Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Huỳnh Đức Khánh

Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào trong các công thức sau đây?.. A.. Tính thể t[r]

3

Baøi 01

NGUYÊN HÀM 1 Định nghĩa

Cho hàm số f x( ) xác định khoảng K Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm hàm số f x( ) F'( )x = f x( ) với x∈K

Nhận xét Nếu F x( ) nguyên hàm f x( ) F x( )+C, (C∈ℝ) nguyên hàm f x( )

Ký hiệu: ∫ f x( )dx=F x( )+C 2 Tính chất

( )

(∫ f x dx)/= f x( )

( ) ( ) ( )

d d ,

a f x x=a f x x a∈ a≠

∫ ∫ ℝ

( ) ( )d ( )d ( )d

f x g x x f x x g x x

 ±  = ±

 

∫ ∫ ∫

3 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm

d

k x=kx+C

∫ , k số

( )

1

d

1 x

x x C

α α

α α

+

= + ≠ −

+

∫ ( ) ( )

1

d

1 ax b

ax b x C

a

α α

α

+ +

+ = +

+ ∫

1

dx lnx C

x = +

∫ dx 1lnax b C

ax+b =a + + ∫

d

x x

e x=e +C

∫

d

ax b ax b

e x e C

a

+ = + +

∫ d

ln x

x a

a x C

a

= +

∫ d

ln mx n mx n a

a x C

m a

+

+ = +

∫ cos dx x=sinx+C

∫ cos(ax b)dx 1sin(ax b) C

a

+ = + +

∫ sin dx x= −cosx+C

∫ sin(ax b)dx 1cos(ax b) C

a

+ = − + +

∫

1

d tan

cos x x= x+C

∫ 2( ) ( )

1

d tan

cos ax+b x=a ax+ +b C ∫

2

d cot

sin x x= − x+C

∫ 2( ) ( )

1

d cot

sin ax+b x= −a ax+ +b C ∫

CÂU HỎI & B(I TẬP TRẮC NGHIỆM 12

Câu Hàm số f x( ) có nguyên hàm K nếu:

A. f x( ) xác định K B. f x( ) có giá trị lớn K C. f x( ) có giá trị nhỏ K D f x( ) liên tục K

Lời giải Nếu hàm số f x( ) liên tục K có ngun hàm K Chọn D

Câu Mệnh đề sau sai?

A Nếu F x( ) nguyên hàm f x( ) ( )a b; ( )d ( )

f x x=F x +C

∫ với C số

B Mọi hàm số liên tục khoảng ( )a b; có nguyên hàm khoảng ( )a b; C. F x( ) nguyên hàm f x( ) ( ) /( ) ( ) ( )

; , ;

a b ⇔ f x =F x ∀ ∈x a b D. (∫ f x( )dx)/=f x( )

Lời giải Chọn C Sửa lại cho là:

''F x( ) nguyên hàm f x( ) ( )a b; /( ) ( ) ( ) , ; '' F x f x x a b

⇔ = ∀ ∈

Câu Xét hai khẳng định sau:

1)Mọi hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]a b; có đạo hàm đoạn 2)Mọi hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]a b; có nguyên hàm đoạn Trong hai khẳng định trên:

A Chỉ có 1) `B Chỉ có 2) C Cả hai D Cả hai sai. Lời giải Hàm số có đạo hàm x0 liên tục x0 Ngược lại hàm số liên tục

0

x chưa có đạo hàm x0 Chẳng hạn xét hàm số f x( )= x điểm

x= Chọn B

Câu Trong khẳng định sau nói nguyên hàm hàm số f x( ) xác định khoảng D, khẳng định sai?

1) F x( ) nguyên hàm f x( ) D F'( )x = f x( ),∀ ∈x D 2)Nếu f x( ) liên tục D f x( ) có nguyên hàm D

3)Hai nguyên hàm D hàm số sai khác số A Khẳng định 1) sai. B Khẳng định 2) sai.

Câu Giả sử F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng ( )a b; Giả sử ( )

G x nguyên hàm f x( ) khoảng ( )a b; Mệnh đề sau đúng?

A F x( )=G x( ) khoảng ( )a b;

B G x( )=F x( )−C khoảng ( )a b; , với C số

C F x( )=G x( )+C với x thuộc giao hai miền xác định F x( ) G x( ), C số

D Cả ba câu sai

Lời giải Vì hai nguyên hàm D hàm số sai khác số Do B Chọn B

Câu Xét hai khẳng định sau:

1) ∫ f x( )+g x( )dx=∫ f x( )dx+∫ g x( )dx=F x( )+G x( )+C, F x( ) ( )

G x tương ứng nguyên hàm f x( ) ( ),g x

2) Mỗi nguyên hàm a f x ( ) (a≠0) tích a với nguyên hàm f x( ) Trong hai khẳng định trên:

A Chỉ có 1) B Chỉ có 2) C Cả hai D Cả hai sai Lời giải Chọn C

Câu Khẳng định sau sai?

A Nếu ∫ f x( )dx=F x( )+C ∫ f u( )du=F u( )+C B ∫kf x( )dx=k∫ f x( )dx (k số k≠0)

C Nếu F x( ) G x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=G x( ). D.∫ f1( )x +f2( )x dx=∫ f1( )x dx+∫ f2( )x dx

Lời giải Các nguyên hàm sai khác số nên C đáp án sai Chọn C Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A ∫0dx=C (C số) B 1dx lnx C

x = +

∫ (C số)

C d

1 x

x x C

α α

α

+

= +

+

∫ (C số) D ∫dx= +x C (C số) Lời giải Chọn C Vì kết không với trường hợp α= −1 Câu Hàm số ( )

cos f x

x

= có nguyên hàm khoảng với khoảng cho sau đây?

A (0;π) B ; 2

π π

 

− 

 

  C (π;2π) D 2;

π π

 

− 

 

  Lời giải Hàm số ( )

cos f x

x

= xác định liên tục ; 2

π π

 

− 

 

  nên có nguyên hàm khoảng Chọn B

Câu 10 Kí hiệu F y( ) nguyên hàm hàm số f y( ), biết F y( )=x2+xy+C Hỏi hàm số f y( ) hàm số hàm số sau?

Ta có F'( )y =x Chọn A

Câu 11 Kí hiệu F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) ( ) sin

F x xác định ( )

sin

F x nguyên hàm hàm số hàm số sau? A ( )

sin

f x B f(cos2x) C 2 sinxf(sin2x) D sin 2xf(sin2x) Lời giải Theo định nghĩa, ta có ∫ f x( )dx=F x( )+ ←→C F′( )x =f x( )

Áp dụng: ( 2 ) ( 2 )/ /( 2 ) ( 2 )

sin sin sin sin sin

F x ′ x F x x f x

  = =

 

  Chọn D

Câu 12 Xác định ∫ f x( )dx biết f x( )=2x+1

A ∫(2x+1 d) x=2. B ∫(2x+1 d) x=C

C ( )

2x+1 dx=x +x

∫ D ( )

2x+1 dx=x + +x C ∫

Lời giải Chọn D

Câu 13 Hàm số sau nguyên hàm hàm số ( ) ( )4 f x = x− ?

A ( ) ( )

5 x

F x = − +x B ( ) ( )

5 x F x = −

C ( ) ( )

5

2017

x

F x = − + D ( ) ( )

5

1 x

F x = − − Lời giải Xét đáp án A, ta có ( ) ( )4 ( )

'

F x = x− + ≠f x Chọn A

Cách trắc nghiệm Ta thấy hàm số F x( ) đáp án B, C, D sai khác số nên dung phương pháp loại suy, ta chọn được đáp án A

Câu 14 Kí hiệu F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) ( )2

f x = x + ( )1 28 15

F = ⋅

Khẳng định sau đúng? A ( )

5

x x

F x = + +x B ( )

5

5

x x

F x = + + +x C C ( ) ( )

4

F x = x x + D ( )

5

1

5

x x

F x = + + +x

Lời giải Ta có ( 2 )2 ( 4 2 )

1 d d

5

x x

x + x= x + x + x= + + +x C

∫ ∫

Theo giả thiết ( )1 28 28

15 15

F = → + + + =C → =C Chọn A Câu 15 Tìm hàm số F x( ) biết ( )

'

F x = x + x+ đồ thị hàm số y=F x( ) cắt trục tung điểm có tung độ e

A ( )

F x =x + +x e B F x( )=cos 2x+ −e

C ( )

1

F x =x +x + +x D ( )

F x =x +x + +x e

Lời giải Ta có ( ) ( )

3 d

F x =∫ x + x+ x=x +x + +x C

Đồ thị y=F x( ) cắt trục tung điểm có tung độ e nên ta có F( )0 = ⇔ =e C e Vậy ( )

F x =x +x + +x e Chọn D

Câu 16 Kí hiệu F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=4x−1 Đồ thị hàm số ( )

y=F x đồ thị hàm số y= f x( ) cắt điểm thuộc trục tung Tọa độ điểm chung hai đồ thị hàm số là:

A (0; 1− ) B 5;9  

 

 

  C (0; 1− )

;9  

 

 

  D (0; 1− )

;8  

 

 

Lời giải Ta có ( ) ( )

4 d

F x =∫ x− x= x − +x C

Giả sử M(0;m)∈Oy giao điểm đồ thị hai hàm số F x( ) f x( ) Ta có hệ phương trình ( )

( ) ( )

2

4.0 1

2

1 2.0

M f x m m

F x x x

C

C m

M F x

 

 ∈  − =  = −

 ⇔ ⇔ ⇒ = − −

  

 ∈  − + =  = −

  



Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số F x( ) f x( ) nghiệm phương trình:

( )

2

0

2 5

9

x y

x x x x x

x y

 = ⇒ = − 



− − = − ⇔ − = ⇔

 = ⇒ = 

Vậy tọa độ điểm cần tìm (0; 1− ) 5;9  

 

 

  Chọn C Câu 17 Biết ( ) ( ) ( )

2

F x =ax + +a b x + a− +b c x+ nguyên hàm

( )

3

f x = x + x+ Tính tổng S= + +a b c

A S=5 B S=4 C S=3 D S=2

Lời giải Ta có ( )

3x +6x+2 dx=x +3x +2x+C

∫

Suy ( )

3

F x =x + x + x+ Đồng ta

1

3

2 2

a a

a b b a b c

a b c c

 =  =

 

 

 

 + = ⇔ = → + + =

 

 

 

 − + =  =

 

 

Chọn A

Câu 18 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

1 f x

x =

− F( )2 =1 Tính F( )3

A F( )3 =ln 2−1. B F( )3 =ln 2+1. C ( )3

F = ⋅ D ( )3

4

F = ⋅

Lời giải Ta có d ln

x

x C

x− = − +

∫

Theo giả thiết F( )2 = 1 →ln 2− + = ⇔ =1 C C Suy F x( )=ln x− + 1 →F( )3 =ln 2+1 Chọn B Câu 19 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm '( )

2

f x x =

− f( )1 =1 Tính f( )5 A f( )5 =ln B f( )5 =ln C f( )5 =ln 2+1 D f( )5 =ln 3+1 Lời giải Ta có ( ) '( )d d 1ln

2

x

f x f x x x C

x

= = = − +

−

∫ ∫

Theo giả thiết ( )1 1ln 2.1 1

f = → − + = ⇔ =C C

Suy ( ) 1ln 1 ( )5 1ln 2.5 1 1ln ln

2 2

f x = x− + →f = − + = + = + Chọn D

Câu 20 Tìm hàm số f x( ) thỏa mãn đồng thời ( ) x f x

x +

′ =

+ f( )0 =1 A ( )

ln

f x =x + x+ B f x( )=2x+ln 2x+ −1 C f x( )=2x+lnx+ +1 D f x( )= +x lnx+ +1

Lời giải Ta có 3d d ln

1

x

x x x x C

x x

 

+ =  +  = + + +



 

 

+ +

∫ ∫

Câu 21 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) ( )

2 x f x

x + =

+ thỏa mãn ( )1

2

F − = ⋅ Tính F( )2

A F( )2 = +2 ln B F( )2 =2 1( −ln ) C F( )2 =2 1( +ln ) D F( )2 =4

Lời giải Ta có ( ) ( )

2 2

1 2 1

2 2

x x x x x

x

x x x x

+ = + + = + + = +

+ + + +

( )2 2

1

d d ln C

2 2

x x

x x x x

x x

+  

→∫ + =∫ + +  = + + + Theo giả thiết ( ) ( )

2

1

1 ln

2 2

F − = → + − + + = ⇔ =C C

Suy ( ) ln ( )2 ln 1( ln )

x

F x = + x+ →F = + = + Chọn C

Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số ( ) ( ) 2 x f x

x −

= ?

A ( ) 3ln

4 2

x x

F x x

x

= − + + B ( ) ( )

4

3

4 x F x

x −

=

C ( ) 2

3 1

4 2

x x

F x

x x

= − − − D ( ) ( )

2

3

4 x F x

x −

=

Lời giải Ta có ( )

3 3 2

2

1 3

d d

2

x x x x

x x

x x

− = − + −

∫ ∫

2

3 3

d ln

2 2 2

x x x

x x C

x x x

 



=∫ − + −  = − + + +

Chọn ( ) 3ln

4 2

x x

C F x x

x

= → = − + + Chọn A

Câu 23 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

4

f x x x

x

= − + thỏa mãn ( ) ( )

5F +F =43 Tính F( )2 A ( )2 151

4

F = B F( )2 =23 C ( )2 45

F = D ( )2 86

7

F =

Lời giải Ta có ( )

2

1

4 d

2

F x x x x x x C

x x

 



=∫ − +  = + + +

Theo giả thiết ( )1 ( )2 43 45 43

2 2

F +F = →  +C+ + =C ⇔ =C

Suy ( ) ( )

2 2 23

2 2 2

F x x x F

x

= + + + → = + + + = Chọn B

Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm hàm số ( ) f x

x x

= ⋅

− A F x( )= −lnx −lnx−1 B F x( )=ln x−ln x−1 C F x( )= −lnx +lnx−1 D F x( )=lnx +lnx−1 Lời giải Ta có

( )

2

1 1

1

x x x x

x −x = − = − + −

2

1 1

d d ln ln

1

x x x x C

x x x x

   

 

Câu 25 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 2

3

f x

x x

=

− + thỏa mãn

0 F  =

  Tính F( )3

A F( )3 =ln 2. B F( )3 =2 ln C F( )3 = −2 ln D F( )3 = −ln Lời giải Ta có

( )( )

2

1 1

1 2

3 x x x x

x − x+ = − − = − − + −

1 1

d d ln ln

1

3 x x x x x x C

x x

   

 

→∫ − +  =∫− − + −  = − − + − +

Theo giả thiết ln3 ln3 0

2 2

F   = →− − + − + = ⇔ =C C Suy F x( )= −lnx− +1 lnx− 2 →F( )3 = −ln Chọn D Câu 26 Xác định ∫ f x( )dx biết ( ) 2

3

x f x

x x

+

= ⋅

+ +

A ∫ f x( )dx=2 lnx+ −2 lnx+ +1 C. B ∫ f x( )dx=2 lnx+ −1 lnx+ +2 C C ∫ f x( )dx=2 ln x+ +1 lnx+ +2 C. D ∫ f x( )dx=ln x+ +1 lnx+ +2 C Lời giải Ta có

( )( )

2

3

1 2

3

x x

x x x x

x x

+ = + = −

+ + + +

+ +

2

3

d d ln ln

1

3

x

x x x x C

x x

x x

 

+  

→∫ + + =∫ + − +  = + − + + Chọn B Câu 27 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm ( )

( )2 ( )2

2

2 1

f x

x x

′ = −

− − thỏa ( )

1

3 f = − ⋅ Biết phương trình f x( )= −1 có nghiệm x=x0 Tính

0 2017 x T=

A T =2017 B T=1 C T = 2017 D

2017 T= Lời giải Ta có ( )

( )2 ( )2

2 1

' d d

1

2 1

f x x x C

x x

x x

 

 

=  −  = − +

− −

− −

 

 

∫ ∫

Theo giả thiết ( )2 1 1

3 3

f = − → − + = − ⇔ = −C C Suy ( )

( 2)( 1) x

f x

x x

= −

− −

Suy ( )

( )( )

0

1 1 2017

1

x

f x x x T

x x

= − ⇔ − = − ⇔ = = → = =

− − Chọn B

Câu 28 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x g x( ) ( ) , biết ∫ f x( )dx= +x C, ( )d

4 x g x x= +C

∫ F( )2 =5

A ( ) 4 x

F x = + B ( )

5 x

F x = + C ( )

5 x

F x = + D ( )

3 x F x = + Lời giải Ta có ∫ f x( )dx= + x C →f x( )=1 ( ) ( )

2

1

d

4

x

g x x= + C →g x = x ∫

Khi ( ) ( ) 1

d d

2

f x g x x= x x= x +C

∫ ∫

Theo giả thiết ( )

2 5

4

F = → + = ⇔ =C C

Suy ( ) 4 x

Câu 29 Cho I x ln 2dx x

=∫ Mệnh đề sau sai?

A I=2 x+C B I=2 x+1+C C I=2 2( x+ +1) C D I=2 2( x− +1) C Lời giải Ta có (2 ) ( )/ / ( )/.2 ln 2 ln 2 ln

2

x x x x x

C x

x x

+ = = = ≠ Chọn A

Cách trắc nghiệm Ta thấy đáp án B, C, D sai khác nên số nên dễ dàng nhận đáp án A không thỏa mãn

Câu 30 Tìm giá trị tham số a b c, , để hàm số ( ) ( )

2

F x = ax +bx+c x− với

2

x> nguyên hàm hàm số ( )

20 30

2

x x

f x

x

− +

=

−

A a=4, b=2, c=1 B a=4, b= −2, c= −1 C a=4, b= −2, c=1 D a=4, b=2, c= −1 Lời giải Theo ta có F'( )x = f x( ) ( )*

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

2

5

' 2

2 3

ax bx c ax b a x b c

F x ax b x

x x

+ + + − − +

= + − + =

− −

Để ( )* xảy

5 20

3 30

3

a a

b a b

c b c

 =  =

 

 

 

 

⇔ − = − ⇔ = −

 

 − =  =

 

 

Chọn C

Câu 31 Nếu f x( )dx lnx C x

= + +

∫ f x( ) hàm số hàm số sau? A f x( )= x+lnx+C B f x( ) x C

x = − + +

C ( )

1 ln

f x x C

x

= − + + D ( )

1 x f x

x −

=

Lời giải Theo định nghĩa ( ) ( ) /( ) ( )

d

f x x=F x →F x = f x ∫

Do hàm số cần tìm ( )

/

2

1 1

ln x

f x x C

x x x x

  −



= + +  = − + = Chọn D

Câu 32 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=e3x thỏa mãn F( )0 =1. Mệnh đề sau đúng?

A ( ) 3

x

F x = e + B ( )

x F x = e C ( )

3

x

F x = e + ⋅ D ( )

3

x F x = − e + ⋅ Lời giải Ta có 3

d

x x

e x= e +C

∫

Theo giả thiết ( )0 1

3

F = → + = ⇔ =C C Suy ( )

3

x

F x = e + ⋅ Chọn C

Câu 33 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 3x

f x =e + thỏa ( )0 e

F = ⋅

Tính ( ) ln 3 F  A ( )

ln 3 F 1 = 64 B ( )

ln 3 F 1 = − 8. C ( )

ln 3 F 1 = 81 D ln 33 F( )1 = 27 Lời giải Ta có 1

d

3

x x

e + x= e + +C

Theo giả thiết ( )0

3 3

e e e

F = → + = ⇔ =C C

Suy ( ) 3 ( )

ln 1

3 ln 3.3 64

x

F e

F x e +  =  =

 

 

= → Chọn A

Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) x x f x =e e +

A 1

d

x x x x

e e + x=e e + +C

∫ B 1

d

2

x x x

e e + x= e + +C

∫

C

d

x x x

e e + x= e + +C

∫ D 1

d

x x x x

e e + x=e + + +e C ∫

Lời giải Ta có 1

2

x x x x

e e +dx= e +dx= e + +C

∫ ∫ Chọn B

Câu 35 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm ( ) 2 x f x =

A ( )

4 ln 4x

F x = +C B ( )

ln x

C

F x = +

C F x( )=4 ln 4x +C D F x( )=4x+C.

Lời giải Ta có

d d

2

ln x

x x

x= x= +C

∫ ∫ Chọn B

Câu 36 Hàm số ( ) 2018 x

F x =e + nguyên hàm hàm số hàm số sau đây?

A ( ) x3

f x =e B ( ) 3 x

f x = x e C ( )

2

x e f x

x

= D ( ) 3 1

x f x =x e − Lời giải Hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )←→F'( )x =f x( ) Suy hàm số cần tìm ( ) ( ) ( )/ / ( )3 / 2

2018

x x x x

f x = e + = e = x e = x e Chọn B

Câu 37 Hàm số ( ) 3

x x

F x = +e nguyên hàm hàm số hàm số sau đây?

A ( )

3 x x

f x = +e B f x( )=3x2+ex C ( ) 12

x x

f x = +e D f x( )=x2+ex Lời giải Hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )←→F'( )x =f x( ) Suy hàm số cần tìm ( )

/

2

x x

x

f x = +e  =x +e

  Chọn D

Câu 38 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) ( )2

2 x

f x = +e thỏa ( )0

F = ⋅

Tính F  ⋅ 

 

A 8

3

e e

F  =  + + ⋅

  B

2

1 6

3

e e

F  =  + + ⋅  

C 6

3

e e

F  =   − + ⋅ D

2

1 8

3

e e

F  =   − + ⋅

Lời giải Ta có ( 3 )2 ( 3 6 ) 6 3

2 d 4 d

6

x x x x x

e x e e x e e x C

+ = + + = + + +

∫ ∫

Suy ( ) 1 4 8

4

6 3 3

x x e e

F x = e + e + x→F    = e + e+ = + + Chọn A Câu 39 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) x(2 x 1)

f x =e− e + , biết F( )0 =1 A ( ) x

F x = x+e− B ( ) x

F x = x−e− + C ( ) x

F x = +e− D ( ) x

F x = x−e− + Lời giải Ta có x(2 x d) (2 x) x

e− e + x= +e− dx= x−e− +C

∫ ∫

Theo giả thiết F( )0 = 1 →− + = ⇔ =1 C C Suy ( ) x

F x = x−e− + Chọn B Câu 40 Giả sử ( ) ( ) x

F x = ax +bx+c e nguyên hàm hàm số ( ) x f x =x e Tính tích P=abc

A P=1 B P= −4 C P= −5 D P= −3 Lời giải

Ta có /( ) ( 2 )/ ( 2 ) ( )/ 2 ( )

x x x

F x = ax +bx+c e + ax +bx+c e =ax + a+b x+ +b c e Vì F x( ) nguyên hàm f x( ) nên ta có F/( )x = f x( ),∀x

Do ( ) 2 ( )

2 x x

ax a b x b c e x e ax a b x b c x

 + + + +  = ⇔ + + + + =

 

 

Đồng hệ số hai vế, ta

1

2

0

a a

a b b P abc

b c c

 =  =

 

 

 

 + = ⇔ = − → = = −

 

 

 

 + =  =

 

 

Chọn B Câu 41 Giả sử hàm số ( ) ( )

x

f x = ax +bx+c e− nguyên hàm hàm số ( ) (1 ) x

g x =x −x e− Tính tổng S= + +a b c

A S= −2 B.S=4 C S=1 D S=3

Lời giải Ta có /( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 x x x

f x = ax+b e− − ax +bx+c e− = − ax + a−b x+ −b c e − Vì f x( ) nguyên hàm g x( ) nên ta có /( ) ( )

, f x =g x ∀x

Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 x x

ax a b x b c e− x x e− ax a b x b c x x

− + − + −  = − ⇔ − + − + − = − +

 

 

Đồng hệ số hai vế, ta

1

2 1

0 a

a b a b c S a b c

b c − = − 

 − = ⇔ = = = → = + + = 

 − = 

Chọn D Câu 42 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017)

Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=cos x A ( )d 1sin

2

f x x= x+C

∫ B ( )d 1sin

2

f x x= − x+C ∫

C ∫ f x( )dx=2 sin 2x+C D ∫ f x( )dx= −2 sin 2x+C Lời giải Ta có ( )d cos d 1sin

2

f x x= x x= x+C

∫ ∫ Chọn A

Câu 43 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=sin 1( −2x) thỏa

mãn 1

2 F  =

  Mệnh đề sau đúng?

A F x( )=cos 1( −2x)+1 B F x( )=cos 1( −2x) C ( ) 1cos 1( )

2

F x = − − x + ⋅ D ( ) 1cos 1( )

2

F x = − x + ⋅

Lời giải Ta có sin 1( )d 1cos 1( )

x x x C

− = − +

Theo giả thiết 1 1cos 1

2 2

F  = → + = ⇔C C= Suy ( ) 1cos 1( )

2

F x = − x + Chọn D

Câu 44 Cho hàm số f x( ) thỏa điều kiện f′( )x = +2 cos 2x f  π= π

  Mệnh đề sau sai?

