Bài toán gốc cùng những bài toán tổng quát còn có nhiều tính chất khá thú vị xong tôi muốn nhường lại cho bạn đọc tìm tòi, làm được một bài toán là tốt nhưng biết đào sâu thêm các tính c[r]
(1)Tìm tịi mở rộng hình học hay trong đề chọn đội tuyển Quảng Ninh
2015-2016
Tóm tắt nội dung: Bài viết đề cập đề toán hay nhiều ý nghĩa từ đề chọn đội tuyển Quảng Ninh 2015 để từ phát triển, mở rộng lên thành số toán khác liên quan
Bài toán 1(Chọn đội tuyển VMO Quảng Ninh 2015, ngày 2): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AA1, BB1 đường cao tam giác ABC Gọi M trung điểm AB CM cắt (CA1B1),(O) P, Q Chứng minh rằng: M P =M Q
(2)điều hồ thì: (SD, AB) = −1 nên M A2 = M B2 = M D.M S = M P.M C = M Q.M C M P =M Q(đpcm)
Nhận xét: Bài tốn khơng khó xong hay choM tâm(BC) trở thành tâm đường trịn quaB, C kết luận đúng, ta xét lời giải tốn
Bài tốn 2(Mở rộng toán 1): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) (J) đường tròn qua B, C cắt AB, AC E, F Gọi AJ cắt (AEF) P 6= A Gọi AJ ∩(O) = A, Q Chứng minh rằng: J trung điểm P Q
Lời giải(Trương Mạnh Tuấn-THPT chuyên HSGS): Gọi I tâm (AEF) Ta thấy rằng: AIJ O hình bình hành J I2 −IA2 = AO2 −J O2 J P J A=−J Q.J A hay J P =J Q(đpcm)
Nhận xét: Ta quay lại toán thứ nhất, gọi CH ∩(O) = C, T ta dễ thấy DH = DT M H = M T Điều ý tưởng mở rộng toán 1, thay H giao điểm đường chéo đường tròn qua B, C Bất ngờ tơi đọc tài liệu khác thấy tốn đề thi tác giả Nguyễn Minh Hàđề nghị thi toán Mathley
(3)Lời giải 1(Nguyễn Văn Linh)(Bạn đọc tự vẽ hình): Lời giải sử dụng cơng cụ tỉ số phương tích khai thác triệt để giả thiết toán Gọi H =EO∩F I Gọi M, N trung điểm AD, BC Theo định lí Borcard thì: EO ⊥ F I Vậy A, M, N, H, O đồng viên Ta thấy rằng: PM/(F AB)
PM/(F CD)
= M A.M F
M D.M F = −1 Hồn tồn tương tự thì: PN/(F AB)
PN/(F CD)
= −1 (F M N),(F AB),(F CD) đồng trục Do H ∈
(F M N) nên PH/(F AB) PH/(F CD
= −1 Do HK.HF
HL.HF = −1 ⇒ H trung điểm KL Đến ta thấy đpcm
Lời giải 2: Bài tốn chứng minh với trường hợp hình vẽ trường hợp khác chứng minh tương tự Việc tận dụng tốn mấu chốt việc giảibài tốn 3này Ở tơi xin giới thiệu lời giải chobài tốn Trước giải tốn cần có bổ đề:
Bổ đề 1: "Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) hình thang Gọi AB cắt CD E AD cắt BC điểm F, gọi giao điểm đường chéo tứ giác I Gọi L điểmM iquel tứ giác tồn phần ABCD.EF Khi O, I, L⊥EF."
(4)∠OLF = 90◦
Bổ đề 2: Chính Bài tốn
Quay trở lại toán, gọi J điểm M iquel tứ giác toàn phần ABCD.EF Áp dụngbổ đề định lí Borcardthì: O, I, J thẳng hàng vng góc EF đồng thời I trực tâm 4OEF nên F I ⊥OE Gọi F O∩(F AB),(F CD) = U, V 6=F, áp dụng bổ đề thì: O trung điểm U V Gọi P trung điểm KL ta có: 4J KL ∼ 4J OU(g.g)do 4J KP ∼ 4J U O(c.g.c)vậy ∠J P I =∠IOU =∠J EI tứ giác J IP E nội tiếp ∠IP E = 90◦ hay làIF ⊥EP mà F I ⊥OE nênE, P, O thẳng hàng EP ⊥KL hay thu 4EKL cân tạiE ⇒EK =EL(đpcm)
Nhận xét: Nhìn qua ba tốn đặc biệt trường hợp mở rộng tốn 2, tốn 3thì ta đặt câu hỏi liệu thay cát tuyến qua Anhư hai cát tuyến qua Ahay khơng Để trả lời câu hỏi tơi xin nêu toán tổng quát
Bài toán 4(Tổng quát toán 1,2,3): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường tròn (K)qua B, C cắt AB, AC điểm E, F Một đường thẳng d qua A cắt (AEF),(O) điểmM, N Chứng minh rằng: KM =KN
(5)BEF C.ASthì: ∠LKA = 90◦GọiAK∩(AEF),(O) =P, Q6=A GọiJ trung điểm M N Theo tốn thì: K trung điểm P Q Ta có: 4LM N ∼ 4LP Q(g.g) nên 4LJ M ∼ 4LKP(c.g.c) ∠LJ M = ∠LKP nên L, A, J, K đồng viên
∠KJ A=∠KLA = 90◦ đóKJ trung trựcM N KM =KN(đpcm) Lời giải 2(Trương Mạnh Tuấn-THPT chuyên KHTN)(Bạn đọc tự vẽ hình): Xét phép nghịch đảo tâm A tỉ số AE.AB ta chuyên toán thành sau: "Cho tam giác ABC, đường tròn B, C cắt AB, AC B0, C0 Một cát tuyến qua A cắt BC, B0C0 M0, N0 Giả sử B0C0∩BC =X Ta cần chứng minh: KX phân giác
∠N0KM0."
