Đang tải... (xem toàn văn)
TiÕp ®ã dùa vµo hai tam gi¸c EKF,GLH b»ng nhau theo tr−êng hîp c¹nh huyÒn gãc nhän vµ cuèi cïng cã EF=GH... §−êng phô cÇn vÏ lµ trung tuyÕn BE cña tam gi¸c ABC..[r]
(1)Phơng pháp vẽ đờng phụ hình häc
(tham khảo: định lý hình học phng phỏp chng minh) http://diendan3t.net/forum
Mở đầu:
Khi chứng minh định lý hình học, phần nhiều phải vẽ thêm đ−ờng phụ Đ−ờng phụ tạo nên mối quan hệ giả thiết với kết luận, làm cho toán trở nên đơn giản dễ dàng Tuy nhiên, đ−ờng phụ có nhiều loại, nên khơng có ph−ơng pháp vẽ cố định, việc khó chứng minh Vẽ đ−ờng phụ cho có lợi vấn đề cần đào sâu suy nghĩ Trong viết này, xin nêu số nét lớn vấn đề vẽ đ−ờng phụ, hi vọng giúp bạn v−ợt qua khó khăn mơn hình học
I Mục đích vẽ ng ph:
1 Đem điều kiện đO cho toán hình có liên quan
đến việc chứng minh tập hợp vào nơi (một hình mới), làm cho chúng có liên hệ với
Ví dụ: Chứng minh hai đoạn thẳng song song hình chiếu chúng đờng thẳng thứ ba
Suy nghĩ: Sự AB CD EF GH không thấy đ−ợc có liên quan đến
(2)H−íng 2:
§Ĩ chøng minh EF=GH ta cã thĨ tạo đoạn thẳng EF GH Điều dễ có cách từ A,C lần lợt kỴ AI,CQ//MN
(I∈BF Q, ∈DH ) Tiếp ∆ABI = ∆CDQ (cạnh huyền-góc nhọn) suy AI=CQ=EF=GH
2 Tạo nên đoạn thẳng thứ ba góc thứ ba, làm cho hai đoạn thẳng
hoặc hai góc cần chøng minh trë nªn cã liªn hƯ
VÝ dơ: Tứ giác ABCD có cạnh AD=BC Gọi M,N lần lợt trung điểm AB,CD CB,DA cắt NM E,F Chứng minh r»ng ∠DFN = ∠CEN
Suy nghĩ: Hai góc E F hình vẽ d−ờng nh− khơng có quan hệ với Do ta tìm cách tạo góc thứ hai góc
Giải: Gọi I trung điểm AC Nối MI,NI
MI,NI lần lợt đờng trung bình tam giác ABC,ADC nªn MI//BC, NI//AD
,
IMN CEN INM DFN
⇒∠ = ∠ ∠ = ∠ (1)
Mặt khác MI=1
2BC=
2AD=IN
Do tam giác MIN cân I
IMN INM
⇒∠ = ∠ (2)
(3)3 Tạo nên đoạn thẳng hay góc bẳng tổng, hiệu, gấp ụi hay bng
2 đoạn
thng hay góc cho tr−ớc, để đạt mục đích chứng minh định lý
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến CM Trên tia đối BA lấy điểm D cho BD=BA CMR: CM=1
2CD
Suy nghĩ:
Bài toán yêu cầu DC=2MC hớng ta tạo đoạn thẳng MC
2DC.Mặt khác nhìn hình vẽ có B trung điểm AD lại làm ta nghĩ
n nh lý đ−ờng trung bình tam giác Đ−ờng phụ cần vẽ trung tuyến BE tam giác ABC BE đ−ờng trung bình tam giác ADC nên DC=2BE Do tam giác ABC cân A nên BE=CM Từ có đpcm
Chú ý: Thay vẽ thêm đoạn thẳng 1/2 DC ta tạo đoạn thẳng DC gấp lần BE Điều đơn giản, tia đối CA lấy điểm E cho CA=CE nối BE, tia đối CB lấy điểm E cho CE=CB nối AE
(4)
4 Tạo nên đại l−ợng (đoạn thẳng góc) nhau; thêm
