Một số tính chất số học của hệ số Nhị thức

K¸t qu£ r§t m¤nh sau cõa Jacopsthal, l  mð rëng ành lþ Wolstenholm, tæi ÷a ra v  khæng chùng minh... Cho sè nguy¶n tè p.[r]

MËT SÈ TNH CH‡T SÈ HÅC CÕA CC H› SÈ NHÀ THÙC

Nguy¹n Song Minh∗ Ng y 11 th¡ng n«m 2017

Tâm t­t nëi dung

é bi viát ny, tổi trẳnh by mởt số kián thực bờ trủ, cĂc kát quÊ sỡ cĐp v cỡ bÊn nhĐt và chừ à "Tẵnh chĐt số håc cõa c¡c h» sè nhà thùc" v  câ mët số bi têp minh hoÔ

Mưc lưc

1 C¡c ki¸n thùc cì b£n

1.1 Khai triºn Newton v  c¡c h» sè nhà thùc

1.2 Nhâm ìn v  nghàch £o modulo

1.3 nh lỵ Fermat-Euler v nh lỵ Wilson

1.4 ành gi¡ p-adic

1.5 nh lỵ Lucas 12

1.6 nh lỵ Wolstenholm 12

2 Mët sè b i to¡n minh håa 15

3 B i tªp 27

Mð ¦u

C¡c h» sè nhà thùc l  c¡c h» sè sau khai triºn cõa a thùc (x+ 1)n, mởt khai trin cỡ bÊn

Ôi số sỡ cĐp Viằc phĂt hiằn v tẳm hiu cĂc tẵnh chĐt số hồc thú v cừa cĂc hằ số nh thực, vẳ thá rĐt tỹ nhiản v cõ lch sỷ di lƠu Số Hồc CĂc kát quÊ kinh in và chừ à ny, thoÔt nhẳn rĐt sỡ cĐp v tững chứng ch àp thiáu hỳu dửng ToĂn Hồc hiằn Ôi Tuy nhiản trản thỹc tá, viằc tẳm hiu và cĂc tẵnh chĐt số hồc cừa cĂc hằ số nh thực văn ữủc tiáp tửc v ph¡t triºn Cỉng vi»c n y em ¸n nhúng k¸t qu£ Ưy ỵ nghắa Số Hồc, ngoi cỏn cõ nhỳng õng gõp rĐt hỳu ẵch cho Tờ Hủp, XĂc SuĐt, GiÊi Tẵch p-adic hay nhỳng lắnh vỹc cừa Ôi số hiằn Ôi nhữ Ôi Số Hopf, Ôi Số Steenrod

1 C¡c ki¸n thùc cì b£n

Ð mưc ny, tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ s bÔn ồc l hồc sinh dng tiáp cên chừ Ã Những trữợc tiản, bÔn ồc hÂy ỵ án cĂc kỵ hiằu v quy ữợc dữợi Ơy

CĂc quy ữợc v kỵ hiằu

Suốt bi viát ny, tổi sỷ dửng cĂc kỵ hiằu vợi ỵ nghắa ữủc quy ữợc thống nhĐt nhữ sau:

ã gcd(a; b): ìợc số chung lợn nhĐt cừa a; bZ ã lcm(a; b): Bởi số chung lợn nhĐt cừa a; b Z

ã m-a: Số nguyản a khổng chia hát cho số nguyản m (vợi m6= 0)

ã bxc: Số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ số thỹc x (phƯn nguyản cừa x)

ã {x}: PhƯn l cừa số thỹc x, tực l {x}=x bxc ã amb: Náu a≡b (mod m)

• a

b

m

≡c

d: N¸u a b v 

c

d viát dữợi dÔng tối giÊn lƯn lữủt l a0 b0 v 

c0 d0 vỵi a

0d0≡mb0c0.

ã P: Têp hủp chựa tĐt cÊ cĂc số nguyản tố

ã ordm(a): CĐp cừa số nguyản a theo mod m (vỵi m∈Z∗ v  gcd(a; m) = 1), iÃu ny

cõ nghắa ordm(a) l số nguyản dữỡng k nhọ nhĐt thoÊ mÂn ak m

1 ã

n k

= n¸u k; n∈N v  k > n cán

0

=

1.1 Khai triºn Newton v  c¡c h» sè nh thực Vợi n k

l số cĂc têp cõ k phƯn tỷ cừa mởt têp cõ n phƯn tỷ, ta cõ khai trin sau

nh lỵ 1.1 (Khai trin Newton) Cho n l số nguyản dữỡng, â ta câ khai triºn

(x+y)n=

n + n

xyn−1+ .+

n n−1

xn−1y+

n n

xn

Tæi khæng trẳnh by chựng minh cho khai trin trản, vẳ bÔn åc câ thº xem c¡c c¡ch chùng minh khai triºn õ sĂch giĂo khoa Ch lữu ỵ l cõ mởt trữớng hủp riảng cừa khai trin trản ta rĐt hay sû dưng, â l  vỵiy = ta câ