A f ( )0 =π B ( ) sin

2 x f x = x+ +π

C ( ) sin

x

f x = x− +π D

2 f− = π

 

Lời giải Ta có ( )d (2 cos )d 1sin

f′ x x= + x x= x+ x+C

∫ ∫

Theo giả thiết 2

2

f   π= π→ + =π C π⇔ =C π

 

Suy ( ) 1sin

f x = x+ x+π Chọn B

Câu 45 Một nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) sin

f x = x kết sau đây, biết nguyên hàm

8

π

x=π? A ( ) sin3

3 x

F x = B ( ) sin

2

x x

F x = − C ( ) sin

2 4

x x

F x = − + D ( )

3

sin

3 12

x

F x = −

Lời giải Ta có ( ) cos

d sin d d

2 x

f x x= x x= − x

∫ ∫ ∫

( )

1 1

1 cos d sin

2 x x x x C

 



= ∫ − =  − +

Theo giả thiết 1sin

4 4

F   π= π → π− π+ = ⇔ =C π C Suy ( ) sin

2 4

x x

F x = − + Chọn C

Câu 46 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) tan f x = x

A

tan x xd =tanx− +x C

∫ B

tan x xd =tanx−x ∫

C tan3

tan x xd x x

= ⋅

∫ D tan3

tan x dx x C x

= +

∫

Lời giải Dùng kỹ thuật thêm bớt, ta ( ) tan x xd = 1+tan x −1 d x

∫ ∫

( )

2

1 tan d d d d tan

cos

x x x x x x x C

x

=∫ + −∫ =∫ −∫ = − +

''Nếu đề yêu cầu tìm họ nguyên hàm ta chọn A, cịn u cầu tìm ngun hàm ta chọn B''

Ở yêu cầu tìm nguyên hàm, tức phải tìm họ nguyên hàm Chọn A

Câu 47 Cho nguyên hàm ∫ f x( )dx=sin cosx x+C Mệnh đề sau đúng? A ( ) 1(3 cos cos )

2

f x = x+ x B ( ) 1(cos cos )

2

f x = x+ x C ( ) 1(3 cos cos )

2

f x = x− x D ( ) 1(cos cos )

2

Suy ( ) 1( )/ 1( ) sin sin cos cos

2

f x = x+ x = x+ x Chọn A

Câu 48 Tìm giá trị thực tham số a b, để hàm số F x( ) (= acosx+bsinx e) x nguyên hàm hàm số ( ) xcos

f x =e x

A a=1, b=0 B a=0, b=1 C a= =b D a= =b Lời giải

Ta có /( ) ( ) ( ) ( ) ( )

sin cos x cos sin x cos sin x

F x = −a x+b x e + a x+b x e =b+a x+ −b a x e Vì F x( ) nguyên hàm f x( ) nên ta có /( ) ( )

, F x = f x ∀x

Do ( )cos ( )sin x xcos ( )cos ( )sin cos

b a x b a x e e x b a x b a x x

 + + −  = ⇔ + + − =

 

Đồng hệ số hai vế, ta 1

0

b a

a b b a

 + =

 ⇔ = =

 − =

 Chọn D

Câu 49 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin m

f x x

π

= + thỏa mãn

( )0 F = ,

4

F   π=π Tìm m

A

3

m= − B

m= C

4

m= − D

3 m=

Lời giải Ta có ( ) 4

d m sin d md sin d

f x x x x x x x

π π

 



=  +  = +

∫ ∫ ∫ ∫

( )

4 1

d cos d sin

2 2

m m

x x x x x x C

π π

 



=∫ +∫ − = +  − +

Theo giả thiết

( )0 1

1

2

4

F C C

m C m

F

π π

π π

 

 =  =  =

  

  

   →   ⇔

      

  =  +  − + =  = −

      

    



Chọn C

Câu 50 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 12 sin f x

x

= đồ thị hàm số ( )

y=F x qua điểm ;0

Mπ  Tính F   π

 

A

3

F   π= B

3

F   π= C

3

F   π= − D

3

F   π= Lời giải Ta có 12 d cot

sin x x= − x+C

∫

Đồ thị y=F x( ) qua điểm ;0

Mπ  nên cot

6

F   π= →− π+ = ⇔ =C C

Suy ( ) cot 3

3

Baøi 02

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số

Nếu ∫ f x( )dx=F x( )+C ∫ f u x ( ) ( ) 'u x dx=F u x ( )+C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I=∫ f x( )dx, ta phân tích

( ) ( ) ( )'

f x = g u x u x  ta thực phép đổi biến số t=u x( ), suy dt=u x'( )dx

Khi ta nguyên hàm: ∫ g t( )dt=G t( )+ =C G u x ( )+C

Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t=u x( ) 2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần

Cho hai hàm số u v liên tục đoạn [ ]a b; có đạo hàm liên tục đoạn [ ]a b; Khi đó: ∫u vd =uv−∫v ud ( )*

Để tính nguyên hàm ∫ f x( )dx phần ta làm sau: Bước Chọn u v, cho f x( )dx=u vd (chú ý  dv=v x'( )dx)

Sau tính v=∫dv du=u'.dx Bước Thay vào cơng thức ( )* tính ∫v ud

Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích

phân ∫v ud dễ tính ∫u vd Ta thường gặp dạng sau

●Dạng ( )sin d

cos

x

I P x x

x

   

=  

 

∫ , P x( ) đa thức

Với dạng này, ta đặt

( ) sin

d d

cos

u P x

x

v x

x

 =     = 

  

   

●Dạng I=∫ P x e( ) ax b+ dx, trong P x( ) đa thức

Với dạng này, ta đặt ( )

d ax bd

u P x

v e + x

 =   =



●Dạng I=∫ P x( ) (ln mx+n)dx, P x( ) đa thức

Với dạng này, ta đặt ( )

( ) ln

d d

u mx n

v P x x

 = + 

 =



●Dạng sin d

cos

x

x

I e x

x

    =    

∫ .

Với dạng này, ta đặt

sin cos d xd

x u

x

v e x

    =        

 = 

đặt ngược lại sin

d d

cos

x

u e

x

v x

x

 =     = 

  

  

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Câu Biết ∫ f u( )du=F u( )+C. Mệnh đề ?

A ∫ f(2x−1 d) x=2F(2x− +1) C B ∫ f(2x−1 d) x=2F x( )− +1 C

C ∫ f(2x−1 d) x=F(2x− +1) C D (2 d) (2 1)

f x− x= F x− +C

∫ Lời giải Đặt u=2x− 1 →du=2dx

Khi (2 d) ( )d ( )d ( ) (2 1)

2 2

u

f x− x= f u = f u u= F u + =C F x− +C

∫ ∫ ∫

Chọn D

Câu Tìm hàm số F x( ) thỏa mãn F′( ) (x = 2x+1)2017 2018

F− = 

A ( ) ( )

2018

2

2018 2018

x

F x = + + B ( ) ( )

2018

2

2018 4036

x

F x = + +

C ( ) ( )2016

2017 2018

F x = x+ + D F x( )=4034 2( x+1)2016+2018

Lời giải Ta có ( )2017

2x+1 d x

∫ Đặt u=2x+ 1 →du=2dx

Khi ( ) ( )

2018 2018

2017 2017

2 d d

2 2018 4036

x u

x+ x= u u= + =C + +C

∫ ∫

Theo giả thiết 2018 2018

F− =  → =C

  Vậy ( ) ( )

2018

2

2018 4036

x

F x = + + Chọn B.

Câu Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ( 2 )9

1

f x =x x +

A ( ) ( 2 )10

d

20

f x x= − x + +C

∫ B ( ) ( 2 )10

d

20

f x x= x + +C

∫

C ( ) ( 2 )10

d

f x x= x + +C

∫ D ( ) ( 2 )10

d

f x x= x + +C

∫

Lời giải Ta có ( ) ( 2 )9

d d

f x x= x x + x

∫ ∫ Đặt

1 d d

t=x + → t= x x

Khi ( 2 )9 9 10 ( 2 )10

1 d d

2 10 20

t

x x + x= t t= + =C x + +C

∫ ∫

Vậy ( ) 1( 2 )10

d

20

f x x= x + +C

∫ Chọn B.

Câu (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2016 – 2017)

Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= 2x−1

A ( )d 2(2 1)

3

f x x= x− x− +C

∫ B ( )d 1(2 1)

3

f x x= x− x− +C

∫

C ( )d

3

f x x= − x− +C

∫ D ( )d

2

f x x= x− +C

∫

Lời giải Ta có ∫ f x( )dx=∫ 2x−1d x Đặt t= 2x− →1 t2=2x− 1 →t td =d x

Khi 2 1d d 2d 1(2 1) 2 1 .

3

t

x− x= t t t= t t= + =C x− x− +C

Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) lnx ln2x 1 x

= ⋅ + ( )1

F = ⋅

Tính ( )2

F e

   

A ( )2

3

F e

  = ⋅

  B F e( ) = ⋅2 89 C F e( ) = ⋅2 31 D F e( ) = ⋅2 19

Lời giải Ta có lnx ln2x 1dx

x ⋅ +

∫

Đặt t ln2x 1 t2 (ln2x 1) t td lnxd x x

= + ⇒ = + → =

Khi ( )

3

2

ln ln

ln 1d d

3

x

x t

x x t t C C

x

+

⋅ + = = + = +

∫ ∫

Theo giả thiết ( )1 1

3 3

F = → + = ⇔ =C C

Suy ( ) ( ) ( )

3

2

ln 8

3

x

F x F e

+

 

= →  = ⋅ Chọn B

Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) lnx x

= F e( )2 =4 Mệnh đề

nào sau đúng?

A ( ) ln2

x

F x = +C B ( )

2

ln 2

x

F x = +

C ( ) ln2

2

x

F x = − D ( )

2

ln

x

F x = + +x C

Lời giải Ta có f x( )dx lnxdx x

=

∫ ∫ Đặt t lnx dt dx

x

= → = Khi ln d d ln2

2

x t x

x t t C C

x = = + = +

∫ ∫

Theo giả thiết ( ) ( )

2

2 ln

4

2

e

F e = → + = ⇔ =C C

Suy ( ) ln2 2

x

F x = + Chọn B.

Chú ý: Đáp án A gọi họ nguyên hàm hàm số f x( )

Câu 7. Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1

x

f x e

=

+ thỏa F( )0 = −ln Tìm tập nghiệm S phương trình F x( )+ln(ex+ =1) 3.

A.S= ±{ }3 B. S={ }3 C.S= ∅ D. S= −{ }3

Lời giải Ta có d d d d d

1 1

x x x x

x x x x

e e e e

x x x x x x

e e e e

+ −

= = − = −

+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặt x d xd

t=e + → t=e x Khi

( )

d

d ln ln ln

1

x

x x

x

e t

x t C e C e C

t

e + = = + = + + = + +

∫ ∫

Do d ln( 1)

x

x x x e C

e + = − + +

∫

Theo giả thiết F( )0 = −ln 2→ −0 ln 2+ = −C ln 2⇔ =C

Suy ( ) ln( x )

F x = −x e +

Xét phương trình ( ) ln( x 1) ln( x 1) ln( x 1) 3

Câu Hàm F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) x2

f x =xe ?

A ( ) 2

x

F x = e + B ( ) 1( 5)

2

x

F x = e +

C ( )

2

x

F x = − e +C D ( ) 1(2 2)

2

x

F x = − −e

Lời giải Ta có ( )

d x d

f x x= xe x

∫ ∫ Đặt d 2 d d 1d

2

t=x → t= x x→x x= t

Khi ( ) 1

d d

2 2

t t x

f x x= e t= e + =C e +C

∫ ∫

Vì F x( ) nguyên hàm f x( ) nên đáp án A với C=2, đáp án B

với

2

C= , đáp án D với C= −1 Vậy có đáp án C sai Chọn C.

Cách trắc nghiệm. Ta thấy đáp án A, B, D sai khác số nên chắn nguyên hàm f x( )

Câu 9. Cho ln d

x

e

I x

x

=∫ t=ln x Mệnh đề sau đúng?

A I= te ttd

∫ B td

I=∫e t C d

t

e

I t

t

=∫ D I=∫t td

Lời giải Đặt t lnx dt 1dx x

= → = Khi I= e ttd

∫ Chọn B.

Câu 10 Kí hiệu F x( ) họ nguyên hàm hàm số f x( )=sin4xcosx Mệnh đề

nào sau đúng?

A ( ) cos5

x

F x = +C B ( )

4

cos

x

F x = +C

C ( ) sin4

x

F x = +C D ( )

5

sin

x

F x = +C

Lời giải Ta có f x( )dx= sin4xcos dx x

∫ ∫ Đặt t=sinx→dt=cos dx x

Khi ( )d 4d sin5 .

5

t x

f x x= t t= + =C +C

∫ ∫ Chọn D.

Câu 11. Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

x f x

x

=

+ F 2

π    =     Tính F( )0

A ( )0 1ln 2

F = − + B ( )0 2ln 2

3

F = − +

C ( )0 2ln 2

F = − − D ( )0 1ln 2

3

F = − −

Lời giải Ta có sin d

1 cos

x x x

+

∫

Đặt cos d 3sin d sin d 1d

t= + x→ t= − x x→ x x= − t

Khi sin d d 1ln 1ln cos

1 cos 3

x t

x t C x C

x = − t = − + = − + +

+

∫ ∫

Theo giả thiết 2

F   π= → =C

Suy ( ) 1ln 1 3 cos 2 ( )0 2 1ln 22 2 2ln 2.

3 3

Câu 12. Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=cotx 0;2

π         thỏa

0

F   π= Tính

2

F  ⋅ π

 

A ln 2

F  π= −

  B F 12ln

π    =    

C ln 2

F  π= −

  D F 2 ln

π    = −    

Lời giải Ta có cot d cos d

sin

x

x x x

x

=

∫ ∫ Đặt t=sinx→dt=cos dx x

Khi cot d cos d d ln ln sin sin

x t

x x x t C x C

x t

= = = + = +

∫ ∫ ∫

Theo giả thiết ln ln( )2

4

F  π= →  + = ⇔C C=

Suy ( ) ( ) ( ) ( )

ln sin ln ln ln

2

F x = x + →F   π= = Chọn B.

Câu 13. Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=tan 2x thỏa mãn F( )0 =0

Tính T 2eF6 eF2.

π π

                     

= −

A T =1 B T= C T = − D T=0

Lời giải Ta có tan d sin d cos

x

x x x

x

=

∫ ∫

Đặt cos d sin d sin d 1d

t= x→ t= − x x→ x x= − t

Khi tan d sin d d 1.ln 1ln cos

cos 2 2

x t

x x x t C x C

x t

= = − = − + = − +

∫ ∫ ∫

Theo giả thiết F( )0 = 0 → =C

Suy ( ) 1ln cos

2

F x = − x →F   π= 1ln ln( )2

6 2

F  π= −   = Vậy T= 2.eln 2− = − =e0 2 1 1. Chọn A.

Câu 14 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sinxcos

f x =e x F( )π =5

Khẳng định sau đúng?

A ( ) sinx 4

F x =e + B ( ) sinx

F x =e +C

C F x( )=ecosx+4 D F x( )=ecosx+C Lời giải Ta có f x( )dx= esinxcos d x x

∫ ∫ Đặt t=sinx→dt=cos d x x

Khi f x( )dx= esinxcos dx x= e ttd = + =et C esinx+C

∫ ∫ ∫

Theo giả thiết F( ) 5 esinπ C 5 1 C 5 C 4. π = → + = ⇔ + = ⇔ = Suy F x( )=esinx+4. Chọn A.

Câu 15 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

tan

cos

x

e f x

x

= F( )0 =2017

Khẳng định sau đúng?

A ( ) tanx.

F x =e B ( ) tanx.

F x =e−

C F x( )=etanx+2016. D F x( )=etanx+2018.

Lời giải Ta có ( )d tan2 d

x

e

f x x= x

Khi ( ) tan tan

d d d

cos

x

t t x

e

f x x x e t e C e C

x

= = = + = +

∫ ∫ ∫

Theo giả thiết F( )0 =2017→etan 0+ =C 2017⇔ =C 2016.

Suy ( ) tan

2016

x

F x =e + Chọn C.

Vấn đề PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HQM TỪNG PHẦN Câu 16. Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=lnx thỏa mãn F( )1 =3

Tính ( )2

F e

A F e( )2 =4. B F e( )2 =3e2+4. C F e( )2 = − +e2 4. D F e( )2 =e2+4. Lời giải Ta có ∫ln dx x Đặt

d ln d

d d

x

u x u

x

v x

v x



 = =

 

 ⇒

 

 = 

  = Khi ∫ln dx x=xlnx−∫dx=xlnx− +x C

Theo giả thiết F( )1 = 3 →− + = ⇔ =1 C C

Suy F x( )=x.lnx− + x 4 →F e( )2 =e2+4. Chọn D

Câu 17.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho ( )

1

F x x

= − nguyên hàm hàm số f x( )

x Tìm nguyên hàm hàm số f '( )x lnx

A. ( )

ln

' ln d

5

x

f x x x C

x x

= + +

∫ B. '( ) ln d ln3 15

5

x

f x x x C

x x

= − +

∫

C. '( )ln d ln3 13

3

x

f x x x C

x x

= + +

∫ D. '( )ln d ln3 13

3

x

f x x x C

x x

= − + +

∫

Lời giải Ta có ( ) 62 ( ) ( )

1 1

'

3

f x x

F x f x

x

x x x

= = = → =

Xét ∫ f '( )x ln d x x Đặt

( ) ( )

1

ln d d

' d

u x u x

x

dv f x x

v f x



 = =

 

 ⇔

 

 = 

 

  =

Khi ( ) ( ) ( ) 3

ln

' ln d ln d

3

f x x

f x x x x f x x C

x x x

= − = + +

∫ ∫ Chọn C.

Câu 18. Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) ln ln( x)

x

=

A ln ln( x)dx ln ln lnx ( x) C

x = +

∫ B ln ln( x)dx ln ln lnx ( x) lnx C

x = + +

∫ C ln ln( x)dx ln ln lnx ( x) lnx C

x = − +

∫ D ln ln( x)dx ln ln( x) lnx C

x = + +

∫ Lời giải Đặt t lnx dt dx

x

= ⇒ = Suy ln ln( x)dx ln dt t

x =

∫ ∫

Đặt

d ln d d d

t

u t u

t

v t

v t



 = =

 

 ⇒

 

 = 

  =

Câu 19. Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=xex

A ∫ xexdx=ex+xex+C B

2

d

2

x x x

xe x= e +C

∫ C xexdx=xex− +ex C

∫ D d

2

x x x x

xe x= e + +e C

∫ Lời giải Ta có xexd x

∫ Đặt d d

d xd x

u x u x

v e x v e

 =  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Khi xexdx=xex− exdx=xex− +ex C

∫ ∫ Chọn C.

Câu 20. Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) (= x−1)ex thỏa mãn

( )0

F = Tìm F x( )

A F x( ) (= x−1)ex B F x( ) (= x−2)ex

C F x( ) (= x+1)ex+1 D F x( ) (= x−2)ex+3

Lời giải Ta có (x−1)exdx

∫ Đặt d d

d xd x

u x u x

v e x v e

 = −  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Khi ( 1) xd ( 1) x xd ( 1) x x ( 2) x

x− e x= x− e − e x= x− e − + =e C x− e +C

∫ ∫

Theo giả thiết F( )0 = 1 → −(0 2)e0+ = ⇔ =C 1 C 3.

Vậy ( ) ( 2) x

F x = x− e + Chọn D

Câu 21. Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) x

f x =x e− thỏa mãn điều kiện

( )0

F = − Tính tổng S nghiệm phương trình F x( )+ + =x

A S= −3 B S=0 C S=2 D S= −1

Lời giải Ta có xd

x e− x

∫ Đặt d d

d

x x

u x u x

dv e− x v e−

 =  =

 

 ⇒

 

 =  = −

 

 

Khi xd x xd x x

xe− x= −xe− + e− x=−xe− −e− +C

∫ ∫

Theo giả thiết F( )0 = −1→− + = − ⇔ =1 C C

Suy ( ) x x x( 1)

F x = −xe− −e− = −e x+

Xét phương trình ( ) x( 1)

F x + + = ⇔ −x e x+ + + =x

( 1)( 1) 1

0

x x

x e S

x

 = − 

⇔ + − + = ⇔ → = − + = −  =

 Chọn D.

Câu 22. Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=xsinx thỏa mãn

( )

F π = π Tính giá trị biểu thức T =2F( )0 −8F( )2π

A T =6 π B T=4 π C T =8 π D T=10 π

Lời giải Ta có ∫ xsinx xd Đặt d d

d sin d cos

u x u x

v x x v x

 =  =

 

 ⇒

 

 =  = −

 

 

Khi ∫ xsin dx x= −xcosx+∫cos dx x= −xcosx+sinx+C

Theo giả thiết F( )π =2π→ + =π C 2π⇔ =C π

Suy ( ) ( )

( ) ( )

0

cos si

2

n F T

F x x x x

F

π

π π π

π

π π

 = 

= − + + → →

=− = − − =



Câu 23. Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) cos2

2

x

f x =x thỏa ( )0

F = ⋅

Tính F( )π

A ( )

2

F π =π + ⋅ B ( )

2 1

4

F π =π − ⋅ C ( )

2 1

4

F π =π + ⋅ D ( )

2

1

F π =π +

Lời giải Ta có cos2 d cos d d cos d

2 2

x x

x x= x +  x= x x+ x x x

∫ ∫ ∫ ∫

2

1

1

d

2 2

x x

x x= +C = +C

∫ ( )1

1

cos d 2∫ x x x Đặt

d d d cos d sin

u x u x

v x x v x

 =  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Suy ( ) ( 2)

1 1

cos d sin sin d sin cos

2∫x x x=2 x x−∫ x x =2 x x+ x+C ( )2

Từ ( )1 ( )2 , suy ( )

2

1

1

cos d sin cos

2

x x

x x= +C + x x+ x+C

∫

Theo giả thiết ( ) 2

1 1 1

0

2 2 2

F = →C + + C = ⇔C + C =

Suy ( ) 1( sin cos ) ( )

4

x

F x = + x x+ x →F π =π − Chọn B.

Câu 24. Tìm nguyên hàm hàm số ( )

cos

f x =x x

A x2cos dx x=x2sinx−2 cosx x+2 sinx+2 C

∫

B x2cos dx x=x2sinx+2 cosx x−2 sin x ∫

C 2

cos d sin cos sin

x x x=x x+ x x− x− C

∫

D x2cos dx x=x2sinx+xcosx−sinx−C. ∫

Lời giải Đặt d d

sin d cos d

u x x

u x

v x

v x x

  =

 = 

 ⇒

 

 =  =

 



Khi x2cos dx x=x2sinx−2 xsin dx x

∫ ∫ ( )1

Tính ∫ xsin dx x Đặt d d d sin d cos

u x u x

v x x v x

 =  =

 

 ⇒

 

 =  = −

 

 

Ta ∫xsin dx x= −xcosx+∫cos dx x= −xcosx+sinx+C ( )2

Từ ( )1 ( )2 , suy x2cos dx x=x2sinx− −2( xcosx+sinx+C) ∫

2

sin cos sin

x x x x x C

= + − − Chọn C

Câu 25. Tìm nguyên hàm hàm số ( ) xsin

f x =e x

A xsin d xsin

e x x=e x+C

∫ B sin d 1( sin cos )

2

x x x

e x x= e x+e x +C

∫ C xsin d xcos

e x x=e x+C

∫ D sin d 1( sin cos )

2

x x x

e x x= e x−e x +C

∫

Lời giải Đặt sin d cos d

d xd x

u x u x x

v e x v e

 =  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Khi sin xd xsin cos xd xsin

xe x=e x− xe x=e x−K

∫ ∫ ( )1

Tính cos xd

K=∫ xe x Đặt cos d sin d

d xd x

u x u x x

v e x v e

 =  = −

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Suy xcos sin xd

Từ ( )1 ( )2 , suy sinxexdx=exsinx−(excosx+ sinxexdx)

∫ ∫

( )

1

2 sin d sin cos sin d sin cos

x x x x x x

xe x e x e x xe x e x e x

⇔ ∫ = − ⇔∫ = −

Baøi 03

TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa

Cho f x( ) hàm số liên tục K a b, hai số thuộc K Giả sử

( )

F x nguyên hàm f x( ) K hiệu số

F b( )−F a( )

được gọi tích phân f x( ) từ a đến b kí hiệu

( )d ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x x=F x =F b −F a

∫

2 Tính chất

Tích phân giá trị xác định biến số 0, tức ( )d a

a

f x x=

∫

Đổi cận đổi dấu, tức ( )d ( )d

b a

a b

f x x= − f x x

∫ ∫

Hằng số tích phân đưa ngồi dấu tích phân, tức

( )d ( )d

b b

a a

kf x x=k f x x

∫ ∫ (k số)

Tích phân tổng tổng tích phân, tức

( ) ( )d ( )d ( )d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 ±  = ±

 

∫ ∫ ∫

Tách đơi tích phân, tức ( )d ( )d ( )d

b c b

a a c

f x x= f x x+ f x x

∫ ∫ ∫

Chú ý: Tích phân ( )d b

a

f x x

∫ phụ thuộc vào hàm f cận a b, mà không

phụ thuộc vào biến số x, tức ( )d ( )d

b b

a a

f x x= f t t

∫ ∫

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

Câu 1. Giả sử hàm số f x( ) liên tục ℝ số thực a< <b c Mệnh đề sau

đây sai?

A ( )d ( )d ( )d

c b c

a a b

f x x= f x x+ f x x

∫ ∫ ∫ B ( )d ( )d ( )d

b c c

a a b

f x x= f x x− f x x

∫ ∫ ∫

C ( )d ( )d ( )d

b a c

a b a

f x x= f x x+ f x x

∫ ∫ ∫ D ( )d ( )d

b b

a a

c f x x=c f x x

∫ ∫

Câu 2. Cho f x( ) ( ), g x hai hàm số liên tục ℝ số thực a b c, , Mệnh đề

nào sau sai?

A ( )d ( )d

b b

a a

f x x= f y y

∫ ∫

B ( ) ( )d ( )d ( )d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 +  = +

 

∫ ∫ ∫

C ( )d

a

a

f x x=

∫

D ( ) ( ) d ( )d ( )d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

  =

 

∫ ∫ ∫

Lời giải.Chọn D.

Câu 3. Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A

1 dx

−

=

∫

B 1( ) ( ) d 1( )d 2( )d

b b b

a a a

f x f x x= f x x f x x

∫ ∫ ∫

C Nếu f x( ) liên tục không âm đoạn [ ]a b; ( )d b

a

f x x≥

∫

D .d ( ),

b

a

k x=k a−b ∀ ∈k

∫ ℝ

Lời giải. Ta có

1 1

1

dx x

− −

= =

∫ Do A sai

Theo tính chất tích phân B sai (vì khơng có tính chất này)

Xét đáp án C Giả sử F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) đoạn [ ]a b; Suy F/( )x = f x( )≥0, ∀ ∈x [ ]a b;

● F/( )x = ∀ ∈0, x [ ]a b; , suy F x( ) hàm nên ( )d ( )

b

b a a

f x x=F x =

∫

● F/( )x > ∀ ∈0, x [ ]a b; , suy F x( ) đồng biến đoạn [ ]a b; nên F b( )>F a( )

Do ( )d ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x x=F x =F b −F a >

∫ Do C Chọn C.

Ta có d d ( )

b b b

a

a a

k x=k x=k x =k b− a →

∫ ∫ D sai

Câu 4. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )

5

2

d 10

f x x=

∫ Tính ( )

5

2 d

I=∫ − f x  x

A I=32 B I=34 C I=36 D I=40

Lời giải. Ta có ( ) 2 ( )

5 5

2 d d d

I=∫  − f x  x= ∫ x− ∫ f x x

( ) ( )

5

5 2

2x f x dx 2 4.10 34

= + ∫ = − + = Chọn B.

Câu 5. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )

3

1

d 2016

f x x=

∫ ( )

4

d 2017

f x x=

∫

A I=4023 B I=1 C I= −1 D I=0

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

1

d d d

I=∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x

( ) ( )

3

1

d d 2016 2017

f x x f x x

=∫ −∫ = − = − Chọn C.