vào đại l−ợng mà đO cho để giúp cho việc chứng minh
VÝ dô:
(5)Suy nghÜ:
Đầu cho CM=BM, nh− ch−a có AM=MB Ta lấy N trung điểm AB tạo đ−ợc cặp đại lng bng l BN=AN
Mặt khác MN//AC nên MNAB Suy MN trung trực đoạn AB
⇒AM=BM=CM, từ có đpcm
5 Tạo nên hình mới, để áp dụng định lý đặc biệt
Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D điểm cung nhỏ BC Kẻ AH ⊥DB AK, ⊥DC Chứng minh đ−ờng thẳng HK qua điểm cố định
(6)đ−ờng thẳng Sim-sơn ta có H,I,K thẳng hàng Do A cố định nên I cố định Vậy HK qua điểm cố định I
6 Biến đổi hình vẽ, làm cho tốn trở nên dễ chứng minh tr−ớc
VÝ dơ: Tam gi¸c ABC cân A nội tiếp (O) ( 60
A
< ) M điểm cung nhỏ BC AM giao BC N CMR: 1
MN MB MC
> +
Suy nghÜ:
§Ĩ chøng minh 1
MN MB MC
> + ta thử biến đổi t−ơng đ−ơng:
1 1
MN MB MC
> + ⇔MB MC. >MN MB.( +MC) (1) Mặt khác tam giác ABC cân A nên
AB=ACAB= ACAMB= AMC
Mặt khác BAM = ∠NCM
~ ( )
BAM NCM g g
⇒△ △
MB AM
MN MC
MB MC AM MN
⇒ =
⇔ =
Thay vµo (1) ta ®−ỵc AM MN >MN MB.( +MC)
AM MB MC
⇔ > +
Vậy để chứng minh 1
MN MB MC
(7)Đến ta nhớ lại toán quen thuộc:
"Tam giác ABC nội tiếp (O) M điểm cung nhỏ BC CMR:
MA=MB+MC."
Tất nhiên áp dụng kết vào toán ban đầu cách dựng tam giác AB'C' nội tiếp (O)
Trªn AM lÊy E cho ME=B'M Do ∠B ME' = ∠B C A' ' =60o
Suy tam giác B'ME
' ' '( 60 )o
EB M AB C
⇒∠ = ∠ =
' ' '
AB E C B M
⇒∠ = ∠
' ' ( )
AB E BC M g c g
⇒△ =△
'
' '
AE MC
AM AE EM B M C M
⇒ =
⇒ = + = +
Mặt khác B'M>BM, C'M>CM nên AM=B'M+C'M>BM+CM Từ cú pcm
II Các loại đờng phụ:
Sau số loại đờng phụ thờng gặp:
1 Kéo dài đoạn thẳng cho tr−ớc với độ dài tuỳ ý, độ
dµi cho trớc, cắt đờng thẳng khác Ví dụ:
Cho tam giác ABC Trên trung tuyến AM lấy điểm K khác A,M Qua M lần lợt kẻ đờng thẳng song song với KB, KC giao AC, AB F, E CMR: EF//BC (**)
Giải:
Kéo dài CK, BK cắt AB, AC P, Q
EM, FM đờng trung bình tam giác BPC, BQC
(8)Ta cã AP AK AQ
PE KM QF
= =
AP PE AQ QF
PE QF
+ +
⇔ =
hay AE AF
EB FC
=
/ /
EF BC
⇒ (Ta-lét đảo) (đpcm)
2 Nối hai điểm cho tr−ớc hai điểm cố định (gồm trung điểm
đoạn thẳng cố định), điểm nằm đoạn thẳng cho tr−ớc cách đầu đoạn thẳng khoảng cho tr−ớc)
VÝ dơ:
Ta xÐt l¹i toán (**)
Cách 2:
Gọi EM BK ={ },P FM ∩CK ={ }Q Gäi I lµ trung ®iĨm AK Nèi PI, QI, PQ
DƠ dµng cã MQ, MP đờng trung bình tam giác BKC nªn KQ=QC=1
2KC, KP=BP= 2BK
Suy PQ đg trung bình tam giác BKC
/ /
PQ BC
⇒ (1)
Mặt khác PI, QI lần lợt đờng trung bình tam giác AKB, AKC nên PI//AB, QI//AC
EP AI FQ
PM IM QM
⇒ = = (định lý Ta-lét)
/ /
PQ EF
⇒ (Ta-lét đảo) (2)
(9)3. Tõ mét ®iĨm cho tr−íc dùng ®−êng song song víi mét ®−êng th¼ng cho