(x+ 1)n =

n + n

x+ .+

n n−1

xn−1+

n n

xn

Nh¼n v o khai triºn n y, ta thĐy

n k

chẵnh l  h» sè cõa xk sau khai triºn cõa a thùc

(x+ 1)n, â ng÷íi ta gåi chóng l cĂc hằ số nh thực TĐt nhiản, chúng Ãu l cĂc số tỹ

nhiản Cỏn sau Ơy, l mët sè ¯ng thùc cì b£n cõa c¡c h» sè nhà thùc Vỵi k ∈N, n∈Z+ v  k ≤n ta câ

n k

= n!

k!(n−k)!

2 Vỵi k ∈N, n∈Z+ v  k ≤n ta câ

n k = n n−k

3 Vỵi c¡c số tỹ nhiản k; n bĐt ký ta cõ

n k + n k+

=

n+

k+

4 Vợi cĂc số tỹ nhiản m; n; k â

n k m + n k−1

m + .+ n m k =

m+n k

5 Vợi cĂc số tỹ nhiản m; n; k tho£ m≥n≥k, â

n k m n = m k

m−k n−k

C¡c ¯ng thùc tr¶n câ th chựng minh rĐt ỡn giÊn bơng php ám, cho nản tổi khổng trẳnh by chựng minh Ơy Thay cho vi»c â, tỉi ÷a v  chùng minh chi tiát mởt nh lỵ liản quan án tẵnh chĐt số hồc cừa hằ số nh thực

nh lỵ 1.2 Số nguyản dữỡng p >1 l số nguyản tố v  ch¿

p|

p k

∀k= 1; p−1

Chùng minh Ta chia vĐn à cƯn quan tƠm, lm hai phƯn Náu p l mởt số nguyản tố, õ tứ cỉng thùc t½nh

p k

ta câ

k! (p−k)!

p k

=p! = (p−1)!.p p(∗)

M°t kh¡c, p l  mët sè nguy¶n tè n¶ngcd(j; p) = vợi mồi số nguyản dữỡngj < p

v k = 1; p1thẳ k!cũng vợi (pk)! l tẵch cĂc số nguyản dữỡng b hỡn p, cho

n¶n

gcd (k!; p) = gcd ((p−k)!;p) =

Tø (∗), ta câ

p|

p k

∀k= 1; p−1

2 Náu p l mởt hủp số, thá thẳ p =mn vỵi m; n ∈ Z+ v  m >1; n > 1, do m > 1 n¶n

nâ câ mët ữợc nguyản tốp no õ Giớ náu xÊy án sỹ ki»n p|

p k

k= 1; p1

Thá thẳ phÊi xÊy rap|

p p∗

, khai triºn

p p∗

ta câ

p(p−1) .(p−p∗+ 1)

p∗! p

i·u ny s dăn án

(p1) (p2) .(pp+ 1) p!

Do p! = (p1)!p, nản hằ dăn án viằc

(p1) (p2) .(pp+ 1) p

LÔi vẳp |p, cho nản lĐy ỗng ta s cõ ÷ñc

0p

∗

≡(−1)p∗−1

(p∗ −1)!

Vẳ p l mởt số nguyản tố, cỏn (p1)! l tẵch cĂc số nguyản dữỡng khổng vữủt quĂ

p cho nản ỗng phẵa trản khổng th xÊy ¸n Vªy, gi£ thi¸t ph£n chùng l  khỉng

thº x£y

1.2 Nhâm ìn v  nghàch £o modulo

Vỵi m ∈Z∗ v  a l số nguyản thoÊ mÂn gcd(a; m) = 1, theo nh lỵ Bzout s tỗn tÔi cĂc

số nguyản k v  l cho

ka+lm=

L§y ỗng theo mod m, ta thĐy s tỗn tÔi a0 =k cho aa0≡m1 Ta cơng d¹ d ng kiºm

chùng r¬ng gcd(a0; m) = gcd(k; m) = Nhữ vêy, ta cõ nh lỵ sau Ơy

nh lỵ 1.3 Cho m l số nguyản khĂc 0, õ vợi a l mởt số nguyản nguyản tố

nhau vợi m s luổn tỗn tÔi số nguyản a0 nguyản tố vợi m thoÊ mÂn aa0m1

Số nguyản a0 nh lỵ trản cỏn gåi l  nghàch £o cõa a theo mod m T§t nhiản,

náu a0 l mởt nghch Êo cừa a theo mod m th¼ s³ câ vỉ sè c¡c nghàch Êo nhữ thá v mồi