Câu 6. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )

2

1

d

f x x=

∫ ( )

1

d

f t t= −

∫

Tính tích phân ( )

2

d

I=∫ f u u

A I= −2 B I= −4 C I=4 D I=2

Lời giải. Ta có ( ) ( )

1

d d

f u u= f x x=

∫ ∫ ( ) ( )

1

d d

f u u= f t t= −

∫ ∫

Suy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

d d d d d

I=∫ f u u=∫ f u u+∫ f u u= −∫ f u u+∫ f u u= − − = − Chọn B.

Câu 7. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )

6

0

d

f x x=

∫ ( )

2

d

f x t= −

∫

Tính tích phân ( )

0

3 d

I=∫f v −  v

A I=1 B I=2 C I=4 D I=3

Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 ( )

0

0 0

3 d d d

I=∫ f v −  v=∫ f v v− v =∫ f v v−

Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 2

d d d d d d

f v v= f v v+ f v v− f v v= f v v− f v v

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

6

0

d d

f x x f x x

=∫ −∫ = − − =

Vậy I= − =7 Chọn A.

Câu 8. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )

10

0

d

f x x=

∫ ( )

2

d

f x x=

∫

Tính tích phân ( ) 10 ( )

0

d d

I=∫ f x x+∫ f x x

A I=10 B I=4 C I=7 D I= −4

Lời giải. Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 10 10

0 6

d d d d d d

I=∫ f x x+∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x+∫ f x x−∫ f x x

( ) ( )

10

0

d d

f x x f x x

=∫ −∫ = − = Chọn B.

Câu 9. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )d 10, ( )d

d d

a b

f x x= f x x=

∫ ∫ ( )d

c

a

f x x=

∫

Tính tích phân ( )d c

b

I=∫ f x x

Lời giải. Ta có ( )d ( )d ( )d ( )d

c d a c

b b d a

I=∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x+∫ f x x

( )d ( )d ( )d 10

d d c

b a a

f x x f x x f x x

=∫ −∫ +∫ = − + = Chọn C

Câu 10. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )

3

1

d 2, d

f x x= − f x x=

∫ ∫ ( )

1

d

g x x=

∫

Khẳng định sau sai?

A ( ) ( )

1

d 10

f x g x x

 +  =

 

∫ B ( )

3

d

f x x=

∫

C ( )

4

d

f x x= −

∫ D ( ) ( )

1

4f x 2g x dx

 −  = −

 

∫

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

d d d 10

f x g x x f x x g x x

 +  = + = + =

 

∫ ∫ ∫ Do A

Ta có ( ) ( ) ( )

3

d d d

f x x= f x x+ f x x

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

3

1

d d

f x x f x x

= −∫ +∫ = − − + = Do B sai, C Chọn B.

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

4f x 2g x dx f x dx g x dx 4.3 2.7

 −  = − = − = −

 

∫ ∫ ∫ Do D

Câu 11. Cho hàm số f x( ) thỏa ( ) ( )

2

1

3f x 2g x dx

 +  =

 

∫ ( ) ( )

1

2f x g x dx

 −  = −

 

∫

Tính tích phân ( )

1

d

I=∫ f x x

A I=1 B I=2 C

7

I= − D

2

I=

Lời giải. Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

3f x 2g x dx f x dx g x dx

 +  = ←→ + =

 

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2f x g x dx f x dx g x dx

 −  = − ←→ − = −

 

∫ ∫ ∫

Đặt ( )

1 d

f x x=u

∫ ( )

1 d

g x x=v

∫ , ta có hệ phương trình

5

3 7

2 11

7

u

u v

u v

v

 =−   + =

 

 ⇔

 

 − = − 

  =



Vậy ( )

1

5 d

7

I=∫ f x x= = −u Chọn C.

Câu 12 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục

trên đoạn [ ]1;2 thỏa mãn f( )1 =1, f( )2 =2 Tính ( )

1

d

I=∫ f′ x x

A I=1 B I= −1 C I=3 D

2

I= ⋅

Lời giải. Ta có ( ) ( )2 ( ) ( )

1

d 1

Câu 13 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn f( )0 =1 Kí hiệu

( )

0

' d x

I=∫ f t t Mệnh đề sau đúng?

A I= f x( )+1 B I= f x( ) C I= f x( +1 ) D I= f x( )−1

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

' d

x x

I=∫ f t t= f t = f x −f = f x − Chọn D.

Câu 14 Cho hàm số f x( )=lnx+ x2+1 Tính tích phân ( )

1

0

d

f′ x x

∫

A ( )

0

d ln

f′ x x=

∫ B ( ) ( )

0

d ln

f′ x x= +

∫

C ( )

0

d ln

f′ x x= +

∫ D ( )

0

d ln

f′ x x=

∫

Lời giải. Ta có ( ) ( )1

0

d

f′ x x= f x

∫

( )

1

2 2

0

lnx x ln 1 ln 0 ln

= + + = + + − + + = + Chọn B.

Câu 15 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1;4] thỏa mãn

( )1 12

f = , ( )

4

1

' d 17

f x x=

∫ Tính giá trị f( )4

A f( )4 =29 B f ( )4 =5 C f( )4 =9 D f( )4 =19

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

4

1

' d

f x x= f x = f −f

∫

Theo giả thiết ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

' d 17 17 17 17 12 29

f x x= ⇔ f −f = →f = +f = + =

∫

Chọn A.

Câu 16 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1;ln 3] thỏa mãn

( )

f =e , ( )

ln

2

1

' d

f x x= −e

∫ Tính giá trị f(ln )

A. ( )

ln

f = − e B. f(ln 3)=9

C. f(ln 3)= −9 D. ( )

ln

f = e −

Lời giải. Ta có ln ( ) ( )ln ( ) ( )

1

' d ln

f x x= f x = f −f

∫

Theo giả thiết ( ) ( ) ( )

ln

2

1

' d ln

f x x= −e ⇔ f −f = −e

∫

( ) ( ) 2

ln 9

f e f e e

→ = − + = − + = Chọn B.

Câu 17 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ]1;3 thỏa mãn f( )1 =1,

( )3

f =m Tìm tham số thực m để ( )

1

d

f′ x x=

∫

A m=6 B m=5 C m=4 D m= −4

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

1

d

f′ x x= f x = f −f

Theo giả thiết ( ) ( ) ( )

3

1

d 5

f′ x x= ⇔ f −f = ⇔ − = ⇔m m=

∫ Chọn A

Câu 18 Cho hàm số ( ) ( )

0

cos d

x

g x =∫t x−t t Tính '

g    π

 

A. '

2

g    π= − B. '

g   π= C. '

2

g    π= D. '

2

g   π=

Lời giải. Đặt

( ) ( )

d d

d cos d sin

u t u t

v x t t v x t

 =  =

 

 →

 

 = −  = − −

 

 

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

sin sin d sin cos cos

x

x x x

g x = −t x−t +∫ x−t t= −t x−t + x−t = − x

Suy '( ) sin ' sin

2

g x = x→g   π=   π= Chọn B.

Câu 19 Tính đạo hàm hàm số ( )

2

0

cos d

x

F x =∫ t t với x>0

A F'( )x =x2cos x B F'( )x =2 cos x x

C F'( )x =cos x D F'( )x =cosx−1

Lời giải. Đặt y= t⇒y2= t →2 dy y=d t Đổi cận:

2

0

t y

t x y x

 = → = 

 = → = 

Khi ( )

0

cos d x

F x =∫ y y y Đặt d 2d

d cos d sin

u y u y

v y y v y

 =  =

 

 →

 

 =  =

 

 

Suy ( )

0 0

0

2 sin sin d sin cos sin cos

x

x x x

F x = y y − ∫ y y= y y + y = x x+ x−

( )

' sin cos sin cos

F x x x x x x x

→ = + − = Chọn B.

Câu 20. Tìm giá trị nhỏ m hàm số ( ) ( )

1

d x

F x =∫ t +t t đoạn [−1;1]

A

6

m= B m=2 C

6

m= − D

6

m=

Lời giải. Ta có ( ) ( ) 3

1

5

d

3

x x

t t x x

F x = t +t t= +  = + −

  ∫

Xét hàm số ( )

3

x x

F x = + − đoạn [−1;1]

Đạo hàm ( ) ( ) [ ]

[ ]

2 1;1

' '

1 1;1

x

F x x x F x

x

 = ∈ − 

= + → = ⇔ 

= − ∈ − 

Ta có

( ) ( ) ( )

[ 1;1] ( ) ( )

2

3

5

0

6

1

F

F F x F

F

−

 − =− 



 = − → = = −

 

 =

 

Chọn C.

Câu 21. Tính đạo hàm hàm số ( )

1

1 d

x

F x =∫ +t t

A /( )

2

x

F x

x

=

+ B ( )

/ 1

C /( )

2 1

F x

x

=

+ D ( ) ( )

/ 2

1

F x = x + +x

Lời giải. Gọi H t( ) nguyên hàm 1+t2 , suy ( )

'

H t = +t

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 d

x x

F x =∫ +t t=H t =H x −H

( ) ( ) ( )/ ( ) 2

' '

F x H x H  H x x

→ = −  = = + Chọn B.

Câu 22 Tính đạo hàm hàm số ( )

1 sin d x

F x =∫ t t với x>0

A F'( )x =sin x B. '( ) sin

x

F x

x

= C. F'( )x sinx x

= D. F'( )x =sin x

Lời giải. Gọi H t( ) nguyên hàm

sint , suy H t'( )=sin t2

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

1

sin d

x x

F x =∫ t t=H t =H x −H

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

/

/ / sin

'

2

H x x

F x H x H H x

x x

   

→ = −  =  = = Chọn B.

Chú ý: ( )/ /( )

H x H x

  ≠

 

 

Câu 23 Tính đạo hàm hàm số f x( ), biết f x( ) thỏa mãn ( ) ( )

0 d x

f t f x

te t=e

∫

A f '( )x =x B ( )

'

f x =x + C f '( )x

x

= D f '( )x =1

Lời giải. Gọi F t( ) nguyên hàm tef t( ), suy F t'( )=tef t( )

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

d 0

x x

f t f x

te t=F t =F x −F ←→e =F x −F

∫

Đạo hàm hai vế, ta '( ). f x( ) '( ) '( ). f x( ) f x( ) '( ) .

f x e =F x ←→f x e =xe →f x =x

Chọn A.

Câu 24 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn

( )

( )

2

0

d cos

f x

t t=x πx

∫ Tính f ( )4

A f( )4 =2 B f( )4 = −1 C ( )4

2

f = D ( )

4 12

f =

Lời giải. Ta có

( ) ( )

( ) ( )

3

3

0

1

d cos

3

f x f x

t

t t= = f x  =x πx

  ∫

Cho x=4, ta ( )4 4 cos 4 ( )4 312.

3 f f

π

  = → =

  Chọn D.

Câu 25. Cho hàm số y= f x( ) có 1≤ f'( )x ≤4 với x∈[ ]2;5 Hỏi khẳng định

dưới khẳng định đúng?

A. 3≤ f( )5 −f( )2 ≤12 B.−12≤f( )5 −f( )2 ≤3

C.1≤f( )5 −f( )2 ≤4 D.− ≤4 f ( )5 −f( )2 ≤ −1

Lời giải. Đầu tiên ta phải nhận dạng ( ) ( ) ( )

2

5 ' d

f −f =∫ f x x

Do ( ) [ ] 5 ( )

2 2

3 12

1≤f ' x ≤4, ∀ ∈x 2;5 →∫1dx≤∫ f ' x dx≤∫4d x

Vấn đề TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Câu 26. Tìm số thực a>1 để tích phân

1

d a

x x x

+

∫ có giá trị e

A a

e

= B a=e C

e

a= D

a=e

Lời giải. Ta có ( )

1

1

1

d ln ln

a a a

x

x dx x x a a e

x x

 

+ =  +  = + = + − =

    

∫ ∫

Thử đáp án cho, có a=e thỏa mãn Thật e+lne− =1 e Chọn B

Cách CASIO Thiết lập hiệu

1

d a

x

x e

x

+ −

∫

Thử đáp án, ví dụ với đáp án A ta nhập vào máy

1

d e

x

x e

x

+ −

∫ nhấn dấu =

Màn hình xuất số khác nên khơng thỏa mãn Tương tự thử với đáp án B

Câu 27. Tính tích phân

5

1 d

2

x I

x

= −

∫

A I=ln B I=ln C I=ln D I=ln

Lời giải. Ta có 5 ( )

1 1

d 1

ln ln ln1 ln ln

2 2

x

x

x− = − = − = =

∫ Chọn A

Câu 28 Nếu kết

2

1 d

3

x

x+

∫ viết dạng lna

b với a b, số nguyên

dương ước chung lớn a b, Mệnh đề sau sai?

A 3a− <b 12 B a+2b=13 C a− >b D 2 41 a +b =

Lời giải. Ta có

2 2

1

d

ln ln ln ln

3

x x

x+ = + = − =

∫

Suy

4

a

a b

b

 =

 → − = <  =

 Do C sai Chọn C.

Câu 29 Tính tích phân

2016

0 d x

I= ∫ x

A 72016

ln

I= − ⋅ B 2016

7 ln

I= − C

2017

7 2017

I= − D 2015

2016.7 I=

Lời giải. Ta có

2016

2016 2016

0

7

7 d

ln ln ln

x x

I= ∫ x= = − Chọn A

Câu 30 Kết tích phân

3 cos d

I x x

π

π

=∫ viết dạng I= +a b 3, với a b số hữu tỉ Tính P= −a b

A

2

P= −a b= ⋅ B P= −a 4b=3

C

2

P= −a b= − ⋅ D

2

Lời giải. Ta có 2 3

3

cos d sin 1

2

I x x x

π

π π π

   =∫ = = − = + −  

1

4

1

a

P a b

b

 =  

→ =− → = − =

 Chọn B

Câu 31. Cho hàm số f x( )=Asin( )πx +B (A B, thuộc ℝ) thỏa mãn ( )

2

0

d

f x x=

∫

và f ' 1( )=2 Tính giá trị biểu thức P=πA+B

A P=4 B P=0 C P= −2 D P= −4

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

2

2

0

0

d sin d Acos

f x x A πx B x πx Bx B

π

 

   

=  +  = − +  =

 

∫ ∫

Suy 2B= ⇔ =4 B

Lại có f '( )x Aπcos( )πx f' 1( ) Aπcosπ A

π

= → = ⇔ = ⇔ = −

Vậy A 2;B P πA B

π

= − = → = + = Chọn B.

Câu 32. Biết tích phân

0

cos d

m

x x=

∫ với m tham số Khẳng định sau đúng?

A m=k2 π (k∈ℤ) B m=kπ (k∈ℤ)

C ( )

2

m=kπ k∈ℤ D m=(2k+1) (π k∈ℤ)

Lời giải. Ta có

0

1

0 cos d sin sin

2

m m

x x x m

=∫ = =

( )

sin 2

2

k

m m kπ m π k

→ = ⇔ = ⇔ = ∈ℤ Chọn C

Câu 33. Biết tích phân

0

1

sin d

2 x

t t

 

 −  =

 

 

∫ với x tham số Khẳng định sau đúng?

A x=k2 π (k∈ℤ) B x=kπ (k∈ℤ)

C ( )

2

x=kπ k∈ℤ D x=(2k+1) (π k∈ℤ)

Lời giải. Ta có

0 0

1 cos 1

sin d d cos d

2 2

x x x

t

t t t t t

   − 

 −  =  −  = −

   

 

   

∫ ∫ ∫

0

1

sin sin

4

x

t x

= − = −

Theo giả thiết ( )

0

1

sin d sin 2

2

x

t t x x kπ x kπ k

 

 −  = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈

 

 

∫ ℤ Chọn C.

Câu 34. Tính tích phân ( )

1 d

I f x x

−

=∫ , biết ( ) 220172017

2

x

x

x f x

x

−

 ≥

 = 

< 

A 22018 2log2

2017

I= − e B

2018

2

log 2017

I= − e C 22018 1ln

2017

I= − D

2017

2

2017 ln

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

1

d d d

I f x x f x x f x x

− −

=∫ =∫ +∫

0 2017 2017 2018

2017 2017

2

1

1

2 2

2 d d log

2017 ln 2017 ln 2017

x x

x x

x x e

− −

− −

−

=∫ +∫ = − + = Chọn A

Câu 35. Tính tích phân ( )

2

2

0

min 1, d

I=∫ x x

A.

4

I= B I=4 C.

3

I= D.

4

I= −

Lời giải. Ta có [ ] ( )

[ ] ( )

2

2

0;1 1,

1;2 1,

x x x

x x

 ∈ → =



 ∈ → =



Do ( ) ( )

1 2

2 2

0

0 1

1

min 1, d 1, d d 1.d

3 3

x

I=∫ x x+∫ x x=∫x x+∫ x= +x = + = Chọn C.

Vấn đề ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Giả sử v t( ) vận tốc vật M thời điểm t s t( ) quãng đường vật

sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ s t( )

và v t( ) sau:

● Đạo hàm quãng đường vận tốc: s t′( )=v t( ) ● Nguyên hàm vận tốc quãng đường s t( )=∫v t( )d t

→từ ta có quãng đường vật khoảng thời gian t∈[ ]a b;

( )d ( ) ( ).

b

a

v t t=s b −s a

∫

Nếu gọi a t( ) gia tốc vật M ta có mối liên hệ v t( ) a t( ) sau:

● Đạo hàm vận tốc gia tốc: v t′( )=a t( )

● Nguyên hàm gia tốc vận tốc: v t( )=∫a t( )d t

Câu 36 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s

người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc

( ) 10 m/s( )

v t = − +t , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu

đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?

A 0,2m B 2m C 10m D 20m

Lời giải. Lúc dừng hẳn v t( )= 0 →− +5t 10= ⇔ =0 t

Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô quãng đường

( )

2 2

2 0

5

5 10 d 10 10m

2

s=∫ − +t t= − t + t = Chọn C.

Câu 37 Một ô tô với vận tốc lớn 72km/h, phía trước đoạn đường

gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô di chuyển quãng đường bao nhiêumét?

A 100m B. 125m C. 150m D. 175m

Lời giải. Ta có 72km/h=20m/s

Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình 30−2t=20⇔ =t

Vậy từ lúc đạp phanh đến ô tô đạt tốc độ 72km/h, ô tô quãng đường

( )

5

0

30 d 125m

s=∫ − t t= Chọn B.

Câu 38 Một vật chuyển động với vận tốc 6m/s tăng tốc với gia tốc

( ) m/s2

a t t

=

+ , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu tăng

tốc Hỏi vận tốc vật sau 10 giây gần với kết sau đây?

A 14 m/s B 13 m/s C 11m/s D 12 m/s

Lời giải. Ta có ( ) d ln

1

v t t t C

t

= = + +

+ ∫

Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t=0 v=6m/s nên ta có ln1+ = ⇔ =C C Suy v t( )=3 lnt+ +1 m/s ( )

Tại thời điểm t=10s→v( )10 =3 ln11+ ≈6 13m/s Chọn B

Câu 39 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc

( ) 3 2(m/s2)

a t = t+t , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu

tăng tốc Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bao nhiêumét?

A 4000m

3 B

4300 m

3 C

1900 m

3 D

2200 m

3

Lời giải. Ta có ( ) (3 2)d 3 .

2

t t

v t =∫ t+t t= + +C

Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t=0 v=10m/s nên suy C=10 Suy ( ) 3 10 m/s ( )

2

t t

v t = + +

Vậy quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

10 3 10

0

3 4300

10 10 m

2 12

t t t t

s=  + + dt= + + t =

 

   

∫ Chọn B.

Câu 40 Một ô tơ chuyển động với vận tốc 30m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm

đó, tơ chuyển động chậm dần với gia tốc ( )

( )

2 20

m/s

1

a t

t

= −

+ , t

khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi quãng đường ô tô khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh bao nhiêumét?

A 46m B 47m C 48m D 49m

Lời giải. Ta có ( )

( )2

20 10

1

1

v t dt C

t t

−

= = +

+ +

∫

Tại thời điểm lúc bắt đầu đạp phanh t=0 v=30m/s nên suy C=20 Suy ( ) 10 20 m/s ( )

1

v t

t

= +

Vậy quãng đường ô tô khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu đạp

phanh ( ) ( ( ) )2

0

0

10

d 20 d ln 20 48m

1

s v t t t t t

t

 



=∫ =∫ + +  = + + ≈ Chọn C.

Câu 41. Một ô tô chạy thẳng với vận tốc v0(m/s) người đạp phanh, từ

thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t( )= − +5t v0(m/s ,)

đó t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp

phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển 40m vận tốc ban đầu v0 bao

nhiêu?

A v0=40m/s B v0=80m/s C v0=20m/s D v0=25m/s

Lời giải. Lúc dừng hẳn ( )

0

0

5

v v t = →− + = ⇔ =t v t

Theo giả thiết, ta có ( )

0

5 2

2 0

0

0

5

40m= d

2 10 10

v

v

v v v

t v t  t v t

− + = − +  = − + = ∫

2

0

40m 20m/s

10

v

v

→ = → = Chọn C.

Câu 42. Tại nơi khơng có gió, khí cầu đứng yên độ cao 162m so

với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật

( ) 10 2(m/s)

v t = t−t , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu

chuyển động Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v khí cầu bao nhiêu?

A. v=5m/s B. v=7m/s C. v=9m/s D. v=3m/s

Lời giải. Do v t( )=10t− t2 → < <0 t 10.

Giả sử khí cầu chạm đất kể từ lúc bắt đầu chuyển động t1 giây (0< <t1 10) Theo đề ta có phương trình ( )

1

1

3

2 2

1 0

162 10 d 5

3

t t

t t

t t t  t  t

= − = −  = −  

∫ ( )

3

0 10

1

1

5 162 9 9m/s

3

t

t

t < < t v

⇔ − + − = → = → = Chọn C.

Câu 43. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ nhà ga Quãng đường s

(mét) đoàn tàu hàm số thời gian t (giây) có phương trình

2

6

s= t −t Thời điểm mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn là:

A t=6 s B t=4 s C t=2 s D t=1 s

Lời giải. Vận tốc v t( )=s t'( )=12t−3t2

Bậy ta tìm giá trị lớn hàm số v t( )=12t−3t2

Ta có [ ]

2

2 0

6

0

2 0;

0

v t t t t

t

s t t

 ≥

= − ≥ ≤ ≤

 = − 

 ⇔

  

⇒ ∈ ≥

Đạo hàm lập bảng biến thiên ta tìm

[0;4] ( )

maxv t đạt t=2s Chọn C.

Câu 44 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Một vật chuyển động theo quy luật

3

1

s= − t + t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động

Lời giải. Vận tốc ( ) '( ) 12

v t =s t = − t + t

Ycbt tìm GTLN hàm số ( ) 12

v t = − t + t với 0≤ ≤t Đạo hàm lập bảng biến thiên ta tìm

[ ]0;8 ( ) ( )

maxv t =v =24m/s Chọn A.

Câu 45. Một tàu lửa chạy với vận tốc 200 m/s người lái tàu đạp phanh Từ

thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần với vận tốc v( )t =200+at(m/s),

đó t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh ( 2) m/s

a

gia tốc Biết 1500m tàu dừng, hỏi gia tốc tàu bao nhiêu?

A. 40( 2)

m/s

a= B. 200

m/s 13

a= − C. 40

m/s

a= − D. 100

m/s 13

a= −

Lời giải. Khi tàu dừng hẳn v 200 at t 200(m/s )

a

= ⇔ + = → = −

Theo đề ta có phương trình

( )

200

200

0

40000 40000

1500 200 d 200

2

a

a

at

at t t

a a

−

−

 

 

= + = +  = − +

 

∫

Suy 40( 2) m/s

a= − Chọn C

Câu 46 Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ

thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần parabol với đỉnh

1 ;

I 

  trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính

quảng đường s người chạy khoảng thời gian 45 phút,

kể từ chạy

A s=4km B s=2,3km

C s=4,5km D s=5,3km

Lời giải. Hàm vận tốc ( )

v t =at + +bt c có dạng đường parabol qua điểm

(0; 0)

O , A(1; 0) 1;

I  nên suy

0 32

0 32

0

4

c a

a b c b

a b c

c



 =  = −

 

 

 + + = ⇔ =

 

 

 

  =

 + + = 

( ) ( )

32 32 m/s

v t t t

→ = − +

Vậy quảng đường người khoảng thời gian 45 phút là:

( )

3

2

0

32 32 d 4,5km

s=∫ − t + t t= Chọn C.

Câu 47 Một xe ô tô sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu tăng

tốc với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có hình bên Biết sau 10s xe đạt đến vận tốc cao 50 m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét?

A 1000m

3 B

1100 m

3

C 1400m

3 D 300m

t

50

v(t)

10

Lời giải. Hàm vận tốc ( )

v t =at + +bt c có dạng đường parabol có đỉnh I(10;50),

đồng thời qua gốc tọa độ O( )0;0 nên suy

0

1 10

2

10

.10 10 50

c c

b

a a

b

a b c

 =  =

 

 

 

 

− = ⇔ = −

 

 

 

 

 + + =  =

 

 ( ) 10 m/s ( )

2

v t t t

→ = − +

Theo đồ thị xe bắt đầu tăng tốc lúc t=0 đạt vận tốc cao lúc t=10s nên quãng đường xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao là:

( )

10 10 10

2

0

0

1 1000

d 10 d m

2

s= v t t= − t + t t= − t + t  =

   

∫ ∫ Chọn A

Câu 48 Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h) phụ

thuộc thời gian t( )h có đồ thị phần đường parabol có đỉnh

( )2;9

I trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính

quãng đường s mà vật di chuyển

A s=26,75km B s=25, 25km

C s=24, 25km D s=24,75km

Lời giải. Hàm vận tốc v t( )=at2+ +bt c có dạng đường parabol qua có đỉnh

( )2;9

I qua điểm A( )0;6 nên suy

6

3

2

3

.2

c c

b

a a

b

a b c

 =  =

 

 

 

 

− = ⇔ = −

 

 

 

 

 + + =  =

 

 ( ) 3 6 m/s( )

4

v t t t

→ = − + +

Vậy quảng đường người khoảng thời gian là:

2

0

3 d 24,75km

4

s=∫− t + +t  t= Chọn D.

Câu 49 Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h)

phụ thuộc thời gian t( )h có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I( )2;9 với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đuờng s

mà vật chuyển động

A s=26,5km B s=28,5km

C s=27km D s=24km

Lời giải. Hàm vận tốc v t( )=at2+ +bt c có dạng đường parabol qua có đỉnh

( )2;9

I qua điểm O( )0;0 nên suy

0

9

2

9

.2

c c

b

a a

b

a b c

 =  =

 

 

 

 

− = ⇔ = −

 

 

 

 

 + + =  =

 

 ( ) ( )

9 m/s

v t t t

→ = − + Suy ( )3 27(m/s )

4

3

0

9 27

9 d d 27km

4

s=∫− t + t t+∫ t= Chọn C.

