z Tìm z để ABCD hình bình hành

3 Gọi E điểm biểu diễn số phức z' Tìm z' cho tam giác AEB vuông cân E Bài 1:

1 Đặt z1=a1+b i,1 z2=a2+b i2 Từ giả thiết ta có hệ:

( ) ( ) ( )

2 2

1 2

2

1 2

a b a b

2 a b a b

a a b b

ì + = + =

ï Þ + =

í

+ + + =

ïỵ

2 a z z' 2x 2y 1( ) x y x

3y 3x x y y

ì - = + ì - = ì =

ï

= Ûí Ûí Ûí

- + = - + = =

ï ỵ ỵ

ỵ

Vậy x 2,y 0= =

b Ta có: (4 i- )3=52 47.i- nên suy ra:

(x 2y i+ )( - ) (3+ 3x y x 2i- )( + ) (= x 2y 52 47i+ )( - ) (+ 3x y x 2i- )( + )

(3x2 xy 52x 104y) (41x 96y i)

= - + + - +

Þ (x 2y i+ )( - ) (3+ 3x y x 2i- )( + )=47 20i

-2

2

20 41x y

3x xy 52x 104y 47 96

41x 96y 20 329x 708x 2432 0

ì

-ì - + + = =

ï ï

Ûí Ûí

+ =

ï ï

ỵ ỵ + - =

608 x

329 1529 y

2632 ì = ïï í ï = -ïỵ

hoặc x 234 y

12 ì = -ï í

=

ïỵ

c x yi 3i x yi 3i ( yi)

2 2

3 yi

ỉ

+

= + + =ỗỗ + ữữ +

+ ố ø

y

3 3

x yi y i

2 2

ỉ ư ổ ử

+ =ỗỗ - ữ ỗ+ + ÷

÷ è ø

è ø

( )

3 3

x y x 1 y x 3

2 2

y y 3 y

y

2

ì ì

=

-ï ì =

-ï ï = - ï

Ûí Ûí Ûí

= ï

ï = + ïỵ = ỵ

ïỵ

(41)

d

( )3 ( )3 ( )3 ( )3

3 xyi x y 2i xyi x y 2i

1 2i 2i 2i 2i

+ + - + + +

= Û =

+ - + +

x y x 1,y

xy x 2,y

ì + = é = =

Ûí Ûê

= = =

ỵ ë

3.Dễ thấycos720 =cos 90( 0-180)=sin180

( ) (2 )2

0 0 0

z cos18= +cos72 i cos18= +sin18 iÞ z= cos18 + sin18 =15 z 3i

2

= - + nên z 1= , số phức liên hiệp: z 3i

2

= - -

( ) ( )3 1 3 1 3 1 3

z z z i i i

2 2 2

ỉ ưỉ ỉ ư ỉ

= = - -ỗỗ ữỗữỗ- + ữữ=ỗ ữ -ỗỗ ữữ = ố ứ

ố ứố ứ ố ø

4 Ta có: i i i

+ =

- ; ( )

2

1 i- = -2i Þ =z i33+ -( )2i5+13 i 13 32i- = -Þ Phần thực z 13 , phần ảo z 32-

Chú ý Khi gặp tốn u cầu tính z với n số tự nhiên lớn ta tính lũy thừa nhỏ đển tìm quy luật z n

5 a A=( ) ( )1 i- 9+ i+ 10

( )1 i- 2= - +1 2i i2 = -2i

( )1 i é( ) ( ) ( ) ( )1 i 2ù4 1 i 2i 1 i 16 i( )2 2( )1 i 16 i( )

Þ - =ê - ú - = - - = - =

-ë û

( )2 2 ( )10 ( )2 ( )5 ( )2

1 i+ = +1 2i i+ =2iÞ +1 i =éê i+ ùú = 2i =32 i i 32i=

ë û

Vậy A 16 i= ( )- +32i 16 16i 16 i= + = ( )+ b B ( )1 i i13 131 i 21

1 i i

ỉ ưỉ +

= - +ỗ - ữỗ ữ

-è ø

è ø

( )1 i- 2= - +1 2i i2 = -2i

( )1 i é( )1 i 2ù4 ( )2i 16 i( )2 16 1( )2 16

Þ - =ê - ú = - = = - =

ë û

( )6 ( )6

13 12

i =i i= i i= -1 i i= i13 131 i 1( )i2 1( 1)

i i i i

i

-Þ - = - = - = - - =

( )

( )( ) ( )

2 2

2 i

1 i 2i i 2i i

1 i i i i 1

+

+ = = + + = =

- - + - - - ( ) ( ) ( )

21 10

21 2 10

1 i i i .i 1 i i

1 i æ +

ịỗ ữ = = = - =

-è ø

Vậy B 16 i 14 i

ổ - = +ỗ ữ =

è ø

c M i= 5+ +i6 i7+ + i18 =i i i5( + + + + +2 i3 i13)

Dễ thấy1 i i+ + 2+i3+ + i13 tổng cấp số nhân có 14 số hạng, số hạng u1=1, công bội q i=

14 14

5

11 q i

M i u i

1 q i

-

-= =

-

-( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

7

2

5

2

1 i 1 1 i i i

i i i

1 i i i 1 i

- - - +

= = + =

(42)

-( )

1 i

M i

2

-= = -

d N 1 i= + + + +( ) ( ) (1 i 2+ i+ )3+ + + i( )2010

Dễ thấy tổng tổng cấp số nhân có 2011 số hạng , số hạng u1=1, cơng bội q i= +

( )

( ) ( )

2011 2011

2011

1 i 1 i

1 q

N u

1 q 1 i i

- + - +

-= = =

- - + -

( )1 i+ 2= +1 2i i+ 2 =2iÞ +( )1 i 2011=é( )1 i+ 2ù1005( ) ( ) ( )1 i+ = 2i 1005 1 i+

ê ú

ë û

( )1 i 2011 21005 2( )i 502i i( ) 21005( )i i2 21005( )i 1

Þ + = + = + = -

( )

( ) ( ) ( )

1005

1005 1005

2011

1006

1 2

i i

1 i 1 i

1 q

N u i

1 q 1 i i i

+

- -

-= = = = =

- + -

-6 a Ta có z 4i 9i 12 5i= + - + =

-Þ phần thực z 12 , phần ảo z -5

b Ta có: ( )( )

( )( ) 2 ( )2

1 2i 2i 1 8i 1 8i 1 8

z i

13 13 13

3 2i 2i 3 2i

- - - + - +

= = = = - +

+ - -

ÞPhần thực z 13

- , phần ảo z 13 c Ta có: z 2i i= + + 2- + -1 2i i2=4i

Þ Phần thực z , phần ảo z d Ta có: (2 i+ )3=23+3.2 i 3.2.i2 + +i3= +2 11i

(2 i) ( )3 1 i 13 9i

Þ + - = + ( )( )

(13 9i 3i)( ) 79

z i

25 25 3i 3i

+

-Þ = =

-+

-ÞPhần thực z 79

25, phần ảo z 25 - a Ta có z số thực (x y 3)( ) x

y é =

Û - - = Û ê

=

ë

· Với x z 0= Þ =

· Với y 3= Þ =z 2x2 -3x 1+

b Ta có z ảo

( )( )

2

2x 3x x

2

x y y 3

ì

ì - + = =

ï ï

Ûí Ûí

- - ¹

ï ù

ợ ợ

Khi ú: z 1(y i) z y

2

= - - Þ =

-z y y 11;y

Þ = Û - = Û = = -

Vậy x 12 y 11 ì

= ï í ï = ỵ

hoặc x 12

y

ì = ï í ï = -ỵ

là cặp cần tìm c Ta có:

( )( ) ( )( )

2

2x 3x 2x 3x

z 5i

x y x y

ì - + = ì - - =

ï ï

= + Ûí Ûí

- - = - - =

ï ï

ỵ ỵ

(43)

x

5

y

x ì =

-ï

Û í = + =

ïỵ

-hoặc x

2 19 y

3 ì

= ïï í ï = ïỵ

8a Ta có: (2 i+ )3= +2 11i; (2 i- )3= -2 11i

( )

2 11i 11i

A i

22i 11 11i 11i

+ +

-Þ = = =

-+ - -

b Đặt z 3i 3i z2 1( 3i) 3i

+

= = - + Þ = - +

-( )( )

3

z z z 3i 3i

Þ = = - - + =

-( )669 ( ) ( )

2009 669 2008

B z z z ( 8) é 3i ù 3i

Þ = = = - êë- + úû= +

c Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân, ta có: 2009

1 i i

C i i i

1 i i

-

-= = =

- -

d Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân, ta có:

( ) ( )1 i( )2010 ( )( )1 i2010

D i i i i

i i

- + +

-= + - - = +

+

Mà ( )1 i+ =2iÞ +( )1 i 2010=( )2i 1005 =21005 1004.i i 2= 1005.i

( )( 1005 ) 1005 1005

D i i i 1 i i 2

Þ = - + - - - = + -

9 a z số thực Û(2 x)(2y 1) 0+ + = Û = -x y = - b z số ảo (1 2x)(1 x) x 1,x

2

- + = Û = - =

2

z 1= Û(2 x) (2y 1)+ + =1 (*)

*x= - Þ1 (*)Û(2y 1)+ 2= Û =1 y 0,y= -1 * x (*) (2y 1)2 y , y

2 25 10 10

= Þ Û + = Û = - =

-Vậy có bốn cặp (x;y) thỏa yêu cầu toán:

1

(x; y) ( 1; 1), ( 1;0), ; , ;

2 10 10

ỉ ỉ

= - - - ỗ - ữ ỗ - ÷

è ø è ø

c Ta có: z 20 18i (1 x)(1 2x) 20 (2y 1)(2 x) 15

ì + - =

-= - + Û í

+ + =

ỵ

2

2x x 21 x 3 x

2

15 y 1 11

y y

2(x 2) 2

ì

ì + - = ï =

-ì =

ï ï

Ûí Ûí Ú í

=

= - ỵ

ï + ï =

-ỵ ïỵ

10 a.Ta có z 4i 4i ( 4i)(3 i) 13 9i

3 i i 10 10

+ - - + - + + - +

= = = =

-

-Vậy phần thực z bằng: 13 10

- , phần ảo 10 b Ta có: (2 i)+ =23+3.2 i 3.2.i2 + +i3 = +2 11i

3 2

(44)

Vậy phần thức z bằng: 11; phần ảo bằng: -35 c Ta có (3 i)(1 2i) 5i+ - = - ; (3 2i)+ = +5 12i Suy z (5 5i)(5 12i) 85 35i2 2

169 12

- + +

= =

+

10 10i

15 5i 16 6i

10 +

= + + = +

Vậy phần thực z bằng: 85

169; phần ảo bằng: 35169 c Ta có: z (1 3i)(3 4i) (4 2i)(1 3i)

10

- +

= + - +

Vậy phần thực z bằng: 16 ; phần ảo bằng: 11 a.Ta có: 2z 29 22i z 13 9i i

3 4i 4i

+ +

+ = Þ = =

-+ + Suy z = 32+12 = 10 b Ta có: 2i 12i z 2i (3 2i)2 12i

z 2i 2i 12i 12i

- =- + Þ + = - = - =

-+ - - + - +

z 2i z

Þ = - - Þ =

c Ta có: z ( 12i)5i 60 25i= - - = - Þ z 65= d Ta có: (6 3i)z i (4 5i)z 10i- + - = - +

-6 9i 15

(2 2i)z 9i z i

2 2i 4

-Û + = - Þ = =

-+ Suy

3 26 z

4 =

Bài

1 Biến đổi dạng: z i 3i 2i

+

= =

-+

2 Dễ dàng chứng minh z z1 1= z12 =1, 1 1 z

z = , 2

2 z

z =

1 2

1

z z z z z z

A

1 1 z z z z 1

z z +

+ +

= = =

+

+ + số thực

3 z a bi= +

( ) (2 )2

z i a 2 b 1 1

b a b a 2

ì ì - + =

ï Ûï - + + =

í í

=

-ï ï

ỵ ỵ = - suy

( )2

b b 1

b a

ìï + + =

í = -ïỵ

4 (z z 2i- )( + )=a2+b2- -a 2b 2a b i+( + - ) số thực, suy 2a b 0+ - = ( )1

( )2 2

z 1- = 5Û a 1- +b = ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy ( ) ( ) (a;b = 0; , 2; 2- )

5 Từ giả thiết dẫn đến kết a2+b2+6bi 6i= - suy a2 b2

6b

ì + =

ï í

= -ïỵ a Ta có: (2i 1)2 4i z 4i 1i

1 3i 2 - +

+ = - + Þ = = +

- +

2

3 10

z

2 2

ỉ ỉ ị = ỗ ữ +ỗ ữ =

ố ø è ø

b Ta có: z 2i z 2i z 2( )( ) (2 2i z 4i) z

+ = + Û + = + - Û + = +

-7 4i 11 130

z i z

2 2i 4

+

Þ = = - Þ =

+

(45)

c Ta có: z 3i ( )(i z 1) (2 3i 3z 2)( ) 3z i

- = + Û - - = + +

+

-( ) 7i 77 25

z 8i 7i z i

7 8i 113 113

-Û + = - - Û = = -

-+

6554 z

113

Þ =

7 a.Đặt z x yi= + Þ(3i 1)z (3i 1)(x yi) x 3y (3x y)i+ = + - = + + -4z (3i 1)z 5x 3y (3x 3y)i

Þ + + = + + +

Từ suy 5x 3y 25 x

3x 3y 21 y

ì + = ì =

Û

í + = í =

ỵ ỵ

Vậy z 5i= +

b Đặt z x yi= + Þ( )z2 =x2-y2-2xyi

Suy 3z z- ( )2 =3x 2x- 2+2y2 +(3y 4xy)i+ Nên ta có: 3x 2x2 2y2 (1)

3y 4xy (2)

ì - + =

ï í

+ =

ïỵ

Từ (2) suy : x

= - y 0= · y 3x 2x2 x 0,x

2

= Þ - = Û = =

· x y2 27 y

4

= - Þ = Þ = ±

Vậy có bốn số phức thỏa yêu cầu toán: z 0,z 3,z 3 6i

2 4

= = = - ±

Bài

Ta có: 4i 4i i 1( )2 2i A 2; 2( )

i i 1

+

= = - Þ

-( )-(1 i 2i- + )= + Þ3 i B 3;1( )

( )( ) ( )

2

2 6i i

2 6i 2i C 0;2

3 i 3 i

+ +

+

= = Þ

-

-1 Dễ thấy: BA BC BA.BC

ì =

ï í

=

ïỵuuur uuur nên ABC tam giác vuông cân B Gọi D đỉnh thứ hình vng ABCDÞD 1; 1( - ) Vậy, số phức z= - -1 i biểu diễn điểm D

Bài z2-6z 18 0+ = Û(z 3- )2=9i2Þ z 3i= - z 3i= +

Trong mặt phẳng tọa độ số phức z 3i= - có biểu diễn A 3; 3( - ), số phức z 3i= + có biểu diễn B 3;3 ( ) OAB

D có OA OB 2= = OA.OB 0uuur uuur= , suy đpcm Bài

1 Đặt z i= + Þ = -z i

Và z1= +( )1 i 2010 =z2010Þz1=z2010 =( )z 2010 = -( )1 i 2010

( )2010 ( )2010

1

1 i i z z

Þ - + + = + số thựcÞ đpcm

2 Đặt z= 3i 1+ Þ = -z 3i

(46)

( )2009 ( )2009 ( )2009 ( )2009

3i 3i 3i 1 3i

Þ + + - = +

-1

z z

= - số ảoÞ đpcm Bài

1 Ta có: uur=( )1;3 , vur=(3; 2- )

Suy ra: 3u 2vur+ ur=( )9;3 biểu diễn số phức 3i+

( )

5u 3vur- ur= -4; 21 biểu diễn số phức 21i- + Ta có: xr=( )6; Giả sử

24 m

m 3n 11

x m.u n.v

3m 2n n 14

11 ì

= ï

ì + = ï

= + Þí Ûí

- =

ỵ ï =

ïỵ

r ur ur

Vậy x 24u 14v

11 11

= +

r ur ur

Bài

1 Ta có: A A1 2= z1-z2 = + =4 i 17

1 3

A A = z -z =4

1 4

A A = z -z = 13

2 Gọi z số phức cần tìm Ki đó: A Muuuur1 A Auuuuuur2 4 biểu diễn số phức z z- 1 z4-z2

A A A M hình bình hành ÛA M A Auuuur uuuuuur1 = 2 4Û -z z1=z4-z2

1

z z z z 6i

Û = + - = +

Bài

1.Điều kiện: n 3,n> Ỵ¥

Phương trình log n log n 94( - )+ 4( + )= Û3 log n n 94( - )( + )=3

(n n 9- )( + )=43 Ûn2+6n 0- = Û =n : n 3( > ) ( ) ( ) ( )7 ( ) ( ) ( ) ( )3

z i= + = +1 i iéê + ùú = +1 i 2i = +1 i 8i- = -8 8i

ë û

Vậy phần thực số phức z Đặt z a bi= + Þ = -z a bi, (a,bỴ¡)

( ) ( )( ) 2 2

i a bi 3i a bi

a b

1 i

+ - +

-= +

+ , quy đồng mẫu số rút gọn ta được: ( ) ( )

2

3a 3b a 5b i a b

- - + - + = + , hai số

phức 3a 3b a( b2) 5b( )2 2b2 3b 5b( ) a 5b

a 5b

ì- - = + ì

ï Ûï + + + =

í í

=

ï- + = ïỵ

ỵ

( )

b 26b a

b a 5b

ì + = ì =

ï

Ûí Ûí =

=

ï ỵ

ỵ (nhận)

45 a

26 b

26 ì = ïï í ï = ïỵ

(khơng thỏa a b 0+ £ ) Vậy, số phức cần tìm z 0=

Bài 10:

1 Phương trình cho biến đổi (z 1- )2= -1 ta có z2=2 z 1( - ), suy

( ) ( )2 ( )

4

z =éë2 z 1- ùû =4 z 1- =4 1- = -4

(47)

( )

( ) ( ) ( )

503

503 503

2012

2012 4 503 503 503

1 1 16

Q z z

z z 4

+

= + = + = - + =

-2 Giả sử z a bi a,b= + ( Ỵ¡)

Ta có : (2z 1 i- )( + +) ( )z 1 i+ ( )- = -2 2iÛ2 iz( + ) ( )+ -1 i z 2=

( )( ) ( )( )

2 i a bi i a bi

Û + + + - - =

( )

1 a

3a 3b 3 1

3a 3b a b i z

a b b 9

3 ì = ï

ì - = ï

Û - + + = Ûí Ûí Þ = + =

+ =

ỵ ï =

-ïỵ Bài 11

1 Giả sử z a bi= + , (a, bỴ¡) z 2i a (b i() )

z i a 1 b i

ì + = + +

ï

Þ í + = + -ïỵ

( ) (2 ) (2 )2

z 2i+ = - + Ûz i a + b 2+ = a 1- + -1 b Û +a 3b 0+ =

( )

( ) ( 2) (( )()2 ) ( ( ) )2

a b i a a b b a 2b b

z i i

z 2i a b i a 2 b a 2 b

+ + - + - - - - +

-+ - = = +

+ + - + - + - số ảo

( ) ( )( )

a a 1+ - b b 0- - = Û4b +3b 0- = Ta có hệ: a 3b 02 b 11,a 27

b ,a

4b 3b 4 4

é = - =

ì + + =

ï Ûê

í ê = =

-+ - =

ïỵ êë

Vậy, có số phức cần tìm z i= - z 1i 4 = - + Giả sử z a bi, a,b= + ( Ỵ¡),thì z = a2+b2 Ta có : z a2 b2 ( )2b2 b2

a 2b a 2b a 2b

ì ì

ì =

ï Ûï + = Ûï + =

í í í

= = =

ï ï ï

ỵ ỵ ỵ

a

b

ì = -Û í =

-ỵ

a b ì = í =

ỵ

Vậy có hai số phức cần tìm: z= - -2 i,z i= + Gi s z a bi, a,b= + ( ẻĂ)ị = -z a bi Dễ thấy, z3=(a bi+ )3=a3+3a bi 3ab2 - 2-b i3

Do z z= ( )

( )

3

2

a 3ab a

3a b b b

ì - =

ï Û í

- =

-ïỵ ( )*

Đặt a tb,= (t Ỵ¡) Hệ ( )* trở thành: ( ) ( ) ( )

( )

3 2

2 3

tb tb b tb

3 tb b b b

ì - =

ï í

ï - =

-ỵ

suy t t( )2- = Û =1 t 0, t= -1 t 1= TH1: Khi t 0= Þ =a thay vào( )2 ta -b3 = -b Û =b 0 hoặc b= -1 hoặc b 1= .

TH2: Khi t= ± Þ = ±1 a b thay vào( )2 ta 2b3= -b Û =b Vậy, số phức thỏa mãn toán: z 0,= z= -i, z i=

(48)

z z

é + = ê + =

-ë Mặt khác từ ( )

2 2

z +z = Þ0 z z- +2 z =0 z z 2i

Þ - = z z- = -2i

Do ta có số phức thỏa mãn : z i 1, z= + = - +1 i, z i, z= - = - -1 i Cách 2: Đặt z a bi= + Þz2 =a2 -b2+2abi z = a2+b2

Từ giả thiết suy a22 b22 a22

a b b

ì - = ì =

ï Ûï

í í

+ = =

ï ï

ỵ ỵ

Vậy số phức cần tìm: z i 1, z= + = - +1 i, z i, z= - = - -1 i Bài 12

1

4 2

2

2 2 2

z z z z

z z

z = z z = z = 2001 7i- = +4 28i

Phương trình cho tương đương : z2+ + +z 28i 0= có D =(7 8i- )2 z 4i= + z= - -4 2i

2 Gọi z x yi= + với x,y Î¡

( )

2

5 i

z zz i z x y x y i

z +

- - = Û - - - = Û + - - - + =

2 x 1

x y x

y

3 y

ì + - - = ì =

-ï ï

Ûí Ûí

=

-+ = ï

ï ỵ

ỵ hay

x

y

ì = ï í

= -ïỵ Vậy z= - -1 3i hay z 2= - 3i

3 Giả sử z a bi a,b= + ( Ỵ¡)

Khi z 3i 9i-( + )= - Û +a bi 3i a bi-( + )( - )= -1 9i

(a 3b) (3b 3a i 9i) a 3b a

3b 3a b

ì- - = ì =

- + + - = - Ûí Ûí

- = - =

-ỵ ỵ

Vậy z i=

-4 Giả sử z a bi a,b= + ( Ỵ¡)

2

2 2 2 2

z = z + Ûz (a ib)+ =a +b + -a ibÛa -b +2abi a= +b + -a bi

2 2

2

a a

a 2b b 0 b

a b a a b b 0 1

a 4b

b 2ab a

1 1

2 a b

2 2

éì =

éì = êí

ì = - êí êỵ =

=

ï êỵ

ì + + = - ê

ï ïé = ê ì

Ûí Ûíê Û ì = Ûê =

-ï ê

- = ï ï

ï ï

ỵ ê = - êí êí

ïêë = - ê

ỵ ê ï êï = ±

ỵ

ë ëïỵ

Vậy có số phức thỏa toán : z 0, z 1i, z 1i

2 2

= = - + =

-Bài 13

1 Hệ cho trở thành: a (b i) (2b i) 4b a2 a.4b 4abi 2

ì + - = + ì = ³

ï Ûï

í í

= =

ï ïỵ

ỵ Gọi z x yi x,y= + ( Ỵ¡)

Ta có ( )

( )

x y i x yi z 2i z

z i z x y i x yi

ì

ì - = + - = +

ï Ûï

í - = - í

+ - = - +

ï ï

ỵ ỵ

(49)

( )

( ) ( )

2

2 2

2

x y x y y

x

x y x y

ì + - = + ì =

ï

Ûí Ûí =

ỵ

ï + - = - +

ỵ

Þ z i= + Đặt z x i.y= + Þ -z i( + =) (x 2- ) (+ y i- )

( ) ( ) (2 )2

|z i | x y

Þ - + = - + - z.z x= 2+y2

Từ giả thiết, ta có: ( ) ( )

2

2x y 10

x y 10

x y 25

ì - + - = ì + =

ï Ûï

í í

+ =

ï

ï + = ỵ

ỵ

2

y 10 2x x

y x 8x 15

ì = - ì =

ï Û

í í =

- +

ï î

î

x y ì = í =

ỵ

Vậy z 4i= + z 5= số cần tìm Gọi z x yi.= + Ta có: z z

z 2i z 2i

+ = Û + =

+ +

z z 2i

Û + = + Û + +x yi = +x (y i+ )

(x 2)2 y2 x2 (y 2)2 x y

Û + + = + + Û =

Mặt khác: (z z i+ )( - ) = Û +5 z z i 5- = x yi x yi i

Û + + - - =

(x 1)2 y2 x2 (y 1)2 5

Û + + + + =

Mà x y= nên x y 1+ = + , ta có:

(x 1+ )2+x2= Þ = -5 x 2;x 1.= Vậy: z= - -2 2i;z i.= +

5 Giả sử z x yi, x,y= + ( Î¡)Þ = -z x yi

( ) ( )

1 z 2z i 1 z 2z i 1 i i 2z i 2iz 1 2 z 2iz 0

1 i i i

+ = + Û + = + + = + = - Û + - =

+ -

-( ) ( ) ( )

2 x yi 2i x yi x 2y y 2x i

Û + + - - = Û + - + - =

2 x

2 x 2y 3 z 2i

y 2x y 3

3 ì = ï

ì + - = ï

Ûí - = Ûí Þ = +

ỵ ï =

ïỵ

Gi s z x yi, x, y= + ( ẻĂ)ị = -z x yi

( )

( ) ( )

2

z i x yi i 1 x y 1 1

z i x yi i x 1 1 y 4

ì

ì - = ì + - = + - =

ï Ûï Ûï

í í í

+ - = - + - =

ï ïỵ ï - + - =

ỵ ỵ

( )

( ) ( )

( )

2

2 2 2

x y 1 x y 1

x y x x

ì + - = ì + - =

ï ï

Ûí Ûí

ï - + - = ï - - =

ỵ ỵ

( )2

2 x 1

x y 1 z 1 i

y

x

ì ì =

-ï + - =

Ûí ớ = ị = - +

= - ợ

ïỵ

7 Gọi z x yi= + Þz2=x2-y2+2xy.i,

2

|z| x= +y z x y.i= - Nên :

( )

2 2 2

(50)

( )

2 2

2 2 x y 8x x y 44

x y 8x x y 44

2y x 2xy 8y

ì

ì - + + + =

ï - + + + = ï

Ûí Ûí

- =

ï ï

ỵ ỵ

TH1: 2

y y

9 257 x 8x |x| 44 x 11;x

2 ì =

ì =

ï Ûï

í + + = í = - =- +

ï ï

ỵ ỵ

TH2: x 42 2 x

y

y 16 y

ì = ì =

ï Û

í í = ±

+ = - ỵ

ïỵ

Vậy z 11;z 257;z 3i

- +

= - = = ±

8 Cách 1: Giả sử z x yi, x,y= + ( ẻĂ)ị = -z x yi

( )3 ( )