nghch Êo cừaa theo mod mlúc õ Ãu cõ dÔng a0+tmvợi t Z CĂc nghch Êo modulo

cõ ỵ nghắa quan trồng xỷ lỵ ngữủc cĂc tẵch ỗng dữ, hay nõi khĂc i l cĂc phữỡng trẳnh dÔng

axmb

BƠy giớ, náu ta xt trữớng hủp m > v têp hủp cĂc số nguyản dữỡng khổng vữủt quĂ m

v nguyản tố vợi m l 

Rm =

r ∈Z+: r≤m; gcd(r; m) = 1

VÃ bÊn chĐt,Rm chẵnh l têp hủp tĐt cÊ cĂc số cõ th ta lĐy mởt số nguyản anguyản

tố vỵi m em chia cho m

Vỵi a; b Rm, thẳ ró rng gcd(ab; m) = nản sè d÷ cõa ab chia m s³ thuëc Rm Do

õ trản Rm, náu ta nh nghắa php to¡n hai ngỉi ◦ bði quy t­c cho t÷ìng ùng mët c°p

(a; b)∈ R2

m vỵi a◦b ∈ Rm l  sè d÷ chiam cõa ab Ta dng kim tra cp (Rm, )s

tÔo thnh mët nhâm giao ho¡n vỵi ìn l  1, tùc l  câ c¡c kh¯ng ành sau • a◦b∈ Rm ∀a; b∈ Rm

• a◦(b◦c) = (a◦b)◦c∀a; b;c∈ Rm

• 1∈ Rm v  a◦1 =a∀a∈ Rm

• ∃a0 ∈ Rm : a◦a0 = 1∀a∈ Rm

• a◦b=b◦a∀a; b∈ Rm

Nhâm Rm vỵi ph²p to¡n ◦ nâi trản, ữủc gồi l nhõm ỡn v mod m Lỹc lữủng (cĐp) cừa

1.3 nh lỵ Fermat-Euler v nh lỵ Wilson

Vợi nhõm Rm  nõi án mửc trữợc v a Rm, ta xt

aRm={ar : r Rm}

Tứ nh lỵ 1.3, ta dng kim tra aRm =Rm lĐy tẵch tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ lÔi v ỵ tẵnh

giao ho¡n v  k¸t hđp cõa ph²p to¡n◦ ta câ (a◦a◦ .◦a)

| {z }

ϕ(m)l¦n

◦ Y

r∈Rm

r = Y

r∈Rm

(a◦r) = Y

r∈Rm

r

NhƠn vợi nghch Êo mod m cừa Q

rRm

r, v ỵ rơng abmab a; b Z s cõ

ữủc nh lỵ nời tiáng Số Hồc sỡ cĐp sau Ơy nh lỵ 1.4 (nh lỵ Euler) Cho m Z+, a

Z vỵi gcd(a; m) = 1, ϕ(m) l  sè cĂc số

nguyản dữỡng khổng vữủt quĂ m v nguyản tố vợi m, õ a(m)m1

Trong tr÷íng hđp m=p∈ P, ta câϕ(p) = p−1, ta cõ nh lỵ quen thuởc sau

nh lỵ 1.5 (nh lỵ Fermat) Cho số nguyản tố p v số nguy¶na tho£gcd(a; m) = 1,

â s³ x£y án ỗng thực

ap1p

Náu p l số nguyản tố, theo nh lỵ và nghich Êo modulo vợi mội r Rp s tỗn tÔi

nh§t r0 ∈ Rp cho rr0 p

≡1 Rã r ng, ch¿ câ hai sè r ∈ Rp câ nghàch £o mod p l  ch½nh

nâ, â l  r1 = v  r2 =p−1 Tø â Rp ={1; 2; ; p−1} \ {1; p−1} ÷đc chia l m c¡c

c°p ríi nhau(r;r0) cho rr0≡p LĐy tẵch tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ cừa Rp cõ nh lỵ sau

nh lỵ 1.6 (nh lỵ Wilson) Cho p l mởt số nguyản tố, õ

(p1)! 1p

nh lỵ Wilson trản ÷đc ph¡t biºu theo mod nguy¶n tè, tr÷íng hđp têng qu¡t

mod m vỵi m∈Z+, ta cơng câ ph¡t biºu mð rëng (xem b i to¡n ð ph¦n b i tªp)