Câu 50 Cho đồ thị biểu diễn vận tốc hai xe A B

khởi hành lúc, bên cạnh đường Biết đồ thị biểu diễn vận tốc xe A

đường parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc xe B

đường thẳng hình bên Hỏi sau giây khoảng cách hai xe mét

A 90 m B. 60 m

C. m D. 270 m

t 60

v

3

O

A

v vB

Lời giải. Hàm vận tốc ( )

A

v t =at + +bt c có dạng đường parabol qua điểm

( )0;0

O , A(3;60) B(4;0) nên suy ( ) 202 80 m/s ( ) A

v t = − t + t

Hàm vận tốc vB( )t = +at b có dạng đường thẳng qua gốc tọa độ O( )0;0 điểm (3;60)

A nên suy vB( )t =20 m/s t( )

Quãng đường sau giây xe A ( )

2

0

20 80 d 180m

A

s =∫ − t + t t=

Quãng đường sau giây xe B

0

20 d 90m

B

s =∫ t t=

Vậy khoảng cách hai xe sau giây bằng: sA−sB =90 m Chọn A

Câu 51 Tốc độ thay đổi số dân thị trấn kể từ năm 1970 mô tả

công thức ( )

( )2 120

5

f t

t

′ =

+ , với t thời gian tính năm (thời điểm t=0 ứng với

năm 1970) Biết số dân thị trấn vào năm 1970 2000 người Hỏi số dân thị trấn vào năm 2018 gần với số sau đây?

A. 22 nghìn người B. 23 nghìn người

C. 24 nghìn người D. 25 nghìn người

Lời giải. Tốc độ thay đổi số dân thị trấn vào năm thứ t ( )

( )2 120

5

f t

t

′ =

+ Suy

nguyên hàm f′( )t hàm số f t( ) mô tả số dân thị trấn vào năm thứ t

Ta có ( ) ( )

( )2

120 120

5

f t f t dt dt C

t t

− ′

= = = +

+ +

∫ ∫

Số dân thị trấn vào năm 1970 (ứng với t=0)

( )0 120 26 ( ) 120 26

0 5

f C C f t

t

− −

= ⇔ + = ⇔ = → = +

+ +

Vậy số dân thị trấn vào năm 2018 (ứng với t=48)

( )48 120 26 23,73 48

f =− + =

+ nghìn người Chọn C.

Câu 52 Biết tốc độ phát triển vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dày

tại ngày thứ t '( ) 1000

2

F t t

=

+ ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn Sau 15

ngày bệnh nhân phát bị bệnh Hỏi có vi khuẩn dày ?

A. 5434 B. 1500 C 283 D. 3717

Lời giải. Tốc độ phát triển vi khuẩn ngày thứ t ( ) 1000

2

F t t

′ =

+ Suy số

( ) ( ) 1000 500 ln

2

F t F t dt dt t C

t

′

= = = + +

+

∫ ∫

Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn nên

( )0 2000 500 ln 2.0 2000 2000 ( ) 500 ln 2000

F = ⇔ + + =C ⇔ =C →F t = t+ +

Số vi khuẩn sau 15 ngày là: F( )15 =500 ln 2.15+ +1 2000=3716, 99 Chọn D.

Câu 53 Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t( ) Biết '( ) 4000

1 0,5

N t

t

= +

và lúc đầu đám vi trùng có 250.000 Sau 10 ngày số lượng vi trùng (lấy xấp xỉ hàng đơn vị):

A 264.334 B 257.167 C 258.959 D 253.584

Lời giải. Ta có ( ) '( ) 4000 8000.ln 1( 0,5)

1 0,5

N t N t dt dt t C

t

= = = + +

+

∫ ∫

Tại thời điểm ban đầu (t=0)

( )0 8000.ln1 250000 250000 ( ) 8000.ln 1( 0,5 ) 250000

N = + =C ⇔ =C →N t = + t +

Sau 10 ngày (t=10) N( )10 =8000.ln 1( +0,5.10)+250000=264.334con Chọn A.

Câu 54 Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tuân theo công thức

( )

' 100 t

S t = r e (con/giờ) với r tỷ lệ tăng trưởng đặc trưng vi khuẩn Ban đầu có

100 vi khuẩn Hỏi sau số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi Biết số lượng vi khuẩn sau 300

A 4 giờ35 phút. B 3 phút C 4 30 phút D 4 phút

Lời giải. Sự tăng trưởng vi khuẩn thứ t S t'( )=100 r et Suy số lượng

vi khuẩn vào thứ t tính theo cơng thức

( ) '( ) 100 t

S t =∫S t dt=∫ r e dt

Số lượng vi khuẩn sau 300 nên ta có:

5

0

300 100 t 100 100 300 0,020351

r e r e r r

=∫ ←→ − = → =

Suy thời gian để số vi khuẩn tăng lên 200 là:

200 100.0,020351 t

t

e

=∫

( )

100.0,020351 t 200 4,597

e t

→ − = ←→ ≃ (4 35 phút) Chọn A.

Câu 55 Người ta thay nước cho bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu

là 280cm Giả sử h t( ) chiều cao (tính cm) mực nước bơm thời

điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t

( )

'

500

h t = t+ lúc đầu hồ bơi khơng có nước Hỏi sau nước bơm

3

4 độ sâu hồ bơi?

A. 34 giây B. 34 giây C. 38 giây D. 38 giây

Lời giải. Ta có ( ) '( ) 3 ( 3)43 .

500 2000

h t =∫h t dt=∫ t+ dt= t+ +C

Lúc ban đầu (tại t=0) hồ bơi không chứa nước, nghĩa

( ) ( )

7

4

3

3

0 0

2000 2000

h = ←→ + + = ←→ = −C C

Suy mực nước bơm thời điểm t giây ( ) ( )

7

4

3

3

3

2000 2000

Theo giả thiết, lượng nước bơm

4 độ sâu hồ bơi nên ta có:

( ) ( ) ( )

7

4

3

3 3

.280 210 140004,33 7234s

4 2000 2000

h t = ←→ t+ − = ←→ +t = ←→ =t

Vậy sau khoảng thời gian 34 giây bơm

Bài 04

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

a) Phương pháp đổi biến số loại

Giả sử cần tính tích phân ( )d

b

a

I=∫ f x x ta thực bước sau:

Bước 1. Đặt x=u t( ) (với u t( ) hàm có đạo hàm liên tục [α β; ], f u t ( ) xác

định [α β; ] u( )α =a u, ( )β =b) xác định α β,

Bước 2. Thay vào, ta có I f u t( ) ( ) 'u t dt g t( )dt G t( ) G( ) G( )

β β

β α

α α

β α

 

=∫   =∫ = = −

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại

Dấu hiệu Cách chọn

2

a −x

[ ]

sin ; 2 cos 0; x a t t

x a t t

π π π

  

 = ∈ −     

 = ∈



2

x −a

{ }

[ ]

; \

sin 2

0; \

cos

a

x t

t a

x t

t

π π

π π

  

 = ∈ −     

   

 = ∈   

  

   



2

x +a tan ;

2 x=a t t∈ − π π

b) Phương pháp đổi biến số loại

Tương tự ngun hàm, ta tính tích phân phương pháp đổi biến số (ta gọi loại 2) sau:

Để tính tích phân ( )d

b

a

I=∫ f x x f x( )= g u x ( ) ( ) 'u x , ta thực phép

đổi biến sau:

Bước 1. Đặt t=u x( )⇒dt=u x'( )dx

Đổi cận ( )

( )

x a t u a x b t u b

 = ⇒ = 

 = ⇒ = 

Bước 2. Thay vào ta có ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

d

u b u b

u a u a

I=∫ g t t=G t

2 Phương pháp tích phân phần

Cho hai hàm số u v liên tục [ ]a b; có đạo hàm liên tục [ ]a b;

Khi đó: d d

b b b

a

a a

u v=uv − v u

∫ ∫

Dạng f x( )ln g x( )dx β

α

   

∫ Đặt ( )

( )

ln

d d

u g x v f x x

    =

   

 = 

Dạng ( )sincos d

ax

ax f x ax x

e β

α

             

∫ Đặt

( )

sin d cos d

ax

u f x ax v ax x

e

 = 

          =             

Dạng sin

d cos

ax ax

e x

ax β

α

       

∫ Đặt

sin cos d axd

ax u

ax v e x

    =        

 = 

Ưu tiên đặt u theo quy tắc ''nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ'' Tức

hàm số dấu tích phân hợp hàm số ta đặt u theo thứ tự ưu

tiên trên, cịn lại đặt dv

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI

Câu 1. Cho tích phân

8

2

0

16 d

I=∫ −x x x=4 sint Mệnh đề sau đúng?

A

0

16 cos d

I t t

π

= − ∫ B 4( )

0

8 cos d

I t t

π

= ∫ +

C

0

16 sin d

I t t

π

= ∫ D 4( )

0

8 cos d

I t t

π

= ∫ −

Lời giải. Với x=4 sint, suy

2 2

d cos d

16 16 16 sin 16 cos cos x t t

x t t t

 = 

 − = − = =

 Đổi cận:

0

4

x t

x t π

 = → = 



 = → = 

Khi 4 4( )

0 0

16 cos cos d 16 cos d cos d

I t t t t t t t

π π π

=∫ =∫ = ∫ + Chọn B.

Câu 2. Cho tích phân

1

2

d

x I

x

= −

∫ x=2 sint Mệnh đề sau đúng?

A

0

d

I t

π

=∫ B

0

d I t t

π

=∫ C

0

dt I

t π

=∫ D

0

d

I t

π

=∫

Lời giải. Với x=2 sint, suy

2 2

d cos d

4 sin cos cos x t t

x t t t

 = 

 − = − = =

 Đổi cận:

0

6

x t

x t π

 = → = 



 = → =

 Vậy

6 6

0 0

2 cos cos

d d d

2 cos cos

t t

I t t t

t t

π π π

Câu 3. Biến đổi tích phân

2

2

1

5 d

I x x x

−

=∫ + − thành tích phân ( )

d I f t t

π

=∫ với cách đặt x= −2 sint Khẳng định sau đúng?

A. f t( )=9 sin 2t B. f t( )= −9 cos 2t

C. ( ) 9(1 cos )

2

f t = + t D. ( ) 9(1 cos )

f t = − t

Lời giải. Tích phân viết lại 2 2 ( )2

1

5 d d

I x x x x x

− −

=∫ + − =∫ − − Với sin sin

d 3cos d

x t

x t

x t t

 − =  = − → = −

 Đổi cận:

1 2 x t x t π  =− → =   = → =  Khi

0 2

2

0

2

3 9 sin cos d cos cos d cos cos d

I t t t t t t t t t

π π π = − ∫ − = ∫ = ∫ ( ) 2 0

9 cos d cos d

t t t t

π π

= ∫ = ∫ + Chọn C

Câu 4. Cho tích phân

2 d I x x = +

∫ x= tant Mệnh đề sau đúng?

A

4

3 d

I t

π

π

= ∫ B

4 d t I t π π

= ∫ C

4

3 d

I t t

π

π

= ∫ D

4 d I t π π = ∫

Lời giải. Với x= tant, suy dx= 3 1( +tan2t)d t

Đổi cận: 4. 3 x t x t π π  = → =    = → = 

Khi ( )

2

3

2

4

3 tan d 3 d 3 tan

t t I t t π π π π + = = +

∫ ∫ Chọn D.

Câu 5. Cho tích phân

2 1 d x I x x −

=∫

sin x

t

= Mệnh đề sau đúng?

A 2

4

sin d

I t t

π

π

=∫ B 2

4

cos d

I t t

π

π

=∫

C ( )

4

1 cos d

I t t

π

π

=∫ + D 2( )

4

1 cos d

I t t

π

π

=∫ −

Lời giải. Với

sin x

t

= , suy

2 2 2 cos d d sin cos cos 1 sin sin sin t x t t t t x t t t  =−    − = − = =   Đổi cận: . x t x t π π  = → =    = → = 

Khi 2 2

3

2

cos cos

sin cos sin cos

d d

1 sin sin

sin sin

t t

t t t t

I t t

t t

t t

π π

π π

( )

2

2

4

1

cos d cos d

t t t t

π π

π π

=∫ = ∫ + Chọn B.

Vấn đề 1.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI

Câu 6. Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm ℝ Mệnh đề sau đúng?

A ( ) ( )

0

d d

f x x= f −x x

∫ ∫ B ( ) ( )

0

d d

a a

a

f x x f x x

−

=

∫ ∫

C ( ) ( )

0

sin d cos d

f x x f x x

π π

= −

∫ ∫ D ( ) ( )

0

1

d d

2

f x x= f x x

∫ ∫

Lời giải.Chọn A Đặt x= − ⇒1 t dx= −dt Đổi cận

0

x t

x t

 = ⇒ = 

 = ⇒ = 

Suy ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

d d d d

f x x= − f −t t= f −t t= f −x x

∫ ∫ ∫ ∫

B, C, D sai Ta chọn hàm f x( )=x để kiểm tra

Câu 7. Hàm số f x( ) có nguyên hàm ( )a b; đồng thời thỏa mãn f a( )= f b( )

Mệnh đề sau đúng?

A b '( ) f x( )d 0

a

f x e x=

∫ B b '( ) f x( )d 1

a

f x e x=

∫

C b '( ) f x( )d 1

a

f x e x= −

∫ D b '( ) f x( )d 2

a

f x e x=

∫

Lời giải. Đặt t= f x( ), suy dt= f '( )x dx Đổi cận ( )

( )

x a t f a x b t f b

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' d d

f b b

f x t f b f a

a f a

f x e x= e t=e −e =

∫ ∫ (do f a( )=f b( )) Chọn A.

Câu Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm ℝ Xét mệnh đề sau:

1) ( ) ( )

0

sin x f sinx dx x f x d x π

=

∫ ∫

2) ( ) ( )

1

2

0

d d

x e

x

f e f x

x x

e = x

∫ ∫

3) ( ) ( )

2

3

0

1

d d

2

a a

x f x x= xf x x

∫ ∫

Có mệnh đề đúng?

A B C D

Lời giải. Xét 1) Ta có ( ) ( )

0

sin x f sinx dx sin x f sinx cos dx x

π π

=

∫ ∫

Đặt t=sinx, suy dt=cos dx x Đổi cận

0

x t

x π t

 = → = 



Khi ( ) ( ) ( )

0 0

2 sin x f sinx cos dx x t f t dt x f x d x π

= =

∫ ∫ ∫ Do 1)

Xét 2) Đặt t=ex kết luận 2)

Xét 3) Đặt

t=x kết luận 3)

Vậy mệnh đề Chọn C

Câu 9. Cho tích phân ( )d

a

a

I f x x

−

=∫ Mệnh đề sau đúng?

A. ( ) ( )

0

d

a

I=∫f x −f −x  x B. ( ) ( )

0

d

a

I=∫f x− −a f a−x  x

C. ( ) ( )

0

d

a

I=∫f x −f a−x  x D. ( ) ( )

0

d

a

I=∫ f x− +a f x  x

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

0

d d d

a a

a a

I f x x f x x f x x

− −

=∫ =∫ +∫ Xét ( )d

a

J f x x

−

=∫ Đặt x= − t a →dx=d t Đổi cận 0

x a t

x t a

 = − → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( )

0

d d d

a a

a

J f x x f t a t f x a x

−

=∫ =∫ − =∫ −

Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

d d d d

a a a a

I= +J ∫ f x x=∫ f x−a x+∫ f x x=∫ f x− +a f x  x Chọn D.

Câu 10. Cho hàm số f x( ) liên tục [ ]a b; thỏa f a( + −b x)= f x( )∀ ∈x [ ]a b;

Mệnh đề sau đúng?

A. ( )d ( )d

2

b b

a a

b a

xf x x= − f x x

∫ ∫ B. ( )d ( )d

2

b b

a a

b a

xf x x= + f x x

∫ ∫

C. ( )d ( ) ( )d

b b

a a

xf x x= −b a f x x

∫ ∫ D. ( )d ( ) ( )d

b b

a a

xf x x= +b a f x x

∫ ∫

Lời giải. Đặt x= + −a b t, suy dx= −dt Đổi cận x a t b

x b t a

 = → = 

 = → =



Khi ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d

b a b

a b a

xf x x= − a+ −b t f a+ −b t t= a+ −b t f a+ −b t t

∫ ∫ ∫

( ) ( )d ( ) ( )( ) ( )d ( )d

b f a b x f x b b

a a a

a b x f a b x x a b f x x xf x x

+ − =

=∫ + − + − = + ∫ −∫

Suy ( )d ( ) ( )d ( )d ( )d

b b b b

a a a a

a b

xf x x= +a b f x x→ xf x x= + f x x

∫ ∫ ∫ ∫ Chọn B.

Câu 11. Cho f x( ) hàm số lẻ liên tục [−a a; ] Mệnh đề sau đúng?

A ( ) ( )

0

d d

a a

a

f x x f x x

−

=

∫ ∫ B ( )d

a

a

f x x

−

=

∫

C ( )d 20 ( )d

a

a a

f x x f x x

− −

=

∫ ∫ D ( ) ( )

0

d d

a a

a

f x x f x x

−

= −

∫ ∫

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

0

d d d

a a

a a

f x x f x x f x x

− −

= +

∫ ∫ ∫

Xét tích phân ∫0 f x( )dx Đặt x= − ⇒t dx= −dt Đổi cận

0

x a t a

x t

 = − ⇒ = 

 = ⇒ =

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

d d d d d d

a a

a a a a

f x x f t t f t t f t t f t t f x x

−

 

= − − = − −  = = − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Vậy ( ) ( ) ( )

0

d d d

a a a

a

f x x f x x f x x

−

= − + =

∫ ∫ ∫ Chọn B.

Câu 12 Cho f x( ) hàm số lẻ ( )

0

2

d f x x

−

=

∫ Tính tích phân ( )

d I=∫ f x x

A. I=2 B. I= −2 C. I=1 D. I= −1

Lời giải. Áp dụng kết câu trên, ta có ''Nếu f x( ) hàm số lẻ liên tục

đoạn [−a a; ] ( )d ''

a

a

f x x

−

=

∫

Thay a=2 ta ( ) ( ) ( )

2

2

0 f x dx f x dx f x dx

− −

=∫ =∫ +∫

( ) ( )

2

0

d

f x x f x dx

−

→∫ = −∫ = − Chọn B.

Câu 13 Tính tích phân

1

2017

2017d

I x x x

−

=∫ +

A I=0 B I=2 C I= −2 D

3 I= ⋅

Lời giải. Xét hàm số f x( )=x2017 x2+2017 hàm số lẻ, liên tục đoạn [−1;1 ]

Vậy

1

2017

1

2017d

I x x x

−

=∫ + = Chọn A.

Câu 14. Cho f x( ) hàm số chẵn liên tục [−a a; ] Mệnh đề sau sai?

A ( ) ( )

0

d d

a a

a

f x x f x x

−

=

∫ ∫ B. ( )d 20 ( )d

a

a a

f x x f x x

− −

=

∫ ∫

C ( ) ( )

0

d d

a

a

f x x f x x

−

=

∫ ∫ D ( )d

a

a

f x x

−

=

∫

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

0

d d d

a a

a a

f x x f x x f x x A B

− −

= + = +

∫ ∫ ∫

Xét ( )d

a

A f x x

−

=∫ Đặt x= −t, suy dx= −dt Đổi cận

0

x a t a

x t

 = − → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) chan ( )

0 0

d d d d

a a f x a

a

A= −∫ f −t t=∫ f −t t=∫ f −x x = ∫ f x x=B

Vậy A, B, C đúng; D sai Chọn D.

Câu 15. Cho f x( ) hàm số chẵn thỏa mãn ( )

0

1

d f x x

−

=

∫ Tính ( )

d I f x x

−

=∫

A I=3 B I=2 C I=6 D I= − ⋅3

Lời giải. Áp dụng kết câu trên, ta có ( ) ( )

1

d d 2.3

f x x f x x

− −

= = =

∫ ∫ Chọn C.

Câu 16. Biết

1

d ln x

I x a

x

= =

+

∫ với a số thực dương Tìm a

A a=2 B

2

Lời giải. Đặt t=x2+1, suy d 2 d d d

2 t

t= x x→x x= Đổi cận:

1 x t x t  = → =   = → =  Khi 2 1

1 d 1

ln ln ln 2

2 2

t

I t a

t

= ∫ = = = → = Chọn C

Câu 17. Cho tích phân

( ) 4 d x I x x = +

∫ t=x4+2. Mệnh đề sau đúng?

A.

3 2

d t I

t

= ∫ B.

1

d t I

t

= ∫ C.

3 2 d t I t

=∫ D.

1 d t I t =∫

Lời giải. Với t=x4+2, suy dt=4x3dx Đổi cận 2.

1 x t x t  = → =   = ⇒ = 

Khi

2 d t I t

=∫ Chọn C

Câu 18. Tính tích phân ( )

2017 2019 d x I x x + =∫

A. 32018 22018

2018

I= − B

2018 2018

3

4036 I= −

C. 32017 22018

4034 2017

I= − D.

2021 2021

3

4040 I= −

Lời giải. Ta có

2017

2

2

d x I x x x  +   =∫  Đặt t x 2

x x

+

= = + , suy d 22d d2 1d x

t x t

x x

= − → = − Đổi cận

2 x t x t  = → =   = → =  Khi

2 2018 2018 2018

2017 2017

2

3

1

d d

2 4036 4036

t

I= − ∫t t= ∫t t= = − Chọn B.

Câu 19. Tính tích phân 2016

2 d x x I x e − = + ∫

A. I=0 B

2018

2 2017

I= C.

2017

2 2017

I= D.

2018

2 2018 I=

Lời giải. Ta có

2 2016 2016 2016

2

d d d

1 1

x x x

x x x

I x x x A B

e e e

− −

= = + = +

+ + +

∫ ∫ ∫

Tính 2016

2 d x x A x e − = +

∫ Đặt x= −t, suy dx= −d t Đổi cận 2

0 x t x t  = − → =   = → = 

Khi ( )

2016

0 2016 2016

2 0

d d d

1 1

t x

t t x

t t e x e

A t t x

e− e e

−

= − = =

+ + +

∫ ∫ ∫

Vậy ( )

2016

2 2016 2016 2

2016

0 0

d d d d

1 1

x x

x x x

x e

x e x

I A B x x x x x

e e e

+

= + = + = =

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫

2017 2017

0

2 2017 2017

x

= = Chọn C.

Câu 20. Tính tích phân ( )

1

0

1 n d

I=∫ −x x x với n nguyên dương

A

2 I n = ⋅ + B I n = ⋅ + C I n

= ⋅ D

2 I

n

= ⋅

−

Lời giải. Đặt = − 2, suy = − → = −1 Đổi cận  = → =x t

Khi

( )

0 1

0

1

1 1

d d

2 2

n

n n t

I t t t t

n n

+

= − = = =

+ +

∫ ∫ Chọn A.

Câu 21. Kết tích phân

1

2

0

1 d

I=∫x +x x viết dạng I a a b

−

= với a b,

các số nguyên dương Tính giá trị biểu thức T= +a b

A T =1 B T=7 C T =5 D T=8

Lời giải. Đặt 2

1  

t= +x ⇒t = +x , suy t td =x xd Đổi cận

1 2  x t x t  = → =   = → = 

Khi 2 1

2 2

d

3

3

a

I t t t T a b

b  =  −  = = → = → = + = 

=∫ Chọn D

Câu 22. Cho tích phân

2

1

2 1d

I=∫ x x − x u=x2−1. Mệnh đề sau sai?

A

3

0

d

I=∫ u u B

2

1

d

I=∫ u u C

3 2

I= u D I=2

Lời giải. Với u=x2−1, suy du=2 dx x Đổi cận 0.

2 x u x u  = → =   = → = 

Suy 2

1

2 1d d

I=∫ x x − x=∫ u u Do B sai Chọn B

Câu 23. Tính tích phân

2 d a x x I x x + = + ∫

A I=(a2+1) a2+ −1 1. B I=(a2+1) a2+ +1 1.

C 1( )

1 1

I= a + a + + 

  D ( )

2

1

1 1

I= a + a + − 

 

Lời giải. Đặt t= x2+ ⇒1  t2=x2+1, suy t td =x xd Đổi cận

2

0

x t

x a t a

 = → = 

 = → = + 

Khi ( ) ( )

2 2 2 2 0 1 1

d d 1

3 1 d a a

a a x

x x

I x x x a a

x x t t t + + + +   = = =  + + −    + + ∫ = = ∫ ∫ Chọn D.

Câu 24 Tính tích phân

2

2

0

1d I=∫x x + x

A 16

9

I= B 16

I= − C 52

I= D 52

9 I= −

Lời giải. Đặt t= x3+ ⇒1 t2=x3+1, suy 2

2 d d d d

3

t t= x x→ t t=x x

Đổi cận:

2 x t x t  = → =   = → =  Vậy

3 3

2

1

2 52

d

3 9

t

I= ∫t t= = Chọn C.

Câu 25. Biến đổi tích phân

3 d 1 x x x + +

∫ thành tích phân ( )

d f t t

∫ với t= 1+x

Khi f t( ) hàm số hàm số sau?

A f t( )=2t2−2t B f t( )= +t2 t C f t( )= −t2 t D f t( )=2t2+2t

Lời giải. Với t= 1+ ⇒x t2= +1 x, suy 2 dt t=dx Đổi cận 1.

Khi ( )

3 2

2

0 1

1

d d 2 d

1 1

x t

x t t t t t

t x − = = − + + +

∫ ∫ ∫ Vậy f t( )=2t2−2t Chọn A.

Câu 26. Kết tích phân

5

1

1 d

I x

x

=

+ +

∫ viết dạng I= +a bln 3+cln

với a b c, , số hữu tỷ Tính tổng S= + +a b c

A.

3

S= ⋅ B.

3

S= ⋅ C.

3

S= ⋅ D.

3 S= ⋅

Lời giải. Đặt t= 3x+ ⇒1 t2=3x+1, suy ra2 d 3d d d

3 t t= x→ x= t t

Đổi cận

5 x t x t  = → =   = → = 

Khi ( )

4 4

2

2

2 2 2

d d ln ln ln

3 3 3

t

I t t t t

t t

  

= ∫ + = ∫ − +  = − + = + −

4 2

, ,

3 3

a b c S

→ = = = − → = Chọn A.