tr−ớc, dựng đ−ờng song song với đ−ờng, mà ta cần chứng minh đ−ờng song song với đ−ờng
Ví dụ: Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Chứng minh MA, MB, MC độ dài cạnh tam giác
Nhận xét: Nhiệm vụ tìm tam giác có độ dài cạnh MA, MB, MC
Để tạo tam giác qua M ta kẻ PQ, KH, EF lần l−ợt // AB, AC BC Do tam giác ABC nên tứ giác APME, PMHC, HMEB hình thang cân
Suy AM=EP, BM=EH, CM=PH
Vậy MA, MB, MC độ dài cạnh tam giác EPH
4 Từ điểm cho trớc hạ đờng vuông góc xuống đờng thẳng
cho trớc
(10)Giải:
Kẻ FN, EMBC cắt BE, CF Q, P Do FN// AD// EM suy ra:
FQ AH EP FQ FN
FN AD EM EP EM
= = ⇒ = FQ AH EP FQ FN
FN AD EM EP EM
= = ⇒ =
vµ DN HF FQ
DM HP EP
= =
Do DN FN
DM EM
=
Suy △DNF ∼△DME c g c( )
NDF MDE
⇒∠ = ∠ , mặt khác ADBC
FDA= EDA, hay DA phân giác góc FDE
Tơng tự FC, EB lần lợt phân giác góc DFE, FED Vậy H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF (đpcm)
5. Dựng đờng phân giác góc cho tr−íc
VÝ dơ:
(11)Giải:
Dựng phân giác BD góc B
2
( )
ABD ACB
BAD CAB g g
AD AB
AB AC
AB AC AD
⇒∠ = ∠
⇒
⇒ =
⇒ =
△ ∼△
Mặt khác theo tính chất đờng phân giác mét tam gi¸c:
2 2 2
AD AB AD AD AB
DC BC AD DC AC AB BC
AB AC AD
AB BC AB AC
AD AC AB
AB BC AC
AB AB BC
AC AB AB BC
= ⇒ = = + + ⇒ = + ⇒ = = + ⇔ = + ⇔ = +
hay 2
b =c +ac (đpcm)
6 Dựng đờng thẳng qua điểm cho trớc hợp thành với đờng
thẳng kh¸c mét gãc b»ng gãc cho tr−íc
(12)Suy nghĩ: Đối với toán chứng minh hệ thức dạng ab+cd=ef, thông th−ờng ta chia f thành tổng m+n, chứng minh ab=em,cd=en nhờ tam giác đồng dạng Trong toán này, ta chia AC thành đoạn nhỏ tạo đ−ợc tam giác đồng dạng Muốn phải có góc đ−ờng phụ cần vẽ đoạn DE cho ADB= EDC E( AC)
Giải: Lấy điểm E trªn AC cho ∠ADB= ∠EDC Ta cã : BDA
△ ~△CDE (g.g)
BD BA
CD CE
= (2 cặp cạnh tỉ lệ)
BD CE CD BA
⇒ = (1)
Do ∠ADB= ∠EDC⇒∠ADE= ∠BDC ADE
⇒△ ~△BDC(g.g)
AD AE
BD BC
⇒ =
AD BC BD AE
⇒ = (2)
Tõ (1)(2) ⇒AB CD +AD BC =BD EC +BD AE =BD AC (®pcm)
VÝ dơ 2:
(13)Giải:
Do ADC> Bnên AC lấy đợc điểm E cho ADE= B
~ ( )
BAD DAE g g
⇒△ △
AB AD
AD AE
⇒ =
2
AD AB AE AB AC
⇒ = < (®pcm)
7. Tõ mét ®iĨm cho tr−íc, dùng tiÕp tun víi ®−êng trßn cho tr−íc
VÝ dơ 1:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Các đờng cao BH,CK CMR: AO KH⊥
(14)Để chứng minh AO KH⊥ , ta tạo đ−ờng thẳng song song với KH vng góc với AO, khơng khó khăn nhận thấy tiếp tuyến Ax (O)
Gi¶i: Dùng tiÕp tuyÕn Ax (O) AxAO (1) Tứ giác BKHC nội tiếp nênAKH = HCB
Mặt khác xAB góc tạo tiếp tuyến dây cung xAB= HCB
xAB AKH
⇒∠ = ∠
ADB EDC
∠ = Ax/ /KH (2)
Từ (1)(2) ta đợc ®pcm