1.4 ành gi¡ p-adic

Gi£ sû tĐt cÊ cĂc số nguyản tố ữủc sưp theo thự tỹ tông dƯn

2 = p1 < p2 = 3< p3 = 5< < pn <

Vợi mội số nguyản dữỡng n cho trữợc, theo nh lỵ cỡ bÊn cừa Số Hồc ta cõ biu diạn

thứa số nguyản tố n = Q

k∈Z+ pλk

duy nhĐt mởt số tỹ nhiản k l bêc cừa pk biu diạn õ Nõi mởt cĂch khĂc, vợi mởt số

nguyản tố p cho trữợc x¡c ành ÷đc mët h m ìn trà vp : Z+ → N bði quy t­c

vp(n) =λ â l bêc cừa ptrong biu diạn cừa n thứa số nguyản tố VÃ bÊn chĐt,

vp(n) = n¸u gcd(n;p) = 1, cán vp(n) = λ∈ Z+ náu nhữ p | n v p1+ - n th¡c triºn

h m n y tø Nl¶n Z, ta ch¿ cƯn quy ữợcvp(0) = +v vp(n) =vp(n)náu n Z+ Chúng

ta dng kim tra ữủc cĂc tẵnh chĐt cì b£n sau cõa h m vp

1 Vỵi k ∈N, th¼ vp(a) =k v  ch¿ a =pkq â gcd(p; q) =

2 Vỵi c¡c số nguyản a; b bĐt ký, a |b thẳ vp(a)vp(b)

3 Vợi cĂc số nguyản a; b bĐt ký ta cõ vp(ab) =vp(a) +vp(b)

4 Vợi số nguyản a v số tỹ nhiản m bĐt ký ta cõ vp(am) =mvp(a)

5 Vợi cĂc số nguyản a; b b§t ký, â

vp(a+b)≥min{vp(a); vp(b)}

v  vp(a)< vp(b) th¼ vp(a+b) = vp(a)

H mvp ho n to n cõ th thĂc trin lảnQ, nhớ viằc viát mội số hỳu tr nhữ giĂ tr cừa mởt

phƠn số dÔng a

b õ aZ, bZ

∗ cịng vỵi quy t­c

vp

a

b

=vp(a)−vp(b)

Vỵi ngỉn ngú ành giĂ p-adic, nh lỵ àp cừa Legendre dữợi Ơy, s giúp ẵch cho rĐt nhiÃu cĂc bi toĂn và tẵnh chĐt Số Hồc cừa cĂc hằ số nh thực

nh lỵ 1.7 (Legendre) Vợi n l mởt số nguyản dữỡng v pl số nguyản tố, giÊ sỷ k l số

tỹ nhiản thoÊ mÂn pk ≤n < pk+1 â

vp(n!) =

n p

+

n p2

+ .+

n pk

Chựng minh Trữợc hát ta cõ nhên xt rơng, náu m; n l cĂc số nguyản dữỡng thẳ

cĂc số nguyản dữỡng tứ án n s cõ jn m

k

bëi sè cõa m Do â, vỵi i l mởt số nguyản

dữỡng, thẳ số cĂc số nguyản dữỡng j khổng vữủt quĂ n m vp(j) = is³ l 

Ni =

n pi

−

n pi+1

Rã r ng

vp(n!) = n

X

j=1

vp(j) = k

X

i=1

V ỗng thới

n pk+1

= 0, cho n¶n

k

X

i=1

iNi =

n p

−

n p2

+

n p2

−

n p3

+ .+k

n pk

−

n pk+1

=

n p

+

n p2

+ .+

n pk

Nhúng lỵ l õ, cho ta iÃu cƯn chựng minh

Tứ nh lỵ Legendre, náu ta viát số nguyản dữỡng n= (am a1a0)p (theo cì sè p) ta s cõ

nh lỵ 1.8 Vợi p l số nguyản tố v n l mởt số nguyản dữỡng, giÊ sû n= (am a1a0)p

khi â ta s³ câ

vp(n!) =

n−(a0+a1+ .+am)

p1

Chựng minh Theo nh lỵ Legendre ta câ

vp(n!) =

n p

+

n p2

+ .+

n pm

= a1+a2p+ .+ampm−1

+ a2+a3p+ .+ampm−2

+ .+am

=a1+a2(1 +p) + .+am +p+ .+pm−1

= a1(p−1) +a2(p

2−1) + .+a

m(pm−1)

p−1 = a0+a1p+ .+amp

m−(a

0+a1+ .+am)

p−1

V  â, chẵnh l iÃu cƯn chựng minh

þ r¬ng

n k

= n!

k!(n−k)!, n¶n tø

vp

n!

k! (n−k)!