3 2

z = Ûz x yi+ = -x yiÛx -3xy + 3x y y i x yi- =

-( )

( )

2

3

2 2

x x 3y x

x 3xy x

3x y y y y 3x y y

ì - =

ï ï

Ûí Ûí

- = - - =

-ï ï

ỵ ỵ

2

x

x 0,y z

x 3y

x 0,y z i

y

x 1,y z

3x y

ìé =

é = = Þ =

ïê

- - = ê

ïêë

Ûí Ûê = = Þ = ±

é = ê

ïê = = Þ = ±

ê

ï - + = ë

êë ỵ

Vậy phương trình cho có nghiệm z 0,z= = ±i,z= ±1 Cách 2: z3= Ûz z.z3 =z.z z= Û z4 =z2 Û z2( )z2-1 0=

2

z

é =

ê Ûê

- = êë

Khi z2=0 z 0= , z 0= nghiệm phương trình z3 =z Khi z 0- = ị ạz nờn phng trỡnh z3= z z.z3=z.z hay z4=z.z 1=

( )( )

2

z z

z i

z

é - = é = ±

ê

Û - + = Û Û ê

= ±

ê + = ë

ë

Vậy phương trình cho có nghiệm z 0,z= = ±i,z= ±1 Bài 14

1 Ta có i i i i i

z z |z | z , i 1, z

= = Þ = =

1 2 2

1

1 2

1

z z z z z z z z

T 1 T

z z z z z z 1

z z +

+ + +

Þ = = = = =

+ + +

Vậy T số thực Ta có:

( 2)( 3)( 1) 21 22 22 23 23 21 2

1

r r r r r r

z z z z z z z z z z z z

T

z z z r r r

z z z

ỉ ưỉ ửổ

+ + +

ỗ ữỗ ữỗ ữ

+ + + è øè øè ø

= =

(51)

( 2)( 3)( 1)

z z z z z z

T T

z z z

+ + +

= = Þ số thực

Đặt

4 4

1 2 3 1 2 3

2 2

1

r r r

A A

z z z r r r

z z z

+ +

= Þ =

+ +

( )

2

1 2

1 2 3

r z z z

A A.A r |A| |A| r

z z z z z z

+ +

Þ = Þ = = Þ =

+ +

3 Ta thấy với z 0= tốn khơng thỏa mãn Với z 0ạ ịz.z z=

Ta cú w l s ảo w w z 1 z z z

-

-Û = - Û =

+ +

(z z 1)( ) ( )1 z z 1( ) z.z 1 z2 1 z 1

Û - + = - + Û = Û = Û =

Bài 15 Đặt a = +x iyị b = -x iy vi x,y R.ẻ Khơng giảm tính tổng qt, ta coi y 0.³ Vì a - b =2 nên 2iy 3= Þ =y Do ,a b hai số phức liên hợp nên a bỴR, mà

( )

3

2 R

a = a Ỵ

b ab

3 R.

a Ỵ Nhưng ta có

( )

3 x3 3xy2 3x y y i2

a = - + - nên a Ỵ3 R 3x y y2 - = Û0 y 3x( 2-y2)= Þ0 x2 =1 Vậy a = x2+y2 = 2.+ =

Bài 16

1 z1+z2= -4 9i; z1-z2= -6 3i; z z1 2= - -23 9i; z1-2z2 =7;

1

2z +z = +9 15i

2 z1+z2= +5 7i; z1-z2= - -1 i; z z1 2= - +6 17i;

1

z -2z = 41; 2z1+z2 = -7 10i

3 z1 z2 13i; z1 z2 5i; z z1 2 5i

6 6 6

+ = - + - = - + = - - ; z1 2z2 2;

6

- = 2z1 z2 11i

3

+ = - -

4 z1+z2= 3- i; z+ 1-z2 = 3+ 3i;+

2z +z =2 3- 3i- ; z z1 2=(2- 6) (- 2 i+ ) ; z1-2z2 = 27 6+ Bài 17

1 6i+ 10i- + 14i- +

4 27 8i- - 371 147 i 130 130

- + 152 72 i

221 221 -Bài 18

1 z 8i= - z= - -7 4i z 23 i 13 13

=

-4 z= - +9 7i z 22 i 25 25

= + z 2i

3 = - + Bài 19

1 1 i

z 2= + 2

1

z i

2

= + z2 3i

2

=

(52)

Bài 20 Ta có A(3;2), B(2; 3), C(5; 4)

-1 Ta có: AB ( 1; 5), AC (2;2),BC (3;7)uuur= - - uuur= uuur= ÞA, B,C ba đỉnh tam giác Chu vi tam giác: AB BC CA+ + = 26 2+ + 58

2 ABCD hình bình hành ÛAB DCuuur uuur= ÞD(6;9)

3 Đặt z' a bi= + ÞE(a;b) Tam giác AEB vuông cân E AE.BE 02 2

AE BE

ì =

ï Û í

= ïỵ

uuur uur

Từ ta tìm hai điểm E: E (0; 0), E (5; 1)1 2 -

Dạng 2.Biểu diễn hình học số phức ứng dụng

Ví dụ Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

( )

z i- = i z+ Lời giải

Gọi M x;y điểm biểu diễn số phức( ) z x y.i= + (x, ¡)

Suy z i- = x2+(y 1- )2

( )1 i z+ = ( )(1 i x yi+ + ) = (x y- ) (2+ x y+ )2

Nên z i- = ( )1 i z+ Ûx2+(y 1- ) (2= x y- ) (2+ x y+ )2

( )2

x y

Û + + =

Vậy tập hợp điểm M đường trịn: x2+(y 1+ )2=2

Ví dụ Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2+ = -i z

Lời giải

Cách 1: Đặt z a bi,= + (a,bỴ¡) số phức cho M x;y điểm biểu diễn z mặt phẳng phức.( ) Ta có: z i z+ = - Û (x 2+ )+yi = +x y i( - ) Û (x 2+ )2 +y2 = x2 +(y 1- )2 Û4x 2y 0+ + =

Vậy, tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng 4x 2y 0+ + = Cách 2: z 2+ = - Û - -i z z ( )2 = -z i ( )*

Đặt z a bi,= + (a,bỴ¡) số phức cho M x;y điểm biểu diễn z mặt phẳng phức, điểm A( ) biểu diễn số 2- tức A 2;0(- ) điểm B biểu diễn số phức i tức B 0;1( )

Khi ( )* ÛMA MB=

Vậy, tập hợp điểm M cần tìm đường trung trực AB : 4x 2y 0+ + =

Ví dụ Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z z 5- + + =

Lời giải

Đặt z a bi,= + (a,bỴ¡) số phức cho M x;y điểm biểu diễn z mặt phẳng phức.( ) Ta có: z z 5- + + = Û (a bi- )+ + (a bi 5+ )+ = hay (a 2- )2+b2 + (a 2+ )2+b2 =5 ( )1

(a 2)2 b2 (a 2)2 b2 5ỉ (a 2)2 b2 (a 2)2 b2ư

- + + + + = ỗ - + - + + ÷

è ø

(a 2)2 b2 (a 2)2 b2 8a

Û - + - + + = - ( )2

(53)

Từ ( )1 , ( )2 ta có hệ: ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

a b a b

8a

a b a b

5

ì - + + + + =

ï í

ï - + - + + =

-ỵ

( )

2

2 2

2

2 2 2

2

5 4a 25

5 4a a 2 b , a

a b 2 5 8

2

5 4a 5 4a 25

a b a 2 b , a

2 2 5 8

ì ỉ ư

ì ï - + = - Ê

- + = - ỗ ữ

ï ï

ï Þ è ø

í í

ï + + = + ï + + =æ +

-ù ù ỗ ữ

ỵ è ø

ỵ

2

9a b , 25 a 25

25 8

Þ + = - £ £

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức elip có phương trình

2 y

x 1

25

4

+ =

Cách : Đặt z a bi,= + (a,bỴ¡) số phức cho M x;y điểm biểu diễn z mặt phẳng phức.( ) Trong mặt phẳng phức, xét điểm F1(-2;0 ,F 2;0) ( )2

Ta có: MF1= (- -2 a) ( )2 + -b = (a 2+ )2+b2 = +z

( ) ( )2 ( )2 2

MF = a- + -b = a 2- +b = -z Giả thiết z z 5- + + = ÛMF MF1+ 2 =5

Vì MF MF1+ 2>F F1 2, nên tập hợp điểm M elip Ta có: 2a 4a22 25 ( )E :x2 y2

25

2c 4b 9

4

ì

ì = ï =

Þ Þ + =

í = í

=

ỵ ïỵ

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z số ảo.2 Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

1 z2 =( )z 2 z i z z 2i- = - +

Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: z' 1=( + 3i z 2) + , z số phức thỏa mãn z 2- =

2 z i z i 4- + + = z z 10- + + =

Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: z i- = + +z 3i

2 2z 5i 2+ - £

3 z 4i-( - ) =2

4 z 3i z 2i 10+ + + - + = Bài 5: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa: z 3i+ + số thực z 2i 1- + =

3 z 3i+ = + -z i z 3i z 2i 2+ + + + + = 5 4i 3z 1- - £ z i z 3i+ + - - - =2 Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa

1 2z i z 2i

có phần thực z 2i 3z i

- +

+ + số thực dương

(54)

2 Phần thực z thuộc đoạn [ 2;1]-

3 Phần thực z thuộc đoạn [ 2;1]- phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]

4 z 2£ z 3£ £ z 2i 2- + £

7 z i- = - +z z 2i z 2£ £ phần ảo lớn Bài 1:

Đặt z a bi,= + (a,bỴ¡) số phức cho M x;y điểm biểu diễn z mặt phẳng phức.( )

( )2

2 2

z = x yi+ =x -y +2yi

Vì z số ảo nên2 x2-y2 = Û = ±0 y x

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng có phương trình : y= ±x Bài 2:

1 x 0= y 0= 2. x2=4y

Bài 3:

1 z' (1 3i z 2) z (1 3i z' 3i)

4

-

-= + + Þ =

-Từ z 2- = Û (1- 3i z' 3i 8) - + =

Đặt z' a bi= + , (a,bỴ¡), ta tìm (a 3- )2+(b- 3)2=16

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có phương trình (x 3- )2+(y- 3)2 =16 a+(b i a- ) + +(b i 4+ ) =

Đặt F 0; ,1( - ) F 0;1 ,2( ) MF MF1+ 2=2F F1 2 Tập hợp điểm M elip ( )E : x2 y2 + = Tập hợp điểm M elip( )E : x2 y2

25+ = Bài 4:

1 Gọi A,B biểu diễn số phức z1=i, z2 = - -2 3i ÞA 0;1 , B 2; 3( ) (- - ) Khi đó: z i- = + +z 3iÛ -z z1 = -z z2 ÛMA MB=

Vậy quỹ tích M đường trung trực đoạn AB

2 Gọi E điểm biểu diễn số phức z1 5i E 5;

2 2

ỉ

= - + Þ ỗ- ữ

ố ứ

Khi ú: 2z 5i 2+ - £ Û 2z 2z- 1 £ Û -2 z z1 £ Û1 EM 1£

Vậy quỹ tích M hình gồm đường trịn tâm E bán kính R 1= miền 3.Đặt z x yi x,y= + ( Ỵ¡); z 4i- + =(x 3- +) (y i+ )

Từ giả thiết, ta có: (x 3- ) (2+ y 4+ )2 =2

(x 3) (2 y 4)2 4

Û - + + =

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 3; 4( - ) bán kính R 2= Gọi E,F biểu diễn hình học số phức z1= - -4 3i,

( ) ( )

2

z = - Þ3 2i E 4; , F 3; 2- - - ÞEF 2= Khi đó: z 3i z 2i 10+ + + - + = ÛME MF 10+ =

Vậy quỹ tích M Elip có hai tiêu điểm E,F độ dài trục lớn

(55)

Bài 5:

1 Gọi N điểm biểu diễn số phức 3i- - ÞN( 4; 3) -z 3i

Þ + + số thực ÛMNuuuur song song với Ox

Quỹ tích M đường thẳng qua N song song với Ox , đường thẳng y= -3

2 Gọi I điểm biểu diễn số phức z1= -1 2iÞI(1; 2)- Khi đó:|z 2i| |z z | 1- + = Û - 1 = ÛIM 1=

Vậy quỹ tích M đường trịn tâm I bán kính R 1=

3 Gọi A, B biểu diễn số phức z1= -3i, z2= - +2 i ÞA(0; 3), B( 2;1)- -Khi đó: z 3i+ = + - Û -z i |z z | |z z | MA MB1 = - 2 Û =

Vậy quỹ tích M đường trung trực đoạn AB có phương trình là: x 2y 0- - =

4 Gọi E,F biểu diễn hình học số phức z1= - -4 3i,

z = - -3 2iÞ - -E( 4; 3), F( 3; 2)- - ÞEF= Khi đó:|z 3i| |z 2i| 2+ + + - + = ÛME MF 2+ =

Vậy quỹ tích M Elip có hai tiêu điểm E,F độ dài trục lớn Gọi E điểm biểu diễn số phức z1 4i E( ;5 4)

3 3

= - Þ

-Khi đó: 4i 3z |3z 3z | |z z |1 1 EM

3

- - £ Û - £ Û - £ Û £

x y

y=-3 -3

O

x y

-1 I

O

x y

1 -2

B

A

(56)

Vậy quỹ tích M hình gồm đường trịn tâm E bán kính R

= miền Gọi E,F điểm biểu diễn số phức

1

z = - -1 i,z = +2 3iÞE( 1; 1),F(2; 3)

-Khi đó: z i z 3i+ + - - - = Û2 ME MF 2- = Vậy tập hợp điểm M hypebol có hai tiêu điểm E, F Bài 6:

1.Gọi M(x; y) z x yi 2z i 2x (2y 1)i z 2i x (y 2)i

ì - = +

-Þ = + Þ í

- = +

-ỵ

2

[2x (2y 1)i][x (y 2)i]

2z i a bi

z 2i x (y 2)

+ - -

-Þ = = +

- +

-Với a 2x2 2(2y 1)(y 2) 2x2 22 2y22 5y

x (y 2) x y 4y

+ - - + - +

= =

+ - + - +

2 2

a 2x 2y 5y 3(x y 4y 4)

Þ = Û + - + = + - + (với x

y ì ¹ í ¹

ỵ )

2 2 17 249

x y 17y 10 x (y )

2

Û + - + = Û + - =

Vậy tập hợp M đường tròn tâm I(0; ), R17 249

2 =

2 Gọi A,B điểm biểu diễn hai số phứcz1= - +3 2i,

z = - -2 i, suy A( 3; 2), B( 2; 1)- - -

Khi đó: z 2i k (k ) AM k MA k.MB

z i BM

- + = > Ỵ Û = Û =

+ +

uuuur uuuur uuur ¡ uuur

Suy M thuộc tia AB Bài 7:

1 Quỹ tích đường thẳng y x =

2 Quỹ tích phần mặt phẳng giới hạn hai đường thẳng x= -2; x 1=

3 Quỹ tích miền tron biên hình chữ nhật giới hạn đường: x= -2; x 1; y 1; y 3= = = Quỹ tích hình trịn tâm O(0;0) bán kính R 2=

5 Quỹ tích phần mặt phẳng giới hạn hai đường trịn đồng tâm O(0;0) có bán kính R1=2;R2 =3 Quỹ tích hình trịn tâm I(1; 2)- bán kính R 2=

7 Qũy tích parabol: y x2

=

8 Quỹ tích phần mặt phẳng nằm đường thẳng y

= (tính đường thẳng y

= ) giới hạn hai đường tròn đồng tâm O(0;0) có bán kính R1=1;R2 =2

Dạng 3.Căn bậc hai số phức phương trình bậc hai

Ví dụ Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai z2+mz i 0+ = có tổng bình phương hai nghiệm 4i

- Lời giải

Gọi z ,1 z2 nghiệm phương trình cho m a bi= + với a,bỴ¡

(57)

Theo tốn, ta có: z12+z22 = -4i suy m2= -2i, dẫn tới hệ: a2 b2 m i 2ab

ì - =

ï Þ =

-í =

-ïỵ m= - +1 i

Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức:

1 z2-2z 17 0+ = z2+(2i 1)z 5i 0+ + - = 4z 7i z 2i

z i

- - =

( ) ( )

2 2

2

25 5z +2 +4 25z 6+ =0 Lời giải

1 Ta có: z2-2z 1+ = -16Û(z 1+ )2 =16i2=( )4i nên phương trình cho có hai nghiệm phức :

1

z = -1 4i; z = +1 4i

2 Ta có: D =(2i 1)+ 2-4(1 5i)- = - +7 24i (3 4i)= + 4i

Þ d = + bậc hai D

Vậy phương trình có hai nghiệm: z1= +i 1; z2 = - -2 3i Điều kiện: z i¹

Phương trình Û4z 7i (z i)(z 2i)- - = -

-2

z (4 3i)z 7i

Û - + + + =

Ta có: D =(4 3i)+ 2-4(1 7i) 4i (2 i)+ = - = -

Þphương trình có hai nghiệm : z1= +3 i; z2 = +1 2i

Kết hợp điều kiện, ta thấy phương trình cho có hai nghiệm

1

z = +3 i; z = +1 2i Phương trình Û(25z2+10)2 -(50iz 12i)+ =0

2

(25z 50iz 10 12i)(25z 50iz 10 12i)

Û + + + - + - =

2 2

25z 50iz 10 12i (5z 5i) 35 12i (1 6i) 25z 50iz 10 12i (5z 5i) 35 12i (1 6i)

é + + + = é + = - - =

-ê ê

Û Û

ê - + - = ê - = - + = +

ë ë

1 11i i

z ; z

5

- - +

Û = = z3 11i; z4 i

5

+

-= =

Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức:

1 z3+(2 2i)z- 2+ -(5 4i)z 10i 0- = biết phương trình có nghiệm ảo z4-2z3-z2-2z 0+ = z i

z ổ - = ỗ + ữ

è ø

Lời giải

1 Giả sử z xi= nghiệm phương trình Khi đó, ta có:

3

x i (2 2i)x (5 4i)xi 10i

- - - + - - =

2

( 2x 4x) ( x 2x 5x 10)i

Û - + + - + + - =

2

3

2x 4x

x

x 2x 5x 10

ì- + =

ï

Ûí Û =

- + + - =

ùợ ị =x 2i l mt nghim ca phương trình Nên ta biến đổi phương trình cho dạng:

2

z 2i z 2i

(z 2i)(z 2z 5)

z 2i z 2z

é = é =

- + + = Ûê Ûê = - ±

+ + =

ê ë

ë

2 Vì z 0= khơng nghiệm phương trình nên Phương trình z2 12 2(z 1)

z z

(58)

2

1

(z ) 2(z )

z z

Û + - + - =

Đặt Z z z

= + , ta có: Z2 2Z Z Z é =

- = Û ê

=

ë

· Z z 1 z2 z z 3i

z

- ±

= - Û + = - Û + + = Û =

· Z z2 3z z

2 - ±

= Û + + = Û =

3 Đặt Z z i z

+ =

+ , ta có:

3

Z = Û8 (Z 2)(Z- +2Z 4) 0+ = Z

Z 3i

é = Û ê

= - ± êë

· Z z i z i 2z z i

z

-= Û = Û - = + Û =

-+

· Z 3i z i 3i z 3i

z 7

- - - +

= - + Û = - + Û = +

+

· Z 3i z i 3i z 3i

z 7

- - +

-= - - Û = - - Û = +

+

Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 2 78y

x 20

x y

78x

y 15

x y

ì

+ =

ï

+ ï

í

ï + =

ï +

ỵ

; 2

2

16x 11y

x

x y

11x 16y

y

x y

ì

-+ =

ï

+ ï

í +

ï - =

-ï +

ỵ Lời giải

Xét số phức z x yi= + với x,y Ỵ¡ , suy x yi2 2 ( ) z x y

-= *

+

1 Hệ suy

( ) ( )

2

78y

x 20

x y

78x

y i 15i

x y

ì + =

ï

+ ï

ớổ

ùỗ + ữ =

ùỗố + ữứ ợ

Ly ( ) ( )1 + vế theo vế, ta được:

( )

2 2

78y 78x

x y i 20 15i

x y x y

ổ

ỗ ữ

+ +ỗ + ÷ = +

+ è + ø

Phương trình ( )3 viết lại (x yi 78i.) x yi2 2 20 15i

x y

-+ + = +

+ hay ( )

78i

z 20 15i

z

+ = + ( )* , quy đồng mẫu số phương trình ( )4 rút gọn ta được: z2-5 3i z 78i 5( + ) + = ( ), phương trình ( )5 có biệt số D =(16 9i+ )2 nên có nghiệm z 3i= + z 18 12i= +

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) (x; y = 2;3 , 18;12) Hệ suy x 16x 11y2 2 i y 11x 16y2 2 i

x y x y

- ỉ +

+ + ỗỗ - ữữ=

-+ ố + ứ

2 2

x iy x iy

x iy 16 11i i

x y x y

-

-Û + + - =

-+ + ( )

2 16 11i

z i z i z 16 11i

z

-Û + = - Û - - + - = , phương trình có

hai nghiệm: z 3i,z 2i= - = + , hệ có nghiệm: ( )x; y =(2; 3- ) ( )x; y =( )5;2

(59)

Ví dụ Giải hệ phương trình:

3

10x

5x y

y 1

5x y

ỡ ổ + ử=

ù ỗ + ÷

ï è ø

í

ỉ

ù - =

-ỗ ữ

ï è + ø

ỵ

;

12

x

3x y 12

y

3x y

ì ỉ - ư=

ù ỗ + ữ

ù ố ứ

ớ

ổ

ù + =

ỗ ÷

ï è + ø

ỵ Lời giải

1 Đặt u= 5x, v= y với u,v 0> , hệ cho có dạng: 2 2

3

u

2

u v

3

v 1

u v

ỡ ổ + ử=

ù ỗ ữ

ù ố + ứ

ớ ổ ử

ù ỗ - ữ=

-ù ố + ứ

ợ Đặt z u iv= + u vi2 2

z u v -Þ =

+

Hệ suy u 23 2 iv 23 2 i

u v u v

æ + ử+ ổ - ử=

-ỗ ữ ỗ ữ

+ +

è ø è ø

2

u iv 3 2i

u iv i z

z

2

u v

-

-Û + + = - Û + =

+

( )

2

2z 2i z

Û - - + = , phương trình có: D = - -¢ 34 12 2i=( 6i- )2 suy có nghiệm 2i

z 2i, z

+

= - =

Do u,v 0> nên chọn z 2i

+

= u 2,v x ,y

2 10

= = Þ = =

Vậy, hệ cho có nghiệm ( )x; y ;1 10

ổ

= ỗố ữứ Cách 1:

Đặt u= 3x, v= y với u,v 0> , hệ cho có dạng: 2 2

12

u

u v

12

v

u v

ỡ ổ - ử=

ù ỗ ữ

ï è + ø

í

ỉ

ù ỗ + ữ=

ù ố + ứ

ỵ Đặt z u iv= + u vi2 2

z u v -Þ =

+

Hệ suy u 212 2 iv 212 2

u v u v

æ ö æ ö

- + + = +

ỗ ữ ỗ ữ

+ +

ố ứ è ø

2

u iv 12

u iv 12 6i z 6i

z

u v

-Û + - = + Û - = +

+

( )

2

z 3i z 12

Û - + - = , phương trình có: D = +¢ 6 3i 3 i= ( + )2 suy có nghiệm

( ) ( )

z= 3+ + 3 i, z+ = 3 3- + - i

Do u,v 0> nên chọn u= 3,v+ = 3+ , ( )x; y =(4 3;12 3+ + ) Vậy, hệ cho có nghiệm ( )x; y =(4 3;12 3+ + )

Cách 2: Điều kiện: x 0,y 0> >

Nhân phương trình đầu cho , phương trình sau cho số ảo i , cộng vế ta

( )

12

3x yi 3x yi 6i

y 3x

+ - - = +

(60)

Đặt z= 3x+ yi, phương trình ( )* trở thành: z 12 6i z

- = + , phương trình tương đương với

( )

2

z - 6i z 12 0+ - = Û = +z 3+(3+ 3i)

Với z 3 (3 3i) 3x 3

y 3

ì = +

ï

= + + + Û í

= + ïỵ

x y 12 ì = + ï Û í

= +

ïỵ

Ví dụ 6.Cho số phức z thoả mãn điều kiện 11z10+10iz9+10iz 11 0.- = Chứng minh z 1.= Lời giải

( )

10 9

11z +10iz +10iz 11 0- = Ûz 11z 10i+ =11 10iz- hay: z9 11 10iz 11z 10i

-=

+ (1)

Đặt z x yi= + với x,y RỴ Từ (1) suy ra:

( )

2 2

9

2 2

10 x y 11 220y

11 10iz z

11z 10i 11 x y 10 220y

+ + +

-= =

+ + + +

Suy ( )

2 2

18

2 2 2

21 z 21(1 x y )

z

11 (x y ) 100 220y 11 (x y ) 100 220y

= =

+ + + + + +

( 18 )( )2 ( )2

2 2

21 z

z 1 z

11 (x y ) 100 220y

-Þ - - = ³

+ + +

( )2 2

z z z

Þ - £ Û = Û =

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm bậc hai số phức:

1 z 6i= + z 33 56i= - z= - +1 4i z= - +5 12i Bài 2: Tìm bậc hai số phức sau:

1 3i

- + 2. (3 i)2

1 i

-+

3 (1 2i- )5 Bài 3: Giải phương trình sau trên£:

1 z2- -(1 3i z 2i 0) - - = 4z 7i z 2i z i

- - =

Đề thi Cao đẳng năm 2009

4

z z 200 0

1 7i

z + + - = ( ) ( )

3

z -3 2i z+ - 8i z 2i 0- - + = Bài 4: Giải phương trình sau trên£:

1 z2+ -(1 5i z i) (- + =) z2+(3 2i z 5i 0- ) + - = ( )1 i z- 2-2 2i z 0( + ) - =

2 z2-(3 4i z 5i 0+ ) + - = z2-8 i z 63 16i 0( )- + - = z2+(2i z 5i 0+ ) + - = Bài 5: Giải phương trình sau trên£:

1 z3+2 i z( )- 2+(5 4i z 10 0- ) - = z3-3 i z( - ) 2+2 9i z 30i 0( - ) + =

2 z3+(4 5i z- ) 2+4 5i z 40i 0( - ) - =

Bài 6: Giải phương trình: z z z

ổ +

=ỗ - ÷

-è ø , biết z 4i= + nghiệm phương trình

(61)

Bài 7: Giải phương hệ trình sau trên£: ( )

( )