Câu 27. Kết tích phân

2 2 d 1 x I x x x = − + +

∫ viết dạng I=aln 5+bln

với a b, số hữu tỷ Tính tổng S= +a b

A

3

S= − B

S= − C

S= D S=

Lời giải. Đặt 2

1

t= x + ⇒t =x + , suy d2 22 d d2 2d

1

t t x x t t x x

x t x t

 =  =    →    = −  = −    

Đổi cận:

2

x t x t  = → =   = → =  Khi ( )( )

3 3

2

2 2

1

d d d

1

2

t t

I t t t

t t t t

t t     = = = +   − + − + − +   ∫ ∫ ∫

( )3

2

2

1

ln ln ln ln

3 3

1 a

t t S

b  =  = − + + = − → → = −  = −  Chọn B

Câu 28. Cho tích phân

3 2 1 d x I x x +

=∫ t x2 x

+

= Mệnh đề sau đúng?

A 2 d t t I t = − −

∫ B

3 2 d t t I t = +

∫ C

2 2 d t t I t = −

∫ D

3 2 d t t I t = + ∫

Lời giải. Ta có ( )

3

2

2 2 2

1

1 d

d

1

x x

I x x

x x x

+

= = +

+

∫ ∫

Với 2

2

2 2

2 2

1

d d

1

1 1

1

1

t x

x x x

t

x x t

t x x

x x t t

 =−  +  + = ⇒  +  = = + ⇒ = ⇒ + =  − −  Đổi cận: 2 x t x t  = ⇒ =   = ⇒ =

 Suy

2 2 d t I t t = − −

Câu 29. Biết ( )

2

3

d

ln ln 1

x

I a b c

x x

= = + − +

+

∫ với a b c, , số hữu tỷ

Mệnh đề sau đúng?

A

3

a= − B

b= C

3

c= − D a+ + =b c

Lời giải. Viết lại

2 2

3 3

1

d d

1

x x x

I

x x x x

= = + + ∫ ∫ Đặt 2 3 2 1

1 2

d d

2 d d

3 x t

t x

t x

x x t t t t x x

 = −    = +    = + ⇒ ⇒ = =    

Đổi cận:

2 x t x t  = → =   = → =  Suy ( ) 3 2 2

2 d 1 1 1

d ln ln ln

3 1 3 2

t t t

I t

t t t

t t

 

  −  − 

  

= ∫ − = ∫ − − +  = + =  − + 

( ) ( )2 ( )

1 1 1

ln ln 2 ln ln ln ln

3 3 3

= − − − = − − − = − − −

Suy 1; 2;

3

a= − b= − c= Chọn A.

Câu 30. Biết

1

d

ln ln

x

I a b

x x

= = +

+

∫ với a b, ∈ℤ Tính tổng S= +a b

A S=2 B S=3 C S= −1 D S=1

Lời giải. Đặt t= 3x+ ⇒1 t2=3x+1, suy

2 1 . d d t x

x t t

 −  =    =  

Đổi cận

5 x t x t  = → =   = → =  Khi

4 4

2

2 2

2 d 1

d d

3 1 1

3

t

I t t

t t

t t

 



= ∫ − = ∫ − =∫ − − + 

( )4

2

2

ln ln ln ln

1 a

t t S

b

 = 

= − − + = − → =− → =

 Chọn D.

Câu 31 Tính tích phân

2 ln d x I x x =∫

A I=2 B

2

ln

I= C I=ln C

2

ln I= −

Lời giải Đặt t=lnx, suy dt dx

x

= Đổi cận: ln

x t x t  = → =   = → =  Khi

ln 2 ln 2

0 ln d 2 t

I=∫t t= = Chọn B.

Câu 32. Cho tích phân

2 1 ln d e x I x x −

=∫ u=lnx Mệnh đề sau đúng?

A 0( )

1

1 ud

I=∫ −u e u B ( )

1

0

1 ud I=∫ −u e− u

C ( )

1

1 ud

I=∫ −u e− u D ( )

0

2

Lời giải. Với u=ln ,x suy

1

d d d d d

u u u

u x x x u e u x x e x e    =  = =  →     =  =  

Đổi cận 1

x u

x e u

 = → = 

 = → =

 Khi ( )

1

0

1

d ud

u

u

I u u e u

e

−

−

=∫ =∫ − Chọn B

Câu 33. Cho

1

1 ln d e x I x x +

=∫ t= 1+3 ln x Mệnh đề sau sai?

A 2 d

I= ∫t t B

2 2 d

I= ∫t t C

2

1

2

I= t D 14 I=

Lời giải. Với t= 1+3 lnx ⇒t2= +1 3 lnx, suy 2 d 3d d d

3 x

t t x t t

x x

= → = Đổi cận: 1

2

x t

x e t

 = → = 

 = → =

 Khi

2

2

1

2 14

d

3 9

I= ∫t t= t = Do A sai Chọn A.

Câu 34. Biến đổi tích phân

( )2

1 ln d ln e x x x x+

∫ thành ( )

d f t t

∫ với t=lnx+2 Khi

( )

f t hàm hàm số sau?

A ( )

2 f t

t t

= − B ( )

1 f t

t t

= − + C ( )

2 f t

t t

= + D ( )

2 f t

t t

= − +

Lời giải. Với t=lnx+2, suy

d d ln x t x x t  =   = − 

Đổi cận:

x t

x e t

 = → =   = → =  Khi ( ) 3

2 2

1 2

ln 2

d d d

ln

e

x t

x t t

t t t x x   −   = =  −  +

∫ ∫ ∫ Chọn D.

Câu 35. Kết tích phân

( )

1 ln d ln e x I x x x = +

∫ viết dạng I=aln 2+b với

,

a b số hữu tỷ Khẳng định sau đúng?

A 2a+ =b B a2+b2=4 C a− =b 1. D ab=2

Lời giải. Đặt t=ln2x+1, suy d ln d ln d d .

2

x x t

t x x

x x

= → =

Đổi cận: 1

x t

x e t

 = → = 

 = → = 

Khi 2

1

1 d 1

ln ln ,

2 2

t

I t a b

t

= ∫ = = → = = Chọn A.

Câu 36 Tính tích phân

1

0

d

x

I=∫xe x

A

2 e

I= B e

I= + C e

I= − D I=e

Lời giải. Đặt t=x2, suy d 2 d d 1d

2 t= x x→x x= t

Đổi cận: 0

1 x t x t  = → =   = → =

 Khi

1 1

0

1 1

d

2 2

t t e

I= ∫e t= e = − Chọn C.

Câu 37. Cho tích phân

ln

0

1d

x x

I=∫e e − x t= ex−1. Mệnh đề sau sai?

A I=21 t2dt

∫ B I= t2dt

Lời giải. Với t= ex− ⇒1 t2=ex−1, suy 2 d xd

t t=e x

Đổi cận: 0 ln

x t

x t

 = → = 

 = → =

 Khi

1

2

0

2

2 d

3

t

I= ∫t t= = Do B sai Chọn B.

Câu 38. Tìm a, biết

2 d ln x x

e x ae e I ae b e − + = = + +

∫ với a b, số nguyên dương

A

3

a= B

a= − C a=2 D a= −2

Lời giải. Đặt x

t=e , suy d xd

t=e x Đổi cận:

2 1 x t e

x t e

 =− → = 

 = → = 

Suy ( )

2

2

2

1

d 2

ln ln ln ln ln

1

2 2

e e

e e

t e e e

I t e

t e e

e   + +  = + = + = + −  + = = + + ∫ 2; a b

→ = = Chọn C.

Câu 39. Cho tích phân 2

sin

0

sin cos d

x

I e x x x

π

=∫ t=sin2x. Chọn khẳng định đúng?

A ( )

0

1

1 d

t

I= ∫e −t t B

1

0

2 td td I e t te t

    =  +    ∫ ∫ 

C ( )

0

2 t d

I= ∫e −t t D

1 0 d d t t

I=  e t+ te t

 

∫ ∫ 

Lời giải. Viết lại 2 2

sin sin

0

sin cos d cos sin cos d

x x

I e x x x e x x x x

π π

=∫ =∫

Với t=sin2x, suy d 2 sin cos d sin cos d 1d

2 t= x x x→ x x x= t

Đổi cận 0 x t

x π t

 = → = 



 = → =

 Khi ( )

1 1 d t

I= ∫e −t t Chọn A.

Câu 40. Biến đổi tích phân 2

sin

4

sin d

x

e x x

π

π

∫ thành ( )

d f t t

∫ với t=sin2x Khi ( )

f t hàm hàm số sau?

A f t( )=etsin 2t B f t( )=et C f t( )=etsint D ( )

2

t

f t = e

Lời giải. Với t=sin2x, suy dt=2 sin cos dx x x=sin d x x

Đổi cận:

1 2.

1 x t x t π π  = → =    = → =  Khi 1 d t

I=∫e t Chọn B

Câu 41 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính tích phân

0

cos sin d

I x x x

π

=∫

A 4.

4

I= − π B I= −π4. C I=0 D 1.

4 I= −

Lời giải Đặt t=cos ,x suy dt= −sin d x x Đổi cận:

1

x t

x π t

 = → = 

Khi

1

3

1

1

d d

4 t I t t t t

−

− −

= −∫ =∫ = = Chọn C.

Câu 42 Thực phép đổi biến u=sinx tích phân

2

sin xcos dx x π

∫ trở thành tích phân tích phân sau đây?

B

0

d u u π

∫ A

1

4

0

1 d u −u u

∫ C d u u

∫ D

0

1 d u u u π

−

∫

Lời giải Với u=sin ,x suy du=cos d x x Đổi cận

0

x u

x π u

 = → =    = → =  Khi d   u

I=∫ u Chọn C.

Câu 43. Biết

0

1 sin cos d

64

n

I x x x

π

=∫ = Tìm n

A n=3 B n=4 C n=6 D n=5

Lời giải Đặt t=sin ,x suy dt=cos d x x Đổi cận

0

6

x t

x π t

 = → =    = → =  Khi ( ) 1 1

2

1 0 1 d

1 1 64

n n

n

n

t

I t t n

n n n

+ + +         = = = = = ⇔ = + + +

∫ Chọn A.

Cách trắc nghiệm Thay đáp án bấm máy tính

Câu 44. Tính tích phân 2( )

0

1 cos nsin d

I x x x

π

=∫ −

A

1 I

n

=

+ B

1 I n =

− C

1 I

n

= D I n

=

Lời giải Đặt t= −1 cos ,x suy dt=sin d x x Đổi cận:

0

x t

x π t

 = → = 



 = → = 

Khi 1

0 d 1 n n t

I t t

n n

+

= = =

+ +

∫ Chọn A.

Câu 45 Tính tích phân ( 2 )3

0

sin sin d

I x x x

π

=∫ +

A

64

I=π B 15

I= C 31

I= D I=

Lời giải Đặt

1 sin ,

t= + x sauy dt=2 sin cos dx x x=sin d x x

Đổi cận: 2 x t

x π t

 = → = 



 = → =

 Khi

2 1 15 d 4 t

I=∫t t= = Chọn B.

Câu 46 Cho tích phân

0 sin d cos x I x x π = +

∫ t= 1+cos x Chọn khẳng định đúng?

C 2( )

4 1d

I= ∫ t − t D ( )

2

1

4 d I= − ∫ t − t

Lời giải Tích phân viết lại 2

0

sin cos sin

d d

1 cos cos

x x x

I x x

x x

π π

= =

+ +

∫ ∫

Với

1 cos cos

t= + x⇒t = + x, suy

2

cos cos

d sin d sin d d

x t x t

t t x x x x t t

   = −  = −  →    = −  = −    

Đổi cận: 2

x t

x π t

 = → = 

 = → =

 K hi ( ) ( )

1 2

2

1

2 t d d

I t t t t

t

−

= − ∫ − = − ∫ − Chọn D.

Câu 47. Cho

2

6 tan

d cos tan

x I x x x π = +

∫ u= tanx+1 Mệnh đề sau đúng?

A ( )

2

1

4

2 d

I= ∫ u + u B ( )

2 d

I= ∫ u + u

C ( )

2 d

I= ∫ u − u D ( )

2

1

4

2 d

I= ∫ u − u

Lời giải Với u= 3 tanx+ ⇒1 u2=3 tanx+1, suy

2

2

6 tan 2 d d cos x u x u u x  = −   =  Đổi cận x u

x π u

 = → = 



 = → =

 Vậy ( )

2 2

2

1

2 2

d d

3

u

I u u u u

u

−

= ∫ = ∫ − Chọn C.

Câu 48 Cho số nguyên dương a thỏa mãn

0

cos

d ln sin

a x x x π = +

∫ Mệnh đề sau đúng?

A. 1;3

2

a∈  B. 3;7

a∈  C. 9; 2

a∈  D. 11; 2 a∈ 

Lời giải Đặt t=sin ,x suy d cos d cos d 1d

2 t= x x→ x x= t

Đổi cận 0 sin x t

x t m

a a π π  = → =    = → = =

 Khi

0

1 d 1

ln ln

2 4

m m

t

I t m

t

= = + = +

+

∫

Theo giả thiết ta có 1ln 2 1 ln 34 1ln 2 1 1ln 3 2 1 3 .

2

4 4

m

m m m

m

 =  + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔  =−

 Với m sin2 ( )

a

π

= − → = − loại

Với sin2 2 4

2

a k

k

m k a

a

a a k

π π π

π ∈∈+  =

= → = ⇔ = + ⇔ = → =

+ 

ℤ

ℤ Chọn C

Câu 49 Cho số nguyên dương n thỏa mãn ( )

5

2

1 tan

d cos n x x x π − = ⋅

∫ Mệnh đề sau đúng?

Lời giải Đặt t=tan ,x suy d d2 cos

x t

x

= Đổi cận

0

tan

x t

x t m

n n

π π

 = → = 



 = → = = 

Khi ( ) ( ) ( )

6

5

0

1 1

1 d

6

m m

t m

I=∫ −t t= − − = − −

Theo giả thiết ta có ( )

6

1 1

1

6

m

m

− −

= ⇔ =

Với tan

4

4

n k

k

m k n

n

n n k

π π π

π ∈∈+  =

= → = ⇔ = + ⇔ = → =

+ 

ℤ

ℤ Chọn B.

Câu 50 Có số thực a thuộc khoảng (0;20π) cho

0

2 sin sin d

7

a

x x x= ⋅

∫

A 20 B 19 C 9 D 10

Lời giải Ta có

0

sin sin d sin cos d

a a

I=∫ x x x=∫ x x x

Đặt t=sin ,x suy dt=cos d x x Đổi cận: 0 sin

x t

x a t a m

 = → = 

 = → = = 

Khi 7 0

2

2 d

7

m m

m I=∫ t t= t =

Theo giả thiết ta có

7

m

m

= ⇔ = Với sin

2 m= → a= ⇔ = +a π k π

Vì a∈(0;20π) nên 20 10 {0;1;2;3; ;9}

2

k

k k k

π

π π ∈

< + < ⇔ − < < ℤ→ ∈ → có 10 giá trị k→ có 10 giá trị a Chọn D

Câu 51. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [2;4] thỏa mãn f ( )2 =2,

( )4 2018

f = Tính ( )

2

1

2 d I=∫ f′ x x

A I= −1008 B I=2018 C I=1008 D I= −2018

Lời giải. Đặt t=2 ,x suy d 2d d 1d

2

t= x→ x= t Đổi cận:

2

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( )4 ( ) ( ) ( )

1

1 1

2 d d 2018 1008

2 2

I=∫ f′ x x= ∫ f′ t t= f t = f −f = − =

Chọn C.

Câu 52.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho ( )

6

0

d 12 f x x=

∫ Tính ( )

3 d I=∫ f x x

A. I=2 B. I=4 C. I=6 D. I=36

Lời giải. Đặt t=3 ,x suy d 3d d 1d

3

t= x→ x= t Đổi cận: 0

2

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Khi ( )

1

d 12

3

I= ∫ f t t= = Chọn B

Tổng quát: Nếu ( )d

b

a

f x x=k

∫ ( )d

b m

a m

k f mx x

m

=

Câu 53. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) 2017

0

d f x x=

∫ Tính ( )

2017 d I=∫ f x x

A I=2017 B I=0 C I=1 D 2017 I= ⋅

Lời giải. Đặt t=2017 ,x suy d 2017d d d

2017 t t= x→ x=

Đổi cận 0 2017

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Khi 2017 ( ) 2017 ( )

0

1 1

d d

2017 2017 2017 2017

I= ∫ f t t= ∫ f x x= = Chọn D.

Câu 54. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ ( ) ( )

1

0

d 1, d f x x= f x x=

∫ ∫ Tính giá trị biểu thức ( )

0

3 d

x

I= f   +f x  x

 

∫

A I=4 B. I= −4 C. I=9 D. I= −9

Lời giải. Từ giả thiết ta có ( ) ( ) ( )

0

d d d

f x x+ f x x= f x x= + =

∫ ∫ ∫

Ta có ( ) 3 ( )

0 0

3 d d d

3

x x

I= f  +f x  x= f    x+ f x x

   

 

∫ ∫ ∫

Xét

3

0

d x f    x

 

∫ Đặt , x

t= suy d 1d d 3d

t= x→ x= t

Đổi cận 0

3

x t

x t

 = → = 

 = → =

 Khi ( ) ( )

3 1

0 0

d d d 3.1

3 x

f   x= f t t= f x x= =

 

∫ ∫ ∫

Xét ( )

3 d f x x

∫ Đặt u=3 ,x suy d 3d d 1d u= x→ x= u

Đổi cận 0

3

x u

x u

 = → = 

 = → =

 Khi ( ) ( ) ( )

3 9

0 0

1 1

3 d d d

3 3

f x x= f u u= f x x= =

∫ ∫ ∫

Vậy I= + =3 Chọn A

Câu 55. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn ( )

2

0

d f x x π

=

∫ Tính tích phân ( )

0

2 sin d

I f x x x

π

 

=∫ − 

A 2

2

I= + ⋅ B 2

I= − ⋅ C 2

I= + ⋅ D 2 I= − ⋅

Lời giải. Ta có ( ) ( )

0 0

2 sin d d sin d

I f x x x f x x x x

π π π

 

=∫  −  =∫ −∫ Tính ( )

0

2 d J f x x

π

=∫ Đặt t=2 ,x suy d 2d d d

t t= x→ x=

Đổi cận

0

4

x t

x π t π

 = → = 



 = → =

 Khi ( ) ( )

2

0

1 1

d

2 2

J f t t f x dx

π π

Tính ( ) 0

2

sin d cos

2

K x x x

π

π

=∫ = − = = − Vậy

2

I= − = +J K Chọn C

Câu 56. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn ( )

4

2

d f x x

−

=

∫ Mệnh đề sau sai?

A ( )

1

2 d f x x

−

=

∫ B ( )

3

1 d f x x

−

+ =

∫

C ( )

1

2 d f x x

−

=

∫ D ( )

0

2 d f x− x=

∫

Lời giải. Xét tích phân ( )

1

2 d f x x

−

∫ Đặt t=2 ,x suy d 2d d 1d t= x→ x= t

Đổi cận

2

x t

x t

 = − → = − 

 = → =

 Khi ( ) ( ) ( )

2 4

1 2

1 1

2 d d d

2 2

f x x f t t f x x

− − −

= = = =

∫ ∫ ∫

Suy A đúng, C sai. Chọn C. B ( ) ( )

3

1 d t x d

f x x = + f t t

− −

+ → =

∫ ∫

D ( ) ( )

0

2 d t x d

f x x = − f t t

−

− → =

∫ ∫

Câu 57 Cho 2017 ( )

1

d f x x=

∫ Tính tích phân 2017 ( )

2018 d I= ∫ f −x x

A. I=1 B. I=2 C. I=3 D. I=5

Lời giải Đặt t=2018−x, suy dx= −d t Đổi cận 2017

2017

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) 2017 ( ) 2017 ( )

2017 1

d d d

I= −∫ f t t=∫ f t t= ∫ f x x= Chọn B.

Câu 58. Cho ( )

1

3 d 20 f x− x=

∫ Tính tích phân ( )

d I=∫ f x x

A I=20 B I=40 C I=10 D I=60

Lời giải. Đặt x= −3t 1, suy dx=3d t Đổi cận

5

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( )

2 1

d 3 d 3 d 3.20 60

I=∫ f x x= ∫ f t− t= ∫ f x− x= = Chọn D.

Câu 59. Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa mãn ( )

1

0

d f x x=

∫ ,

( )

1

2 d 13 f x x=

∫ Tính tích phân ( )

1

2

0

d I=∫x f x x

A. I=6 B. I=7 C. I=8 D. I=9

Lời giải. Xét ( )

1

2 d 13 f x x=

Đổi cận

1

6 3.

1

x t

x t

 = → = 



 = → = 

Khi ( ) ( ) ( )

1

2

1 1

6 3

1

2 d 13 d 13 d 26

2

f x x= ⇔ f t t= ⇔ f t t=

∫ ∫ ∫

Xét tích phân cần tính ( )

1

2

0

d I=∫x f x x

Đặt

,

u=x suy d 3 2d 2d 1d

3

t= x x→x x= t Đổi cận 0

1

x u

x u

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

0 0

3

1 1

d d d d 26

3 3

I f t t f x x f x x f x x

 

 

 

= = =  + = + =

 

 

 

∫ ∫ ∫ ∫ Chọn D.

Câu 60. Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [0;9] thỏa mãn ( )

9

0

d 729, f x x=

∫

( )

3

0

6 d 513 f x+ x=

∫ Tính tích phân ( )

3 d I=∫ f x x

A I=414 B. I=72 C. I=342 D. I=216

Lời giải. Xét ( )

0

6 d 513 f x+ x=

∫ Đặt t= +x 6, suy dx=d t

Đổi cận

3

x t

x t

 = → = 

 = → =

 Khi ( ) ( )

3

0

6 d 513 d 513

f x+ x= ⇔ f t t=

∫ ∫

Xét tích phân cần tính ( )

3 d I=∫ f x x

Đặt u=3 ,x suy d 3d d 1d

u= x→ x= u Đổi cận 0

2

x u

x u

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1 1

d d d d

3 3

I= f u u= f x x=  f x x+ f x x

 

 

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

9

0

1

d d 729 513 72

3 f x x f x x

 

 

=  − = − =

 

∫ ∫ 

Chọn B.

Câu 61. Cho ( )

1

d

f x x=a

∫ Tính tích phân ( )

1 d I=∫ xf x + x

A I=2 a B I=4 a C

2 a

I= ⋅ D a I= ⋅

Lời giải. Đặt t=x2+1, suy d 2 d d 1d

2 t= x x→x x= t

Đổi cận

1

x t

x t

 = → = 

 = → =

 Khi ( ) ( )

2

1

1 1

d d

2 2

a

I= ∫ f t t= ∫ f x x= a= Chọn C.

Câu 62. Cho ( )

1

d 2016 f x x=

∫ Tính tích phân ( )

0

1

d

I f x x

x

= +

+

∫

A I=2016 B. I=1008 C. I=1344 D. I=3024

Lời giải. Đặt t= 3x+ ⇒1 t2=3x+1, suy 2 d 3d d d

3 t t= x→ x= t t

Đổi cận

1

x t

x t

 = → = 

 = → =

 Khi ( ) ( )

2

1

2 2

d d 2016 1344

3 3

Câu 63 Cho 2017 ( )

d f x x=

∫ Tính tích phân ( )

2017

1

2

0

ln d

e

x

I f x x

x

−

 

=  +  +

∫

A I=1 B I=2 C I=4 D I=5

Lời giải. Đặt t=ln(x2+1 ,) suy

2

2 d d d

d

2

1

x x x x t t

x x

= → =

+ +

Đổi cận:

2017

0

2017

x t

x e t

 = → = 

 = − → = 

Khi 2017 ( ) 2017 ( )

0

1 1

d d

2 2

I= ∫ f t t= ∫ f x x= = Chọn A

Câu 64. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn ( )

1

ln

d

e

f x x e

x =

∫ Mệnh đề sau đúng?

A 1( )

0

d x x=

∫ B 1( )

0

d x x=e

∫ C ( )

0

d

e

x x=

∫ D ( )

0

d

e

x x=e

∫

Lời giải. Đặt t=ln ,x suy dt dx

x

= Đổi cận: 1

x t

x e t

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( )

1 0

ln

d d d

e

f x

e x f t t f x x

x

=∫ =∫ =∫ Chọn B.

Câu 65 Cho ( )

0

d 2017 f x x=

∫ Tính tích phân ( )

sin cos d

I f x x x

π

=∫

A

2017

I= ⋅ B 2017

I= ⋅ C I=2017 D 2017 I= − ⋅

Lời giải. Đặt t=sin ,x suy d cos d cos d 1d

2 t= x x→ x x= t

Đổi cận

0

x t

x π t

 = → = 



 = → =

 Khi ( ) ( )

1

0

d 1 2017

d 2017

2 2

t

I=∫ f t = ∫ f x x= = Chọn B.

Câu 66. Cho ( )

0

cos sin d 2017

I x f x x

π

=∫ = Tính tích phân ( )

sin cos d

J x f x x

π

=∫

A 2017

2

J = B. J= −2017 C. J =2017 D. 2017 J= −

Lời giải. Đặt t=cos ,x suy dt= −sin dx x→sin dx x= −d t

Đổi cận

0

0

x t

x π t

 = → = 



 = → =

 Khi ( ) ( )

0

1

d d

J= −∫ f t t=∫ f t t

Tiếp tục ta đặt t=sin ,u suy dt=cos d u u Đổi cận

0

2

t u

t u π

 = → = 



 = → = 

Khi ( ) ( )

0

sin cos d cos sin d 2017

I f u u u x f x x

π π

=∫ =∫ = Chọn C

Câu 67 Cho ( )

0

d 2017 f x x=

∫ Tính tích phân ( )

0

tan d cos

f x

I x

x π

= +

Lời giải. Viết lại ( ) ( 2 )

0

tan tan

d d

1 cos cos

f x f x

I x x

x x

π π

= =

+

∫ ∫

Đặt t=tan ,x suy d 22 d d2 1d cos 2 cos

x

t x t

x x

= → = =

Đổi cận

0

x t

x π t

 = → = 



 = → =

 Khi ( ) ( )

1

0

1 2017

d d

4 4

I= ∫ f t t= ∫ f x x= Chọn C.

Câu 68. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ ( ) ( )

1

2

1

4

d 3, d 10 f x x= f x x=

∫ ∫ Tính

tích phân ( )

cos sin d

I x f x x

π

=∫

A I=23 B. I=10 C. I=8 D. I=7

Lời giải. Xét tích phân ( )

1

1

2 d 10 f x x=

∫

Đặt t=2 ,x suy d 2d d 1d

t= x→ x= t Đổi cận:

1

4 2.