=vp(n!)−vp(k!)−vp((n−k)!)

chúng ta lÔi cõ ữủc nh lỵ rĐt hỳu dửng sau Ơy

nh lỵ 1.9 Vợi p l số nguyản tố l mởt số nguyản dữỡng thoÊ mÂn pm ≤n < pm+1

vỵi m∈N, gi£ sû k ∈N tho£ k ≤n â

vp

n k

=

m

X

j=1

n pj

−

k pj

−

n−k pj

1.5 nh lỵ Lucas

nh lỵ sau l mởt cổng cử trỹc tiáp xỷ lỵ cĂc ỗng theo modulo nguyản tố, liản quan án cĂc hằ số nh thực

nh lỵ 1.10 (nh lỵ Lucas) Cho c¡c sè tü nhi¶n a v  b, gi£ sû biºu di¹n cì sð p

cõa chóng l 

a=a0+a1p+ .+anpn

b =b0+b1p+ .+bnpn

Ð ¥y ai; bi ∈N v  ai; bi < p, õ cõ ỗng thực

a b

p

≡

a0

b0

a1

b1

an

bn

Chùng minh Tr¶n tr÷íng Zp câ(1 +x)p

i

= +xpi, bði th¸

(1 +x)a=

n

Y

i=0

1 +xpi

ai

=

n

Y

i=0

ai X

j=0

ai

j

xjpi

!

ỗng nhĐt hằ số cõa xb ¯ng thùc â, cho ta i·u c¦n chựng minh

CĂc m rởng cừa nh lỵ n y, xin xem ð b i b¡o "Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (18782014)" dăn link cuối bi viát ny

1.6 nh lỵ Wolstenholm

Trong cĂc ti li»u v· Sè Håc, c¡c ph¡t biºu c¡c ành lỵ tứ 1.11 án 1.14 m tổi trẳnh by dữợi Ơy Ãu cõ tản gồi chung l nh lỵ Wolstenholm

nh lỵ 1.11 Cho p P v p > 3, â +

2+

3+ .+ +

p−1

p2

≡0

Chùng minh Chóng ta câ

2

p−1

X

k=1

1

k

!

=

p−1

X

k=1

1

k +

1

p−k

=p

p−1

X

k=1

1

k(p−k)

!

(1)

Vợi k Z+ vk < p, náu kỵ hiằu k l  nghàch £o cõa k theo mod pth¼ rã r ng

k

p

k vẳ thá

p−1

X

k=1

1

k(p−k)

p

≡

p−1

X

k=1

k(p−k)≡ −p

p−1

X

k=1

ỵ rơng 1; 2; ; (p−1)l  mët ho¡n cõa (1,2, , p−1) n¶n

p−1

X

k=1

k2 =

p−1

X

k=1

k2 = (p+ 1) (2p+ 1)

6 p (3)

Vỵi số nguyản tố p > thẳ (p+ 1)(2p+ 1)

6 ∈ Z, n¶n tø (1), (2), (3) v  gcd(2; p) = ta câ

i·u ph£i chùng minh

Dũng chẵnh suy luên trản, ta cụng cõ khng nh sau nh lỵ 1.12 Cho p P v p > 3, â

1 + 22 +

1

32 + .+ +

1 (p1)2

p

0

nh lỵ 1.13 Cho p∈ P v  p > 3, â

2p−1

p−1

p3

1

Chựng minh Sau bián ời, ta ữa iÃu c¦n chùng minh v· vi»c kh¯ng ành

(p+ 1) (p+ 2) .(2p−1)p

3

≡(p−1)!

X²t a thùc P(x) = (x+ 1)(x+ 2)(x+p−1)−(p−1)!, gi£ sû sau khai triºn ta câ

P (x) =a0+a1x+ .+ap−1xp−1

Thá thẳ

P(p) = (p+ 1) (p+ 2) .(2p−1)p

3

≡a0 +a1p+a2p2 (∗)

Rã r ng a0 = 0, cán

a1 = (p−1)!

p−1

X

k=1

1

k; a2 = (p−1)!

X

1≤k<l≤p−1

1

kl

Tứ nh lỵ 1.11 phƯn trản, ta cõ a1

p2

0v ỵ

X

1≤k<l≤p−1

1

kl =

p−1

X

k=1

1

k

!2

−

p−1

X

k=1

1

k2

!