2

1

z z 2i

z z i

ì + = +

ï í

+ =

-ïỵ Bài 8: Giải hệ phương trình: 2

2 3x y

x

x y

x 3y

y

x y

ì

-+ =

ï

+ ï

í +

ï - =

ï +

ỵ

,

1

3x

x y

7y

x y

ỡ ổ + ử=

ù ỗ + ữ

ï è ø

í

ỉ

ï ỗ - ữ=

ù ố + ứ

ợ Bài 9:

1 Tìm số thực a, b để: 2z3-9z2+14z (2z 1)(z- = - 2+az b)+ giải phương trình sau C:

3

2z -9z +14z 0- =

2 Tìm số thực a, b để : z4 -4z2-16z 16 (z- = 2-2z 4)(z- 2+az b)+ giải phương trình sau C: z4-4z2-16z 16 0- =

Bài 10:

1 Tìm tất cá giá trị thực m để phương trình sau có nghiệm thực: z3+ +(3 i)z2-3z (m i) 0- + =

2 Biết phương trình (1 i x- ) 2+ l +( i x i) + + l =0 khơng có nghiệm thực Tìm giá trị có của l. Bài 11: Giải hệ sau tập số phức

1 12 22

1

z z z z 2i

z z 11 2i

ì + + =

-ï í

+ =

-ïỵ

z z z z z ì = ï í

+ =

ï ỵ

Bài 1:

1 Xét số phức: w = +x iy x,y( Î¡),

w bậc hai số phức z 6i= + w = +2 6i

2 2

2

2 2

x y x x

x y

y

2xy x y 10 y

ì ì

ì - = - = = ì =

-ï ï ï

Þí Þí Ûí Þí =

-= + = =

ï ï ï ỵ

ỵ ỵ ỵ

x y ì = í = ỵ Vậy, z 6i= + có bậc w = - -3 i w = +3 i Xét số phức: w = +x iy x,y( Ỵ¡),

w bậc hai số phức z 33 56i= - w =2 33 56i

-2 2

2

2 2

x y 33 x 49 x

x y 33

y

2xy 56 x y 65 y 16

ì ì

ì - = - = = ì =

ï ï ï

Þí Þí Ûí Þí =

-= - + = =

ï ï ï ỵ

ỵ ỵ ỵ

x

y ì = -í = î Vậy, z 33 56i= - có bậc w = -7 4i w = - +7 4i Xét số phức: w = +x iy x,y( Ỵ¡),

w bậc hai số phức z= - +1 4i w = - +2 4i

( ) ( ) 2

2 x y 1 1

x y

2xy xy

ì

ì - = - - =

-ï ï

Þí Ûí

= =

ï ï

ỵ ỵ

Với x 0¹ phương trình ( )2 suy y x

= , thay vào ( )1 , ta được:

2

x

12

x x x 12 x

x x

é = -ê

- = - Û + - = Û Û = ±

(62)

-4 Xét số phức: w = +x iy x,y( Ỵ¡),

w bậc hai số phức z= - +5 12i (x iy+ )2 = - +5 12i Ûx2-y2+2ixy= - +5 12i

2 2

2

2 2

x y x x

x y

y

2xy 12 x y 13 y

ì ì

ì - = - - = - = ì = ±

ï ï ï

Þí Þí Ûí Ûí = ±

= + = =

ï ï ï ỵ

ỵ î î

Vì x,y dấu nên chọn x

y

ì = í =

-ỵ

x y ì = í =

ỵ

Vậy, z= - +5 12i có bậc w = - -2 3i w = +2 3i Bài 2:

1 Gỉa sử z x yi,x,y= + Ỵ¡ bậc hai số phức 3i - +

2

2 2 x y

z 4 3i x y 2xy.i 4 3i

2xy

ì - =

-ï

Þ = - + Û - + = - + Û í

ï =

ỵ

2 4 2

2

3 3

y y y x

2x 2x 2x

3

9 y

x x 4x 5x 9 0 2

4

4x 4x

ì ì ì

= = ì = ±

ï ï =

ï ï ï ï

Ûí Ûí í Ûí

= ±

ï - = - ï - = - ïỵ + - = ïỵ

ï ï

ỵ ỵ

Vậy 3i

4

- + có hai bậc hai : 3i

+ 3i - - Ta có: ( )

2 i

7 i i

=

-+ Gỉa sử z x yi,x, y= + Ỵ¡ bậc hai số phức i

-2

2 2 x y

z i x y 2xy.i i

2xy

ì - =

ï

Þ = - Û - + = - Û í

= -ïỵ

2 4 2

2

3 3

y y y x

2x 2x 2x

3

9 y

x 4 x 4 4x 5x 2

4x 4x

ì = ì = ì

ì = ±

ï ï =

ï ï ï ï

Ûí Ûí í Ûí

= ±

ï - = - ï - = - ïỵ + - = ïỵ

ï ï

ỵ ỵ

Vậy i- có hai bậc hai là:1 3i

2

+ 3i - - Ta có: (1 2i- )5=41 38.i+

Gỉa sử z x yi,x, y= + Ỵ¡ bậc hai số phức 41 38.i+

2

2 2 x y 41

z 41 38.i x y 2xy.i 41 38.i

2xy 38

ì - =

ï

Þ = + Û - + = + Û í

= ïỵ 41 25

x

2 25 41 y

2

ì +

ï = ± ï Û í

ï

-= ± ï ỵ

Vậy (1 2i- )5 có hai bậc hai 41 25 25 41i

2

+

-± ±

Chú ý: Ta giải tốn sau:

Ta có: (1 2i- ) (5 = 2i- )2 2i- = - -( 4i 2i) - (*)

Do ta cần tìm hai bậc hai 2i- thay vào (*) thực phép nhân Bài 3:

(63)

1 Ta có: D =(1 3i- )2+ +8 8i 6i 9i= - + 2+ +8 8i 2i=

Gọi w = +x yi, (x,¡) bậc hai D tức w = D2

2

2 x y x y

x y 2xyi 2i i

x y

2xy

ì - = ì = =

ï

Û - + = Þí Ûí = = - Þ w = +

=

ï ỵ

ỵ

Kết luận phương trình có nghiệm là: z1= -1 i, z2= -2i Điều kiện: z i¹

Phương trình cho tương đương với: 4z 7i- - =(z i z 2i- )( - ) hay z2-(4 3i z 7i 0+ ) + + = ( )* Cách 1: phương trình có biệt số D = -3 4i Û D =i2- + = -4i (i 2)2

( )* Û = +z 2i z i= +

Cách 2: Gọi d = +x yi (x,y Ỵ¡) bậc hai D , (x yi+ )2 = -3 4i hay x2-y2+2xyi 4i= - suy

2

x y

2xy

ì - =

ï í

=

-ïỵ Û( ) (x; y = 2; 1- ), (-2;1)

( )* Û = +z 2i z i= +

Vậy, phương trình cho có hai nghiệm z 2i= + z i= + Ta có:

4

2

z

z z z z

z

= Þ = 200 ( 200 7i()( ) ) 28i 7i 7i 7i

+

= = +

- - +

Phương trình cho tương đương với z2+ + +z 28i 0= ( )* , phương trình có biệt số

( )2 15 112i 8i

D = - - =

-Khi phương trình ( )* có nghiệm z 4i= - z= - +4 2i Với z 4i= - suy z 4i= +

Với z= - +4 2i suy z= - -4 2i

Vậy, phương trình cho có nghiệm z= - -4 2i z 4i= + Phương trình cho viết thành: (z z- )ëé 2-2 3i z 2i 5( + ) + - ùû=0

( ) ( )

2 z

z 3i z 2i é =

Û ê

- + + - = *

êë

Phương trình ( )* có D =' (1 2i+ )2 nên( )* có nghiệm z i, z 5i= = + Vậy, phương trình cho có nghiệm z 1= z i, z 5i= = + Bài 4:

1 Vì D =(1 5i- )2+4 i( + = -) 6i=(3 i- )2nênz1= +1 2i z2 = - +2 3i Vì D = - +3 4i 4i i= + + 2= +(i 2)2 nênz1= +2 3i z2= +1 i z= - +1 3i, z= - -2 i

4 Vì D = - -63 16i=(1 8i- )2 nên z1= -5 12i z2= +3 4i z 2i= , z= - +1 i

6 Ta có: D =(2i 1+ )2-4 5i( - )= - +7 24i=(3 4i+ )2 4i

Þ d = + bậc hai D

Vậy phương trình có hai nghiệm: z1= +i 1; z2 = - -2 3i Bài 5:

(64)

3 z= -3i, z i, z i= - = + Bài 6: z 4i, z 4i, z 9= + = - =

Bài 7: 21 22

1

z z i

z z 2i

z z 5i

z z i

ì + = + ì + =

-ï Ûï

í í =

-+ = - ï

ï î

î

z , z nghiệm phương trình: z2-(4 i z 5i 0- ) + - = ( )3 Ta có: D = - +5 12i 2.2.3i i= + + 2=(2 3i+ )2

Phương trình ( )3 có nghiệm z 2i= - z i= + Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm:

2 z 2i

z i

ì = -ï

í = +

ïỵ

1

z i

z 2i

ì = +

ï

í =

-ïỵ Bài 8:

1 x2+y2¹0, đặt z x iy= + x yi2 2 z x y

-Þ =

+

Từ hệ phương trình cho suy x 3x y2 2 i y x 3y2 2

x y x y

- æ +

+ + ỗỗ - ữữ=

+ ố + ø

( )

2 2

3 x yi x yi i

x iy i z

z

x y x y

- -

-Û + + - = Û + =

+ + hay

2

z -3z i 0.+ - = Phương trình có nghiệm z i;z i= + =

-Do hệ cho có nghiệm ( ) ( )x; y = 2;1 ( ) (x; y = 1; - ) x 0,y 0> > Đặt u= x, v= y với u,v 0>

Hệ cho có dạng: 2

2

1

u

3

u v

1

v

7

u v

ỡ ổ + ử=

ù ỗ ÷

+

ï è ø

í

ổ

ù - =

ỗ ữ

ï è + ø

ỵ

, đặt z u iv u vi2 2 z u v

-= + Þ =

+

Từ hệ phương trình cho suy u iv u iv2 2 2i z 2i z

3 7

u v

-+ + = + Û + = +

+

2

z i z

3

ỉ

-ỗỗ + ữữ + =

ố ứ ,

phương trình có 2i 21

ổ

D =ỗ + ữ

ố ø nên có nghiệm

1 2 2 2

z i 2i i

3 21 21

ỉ

ổ

= + +ỗ + ữ= + +ỗỗ + ÷÷

è ø è ø

1 2 2 2

z i 2i i

3 21 21

ổ

= + -ỗ + ữ= - +ỗỗ - ữữ

ố ứ ố ứ

Hệ cho có nghiệm ( )x; y 2 2;

3 21

ỉ

=ỗỗ + + ữữ

ố ứ hoc

2 2; 2

3 21

ổ

-

-ỗ ữ

ỗ ÷

è ø

Bài 9:

1 2z3-9z2+14z (2z 1)(z- = - -4z 5)+

3

2z 9z 14z z ;z i

2

Þ - + - = Û = = ±

2 z4-4z2-16z 16 (z- = 2-2z 4)(z- 2-2z 4)+

4

z 4z 16z 16 z 5;z 3i

Þ - - - = Û = ± = ±

Bài 10:

1 z nghiệm thực phương trình

3

2

z 3z 3z m

m 1;m

z

ì + - - =

ï

Ûí Û = =

- =

ïỵ

(65)

(1 i r- ) 2+ l +( i r i) + + l = Û0 r2+ l + + - + + l =r i r( r ) 0

( )

( )( ) ( )

2 2

2

r r r r r r 1

r r 1 r

r r

ì + l + = ì + l + = ì + l + =

ï ï ï

Ûí Ûí Ûí

l + + l + = l + + =

- + + l = ï ï

ï ỵ ỵ

ỵ Từ phương trình

( )2 ta có:

*) Nếu l = -1 từ ( )1 suy r2- + =r 0, phương trình khơng có nghiệm thực. *) Nếu r= -1 từ ( )1 suy 1- l + = Þ l =1

Vậy phương trình cho khơng có nghiệm thực l ¹2 Bài 11:

1 Đặt S z= 1+z ;P z z2 = 1 2

Ta có hệ : S P 2i2 S i P i

S 2P 11 2i

ì + = - ì =

-ï Û

í í =

=

-ï ỵ

ỵ

S i

P 13 3i ì = - + í =

-ỵ

Từ ta tìm nghiệm (z ;z )1 2 i; i , i;7 i

2 2

æ ổ

=ỗ - - - ữ ỗ- - - ÷

è ø è ø

2 Vì z 1= nên đặt z cosx isin x,x [0; ).= + Ỵ p Ta có z2=cos 2x i sin 2x, z+ =cos2x isin2x- nên

2 2

2

z z z z z z

1 cos 2x

z z zz z

+ +

= + = = =

2 1 k

cos 2x cos4x x ,k

4

p p

Û = Û + = Û = ± + ẻÂ

Vỡ x [0;2 )ẻ p nờn cỏc nghiệm x

1 5

x ,x ,x ,x ,x ,

6 3 6

p p p p p

= = = = =

6 11

x ,x ,x

3

p p p

= = =

Vậy zk =cos xk+isin x ,k {1;2; ; 8}.k =

Dạng 4.Phương trình quy bậc hai CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải phương trình sau trên£ : z4 z3 z2 z

- + + + =

Bài 2: Giải phương trình:

1 z4-(2 i z- ) -2i 0= 2z4-7z3+9z2-7z 0+ = 4z4-(6 10i z+ ) 3+(15i z- ) 2+(6 10i z 0+ ) + =

4 z4-(3 i z+ ) 3+(4 3i z+ ) 2-2 i z 0( + ) + = 25 5z( 2+2)2+4 25z 6( + )2 =0

Bài 3: Giải phương trình: (z 4+ ) (4+ z 6+ )4 =82 (z2 -1)4 =16 z 1( - )4

2 (z2+1)2+(z 3+ )2=0 z z z z 3( + )( - )( + )=10 Bài 4: Gọi z ,z ,z ,z nghiệm phức phương trình1 2 3 4

4

z 1

2z i ổ - = ỗ - ữ

ố ứ Tính ( )( )( )( )

2 2

1

(66)

Bài 1: Vì z 0= khơng nghiệm phương trình, nên chia vế phương trình cho với z , ta phương2 trình: z z

z z

æ - -ổ - ử+ =

ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø ( )*

Đặt t z z

= - , phương trình ( )* trở thành: t2 t

- + = Û t2 t

4

- + = - Û

2

1 3i

t

2

æ - =ổ

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø

1 3i t

2 +

Û =

1 3i t

2 -=

Với t 3i

-= tức z 1 3i

z

= Û2z2- -(1 3i z 0) - = Û = -z i z 1i 2 = - - Với t 3i

2 +

= tức z 1 3i

z

+

- = Û2z2- +(1 3i z 0) - = Û = +z i z 1i 2 = - + Vậy, phương trình cho có nghiệm z i,= - z i,= + z 1i,

2

= - - z 1i

2 = - + Bài 2:

1 t2-(2 i t 2i 0- ) - = ,(t z= 2)Û =t t= -i Suy ra: z i 2,z 2( i)

Þ = ± = ± - +

2 Nhận thấy z 0= khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z ta được:2

2

1

2 z z

z z

ỉ + ư- ỉ + ư+ =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ

è ø

2

2t 7t 0,

Þ - + = t z t

z

ổ = + ử =

ỗ ữ

è ø

5 t

2

= z i 3,

2 ±

Þ = z 2, z

2

= =

3 z2 12 (6 10i z) 15i z 2,z 1,z 2i,z 1i

z 2

z

ỉ + ư- + ỉ - ư+ - = Þ = = - = =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ

ố ø

4 ( )

2

4

z i z 3i

z z

ỉ + ư- + ỉ + ư+ + =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ

è ø

5 Phương trình Û(25z2+10)2-(50iz 12i+ )2=0

(25z2 50iz 10 12i 25z)( 50iz 10 12i) 0

Û + + + - + - =

( ) ( )

2

2 2

5z 5i 35 12i 6i 25z 50iz 10 12i

25z 50iz 10 12i 5z 5i 35 12i 1 6i é

é + + + = ê + = - - =

-ê

Û Ûê

ê - + - = - = - + = +

ë êë

1

3

1 11i i

z ;z

5

1 11i i

z ; z

5

é = - =- +

ê Û ê

+

-ê = =

êë

Bài 3:

1 t4+6t2-40 0,= t z z

æ = + + = +

ỗ ữ

è ø

2

t

Û = t2= ±i 10Þ = -z 3,z= -7,z= - ±5 i 10 (z2+1)2=i z 32( + )2

3 z= ±1,z 2i 1, z= - = - +2i 1,z= -3 (z2+2z z)( 2+2z 3- )=0

Bài 4: Ta có phương trình Ûf z( ) (= 2z i- ) (4- z 1- )4 =0

(67)

( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)

f z =15 z z z z- - z z- z z -Vì z12 (z1 i z)( 1 i) P f i f i( ) ( )

225

-+ = - + Þ =

Mà f i( )=i4- -( )i 1 =5; f i( ) ( ) ( )- = -3i - +i 14 =85 Vậy P 17

9

=

Dạng 5.Dạng lượng giác số phức

Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác Từ viết dạng đại số z2012

1 z= - +2 2i z= 6- 2i z cos isin

8

p p

= - +

Lời giải

1 Ta có:

2

r ( 2) 2

r 2

2

sin 3

2 2

4

cos

2 ì

ï = - + =

ï ì =

ï ï

j = = Þ

í í p

j =

ï ïỵ

ï

j = -ï

ỵ

Vậy z 2 cos3 isin3

4

æ p p

= ỗ + ữ

ố ø

( )

2012

2012 2012 3 3018 3018

z (2 2) cos isin cos503 isin 503

4

æ p p

ị = ỗ + ữ = p + p =

-è ø

Vậy z2012 = -23018

2 Ta có: z 2 1i 2 cos isin

2 6

ỉ ỉ ỉ p ỉ p ưư

= ỗỗ - ữữ= ỗ ỗ- ữ+ ỗ- ữữ

è ø è ø

è ø

2012 3018 1006 1006 3018 2

z cos i sin cos isin

3 3

ỉ - p - p ỉ p p

ị = ỗ + ữ= ỗ + ÷

è ø è ø

3018 3017

2 i ( 3i)

2

ổ

= ỗỗ- + ữữ= - +

è ø

3 Ta có:

z sin 2isin cos 2sin sin icos

16 16 16 16 16 16

p p p p ỉ p p

= + = ỗ + ữ

ố ứ

7

2sin cos isin

16 16 16

p æ p p

= ỗ + ữ

ố ø

2012 2012

2012 7

z 2sin cos isin

16 16 16

æ p ổ p p

ị =ỗ ữ ỗ + ÷

è ø è ø

2012 3521 3521

2sin cos isin

16 4

ổ p ổ p p

=ỗ ữ ỗ + ữ

ố ứ ố ứ

2012 2012 2 2

2sin cos isin 2sin i

16 4 16 2

ỉ

ỉ p ỉ p p ỉ p

=ỗ ữ ỗ + ữ ỗ= ữ ỗỗ + ÷÷

(68)

Ví dụ Gọi z ,1 z nghiệm phương trình:2 z2- +(1 i z 4i 0)( )- - = Tính giá trị biểu thức 2012 2012

1

Q z= +z Lời giải

Phương trình: z2- +(1 3 i z 4i 0)( )- - = có biệt số D =2i 3( - ) Dễ thấy 3- =( ,- )2 2i= +( )i 12 Khi D =éêë( i 1- )( )+ ùúû2 Suy phương trình cho có nghiệm z1= i,- z2 = -1 i

Mặt khác z1 i cos i sin ,

6

é ỉ p p = - = ờ ỗ- ữ+ ỗ- ÷ú

è ø è ø

ë û

1

z i cos isin

3

é ỉ p ỉ p ứ = - = ờ ỗ- ữ+ ỗ- ữỳ

ố ứ è ø

ë û

Khi : Q 22012 cos 2012 isin 2012 cos 2012 isin 2012

6 3

é ỉ p ỉ p ỉ p ỉ p ứ

= ờ ỗ- ữ+ ỗ- ữ+ ỗ- ữ+ ỗ- ữỳ

è ø è ø è ø è ø

ë û

2012 3 2012

Q i i

2 2

ổ

= ỗỗ- + - - ữữ=

-è ø

Ví dụ Tìm số phức z cho z và5 12

z hai số phức liên hợp Lời giải

5

z =r (cos5j +isin )j

( )

2 2

1 cos2 isin

z r cos2 i sin r

j - j

= =

j + j =r1 cos isin 22 éë (- j +) (- j)ùû Do z và5 12

z hai số phức liên hợp

5

1 z

z

=

Hay là: r cos 55 ( ) i sin 5( ) 12 cos 2( ) i sin 2( ) r

é - j + - j =ù é - j + - j ù

ë û ë û

( )

5

1 r

r k z cosk2 isink2

k2

r 3 3

5 k2 3

ì = ì =

p p

ï ï

Ûí Ỵ Ûíj = pÞ = +

ï j = j + p ùợ

ợ

Â

Vỡ jẻ[0; )p nên k {0;1;2}.=

Vậy số phức cần tìm z cosk2 i sink2

3

p p

= + với k {0;1; 2}.=

Ví dụ Giải phương trình cos x cos 2x cos 3x

- + =

Lời giải

Đặt z cosx isin x= + cosx z2 1,cos2x z4 21,cos3x z6 31

2z 2z 2z

+ + +

= = =

Phương trình cho trở thành: z2 z4 21 z6 31

2z 2z 2z

+ - + + + =

6

z z z z z z

Û - + - + - + = ( )*

Vì z 1= khơng nghiệm phương trình, nên z 1¹ ta có:

( )* Û(z z+ )( 6-z5+z4-z3+z2- + = Ûz 0) z7+ =1 0

(69)

Hay z7 = - =1 cosp +isinp nênz cos k2 i sin k2

7

ỉ p + p ỉ p + p

= ỗ ữ+ ỗ ữ

ố ứ ố ø với k 0;6.= Vì z 1¹ nên khơng nhận giá trị k 3.=

Vậy, phương trình cho có nghiệm: x m2 , x m2

7

p p

= + p = + p

5 11 13

x m2 ,x m2 ,x m2 ,x m2

7 7

p p p p

= + p = + p = + p = + p vi mẻÂ

Ví dụ Giải phương trình : cos x cos3x cos 5x cos7x cos9x

+ + + + =

Lời giải

Ta có cosx= ±1 khơng nghiệm phương trình Đặt z cosx i sin x= + với xỴ éë0;2 p)

Ta có z¹ ±1,z-1=cosx isin x- và:

1 n n

2cosx z z ,2cosnx z= + - = +z -Vậy phương trình cho trở thành:

3

1 1 1

z z z z z

+ + + + + + + + + + + =

2 18 20 11

1 z z z z z z z

Û + + + + = Û - =

-(z11 1 z)( 1 0) z11 1,z9 1

Û + - = Þ - =

· Nếu z9 =1 z9=cos0 isin0+ nên z cosk2 isink2 , k 0; 8

9

p p

= + =

Vỡ xẻ ộở0;2p) v zạ nờn x k2 ,k 1;

p

= =

Do nghiệm phương trình cho x k2 2m k 1;8 ,m( )

p

= + p = ẻÂ

Ã Nu z11= -1thì z11=cosp +isinp nên:

k2 k2

z cos isin ,k 0;10

11 11

p + p p + p

= + =

Vỡ xẻ ộở0;2p) v zạ nờn x k2 ,k 0; 11

p + p

= =

Suy nghiệm cần tìm x k2 2m k 0;9 ,m( ) 11

p + p

= + p = ẻÂ

Vy cỏc nghim phương trình là: x k2 2m k 1;8 ,m( )

p

= + p = ẻÂ

( )

k2

x 2m k 0;9 ,m

11 p + p

= + p = ẻÂ

CC BI TON LUYN TP Bài :

1 Tính A= +( )1 i 12+ -( )1 i 12

2 Tìm phần thực phần ảo số phức

3 i z

1 i

ỉ +

= ỗỗ ữữ +

ố ứ

thi Đại học Khối B – năm 2011 Cho số phức z ,z thỏa mãn1 2 z1-z2 = z1 = z2 >0 Tính

4

1

2

z z

A

z z

ổ ổ

=ỗỗ ữữ +ỗỗ ÷÷

(70)

4 Cho số phức z thỏa mãn ( )

2

1 3i z

1 i -=

- Tìm mơđun số phức z iz+

Đề thi Đại học Khối A – năm 2010 Bài :

1 Tính giá trị biểu thức 2 ( )k 2k 1004 2008 1006 2010

2010 2010 2010 2010 2010 2010

S C= -3C +3 C + + - C + + C -3 C Rút gọn biểu thức:

A cosx cos 2x cos3x cosnx= + + + + B sin x sin 2x sin3x sinnx= + + + + Bài : Tính tích phân

1

cos 5x

I dx

cosx p

=ò

2

sin5x

J dx

sinx

pổ ử

= ỗ ữ

è ø

ò

Bài : Cho dãy số ( )un xác định u1=1, u2 =0, un 2+ =un 1+ -un " ẻn Ơ* Chng minh ( )un bị chặn Bài : Viết số phức sau dạng đại số

1

2012

1 i z

1 3i

ỉ -

= ỗ ữ

-ố ứ ( )

40 19

z (1 i)= + 1+ 3i Bài : Cho ba số phức z ,z ,z thoả mãn hệ:1 2 3 11 22 33

2

z z z

z

z z 1

z z z

ì = = =

ï

í + + =

ï ỵ

Tính giá trị biểu thức T az= 1+bz2+cz3 với a,b,cỴ¡ Bài : Viết dạng lượng giác số phức sau:

1 z= - +3 3i z cos isin

6

ỉ p p

= - ỗ + ữ

ố ứ

3 z cos isin

9

p p

= - z sin icos

7

p p

=

-5 z sin icos

8

p p

= - + ( ) ( )

( )

7

9

1 3i i

z

1 i

- - +

=

-Bài : Viết số phức sau dạng đại số

1 z 1= + 3i z (1 i)= - -11 3.