1

x t

x t

 = → = 



 = → = 

Khi ( ) ( )

1

1

4

1

10 d d

2

f x x f t t

=∫ = ∫ ( )

1

d 20 f t t

→∫ = hay ( )

d 20 f x x=

∫

Xét tích phân ( )

cos sin d

I x f x x

π

=∫

Đặt u=sin ,x suy du=cos d x x Đổi cận:

0

x u

x π u

 = → = 



 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

0 0

2

d d d d 20 23

I=∫ f u u=∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x= + = Chọn A.

Câu 69. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ ( ) ( )

1

2

0

tan d 4, d x f x

f x x x

x π

= =

+

∫ ∫

Tính tích phân ( )

d I=∫ f x x

A I=6 B I=2 C I=3 D I=1

Lời giải. Xét ( )

0

tan d f x x π

=

∫

Đặt t=tan ,x suy d 12 d (tan2 d) d d 2

cos

t

t x x x x

x t

= = + → =

+ Đổi cận:

0

x t

x π t

 = → = 



 = → =

 Khi ( )

( ) ( )

1

4

2

0 0

4 tan d d d

1

f t f x

f x x t x

t x

π

= = =

+ +

Từ suy ( ) 2( ) 22 ( )

0 0

d d d

1

f x x f x

I f x x x x

x x

= = + = + =

+ +

∫ ∫ ∫ Chọn A.

Câu 70. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn ( )

4

2

tan x f cos x dx 1, π

=

∫

( )

2 2

ln

d ln

e

e

f x x x x =

∫ Tính tích phân ( )

2

1

2 d f x

I x

x

=∫

A I=1 B I=2 C I=3 D I=4

Lời giải ● Xét ( )

4

2

0

tan cos d

A x f x x

π

=∫ = Đặt t=cos2x.

Suy d 2 sin cos d 2 cos2 tan d 2 tan d tan d d .

2 t

t x x x x x x t x x x x

t

= − = − = − → = −

Đổi cận: 11

4

x t

x π t

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1

1 d d d d

2 2

f t f t f x f x

A t t x x

t t x x

= = − ∫ = ∫ = ∫ →∫ = ● Xét ( )

2 2

ln

d ln

e

e

f x

B x

x x

=∫ = Đặt u=ln2x.

Suy d ln d ln2 d d d du

ln ln ln

x x u x

u x x x

x x x x x x x u

= = = → =

Đổi cận:

2

1 x e u

x e u

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( )

4 4

1 1

1

1 d d d

2

f u f x f x

B u x x

u x x

= = ∫ = ∫ →∫ =

● Xét tích phân cần tính ( )

2

1

2 d f x

I x

x

=∫

Đặt v=2 ,x suy

1

d d

2 .

2

x v

v x

 =    = 

Đổi cận:

1

4

2

x v

x v

 = → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

1 1

2 2

d d d d 2

f v f x f x f x

I v x x x

v x x x

=∫ =∫ =∫ +∫ = + = Chọn D.

Câu 71. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ ( ) ( )

9

1

d 4, sin cos d f x

x f x x x

x

π

= =

∫ ∫

Tính tích phân ( )

d I=∫ f x x

A I=2 B I=6 C I=4 D I=10

Lời giải. Xét ( )

9

1

d f x

x

x =

Đổi cận 1

9

x t

x t

 = → = 

 = → =

 Suy

( ) ( ) ( )

9 3

1 1

4 f x dx f t 2dt f t dt x

=∫ = ∫ →∫ =

Xét ( )

sin cos d f x x x π

=

∫ Đặt u=sin ,x suy du=cos d x x

Đổi cận

0

x u

x π u

 = → = 



 = → =

 Suy ( ) ( )

1

0

2 f sinx cos dx x f t d t π

=∫ =∫

Vậy ( ) ( ) ( )

0

d d d

I=∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x= Chọn C.

Câu 72. Ký hiệu F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

x

e f x

x

= khoảng

(0;+∞) Tính tích phân

2

1

d

x

e

I x

x

=∫

A I=3F( )2 −F( )1  B I=F( )6 −F( )3

C ( )6 ( )3

3

F F

I= − D I=3F( )6 −F( )3 

Lời giải. Đặt t=3 ,x suy

1

d 3d d d

3 .

3

t x x t

t

t x

x



 = =

 

 

 →

 

 = 

  =

 

 

Đổi cận

2

x t

x t

 = ↔ = 

 = → = 

Khi 6 ( )6 ( ) ( )

3 3

dt

d d

3

t t x

e e e

I t x F x F F

t t x

=∫ =∫ =∫ = = − Chọn B.

Câu 73. Ký hiệu F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) cos

2 x f x

x

= khoảng

(0;+∞) Tính tích phân

1

cos d x

I x

x

=∫

A I=2.F( )8 −F( )2 B. I=2.F( )8 +F( )2

C. I=2.F( )8 −2.F( )2 D. I=2.F( )8 +2.F( )2

Lời giải. Đặt t=2 ,x suy

1

d 2d d d

2 .

2

t x x t

t

t x

x



 = =

 

 

 →

 

 = 

  =

 

 

Đổi cận

4

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Khi 8 8 ( )8 ( ) ( )

2

2 2

cos d cos cos cos

d d d 2 2

2

2

t t t x x

I t x x F x F F

t t x x

=∫ =∫ =∫ = ∫ = = −

Chọn C.

Câu 74. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục ℝ f(2016)=a f, (2017)=b

(a b, ∈ℝ) Tính tích phân ( ) ( )

2016

2014

2017

2015 d

I= ∫ f′ x f x x

A I=b2017−a2017. B I=a2016−b2016.

C I=a2015−b2015. D I=b2015−a2015.

Lời giải. Đặt t=f x( ), suy dt= f′( ) ( )x d x Đổi cận ( )

( )

2016 2016 2017 2017

x t f a

x t f b

 = → = = 

 = → = =

Khi 2015. 2014d 2015 2015 2015.

a a

b b

I= ∫t t=t =a −b Chọn C.

Câu 75. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ ( )

2

0

d f x x=

∫ Tính ( )

1

1

2 d I f x x

−

=∫

A. I=0 B.

2

I= C. I=3 D I=6

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

1

1

2 d d d

I f x x f x x f x x

− −

=∫ =∫ +∫

Xét ( )

0

1

2 d f x x

−

∫ Đặt x= −t, suy dx= −dt Đổi cận 1

0

x t

x t

 = − → = 

 = → = 

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

0 1

1 0

2 d d d d

f x x f t t f t t f t t

−

= − − = − =

∫ ∫ ∫ ∫

Do ( ) ( )

0

2 d 2 d

I= ∫ f x x= ∫ f x x (vì 2x≥ ∀ ∈0, x [ ]0;1)

Bây ta cần tính ( )

2 d

I= ∫ f x x Đặt u=2x→du=2d x

Đổi cận: 0

1

x u

x u

 = → = 

 = → =

 Khi ( ) ( )

2

0

d d

I=∫ f u u=∫ f x x= Chọn C

Vấn đề PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Câu 76 Tính tích phân

1

ln d I=∫ x x

A I=2 ln 2+1 B I=ln 4( −e) C I=ln 4−log10 D I=ln e

Lời giải Đặt

d ln d d d

x

u x u

x v x

v x



 = =

 

 ⇒

 

 = 

  = Khi 2 2

1 1 1

ln d ln ln ln log10

I=x x −∫ x=x x −x = − = − Chọn C.

Cách 2.CASIO Có cách bấm, cụ thể sau:

Bấm trực tiếp tích phân

2

1

ln dx x

∫ so sánh với kết đáp án Thiết lập hiệu, ví dụ với đáp án A ta bấm

1

ln dx x−2 ln 2−1

∫ Nếu hình số đáp án

Câu 77. Kết tích phân ( )

1

ln d

I=∫ x+ x viết dạng I=aln 3+bln 2+c

với a b c, , số nguyên Tính P= + +a b c

A. P=0 B. P=1 C. P=2 D. P=3

Lời giải Đặt ( )

d

ln d

d d

1 x

u x u

x v x

v x



 

 = +  =

 ⇒ +

 

 = 

 

Khi ( ) ( )2 ( ) ( ) 2

1 1

1

1 ln d ln

I= x+ x+ −∫ x= x+ x+ −x

3 ln ln 2

a

b P

c

 =  

= − − → = − → =  =−



Chọn A.

Cách CASIO Tính tích phân ( )

1

ln d

I=∫ x+ x lưu vào biến A

Khi ln ln A ln ( ) ln

A

a b c A a b c A a b

c

e

a b c e e e e

e

+ + = ←→ = ←→ = ↔ =

Để tính 2a b ta sử dụng chức MODE với hàm ( )

A X

e f X

e

= Với thiết lập Start−9, End 10, Step (do a b c, , số nguyên)

Dễ thấy với X= = −c 3 2 6.75 27 3 23 3; 2.

4

a b= = = − → =a b= −

Câu 78 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính tích phân

1

ln d

e

I=∫ x x x

A.

2

I= B.

2 2

e

I= − C.

2 1

e

I= + D.

2 1

e I= −

Lời giải Đặt

2

d d ln

d d

2 x u

u x x

v x x x v

 =   =   ⇒

 

 =    =

 

Khi 2 2

1 1

ln 1

d

2 2 4

e

e e

x x e x e

I= − ∫ x x= − = + Chọn C.

Câu 79 Kết tích phân ( )

1

2

ln d

I=∫x +x x viết dạng I=aln 3+bln 2+c

với a b c, , số hữu tỉ Tính tổng S= + +a b c

A S=0 B S=1 C

2

S= D S=2

Lời giải Đặt ( 2)

2

2

d d

ln 2

d d

1

2

x

u x

u x x

x x

v x x

v

 = 

 = +  +

 ⇒

 

 =  +

 

  = + =

 Khi ( )

1

2

2

0

0

2 3

ln d ln ln ln ln

2 2 2

x x

I= + +x −∫x x= − − = − −

Suy 3, 1,

2

a= b= − c= − → = + + =S a b c Chọn A.

Nhận xét Chắc có bạn đọc không hiểu chỗ d d

2 x

v=x x→ =v + Vì ta

thường làm d d 2 x

v=x x→ =v Sao lại cộng thêm đây? Ta biết nguyên

hàm sai khác số nên ta cộng thêm số Vậy vấn đề không cộng số khác mà số Ở số thêm vào để tạo

lượng mà rút gọn được, cụ thể lượng 2+x2.

Câu 80. Cho hai số nguyên dương a b, thỏa mãn ( ) ( )

5

4

19 ln d ln a

x x x a

b

+ − = − ⋅

∫

A S=4 B S=6 C S=8 D S=0

Lời giải Tính 5( ) ( )

4

1 ln d

I=∫ x+ x− x Đặt ( )

( ) 2

1

d d

ln 3

d d

2

u x

u x x

x x x

v x x

v x

 = 

 = −  −

 ⇒

 

 = +  +

 

  = + =

 Khi ( )

( )

5

2 2

4

4

2 35 ln 2

.ln d d

2 2

x x x x x

I x x x x

x x

   + +



= +  −  − = −

− −

 

 

  ∫ ∫

Tính 5

4

4

2 15 19

d d 15 ln 15 ln

3 2

x x x

J x x x x x

x x

 

 

+    

=∫ − =∫ + + −  = + + −  = + Vậy 35 ln 35 ln 19 15 ln 2 10 ln 2 19 5 ln 22 19.

2 2 2 4

I= − J = −  + = − = − Suy a=2;b= 4 → = + =S a b Chọn B.

Câu 81 Kết tích phân ( )2017

0

ln d

I=∫x x+ x viết dạng I aln b

= với phân số a

b tối giản Tính tổng a+b

A a+ =b 6057. B a+ =b 6059 C a+ =b 6058 D a+ =b 6056

Lời giải Ta có ( )2017 ( )

0

ln d 2017 ln d I=∫ x x+ x= ∫x x+ x

Tính ( )

ln d

J =∫x x+ x Đặt ( )

2

2

d d

ln 2

d d

2

u x

u x x

v x x x

v

 = 

 = +  +

 ⇒

 

 = 

 

  =

 Khi ( )1

0 0 0

1 1 1

.ln d ln d

2 2 4

x x

J x x x x

x x

 



= + −∫ + = −∫ − + + 

1

0

1 1 1

ln ln ln ln ln

2 4x 4x x 8

 



= − − + +  = − = Suy 2017 6051ln 6051 6059

8

a

I J a b

b

 = 

= = → = → + =

 Chọn B.

Câu 82. Cho a b c, , số nguyên dương thỏa mãn

2

ln d ln

a c

x x x b

= −

∫ với a

b

là phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T=a2+b2+ −c2 2(ab+ −bc ca).

A T =252 B T=144 C T = −16 D T= −252

Lời giải Đặt

2

1

d d

ln

d d

3

u x

u x x

v x x x

v

 =   =

 

 ⇒

 

 = 

 

  =

 Khi

2 2

2

1

1

1 8

ln d ln d ln ln

3 3 9

x

x x x= x − x x= − x = −

 

∫ ∫

8; 3; 144

a b c T

→ = = = → = Chọn B.

Câu 83. Giả sử

1

3 ln d

e ea

I x x x b

+

=∫ = với a b, số nguyên dương Trong

khẳng định sau, khẳng định đúng?

Lời giải Đặt 3

4

1

d d

ln

d d

4

u x

u x x

v x x x

v

 =   =

 

 ⇒

 

 = 

 

  =



Khi 4 4 4

1

1

ln 1

d

4 4 16 16 16

e

e e

x x e x e e e

I= − x x= − = − − = +  

∫

Suy a=4; b=16 Chọn A.

Câu 84. Biết 2

1

ln 1

d ln

2

a

x

I x

x

=∫ = − Giá trị a bằng:

A a=2 B a=ln C a=4 D a=8

Lời giải Đặt

2

d

ln d

d

1 d

x

u x u

x x

v

v x

x



 = =

 

 

 ⇒

 

 =    = −

 

 

Khi 2

1

1

ln d ln ln

1

a a a

x x a a

I

x x a x a a

  

= −  +∫ = − − = − − +

Theo giả thiết 1ln ln 1 1ln 2

2 2

a

I a

a a

= − ⇔ − − + = − + → = Chọn A.

Cách CASIO Thiết lập hiệu 2

1

ln 1

d ln

2

a

x x x − +

∫ tốn cần tìm a để hiệu

bằng Thử với a=2, ta nhập hiệu

2

ln 1

d ln

2 x

x x − +

∫ vào máy tính CASIO nhấn dấu = Thật may mắn hình xuất số 0, ta chọn A Nếu hình khơng xuất số ta thử tới đáp án B

Câu 85. Xét

1

ln d

e k

k

I x

x

=∫ với k số nguyên dương Nếu Ik< −e tổng giá

trị k bằng:

A B C D

Lời giải Ta có ( )

1 1

ln d ln ln d ln d ln d

e e e e

k

k

I x k x x k x x x

x

=∫ =∫ − = ∫ −∫

● ( )

1

ln d ln ln

e e

A= k∫ x= k x = −e k

●

1

ln d

e

B=∫ x x Đặt

1 1 1

d ln d

ln d ln

d d

e

e e e

x

u x u

B x x x x x x x

v x

v x



 = =

 

 ⇒ → = − = − =

 

 = 

  = ∫

Do Ik= − = −A B (e ln) k−1

Theo giả thiết, ta có Ik< − ⇔ −e (e ln) k− < −1 e

(e ln) k e lnk k e k∈ + k { }1;2

⇔ − < − ⇔ < ⇔ < ℤ → = Chọn A.

Câu 86 Tính tích phân

0

2 dx I=∫x x

A ln 12 ln

I= − B ln ln

I= − C ln 22 ln

I= + D ln ln I= +

Lời giải Đặt

d d d d

ln

x x

u x u x

v x v

 =   =

 

 ⇒

 

 =  =

 

Khi

1

1 1

2

0 0

0

2 2 ln

2

ln ln ln ln ln

x x x

x

x x

I= − ∫ dx= − = − Chọn A.

Câu 87. Kết tích phân 1( )

0

2 xd

I=∫ x+ e x viết dạng I=ae+b với a b,

các số hữu tỷ Khẳng định sau đúng?

A a− =b B a3+b3=28 C ab=3. D a+2b=1

Lời giải Đặt d 2d

d xd x

u x u x

v e x v e

 = +  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Khi ( ) 1 ( ) 1

0 0

0

2 x dx x x I= x+ e −∫ e x= x+ e − e = e−

Suy a=3, b= −1 Chọn D.

Câu 88. Cho a b c, , số nguyên dương c≠1 thỏa

ln 2

1 ln d

4

x b

xe x

a c

− =  − ⋅

 

 

∫

Tính giá trị biểu thức T=abc−(ab+ +bc ca)

A T =24 B T=6 C T = −2 D T=9

Lời giải Đặt 2

2

d d

d d

2

x x

u x u x

v e

v e− x −

 = 

 = 

 

 ⇒

 

 =  = −

 

 

Khi ln 2 ln ln 2 ln

0

0

1 ln ln

d d

2 16

x x x x

xe− x= − xe− + e− x= − − e− = −

∫ ∫

1 ln

4; 3; 2

4 a b c T

  

=  − → = = = → = − Chọn C.

Câu 89. Cho a b c, , số nguyên thỏa mãn

1

1

0

3 d

5

x a b

e + x= e + e+c

∫ Tính giá

trị biểu thức

2 b c T= + + ⋅a

A T =6 B T=9 C T =10 D T=5

Lời giải Đặt t= 1+3x⇒t2= +1 3x⇒2 dt t=3d x Đổi cận 1.

1

x t

x t

 = ⇒ = 

 = ⇒ = 

Khi

2

1

2 td

I= ∫te t Đặt d 2d

d td t

u t u t

v e t v e

 =  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Suy 2 2

1 1

10

2 2 2 10

0

t t t t

a

I te e dt te e e b T

c

 =  

= − = − = → = → =  =



∫ Chọn C.

Câu 90. Cho tham số a>0 thỏa mãn ( )

2

0

3

1 d

4

a

x e

x− e x= −

∫ Tính

2017 P=a +

A P=2021 B P=2026 C P=2033 D P=2018

Lời giải Đặt 2 2

d d

d d

2

x x

u x u x

v e v e x

 =   = − 

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Khi ( ) 2 ( ) 2

0 0

1 1

1 d

2 2

a

a a a

x x x x

I= x− e − ∫e x= x− e − e

2

2

1 1 3

2 4

a

a a

a e a

e   e

 −   −   − 

     

 

= + − = + 

 

   

Cách CASIO Thiết lập hiệu ( ) 2

3 d

4

a

x e

x− e x− −

∫ toán cần tìm a để hiệu

bằng Với đáp án A, suy a=2, ta nhập hiệu ( )

2

2

0

3 d

4

x e

x− e x− −

∫ vào máy tính CASIO nhấn dấu = Màn hình khơng xuất số nên ta tiếp tục thử đến đáp án B, C D

Câu 91 Tính tích phân

0

sin d I x x x

π

=∫

A I=1 B

2

I=π C

I= D I=

Lời giải Đặt

d d cos d sin d

2 u x u x

x

v x x v

 =   =

 

 ⇒

 

 =  = −

 

Khi 4 4

0 0 0

cos cos sin

cos d

2 2 4

x x x x x

I x x

π

π π π

= − + ∫ = − + = Chọn C.

Câu 92. Kết tích phân

0

cos d I x x x

π

=∫ viết dạng I m

π

= − Tính 9m2−6

A 9m2− =6 3 B 9m2− =6 30 C 9m2− = −6 3 D 9m2− = −6 30

Lời giải Đặt d d

d cos d sin

u x u x

v x x v x

 =  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Khi 2 2

0 0

0

sin sin sin cos

2

I x x xdx x x x

π

π π π

π

= −∫ = + = −

Suy m= 2 →9m2− =6 30. Chọn B.

Câu 93. Cho tham số m thỏa mãn ( )

2

2

0

sin d

I x x m x

π

π

=∫ + = + Mệnh đề sau đúng?

A.− < <1 m B 0≤ ≤m C 3< <m D m≥5

Lời giải Tính

0

sin d A x x x

π

=∫ Đặt d d

d sin d cos

u x u x

v x x v x

 =  =

 

 ⇒

 

 =  = −

 

 

Suy ( ) 2

0

cos cos d sin

A x x x x x

π

π π

= − +∫ = =

Do 2 2

0 0

2 d 1

4 m I A m x x mx

π

π

π = + ∫ = + = +

Theo giả thiết 1 1 2 4 ( )3;5

4

m m

m

π π

π π

+ = + ⇔ = ⇔ = ∈ Chọn C.

Câu 94. Kết tích phân 2( )

0

2x sinx dx π

− −

∫ viết dạng 1 a b

π π − − 

  Khẳng định sau sai?

Lời giải Ta có 2( ) ( 2 ) 2

0 0

1

2 sin d cos 1

4

x x x x x x

π

π

π π π

π    

   

− − = − + = − − =  − −

∫

Suy

2 a b

 =   =

 Chọn B.

Câu 95. Cho 2

0

cos d , sin d

x x

I e x x J e x x

π π

=∫ =∫

0

cos d

x

K e x x

π

=∫ Khẳng định sau đúng?

(I). I+ =J eπ (II).

I− =J K (III).

5 e K

π−

=

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Cả (II) (III)

Lời giải Xét (I) Ta có 2

0

cos d sin d

x x

I J e x x e x x

π π

+ =∫ +∫

( 2 )

0

0

sin cos d d

x x x

e x x x e x e e

π π π

π

=∫ + =∫ = = − Vậy (I) sai Xét (II) Ta có 2

0

cos d sin d

x x

I J e x x e x x

π π

− =∫ −∫

( 2 )

0

cos sin d cos d

x x

e x x x e x x K

π π

=∫ − =∫ = Vậy (II) Xét (III) Đặt cos d sin d

d xd x

u x u x x

v e x v e

 =  = −

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Suy ( )

0

cos 2 sin d

x x

K e x e x x e M

π π

π

= + ∫ = − +

Tính

0

sin d

x

M e x x

π

=∫ Ta đặt 1

1

sin d cos d

d xd x

u x u x x

v e x v e

 =  =

 

 ⇒

 

 =  =

 

 

Suy ( )

0

sin 2 cos d

x x

M e x e x x K

π π

= − ∫ = −

Khi 2( ) 1 e

K e K K e K

π

π π −

= − + − ⇔ = − ⇔ = Vậy (III) Chọn D

Câu 96. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ]1;2 thỏa mãn

( )1 0, ( )2 2,

f = f = ( )

2

1

d f x x=

∫ Tính ( )

1

d I=∫x f′ x x

A I=2 B I=1 C I=3 D I=8

Lời giải Đặt

( ) ( )

d d

d d

u x u x

v f x x v f x

 =  =

 

 ⇒

 

 = ′  =

 

 

Khi ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

d 2 d 2.2

I=x f x  −∫ f x x= f −f −∫ f x x= − − = Chọn C.

Câu 97. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa mãn

( ) ( )

0

2 16, d

f = ∫ f x x= Tính tích phân ( )

1

0

d I=∫x f′ x x

A I=13 B I=12 C I=20 D I=7

Lời giải Đặt

( ) ( )

d d

d d

u x u x

v f x x v f x

 = 

 = 

 

 ⇒

 

 = ′  =

 

Khi ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1 1 1

2 d 2 d d

2 2 2

I= xf x − ∫ f x x= f − ∫ f x x= − ∫ f x x

Tính ( )

2 d f x x

∫ Đặt t=2x→dt=2dx Đổi cận: 0

1

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Suy ( ) ( )

0

1

2 d d

2

f x x= f t t= =

∫ ∫

Vậy 1.2

I= − = − = Chọn D.

Câu 98 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f'( )x liên tục đoạn [ ]1;2 thỏa mãn

( )1 ( )2 ,

f = f ( )

2

1

d xf x x=

∫ Tính tích phân 2 ( )

' d I=∫x f x x

A I=2 B I= −2 C I=1 D I= −1

Lời giải Đặt

( ) ( )

2 d 2 d

d ' d

u x x u x

v f x v f x x

  =

 = 

 ⇒

 

 =  =

 



Khi ( )2 ( ) ( ) ( ) ( )

1

2 d 2 d

I=x f x − ∫xf x x= f −f − ∫xf x x

( )

1

2 xf x dx 2.1

= − ∫ = − = − Chọn B.

Câu 99 Cho hai hàm số y= f x( ) y=g x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ]1;2

Biết f( ) ( )1 g =1, f( ) ( )2 g =2 ( ) ( )

2

1

d

g x f′ x x=

∫ Tính ( ) ( )

d I=∫ f x g x′ x

A. I= −4 B. I=4 C. I= −2 D. I=2

Lời giải Đặt ( )

( )

( ) ( )

d ' d

d ' d

u f x u f x x v g x x v g x

 

 =  =

 ⇒

 

 =  =

 

 

Khi ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

' d ' d

I= f x g x −∫ g x f x x= f g −f g −∫ g x f x x

= − − = − Chọn C.

Câu 100 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f '( )x liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa

mãn f( )1 =1, ( )

1

0

d f x x=

∫ Tính tích phân ( )

0

' d I=∫ f x x

A. I= −1 B. I=1 C. I=2 D. I= −2

Lời giải Đặt t= x→ = t2 x →2 dt t=d x Đổi cận 0

1

x t

x t

 = → = 

 = → =



Khi ( )

2 ' d

I= ∫tf t t= A

Tính ( )

' d A=∫tf t t Đặt

( ) ( )

d d

d ' d

u t u t

v f t t v f t

 =  =

 

 →

 

 =  =

 

 

Suy ( )1 ( ) ( ) ( )

0 0

d d 2

Vấn đề TÍCH PHÂN ẨN HSM SỐ

Câu 101. Cho f x( ) hàm số chẵn đoạn [−1;1] thỏa mãn ( )

1

1

d f x x

−

=

∫

Tính tích phân ( )

1

d 2x

f x

I x

−

= +

∫

A I=2 B I=4 C I=8 D I=16

Lời giải. Đặc trưng dạng ( )d

1

a x a

f x x

β

− +

∫ đổi biến t= − x →dx= −d t

Đổi cận 1

1

x t

x t

 = − → = 

 = → =−

 Khi

( )

1

d t

f t

I t

− −

− = −

+

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 chan 1

1 1

2

d d d d

2 1 2

t f x t x

t t t x

f t f t f t f x

t t t x

−

− − − −

− −

= = = =

+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫

Suy ( ) ( ) ( )

1 1

2

2 d d d

2

x

x x

f x f x

I I I x x f x x I

− − −

= + = + = = → =

+ +

∫ ∫ ∫ Chọn A.