Nản cụng tứ nh lỵ 1.11 v  1.12, ta câa2

p

≡0v  tø (∗) ta cõ ữủc iÃu cƯn chựng minh

nh lỵ 1.14 Cho p P v p > 3, õ vợi a; bZ+ thẳ

ap bp

p3

≡

a b

Chùng minh Gi£ sû câ a gõi kào, mội gõi l mởt loÔi khĂc v mội gõi cõ pchiác Ta

cƯn lĐy bp c¡i kµo tø a gâi â, â sè cĂch lĐy kào s l

ap bp

= X

0≤ki≤p

k1+k2+ +ka=bp

p k1

p k2

p ka

(Ch¿ sè ki têng tr¶n, chẵnh l số kào lĐy tứ gõi thự i)

Bði

p k

p

≡0n¸u 1≤k ≤p−1 cán

p

0

=

p p

= 1, n¶n

ap bp

ỗng (modp3) vợi tờng

cĂc hÔng tỷ

p k1

p k2

p ka

m  â câ nhi·u nh§t hai ch¿ sèki tho£1≤ki ≤p−1

õ cụng l số cĂch lĐy kào, m khổng cõ quĂ hai loÔi kào ữủc lĐy vợi số kào (ki) kh¡c

ho°c p Ta s³ x²t sè cĂch lĐy kào kiu õ

Vẳ tờng số kào ữủc lĐy l số cừa p (l bp), nản khổng th cõ úng mởt loÔi kào vợi số

kào ữủc lĐy khĂc 0v p Vêy cõ hai khÊ nông lĐy kào, m khổng cõ quĂ hai loÔi kào ữủc

lĐy vợi số kào khĂc hoc pnhữ sau

ã Náu cõ úng hai loÔi kào vợi số kào ữủc lĐy khĂc 0v p, tờng số kào hai loÔi õ phÊi

lp số kào mội loÔi cỏn lÔi l 0hoc p (tống số l bp) Số cĂch lĐy kào kiu ny l

a

2

a−2

b−1

p−1 X

i=1

p i

p p−i

=

a

2

a−2

b−1

2p p

−2

=

a

2

a−2

b−1

2p−1

p−1

−1

p3

≡0

ã Náu khổng cõ loÔi kào no cõ số kào ữủc lĐy khĂc v p, thẳ mội gõi a gâi

â ho°c l  chån t§t ho°c khổng ữủc chồn Vêy số cĂch chẵnh l số cĂch chånb gâi kµo

tøa gâi kµo, l 

a b

Ta câ iÃu cƯn chựng minh, tứ nhỳng lỵ l trản

Kát quÊ rĐt mÔnh sau cừa Jacopsthal, l m rởng nh lỵ Wolstenholm, tổi ữa v khổng chựng minh BÔn ồc cõ th tẳm hiu chựng minh cừa nõ bi "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients" ữủc dăn link cuối bi viát ny

nh lỵ 1.15 Cho số nguyản tố p >5 v hai số nguyản dữỡng a; b, â

ap bp

pm

≡

a b

Trong â m= +vp(a2b−ab2) +vp

a b

2 Mët sè b i to¡n minh håa

Sau ¥y, l  mởt số bi toĂn minh hoÔ cho chừ Ã

Bi toĂn (Kvant) Cho cĂc số nguyản dữỡng m; n nguy¶n tè cịng nhau, â

m n

s³ chia h¸t cho m

Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sau

n

m n

=m

m−1

n−1

Do â, n

m n

s chia hát cho m Những gcd(m; n) = cho n¶n

m n

s chia hát cho m

Tữỡng tỹ lới giÊi bi toĂn trản Ơy, ta cõ lới giÊi cho b i to¡n ìn gi£n sau B i to¡n Chùng minh rơng náu m l số nguyản dữỡng thẳ

(m+ 1) |

2m m

Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sau

(2m+ 1)

2m m

= (m+ 1)

2m+

m+

Do â,(2m+ 1)

2m m

s³ chia h¸t chom+ Nh÷nggcd(2m+ 1; m+ 1) = gcd(m;m+ 1) =

cho n¶n

2m m

s³ chia h¸t cho m+

Tứ bi toĂn vứa giÊi quyát, ta thĐy giĂ trà cõa Cm =

1

m+

2m m

s³ l  mët số nguyản Xt và bÊn chĐt tờ hủp, thẳ nõ l  sè Catalan thùm, tùc l  sè c¥y nhà ph¥n ¦y õ câ m+ l¡

V  i·u â, công câ thº coi l  c¡ch chùng minh thù hai cho bi toĂn trản Bi toĂn Chựng minh rơng náu p l số nguyản tố v k = 0; p−1 th¼

p−1

k

p

Líi gi£i Ta câ bi¸n êi sau

(−1)k

p−1

k

= (−1)

k(p−1)(p−2) .(p−k)

k!