5 (1 3) z

(1 i) -=

+ z (1 i) ( i)10 10 2i

( 3i)

- +

= +

- -

34 20

22 (1 2i) (1 i) z

( i)

+ +

=

-Bài : Tìm số phức z dạng lượng giác biết rằng:

1 z 2= argument (1 i z+ ) 12p zz 9= argument (1- 3i z)

4 p z

4

= argument z

3 i+ 23p z

16

= argument z i 3i( )( ) 13 3i

- +

- + 12p

Bài 10 : Tìm số nguyên dương n để số phức sau số thực? số ảo?

n 13 9i

12 3i

ổ +

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ

( )

n 2n 17i 3i

+

( )

n 2n 59 11 3i 3 2i

(71)

Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn: z và4 13

z hai số phức liên hợp z và3 322

z hai số phức liên hợp Bài 1:

1 i 1 i cos isin ,1 i cos isin

4 4

2

ỉ æ p p ö æ p p ö

+ = ỗ + ữ= ỗ + ữ - = ỗ - ÷

è ø è ø

è ø

( ) ( )12 12 12 12 12

A i i cos isin cos i sin

4 4

éæ p p ö æ p p ö ù

ê ú

= + + - = ỗ + ữ +ỗ - ÷

êè ø è ø ú

ë û

( )

64 2cos3 128

= p =

-2

3

2 cos isin

3 cos isin

z 3 3

cos isin

2 cos isin 4 4

4

é ỉ p+ p ù

ê ç ÷ ú p + p

è ø

ê ú

= =

ê æ p+ p ửỳ p+ p

ờ ỗố ữứỳ

ở ỷ

3

2 cos isin 2 cos isin 2i

4 4

é ỉ p ỉ p ứ é p pù

= ờ ỗp - ữ+ ỗp - ữỳ= ờ + ú= +

è ø è ø ë û

ë û

Vậy phần thực z phần ảo z Đặt

2

z w

z = w a bi a, b= + ( Ỵ¡), z1-z2 = z1 = z2 >0 Û z w z2 - = z w z2 = >0 tương đương với w w 1- = = tức (a 1- )2+b2=a2+b2=1 hay a 1, b

2

= = ±

* Với w 3i cos isin

2 3

p p

= + = + Ta ców4 cos4 isin4

3

p p

= + cos4 isin4

w 3

ổ = p- p

ỗ ữ

è ø Do

4

A 2cos

3 p

= = -

* Với w 3i

2

= - , tương tự ta có A= -1 Cách 1:

Ta có: z 1(1 3i)3( )1 i 1(1 3i 3.1.3i2 3i3)( )1 i

2

= - + = - + - +

( )( ) ( )

1 3i 3i i i

= - - + + = - + Þ = - -iz 4i

Do z iz+ = - -4 4i 4i i 2- - = + = Cách 2: Ta có (1 3i) cos i sin

3

æ ổ p ổ p ửử - = ỗ ỗ- ữ+ ỗ- ữữ

ố ứ ố ứ

ố ø

Þ(1- 3i)3=8 cos( ( )-p +isin( )-p = -)

( )

8 i

z 4i

1 i

- +

-Þ = = =

-( ) ( )

z iz 4i i 4i i z iz

Þ + = - - + - + = - + Þ + =

Bài :

1 1 i 3( )2010 (1 i 3)2010 C02010 3C22010 C2 42010

é + + - ù= - + +

ê ú

ë û ( )

k k 2k 1004 2008 1005 2010

2010 2010 2010

1 C C C

(72)

-( )2010 ( )2010 i 3+ + -1 i =

2010 2010 2010 2010 -2010 -2010

2 cos sin cos sin

3 3

ỉ p p ỉ p p

= ỗ + ữ+ ỗ + ữ

ố ứ è ø

2 A iB cos x isin x+ + = +( + ) (+ cos2x isin 2x cosnx isin nx+ )+ +( + )

( ) ( )2 ( )n

1 cosx i sin x cosx i sin x cosx i sin x

= + + + + + + +

( )

( ) ( ) ( )

n

1 cos x isinx cos n x isin n x cos x isinx cos x isin x

+ - + - + - + = = - + 2

n n n

2sin x 2isin xcos x

2 2

x x x

2sin 2isin cos

2 2

+ - + +

=

-n n n

sin x sin x icos x

2 . 2

x x x

sin sin icos

2 2

+ + - +

=

-n n x x

n sin x icos x sin icos

sin x 2 2 2 2

2 . x sin ổ + + ửổ + ỗ - ữỗ + ÷ è øè ø =

(n x)

n nx n nx

sin x nx nx sin cos sin x.sin

2 cos isin 2 i 2

x 2 x x

sin sin sin

2 2

+

+ +

é ù

= ê + ú= +

ë û

So sánh phần thực phần ảo vế ta thu kết quả:

(n x) nx

sin cos

2

A x

sin +

= - ,

n nx

sin x.sin 2 B x sin + =

Bài : Để ý cos5x isin 5x+ =(cos x isinx+ )5

1 Suy cos5x cos x 10cos xsin x 5cos xsin x= - + Suy sin5x 5sin x.cos x 10sin xcos x sin x= - +

Bài : Phương trình đặc trưng dãy số cho x2- + =x có nghiệm phức x1 cos i sin

3

p p

= - ,

2

x cos i sin

3

p p

= + , nên un A.cosn n B.sinn

3

ổ p p

= ỗ + ÷

è ø, n

*

" Ỵ¥ Vì u1=1, u2 =0 nên có

1

u A.cos B.sin

3

2

u A.cos B.sin

3

ì = = p+ p

ïï

í p p

ï = = +

ïỵ

tức A B 12 A B

2 ì + = ïï Û í ï- + = ïỵ A B ì = ï í = ï ỵ

Suy un cosn 3.sinn

3 3

p p

= + , " ẻn Ơ* Vy,

2

n n n

u cos sin

3 3

ỉ

p p

= + Ê + ỗỗ ữữ

ố ứ , n

*

" ẻƠ tc ( )un bị chặn

Bài :

1 Ta có: i cos( ) isin( )

4

ỉ p p

- = ỗ - + - ữ

ố ứ v 3i cos( 6) isin( 6)

æ p p

- = ỗ - + - ữ

è ø

1 i 1 cos( ) isin( )

12 12

1 3i

- æ p p

ị = ỗ - + - ÷

- è ø

(73)

2012 1006

1 i cos( 503 ) isin( 503 )

3

1 3i

æ - ổ p p

ịỗ ữ = ỗ - + - ữ

- ố ứ

è ø

1006 1007 1007

1 3i i

2

2 2

ổ

= ỗỗ + ữữ= +

è ø

2 Ta có: i cos isin

4

ỉ p p

+ = ỗ + ữ

ố ứ

19 3

(1 i) 2 cos i sin

4

ỉ p p

ị + = ỗ + ữ

ố ứ

1 3i cos isin

3

ổ p p

+ = ỗ + ữ

è ø

40 40 2

(1 3i) cos( ) isin( )

3

ổ p p

ị + = ỗ - + - ÷

è ø

49 3 2

z 2 cos isin cos( ) isin( )

4 3

æ p p ửổ p p

ị = ỗ + ữỗ - + - ữ

ố ứố ứ

( )

49 48

2 cos isin ( 1)i

12 12

ổ p p

= ỗ + ữ= + +

-è ø

Bài : Vì z1 = z2 = z3 =1 nên

2

z

z z

1,

z = z = z = đặt:

1

2

z cosx isin x,z cos y i sin y

z = + z = +

Suy 3 ( ) ( )

1

z z z

cos x y isin x y

z =z z = - - +

-Mà

2

z

z z

1 z +z +z = nên

( )

cos x cosy cos x y sin x sin y sin x y

ì + + - - =

ï í

+ + - - =

ïỵ Ta có sinx sin y sin x y= + + (- - )

x y x y x y x y

2sin cos sin cos

2 2

+ - + +

=

-x y x y x y x y x y

2sin cos cos 4sin sin sin

2 2 2

+ ổ - + +

= ỗố - ÷ø=

Suy x k2= p y k2= p x y k2 ,+ = p hai ba số z ,z , z Giả sử1 2 3 z1=z2

thì 3

3

z z

z 0 z

z +z = Ûz = -z hay ta có

3

1

z 1 z iz

z æ

= - ị = ỗ ữ

è ø Do đó: az1+bz2+cz3 =az1+bz1±icz1

( )2

1

z a b ic a b c

= + ± = + +

Vậy T nhận ba giá trị sau: (a b+ )2+c2 (b c+ )2+a2 (c a+ )2+b Bài :

1 z cos3 isin3

4

ổ p p

= ỗ + ÷

è ø

5

z cos isin

6

æ - p - p

= ỗ + ữ

è ø

3 z cos isin

9

ổ p ổ p = ỗ- ữ+ ỗ- ữ

ố ứ ố ứ

5

z cos isin

14 14

æ p ổ p

= ỗ- ữ+ ỗ- ÷

è ø è ø

5 z cos sin cos5 i sin5

16 16 16 16

ổ p p ửổ p p

=ỗ - ữỗ + ữ

ố ứố ứ ( )

21 11 11

z cos isin

12 12

ổ p p

= ỗố + ÷ø

Bài :

1 z 210 cos isin 10 i 39( )

3

ổ p p

= ỗ + ÷ = - +

(74)

2 z 11 cos isin 11 ( i)

1 i 64 4 64

ỉ ổ p p

=ỗ ữ = ỗ + ÷ = - +

-è ø è ø

3 z cos( ) isin( )9( ) 64(1 i)

5

4 cos isin

4

- p + - p

= =

-ỉ p+ p

ỗ ữ

ố ứ

4 z= -1 z 2= 22

Bài :

1 z cos isin

6

æ p p

= ỗ + ữ

ố ứ

7

z cos isin

12 12

ỉ - p - p

= ç + ÷

è ø

3 z cos5 i sin5

2 6

æ p p

= ỗ + ữ

ố ứ ( )

3

z cos isin

16

= p + p

Bài 10 :

1 z ( i)n cosn n i sinn

6

ỉ p p

= + = ỗ + ữ

ố ứ

zỴ Û =¡ n 6k,zỴ£ ¡\ Û = +n 6k,kẻÂ z i( )n ( )2 n cos n isin n

4

æ - p - p

= - = ỗ + ữ

ố ứ

zẻ =Ă n 4k,zẻÊ Ă\ = +n 4k,kẻÂ z ( 3i)n cosn 4n isin4n

3

æ p pử

= - - = ỗ + ữ

ố ứ

zẻ =Ă n 3k,kẻÂ Khụng tồn n để z số ảo Bài 11 :

1 z cos0 i sin0= = +

2 zk cos2k isin2k , k {0;1; 2;3; 4}

5

ỉ p p

= ỗ + ữ =

ố ứ

Dng 6.Cực trị số phức

Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z 3i 3- + = Tìm số phức z có modul nhỏ Lời giải

Đặt z a bi a, b= + ( Ỵ¡) Khi z 3i 3- + = Û (a 4- + +) (b i) =3

(a 4)2 (b 3)2

Û - + + = Do điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn tốn nằm đường trịn ( )C tâm I 4; 3( - )và bán kính R 3=

z đạt giá trị nhỏ điểm M CỴ( )và gần O

Khi M giao điểm ( )C đường thẳng OI , với M giao điểm gần O OI= 42+ -( )3 =5 Kẻ MH Ox^

Theo định lí talet, ta có: MH OM OI R

3 OI 5

-

-= = = = MH

5

Þ =

Lại có: OH OM OH = OI Þ =5 Vậy, số phức cần tìm z 6i

5 = +

(75)

Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z 4i 4- + = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z Lời giải

Cách 1: áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

( )

|z| |3 4i| z 4i- - £ - - = Þ - +4 |3 4i| z |3 4i|- £ £ + -1 z

Þ £ £

· z z 4i 5

= Û = - Þmin z 1= · z z 27 36i max z

5

= Û = - Þ =

Cách 2: Đặt z x iy= + Þ - +z 4i=(x 3- +) (y i+ ) Nên từ giả thiết Þ(x 3)- +(y 4)+ =16

2

x y 2(3x 4y)

Û + - - + = (*)

Do (3x 4y- )2£25 x( 2+y2)Þ -5 x2+y2 £3x 4y x- £ +y2 Nên từ (*) ta có: 2 2

2 2

x y 10 x y

ì + - + + £

ï í

ï + + + + ³

ỵ

2

1 x y z

Þ £ + £ Þ £ £

Tương tự trên: z 1= max z 9= Chú ý: Ta giải tốn theo cách sau Từ (x 3- ) (2+ y 4+ )2 =16Þ $ éë0; 2pùû cho:

x 4sin ; y= + a = - +4 4cosa Khi đó:

( ) ( )

2 2

z =(3 sin )+ a + - +4 cosa =41 3sin+ a -4cosa Do - £5 3sina -4cosa £ Þ £5 z2£81 z 9Þ £ £ Ví dụ Cho số phức z i m( ), m

1 m m 2i

-= Ỵ

- - ¡

1 Tìm m để z.z =

2 Tìm giá trị nhỏ số thực k cho tồn m để z k- £ Lời giải

1

( )

( ) ( )

2

m i m 2mi

m i m i

z

1 m m 2i 1 m 2mi 1 m 2mi m 1 m 1

é ù

- + ê - - ú

- + ë û

= = = +

- - é - + ù é - - ù + +

ê ú ê ú

ë û ë û

2

2 2

m 1

z.z

m m m

ổ ổ

=ỗ ữ +ỗ ữ =

è + ø è + ø +

Mà z.z

= tức 21

2 m +1= hay

2

m + = Û1 m= ±1

2 Ta có: z 2 i m 2 z 1 m i

i m m i

i 2mi m

- - - +

= = Þ - =

-

+

-2

1 m i m 2m 2

z

m i m 1

- + - +

- = =

(76)

2

k

z k m 2m k

m

ì ³ ï

Þ - £ Û í - +

£ ï

ỵ +

Xét hàm số f m( ) m2 22m

m

- +

=

+

Ta có: ( ) ( )

( )

2 2

2 m m

f' m

m

-

-=

+ ( )

1

f' m m

2 ±

Þ = Û =

Lập bảng biến thiên ta có minf m( ) f 5

2

ổ +

-= ỗỗ ữữ=

è ø

Þ u cầu tốn k2 k 5

2 2

- -

-Û ³ Û ³ =

Vậy k

2

-= giá trị phải tìm Bài tốn cịn mở rộng : Tìm m để z i

4

- £ Tìm số phức z có mơđun lớn

Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z+ 2i có acgumen acgumen z+ cộng với

p Tìm giá trị lớn biểu thức T z z i= + + +

Lời giải

Đặt z a bi a, b= + ( Ỵ¡) Khi z+ 2i có acgumen acgumen z+ cộng với p nên z 2i r cos isin

4

z

+ = ổ p+ p

ỗ ữ

+ è ø với r 0>

( ) ( ) ( )

( )2 2 ( ( )( )2 )2

a b i a a b b a b ab

z 2i i

z a bi a 2 b a 2 b

+ + + + + + +

-+ = = +

+ + + + + + +

Suy ( ) ( )

( )2 2 ( ( )( )2 )2

a a b b a b ab

0

a b a b

+ + + + +

-= >

+ + + +

( )

2

2 2

a b

ì + =

ï ï

Ûí + + ¹

ï

+ + > ïỵ

( )*

Ta có: T z z i= + + + = + +a bi a+ +(b i+ )

(a 1)2 b2 a2 (b 1)2 3 2a 3 2b

= + + + + + = + + + ( )*

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân, ta được:

( )

2 2

T Ê2 2a 2b+ + Ê2 aổỗ + +b ư÷=20

è ø

Suy T 5£ , đẳng thức xảy a b 1= = Vậy, giá trị lớn T , đạt z i= + CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm số phức z có mơđun nhỏ thỏa mãn:

(77)

1 z 5i z i

+ - =

+ - 12

z 4i

log

3 z 4i

ỉ - + +

=

ỗ ữ

ỗ - + - ữ

è ø

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn:

1 z 2i 2- - = Tìm số phức z có modul nhỏ z 4i- - = -z 2i Tìm số phức z có modul nhỏ Bài 3:

1 Cho số phức z thỏa mãn z 1= Chứng minh rằng: 1 z£ + + + +1 z z2 £5 Chứng minh: z1+z22+ z1-z22 =2 z( 12+ z2 2)

3 Chứng minh với số phức z , có hai bất đẳng thức sau xảy ra: z 2

+ ³

2

z + ³1

4 Cho số phức z 0¹ thỏa mãn z3 13 z

+ £ Chứng minh: z z

+ £

Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa điều kiện: z z 3i= + - biểu thức A z i z 3i= + - + - + có giá trị nhỏ

Bài 5: Cho hai số phức z và1 z Chứng minh rằng:2 z1+z22+ z1-z22 =2 z( 12+ z22)

2 z z- 1 22 -z1-z22 = +(1 z z1 2) (2- z1 + z2 )2 z1 - z2 £ z1+z2 £z1 + z2

Bài 6: Cho số phức z thỏa z 1= Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: z 5i

A z +

= B z= 2+ + +z z3+1

Bài 7: Cho số phức thoả mãn z 1= Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của:

A z z= + + - B z z z= + + - +

Bài 8: Cho số phức thoả mãn z 2i 1.+ - = Tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ z Bài 9: Cho số phức a, b,c Đặt a b m, a b n+ = - = với mn 0¹ Chứng mỉnh rằng:

{ } mn2 2

max ac b , bc a

m n

+ + ³

+

Bài 1:

1 Gọi z a bi,= + (a,bẻĂ) l s phc cn tỡm v a 3, bạ ¹ -1

Ta có: (( ) () ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (2 )2

a b i a b i

a b i

1

a b i a 3 b 1

é + + - ù é + + + ù

+ + - ë û ë û

= Û =

+ - + + + + , rút gọn đẳng thức ta được: a 3b 4+ = , từ

đây tìm a2 b2

+ ³

Vậy, z 10

= a 3b 4b z 6i

5 a

3

ì + =

ï Þ = +

í = ùợ

2 Gi z a bi,= + (a,bẻĂ) số phức cần tìm

Giả thiết z 4i 1 z 4i (a 3) (b i 5)

3 z 4i

- + +

Û = Û - + = Û - + + =

(78)

-Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn đường tròn tâm I 3; 4( - ) bán kính R 5= Khi số phức z thoả mãn 1

2

z 4i

log

3 z 4i

ỉ - + +

=

ỗ ữ

ỗ - + - ữ

ố ø số phức có mơđun lớn điểm biểu diễn z điểm đối xứng với O 0;0 qua( ) I 3; 4( - )

N đối xứng với O qua I có toạ độ N 6; 8( - ) Vậy, số phức z cần tìm z 8i=

-Bài 2:

1 Đặt z a bi a, b= + ( Ỵ¡) Khi z 2i 2- - = Û(a 1- ) (2+ b 2- )2 =4 Vậy, tập hợp điểm M đường trịn:(x 1- ) (2+ y 2- )2=4 có tâm I 1;2 ( ) Đường thẳng OI có phương trình: y 2x=

z đạt giá trị nhỏ điểm M CỴ( )và gần O , điểm giao điểm đường thẳng OI với ( )C

2

z i

5

ổ ổ

=ỗ - ữ ỗ+ - ÷

è ø è ø

2 Giả thiết suy ra: b= - +a

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng b= - +a Mặt khác z = a2 +b2 = a 2( - )2 + ³8 2

min

z =2 ( ) (x; y = 2; 2- Þ) z 2i= - Bài 3:

1 Ta có: z+ + + +1 z z2 £ +1 z3+ +1 z z+ =5 Do z 1= Þ - £ +1 z z 2=

Và z3 z3 11 z3

+ ³ Þ + ³ +

3

3 z 3

1 z z z z z z

2

1 z

-Þ + + + + = + + ³ + +

-3

1 z z

³ + + - =

2 Dễ dàng chứng minh được: z.z z=

( )( ) ( )( )

2

1 2 2 2

z +z + z -z = z +z z +z + z -z z -z

( )

2 2 2

1 2 1 2 2

z z z z z z z z z z z z z z

= + + + + - - + = +

3 Giả sử ta có đồng thời z 2

+ < z2+ <1 Ta có: ( )

( )

2 2

2

2 2

1

1 a b

2

1 a b 4a b

ì + + < ïï

í

ï + - + <

ïỵ

, cộng vế theo vế suy đpcm Với số phức z ,1 z ta có:2 z1+z2 £ z1 + z2

Từ z z3 13 z

z z z

ỉ + = + + ỉ +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

(79)

Suy z 13 z3 13 z z

z z z z

+ = + + + £ + +

Đặt m z z

= + , ta m3-3m 0- £ Þm 2£ đpcm Bài 4: Đặt z x yi,= + (x, ¡)

z = + -z 3i Û8x 6y 25 0+ + = Tập hợp điểm M x;y biểu diễn số phức z đường thẳng 8x 6y 25 0( ) + + =

( ) (2 )2 ( ) (2 )2 A z i z 3i= + - + - + ÛA= x 1+ + y 1- + x 2- + y 3+ Xét E 1;1 ,(- ) F 2; 3( - ) M x;y( )

Bài tốn trở thành : Tìm điểm M thuộc đường thẳng 8x 6y 25 0+ + = cho ME MF+ nhỏ Bài 5:

1.Ta có: z1+z22+ z1-z22=(z1+z )(z2 1+z ) (z2 + 1-z )(z2 1-z )2

1 2 2

(z z )(z z ) (z z )(z z )

= + + + -

-( 2)

1 2

2(z z z z ) z z

= + = +

2.Ta có z z- 1 22- z1-z22= -(1 z z )(1 z z ) (z1 2 - 1 2 - 1-z )(z2 1-z )2

1 2 2

(1 z z )(1 z z ) (z z )(z z )

= - - - -

-2 2

1 2

1 z z z z (1)

= + -

-Mặt khác:(1 z z+ 1 2) (2 - z1 + z2)2= +1 z z1 2 +z z1 22 -z12-2 z z1 2 -z22 Vì z z1 2 =z z1 2 nên (1 z z )+ 1 2 2-( z1 + z )2 = +1 z12 z22- z12- z (2)22 Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh

3 Gọi M,N,P biểu diễn hình học z ,z và1 2 z1+z2

1

OM z , ON z

Þ = = PO z= 1+z2

Ta có: z1+z2 =OP OM MP£ +

1

OM ON z z

= + = +

1 2

z - z = OM ON OM MP OP z- = - £ = +z Bài 6:

1.Ta có: A 5i z = +

Mà 5i 1 5i 5i A

z z z

= - £ + £ + = Þ £ £

· z= - Þ =i A 4, suy A 4= · z i= ÞA 6= , suy maxA 6= Ta có: B z£ 2+z z+ + 3+ =1

Đẳng thức xảy z 1= Vậy maxB 5= Mặt khác:

3 3

3

1 z z z

B z

2

1 z

- - +

= + + ³ +

-3

1 z z

1

- + +

³ =

Đẳng thức xảy z= -1 Vậy B 1= Đặt z x yi= + với x,y Ỵ¡

Vì z 1= nêny2= -1 x2 xỴ é-ë 1;1 ùû

O x

y P

N

(80)

Bài 7: 1.Ta có:

( )2 ( )

1 z+ = x+ +y = x+ , z- = (1 x- )2+y2 = x( - ) Do z z+ + - = x( + )+3 x( - )=f x( )

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

( ) ( ) ( )

f x = x+ +3 x- với xỴ é-ë 1;1 ùû Hàm số liên tục xỴ é-ë 1;1ùû với xỴ -( 1;1) thì:

( )

( ) ( )

1

f x ,

2 x x

¢ =

-+ - ( )

4

f x x

5

¢ = Û =

-Mà f 2,f 6,f( ) ( ) 10

ỉ

= - = ỗố- ữứ= nờn: Ã

z

maxA 10

= =

4

z i

5 = - ± ·

z

min A

= = z 1=

2 Vì z z- + =2x2- +x i 2x y( - ) nên

( )2 ( )2

2 2

1 z z- + = 2x -x +y 2x

-(2x x)2( 2 y2) 2x 1

= - + =

-Vậy nên B z z z= + + - + = x( + )+ 2x -Đặt g x( )= x( + )+ 2x 1- với xỴ é-ë 1;1 ùû Xét hai trường hợp:

· Trường hợp 1: Xét x 1;1

é ù

Ỵ êë úû g x( )= x( + )+2x -Ta có ( )

( )

1

g x x ;1

2 x

é ù

Â = + > " ẻ ờ ỳ

ở û

+ nên:

( ) ( ) ( )

1

1;1 ;1

2

1

maxg x g 3, ming x g

2 é ù

é ù

ê ú

ê ú ë û

ë û

ổ

= = = ỗ ữ=

ố ø

·Trường hợp 2: Xét x 1;1

ộ

ẻ -ờ ữ

ở ứ g x( )= x( + )-2x 1+ Vì ( )

( ) ( )

1

g x 0,g x x

8 x

¢ = - > ¢ = Û =

-+ và:

( ) 13

g 3,g ,g

8

ỉ ỉ

- = ỗ- ữ= ỗ ữ= ố ứ

ố ứ

Nên ( )

1 1;

2

7 13 max g x g

8

é- ÷ ê ë ø

ỉ

= ỗ- ữ=

ố ứ v khụng tn ti giỏ trị nhỏ khoảng So sánh hai trường hợp, ta có:

· z

13 max B

4

= =

7 15

z i

8

= - ±

·

z

minB

= =

1

z i

2

= ±

Bài 8: Đặt z x yi= + với x,y Ỵ¡ Vì z 2i 1+ - = nên:

( ) ( )2 ( )2

x 2+ + y i 1- = Û x 2+ + y 2- =1

(81)

Vì đổi biến x cost,y sint+ = - = với t £ < p Khi đó: x2+y2=(cost 2- ) (2+ sint 2+ )2

( )

9 sin t cos t sin t ỉ p

= + - = + ỗ - ữ

è ø

Mà sin t

4 ổ p - Ê ỗ - ữÊ

ố ø nên

2

9 x- £ +y £ +9 2, đó:

9 z- £ £ 2+ Û2 z 2 1- £ £ + · z 2 1= - t

4 p

= hay x 2,y 2

2

= - + =

-Vậy z 2 1= - đạt z 2 i 2

2

ỉ

= - + + ỗ - ữ

ố ø

· z 2 1= + t

p

= hay x 2,y 2

2

= - - = +

Vậy max z 2 1= + đạt z 2 i 2

2

ỉ

= - - + ç + ÷

è ø

Bài 9: Ta có:max ac b , a bc{ } b ac b a bc a a b

+ + +

+ + ³

+

2

abc b abc a a b

+ + +

=

+

2 2

abc a (abc b ) a b mn

a b a b a b

+ - +

-³ = =

+ + +

Mà (a b+ )2£2 a( 2+ b2)= +a b2 + -a b2 =m2+n2

Þ { }

2

mn max ac b , bc a

m n

+ + ³

+ đpcm

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

Câu Chọn D

Câu Ta có z2= +(a bi)2=a2+2abi+( )bi 2=a2+2abi b- =(a2-b2)+2abi. Chọn B.

Câu Số phức ảo số phức có phần thực Chọn B Câu Số phức 2i- có phần thực a=3, phần ảo b= -2 Vậy P=ab= -6 2.Chọn D

Câu Ta có (1 ) ( )1 1 1.

1 a

z i i i i i i

b ỡ = ùù = - = - = - - = + ắắđớù =

ïỵ Chọn B

Câu Ta có ( ) ( )2 ( )2

2 2 2.3

z= + i = + i+ i = + i- = - + i

Suy T= - +7 Chọn C

Câu Ta có z= - + - +4 3i (1 3i 3i2-i3)= - + - - + = -4 3i (1 3i 3 i) 2 5i.Chọn C.