Cách trắc nghiệm: Chọn ( )

h x =x thỏa mãn giả thiết hàm chẵn

Ta có

1

2 d

3 x x

−

= →

∫ chọn ( ) ( ) 6 2.

2

f x = h x = x

Khi ( )

1

1

6

d d

2x 2x

f x x

I x x

− −

= =

+ +

∫ ∫ Dùng CASIO tính kết

Phương pháp trắc nghiệm:

Bước 1. Chọn hàm số thỏa mãn tốn Nếu tốn khơng nói

thường chọn h x( )=1, hàm số lẻ chọn h x( )=x, hàm số chẵn chọn

( ) 2.

h x =x

Bước 2. Tính ( )d ( )d ( )d

b b b

a a a

N N N

h x x M h x x h x x M N

M M M

= → = = =

∫ ∫ ∫

Do ta chọn f x( ) N h x( ) M

=

Bước 3. Tính ( )d ( )d

b b

a a

A I f u x h u x

B

=∫ =∫ máy tính xong

Ví dụ. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )

2017

1

d f x x=

∫ Tính tích phân 2017 ( )

2018 d f −x x

∫

Hướng dẫn Ta chọn ( ) 2017 ( )

2

1 1d 2016

2016 1008 h x = →∫ x= →f x = =

Khi 2017 ( ) 2017

1

1

2018 d d

1008 f −x x= x=

∫ ∫

Câu 102. Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa f x( )+f( )− =x 2+2 cos 2x với

mọi x∈ℝ Tính ( )

3

3

d I f x x

π

π

−

= ∫

Lời giải. Đặt t= − x →dx= −d t Đổi cận:

3

2 .

3

2

x t

x t

π π

π π

 =− → = 



 = → = − 

Khi ( ) ( ) ( )

3 3

2 2

3 3

2 2

d d d

I f t t f t t f x x

π π π

π π π

−

− −

= −∫ − = ∫ − = ∫ −

Suy ( ) ( )

3 3

2 2 CASIO

3 3

2 2

2I f t f t dt 2 cos dt t cos dt t 12 I

π π π

π π π

− − −

 

=∫  + −  = ∫ + = ∫ = → =

Chọn D

Cách trắc nghiệm. Chọn ( ) 2 2 cos 2 CASIO 6.

2

f x = + x→ =I

Chú ý: Khi gặp toán ''Cho hàm số y= f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn

( ) ( ) ( )

mf x +nf − =x g x với g x( ) hàm số chẵn m+ ≠n Tính tích phân

( )d

a

a

I f x x

−

=∫ '' ta chọn

( ) ( )

f x g x

m n

= +

Ví dụ. Cho hàm số y= f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn ( ) ( )

2

1

2

4 f x f x

x

+ − =

+ Tính tích phân ( )

2

d I f x x

−

=∫ Hướng dẫn: Chọn ( )

1 f x

x

=

+

Câu 103 Cho hàm số y= f x( ) liên tục (0;+∞) thỏa ( ) ( )

2

0

d cos

x

f t t=x πx

∫

Tính f( )4

A ( )4

2

f = B. f( )4 =1 C. f( )4 =2 D. ( )4 f =

Lời giải. Giả sử F x( ) nguyên hàm f x( ), suy

( ) ( )

( )/ ( )

2

'

' F x f x

F x xf x

 =   

 =

   Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

0

d cos

x x

f t t=F t =F x −F ←→x πx=F x −F

∫

Lấy đạo hàm hai vế, ta được: cosπx−πxsinπx=2xf x( )2 −0

Cho x=2, ta ( )4 ( )4

f f

= ←→ = Chọn D.

Câu 104 Cho a>0 f x( ) hàm số liên tục [a;+∞) Tìm giá trị a biết

rằng ( )2 d

t

a

f x

x t

x + =

∫ với t>a

A.a=5 B. a=9 C. a=19 D. a=3

Lời giải. Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )2

Khi ta có

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

'

d 6

t t

a a

f x F x

x

f x

F t F a F x x t F t t F a

x

 =   

 − = = = − → = + −



 ∫

Suy ( ) ( )2 ( )

1

' f t

F t f t t t

t t

= = → = hay f x( )=x x

( )

1

d d 2

t t t

a

a a

f x

x x x t a

x x

→∫ =∫ = = − Theo giả thiết t−2 a=2 t− 6 → =a Chọn B

Cách 2. Từ đẳng thức ( )2 d

t

a

f x

x t

x + =

∫ , lấy đạo hàm hai vế theo t, ta

( )

1 f t

t = t Suy f t( )=t t hay f x( )=x x

Câu 105. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ]1;2 thỏa mãn

( ) 0, [ ]1;2

f x > ∀ ∈x Biết ( )

2

1

d 10 f′ x x=

∫ ( )

( )

1

d ln f x

x f x

′

=

∫ Tính f( )2

A f ( )2 = −10 B f( )2 =20 C f( )2 =10 D f( )2 = −20

Lời giải. Ta có ( ) ( )2 ( ) ( )

1

d 10 10 10

f′ x x= ⇔ f x = ⇔ f −f =

∫ ( )1

Lại có ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

1

1

d ln ln ln ln ln

f x

x f x f x

f x

′  

= ⇔ = ⇔   =

∫ (do f x( )> ∀ ∈0, x [ ]1;2 )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

ln ln ln ln ln 2

1

f f

f f

f f

⇔ − = ⇔ = ⇔ = ( )2

Từ ( )1 ( )2 , suy f ( )2 =20. Chọn B.

Câu 106 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [−1;1], thỏa mãn

( ) 0,

f x > ∀ ∈x ℝ f'( )x +2f x( )=0 Tính f( )−1 , biết f( )1 =1

A. f ( )− =1 e−2.B. f ( )− =1 e3. C. f ( )− =1 e4. D. f( )− =1 3.

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

'

' ' f x

f x f x f x f x

f x

+ = ⇔ = − ⇔ = − (do f x( )>0)

Lấy tích phân cận từ −1 đến hai vế, ta ( )

( ) ( )

1

1

'

d d

f x

x x

f x

− −

= −

∫ ∫

( ) 1 ( ) 1

1 1

ln f x 2x ln f x 2x

− − − −

 

⇔ = − ⇔   = − (do f x( )> ∀ ∈0, x ℝ)

( ) ( ) ( )

lnf 1 lnf 1 ln1 lnf 1

⇔  −  − = − ⇔ −  − = −

( ) ( )

lnf 1 f e

⇔  − = → − = Chọn C.

Câu 107 Giả sử hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục ℝ, nhận giá trị dương

khoảng (0;+∞) thỏa mãn f( )1 =1, f x( )= f′( )x 3x+1 với x>0 Mệnh đề

nào sau đúng?

A.1< f( )5 <2.B. 4<f( )5 <5 C. 2< f( )5 <3 D 3< f( )5 <4

Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( )

( )

'

'

3 f x

f x f x x

f x x

= + ⇔ =

Lấy tích phân cận từ đến hai vế, ta ( )

( )

5

1

' d

d

3

f x x

x

f x = x+

∫ ∫

( ) 5 ( ) 5

1 1

2

ln ln

3

f x x f x  x

⇔ = + ⇔   = + (do f x( )> ∀ >0, x 0)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43

ln ln ln ln1 ln 5 3,793

3 3

f f f f f e

       

⇔  −  = ⇔  − = ⇔  = ⇔ = ≃

Chọn D

Câu 108. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn

( ) 0,

f x > ∀ ∈x ℝ Biết f( )0 =1 ( )

( )

'

2 f x

x

f x = − , tìm tất giá trị thực tham

số m để phương trình f x( )=m có hai nghiệm thực phân biệt

A m>e B 0< ≤m C 0< <m e D 1< <m e

Lời giải. Lấy nguyên hàm hai vế ( )

( )

'

2 f x

x

f x = − , ta

( )

( )d (2 )d

f x

x x x

f x

′

= −

∫ ∫

( ) ( )

ln f x 2x x C lnf x  2x x C

⇔ = − + ⇔  = − + (do f x( )> ∀ ∈0, x ℝ)

( )

2x x C

f x e − +

⇔ =

Theo giả thiết f ( )0 = 1 →eC = ⇔ =1 C Suy f x( )=e2x−x2

Xét phương trình ( ) 2

2 ln ln 0.

0

x x x x m x x m

f x m e m

m m

− − + = − + − =

= ⇔ = ⇔ ⇔ > >

 

 

Phương trình f x( )=m có hai nghiệm thực phân biệt ln 0

m

m e m

 ′∆ = − > 

⇔ > ⇔ < <



Chọn C.

Câu 109 Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ a>0 Giả sử với x∈[ ]0;a , ta

có f x( )>0 f x f a( ) ( −x)=1 Tính

( )

d

a

x I

f x

= +

∫

A.

2 a

I= B. I=2 a C. a

I= D. I=aln(a+1 )

Lời giải. Từ giả thiết, suy ( )

( )

1 f a x

f x

− = Đặt t= − a x →dt= −dx Đổi cận:

0

x t a

x a t

 = → = 

 = → =



Khi

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

d d

d d

1

1 1 1

a a a

a

f t f x

t t

I t x

f a t f t f x

f t

= − = = =

+ − + + +

∫ ∫ ∫ ∫

Suy

( )

( ) ( )

0 0

d

2 d d

1

a a a

f x

x a

I I I x x a I

f x f x

= + = + = = → =

+ +

∫ ∫ ∫ Chọn A.

Cách trắc nghiệm Chọn f x( )= > 1 →f a( −x)=1 thỏa f x f a( ) ( −x)=1

Khi

0

d

1 2

a a

x a

I= = x =

+

∫

Câu 110 Cho số thực a≠0, đặt

( )

1 d

a

x a

b x

a x e

−

=

+

∫ Tính

2

0

d

a ex

x a−x

∫ theo a b

A.

0

d

3

a x

a

e b

x a−x =e

∫ B.

0

d

3

a x

a

e b

x a−x = e

C.

0

d

a x

a

e

x b e a−x =

∫ D.

0

d

3

a x

b

e a

x a−x = e

∫

Lời giải. Ta đổi biến để đưa tích phân cần tính tích phân cho cách đặt

d d

3a x 2a t x t x a t

 = −  − = + → = −

 Đổi cận:

0

x t a

x a t a

 = → = 

 = → =− 

Khi ( )

( ) ( ) ( )

1

d d d

2 2

a a t a a

a a a

t t

a a a

e

t e t e t e b

a t a t e a t e

− − −

−

− = − = =

+ + +

O y

x b

a

( )

y= f x

( )

y=g x y

O a b

( )

y= f x

x Baøi 05

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 Tính diện tích hình phẳng

Định lí

Cho hàm số y= f x( ) liên tục, không âm đoạn [ ]a b; Khi diện tích S

hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng

,

x=a x=b

( )d

b

a

S=∫ f x x

Bài toán 1. Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]a b; Khi diện tích S

hình phẳng ( )D giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ); trục hoành Ox (y=0) hai đường thẳng x=a x; =b ( )d

b

a

S=∫ f x x

Bài tốn 2. Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y= f x( ); y=g x( ) hai

đường đường thẳng x=a x; =b

( ) ( )d

b a

S=∫ f x −g x x

Chú ý:

1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau:

- Giải phương trình f x( )=g x( ) tìm nghiệm x x1, 2, ,xn∈( )a b; (x1<x2< < xn)

- Tính ( ) ( ) ( ) ( )

1

d d

x x

a x

S=∫ f x −g x x+∫ f x −g x x+ ( ) ( )d n

b

x f x g x x

+∫ −

1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

d d

n

x b

a f x g x x x f x g x x

= ∫ − + +∫ −

Ngoài cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

2) Trong nhiều trường hợp, tốn u cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y= f x( ); y=g x( )

Khi đó, ta có cơng thức tính sau ( ) ( )

1

d n

x

x

S=∫ f x −g x x

( )

y= f x

a b

y

x O

2 Tính thể tích khối trịn xoay

a) Tính thể tích vật thể Định lí

Cắt vật thể C hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với trục Ox

tại x=a x, =b a( <b) Một mặt phẳng vng góc với Ox điểm x a( ≤ ≤x b)

cắt C theo thiết diện có diện tích S x( ) Giả sử S x( ) hàm liên tục đoạn

[ ]a b; Khi thể tích vật thể C giới hạn hai mặt phẳng ( )P ( )Q tính

theo công thức ( )d

b

a

V =∫S x x

b) Tính thể tích trịn xoay

Bài tốn 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay quay miền D giới hạn

đường y=f x( ); y=0; x=a; x=b quanh

trục Ox tính theo cơng thức

( )

2

d

b

a

V =π∫ f x x

Chú ý: Nếu hình phẳng D giới hạn đường y= f x( ); y=g x( ) hai

đường x=a x; =b (với f x g x( ) ( ) ≥ ∀ ∈0, x [ ]a b; ) thể tích khối trịn xoay sinh quay D quanh trục Ox tính cơng thức

( ) ( )

2

d

b

a

V =π∫ f x −g x x

Bài tốn 2. Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng D giới hạn

bởi đường x=g y( ), trục tung hai đường y=a y, =b quanh trục Oy tính theo công thức

2( )

d

b

a

V =π∫ g y y.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 1. Cho hàm số y= f x( ) liên tục [ ]a b; Diện tích hình phẳng S giới hạn

đường cong y= f x( ), trục hoành đường thẳng x=a x, =b a( <b) xác

định công thức sau đây? A. ( )d

b

a

S=∫ f x x B. ( )d a

b

S=∫ f x x C. ( )d a

b

S=∫ f x x D. ( )d b

a

Câu 2. Cho đồ thị hàm số y= f x( ) hình vẽ

bên Diện tích S hình phẳng phần tơ đậm

trong hình tính theo cơng thức sau đây? A ( )

2

d S f x x

−

=∫

B ( ) ( )

2

d d

S f x x f x x −

=∫ +∫

C ( ) ( )

0

d d

S f x x f x x −

=∫ +∫

D ( ) ( )

2

d d

S f x x f x x −

=∫ +∫

y=f(x) y

x O

3 -2

Lời giải. Theo hình vẽ, ta có ( ) ( ) ( )

2

d d d

S f x x f x x f x x

− −

=∫ = −∫ +∫

( ) ( )

2

0

d d

f x x f x x −

=∫ +∫ Chọn C.

Câu 3. Cho hai hàm số y= f1( )x , y= f2( )x liên tục [ ]a b; Diện tích hình phẳng

S giới hạn đường cong y= f1( )x , y= f2( )x đường thẳng x=a,

( )

x=b a<b xác định công thức sau đây?

A 1( ) 2( )d

b

a

S=∫ f x −f x x B 2( ) 1( )d b

a

S=∫f x −f x  x

C 1( ) 2( )d

b

a

S= ∫f x −f x  x D 1( ) 2( )d b

a

S=∫ f x +f x x

Lời giải.Chọn A.

Câu 4. Diện tích hình phẳng S giới hạn

các đồ thị hàm số y= , x y= −4 x trục

hồnh Ox (như hình vẽ) tính cơng

thức đây?

A 4( )

0

2 d d

S=∫ x x+∫ −x x

B 4( )

0

2 d d

S=∫ x x+∫ −x x

C 4( )

2 d

S=∫ x− +x x

D 2( )

4 d

S=∫ − −x x x

Lời giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

4

2;

10 16

4;

0

x

x x x

x x

x x

x x

 ≤ 

• = − ⇔ − + = ⇔ = 

• − = ⇔ =

• = ⇔ =

Dựa vào hình vẽ, ta có 4( )

0

2 d d

Câu 5. Diện tích hình phẳng S giới hạn đồ

thị hàm số y=x3, y= −2 x trục hoành Ox (như hình vẽ) tính cơng thức đây?

A 2( )

0

d d

S=∫ x x+∫ x− x

B 2( )

2 d S= ∫ x + −x x

C

1

d

S= +∫x x

D ( )

2 d

S=∫ x − −x x

Lời giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

3

3

2 1;

0 0;

2

x x x x x

x x

x x

• = − ⇔ + − = ⇔ = • = ⇔ =

• − = ⇔ =

Dựa vào hình vẽ, ta có 2( )

0

1

d d d

2

S=∫x x+∫ −x x= +∫ x x Chọn C

Câu 6. Diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y=x3−x y, =2x đường x= −1, x=1 xác định công thức sau đây?

A ( 3)

3 d

S x x x

−

= ∫ − B 1( 3)

1

3 d

S x x x −

=∫ − C 0( ) 1( 3)

1

3 d d

S x x x x x x −

=∫ − +∫ − D 0( 3) ( )

1

3 d d

S x x x x x x −

=∫ − +∫ −

Lời giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

[ ]

[ ]

3 2 3 0 1;1 .

3 1;1

x x x x x x

x

 = ∈ − 

− = ⇔ − = ⇔ 

= ± ∉ − 

Diện tích hình phẳng cần tính:

0

3

1

2 d d

S x x x x x x x x −

=∫ − − +∫ − −

( ) ( )

0

xet dau

3

1

3 d d

x x x x x x −

= ∫ − +∫ − Chọn C.

Câu 7. Sơ đồ bên phải phác thảo khung cửa sổ Diện tích S cửa sổ tính cơng thức sau

đây? A.

1

2

1

5

4 d

2

S x x

−

  

=∫ −  B.

1

2

1

5

2 d

2

S x x

−

=∫ −

C.

2

1

2 d

S x x −

=∫ D. ( )

1

2

1

1 d

S x x

−

=∫ −

x y

1 2

− O

2

5 2

y= − x

2

2

y= x

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy đoạn 1; 2

 

− 

 

  đồ thị hàm số

2

5 2 y = − x

nằm phía đồ thị hàm số

2

Do ( )

1 1

2 2

2 2

1

1 1

2 2

5

d 2 d d

2

S y y x x x x x x

− − −

   

 

=∫ − =∫ − −  =∫ −  Chọn A.

Câu 8. Cho hai hàm số f x( ) g x( ) liên tục đoạn [ ]a b; với a<b Kí hiệu S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y=2f x( ), y=2g x( ), x=a x=b; S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( )−2, y=g x( )−2, x=a

x=b Mệnh đề sau đúng?

A S1=S2 B S1=2S2 C S1=2S2−2 D S1=2S2+2

Lời giải. Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

2

2 d d

2

2 d d

b b

a a

b b

a a

S f x g x x f x g x x

S S S f x g x x f x g x x

 = − = −



 → =



    

 = − − − = −

    



∫ ∫

∫ ∫

Chọn B.

Câu 9. Cho hàm số f x( ) xác định đồng biến đoạn [ ]0;1 1

f    = Diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y1= f x( ), y2= f x( )2

đường x=0, x=1 xác định công thức sau đây?

A. ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

0

1 d d

S=∫ f x  −f x  x+∫ f x f x −  x

B ( ) ( ( ))2

d S= f x − f x  x

 

∫

C. ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

2

1 d d

S=∫ f x  −f x  x+∫ f x f x −  x

D. ( ( ))2 ( )

d S=  f x −f x  x

 

∫

Lời giải. Gọi S diện tích hình phẳng cần tính Ta có ( ) ( )

1

2

0

d S=∫ f x − f x  x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

0

2

d d d

f x f x x f x f x x f x f x x

=∫ − =∫ − +∫ −

Do hàm số f x( ) đồng biến [ ]

( ) ( )

1

1, ;1

2

0;1

1

1, 0;

2

f x f x

f x f x

    

 

 ≥  = ∀ ∈    

     

→

   

 ≤  = ∀ ∈    

    

  



( ) ( )

( ) ( )

1

1 1, ;1

2

1 , 0;

2 f x f x x f x f x x

  

 − = − ∀ ∈ 

  



→  

 − = − ∀ ∈ 

  

  



Vậy ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

2

1 d d

Câu 10. Cho hàm số f x( ) có đồ thị

đoạn [−1;4] hình vẽ bên Tính tích

phân ( )

d I f x x

− =∫ A.

2 I=

B 11 I=

C. I=5 D. I=3

Lời giải. Gọi A(−1;0 , ) ( )B 0;2 , C( )1;2 , D( )2;0 , E(3; , − ) F(4; 1− )

và H( )1;0 , K( ) (3;0 , L 4;0)

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

d d d d d d

I f x x f x x f x x f x x f x x f x x

− −

=∫ =∫ +∫ +∫ +∫ +∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

1

d d d d d

f x x f x x f x x f x x f x x −

=∫ +∫ +∫ −∫ −∫

(do f x( )≥0, ∀ ∈ −x [ 1;2] f x( )≤0, ∀ ∈x [2;4])

1 1

.2.1 2.1 2.1 1.1 1.1

2 2

ABO OBCH HCD DKE EFLK

S S S S S

= + + − − = + + − − = Chọn A

Câu 11 Kí hiệu S1, S2 diện tích hình vng cạnh diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2+1, y=0, x= −1, x=2. Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A S1=S2 B S1>S2 C 1 2

S = S D

6 S S =

Lời giải. Ta có S1=1 ( )

2

2

2

1

1

1 d d

3 x

S x x x x x

−

− −

 

 

= + = + = +  =  

∫ ∫

2

1

6

S S

→ = Chọn D.

Câu 12. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hai hàm số y=x2+2 y=3x

A S=2 B.S=3 C

2

S= D S=

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 3 1.

2 x

x x

x  =  + = ⇔  =



2

O -1

4 2

-1 y

Chọn D.

Câu 13 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số

y=x −x đồ thị hàm số y= −x x2 A 37

12

S= B

S= C 81 12

S= D S=13

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm:

0

2 x x x x x x x  =   − = − ⇔ =

 = −  Diện tích hình phẳng cần tính:

1 CASIO

3

2

37

2 d 3,083

12 S x x x x

−

=∫ + − ≃ = Chọn A

Cách kiểm tra máy tính Dùng CASIO tính tích phân

3

2

2 d x x x x −

+ −

∫ lưu vào

biến A Bây ta thử với đáp án A có khơng nhé? Ta xét hiệu A 37 12

− nhấn dấu Nếu hình xuất số đáp án

Câu 14. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y=x2−3x hai đường thẳng x= −15, x=15

A S=2250 B S=2259 C S=1593 D S=2925

Lời giải. Diện tích hình phẳng cần tính: 15

2

15

3 d S x x x

−

=∫ − Bảng xét dấu biểu thức f x( )=x2−3x đoạn [−15;15 ]

Suy ( ) ( ) ( )

0 15

2 2

15

3 d d d

S x x x x x x x x x

−

=∫ − −∫ − +∫ −

3 3 15

15

3 3

2259

3 3

x x x x x x

−

     

     

= −  − −  + −  =

      Chọn B

Cách Dùng máy tính cầm tay Đối với VINACAL Ta tính

15

15

3 d 2259

x x x −

− =

∫ Đúng với kết tính tay Đối với CASIO Ta tính

15

15

3 d 2250

x x x −

− =

∫ Khơng với kết tính tay Lý hai loại máy tính cho ta hai kết khác nhau? Giải thích: Máy CASIO ''thường khơng đúng'' cho tích phân trị tuyệt hai cận chứa đoạn đổi dấu trở lên

Câu 15. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số

1

y=x +x , trục hoành đường thẳng x=1

A

S= B 2

S= − C 2

S= + D S=2( 2−1 ) Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: x 1+x2 = ⇔ =0 x 0.

Diện tích hình phẳng:

1 CASIO

2

0

2

1 d d

3

S=∫ x +x x=∫ x +x x = − Chọn B.

( )

f x

15

0 15

−

x

0

Câu 16 Kí hiệu S1, S2, S3 diện tích hình vng đơn vị (có cạnh đơn

vị), hình trịn đơn vị (có bán kính đơn vị), hình phẳng giới hạn hai đường

2 ,

y= −x y=2 1( −x) Tính tỉ số

S S

S + A

2

1 S S

S

+ = B

2

1 S S

S

+ = C

2

1 S S

S

+ = D

2

1 S S

S + = Lời giải. Ta tính

1 1

S = =

2

S = π=π

Tính S3 Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 1 2 1( ) CASIO 0.

1 x

x x

x  =  − = − →  =



Khi ( )

3

2 d

S =∫ −x − −x x Dùng CASIO tính tích phân lưu vào biến A

Tiếp theo bấm A

π

+ nhấn dấu Màn hình kết 1

2 Chọn C.

Câu 17. Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x x−2y=0 với

diện tích hình sau đây?

A Diện tích hình vng có cạnh

B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng

C Diện tích hình trịn có bán kính

D Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh 34

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: 2

2

x x

x x

x x x

 ≥  =

 

= ⇔ ⇔ = =

 

 Diện tích hình phẳng cần tính:

4 CASIO

0

4

d 1,3

2

x

S=∫ x− x ≃ =

A Diện tích hình vng có cạnh 2→SA=4

B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng →SB=15 C Diện tích hình trịn có bán kính →SC =9 π

D Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh 34

3 ( )

2

canh

3 D

S

→ = =

Chọn D.

Câu 18. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số

( )2

2 y

x =

+ , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=4

A

S= − B

S= C 25

S= D

25 S=

Lời giải. Diện tích hình phẳng cần tính:

( )

4

CASIO

2

2

d

5

S x

x

= =

+

∫ Chọn B.

Câu 19. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y=xlnx, trục hoành đường thẳng x=e

A e

S= + B

2 1

6 e

S= + C

2 1

8 e

S= + D

2 1

2 e S= +

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm:

0

ln 0

ln

x

x x x x

x  >  

= ⇔ = ⇔ =  =

Diện tích hình phẳng cần tính: CASIO

ln d 2,09726 e

S=∫ x x x ≃

Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn A.

Câu 20 Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx,

trục hoành hai đường thẳng x 1, x e e

= = dạng S a1 e   

=  −  Mệnh đề sau sai?

A a2−3a+ =2 0. B a2− − =a 2 0.

C a2+3a− =4 0. D 2a2−3a− =2 0. Lời giải. Diện tích hình phẳng cần tính:

1 xet dau

1 1

ln d ln d ln d

e e

e e

S=∫ x x = ∫− x x+∫ x x

( )1 ( )

tung phan

1

1

1

ln ln 2

e

e

x x x x x x a

e   

= − − + − =  − → = Chọn C.

Câu 21. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số x

y=e +x, trục

hoành, trục tung đường thẳng x=1 A

2

S= +e B

S= −e C S= +e D S= −e Lời giải. Diện tích hình phẳng cần tính:

1 CASIO

0

d 2,21828 x

S=∫ e +x x ≃

Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn B.