Vỵi ≤ k ≤ p−1, v  rk l  sè d÷ cõa k! chia p thá thẳ gcd(k!; p) = nản rk Rp

ỗng thới

(1)k

p1

k

rk p

≡(−1)

k(p−1)(p−2) .(p−k)

k! k!

p

≡(−1)k(p−1)(p−2) .(p−k) p

≡(−1)k.(−1).(−2) .(−k) p

≡rk

NhƠn cÊ hai vá vợi nghch Êo modp cừa rk, ta câ i·u c¦n chùng minh

Ba bi toĂn Ưu tiản trản Ãu l cĂc b i to¡n ìn gi£n, tỉi ÷a vøa º khði ëng vøa º l m c¡c bê · cho c¡c b i toĂn phực tÔp hỡn phẵa sau

Bi toĂn (Kvant) Cho a;b; n l cĂc số nguyản dữỡng thoÊ m¢n < a; b < n Chùng

minh r¬ng

gcd

n a

,

n b

>1

Lới giÊi Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sỷa b, ỵ ng thực sau

n a

n b

=

b a

n−a n−b

Bði v¼ < a ≤ b < n n¶n

b a

<

n a

, cho n¶n tø ¯ng thực trản ta thĐy phƠn số

n a

n b

chữa th l phƠn số tối giÊn, cho nản cõ ữủc iÃu cƯn chựng minh

Bi toĂn (John Berman) Cho p∈ P v  p >2, a l  số nguyản thoÊ ordp(a) = Chựng

minh rơng

a−a

2

2 +

a3

3 − · · · −

ap−1

p−1

p

Líi gi£i Tø b i to¡n v  ¯ng thùc p

p−1

k−1

=k p k

ta câ (−1)k−1p

k p2 ≡ p k

, bði vªy

p

p−1

X

k=1

(−1)k−1ak

k p2 ≡ p−1 X k=1 p k !

ak p

≡(a+ 1)p−ap−1

Nhªn x²t r¬ng p >3 v  gi£ sû r l  nghi»m cừa phữỡng trẳnh x2+x+ = 0, ta cõ 2p23 2

n¶n tø r2 =−(r+ 1) ta câ

(r+ 1)prp1 =r2prp1 =

Chữa hát, xt P(x) = (x+ 1)p−xp −1 =p

−1 P k=1 p k

xk v  p|

p k

nản P(x) s cõ mởt nhƠn

tû l  a thùc p∗(x) = (x2+x+ 1)p tø â nhí p|(a2+a+ 1) ta câ

P (a) = (a+ 1)p −ap−1p

2

≡0 (4)

Tø ¥y ta câ i·u c¦n chùng minh

B i to¡n (AMM) Cho số nguyản tố p v số nguyản dữỡng n Gi£ sû h» cì sè pta

câ biu diạn n = (n0n1 nm)p Chựng minh rơng, c¡c sè

n ; n ; ; n n sè c¡c bëi sè cõap l 

n+ 1−(1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm)

Lới giÊi VÃ bÊn chĐt bi toĂn, ta cƯn chùng tä c¡c sè

n ; n ; ; n n sè c¡c sè khỉng chia h¸t chop l  (1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm) Thªt vªy, gi£ sû p

n k

lóc â ta biºu diạn k = (k0k1 km)p, theo nh lỵ Lucas ta s³ câ

n k p ≡ n0 k0 n1 k1 nm km , (∗)

Bi vẳ ni < p, cho nản p

ni

ki

vỵi måi ki ∈ N v  ki ≤ ni Cán vỵi ki ∈ N v ki > ni thẳ

s xÊy án vi»c p |

ni

ki

= Do vêy, tứ () ta thĐy º x£y vi»c p

n k

th¼ méi ki câ

1 +ni cĂch chồn Nguyản lỵ nhƠn cho ta số cĂc h» sè

n k

khỉng chia h¸t cho pl 

(1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm)

B i to¡n Cho trữợc số nguyản dữỡng n, tẳm gcd n ; n ; ; n n−1

Líi gi£i Gi£ sû gcd

n ; n ; ; n n−1

= d Khi â n¸u d > v p l ữợc

nguyản tố bĐt ký cõa d Lóc â

n = n n

= cho n¶n sè c¡c bëi sè cõa p c¡c

h» sè

n k

vỵi k = 0; n l  n−1 N¸u ta vi¸t n = (n0n1 nm)p theo h» cì sè p, th¼ tø b i

to¡n ta câ

(1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm) =

Ta ỵn0 1vni Ncho nản iÃu õ ch xÊy án v ch n0 = v ni = ∀i >1

Tùc l n=pm vợi m

Z+, vêy ta cõ kát luên sau

ã Náun =pm vợi p l số nguyản tố v mZ+ thẳ

gcd n ; n ; ; n n−1

=p

ã Náun = hoc cõ ẵt nhĐt hai ữợc nguyản tố thẳ gcd n ; n ; ; n n−1

=

B i to¡n (AMM) Chựng minh rơng vợi n l số nguyản dữỡng th¼

lcm n ; n ; ; n n

= lcm (1; 2; ; n; n+ 1)

n+

Líi gi£i Ta s³ i chùng minh

(n+ 1) lcm

n ; n ; ; n n

= lcm (1; 2; ; n; n+ 1) ; (∗)