Ví dụ 2: Điểm A cố định nằm (O,
2
BC )
( ) { }, ( ) { }
AB∩ O = D AC O = E Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Giải:
PhÇn thuËn:
Nèi DM Ta cã ∠DMA= ∠DEA= ∠ABC Suy tø gi¸c BDMO néi tiÕp
AD AB AM AO
⇒ =
KỴ tiÕp tuyÕn AT Ta cã AT2=AD.AB=AM.AO
AT AM
AO
(15)Do M cố định
VËy O' thuéc trung trùc [AM] Giíi h¹n:
Khi đ−ờng kính BC chuyển động (O) O' chuyển động trung trực [AM]
Phần o:
Giả sử M điểm thoả mOn AM AT2 AO =
( ) { }, ( ) { }
AB∩ O = D AC∩ O = E Dựng đờng tròn (O') ngoại tiếp tam giác ADM Ta chøng minh E∈( ')O
ThËt vËy AM AT2 AO
= ⇒ AM AO. = AT2 =AD AB. Suy tø gi¸c BDMO néi tiÕp
ABO DMA AED
⇒∠ = ∠ = ∠
⇒ tø gi¸c ADME néi tiÕp ⇒ E thuéc (O') (đpcm)
Kết luận:
Quỹ tích tâm O' trung trực [AM]
8.Bài cho hai đờng tròn tiếp xúc nhau, ta dựng đợc tiếp tuyến
chung đờng nối tâm
(16)Giải:
Kẻ tiếp tuyến chung Ax đờng tròn
Dựa vào hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung ta có:
CAx BDA CEA
∠ = ∠ = ∠
Suy BD//CE (hai góc đồng vị (đpcm) Ví dụ 2:
(O) tiÕp xóc (O') t¹i I Kẻ tiếp tuyến chung AB (A, B tiếp điểm) CMR: 90o
AIB =
Giải:
Kẻ tiếp tuyến chung IM (M∈AB) Dựa vào tính chất tiếp tuyến cắt ta đ−ợc AM=IM=BM, ∠AIB=90o (đpcm)
9 Bµi cho hai đờng tròn giao nhau, kẻ đợc dây cung chung
VÝ dơ:
Cho tam gi¸c ABC nội tiếp (O) I điểm thuộc cung BC không chứa A Vẽ (O1) (O2) qua O lần lợt tiếp xúc với AB, AC B, C
1
(17)Gi¶i:
Kẻ dây cung IK chung hai đờng tròn
Theo tÝnh chÊt cđa gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyến dây cung ta có
,
xBI BKI yCI CKI
∠ = ∠ ∠ = ∠
Mặt khác tứ giác ABIC nội tiếp nên: xBI ACI
∠ = ∠
Mµ ∠ACI+ ∠yCI =180o 180o
BKI CKI
⇒∠ + ∠ =
Vậy B, K, C thẳng hàng (đpcm)
10 Nếu tứ giác nội tiếp đờng tròn, ta cã thĨ dùng ®−êng
trịn ngoại tiếp tứ giác Ví dụ:
(18)Suy nghĩ: Để tìm điểm cố định ta vẽ vài vị trí M nhận thấy điểm K nằm đ−ờng vng góc kẻ từ C với BC ∠OKC=90o
Gi¶i:
Gäi Q trung điểm BC Tứ giác OMCQ nội tiếp nên dựng (I,
2
OC ) ngoại tiếp tứ giác OMCQ
QI giao (I) K Ta chứng minh H, M, K thẳng hàng Thật
/ /
180o
MH AB A QMC QKC
AMH KQC KMC
AMH AMK AMK KMC
⇒∠ = ∠ = ∠
⇒ = ∠ = ∠
⇒∠ + ∠ = ∠ + ∠ =
Suy H, M, K thẳng hàng
Mặt khác K đối xứng với Q qua I, mà Q, I cố định nên K cố định Vậy MH ln qua điểm cố định K
11 Bµi cho điểm nằm đờng tròn, vẽ thêm đờng kính
qua im ú
(19)Suy nghÜ:
Các tổng bình ph−ơng gợi cho nghĩ đến định lý Py-ta-go áp dụng tam giác vng Tuy nhiên để n hình vẽ khơng thể áp dụng đ−ợc Vì ta vẽ thêm đ−ờng kính để tạo tam giác vng có hai cạnh góc vng hai cạnh đối tứ giác ABCD, cạnh huyền có độ dài khơng đổi (tính theo R)