(82)

Sai lầm thường hợp là: '' z số ảo 1

m

m m

ìï - = ï

Ûíï + ¹ Û =

ïỵ

Câu Ta có ( )2 ( )

2

z= x iy+ - x iy+ + =x2+2ixy y- 2-2x-2iy+5

(x2 y2 2x 5) 2(xy y i).

= - - + +

-Để z số thực 2( ) 0

1 y xy y

x é = ê

Û - = Û ê =

ë Chọn C

Câu 10 Ta có z3=a3+3a bi2 -3ab2-b i3 =(a3-3ab2) (+ 3a b b i2 - 3)

Để z3 là số thực ( 2)

2

0

3

3 b

a b b b a b

b a

é = ê

Û - = Û - = Û ê =

ë Chọn A

Câu 11 Ta có

2017

2017 2018 2019

2018 a

z z a bi i S a b

b ì = ïï

= Û + = - Ûíï =- ắắđ = + =

-ùợ

Chn C

Câu 12 Ta có ' (2 3) (3 1) ( 1) 3

3 1

x x x

z z x y i x y i

y y y

ì + = ì =

ï ï

= Û + + - = + + Ûíï - = + Ûíï =

ï ï

ỵ î

Chọn C

Câu 13 Ta có( ) ( ) ( 5) ( 3)

3 x y

x y x y i i x y x y i

x y ì + - = ïï

+ + - = + Û + - + - - = Û íï - - =

ïỵ

4

x

S x y

y ỡ = ùù

ớù = ắắđ = + = + =

ïỵ Chọn A

Câu 14 Ta có( ) ( )2 ( ) 3

2 7

2

y

x y i y i i y x y i i

x y

ì- = ïï

- + - = + Û - + - = + Û íï - =

ïỵ

1 x y ì = ïï

Û íï =-ïỵ Chọn A

Câu 15 Ta có 2x+ + -3 (1 2y i) =2 2( - -i) 3yi+x

(2x 3) (1 2y i) (4 x) ( 3y 2)i

Û + + - = + + - -

1 3

x x x

y y y

ì + = + ì =

ï ï

Ûíï Ûíï

- = - - =

-ï ï

ỵ ỵ

Suy P=x2-3xy- = -y 1 3.1.( ) ( )- - - =3 3 13. Chọn A.

Câu 16 Ta có 1 1 2 1 0.

2

x

x x

x yi i

y

y y

ì ì ì =

ï - = - ï = ï

ï ï ï

- + = - + Ûíï Ûíï Ûíï =

= = ï

ï ï ỵ

ỵ ỵ Chọn A

Câu 17 Ta có ( )

( )

2

3

2

y

x y

x y y i i

y x

ì ì

ï + = ï =

-ï ï

+ - + = Ûíï Ûíï

- + = =

ï ïỵ

(83)

Vậy (x y; )=( 3; 3- ) (x y; )= -( 3; 3- ).Chọn C

Câu 18 Ta có 2 ( )2

1 24 16 24

z =z ắắđ + = -a bi i + = -a bi i- Û + = - -a bi i

7

168 24

a

P ab b

ỡ = -ùù

ớù =- ắắđ = =

ïỵ Chọn A

Câu 19 Ta có z= + ắắx iy đz2 =x2-y2+2xyi.

Theo bi, ta có 8 6 ( 2) 2 8 6 2

2

x y

z i x y xyi i

xy

ỡù = -ù

= - + ắắđ - + = - + Û íï =

ïỵ

1 x y ì = -ïï Û íï =

-ïỵ

1 x y ì = ïï íï =

ïỵ Chọn D

Câu 20 Ta có ( ) ( )3 ( ) ( )

3 14 11 14

x + i +y - i = + iÛx + i + - +y i = + i

( ) ( )

172

3 11 61

3 11 14

5 14

61 x

x y

x y x y i i

x y

y ìïï = ï

ì - =

ï ï

Û - + + = + Ûíï Ûíï

+ =

ïỵ ï

=-ïïïỵ

Vậy 2.172 3 353

61 61 61

P= x- y= - ỗổỗỗố- ửữứữữ= Chn B

Cõu 21 Gọi A điểm biểu diễn số phức, suy A 23 A

x y

ì =

ïï íï

=-ïỵ Vậy A(2; 3- ).Chọn C Câu 22 Ta có w= =iz i(1 2- i)= -i 2i2= + = +i 2 2 i.

Vậy điểm biểu diễn số phức w có tọa độ( )2;1 Chọn B

Câu 23 Ta thấy M(3;4) điểm biểu diễn số phức z= +3 4i Vậy số phức z có Phần thực 3, phần ảo Chọn C

Câu 24 Số phức z= -3 4i biểu diễn điểm có tọa độ là(3; 4- ), điểm D Chọn D

Câu 25 Ta thấy điểm M có

1

M M

x y

ì =

-ïï íï =

ïỵ nên điểm biểu diễn số phức z= - +2 i Chọn C

Câu 26 Dựa vào hình vẽ ta thấy

Điểm M điểm biểu diễn số phức z1= +1 i

Điểm Q điểm biểu diễn số phức z4= -1 i

(84)

Điểm P điểm biểu diễn số phức z3=- -1 i

Chọn D

Câu 27 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ và) M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z Dựa vào hình vẽ ta thấy M nằm góc phần tư thứ nên

0 x y ì > ïï ớù > ùợ

Ta cú 2z=2(x+yi)=2x+2yiắắđ im biu din số phức 2z có hồnh độ tung độ dương nên góc phần tư thứ Đó điểm E Chọn C

Câu 28 Ta có A(4;0)ÞOAuur=(4;0)và B(0; 3- Þ) OBuur=(0; 3- )

Do đóOCuuur uur uur=OA OB+ =(4; 3- ắắ) đC(4; 3- đ = -) z 3i số phức biểu diễn điểm C Chọn B

Câu 29 Số phức z= - +1 6i có điểm biểu diễn A suy A(-1;6) Số phức z'= - -1 6i có điểm biểu diễn B suy B(- -1; 6)

Do A B

A B

x x

y y

ì =

ïï íï

=-ïỵ nên A B đối xứng qua trục hồnh.Chọn A Câu 30 Số phức z= +2 5i có điểm biểu diễn A suy A( )2;5 Số phức z= - +2 5i có điểm biểu diễn B suy B(-2;5)

Do A B

A B

x x

y y

ì =

-ïï íï =

ïỵ nên A B đối xứng qua trục tung.Chọn B Câu 31 Số phức z= -4 7i có điểm biểu diễn A suy A(4; 7- ) Số phức z'= - +4 7i có điểm biểu diễn B suy B(-4;7)

Do

0

A B A B

x x

y y

ì + =

ïï

íï + =

ïỵ nên A B đối xứng qua gốc tọa độ O Chọn C Câu 32 Số phức z= +3 2i có điểm biểu diễn A suy A( )3;2

Số phức z'= +2 3i có điểm biểu diễn B suy B( )2;3

Ta thấy A B

A B

x y

y x

ì =

ïï íï =

ïỵ nên hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y x= Chọn D

Câu 33 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z= +3 bi với bỴ¡ có dạng , x y b b ì = ïï

ớù = ẻ

ùợ Ă Do ú cỏc điểm nằm

trên đường x=3.Chọn A

(85)

Câu 35 Theo ra, ta có A(-4;0 ,) (B 0;4) M x( ;3)

Suy ABuuur=(4;4) AMuuuur=(x+4;3)

Để ba điểm A B M, , thẳng hàng

4

x+ x

Û = Û = - Chọn B

Câu 36 Từ giả thiết, suy A(2; ,- ) ( ) (B 3;1 ,C 0;2) Suy ABuuur=( )1;3 BCuuur= -( 3;1) Vì

3¹1

- nên A B C, , khơng thẳng hàng

Ta có

10 AB BC

ABC AB BC

ìï =

ïï ắắđD

ớù = =

ùùợ uuur uuur

vuông cân B Chọn D Câu 37 Từ giả thiết, suy A(-1;3 ,) (B - -3; ,) ( )C 4;1 Suy ABuuur= - -( 2; 5) uuurAC=(5; 2- ) Vì

5

-

-¹

- nên A B C, , khơng thẳng hàng

Ta có ( )2 ( ) ( )5

29 AB AC

ABC

AB AC

ìï = - + - - =

ùù ắắđD

íï = =

ïïỵ uuur uuur

vng cân A Chọn D Câu 38 Số phức ( )2

2

z = +i = i

Từ giả thiết, ta có A( ) ( ) (1;1 ,B 0;2 ,C a; 1- ) Suy uuurAB= -( 1;1) BCuuur=(a; 3- ) Yêu cầu toán ÛAB BCuuur uuur = Û - - = Û = -0 a a 3.Chọn A

Câu 39 Đường trịn có tâm I(-2017;2018)biểu diễn số phức z= -2017 2018+ i Gọi A B C, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2,

Ta có OA OB OCuur uur uuur+ + =3OGuuur=3OIuur (do tam giác ABC nên trọng tâm G Iº ) Suy z1+ + = -z2 z3 3( 2017 2018+ i)= -6051 6054+ i

Vậy số phức w= + + = -z1 z2 z3 6051 6054+ i Chọn C

Câu 40 Từ giả thiết, ta có

( )

( ) 4

2;

1;6 3;2 3

8;1 A

B G z i z i

C

ìï

-ùù

ù - ắắđ đ = + ô =

-íï ïï ïỵ

Chọn D

Câu 41 Ta có z= +z1 z2= -(5 7i) (+ +2 3i) (= + + - +5 2) ( 3)i= -7 4i.Chọn A

Câu 42 Ta có w= -z1 2z2= + -1 2i 2 3( - i) (1 2i) ( 6i) (1 4) (2 6)i 8i

= + + - + = - + + = - + Chọn B

(86)

(3 6i) ( 6i) (3 4) (6 6)i 12 i

= + + - + = - + + = - +

Vậy z=3z1-2z2 có phần ảo a=12.Chọn B

Câu 44 Ta có z= +z1 z2= -(1 2i) (+ - + = - + - +3 i) (1 3) ( 1)i= - -2 i

Vậy điểm biểu diễn số phức z P(- -2; ) Chọn C Câu 45 Từ giả thiết, suy z1= +3 i z2 = +2 3i

Ta cú z1+ =z z2 ắắđ =z z2- =z1 (2 3+ i) (- + = - + -3 i) (2 3) (3 1)i= - +1 i

Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là(-1;2 ) Chọn A

Câu 46 Ta có ( )( )

1 2017 2016 2017.2 2017.2016 2016

z=z z = -i - i = - i- +i i

( ) ( )

4034 4066272i 2i 2016 4034 2016 4066272i i 2018 4066274 i

= - - - = - + - - = - Chọn C

Cách Dùng CASIO

Câu 47 Ta có ( )( )

8

2

6 a

z z i i i S a b

b ì = -ïï

= - - = - - đớù =- ắắđ = - + =

ïỵ Chọn C

Câu 48 Xét đáp án A, ta có z= +(3 i)(8 3+ i)=21 17+ i (loại) Xét đáp án B, ta có z= -(3 i)(8 3+ i)=27+i: thỏa mãn.Chọn B Câu 49 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡)

Khi (1+i z) = - ắắ3 i đ +(1 i x)( +yi)= - Û + + - = -3 i x yi xi y i

( ) ( ) 3 (1; )

1

x y x

x y x y i i Q

x y y

ì - = ì =

ï ï

Û - + + = - ớù ớù ắắđ

-+ = - =

-ï ï

ỵ ỵ Chọn B

Câu 50 Ta có z z '=(m+3 2i)é -(m+1)iù=2m+ -6i m m( +1)i-3(m+1)i2

ë û

(5m 3) (m2 m 6)i

= + - + -

Để 'z z số thực 6 0

3 m

m m

m é = ê

Û + - = Û ê

=-ë Chọn A

Câu 51 Với z= +a bi suy số phức liên hợp z = -a bi.Chọn D Câu 52 Từ z= -3 2i, suy z = +3 2i

Vậy phần thực phần ảo Chọn D

Cõu 53 Ta cú z= - ắắ1 2i đ = + ắắz 2i đ im biu din ca s phức liên hợp số phức z M1( )1;2 Chọn A

Câu 54 Ta có z=i i(3 + =1) 3i2+ = - +i 3 i, suy ra z = - -3 i. Chọn D.

Câu 55 Ta có z= +2 i Suy z= -2 5i

(87)

Khi w= + =iz z i(2 5+ i)+ - =2 5i 2i+5i2+ - =2 5i 2i- + - = - -5 5i 3 i Chọn B.

Câu 56 Ta có ( )

2 1

4 3

i z =i - i = -i i = + i=z ắắđ =z i z Chọn D Câu 57 Theo ra, ta đặt z=ki k( ¹0), suy z = - = - Û = -ki z z z.Chọn D Câu 58 Đặt z= +x yi x y( ; ẻĂ, x2+y2 ạ0) suy z = -x yi.

Khi A x y B x( ; ,) ( ;-y) điểm biểu diễn số phức z z Suy ,A B đối xứng qua trục hoành.Chọn B

Câu 59 Đặt z= +a bi a b( ; ẻĂ)ắắđ = -z a bi

Ta cú ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2

z z a bi a bi a b

z z i z z a bi a bi i a bi a bi a b b

a b

ìï = + = + + - = - Ỵ

ïï

íï = + - = + - + é + - - ù= + - ẻ

ù ở ỷ

ùợ

¡

¡ Do đóa b, số thực.Chọn A

Câu 60 Ta có z= - ¾¾5 3i ® = +z 3i

Suy ( )2 ( ) ( )2 ( ) ( )

1+ +z z = + +1 3i + +5 3i = +6 3i + 16 30+ i =22 33+ i.Chọn B Câu 61 Ta có z= +(i 2) (2 1- 2i) (= i2+2 2i+2 1)( - 2i) (= +1 2 1i)( - 2i)

2

1 2i 2i 4i 2i

= - + - = +

Suy z= -5 2i Do đó, phần ảo số phức z - Chọn C

Câu 62 Ta có ( 3) ( )

1 3 3

z = - + - +i i i -i = - + - - + = -i i i i Suy z z1 =(2 7+ i)( + = +i) 37iắắđz z1 = -9 37 i

Do đów=2 37( - i)=18 74- i.Chọn C

Câu 63 Đặt z= +a bi a b( ; Ỵ¡), suy z = -a bi

Theo giả thiết, ta có 2( ) 3 3

3

a a

a bi a bi i a bi i

b b

ì = ì =

ï ï

+ + - = - Û - = - Ûíï Ûíï

- = - =

ï ï

ỵ î

Chọn A

Câu 64 Ta có iz=2(z- - Û1 i) i a bi( + )=2(a bi- - - Û - + =1 i) b 2a- + - -2 ( 2b 2)i

2 2 2

4

2 2 2

b a a b a

S ab

a b a b b

ì- = - ì + = ì =

ï ï ï

Ûíï = - - Ûíï + = - ớù = - ắắđ = =

-ù ù ï

ỵ ỵ ỵ Chọn A

Câu 65 Đặt z= +a bi a b( ; Ỵ¡ , suy ra) z = -a bi

T z z. =10(z+z)ắắđ +(a bi a bi)( - )=10é(a bi+ ) (+ -a bi)ùÛa2+b2 =20 a

(88)

Hơn nữa, số phức z có phần ảo ba lần phần thực nên b=3a ( )2

Từ( )1 ( )2 , ta có 2 20

a

a b a

b

b a

ì ì =

ï + = ï

ï Ûï

í í

ï = ï =ï

ï ỵ

ỵ

0 a b ì = ïï íï =

ïỵ

Vậy có số phức cần tìm là: z= +2 6i z=0.Chọn B Câu 66 Ta có z= + ¾¾a bi ® = -z a bi

Từ(1+i z) +2z= +3 2iắắđ +(1 i a bi)( + )+2(a bi- )= +3 2i

( ) ( )

1

2 2

3

3 3

2 a a b

a b i a b i P a b

a b

b ìïï = ï ì - =

ï ï

Û - + - = + ớù ớù ắắđ = + =

=

ïỵ ï =

-ïïïỵ

Chọn C

Câu 67 Đặt z= +a bi a b( ; Ỵ¡ , suy ra) z= -a bi Theo giả thiết, ta có a bi+ - +(2 3i a bi)( - )= -1 9i

( )

3 3

3

a b a

a b a b i i P ab

a b b

ì- - = ì =

ï ï

Û - - - - = - Ûíï - = ớù = - ắắđ = =

-ù ï

ỵ ỵ Chọn D

Câu 68 Ta cú z= + ắắa bi đ = -z a bi

Theo giả thiết, ta có (1+i a bi)( + ) (+ -3 i a bi)( - )= -2 6i

(4 2) (6 ) 2

6

a b a

a b b i T b a

b b

ì - - = ì =

ï ï

Û - - + - = ớù ớù ắắđ = - =

- = =

ï ï

ỵ ỵ Chọn C

Câu 69 Đặt z= +a bi a b( ; Ỵ¡ , suy ra) z= -a bi

Theo giả thiết, ta có (1-i a bi)( + )+2i a bi( - )= + Û5 3i (a+3b- + + -5) (a b 3)i=0

3

2

3

a b a

z i z i

a b b

ì + - = ì =

ï ï

ù ù

ớù ớù ắắđ = + ị =

-+ - = =

ï ï

ỵ ỵ

Vậy w= +z 2z = + +(2 i) 2( - = -i) i.Chọn A

Câu 70 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡), suy iz=i x( +yi)= - + ắắy xi đ = - -iz y xi Theo giả thiết, ta có x+ + - = - - -yi 4i (2 i)( y xi)

( ) ( ) ( ) 2

2 2

4

x y x x

x y i y x y x i z i

y y x y

ì + = - - ì =

ï ï

Û + + - = - - + - ớù - = - ớù = - ắắđ =

-ï ï

ỵ ỵ

Khi w=z3- =i (2 3- i)3- = - -i 46 10i .Chọn C.

Câu 71 Điểm M biểu diễn số phức z= +a bi a b( ; Ỵ¡ nên có tọa độ) M a b( ); Ta cóOM = a2+b2 = z .Chọn A.

(89)

Câu 72 Giả sử z1= +a bi a b( ; Ỵ¡ và) z2 = +x yi x y( ; Ỵ¡ )

Khi M a b( ); N x y( ; )

Suy ( ) ( ) ( ) (2 )2

1

z -z = a x- + -b y i = a x- + -b y

Lại có ( ) (2 )2

MN =MN= a x- + -b y uuuur

Vậy z1-z2 = MN

uuuur

.Chọn B Câu 73 Chọn D Vì z z1 2= +(a bi c)( +di) (= ac bd- ) (+ ad bc i+ )

( ) ( )

1

z z ac bd ad bc i

ắắđ = - - +

Câu 74 Gọi ( ) ( )

2

2 2

1

1 2 2 2 2

1

0

z m i m i m

z m i m

z m m z m

ìï = = =

-ïï

= ẻ ắắđớù

= + = ắắđ =

ùùợ Ă

Khi ú 2 2

1

z=z +z = -m +m = Chọn B Câu 75 Giả sử z= +a bi a b( ; Ỵ¡)

( )2 ( )2

2 2 2 2 4 2 2 2.

z a b abi z a b a b a b a b

ắắđ = - + ắắđ = - + = + = +

Li cú z = a2+b2 ắắđ z2=a2+b2. Do đó z2 = z2. Chọn B.

Câu 76 Ta có z =z Mà z ³0 nên z số thực khơng âm.Chọn A Câu 77 Ta có z = 22+12 = 5.Chọn D.

Câu 78 Ta có z1+z2 = -3 2i Suy ( ) 2

1 13

z +z = + - = Chọn A

Câu 79 Ta cú z1-z2= - +1 4iắắđ -z1 z2 = 17.Chn A

Câu 80 Ta có 4 4 5

1 i

i i

iz i z z

i i i

+

+ +

= + ắắđ = ¾¾® = = = = Chọn A

Cách Lấy môđun hai vế, ta iz = +3 4i Û i z = Û5 1.z = Û5 z =5

Câu 81 Chọn D Vì điểm M( 2;3) biểu diễn cho số phức u= 2+3i có phần thực , phần ảo môđun

( )2

2 11

u = + =

Câu 82 Lấy môđun hai vế, ta c z =(4 1- i)( + ắắắi) z=zđ = -z 1i + =i

Chọn C

Câu 83 Do quỹ tích biểu diễn điểm số phức z nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R=1 nằm đường trịn tâm O bán kính R=2.Chọn C

(90)

Câu 85 Vì điểm biểu diễn số phức z nằm đường chéo hình vng nên

2 a

- £ £ , 2- £ £b a b

a b

é = ê ê

=-ë Vậy điều kiện a =b £2.Chọn C

Câu 86 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ và) M x y( ; ) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ

Từ hình vẽ ta có x2 y2 x2 y2 z

y x y x y x

ì ì

ì ï ï £

ï + £ ù + Ê

ù ắắđ ắắđù

ớ í

ï £ ï £ ï £

ï ï ï

ỵ ỵ ỵ Chọn B

Câu 87 Giả sử z1 = z2 =z3 =R

Khi A B C, , nằm đường trịn (O R; )

Do z1+z2 =0 nên hai điểm A B, đối xứng qua O Như điểm C nằm đường trịn đường kính AB (bỏ hai

điểm A B ) hay tam giác ABC vuông C Chọn A Câu 89 Từ giả thiết, ta cúOA=3,OB=4 v AB=5 Ta cúOA2+OB2=AB2ắắđ DOAB vuụng ti O

Vậy 1.3.4

2

S= OA OB= = Chọn B

Câu 90 D qua hai điểm( )1;0 và( )0;1 nên có phương trình D:x+ - =y

Khi min [ , ] 2 2

2

1

z =d OD = - =

+ Chọn D

Câu 91 Lấy môđun hai vế ( )2

1

w= -i z, ta

( )2 ( )2

1

w = -i z = -i z = - i z = m.Chọn B Câu 92 Theo giả thiết, ta có z = Û2 m2+(3m+2)2 =2

( )2

2 3 2 4 10 12 0 .

6 / m

m m m m

m é = ê

Û + + = Û + = Û ê

=-ë Vì m tham số thực âm nên ta chọn

5

m= - , suy

5

z= - - i.Chọn C Câu 93 Đặt z= +a bi a b( ; Ỵ¡ , suy ra) z= -a bi

Theo giả thiết, ta có 2(a bi+ )+3 1( -i a bi)( - )= -1 9i

(5 ) (3 ) 2

3

a b a

a b a b i i z i

a b b

ì - = ì =

ï ù

ù ù

ắắđ - - + = - ớù ớù ắắđ =

-+ = =

ï ï

ỵ ỵ Chọn D

Câu 94 Đặt z= +a bi a b( ; Ỵ¡ , suy ra) z= -a bi Theo giả thiết, ta có (1 2+ i a bi)( + ) (+ +2 3i a bi)( - )= +6 2i

(91)

( )

3

5

a b a

a b a b i i

a b b

ì + = ì =

ï ï

Û + + - = + Ûíï Ûíï

- = =

ï ï

ỵ ỵ

Suy z= +1 3i® z = 10 Chọn C

Câu 95 Đặt z= +a bi a b( ; Ỵ¡ , suy ra) z = -a bi Theo giả thiết, ta có 5(a bi- )+ - = - +3 i ( 5i a bi)( + )

( ) ( )

5 5

5

5 5

a b i a b a b i

a a b a b a

b b a a b b

Û + - + = - - +

-ì + = - - ì + + = ì =

ï ï ï

Ûíï Ûíï Ûíï

+ = - + + = =

-ï ï ï

ỵ ỵ ỵ

Suy z= -1 2i, suy ( )2

3i z-1 = -12i Vậy ( )2

3 12 12

P= i z- = - i = Chọn C Câu 96 Theo giả thiết, ta có a bi+ + + -1 3i a2+b i2 =0

( ) ( 2 )

2 2

1

3

a a

a b a b i

b a b b b

ì + = ì =

-ï ï

ï ï

Û + + - + + = Ûíï Ûíï

- + + = + = +

ï ï

ỵ î

2

1

3

4

1

3 a a

S a b

b

b b

ì = -ï

ì = - ï

ï ï

ù

ớù ớù = - ắắđ = + =

-+ = -+

ï ï

ỵ ïỵ Chọn B

Câu 97 Gọi z= +a bi a b( ; ẻR Ta cú)

= z+ = ắắ3 ® + + = Û +a bi (a 3)2+b2=25 ( )1 = z-2i = - -z 2i ắắđ + -a bi 2i = + - -a bi 2i

( )2 ( ) (2 )2 ( )2

2 2 2 2 2 1

a b a b a a a

Û + - = - + - Û = - Û = ( )2

(92)

Vậy z = a2+b2 = 12+ =9 10.Chọn C.

Câu 98 Gọi z= +x yi x y( ; ỴR Ta có)

= z = ắắ5 đx2+y2=25 ( )1

= z+ = + -3 z 10i ắắđ + + = + + -x yi x yi 10i

(x 3)2 y2 (x 3) (2 y 10)2 y 5.

Û + + = + + - Û = ( )2

Thay( )2 vào( )1 , ta c x2 = =0 x 0.

Vy z=5iắắđ = - + = - +w z 3i i Chọn D Câu 99 Gọi z= +x yi x y( ; ỴR Ta có)

= z- = ¾¾1 ® + - = Ûx yi (x-1)2+y2=4 ( )1 = z2 =(x+yi)2 =x2-y2+2xyi số ảo x2-y2 =0. ( )2

Giải hệ gồm( )1 ( )2 , ta ( )

2 2 2

1 7

1 2 2

1 7

0

2

x y

x y x y

é + +

ê = ® = ±

ìï - + = ê

ïï Ûê

í ê

ï - = -

-ï ê

ïỵ = ® = ±

êë Do có số phức thỏa mãn.Chọn B

Câu 100 Gọi z= +x yi x y( ; ỴR Ta có)

= z+ - =2 i 2 ắắđ + + - =x yi i 2 Û(x+2) (2+ -y 1)2 =8

=(z-1)2=(x+ -yi 1)2 = -(x 1)2-y2+2(x-1)yi là số ảo nên (x-1)2-y2 =0.

