Đề thi HSG tỉnh Bình Phước năm học 2011-2012

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.. và BC.[r]

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP Năm học: 2011 - 2012

Mơn : Tốn

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 28 /3 /2012

(Đề thi gồm trang) Câu ( 5điểm)

1 Cho biểu thức ( 1 ) : ( 2)

1

a a

V

a a a a

 

  

  

a) Tìm điều kiện để V có nghĩa Rút gọn V

b) Tìm a để V ≥ -1

2 Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn a +b +c +d =

Chứng minh rằng:

2 2

1

a b c d

a b b c cd da  Câu : (5 điểm)

1 Cho parabol (P):

yx đường thẳng :y2(m1)x2m4(m tham số a) Khi m = 2, xác định tọa độ giao điểm (P) ()

b) Chứng minh rằng:  cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Xác định m để

2

A B

x x đạt giá trị nhỏ nhất( với xA, xB hoành độ A, B)

2 Giải hệ phương trình:

2 2

3

3

y x x x

x y y y

   

 

  

 

Caâu 3:(5 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) (A, B tiếp điểm C nằm C, D)

1 Chứng minh MA2 MC MD.

2 Gọi I trung điểm CD Chứng minh rằng: M, A, O, I, B nằm đường tròn

3 Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh: AB tia phân giác góc CHD

Câu 4:(2 điểm)

Cho hình vng ABCD có diện tích S1 Gọi I, K trung điểm cạnh AB

và BC Hai đường thẳng AK CI cắt E Gọi S2 diện tích tứ giác EADC Tính tỉ

số

1 S S

Caâu : (3 điểm)

1. Tìm cặp sô nguyên (x, y) thỏa mãn: 3x -5y = 11 -2xy

2. Chứng minh số nguyên n n2 n 2 khơng chia hết cho

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước Câu 1:

1)

a) Điều kiện: x > 0, x ≠ x≠

V = a

a 

b) 2(2 1) 1, 1,

4

a a

V a a a

a a

 

          

2) Áp dụng BĐ thức Cosi cho hai số ta có:

2

4

a a b

a a b    

b b c

c b c    

c c d

c c d    

d d a

d

d a



 



Cộng vế theo vế a +b +c +d =1 ta có điều chứng minh

Dấu xảy

2 2 4 4

a a b

a b

b b c

b c

c c d

a b c d

c d

d d a

d a

a b c d

                                    Câu 2:

1) b) Hoành độ giao điểm  (P) nghiệm phương trình:

2 2( 1) 2 4 0

x  m x m  (1)

 = (m- 2)2 +1 > với m

2 ( )2 2 . (2 3)2 3 3

A B A B A B

x x  x x  x x  m  

2)

2 2

3 (1)

3 (2)

y x x x

x y y y

          

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có: 2

(xy x)( y xy2x2y2)0

2

( 1) ( 1)

(3) (4)

x y

x y xy

   

    

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

Phương trình (1)  y2 x x( 23x2) nên x < -3x >  x2

- 3x + >  x(x2 -3x +2 ) <  y2 x x( 3x2) không thỏa Vậy x ≤ Tương tự y ≤ nên x.y ≥  (4) vô nghiệm

Với x = y vào (1) ta có: x (x2 - x +2 ) =  x =0, x= 2 > Vậy hệ có nghiệm: (0; 0), ( (2 2; 2 2),(2 2; 2 2)

Câu 3:

O M

B

A H C

D I

c) Ta có: MA2 MC MD MA2 MH MO  MC.MD = MH.MO MC MO

MH MD

 

Vậy tam giác MCH đồng dạng tam giác MOD CHM CDO CDO CHO  1800  tứ giác CHOD nội tiếp OHD OCD(cùng chắn cung OD)

 

OCDODC(tam giác cân O)

 

ODCCHM

 

OHD CMD

  BHDBHC Vậy AB tia phân giác góc CHD

Câu 4:

2 S

S 

Câu 5:

a) (3+2y)(2x-5)=7