Gi¶i:
Kẻ đ−ờng kính AE Nối CE,DE Ta có ∠ACE=90o CE//BD (cùng
vuông góc với AC)
Tứ giác BCED hình thang nội tiếp đờng tròn nên BC=DE Suy BC2+AD2=DE2+AD2=AE2=4R2
T−¬ng tù AB2+CD2=4R2
Vậy AB2+BC2+CD2+DA2=8R2 khơng đổi (đpcm)
(20)Giải:
Kéo dài AI giao (O) D Kẻ đờng kính DE (O) Nối CD Kéo dài OI cắt (O) M,N Hạ IH AB
Chứng minh đợc AHI ECD (g.g)
IH ED AI DC
⇒ =
Mặt khác DIC= IAC+ ICD= ICB+ BCD= ICD suy tam giác IDC cân D
2 ( )( )
ID DC
AI DC AI ID IM IN R OI R OI R OI
⇒ =
⇒ = = = − + = −
Do 2
2
2
IH ED Rr R OI
OI R Rr
= = −
⇒ = −
12 Vận dụng phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, tịnh tiến
VÝ dơ:
(21)Gi¶i:
Gäi N điểm tuỳ ý d
Ly A' đối xứng với A qua d Nối A'B giao d M Nối AM Ta có AN+NB=A'N+NB ≥ A'B=A'M+MB=AM+MB
DÊu b»ng x¶y N≡M
Vậy điểm N cần tìm giao điểm A'B với d (A' điểm đối xứng với A qua d)
NhËn xÐt:
Điểm A' đO giúp làm cho đ−ờng gấp khúc ANB đỡ "gOy" hơn, giúp việc tìm điểm N trở nên thuận lợi
13. Vẽ thêm hình đặc biệt (tam giác đều, hình vng sử dụng tính
chất hình Ví dụ:
Dùng liªn tiếp hình vuông ABCD, BEFC, EGHF Chứng minh
45o
AED AGD
(22)Suy nghÜ:
Hai góc AED AGD d−ờng nh− khơng liên quan đến Vì ta phải tạo góc 45o tổng hai góc Để có góc 45o, ta phải có
tam gi¸c vuông cân Giải:
Dng hỡnh vuụng ABNM D dàng có △DMN =△GBN c g c( ) ta có
DN=GN vµ ∠MND= ∠BNG DNG
vuông cân N
Mặt khác GBN =△EAD c g c( ) nªn ∠BGN = ∠AED VËy ∠AED+ ∠AGD= ∠NGB+ ∠AGD=45o (®pcm)
Chó ý:
Thay dựng hình vng ABNM, bạn tạo hình vng khác dựng cạnh CD, CF, FH Từ có cách giải thú vị
III Chó ý vÏ ®−êng phơ:
1 Mn ®−êng phơ giúp ích cho việc chứng minh vẽ đờng phụ ph¶i
có mục đích, khơng nên vẽ tuỳ tiện Nếu khơng chẳng giúp đ−ợc cho việc chứng minh, lại làm cho hình vẽ trở nên rối ren, hoa mắt, khó tìm cách giải
2 Vẽ đờng phụ phải tuân theo phép dựng hình Những đờng
(23)Trở lại toán (*)
Nếu thay cách nói "lấy trung ®iĨm N cđa AB" b»ng c¸c c¸ch nãi sau: +VÏ trung trực MN đoạn AB
+Qua M kẻ MN song song víi AB cho BN=AN +KỴ MN⊥AB cho NA=NB
thì khơng hợp lý Trong cách nói thứ nhất, M ch−a thuộc trung trực đoạn AB, cịn cách nói thứ thứ ch−a xác định đ−ợc đ−ờng có qua trung điểm AB hay khơng, trái với phép dựng hình
3 Có đ−ờng phụ vẽ thêm đ−ờng đó, nh−ng cách
dựng khác nên cách chứng minh khác
Nh− toán (**), thay cách vẽ "từ M dựng MN//BC" phải sử dụng định lý đ−ờng trung bình tam giác để suy NA=NB, thay "từ M dựng MN⊥AB" phải sử dụng quan hệ vng góc song song để suy MN//AC chứng minh NA=NB Thực tr−ờng hợp nào, MN