Giải hệ ( ) ( )

( )

2

1

x y

ìï + + - =

ïï

íï - - =

ïïỵ ta

0 x y ì = ïï íï

=-ïỵ

1

2

x y

ìï = - + ïïí

ï =

-ïïỵ

1

2

x y ìï = -ïïí

ï = +

ïïỵ

Do có số phức thỏa mãn.Chọn C

Câu 101 Giả sử z= +a bi a b( ; ẻĂ)ắắđ = -z a bi

Theo giả thiết, ta có ( ) ( ) ( )2 2 2

2

a bi+ - -a bi = a bi+ Û bi=a - +b abi

( 2) ( ) 2

0

2

1;

2

a b a b

a b

a b ab b i a b a b

ab b

a b

ab b

ìé é = =

ï =

ï ê

ì ê

ï - = ï

ï ïê ê

Û - + - = Ûíï Ûíëï = - Û = =ê

- =

ï ï

ỵ ï - = êë = =

-ïỵ

Vậy có số phức thỏa mãn z=0, z= +1 i z= -1 i.Chọn C Câu 102 Giả sử z= +a bi a b( ; ẻĂ)ắắđ = -z a bi

(93)

● ( ) (2 )2

2 2 2

z- + = ắắi đ + - + = -a bi i a + +b = ( )1

● z i- = - - = - +a bi i a (b 1)i số thực Û + = Û = -b b ( )2

Từ ( )1 và( )2 , ta có ( ) ( ) ( )

2 2 0 4

2 4

1

a a

a b a

b

b b

ì ì

ï - + + = ï - = ì = Ú =ï

ï Ûï Ûï

í í í

ï = - ï = - ï = -ï

ï ï ỵ

ỵ ỵ

Vậy có hai số phức cần tìm z= -i; z= -4 i.Chọn C Câu 103 Gi s z= +a bi a b( ; ẻĂ)ắắđ = -z a bi

zz= ắắ1 đ +(a bi a bi)( - )= Û1 a2+b2=1. ( )1

● z- = ắắ1 2 đ - -(a 1) bi = Û -2 (a 1)2+b2=4. ( )2

Giải hệ ( )1 ( )2 , ta

( )

2 2

1

a b a

a b b

a b

ìï + = ì = -ù

ùù ù ắắđ + =

-í í

ï - + = ï =ï

ï ỵ

ïỵ

Chọn C Câu 104 Giả s z= +a bi a b( ; ẻĂ)ắắđ = -z a bi

● 2 8 4( 2) 8

z + zz+z = ắắđ a +b = (do z2= z2=z z. =a2+b2).

● z+ = ¾¾z ® + + - = Ûa bi a bi 2a= Û =2 a Từ ta có hệ phương trình ( )

2

4

1

a b a

b a

ìï + = ìï =

ïï Ûï

í í

ï = ï = ±ï

ï ỵ

ïỵ Chọn A

Câu 105 Gi s z= +a bi a b( ; ẻĂ)ắắđ = -z a bi

● z- = ¾¾1 1 ® + - = Û -a bi 1 1 (a 1)2+b2 =1. ( )1

● (1+i z i)( - ) (= +1 i a)ëé - +(b 1)iùû= + + + - -a b (a b 1)i có phần ảo 1

a b

Û - - = ( )2

Từ( )1 và( )2 , ta có ( )

2 2

1

0 1

a

a b

b a b

ìï - + = ì =ï

ï Ûï

í í

ï - - = ï =ï

ï ỵ

ỵ

1 a b ì = ïï íï

=-ïỵ Chọn C

Câu 106 Áp dụng công thức 2 ( 2)

1 2 2

z +z +z -z = z + z

( )

2 2

1 2 2 3

z z z z z z z z

ắắđ + = + - - = ắắđ + = Chn A

Cõu 107 Gi z= +x yi x y( ; Ỵ¡)

(94)

( )2 ( )2

2 2

2

1

4 2 1

1 z

x y y x x y z

z ìï = ï

Û + - = - + Û + = ắắđ = ắắđớù =

ïỵ

Áp dụng cơng thức 2 ( 2)

1 2 2

z +z + z -z = z + z

( )

2 2

1 2 2 3

z z z z z z z z

ắắđ + = + - - = ¾¾® + = Chọn D

Câu 108 Ta có 1

2 2

6 36

8 64

z z z

ìï = ® =

ïí

ï = đ =

ùợ v z1-z2 =2 13đ(z1-z2)(z1-z2)=52

( ) ( ) ( )

1 2 2 52 36 64 2 52 2 48

z z z z z z z z z z z z z z z z

Û + - + = Û + - + = Û + =

Khi ( )( ) ( )

1 2 1 2 2

2 3 1008

P = z + z z + z = z z + z z + z z +z z =

12 P

ắắđ = Chn B

Câu 109 Từ z= +a bi a b( ; ẻĂ)ắắđz2=a2-b2+2abiđz2+ =4 a2- + +b2 4 2abi.

Khi ú z2+ =4 2z ắắđ(a2- + +b2 4) 2abi =2a bi+

( 2 2 )2 2 2 ( 2 2)

4 4

a b a b a b

Û - + + = +

( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)2

8 b a 16 a b a b 16 4z z

ắắđ - = - + + + = - +

Suy ( 2 2) ( )2

8 12 4

P= b -a - = z - z + = z - Chọn D

Câu 110 Ta ln có bất đẳng thức( )2 2 2

0

a-b ³ Ûa +b ³ ab ("a b; Ỵ¡) Cộng hai vế cho a2+b2, ta được 2a2+2b2³a2+b2+2ab

( 2 2) ( )2 ( 2 2)

2 a b a b a b a b z a b

Û + ³ + Û + ³ + Û ³ + Chọn B

Câu 111 Từ giả thiết, ta có z2 = +z i z- +2 2iÛz2= - +z 2 (z+2 )i

Lấy môđun hai vế, ta 2 ( ) (2 )

2

z = z- + z + ( )*

Mặt khác z2= z2 và đặt t= z ³0, đó ( )* trở thành t2= (t-2) (2+ +t 2)2

( )

2

4 2

2

4 4

4 t

t t t t t t t t

t é = -ê

Û = - + + + + Û - - = Û Þ =

ê = êë

loại

Vậy z = ắắ2 đ 2< <z Chn D

Câu 112 Sử dụng bất đẳng thức u v- £u +v , ta có

(95)

( )

2 2³2z- +1 3z i- =2 z- + - + -1 z i z i 144444424444443

( )

2z z i z i

³ +

-1444442444443

2i z i 2 z i

= - + - = +

-Suy z i- £ Û - = Û = ¾¾0 z i z i ® =z 1.Chọn D

Câu 113 Từ giả thiết, ta có z- = +4 z i z- -4i 3ziÛz(1 3+ i)= + +z (z-4 )i

Lấy môđun hai vế, ta z(1 3+ i)= z+ +4 (z-4)i

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

4 10 4

z i z z z z z

Û + = + + - Û = + +

-( ) (2 )2

2 2

10 z z z 8z 32 z z

Û = + + - = = ắắđ = Chn C

Cõu 114 Ta chn z1= ắắ2 đM( )2;0 l im biu diễn số phức z1

Nhật thấy ·

0 2

45 MON

iz z

ỡù =

ùù ắắđ

ớù = =

ïïỵ chọniz2= +1 i (hình vẽ)

Từ iz2= + ắắ1 i đ = -z2 i

Thay

2 z

z i

ì = ïï íï =

-ïỵ vào P bấm máy, ta P=4 Chọn A

Câu 115 Ta tư để chọn ba số phức z z z1, 2, thỏa mãn điều kiện Đó số phức z1=1, z2=i z, 3= -i

Thay vào P ta P=1 Chọn D

Để ý số phức có mơđun hay dùng

1 2

1, , ,

2 2

z= ± z= ±i z= ± ± i z= ± ± i

Câu 116 Ta có

( )( )

1 3

3 3 13 13 13

i i

i

i i i

-

-= = =

-+ + - Chọn A

Câu 117 Ta có ( )

( )( )

2

2 2 3

4 2

1 3

i i

z i

i i i

-

-= = = =

-+ + -

Suy

2

z= +i Chọn A

(96)

Do

( )( )

1 5 5

5 5 25 34 34 34

i i i

i

z i i i i

- -

-= = = = =

-+ + -

-5

1 34

3 17

34 a

S a b b

ỡùù = ùùù

ắắđớù ắắđ = + =

ï =-ïïïỵ

.Chọn B

Câu 119 Ta cú z= - ắắ5 3i đ = +z i

Vậy 1( ) (5 3) (5 3) 1( 6) 3

2i z z- =2iëé - i - + i ùû=2i - i = - = - + i Chọn A

Câu 120 Ta có (3 2) ( )2 (3 2 3)( ) ( )

1 4

2 13

x i x i i

y i i y i i

i

- -

-+ - = - Û + =

-+

( 4) ( ) 6 13

4

y x

xi y i i y x y i i

x y y

ì- = ì =

ï ï

Û - + - - = - Û - - + = - Ûíï Ûíï

+ = =

-ï ï

ỵ î

Vậy x=13;y= -2 thỏa mãn yêu cầu tốn.Chọn C

Câu 121 Ta có(1 ) 2 1

1 2

i z z z i

z i

+ = Û = Û =

-+

Do phần ảo z2 là 1.

2

- Chọn D

Câu 122 Từ giả thiết, ta có

2

1 1

1

2 2

i

i z i

i z

+

= + = ơắđ = =

-+

Ly môđun hai vế ý z2 = z2, ta được z2= 2« z =42. Chọn C.

Câu 123 Dựa vào đáp án, ta có nhận xét c th sau: z= -2 3.iắắđ = +z 2 3.i nên D

●( 3-i)2CASIO= 2 3- i nên C ● 1 CASIO=

8

2 i

z= - i + nên B

Từ đây, đáp án B, C, D suy A sai.Chọn A Hoặc làm trực tiếp z3= -(2 3i)3 CASIO= -64¹64.

Câu 124 Gọi M điểm biểu diễn số phức z , N điểm biểu diễn số phức z ( z số phức liên hợp z ) Khi M N đối xứng qua Ox

Gọi A B C', ', ' điểm biểu diễn số phức z z z1, 2,

Từ giả thiết

1 2

1 3

1 1 z z z z z z

z +z =z ® z + z = z ® + = (do z1 = z2 =z3 =3)

(97)

Suy OAuuur uuur uuurÂ +OB'=OC'ắắđOA C B' ' 'là hình bình hành

Mà OAuuur¢ =OBuuur' =OCuuur' ắắđOA C B' ' ' l hỡnh thoi với ·A C B' ' ' 120= 0.

Vậy ·ACB=1200 (do ·ACB và ·A C B' ' ' đối xứng qua Ox ).Chọn C.

Câu 125 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ Từ giả thiết, ta có) 2

0;

x y

ìï + = ïí

ï > > ïỵ

Ta có w 1 x2 yi2 x yi z

z x yi x y

-= -= = = - =

+ +

Vì hai số phức z z có điểm biểu diễn đối xứng qua trục hồnh nên ta chọn điểm Q thỏa mãn yêu cầu toán.Chọn B Câu 126 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ Từ giả thiết, ta có)

2

0;

x y

ìïï + = ïí

ïï > > ïỵ

Ta có 2 ( )

1 x yi 4 4

w x yi z

z x yi x y

-= -= = = - =

+ + suy điểm biểu diễn số phứcw điểmQ.Chọn B

Câu 127 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ Từ giả thiết, ta có)

2

0;

x y

ìïï + = ïí

ïï > > ïỵ

Ta có ( )

( )( ) 2

1

2

i x yi

i i y xi

w y xi

iz z x yi x yi x yi x y

- +

= = - = - = - = - = -

-+ + - +

Vì x>0, y>0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ (-2 ; 2y- x) (đều có hồnh độ tung độ âm) Đồng thời

2

2 2

w = x +y = = z Suy điểm biểu diễn số phức w nằm góc phần tư thứ III cách gốc tọa độ O khoảng 2OA Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn.Chọn D

Câu 128 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ Từ giả thiết, ta có)

2 1

0;

x y

ìï + = ïí

ï > > ïỵ

Ta có ( )

( )( ) 2

1

i x yi

i i y xi

w y xi

iz z x yi x yi x yi x y

- +

= = - = - = - = - =

-+ + - +

Vì x>0, y>0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ (- -y; x) (đều có hồnh độ tung độ âm) Đồng thời

( ) ( )2

1

w = -y + -x = = z Suy điểm biểu diễn số phức w nằm góc phần tư thứ III cách gốc tọa độ O khoảng OA Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn.Chọn C

Câu 129 Ta cú(2+i z i)( + = - ắắ) z đ = -z i

Suy 5 1; tan

4 4

(98)

Khi sin 2 tan2 0; cos tan22 12

13 13

1 tan tan

j j

-= = > = = >

+ + Chọn A

Câu 130 Ta có ( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

2

1 2

0

1 1 1 1

i i i i

z

i i i i i i i i

+ -

-= + = + =

- + - + - + - + Chọn A

Câu 131 Ta có(1-i z) - + = Û1 5i (1–i z) =1– 5i

( )( )

2

1

1 5

3

1 1

i i

i i i

z i

i i i

- +

-

-ắắđ = = = =

- +

Vậy ( ) ( )2

13

A=z z= z = + - = Chọn B

Câu 132 Ta có(2 ) 2( ) (2 ) 2( )

1

i i

i z i i z i

i i

+ +

+ + = + Û + = +

-+ +

(2 ) 7

2 i

i z i z z i

i +

Û + = + Û = Û = +

+

Suy 4 16 25

3 a

w z i i P

b ì = ïï

= + + = + ắắđớù = ắắđ = + =

ïỵ Chọn C

Câu 133 Ta có( ) ( ) ( ) ( )

2

2 10 10

1

1 2

i i i i

i z i z i

i i

+

-+ = + Û = = = = +

+ +

Suy w= + =z iz (4 2- i) (+i 2+ i)= +2 2i

Vậy số phức w có phần thực , phần ảo Suy 22+22=8.Chọn D.

Câu 134 Ta có 1 1 1

1

i i

i z z i z i

z i

-

-= + Û + -= + = - ắắđ =

-+ +

Suy 3 ( )3 ( )3 ( )

1 1 1 3;

w=z + = - -i + = - +i + = - ắắi đM - Chn C

Câu 135 Ta có (1 2) 2 ( )

1 z

z z z i i

i+ = Û + - =

( )1

Đặt z= +a bi (a b; Ỵ¡ , suy ra) z= -a bi Do ú( )1 ắắđa bi+ + -(a bi)(1 2- i)= -2 4i

(2 ) 2 2 2

2

a b a

a b i z i

a b

ì - = ì =

ï ï

Û - - = - ớù ớù ắắđ = +

- = - =

ï ï

ỵ ỵ

Suy w=z2- =z (2+i) (2- + = + ¾¾2 i) 1 3i ®w = 12+32 = 10 .Chọn A.

Câu 136 Ta có(1 ) 3 (3 )(1 2) 5

1 5

i i

i z i z i

i

+

-+

-+ = + Û = = = =

-+

Suy z = Vậy ( ) ( )4

1 2

P= z -z + = - + = - + = Chọn C

(99)

Câu 137 Đặt z= +a bi (a b; Ỵ¡ , suy ra) z= -a bi

Theo giả thiết, ta có ( ) 1(3 ) ( )(1 ) ( ) 1(3 )

1 2

a bi i

a bi

a bi i a bi i

i

+

-+ = - - + Û = - - +

+

( ) (2 3) ( 1)

2 1

2

a b a b i a b i a b a a

a b b b

ì ì

+ + - + - + - - ïï + = - ïï =

Û = Ûíï- + =- - Ûíï =

ï ï

ỵ ỵ Chọn C

Câu 138 Ta có ( ) ( )( )

( )( )

2

1 1

z z i z z z i i

iz iz

z i z i i

+ + +

+ + = Û + + =

- - +

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2

z iz z i i a bi i a bi a bi i i

Û + + + + = Û - + + + + + + =

( )

1

2 3

3

9 a a b

a b a i

a b ìïï =-ï ì - - = ï ï ï ï Û - - + + = Ûíï + = Ûíï ïỵ ï = -ïïïỵ Vậy a

b= Chọn B

Câu 139 Ta có ( 2) ( ) 2 2

1 2 3 1 2

1 1

m m i mi m m m m

z i

m m m

é - + - ù + - + - +

-ë û

= = +

+ + +

Để z số thực 2 0 1 ( )2 1.

2 m

m m T

m é = ê

Û + - = ắắđ = + =

ờ =

-ë Chọn C

Câu 140 Giả sử ( )

( ) ( ) 2 2 81 18 9

1 1

m mi

m i

w z

i i i

- + + æ + ữử ỗ = =ỗỗố - ữữứ = =

-( 81) 18 .2 36 2( 81) 2

81

9

2

m mi i m m i m

m i i i é - + ù - + - ổ - ử ỳ ữ ỷ ỗ ữ = = = - +ỗỗỗ ữữ - ố ứ

Để w=z2 là số thực 81 0 81 0 9

2

m - m m

Û = Û - = Û = ± Chọn C

Câu 141 Ta có

( ) 2 ( )2

1

1 2

i m i m i m

z

m m i i m i m i m i m

- - - -= = = = - - - + - - - -1 mi

z i i

i m i m

-ắắđ - = - =

-

-Khi ú 2

2

1 1 2 1

2

mi m

mi

z i m m m

i m i m m

- = = = £ Û + ³ Û £

- - +

{ }

1 m mẻ m 1;0;1

ô - Ê Ê ắắắÂđ = - Chn D.

Cõu 142 Ta cú

z z z z

z

= = ắắđ =

Ta có

1 z z

+

- số ảo

1 0 1 0

1 1

z z z z

ổ

+ ỗ + ữ + +

+ỗỗố ữữứ= + =

(100)

-1 1

1 1 1

0 0

1

1 1 1 1

z z z z z z

z z z z z

z +

+ + + + +

Û + = Û + = Û - =

- - - - - - : ln " ¹z Chọn D

Câu 143 Điều kiện để z2

z+ có nghĩa zạ -2 t z= +x yi x y( ; ẻĂ)

= z+3i = 13ắắđx2+ +(y 3)2 =13ôx2+y2+6y=4 ( )1

=

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2

2 2

z x yi x y x yi

z x yi x y x y

+ + +

= = +

+ + + + + + + số ảo ( )

2 2 2

2

x y x

x y

+ +

Û =

+ +

2 2 0.

x y x

Û + + = ( )2

Giải hệ gồm( )1 ( )2 , ta 22 22 ( )

2;

6

1

2 ;

5

x y

x y y

x y x x y

é = - =

ì ê

ï + + =

ï Ûê

í ê

ï + + = = - =

ïỵ êë

loại

Vậy có số phức

5

z= - + i thỏa mãn tốn.Chọn D Câu 144 Ta có(3 4i z) (3 4i z)

z z

- - = Û - = +

Lấy môđun hai vế, ta (3 4i z) 4 i z 5z

z z z

- = + Û - = + Û = +

( )

2

5z z 5z 8z z

Û = + Û - - = Û =

Gọi M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z 2 2 9; .

2

d OM x y z ổỗ ửữ

ắắđ = = + = = ẻỗỗố ữữứ

Chn D

Cõu 145 Biến đổi ta (1 2i z) 10 i (z 2) (2z 1)i 10

z z

+ = - + Û + + - =

1442443 144424443

Lấy môđun hai vế, ta ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2

10 10

2 2

z z z z

z z

+ + - = Û + + - =

Đặt t= z>0, ta phương trình( ) (2 )2

10

2 1

t t t

t

+ + - = Û =

1

2

z z

ắắđ = ắắđ < < Chn D

Câu 146 Áp dụng công thức ( )

( )

4 4 4 4

1

k k k k k k k

i

i i i i i

i i i

i i i i i

+ + +

ìï = ïï

ïï = = =

ïí

ï = = =

-ïï

ïï = = = =

-ïỵ

(101)

Do ta lấy số mũ chia cho để số dư ứng với cơng thức Chọn C

Câu 147 Ta có 2017 504.4 ( )

3 4

4 4;

i i i

z i M

i

i i +

+ + +

= = = = - ắắđ - Chn D

Cõu 148 Ta có ( )2017 2017 2017 2017

2

P = i = i = i Chọn C

Câu 149 Ta có ( )2

1+i =2i, suy ( ) ( )

( ) ( )

4 2

1 4

1 16

i i i

i

ìï + = = =

-ïï

íï + = - =

ïïỵ Chọn D

Câu 150 Ta có ( )2

1+i =2i, suy ( )2018 ( )1009 1009 1009 1009 252.4 1 1009

1+i = 2i =2 i =2 i + =2 i.

Chọn A

Câu 151 Ta có ( )15 ( ) (2 ) [ ] (7 )

1

z= +i =éêë +i ùúû + =i i +i

(2 17 7i )( i) é128.( ) (i ù 1 i) 128 128i

= + =ë - û + = -

Suy z=128 128+ i.Chọn C

Câu 152 Ta có z= -(2 2i)7=2 17( -i)7=2 17( -i) (6 1-i).

Mà (1-i)6 =é(1-i)2ù3= -( 2i)3= -8i3=8 i

ê ú

ë û

Vậy z=2 17 i( - =i) 210i(1- =i) 2 110( + =i) 210+2 10i Chọn D.

Câu 153 Dễ thấy tổng tổng cấp số nhân có 2019 số hạng, số hạng u1=1, cơng bộiq= +1 i

Do ( )

( )

2019 2019 2019

1

1 1

1

1 1

i i

q

w u

q i i

- + - +

-= = =

- - + -

Ta có ( )2 2

1+i = + + =1 2i i 2i

Suy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1009

2019 1009 1009 1009 1009 1009

1 2

2

i i i i i i i

i i i

é ù

+ =êë + úû + = + = +

= + = - +

Vậy ( ) ( ) ( ) ( )

2019 1009 1009

1009 1009

1 1

2

1

i i

w i

i i

é - - + ù

- + - - + êë úû

= = = = + +

- - Chọn D

Câu 154 Ta có w=i5(1+ + + + +i i2 i3 i13) (=i 1+ + + + +i i2 i3 i13).

Dễ thấyT= + + + + +1 i i2 i3 i13 là tổng cấp số nhân có 14 số hạng, số hạng đầu tiên 1

u = , công bội q i=

Do 14 14 ( ) ( )

2

1 1

1

1 1 1

i

q i

T u i

q i i

+

- - +

= = = = = +

(102)

Vậy (1 ) 1

a

w i i i S a b

b ì = -ïï

= + = - + ắắđớù = ắắđ = + =

ùợ Chn A

Câu 155 Ta có ( )

2

1

1 .

1 1

i i z i i -= = = -+ +

Suy z2017 ( )i 2017 ( )12017.( )i 504.4 1+ i.

= - = - = - Chọn B

Câu 156 Ta có (1 )

1 1

i i i i i + - + = = - +

Suy ( ) ( ) ( )

1012

2024 1012

2024 2024 1012

2024 2024 2024 2024 1012

1

1 2 2 2

i i i i i i é- + ù - + -ỉ ư÷ ỉ- + ư÷ êë ỳỷ ỗ ữ =ỗ ữ = = = = = ç ÷ ç ÷ ç ç è - ø è ø Chọn B

Câu 157 Ta có ( )

2

1

1 1

i i i i + + = =

- + Suy

2017 2017

1

i

z i i

i æ + ữử ỗ

=ỗỗố - ữữứ = =

Do z z z .7 15=z23=i23= = -i3 i. Chọn A.

Câu 158 Ta có ( )

2

1

1 1

i i i i + + = =

- + Suy

5

1

i

z i i

i ỉ + ÷ư ç

=ççè - ÷÷ø = =

Suy z5+z6+z7+z8= + + + = - - + =i5 i6 i7 i8 i 1 i 1 0. Chọn A.

Câu 159 Ta có ( )

2

1

1 1

i i i i + + = =

- +

( )2

1

1 1

i i i i -= =-+ +

Suy ( )

16

8 16

1 1 2.

1

i i

z i i

i i

ổ + ửữ ổ - ửữ

ỗ ỗ

=ốỗỗ - ữứữ +ốỗỗ + ữứữ = + - = + =

Vậy số phức z có phần ảo 0.Chọn D Câu 160 Ta có 2 1( )

1 i i i i i -= = +

+ , suy ( ) ( ) ( )

8 4

8

2 1 1 2 16

1

i i i i

i ỉ ư÷ é ù ç ÷ = + = + = = ç ÷ ỳ ỗ ỷ ố + ứ Do

2 16 16 16 16

1 i

i z i z z z i z i

i i

ổ ửữ ỗ

=ỗỗố + ÷÷ø Û = Û = Û = - Û =

Suy (2 ) (2 )16 16 32 16 48

32 a

w i z i i i S

b ì = ïï

= - = - = + ắắđớù = ắắđ =

ïỵ Chọn D

Câu 161 Ta có(n i+ )4=n4+4n i3 +6n i2 2+4ni3+ =i4 n4-6n2+ +1 (4n3-4n i) .

Để(n i+ )4Ỵ Û4n3-4n= Û =0 n 0

¢ n= ±1.Chọn B

Câu 162 Ta có 2

3

m m m

i i

i z i

i i ổ + = ắắđ =ỗ + ữ = ữ ỗ ữ ỗố ứ

- - Ta có nhận xét sau :

● 2mỴ¡ với mọi m ngun dương.

(103)

● imỴ¡ khi m chẵn, imÏ

¡ m lẻ Mà đoạn[1;50] có 25 giá trị nguyên lẻ.Chọn B Câu 163 Gọi z= +a bi a b( ; Î¡), suy z= -a bi Từ giả thiết, ta có 2(a bi+ -1 2)( - = +i) (3 i a bi)( - +2i)

(4 4) ( 2) (3 2) ( 6)

4 2

2

a b a b i a b a b i

a b a b a b a

a b a b a b b

Û + - + - + + = + - + - +

ì + - = + - ì + = ì =

ï ï ï

Ûíï Ûíï Ûíï

- + + = - + - = - =

ï ï ï

ỵ ỵ î

Suy z= +1 i nên z9 = +(1 i)9 = +(1 i) (é1+i)2ù4 = +(1 i)( )2i 4=16 16 + i

ê ú

ë û Chọn B

Câu 164 Ta có ( )( ) ( ) ( )

2015 2015

2 1

1 i

z i i i z i

i +

+ - - = + Û + - =

-

Hay ( ) ( ) ( ) ( )

1008

2015 2016 1008 1008 1008 1007

1

1 2

2

1 2 2

i

i i i i

w

i

é + ù

+ + êë úû

= = = = = =

- Chọn C

Câu 165 Gọi z= +a bi a b( ; Ỵ¡ , suy ra) z= -a bi.Ta có

● 2017 ( )2 ( )2 ( )2

1

i i z z i i z z z z

z z

a= - - + = - - + = - +

-

-(a bi) (2 a bi)2 a2 2abi b2 a2 2abi b2 4abi a

= - + + - = - - + + - - = - ắắđ l số ảo

● ( )2 ( 1)( 1) ( )2 ( 1) ( )2 ( ) ( )2

1

z z z

z z

b= - + + = - + + + = + + + = + + +

-

-(a2 b2 2abi) 2a (a2 b2 2abi) (2 a2 a b2) b

= - + + + - - = + - ắắđ l s thc.Chn D

Cõu 166 Bit số D = - = - =1 ( )3i

Do phương trình có hai nghiệm phức 3

2 2

i

z= ± = ± i.Chọn D

Câu 167 Biệt số ( )2

16 20 2i

D = - = - =

Do phương trình có hai nghiệm phức:

4 2

2 i

z = - = -i

4 2

2 i

z = + = +i

Suy 2 2 ( ) (2 )2

1 2 4

(104)

Phương trình có hai nghiệm phức 1 2

1

2 2.