Ta chứng minh toán này, gọi cát tuyến qua A cắt KX W, AX ∩
BC, B0C0 =U, V
Ta có: K(XA, M0N0) = (W A, M0N0) =L(W A, M0N0)=L(XA, U V) = (XA, U V) =
−1nên ta thu đpcm
Nhận xét: Ởlời giải 1, việc tận dụng kết tốn 2chính phương pháp hữu hiệu toán toán tổng quát Còn lời giải việc sử dụng phép nghịch đảo để đổi cấu hình giúp đơn giản tốn nhiều Bài tốn tổng qt cịn có lời giải khác cách sử dụng phương pháp tượng tự lời giải toán 3xong dài nên tơi khơng trình bày
Khai thác tính chất cấu hìnhbài tốn ta thu tốn sau, việc khai thác tính chất tốn cơng việc thú vị giúp liên hệ nhiều kiến thức biết cấu hình
(6)Lời giải: Đường cao qua A tam giác AM N cắt (AEF),(ABC) điểm H, P 6= A,AP ∩M N = T Áp dụng toán cho đường trịn (O),(AEF),(K) thì: T trung điểm HP T H.T A= T P T A=T M T N nên hiển nhiên thu H trực tâm tam giácAM N(đpcm)
Bạn đọc thử sức với toán sau, lời giải tương tự toán 5:
Bài toán 6(Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) (K) đường tròn thay đổi qua B, C cắt AB, AC F, E Một đường thẳng d qua A cắt (O),(AEF) điểm thứ hai P, Q Gọi R trung điểm P Q Gọi KR∩(O) = M, N Chứng minh trực tâm 4AM N nằm (AEF)
Cuối xin đề cập hai toán tổng quát bạnNguyễn Quang Trung,THPT chun Hồ Bình đề xuất
(7)Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Gọi O0 tâm (AEF), gọi J, A = (AEF)∩
(O) Ta để ý rằng: 4J BF ∼ 4J CE(g.g) nên 4J M F ∼ 4J N E(c.g.c) J, A, N, M, K đồng viên nên ∠KJ A = 90◦ Gọi R, S đối xứng O0, O qua A ∠RJ A = ∠KJ A = ∠SJ A = 90◦ nên J, R, K, S thẳng hàng OO0 qua trung điểm AK(theo tiên đề Euclid) Do AO0KO hình bình hành Gọi AK ∩(AEF),(O) = A, X, Y, −O0A2 +KO02 = −OK2 +OA2 PK/(O) =
−PK/(AEF) nên KX.KA = −KY KA hay K trung điểm XY Gọi T trung điểm P Q dễ thấy 4J T P ∼ 4J KX(c.g.c) nên J, A, K, T đồng viên suy ra∠KT A=∠KJ A= 90◦ nên KP =KQ(đpcm)
Bài toán 8(Nguyễn Quang Trung): Cho tam giácABC,E, F trênAC, AB Lấy điểm M, N cạnh AB, AC cho M F
M B = N E
N C = k , đường thẳng qua M, N vng góc với AB, AC cắt K Một cát tuyến qua A cắt (AEF),(ABC)tại P, Q, hạ KH vng góc xuống P Q HP
(8)Lời giải 1(Nguyễn Quang Trung): Ta thấy rằng: P(M/(AEF) P(M/(ABC) =
P(N/(AEF) P(N/(ABC) = P(H/(AEF)
P(H/(ABC) =k mà dễ thấy (AM N) đồng trục với (EAF) (ABC) nên HP HQ = k(đpcm)
Lời giải 2(Nguyễn Duy Khương): GọiJ, A= (AEF)∩(O),O0 tâm của(AEF) Lấy điểmT, S đối xứng AquaO0, O Ta dễ thấy rằng: 4J BF ∼ 4J EN(g.g)do 4J F M ∼ 4J EN(c.g.c) nên J, M, K, H, N, A đồng viên Do J, T, K, S thẳng hàng, P TkKHkQS nên P H
QH = KT
KS, lại có: T EkKNkSC nên KT KS =
EN N C = P H
QH =k(đpcm)