Câu 22. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường x

y=e +x, x− + =y

ln

x=

A S= +5 ln B S= −5 ln C S= +4 ln D S= −4 ln

Lời giải. Ta có x− + = y → = +y x

Phương trình hồnh độ giao điểm: x x

e + = + ⇔x x e = ⇔ =x

Diện tích hình phẳng cần tính: ln 5( ) ( ) ln CASIO

0

1 d d 2,39056

x x

S=∫ e + − +x x x=∫ e − x ≃

Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn D.

Câu 23. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y= +(e 1)x y= +(1 ex)x A

2 e

S= + B e

S= C 2 e

S= − D e S= −

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm:

(1 ) ( 1) ( ) 0

1

x x x

e x e x x e e

x  = 

+ = + ⇔ − = ⇔  =



Diện tích cần tính: ( ) ( ) ( ) CASIO

0

1 x d x d 0,35914

S=∫ +e x− +e x x=∫ x e −e x ≃

Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn C.

Câu 24. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số x y= e + , trục

hoành hai đường thẳng x=ln 3, x=ln

A ln2

S= + B ln3

S= + C ln3

S= + D ln3 S= −

Lời giải. Diện tích hình phẳng cần tính:

ln ln

CASIO

ln ln

1 d 1d 2,40546

x x

S=∫ e + x=∫ e + x =

Câu 25 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường

, 0, 0, ln x

y=e y= x= x= Đường thẳng x=k

(0< <k ln 4) chia ( )H thành hai phần có diện tích

là S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1=2S2 A. 2ln

3

k= B. k=ln

C. ln

k= D. k=ln

Lời giải. Ta có 1

0

d

k k

x x k

S =∫e x=e =e −

ln ln 4

2 d

x x k

k k

S =∫e x=e = −e

Theo giả thiết S1=2S2⇔ek− =1 4( −ek)⇔ =k ln Chọn D. Câu 26. Kí hiệu ( )H hình phẳng giới hạn

đường y=ex, y=0, x=0 x=1 Đường thẳng

( )

x=k < <k chia ( )H thành hai phần có diện

tích tương ứng S1, S2 hình vẽ bên, biết S1>S2

Mệnh đề sau đúng? A.

2 k e

e > + B 2 k e e > +

C. k e

e > + D. k e e > −

Lời giải. Ta có 1

0

d

k k

x x k

S =∫e x=e =e −

1 1

2 d

x x k

k k

S =∫e x=e = −e e

Theo giả thiết 1 2 1

2

k k k e

S >S ⇔e − > −e e ⇔e > + Chọn C

Câu 27. Cho hình phẳng ( )H giới hạn

đường y=x2, y=0, x=0, x=4. Đường thẳng

( )

16

y=k < <k chia hình ( )H thành hai

phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ) Tìm k để

1

S =S

A. k=3 B k=4

C. k=5 D. k=8

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

x = k → =x k Ta có:

●

4

2

1

0

64

d

3

x S +S =∫ x x= =

● ( )

4

4

2

2 64

d

3 3

k k

x k k

S = x −k x= −kx = − k+ +  

∫

Theo giả thiết ( 2)

1 64 32

4

2 3

k k S =S → =S S +S ⇔ − k+ + =

( )

2k k 12k 32 t= k < <t 2t 12t 32 t k

⇔ − + = → − + = → = → = Chọn B.

O

x

y

1

S

2

S

Câu 28. Xét hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị

hàm số ( )2

3

y= x+ , trục hoành đường thẳng

0

x= Gọi A( )0;9 , B b( );0 (− < <3 b 0) Tính giá trị tham số b để đoạn thẳng AB chia ( )H thành

hai phần có diện tích A. b= −2 B

2 b= −

C. b= −1 D.

2 b= −

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: ( )2

3

x+ = ⇔ = −x

Do ( ) 0( )2 CASIO

3 d

H

S x x

−

=∫ + =

Diện tích tam giác OAB bằng:

2

OAB

S = OA OB= b

Ycbt ( ) 9 ( 0)

1

2 2

b

OAB H

S S b − < < b

←→ = ⇔ = → = − Chọn C Câu 29. Cho hàm số y=f x( ) liên tục ℝ hàm

số y=g x( )=x f x. ( )2 có đồ thị đoạn [ ]1;2 hình vẽ bên Biết phần diện tích miền tơ màu

5

S= , tính giá trị tích phân ( )

4

1

d I=∫ f x x

A

I= B. I=

C. I=10 D. I=5

Lời giải. Diện tích phần tơ màu ( )

d S=∫ g x x

Theo giả thiết ( )

2

1

5

d

2

S= ⇔∫x f x x=

Đặt t=x2→dt=2 dx x Đổi cận: 1.

2

x t

x t

 = → = 

 = → = 

Khi ( )2 ( ) ( )

1 1

5

d d d

2=∫x f x x=2∫ f t t→∫ f t t= hay ( )

4

1

d

f x x=

∫ Chọn D

Câu 30 Một khung cửa có hình dạng hình vẽ, phần phía parabol Biết a=2,5m,

0,5m

b= , c=2m Biết số tiền mét vuông cửa triệu đồng Số tiền cần để mua cửa là:

A 14

3 triệu đồng B 13

7 triệu đồng C.

17 triệu đồng D. 17

3 triệu đồng

Lời giải. Diện tích khung cửa bằng: diện tích hình vng + diện tích parabol Diện tích hình vng

1 2.2 m

S = =

Diện tích parabol

2

2

.2.0,5 m

3

S = = (Công thức giải nhanh

S= Bh với B chiều

Suy diện tích khung cửa

1

14 m S=S +S =

Khi số tiền cần phải trả: 14

T= × triệu 14

= triệu đồng Chọn A Câu 31. Biết đường parabol ( )P :y2=2x chia

đường tròn ( )C :x2+y2=8 thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ bên) Khi

2

b S S a

c

π

− = − với a b c, , nguyên dương b c

phân số tối giản Tính S= + +a b c A S=13 B. S=14 C. S=15 D. S=16

Lời giải. Đường trịn ( )C có tâm O( )0;0 , bán kính R=2 2→ diện tích S=8 π

Phương trình hoành độ giao điểm ( )P ( )C là:

2

2

2

0

2

2

8 x y x

x x x

x y

  ≥

 = 

 → ↔ =

 

 + =  + =

 

 Suy

2 2

2

1

0

4

2 d d

3

S = ∫ x x+ ∫ −x x= + π→S = − =S S π−

2

4

4

3

3 a

S S b

c

π

 =   → − = − → =

 = 

Chọn C

Câu 32 Một bồn hình trụ chứa dầu đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn

A. 11,781m 3 B. 12,637m 3 C 114,923 m 3 D. 8,307 m 3

Lời giải. Thể tích bồn (hình trụ) đựng dầu là: 2

1 5 m

V =πr h=π = π

Bây ta tính phần dầu bị rút cách: Cách 1. (Dùng tích phân)

Chọn hệ tục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ gắn với tâm mặt đáy

Đường trịn đáy có bán kính nên có phương trình x2+y2=1

Suy y= ± −1 x2

Diện tích phần hình trịn đáy bị mất:

2

1

2 d 0,61m

S= ∫ −x x≈

Thể tích phần dầu bị rút ngoài:

1

2

2

1

2 d 3,07m

Cách (Áp dụng diện tích cung trịn biết góc tâm trừ diện tích tam giác tạo tâm đầu mút dây cung)

( )

2

1 1

.sin sin

2 2

viên phân

S = R α− R R α= R α− α

với α tính theo đơn vị radian

Tính góc tâm: cos

2 2 3

OH OH OA R

α α π π

α

= = = → = ⇒ =

Diện tích phần hình trịn đáy bị (phần bơi đen)

( )

2 2

1 2

sin sin 0, 61m

2 3

viên phân

S R α α π π

 



= − =  − ≈

H

B A

O

Câu 33 Cho viên gạch men có dạng hình vng OABC hình vẽ Sau tọa độ hóa,

ta có O( ) ( ) ( )0;0 , A 0;1 , B1;1 , C( )1;0 hai đường cong hình đồ thị hàm số y=x3 y=3x. Tính tỷ số diện tích phần tơ đậm so với diện tích phần cịn lại hình vng

A.

2 B.

5 C.

3 D.1

Lời giải. Diện tích hình vng có cạnh 2

1 1 m

S = =

Diện tích phần tô đậm:

1 CASIO

3

3

0

1

d m

2 S =∫ x−x x = =

Do diện tích phần cịn lại: 2

1

1

1 m

2

S S S S

S

∆ = − = − = → =

∆ Chọn D Câu 34.(ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Ông An có

một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ)

Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng

/m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A.7.862.000 đồng B.7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng.

Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ

Giả sử elip có phương trình x22 y22 a +b =

Vậy phương trình elip ( )

( )

2

2

5 64

5

64 25

64

y x E

x y

y x E

= −

+ =

   →

 − −

    =

Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( ) ( )E1 , E2 ,x= −4 x=4 Do

4

2 2

4

5

2 64 d 64 d 80 m

8

S x x x x π

−

 

 



= ∫ − = ∫ − =  + 

Vậy số tiền mà ông An cần 80 100000 7652891,82 7.653.000

6

T= π+  =

  ≃

Chọn B

Vấn đề TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

Câu 36. Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình

thang cong giới hạn đồ thị hàm số y=f x( ), trục Ox hai đường thẳng

( )

, ,

x=a x=b a<b xung quanh trục Ox A. 2( )d

b

a

V=π∫ f x x B. 2( )d b

a

V=∫ f x x

C. ( )d b

a

V=π∫ f x x D. ( )d b

a

V=π∫ f x x

Lời giải.Chọn A

Câu 37. Cho hình phẳng hình bên (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức công thức sau đây?

A. 2( ) 2( )d

b

a

V=π g x −f x  x

 

∫

B. 2( ) 2( )d

b

a

V=π f x −g x  x

 

∫

C. ( ) ( )2

d b

a

V=π f x −g x  x

 

∫ D. ( ) ( )d

b

a

V=π f x −g x  x

 

∫

Lời giải.Chọn B

Câu 38. Viết cơng thức tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng

vuông góc với trục Ox điểm x=a x, =b a( <b), có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x a( ≤ ≤x b) S x( )

A ( )d b

a

V=π∫S x x B ( )d b

a

V=π∫ S x x C ( )d b

a

V=∫S x x D ( )d

b

a V=π ∫S x x

Lời giải.Chọn C.

Lời giải. Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) S x( )=3x 3x2−2 Suy thể tích cần tính ( ) CASIO

1

124

d 3 2d

3

V=∫S x x=∫ x x − x = Chọn C.

Câu 40 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=0

x= , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm

có hồnh độ x (0≤ ≤x 2) thiết diện phần tư hình trịn bán kính 2x2 A V=32 π B V=64 π C 16

5

V= π D V=8 π

Lời giải. Diện tích thiết diện (1

4 hình tròn) ( ) ( )

2

2

1

2

4

S x = π x = πx

Suy thể tích cần tính

2

2

4

0

1 16

d

2 5

x

V πx x π π

 

 

= =  =  

∫ Chọn C.

Câu 41 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=0 x=π, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm

có hồnh độ x (0≤ ≤x π) thiết diện tam giác cạnh sin x

A V =2 π B V =8 C V =2 D V =8 π

Lời giải. Diện tích tam giác ( ) sin 3 sin

x

S x = = x

Suy thể tích cần tính

0

3 sin d cos

V x x x

π

π

=∫ = − = Chọn C.

Câu 42 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=2x−x2 trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành

A 16 15

V= π B 11 15

V= π C 12 15

V= π D 15 V= π

Lời giải. Phương trình hồnh đợ giao điểm: 2 0 0.

2 x x x

x  =  − = ⇔  =

 Thể tích cần tính ( )

2 CASIO

2

0

16

2 d

15

V=π∫ x−x x = π Chọn A.

Câu 43 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2107) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= x2+1, trục hoành đường thẳng x=0, x=1. Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành

A

V= π B V =2 π C

3

V= D V =2 Lời giải. Thể tích cần tính ( ) ( )

1 2

CASIO

2

0

4

1 d d

3

V=π∫ x + x=π∫ x + x = π Chọn A.

Câu 44 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=lnx, trục hoành đường

thẳng x=e Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục

hoành

A V=π(e+1 ) B V=π(e−1 ) C V=πe D V=π(e−2 )

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: lnx= ⇔ =0 x Thể tích cần tính CASIO

1

ln d 2,25654 e

V=π∫ x x ≃

Câu 45. Kí hiệu V1, V2 thể tích khối cầu bán kính đơn vị thể tích

khối tròn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường thẳng

2

y= − x+ đường cong y=2 1−x2. Mệnh đề sau đúng? A.V1<V2 B.V1=V2 C.V1>V2 D.V1=2V2

Lời giải. Ta có

1

4

3

R

V = πR =→ =V π (đvtt)

Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 1 2 1( ) CASIO 0.

1 x

x x

x  =  − = − →  =



Thể tích ( 2)2 ( )2 2 CASIO

2

0

4

2 d 8 d

3 V =π∫ −x − −x  x=π∫ − x + x x = π

Vậy V1=V2 Chọn B.

Câu 46 Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y= x+1 (đồ thị hình vẽ) trục Ox quay quanh trục Ox Biết đáy lọ miệng lọ có đường kính

2dm 4dm Tính thể tích V lọ

A V 8 dm 3

π

= B 15 dm 3

2

V= π C V 7 dm 3

π

= D V 17 dm 3

π

= Lời giải. Từ giả thiết, suy bán kính hai đáy 1dm dm

Suy x+ = → =1 x x+ = → =1 x Thể tích lọ ( )2 3( ) CASIO

3

0

15

1 d d dm

2

V=π∫ x+ x=π∫ x+ x = π Chọn B

Câu 47 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=ex, trục hoành đường thẳng x=0, x=1. Tính thể tích V khối

tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành

A.

2 e

V=π B. ( )

2 1

2 e V

π +

= C.

2 e

V= − D. ( )

2 1

2 e V

π −

Lời giải. Thể tích cần tính ( ) ( )

1 1

2 2 2

0

0

1

d d

2

x x x e

V e x e x e

π

π π π

−

= ∫ = ∫ = = Chọn D

Câu 48 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2(x−1)ex, trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( )H xung quanh trục Ox

A V = −4 e B V= −(4 2e)π C V =e2−5 D V =(e2−5)π

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 2(x−1)ex= ⇔ − = ⇔ =0 x x Thể tích cần tính ( ) 1( )2 CASIO

0

2 x d xd 7,50544

V=π  x− e  x= π x− e x =

 

∫ ∫

Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn D.

Câu 49 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= 2+cosx , trục hoành đường thẳng 0,

2

x= x=π Tính thể tích V

khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh

A.V = −π B.V=(π−1)π C.V=(π+1)π D.V = +π

Lời giải. Thể tích cần tính ( )2 2( ) CASIO

0

2 cos d cos d 13,01119

V x x x x

π π

π π

= ∫ + = ∫ + =

Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn C.

Câu 50 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= 2+sinx , trục hồnh đường thẳng x=0,x=π Khối trịn xoay tạo

thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A.V=2(π+1 ) B.V=2π(π+1 ) C.V =2π2 D.V=2 π

Lời giải. Thể tích cần tính ( )2 ( ) CASIO

0

2 sin d sin d 26,02239

V x x x x

π π

π π

= ∫ + = ∫ + =

Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn B.

Câu 51. Ký hiệu ( )H hình phẳng giới hạn đường y= sinx−cosx+m,

y= , x=0

x=π với m tham số thực lớn Tìm m cho thể tích V

của khối trịn xoay thu quay hình ( )H xung quanh trục hồnh

2

3

π

A. m=6 B. m=4 C. m=3 D. m=9 Lời giải. Thể tích cần tính ( )2 2( )

0

sin cos d sin cos d

V x x m x x x m x

π π

π π

= ∫ − + = ∫ − +

( ) ( )

0

cos sin 1

2

m m

x x mx π

π π

π π  π

= − − + = − + − − =

Theo giả thiết 2 3

2 2

m

V= π ⇔ π = π ⇔m= (thỏa mãn m>2) Chọn C.

Cách CASIO Thể tích cần tính 2( )

sin cos d

V x x m x

π

π

= ∫ − + Đến thử giá trị m đáp án vào, đáp án cho kết

2

3

π

Câu 52 Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số

2

x

y= y=x Tính

thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành

A 124 15

V= π B 126 15

V= π C 128 15

V= π D 131 15 V= π

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm 4

x x

x x  =  = ⇔  =

Thể tích cần tính

2

4 CASIO

2

0

128

d

4 15

x

V=π     −x x = π  

 

∫ Chọn C.

Câu 53. Hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2+1, trục tung tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x2+1 điểm ( )1;2 Khi quay hình ( )H quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay tích V bằng:

A

V= π B 28

15

V= π C

15

V= π D V=π

Lời giải. Tiếp tuyến đồ thị

1 y=x +

điểm ( )1;2 có phương trình y=2x

Thể tích cần tính ( )2 ( )2

1 d

V=π∫ x + − x x

( )

1 xet dau

4

0

8

2 d d

15

x x x x x x π

π π

= ∫ − + = ∫ − + =

Chọn C.

Câu 54 Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số y= −4 x2 y= +2 x2 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành

A V =10 π B V =12 π C V =14 π D V =16 π

Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm: 4−x2= +2 x2⇔ = ±x 1

Thể tích cần tính ( ) ( )

1

CASIO

2

2 2

1

4 d 12 12 d 16

V π x x x π x x π

− −

Câu 55. Thể tích V khối trịn xoay

cho hình phẳng giới hạn đường

1

y= −x y=x2−1 quay quanh trục

Ox xác định công thức sau

đây?

A. ( 2) (2 2 )2

1 d

V π x x x

−

= ∫ − − − B. ( 2) ( )

1

1 d

V π x x x

−

= ∫ − − −

C. 1( 2)2

1 d

V π x x

−

= ∫ − D. ( 2 ) (2 2)2

1

1 d

V x x x

−

 

=  − − − 

 

∫

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 1−x2=x2− ⇔ = ±1 x 1.

Vì đồ thị hàm số y= −1 x2 đối xứng với đồ thị hàm số y=x2−1 qua trục hoành nên thể tích khối trịn xoay cần tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y= −1 x2,y=0,x= −1,x=1 quay quanh trục Ox

Vậy cơng thức tính thể tích ( )

2

1

1 d

V π x x

−

= ∫ − Chọn C

Câu 56 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2 y= x. Khối tròn xoay tạo ( )H quay quanh Ox tích V xác định công thức

sau ?

A 1( )

0 d

V=π∫ x −x x B ( )

1

0 d

V=π∫ x − x x

C 1( 2)

d

V=π∫ x−x x D ( )

1

0

d V=π∫ x−x x

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: 0.

1 x x

x x = ⇔  = =



Thể tích cần tính ( )

1

xet dau

0

4

0

d d

V=π∫ x −x x = π∫ x−x x Chọn D

Câu 57. Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị

hàm số y= − x, đường thẳng y= − +x trục hồnh Khối trịn xoay tạo ( )H quay quanh Ox tích V xác định công thức

sau ?

A 4( )2

0

d d

V π x x x x

 

 

=  + − 

 

∫ ∫ 

B 4( )2

0

d d

V π x x x x

 

 

=  − − 

 

∫ ∫ 

C 4( )2

0

d d

V π x x x x

 

 

=  + − 

 

∫ ∫  D ( )

4

2

0

d d

V π x x x x

 

 

=  − − 

 

Lời giải Gọi V1 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số y= − x, trục hoành, đường thẳng x=0,x=4 xung quanh trục Ox

( )

4

2

0

d d

V π x x π x x

→ = ∫ − = ∫

Gọi V2 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y= − +x , trục hoành, đường thẳng x=2,x=4 xung quanh trục Ox

( )

4 2

2

d

V π x x

→ = ∫ −

Suy thể tích cần tính 4( )2

1

0

d d

V= −V V =π∫x x−π∫ −x x Chọn D.

Câu 58* Cho hình phẳng ( )H giới hạn

4 đường trịn có bán kính R=2, đường cong y= 4−x trục hồnh (miền tơ đậm hình vẽ) Tính thể tích V khối

tạo thành cho hình ( )H quay quanh trục Ox.

A 77

V= π⋅ B 53

V= π⋅ C 67

V= π⋅ D 40 V= π⋅

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: 4− = ⇔ =x x

Gọi V1 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn

4 đường trịn có bán kính R=2 (như hình vẽ), trục hồnh đường thẳng x=0 xung quanh trục

Ox

→ thể tích tạo thành nửa khối cầu bán kính R=2

3

1

1 16

.2

2 3

V πR π π

→ = = =

Gọi V2 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường

4 , 0, 0,

y= −x y= x= x= xung quanh trục Ox

( )

4

2

4 d

V π x x π

→ = ∫ − =

Vậy thể tích cần tính 1 2 40

V=V +V = π Chọn D.

Câu 59* Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y= − x+2, y= +x 2, x=1 Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng ( )H quanh trục hồnh

A. 29

V= π B

V= π C.V =9π D. 55

6 V= π

Lời giải Đây thuộc toán khó, ta phải vẽ hình phát họa kiểm sốt Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y= − x+2 qua trục hoành ta đồ thị hàm số

2

Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

2

1 x

x x

x  = − 

+ = + ⇔  =− x+ = ⇔ = −2 x

● Gọi V1 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng tam giác ABC giới

hạn đường y= +x 2, trục hoành đường thẳng x=1 quanh trục hoành

( )

1

2

2 d

V π x x π

−

→ = ∫ + =

● Gọi V2 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng (phần tơ màu) giới hạn

bởi đường y= +x 2, y= x+2 quanh trục hoành

( ) ( )

1

2 2

2

2 d

6

V π x x x π

−

−

→ = ∫ + − + =

Vậy thể tích cần tính 1 2 55

6

V=V +V = π+ =π π Chọn D

Nhận xét Bài học sinh làm sai nhiều, lí khơng vẽ hình mà làm theo

cơng thức ( ) ( )

1

2

2

9

2 d

2

V π x x x π

−

 

=  + − − +  =

 

∫

Câu 60. Cho hình phẳng ( )H giới hạn

đường x

y=e , y=0, x=0 x=k (k>0) Gọi k

V thể tích khối trịn xoay quay hình ( )H

quanh trục Ox Biết Vk=4 Khẳng định sau khẳng định đúng:

A.1 k

< < B. 2< <k C. 1

2< <k D.

1

0

2 k < <

Lời giải Thể tích ( )2 2 2 ( 2 )

0

d d

2

k k k

x x x k

k

V =π∫ e x=π∫e x=πe =π e −

Theo giả thiết 4 ( 1) 4

2

k k

k

V π e e π

π

+

= ⇔ − = ⇔ =

1

ln ;1

2

k π

π

 +   

 

Câu 61 Gọi V thể tích khối trịn xoay

tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y= x , y=0 x=4 quanh trục Ox Đường thẳng x=a(0< <a 4) cắt đồ thị hàm số y= x M (hình vẽ bên)

Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành

khi quay tam giác OMH quanh trục Ox

Biết V=2V1 Khi đó:

A a=2 B a=2 C

a= D a=3 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x = ⇔ =0 x

Thể tích

0

d

V=π∫x x= π

Ta có M a( ; a) Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có

chung đáy:

Hình nón ( )N1 có đỉnh O, chiều cao OK=a, bán kính đáy R=MK= a nên tích ( )2

3 3

a R OK a a π

π = π =

Hình nón ( )N2 có đỉnh H, chiều cao HK= −4 a, bán kính đáy R=MK= a nên tích ( )2 4( ) 2.

3 3

a a

R HK a a π π

π = π − = −

Suy 1 4

3 3

a a a a

V =π + π −π = π

Theo giả thiết 1 2.4

3

V= V ⇔ π= πa→ =a Chọn D.

Câu 62. Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới

hạn đường tròn ( )C :x2+(y−3)2=1 quanh trục hoành

A.V=6 π B V =6π3 C.V =3π2 D.V =6π2

Lời giải Ta có x2+ −(y 3)2=1

[ ]

2

2

3

, 1;1

3

y x

x

y x

 = + − 

→ ∈ −

 = − − 

Thể tích cần tính

( ) ( )

1 2 2

2

1

3 d

V π x x x

−

 

 

=  + − − − − 

 

∫

1 CASIO

2

1

12π x d x 59,21762 −

= ∫ − =

Câu 63. Cho hình vng có độ dài cạnh 8cm hình trịn có bán kính 5cm xếp chồng lên cho tâm hình trịn trùng với tâm hình vng hình vẽ bên Tính thể tích V vật thể trịn xoay

tạo thành quay mơ hình quanh trục XY A. 260 cm 3

3

V= π B. 290 cm 3

3 V= π

C. 520 cm 3

3

V= π D. 580 cm 3

3 V= π

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ● Thể tích khối cầu 3

1

4 500

5

3 3

V = πR = π = π

● Gọi V2 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ( )H (phần tô màu) giới hạn đường thẳng y=4, đường trịn y2=25−x2 x=4 quanh trục hồnh

( )

4

2

2

10

4 25 d

3

V π x x π

→ = ∫ − − =

-4

4

-4

-5

-5

y

x O

Vậy thể tích cần tính

1

520

2 cm

3 V=V + V = π

Câu 64 Bên hình vng cạnh a, dựng

hình bốn cánh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích V khối trịn xoay sinh

quay hình quanh trục Ox

A. 3.

48

V= πa B 3.

16 V= πa

C. 3.

6

V=πa D. 3.

8 V=πa

Lời giải Do hình có tính đối xứng nên ta quay theo trục thẳng đứng hay nằm ngang cho thể tích

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

Gọi V thể tích khối trịn xoay cần tính

Gọi V1 thể tích khối trịn xoay quay hình

Ta có

2

2

1

4

5

d d

2 96

a a

a

x a a a

V π x π x x π

   

 

= ∫ +  − ∫ −  = Suy thể tích cần tính

5

2

48 a

V= V = π Chọn A.

Câu 65. Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY=40cm cạnh đáy 40cm 60cm, xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trung điểm cạnh đáy tam giác hình vẽ bên Tính thể tích V

của vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY

A. 40480 cm 3

3

V= π B. 52000 cm 3

3

V= π

C. 46240

cm

V= π D.V =1920 cm π

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ:

( )0;0 , (40;0 , ) (0;20 , ) (40;30)

Y ≡O X A M

Phương trình đường :

x YM x− y= → =y

Phương trình : 40 40

2 x AX x+ y− = → =y −

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường

YM AX là: 40 16

4

x x

x −

= ↔ =

Thể tích vật thể cần tính

2

16 40

3

0 16

40 46240

d d cm

2

x x

V=π  −  x+π   x= π

 

 

   

∫ ∫

Chọn C.

Y X

40 16

20 30

B A

N M y