1

2 i z

P z z

i z

ỡù +

ù = ùù

ù ắắđ = + =

íï

-ïï = ïïỵ

Chọn A

Câu 169 Ta có ( )2 ( )2

2

1

2 10

1

z i z

z z z i

z i z

é = - + = ê

+ + = Û + = Û ê =- - =

ë Suy 2 ( ( )2 2)2 ( ( ) ( )2 2)2

1 3 10 10 20

P=z +z = - + + - + - = + = Chọn B

Câu 170 Theo định lí Viet, ta có 2

7

7 15

15

z z

P z z

ỡ + =

-ùù ắắđ = - + =

íï =

ïỵ Chọn D

Câu 171 Theo định lí Viet, ta có

1

2

2 z z z z ì + = -ïï

ïí

ï =

ïïỵ

Khi ( ) 2

1 2

3 2 2 5.

2 2

P= z z +i z +z = - i = ỗổ ửữỗ ữỗố ứữ + = Chn A

Cõu 172 Bit số ( )2

16 20 2i

D = - = - =

4 2

i

z = - = -i

4 2

i

z = + = +i

Suy ( )2017 ( )2017 ( ) ( )21008 ( ) ( )2 1008

1 1 1

P = -i + +i = -i éëê -i ùúû + +i êéë +i ùúû

(1 i) (. 2i)1008 (1 i)( )2i 1008 (1 i).21008 (1 i).21008 21009.

= - - + + = - + + = Chọn

C

Câu 173 Biệt số ( )2

4 2i

D = - = - =

2 1

2 i

z = - = -i

2 1

2 i

z = + = +i Suy 2016 ( )2016 ( )2 1008 ( )1008 ( )1008 1008 1008 1008

1 1 2 2

z = -i =ëêé -i ùúû = - i = - i = = ;

( )2016 ( )2 1008 ( )1008

2016 1008 1008 1008 1008

2 1 2 2

z = +i =ëêé +i ùúû = i = i = =

Vậy 2016 2016 1008 1008 1009

1 2 2

P=z +z = + = Chọn A

Câu 174 Biệt số D = -' 4 20= -16 16= i2 =( )4i 2.

Do phương trình có hai nghiệm phức: z= - +2 4i z= - -2 4i Do z1 nghiệm phức có phần ảo âm nên ta chọn z1= - -2 4i

Suy ( )3

1 16 16 88

A=z - i= - - i - i= Chọn B

(105)

Câu 175 Ta có ( ) ( )

( )( )

1 2

S i i

P i i

ìï = + + - =

ïïï

íï = + - =

ïïïỵ

Suy phương trình cần tìm z2-Sz+ = ÛP 0 z2-2z+ =3 0. Chọn C.

Câu 176 Hai số phức cần tìm nghiệm phương trình z2-3z+ =4 0.

Biệt số D = -9 16= - =7 ( )7i Suy hai số phức

3 7

2 2

i

z = - = - i

3 7

2 2

i

z = + = + i

Vậy 2

9 4.

4 4

z +z = + + + = Chọn B

Câu 177 Ta có

2

4

2

z i z

z

z i z

é = - = ê

+ = Û ê = =ë

Suy M(0; ,- ) N(0;2) nênT =OM+ON = - +2 =4 Chọn D Câu 178 Xét phương trình 4z2-16z+17=0 có D =¢ 64 4.17- = - =4 ( )2i 2.

Phương trình có hai nghiệm phức:

8 2

4

i

z = - = - i

8 2

4

i

z = + = + i

Do z0 nghiệm phức có phần ảo dương nên ta chọn

1

2 z = + i

Khi

1 2

2

w=iz = - + i Vậy điểm biểu diễn w=iz0

1;2

Mổỗ-ỗỗố ửữữữứ.Chn B

Cõu 179 Ta cú

1 2 2

1 z z .

w iz z iz z

z z z z

+

= + + = +

Do z z1, hai nghiệm phức phương trình

2

1

3

2

2 z z

z z

z z ìïï + = ï

- + = ắắđớù

ï =

ïỵ

Vậy

1 2 2

1 2

4

z z

w iz z iz z i

z z z z

+

= + + = + = + Chọn C

Câu 180 Theo định lí Viet, ta có

1 2

2

z z b

z z c

ì + = -ïï

íï =

ïỵ

( ) ( )

2

1 2

2

2 2

2

1 2 2

4 4

OA z

OB z

AB z z z z z z z z b c

ìï =

ïï

ïïï =

íï ïï

ï = - = - = + - =

(106)

Do

2 2

2 2 2

1

4

2

b b c

z z z z

z +z = + + - = + - = b + b -c

Để tam giác OAB vuông OÛOA2+OB2 =AB2 2

2 2 2

2

2b 2b c 4b c b b c b b c c 2b

b c b

é = -ê

Û + - = - Û = - Û Û = >

ê =

-êë Chọn A

Câu 181 Thay z= -1 i vào phương trình, ta ( ) (2 )( )

1-i + -2 m 1- + =i

( ) ( )

2

1 2 2 4

4 m

i i i m mi m m i m

m ì - = ïï

Û - + + - - + + = Û - + - = Ûíï - = Û =

ïỵ

Chọn B

Câu 182 Thay z= +1 i vào phương trình, ta được( )2 ( )

1+i +m 1+ + =i n

( ) ( )

2

m n m

i m mi n m n m i

m n

ì + = ì =

-ï ï

ï ï

Û + + + = Û + + + = Ûíï Ûíï

+ = =

ï ï

ỵ ỵ

Suy w= - +2 2i nên w = -( )22+22 =2 2.Chọn C.

Câu 183 Thay z= +1 2i vào phương trình, ta ( )2 ( )

1 2+ i +a 2+ i + =b

( )

3

2

a b a

a b a i S a b

a b

ì + - = ì =

-ï ï

ï ï

Û + - + + = ớù ớù ắắđ = + =

+ = =

ï ï

ỵ ỵ Chọn D

Câu 184 Giả sử w= +x yi x y( ; Ỵ¡)

Do w i+ 2w-1 hai nghiệm phương trình z2+az b+ =0 nên suy w i+ và 2w-1 là hai số phức liên hợp.

Suy ( )

1

2

2 1

2

3 x

x x

w w i w i x yi x yi i

y y y

ì = ïï

ì - =

ï ï

ï

- = + = - ¾¾® + - = - - Ûíï = - - Ûíï =

-ïỵ ïïỵ

Suy

2

1

2

3 2 1 1

3

w i i

w i

ìïï + = + ïïï

= - ắắđớù

ï =

-ïïïỵ

Theo định lý Viet, ta có

( )( )

2

2 5

13

2

9 a

w i w a

a b

w i w b b

ì = -ï

ì + + - = - ï

ï ï

ù ắắđ + =

-ớ

ï + - = ï =

ï ï

ỵ ïỵ Chọn D

Câu 185 Giả sử w= +x yi x y( ; Ỵ¡)

Do z1= +w 2i z2=2w-3 hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực nên z1= +w 2i z2=2w-3

hai số phức liên hợp

(107)

Suy z1=z2Û + =w 2i 2w- + =3 w 2i 2w- ắắ3 đ +(x yi)+ =2i 2(x-yi)-3 1 2 3

2 3 97.

2

3

x z i

x x

w i T z z

y y y z i

ìïï ì = = + ï ï ï ì = -ï ï ï ï ï Ûíï Ûíï Þ = - ịớù ắắđ = + = + = - = -ùợ ïï ïï = -ỵ ïïỵ Chọn B

Câu 186 Ta có 2

2 12 3 z z z z z i z é = é = ± ê ê - - = Ûê Û ê = ± = - ê ê ë ë

Do đóT = z1 +z2 +z3 +z4 = +4 Chọn C

Câu 186 Phương trình ( )( )

2

6 19 15 3

3

x

x x x x

x é = -ê + + = Û + + = Û ê = -êë 2 2 2

3

2 3

2 2 0.

5 15 6 15 15

3 3

i i

x x x

T

i i i i i i

x x x

é é é ê ê ê = - ê = ê = ± ê ờ ờ ờ ờ ắắđ = - + - = ê = - ê ê ê ê = ê = ± êë ë ë Chọn C

Câu 188 Xem phương trình bậc hai, với ẩn ( 4 )

z - z có D = +9 160 169 13= = 2.

Do phương trình ( )

( ) 2 2 2 13

4 4 5 0 2 1

2

3 13 12

4

2

z z z z z

z z z

z z é -ê - = = - é - + = é - = -ê ê ê Ûêê + Ûê Ûê ê - - = ê - = ë - = = ë ê êë

● ( )2 ( )2

2

z i z

z i

z z i

z i z i z

é é - = ê = + = ê - = - Û - = Û Û ê ê - = - = - = ë ë

● ( )2

4

2

2 12 2

2

z z z z z z é = - = ê - = Û - = ± Û ê = + = êë

Khi 2 2

1 42

P= z +z +z +z = Chọn A

Câu 189 Ta có ( )4 ( )4 ( ) (4 )4

1 2

2 z

z z i z i z

z i ổ - ữử

ỗ ÷ = Û - = - Û - - - =

ỗ ữ

ỗố - ứ

t ( ) ( ) ( ) ( )

( )

4

2

85 f i

f z z i z

f i

ìï =

ï

= - - - ắắđớù - =

ïỵ

Mặt khác f z( )=0 có bốn nghiệm z z z z1, 2, 3, hệ số bậc cao đa thức f z( )

( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)

15ắắđf z =15 z z- z-z z z- z z-

Nhận thấy ( )( )

1 1

z + = z +i z -i nên ( )( )( )( ) ( ) ( ) 1 15 15

f i f i

(108)

-5 8-5. 17 15 15

= = Chọn C

Câu 190 Đặt t=z2, phương trình trở thành 4t2+mt+ =4 0 có hai nghiệm 1,

t t

Ta có 2

4

m t t t t ìïï + =-ïí

ïï = ïỵ

Do vai trị bình đẳng, giả sử ta có 2

z =z =t , 2

z =z =t

Yêu cầu toán ( ) (2 )2 ( )

1 4 324 16 324

t t ét t t t ù

Û + + = Ûë + + + û =

( 17)2 182 17 18

17 18 35

m m

m

m m

é- + = é =

-ê ê

Û - + = Ûê Ûê

- + = - =

ë ë Chọn C

Cách Đặt f z( )=4(z z- 1)(z z- 2)(z-z3)(z-z4)

Do ( )( )

1 2

z + = z + i z - i nên( )( )( )( ) ( ) ( )

1

2

4 4

4

f i f i

z + z + z + z + = - ( )*

Mà ( ) ( ) ( )4 ( )2

2 2 68

f i =f - i = i +m i + = - m

Vậy( ) ( )

2

68

* 324

35 4.4

m m

m é

- ê =

-Û = Û ê =

ë

Câu 191 Số phức z có phần thực nên có dạng z= +2 bi b( Ỵ¡ )

Do điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ thỏa mãn x 2, b y b ì =

ïï Ỵ

íï =

ïỵ ¡

Tập hợp điểm nằm đường x=2 cố định.Chọn B Câu 192 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡), suy z= -x yi

Theo giả thiết, ta có ( )2 ( )2

0 x yi

x+yi + - =

(x2 y2 2xyi) (x2 y2 2xyi) 0 2(x2 y2) 0 y x .

y x

é = ê

Û - + + - - = Û - = Û ê

=-ë

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường phân giác gốc tọa độ có phương trình y x= , y= -x.Chọn D Câu 193 Theo ra, ta có x+ + +1 (y 3)i = - + -x (y 1)i

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

1

x y x y

Û + + + = - +

-2 2 6 10 2 4 2 5 6 8 5 0

x y x y x y x y x y

Û + + + + = + - - + Û + + =

Phương trình đường trung trực AB là: 6x+8y+ =5

(109)

Vậy tập hợp điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu toán đường thẳng trung trực đoạn AB với

( 1; ,) ( )2;1

A - - B Chọn C

Câu 194 Ta có ( )

( )

( ) ( )

1

x y i x y i

x y i

z i

z i x y i x y i x y i

é + + ù é - - ù

+ +

+ ë û ë û

= =

é ù é ù

- + - ë + - û ë - - û

( ) ( )

2

1

x y x i

x y x y

+

-= +

+ - +

-Để z i z i +

- số thực ( )2 ( )2

2 0

1

x x

x

y

x y

ì =

ï ì =ï

ï ï

= Ûíï Ûíï ¹

+ -

+ - ùợ ùợ

Vậy tập hợp điểm M x y( ; )cần tìm trục tung bỏ điểm biểu diễn số phức z i= Chọn D Câu 195 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡), suy z= -x yi

Theo giả thiết, ta có ( ) ( )

3

x+yi + x+yi + x-yi =

( )2

2 6 0 3 9.

x y x x y

Û + + = Û + + =

Vậy tập hợp số phức z đường tròn tâm I(-3;0), bán kính R=3.Chọn A Câu 196 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡), suy z= -x yi

Khi (2-z z i)( )+ = - +éë2 (x yi) (ù éû ë x-yi)+iùû

(2 x) yi x. (1 y i) ( x2 y2 2x y) ( x 2y 2 )i

é ù é ù

=ë - - û ë + - û= - - + + + - - +

Để (2 z z i- )( )+ số ảo 2 2 ( )2

2

x y x y x ổỗy ửữ

- - + + = - +ỗỗố - ữữứ =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm 1;1

Iổỗỗỗố ứửữữữ, bỏn kớnh R= 25.Chn A

Cõu 197 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡ và) M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z Để M nằm đường tròn tâm I( )0;1 , bỏn kớnh R= ơắđ2 x2+ -(y 1)2 =22

( )2

2 1 2 2

x y z i

Û + - = Û - = Chọn D

Câu 198 Ta có w= + + =z z 2i 2x+2 i

Vì z x yi= + thuộc đường tròn( ) ( )2

1 2

C ắắđ -x Ê ô - Ê Ê ắắx đ- Ê xÊ

Từ ta có w2 22x 26i

x

ỡ = +

ùù ắắđ

ớù- Ê £

ïỵ tập hợp điểm biểu diễn số phức w đoạn thẳng có hai đầu mút tọa độ điểm

(110)

Câu 199 Ta có ( )

( )

1

2

2;

2

4

2 2;

M

z i

z z M N

z i N

ìï

ìï = + ï

ï ï

- + = Ûớù ắắđớù ắắđ

= -

-ï ï

ïỵ ïïỵ

Điểm P biểu diễn số phức w= +x yi ắắđP x y( ; ), suy ( )

( )

2;

MP x y

NP x y

ìï = -

-ïïï

íï = - +

ïïïỵ uuur

uuur

Để tam giác MNP vng P MP NPuuur uuur =0

(x 2)2 (y 5)(y 5) 0 (x 2)2 y2 5 0 (x 2)2 y2 5.

Û - + - + = Û - + - = Û - + = ( )*

Đẳng thức ( )* phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác vng MNP Để ba điểm M N P, , tạo thành tam giác P M

P N

ì ¹ ïï íï ¹

ïỵ

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức P đường trịn có phương trình ( )2 2

2

x- +y = không chứa M N, Chọn C Câu 200 Đặt w= +x yi x y( ; Î¡ )

Từ giả thiết, ta có x+yi=2z+ - ơắđ1 i 2z= - +x (y+1 )i Li cú z- +3 4i £ Û2 z- +3 4i £ Û4 2z- +6 8i £4

( ) ( ) ( ) (2 )2

1 9 16

x y i i x y i x y

ắắđ - + + - + £ Û - + + £ Û - + + £

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn bán kính R= ¾¾4 ® =S 16 p Chọn C

Cách Ta có 1

2

w i w i

w= z+ - ắắi đ =z - + ắắđ - +z i= - +

Suy 9

2

w i

w- + i z i - + w i

= - + Û £ Û - + £

Câu 201 Đặt z= +a bi a b( , Ỵ¡ và) w= +x yi x y( , Î¡ )

Theo ra, ta có

( ) ( )

2

1

a b z

z w x a y b

ì

ì ï + =

ï = ï

ï Ûï

í í

ï - = ï - + - =

ï ï

ỵ ïỵ

( )

2 2

1

2

a b

x y

x y ax by ax by

ìï + =

ì ï

ï + = ï

ï ï

Ûíï + = + Ûíï +

= +

ï ï

ỵ ïïỵ

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có(ax by+ )2£(a2+b2)(x2+y2)=x2+y2.

Suy

2 2

2 2 4

2

x y

x y x y

ổ + ửữ

ỗ ữ Ê + + Ê

ỗ ữ

ỗố ø

(111)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn( )C x: 2+y2£4. Chọn A.

Câu 202 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡)

Ta có z i- + + = Ûz i 4 x2+ -(y 1)2 + x2+ +(y 1)2 =4

( ) ( ) ( )

2

2 2

1

1 16

x y

x y x y

x y x y x y

ìïï + + £

ïï

Û + - = - + + Û íï

ï + - = + + + - + +

ïïỵ

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1 16 16

1 16

4

2 4 3 12

1

3

x y x y

x y

y y

x y y x y x y

ìï + + £ + + £

ï

ìï + + £ ï

ï ï

Ûí Ûí ³- Û ³

-ìïï ïï ïïï í

ï ï

ï + + = + ï

ï ï ï

ỵ ïïỵ + = ïïï + =

ïïïỵ

Tập hợp điểm thỏa mãn( )3 thỏa mãn( )1 và( )2 Vậy tập hợp điểm M elip ( ): 2

3

x y

E + = Chọn B

Câu 203 Gọi w= +a bi a b( ; Ỵ¡)

Ta có ( ) ( ) ( ) (2 )

1

3

3 16

a b i i

a b i

w a bi i z i z

i i

é + - ù

-+ - ë û

= + = + + Û = =

+

-( ) ( ) (2 )2

3 4

3

3 4

25 25 25

a b b a

b a

a b

z + - - - i z + - + -

- = + ắắđ =

M z =4 nên(3a+4b-4) (2+ 3b-4a-3)2=1002 Ûa2+ -b2 2b=399

( )2 1 202

a b

Û + - = Chọn C

Cách Ta có w= +(3 4i z i) + Û - = +w i (3 4i z)

Lấy môđun hai vế, ta w i- =(3 4+ i z) =(3 + i) z =5.4=20

Câu 204 Ta có w= +(1 3i z) + ơắđ = +2 w (1 3i z)( - + +1) 3i

(3 3) (1 3)( )

w i i z

ơắđ - + = +

-Lấy môđun hai vế, ta ( ) {

2

3 3 2.2

w- + i = + i z- = =

144424443 Chọn B

Câu 205 Ta có iz 2i i z 2i i z( i) i z i i

ổ - ữử ỗ

(112)

2

z i

Û + + = Đẳng thức chứng tỏ tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(- -2; 1), bán kính R=4 Chọn B

Câu 206 Ta có(3 2) 2

3 13 13 13 13

i

i w iz w z w i z i

i i

ổ ửữ

ỗ

- = + ® = - + - ® = -ỗỗố + ữữứ + +

( ) ( )

2 7

1

13 13 13 13 13 13 13 13

w ỗổ i zữử i w ỗổ iử ổữ ỗ i zửữ

ắắđ = -ốỗỗ + ứữữ - + + ắắđ -ỗốỗ + ứ ốữữ= -ỗỗ + ứữữ

-Ly mụun, hai v ta c {

3

13

4 3

13 13 13 13 13

w-ổỗỗỗố + iửữữữứ= - + i z- =

14444244443

Vậy tập hợp số phức w thuộc đường tròn tâm 7; 13 13

Iổỗỗỗố ửữữữứ, bỏn kớnh 13 r= Chn C

Câu 207 Từ giả thiết, ta có w+ = -2i (3 4i z)

Lấy môđun hai vế w+2i = -3 i z =5.(m2+2m+ =5) 5é(m+1)2+ ³4ù 20.

ê ú

ë û Chọn C

Câu 208 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡ và) M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z = 2z- = + + ¾¾1 z i ®2x- +1 y i = + - -x (y )i

(2x 1)2 4y2 (x 1) (2 y 1)2 3x2 3y2 6x 2y 1 0.

Û - + = + + - Û + - + - = ( )1

=Lại có MỴ( ) (C : x-1) (2+ -y 1)2= Û5 x2+y2-2x-2y- =3 ( )2

Từ( )1 ( )2 , ta có hệ 322 32 0

2

x y x y x

y

x y x y

ì ì

ï + - + - = ï =

ï Ûï

í í

ï + - - - = ï = -ï

ï ỵ

ỵ

2 x y ì = ïï íï =-ïỵ

Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện toán z1= -i z2= -2 i

Do z1.z2 = -i 2- =i Chọn A

Câu 209 Gọi M điểm biểu diễn số phức z

= M thỏa mãn phương trình z- -3 6i = nên M thuộc đường tròn tâm A( )3;6 , bán kính R=

=Ta có (1 ) 12 15 12 15 5

1 2

i

i z i z z i

i i

+

+ - - = Û - = Û - - =

+ +

ắắđ M thuc đường trịn tâm B( )5;2 , bán kính ' 5R =

Nhận thấy ( ) (2 )2

5 '

AB= - + - = = -R R

Vậy hai đường tròn tiếp xúc M , hay có số phức z Chọn B Nhận xét Bài tốn khơng q khó cách suy luận hay

(113)

Câu 210 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡ )

= z z = ắắ1 đx2+y2=1 ( )C1

ng trũn ( )C1 tâm I1(0;0 ,) bán kính R1=1

= z- 3+ =i mắắđ -x 3+ + =yi i m(x- 3)2+(y+1)2=m2 ( )C2

Đường tròn ( )C2 tâm I2( 3; ,- ) bán kính R2 =m m( >0)

Để tồn số phức z ( )C1 tiếp xúc với ( )C2

TH1: ( )C1 ( )C2 tiếp xúc ngoài, ta I I1 =R1+R2 Û = + Û2 m m=1(thỏa)

TH2: ( )C1 ( )C2 tiếp xúc trong, ta 2 ( )

3

2

1 m

I I R R m

m é = ê

= - Û = - Û ê

=-ë loại

Chọn A

Câu 211 Ta có z- -2 4i = -z 2i ắắđ (x-2) (2+ -y 4)2 = x2+ -(y 2)2 2 4 8 20 2 4 4 4 .

x y x y x y y y x

Û + - - + = + - + ắắđ =

-Khi ú z = x2+y2 = x2+ -(4 x)2 = 2x2-8x+16= 2(x-2)2+ ³8 2 2.

Vậy môđun nhỏ z 2 Xảy Û = = ¾¾x y ®M=8 Chọn A Câu 212 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡ )

Ta có ( ) (2 )2 2 ( )2

2 2

z+ - i = -z i ắắđ x+ + -y = x + -y

(x 2) (2 y 2)2 x2 (y 4)2 y 2 x.

Û + + - = + - ắắđ =

-Khi w= + =iz i x( +yi)+ = - + = - - + =1 ix y ix (2 x) (x- +1) xi

Suy ( 1)2 2 2

2 2

w = x- +x = ỗổỗỗốx- ửữữữứ + Chn A

Cõu 213 Vỡ Mẻ ắắd đM(2y-1;y)

Điểm M biểu diễn số phức z3, suy z3=(2y- +1) yi x y( ; Ỵ¡)

Ta có w=3z3- -z2 2z1=3 2( y- +1 yi) (- - -5 3i)-2 3( + i)=6y+(3y-3 )i

(114)

2

1

3

5

5 5

y

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗỗố - ữữ + ³ =

ø

Dấu " "= xảy 3 1;

5 5

y x Mổỗ ửữ

= ắắđ = - ắắđ ỗỗố- ữữứ Chn D Cõu 214 Gi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ )

Ta có z+ - = -1 i z 3i , suy (x+1) (2+ -y 1)2 = x2+ -(y 3)2 Û2x+4y- =7 0.

Suy tập hợp số phức z thuộc đường thẳng D: 2x+4y- =7

Ta có min [ ] max

2

min

7 5

;

10

2

z d O w

z

-= D = = ắắđ = =

+ Chọn B

Câu 216 Ta có z2-2z+ =5 (z- +1 2i z)( + -3i 1)

( )2 ( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )

1 1 2

z z i z i z i z i z i

Û - + = - + + - Û - - = - + +

-( )( 2) ( ) ( 1) ( ) (0 (1) )

1 (2)

z i

z i z i z i z i

z i z i

é - + = ê

Û - + - - = - + + - Û ê = +

-êë Từ ( )1 Þ = - ắắz 2i đ = - ắắw ® =P w =1 Xét( )2 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ )

Ta có ( ) ( ) ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

1 1

2

z- - i = z+ - ắắi đ x- + -y = x- + +y Û y=

-Khi ( ) ( )2 3

2 2

w= -x i- + =i x- + iắắđ =P w = x- +ỗổ ửữỗ ữỗố ứữ >

Vy Pmin =1 Chn C

Câu 217 Đặt z1=x1+y i1 z2 =x2+y i2 với x x y y1, 2, 1, 2Ỵ¡

● 2 ( )2

1 1

z - i = ®x + y - = ắắđ hp cỏc s phc z1 l đường tròn

( )C x: 2+ -(y 2)2=9.

● z2+ +2 2i = z2+ +2 4i

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 2 2 2

x y x y

® + + + = + + +

2

y

Û + = ¾¾®tập hợp số phức z2 đường thẳng d y: = -3

Ta có ( ) (2 )2

1 2

P= z -z = x -x + y -y khoảng cách từ điểm

(115)

( 2; 2)

B x y Ỵd đến điểm A x y( 1; 1) ( )Ỵ C Do z2-z1minÛABmin Dựa vào hình vẽ ta tìm ABmin =2

(0; ,) (0; 3)

A - B - Chọn B

Nhận xét Ở đường thẳng đường trịn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình nhận hai điểm A & B , khơng viết phương trình đường thẳng qua tâm của( )C vng góc với d , sau tìm giao điểm với ( )C d loại điểm Câu 218 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ Ta có)

=

( ) ( )

2 2 2

2 1

z- - +z i = ® x- +y -x - +y = ắắđ x+ - =y

Suy tập hợp số phức z1 đường thẳng D: 2x+ - =y

= z- - =4 i 5ắắđ(x- + -4) (y 1)i =

( ) (2 )2

4

x y

Û - + - =

Suy tập hợp số phức z2 đường tròn( ) ( ) ( )

2

:

C x- + -y = có tâm I( )4;1 bán kính R= Khi biểu thức P= z1-z2 khoảng cách từ điểm thuộc D đến điểm thuộc( )C

Từ suy [ ]

8

,

5

P =MN= d I D - =R - = Chọn D

Câu 219 Vì ( ) ( ) (2 )2

3 5

z- + i = ắắđ -x + -y =

Suy hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn( )C có tâm I( )3;4 bán kính R= Ta có P=(x+ +2) yi2- + -x (y 1)i2 =(x+2)2+y2-éx2+ -(y 1)2ù

ê ú

ë û

4x 2y 4x 2y P

= + + Û + + - =

Ta tìm P cho đường thẳng D: 4x+2y+ - =3 P đường trịn ( )C có điểm chung

[ , ] 12 23 10 13 33

20 P

d I R + + - P P

(116)

Do Pmax=33 Dấu " "= xảy

( ) (2 )2

4 30 5

5

3

x y x

y

x y

ì + - =

ï ì =ï

ï ï

Ûíï Ûíï =

- + - = ï

ï ỵ

ỵ

Vậy z = 52+ -( )52 =5 2.Chọn D.

Câu 220 Gọi z= +x yi x y( ; Î¡ )

Ta có ( ) (2 )2

2 5

z- - i = ® x- + -y =

Suy tập hợp số phức z z1, đường tròn ( )C có tâm I(2;4), bán kính

5

R=

Phương trình đường thẳng OI y=2x

1,

z z Khi tọa độ điểm Gọi M N, hai điểm biểu diễn số phức

( ) (2 )2

2

y x

x y

ì = ïï

íï - + - = ïỵ

,

M N nghiệm hệ phương trình

1

2

4

3 x

y z i

w i

z i

x y éì =ïïêí

êïïỵ = ìï = +

ê ï

Ûờỡ ắắđớù ắắđ = +

= + =

ï

êïíê ïỵ

ï = êïỵë

Chọn A

Câu 221 Ta biến đổi (1 ) 1

1 i

i z i i z

i

-+ + - = Û + + =

+

( ) ( )

2.z 4i z 4i

Û - + = Û - + = ( )*

Đẳng thức ( )* chứng tỏ tập số phức z đường tròn tâm I( )3;4 , bán kính R=1 Khi

max

5 4

2

5

P OI R m

S M

P OI R

ì ì

ï = - = - = ù =

ù ắắđù ắắđ =

í í

ï = + = + = ïï =

ï ỵ

ỵ Chọn B

Câu 222 Ta có

3 i

i i

=

nên

2 1 1 1 1

3 i

z iz

i

-+ = Û - -+ =

-( )

1

i z z i

i

Û - + = Û - - =

- Đẳng thức chứng tỏ tập số phức z đường trịn tâm I(0; 1- ), bán kính R=1

Khi max

1 0

2018

1

P OI R m

S M

P OI R

ì ì

ï = - = - = ï =

ù ắắđù ắắđ =

ớ

ù = + = + = ïï =

ï ỵ

ỵ Chọn C

Câu 223 Gọi z x yi= + (x y; Ỵ¡ M điểm biểu diễn số phức) z

Từ giả thiết, ta có ( ) ( ) ( ) (2 )2

2 3

x- + y- i = ơắđ -x + y- =

Khi ú hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I( )2;3 , bán kính R=1

(117)

Ta có P= + + = + + = + -z i z i z i t A(-1;1)ắắđ =P MA Vậy

max

13 13

P AI R

ìï = - =

-ïïí

ï = + = +

ïïỵ Chọn B

Cách Đại số: Ta có P= + + = + + = + -z i z i z i

Theo giả thiết: 1= - -z 3i =(z+ - - -1 i) 2i ³ + - - - -z i 2i = -P 13 Suy -P 13 ắắđ- Ê -1 P 13Ê ơắđ1 13 1- Ê ÊP 13 1.+

Cõu 224 Vì z khơng số thực nên z z- ¹0

Ta có 2 2 2

2 2

z z z

w w

z z z

= ắắđ = =

+ + +

Vì w số thực nên 2 2

2

z z

w w

z z

= Û =

+ +

(2 2) (2 2) 2( ) . ( ) ( ) 2 2.

z z

z z é - = ê

Û + = + Û - = - Ûê Û = ® =

= ë

loại

Suy tập số phức z đường tròn tõm O( )0;0 , bỏn kớnh R= t A(-1;1)ắắđ =P MA với M điểm biểu diễn số phức z Vậy Pmax=AO R+ = 2+ 2=2 Chọn B

Câu 225 Biến đổi P z i i i 1 i

z z z z

+

= = + = - = -

Đặt z' z

= , ( )

( )

1

'

2

'

z

P z i

ìïï ïïí ïï ïïỵ

Ê =

-= ( )1 ắắđ hp cỏc số phức 'z hình trịn tâmO( )0;0 , bán kính

R= (trừ tâm O ) =Xét( )2 t A( )0;1 ắắđ =P MA vi M điểm biểu diễn số phức 'z

Dựa vào hình vẽ ta thấy

min

1 max

1 1

khi ' 2

2 0

3 khi ' 1 2

2

P AM z i z i z i

z w i

z i

P AM z i z i

z

ìïï = = = ¾¾® = =

-ï ì = -ï

ïï ắắđù ắắđ = +

ớ

ù ù =

ù = = = - ắắđ = = ïỵ

ïïïỵ

Chọn C

Câu 226 Đặt z3= -2z2ắắđ =P z1+2z2 = z1- -( 2z2)= z1-z3

(118)

3 3

1 2 1 4 2 4 2.

2iz iz z i

- - = « + = « - =

Gọi A B, hai điểm biểu diễn cho hai số phức z z1,

● z1- =4 1ắắđ ẻA ng trũn tõm I(4;0 ,) R1=1

z3-4i = ắắ2 đ ẻB ng trũn tõm J(0,4 ,) R2=2

Khi

1

max

4

P IJ R R

P z z AB

P IJ R R

ìï = - - =

-ïï

= - = ắắđớù

= + + = +

ïïỵ Chọn B

Cách Biến đổi

2 2

2

2 iz 1 2

iz z z i z i

i i

= « = « - = « + = « + =

Ta có P= z1+2z2 = (z1- +4) (2z2+4i) (+ -4 4i)

( ) ( )

2

2 4 4

4 4 4

z i i z

i z i z

³ + + - -

-³ - - + - - =

-Câu 227 Giả sử z= +a bi a b( , Ỵ¡ Ta có)

● z- =1 (a-1)2+b2 £ ® -5 (a 1)2+b2£52.

ắắđ hp cỏc s phc nm hoc đường trịn tâm A( )1;0 bán kính R=5 ● z i- = a2+ -(b 1)2 ³ ®3 a2+ -(b 1)2 32.

ắắđ hp cỏc c phc nm ngồi đường trịn tâm B( )0;1 bán kính R'=3 Dựa vào hình vẽ ta thấy

max

0

z z i

ì = =

-ïï

íï = = +

ïỵ

1 2 12

z z i

ắắđ + = - Chọn A

Cách Áp dụng bất đẳng thức z1 -z2 £ z1-z2 £ z1 + z2

Ta có 2 ( )1 ( )2

1

z i z i z

z

z z z

ì ì

ï £ - £ + ï Ê

ù ắắđù ơắđ Ê Ê

ớ

ï - £ - £ ï £

ï ï

ỵ ỵ

Dấu '' ''= thứ xảy z1- =i 3, kết hợp với z- £1 ta hệ

1

3

1

2

z i

z z i

z ìï - = ùù

ù - Ê ắắđ =-ớù

ïï = ïỵ

(119)

Tương tự cho dấu '' ''= thứ hai, ta

2

2 2

2

1

6 12

3 z

z z z z i

z i

ỡù - = ùù

ù = ắắđ = ắắđ + =

-íï

ïï - ³ ïỵ

Câu 228 Giả sử z= +x yi x y( ; Ỵ¡)

Ta có10= - + + ³ - + + =z z z z 2z ắắđ Êz p dng bt ng thức Bunhiacopxki, ta có

( )2 ( ) (2 )2

100= z-4 1+ -z £êé z-4 + z+4 ùú.2

ë û

( )2 2 ( )2 2 2 2

4 50

a b a b a b z

ơắđ + + + - + ơắđ + ¾¾® ³ Chọn D

Cách Giả sử z= +x yi x y( ; Ỵ¡)

Từ giả thiết, ta có (x-4)2+y2+ (x+4)2+y2 =10. ( )*

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi M x y( ; ) F1(-4;0), F2(-4;0) ( )* có dạng MF1+MF2=2.5 Vậy tợp hợp

điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức z Elip có độ dài trục lớn a=5, tiêu cự F F1 2= ắắ8 đ =c Suy di trc bé 2 3

b= a -c =

Khi ta ln có b OM£ £a hay 3£ z £5

Câu 229 Áp dụng bất đẳng thức z1 -z2 £ z1+z2 , ta có

2

4

4 2 2

1

2

4

z z z

z

z z z

z i

z

z z z

ì ì

ï - ï

ï ï

- - ớù ắắđớù

-

-+ ³ ³ - +

-£ + = « £ £

ï £ ïïỵ £ +

ïỵ «

Vậy 5

1

M

m S

ìï +

ïï ắắđ =

ớù - +

ùùợ =

= Chọn A

Câu 230 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ và) M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z

GọiA(-1;0 ,) ( )B 1;0 Ta cú z = ắắ1 đ +x yi = Û1 x2+y2=1.

Suy M thuộc đường trịn đường kính AB nên MA2+MB2=AB2=4.

Khi đóT=MA+2MB£ (12+22)(MA2+MB2)= 5.4=2 5.Chọn A.

(120)

Câu 231 Với z= +a bi a b( , Ỵ¡ , ta có) [ ]

2 2

1

, 1;1

1

a b

z z z a b

z z ìïï

ï + = ïï

ïï

= = ắắđớù ẻ -ùù

ù = ùùùợ

Do ú biến đổi P , ta P z z z z z z z z

z z

ổ ửữ ỗ

= ỗỗố + ÷÷ø- + = + - + = + - +

( )2 ( )2 ( )

2a a b 2a a 1 a 2a a

= - + + = - + + - = - +

Khảo sát hàm f a( )=2a- 2(a+1) đoạn[-1;1], ta được- 2£f a( )£2 Suy m= - 2,M = ¾¾2 ® = -S 2 Chọn A

2 2

1

, 1;1

1

a b

z z z a b

z z ìïï

ï + = ïï

ïï

ù = ùùùợ

Do ú biến đổi P , ta đượcP z z 1 z z 1 z z z z

z z

ổ ửữ

ỗ

= ỗỗố - + ữữứ+ + = - + + + = - + + +

( )2 ( )2 ( )

2a a b 2a a 1 a 2a a

= - + + + = - + + + - = - + +

Khảo sát hàm f a( )= 2a- +1 2(a+1) đoạn[-1;1], ta ( ) 13 f a

£ £

Suy 3, 13 13

4 16

m= M = ắắđ =P Chn D

2 2

1

, 1;1

1

a b

z z z a b

z z ìïï

ï + = ïï

ùù

ù = ïïïỵ

Do biến đổi P , ta

4 3 z 3z

P z z z z z z

z z

+ +

= + + - + = - +

4 2 2

2

1

3 3

z z z z z z z z z z z

z z

ổ ửữ

ỗ

= + + - + = ỗỗố + + ữữứ- + = + + - +

( )

2

2 2

1

1 4

z z z z z z z a a a a

z

ổ ửữ

ỗ

=ỗỗố + ữữứ + - + = + + - + = + - = - +

Khảo sát hàm f a( )=4a2-2a+1trên đoạn[-1;1], ta được ( ) 3.

4£ f a £

(121)

Suy 3, 9 17

4 16

m= M = ắắđ =w + = Chn B

Cõu 235 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡ )

Ta có z- =1 2Û(x- +1) yi Û (x-1)2+y2 = 2

( )2 2 2 2 2 2

1 2 2

x y x x y x y x

Û - + = Û - + + = Û + = +

Khi đóT= + + - - = +z i z i x (y+1)i + - + -x (y 1)i

( )2 ( ) (2 )2

2 1 2 1 2 2 1 2 4 2 5

x y x y x y y x y x y

= + + + - + - = + + + + + - - +

( ) ( )

2x 2y 2x 2y x y x y

= + + + - - = + + + - +

Đặt t= +x y, T= f t( )= 2t+ +2 2- t với tỴ -[ 1;3 ]

Xét hàm f t( )= 2t+ +2 2- t trên[-1;3], ta f t( )max= f( )1 =4.Chọn B Câu 236 Đặt z1 = ³x 0, z2 = ³y suy biểu thức P= z1 +z2 = +x y

Áp dụng công thức 2 ( 2) 2

1 2 2

z -z +z +z = z +z Þ z +z =

2 2 2

2

0

5 5

5 x

x y y x P x x

y x

ìï £ £ ïï

+ = = - ớù ắắđ = +

-=

-ïïỵ

Khảo sát hàm f x( )= +x 5-x2 trên đoạn 0; 5é ù

ê ú

ë û , ta 5£f x( )£ 10

Suy 10

5

M M

m m

ìï =

ïï ắắđ =

ớù =

ùùợ Chn D

Gọi A(-2;1 ,) ( )B 4,7 , suy AB=6

Từ giả thiết, ta có z+ - + - -2 i z 7i =6 2ÛMA MB+ =AB suy M nằm đoạn thẳng AB có phương trình

x y- + =

Suy M x x( ; +3) với xỴ -[ 2;4 ]

Ta có ( ) ( ) ( ) (2 )2

1 1 1

z- + =i x- + +y i = x- + +y

(x 1) (2 x 4)2 2x2 6x 17

= - + + = + +

Khảo sát hàm f x( )=2x2+6x+17 trên đoạn[-2;4], ta được 25 ( ) 73

(122)

Suy

5

5 2 73

1 73

2

73 m

z i P

M ìïï =

ï +

ï

£ - + Ê ắắđớù ắắđ =

ùù = ùợ

Chọn B Câu 238 Gọi z= +x yi x y( ; Ỵ¡ và) M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z

Gọi A(-3;2 ,) (B 3; 1- ), suy AB=3

Từ giả thiết, ta có z+ -3 2i + - + =z i 5ÛMA MB+ =AB suy M nằm đoạn thẳng AB có phương trình

2

x+ y- =

Suy M(1 ;- y y) với -[ 1;2 ]

Ta có ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 3

z x yi x y y y

z i x y i x y y y

ìïï + = + + = + + = - +

ïïí

ïï - - = - + - = - + - = +

-ïïỵ

Khi P= + + - -z 2 z 1 3i = 5y2-12y+ +9 5y2-6y+9.

Khảo sát hàm f y( )= 5y2-12y+ +9 5y2-6y+9 trên đoạn [-1;2], ta được

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

1;2 1;2

min

max 26

f y f

-ìï = =

ïïï

íï = - = +

ïïïỵ Chọn B

Gọi A(-2;3 ,) ( )B 6;1 , suy AB=2 17

Từ giả thiết, ta có z+ -2 3i + - - =z i 17ÛMA MB+ =AB suy M thuộc đoạn thẳng AB có phương trình

4 10

x+ y- =

Suy M(10 ;- y y) với [ ]1;3

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 2 11

2 2

z i x y i x y y y

ìïï + - = + + - = + + - = - +

-ïïí

ïï - + = - + + = - + + = - + +

ïïỵ

Khi P= z+ -1 2i - - + =z 2 i 17y2-92y+125- 17y2-62y+65

Khảo sát hàm f y( )= 17y2-92y+125- 17y2-62y+65 trên đoạn[ ]1;3 , ta được

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

1;3 1;3

min

max 3

f y f

ìï = =

ïïï

íï = =

ïïïỵ Chọn A

Gọi A(2; ,- ) (B -1;3), suy AB= 34

(123)

Từ giả thiết, ta có z- +2 2i - + -z 3i = 34ÛMA MB- =AB, suy M thuộc tia AB M nằm đoạn AB M trùng B

Phương trình đường thẳng AB: 5x+3y- =4 Từ suy ;4

3 x

M xổỗỗỗố - ửữữữứ vi x£ -1

Khi ( ) ( ) (2 )2 ( )2

1 1 1 1

3 x P= + + = + + +z i x y i = x+ + +y = x+ +ỗỗốỗổ - + ữữửữứ

Khảo sát hàm ( ) ( )2

1

3 x

f x = x+ +ổỗốỗỗ - + ữữữửứ trờn (-Ơ -; 1], ta

(-¥ -min; 1]f x( )= f( )- =1 4.Chọn D

Câu 241 Đặt z= +a bi a b( , ẻĂ T) z = ắắ1 đa2+b2=1.

Ta có

( ) ( )( ) ( )2

1 1 1

a bi a bi

z a bi a bi a bi a bi a b

- + - +

= = = =

- - + - - - + - +

( )2 ( )2

1

a bi

a b a b

-= +

- + - +

Suy phần thực

1 z- ( )2

1

a

a b

+

Ta có

( )2 2 ( )

1 1

2

1

a a a

a

a a a

a b

- -

-= = =

+ +

+ Chọn A

Cách Chọn z= -1 thỏa mãn z =1 z¹1 Khi

( )

1 1

1-z=1- -1 =2

Câu 242 Đặt z= +a bi a b( , Ỵ¡ Từ) z = ắắ1 đa2+b2=1.

Ta cú ( )( )

( )( ) ( ) ( )

2

2 2

1

1 1 2 .

1 1 1

a bi a bi

z a bi a b bi bi

z a bi a bi a bi a b a b

+ +

-+ + + + - -

-= = = =

- - + - + - - - + - +

Do phần thực số phức 1 z z

+

- 0.Chọn A

Cách Chọn z= -1 thỏa mãn z =1 z¹1 Khi 1 z w

z +

= =

-Câu 243 Do

1 1

2

1

1 z z

z z

z z ỡùù = ùù ù = = ắắđớù

ï =

ïï ïỵ

Ta có 2

1 2

1

1 1

z z z z z z

w w

z z z z

z z +

+ +

= = = =

+

+ +

(124)

Cách Chọn z1=z2 =1thỏa z1 = z2 =1và1+z z1 ¹0 Khi 2 1 z z w z z + = = + Câu 244 Chọn z2 =1thỏa mãn z2 =1

Bây ta chọn z1 cho thỏa z1 =2 2z1- =3

Đặt z1= +a bi a b( , Ỵ¡ Từ ta có hệ)

( ) 2 2 4 55

2 16

4 a

a b

a b b

ìïï = ù ỡù + = ù ùù ắắđù ớ ù - + = ï ï ï ïỵ ï = ïïỵ

Khi ta có

3 55 , 1 11.

4

z = + i z = ắắđM = Chn C

Cõu 245 Gọi u= +a bi a b( ; Ỵ¡ )

Từ giả thiết, suy

1

1 1

z z u

w w

z w z w z

u

w w w

ìïï = = = ïï ïï íï - -ïï = = - = - = ïï ïỵ ( ) ( ) 2 2 2

3

4 1

4

1

a b

a a a a

a b ìïï + = ùù ắắđớù ắắđ - - = ô - = ô = ù - + = ùùợ Chn D

Cách Chọn w=1 Ta cần chọn số phức z= +x yi x y( ; Ỵ¡ cho)

1 1 z z ìï - = ïïï íï = ïïïỵ

( )2

2

1 1 1

1 8 8

4

x y z

x u x yi yi

w x y ìï - + = ùùù ắắđớù đ = ắắđ = = + = + + = ïïïỵ

Câu 246 Từ giả thiết

1 2 2

2

1 z z

z z z z z z z z

+

= + Û =

+ +

( ) ( ) 1

1 2

2 2

z z 1 2z

z z z z z z

z z z

æ ửổữ ửữ ỗ ữỗ ữ = + + =ỗỗ + ữữỗỗ + ữữ ỗ ỗ ố ứố ứ Đặt z t z

= , ta phương trình t= +(t 1 2)( + t)

2

1

2 2

2

1

2

t i

t t t

t i é ê = + ê Û + + = Ûê Þ = ê = -ê êë Chọn D

Cách Chọn

1

1 2.

2

i

z i z P

z i z i

-= ắắđ = + ắắđ = ắắđ =

+

(125)

Câu 247 Ta có

2 2

1 2 2

2

z z z z

P

z z z z

æ ửữ ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ữ ỗ ữ ç ÷

=çç ÷÷ +çç ÷÷ =çç + ÷÷

-ỗ ỗ ỗ

ố ứ ố ứ ố ø ( )1

Mà 2

1 2 2

2

z z z z z z

z z z z

z +z = z + z = + ( )2

Theo giả thiết: ( )( ) ( )( )

1 2 2

1= z -z = z -z z -z = z -z z -z

( )

2

1 2 1 2 1

z z z z z z z z z z

= + - + ¾¾® + = ( )3

Từ ( )1 ,( )2 và( )3 suy P= -1 Chọn D

Cách Chọn z1=1, z2 chọn cho thỏa mãn z2 =1và z1-z2 =1

Ta chọn sau: Đặt z2= +a bi

● 2

2 1

z = ắắđa +b =

● ( ) ( )2

1 2 1 1 1

z -z = ơắđz - = ơắđ a- +bi = ơắđ -a +b =

Từ giải hệ

1

2

3 a

z i

b ìïï = ïïï

ắắđớù ắắđ = +

ùù = ùùợ

Thay z1=1

1

2

z = + i vào P bấm máy

Hoặc ta chọn

1

2

z = - + i

1

2

z = + i

Câu 248 Đặt z= +a bi a b( ; ẻĂ Do) zẽĂắắđ ạb

Suy z2 = - +a b2 2abi.

Khi ( )( )

( ) ( )

2

2 2 2 2

1

1 1 2

a bi a b abi

z a bi

z a b abi a b ab

+ +

-+

= =

+ + - + + - +

( ) ( ) ( ) ( )

3

2 2

1 2

a ab a b a b b i b a b b

a b ab a b ab

+ + +

-= - ẻ ơắđ + - =

+ - + + - + ¡

( ) 2 2

2

0

1

b

a b z

b a

é = ê

Û + = ắắđ =

ờ - - = êë

loại

Vậy

1

1 z P

z

= = =

+

+ Chọn B

Cách Chọn ( )2

2

1

1 1

2

1 1

z z

w z z z P

z z

= = - = = ị = ắắđ = =

(126)

Câu 249 Do

1 3

1

1 , , .

z z z

ìï =

ïïï

= = = ắắđớù =

= =

ïïïỵ

Áp dụng, ta 2 3

1 2 3 1

1 3

1 1

z z z z z z

P z z z z z z z z z

z z z z z z

+ +

= + + = = + + = + +

1 3

z z z z z z a

= + + = + + = Chọn C

Cách trắc nghiệm Chọn trường hợp đặc biệt z1=z2=z3 =1thỏa z1 = z2 = z3 =1

Khi z1+ +z2 z3 =3 P= z z1 2+z z2 3+z z3 =3 Vậy P=a

Câu 250 Từ giả thiết 3

1

1 1

1 , ,

z z z z z z

z z z

= = = ắắđ = = =

Ta có 2 2 2 ( )2 ( ) ( )

1 3 2 3 2 3

A=z + +z z = z + +z z - z z +z z +z z = - z z +z z +z z

( )

1 3 3

1 1

2z z z z z z z z z

z z z

ổ ửữ

ỗ ữ

= - ỗỗ + + ữữ= - + +

ỗố ứ

M z1+ + = ắắz2 z3 ® + + =z1 z2 z3 0, suy A=0 Chọn B

Cách Chọn

1 3

1, ,

2 2

z = z = - + i z = - - i thỏa mãn điều kiện toán Câu 251 Đặt z= +x yi x y( ; Ỵ¡ )

Ta có

( )

2

2 2

2

1

1 1 .

3

1

4 x

x y

z

z z

z z z x y x y y

ìïï = ì

ì ï + = ï

ï = ï ï

ï ï ï

= = - ắắđớù ắắđớù Ûớù

= - + = - +

ï ï ï

ỵ ïỵ ïïïỵ =

Khi ( )2 2

1

4

w = + =z x+ +y = + = Chọn D

Cách Từ giả thiết, suy z = - =z 1

Áp dụng công thức 2 ( 2)

1 2 2

z +z + z -z = z + z , ta có

( 2) ( 2)

1 1 1

z+ = z + - -z = + - =

Câu 252 Đặt w1=3z1 w2=4z2.Từ giả thiết, ta có w1 =3, w2 =4 w1-w2 =1

Áp dụng công thức 2 ( 2)

1 2 2

w +w +w -w = w +w , ta có

( ) ( )

2 2

1 2 2 16 49

w +w = w +w -w -w = =x + - =

1

w w

ắắđ + = hay z =7.Chn B

(127)

Câu 253 Từ giả thiết ( )

( )

2

1 1

0 z w zw

z w

z w z w zw z w zw z w

+ -+ + = Û - = Û = + + + 2

2 0 2 0 3

4 4 2

i w

z w zw z zw w w ỗổz wữử w ổỗz wữử ỗỗổ ữữử

ắắđ + + = + + + = ốỗỗ + ứữữ = - ỗốỗ + ữữứ =ỗỗố ữữữứ T

2

1 3

2 2

i w i

z w ỉ z ỉ ửw

ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ

ỗ + ữ =ỗ ữ ắắđ = - ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữữ ữữ

ố ứ ỗố ứ ỗố ứ

Ly môđun hai vế, ta 2018

2

i

z = - ± w = w =w ® w = z = Chọn C

Cách Chọn z=1028 thỏa mãn z =2018

Khi ta có 1

2018+ =w 2018+wắắđ gii phng trỡnh tỡm w

Cõu 254 Dng hình bình hành OMPN mặt phẳng phức

Khi

1

z z OP

z z MN

ìï + =

ïí

ï - =

ïỵ

Ta có

2

1 2

2

1 2

2 cos 30 13

2 cos150

z z z z z z

ìïï + = + + = ïïí ïï - = + + = ïïỵ 2

1 2

13

z z

z z z z

+ +

ắắđ = =

- - Chọn B

Cách Giả sử ( )

( )

1 1

2 2 2 2 2

; ;

, ;

M a b OM a b

z a b i

z a b i N a b ON a b

ìï ì ì = + ï = ï ï ï ï ắắđ ắắđù ớ ù = + ù ù = ï ï ï ỵ ỵ ïỵ uuur uuur Theo giả thiết, ta có

2 1 2 2 a b a b ìï + = ïí ï + =

ïỵ ( )

0 2

1 2 2 2

1 2

cos OM ON, cos30 a a b b a a b b

a b a b

+

= = Û + =

+ +

uuur uuur

Vậy ( ) ( )

( ) ( )

2

1 2 2

2

1 2 1 2 1 2

a a b b i a a b b

z z

A

z z a a b b i a a b b

+ + + + + + + = = = - - + - - + -( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 2 2 2 2

1 2 2

2 3 2.3

13 2.3

a b a b a a b b

+ + + + + + +

= = =

+

-+ + + - +

Câu 255 Ta xét H =(1 2+ i z) 3-z5 = z3 2( + i)-z2 =125 2( + i)-z2.

Xét T= z2- +(1 2i) Sử dụng bất đẳng thức

1 2

z -z £ z -z £ z +z , ta

( )

2 1 2 1 2 1 2 25 5 25 5.

(128)

Từ suy ( ) ( ) ( )

( )

125 25

125 25 125 25

125 25

M H

m

ìï = +

ïïï

- Ê Ê + ắắđớù

=

-ïïïỵ 6250

P M m

ắắđ = + = Chn C

Định dạng
Số trang	128
Dung lượng	3,13 MB