Tø ành lỵ Legendre, ta thĐy rơng

n k

khổng th cõ ữợc nguyản tố lợn hỡn n Do vêy, náu pl mởt ữợc nguyản tố bĐt ký cừa vá trĂi hay vá phÊi cừa ng thùc (∗) th¼ p≤n+ Lóc

â ta gi£ sû r∈Z+ tho£

pr ≤n+ 1< pr+1

Rã r ng vp(lcm (1; 2; ; n; n+ 1)) =r, v vợi mn+ ta lÔi cõ

vp m k = r X j=1 m pj − k pj −

m−k pj

Vẳ thá, náu pr+1 |(n+ 1)

n k

th¼ tø c¡c ¯ng thùc

(n+ 1)

n k

= (k+ 1)

n+

k+

= (n−k+ 1)

n+

n−k+

Ta cõ p l ữợc nguyản tố chung cừa n+ 1; k+ v  n−k+ 1, i·u â l  khæng thº bði (n−k+ 1) + (k+ 1)−(n+ 1) =

Vêy, náu l l bêc cừa p phƠn tẵch thứa số nguyản tố cừa vá trĂi cừa () thẳ l r

iÃu õ kát hủp vợi pr l ữợc cừa (n+ 1)

n pr−1

=pr.

n+

pr

, s³ cho ta l=r

B i to¡n (Vi»t Nam TST 2010) GiÊ sỷ Sn l tờng bẳnh phữỡng cĂc hằ sè sau khai triºn

cõa (x+ 1)n Chùng minh r¬ng

3-(1 +S2n) ∀n ∈Z+

Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sauSn = n

P

k=0

n k

2

=

2n n

Cho n¶n cæng vi»c quy v· chùng tä

3

1 +

4n

2n

∀n ∈Z+

Gi£ sû h» tam phƠn, ta cõ biu diạn 2n= (n0n1 nm)3; ()

ã Náuni {0; 1} i= 0; m, thá thẳ4n = (N0N1 Nm)3 vợiNi = 2ni ỵ l

Ni

ni

=

n¸u ni = v 

Ni

ni

= n¸u ni = 0, nản náu gồi k l số cĂc số1 biu diạn(), ta cõ

k chđn v theo nh lỵ Lucas ta cõ

1 +

4n

2n

3

≡ + 2k≡3 Tùc l  tr÷íng

hñp n y +

4n

2n

khæng thº l  bëi sè cõa

ã Náu cõ mởt sốni = 1, ta giÊ sỷ j l ch số lợn nhĐt cho nj = Khi Đy biu

diạn tam phƠn cõa 4n th¼ Nj = 1, tø â

Nj

nj

= v  theo nh lỵ Lucas lÔi cõ

1 +

4n

2n

3

1

Tứ cĂc trữớng hủp  xt, ta cõ i·u c¦n chùng minh

B i to¡n 10 (VMO 2017) Chùng minh r¬ng: P1008

k=1 k

2017

k

20172

≡

2 P504

k=1(−1)

k

2017

k

20172

≡ (22016−1)

Líi gi£i Ta câ k

2017

k

= 2017

2016

k−1

cho n¶n

1008

X

k=1

k

2017

k

= 2017

1008

X

k=1

2016

k−1

; (1)

M°t kh¡c, 2017 l  sè nguy¶n tè cho n¶n

2016

k−1

=

2017−1

k−1

2017

≡(−1)k−1

Do vªy

1008

X

k=1

2016

k−1

2017

≡

1008

X

k=1

(−1)k−1 2017≡ 0; (2)

Tø (1) v  (2) ta cõ iÃu cƯn chựng minh

2 Ta sđn câ nhúng i·u hiºn nhi¶n l  2017 |(22016−1), v  2017 |

2017

k

k Z+, k <2017

Vẳ thá m bi toĂn quy v· vi»c kh¯ng ành

504

X

k=1

(−1)k−1

2017

2017

k

2017

≡ −32

2016 1

2017 ; ()

LÔi thĐy l

k

2017

2017

k

=

2016

k−1

2017

≡(−1)k−1

Do â tø nh lỵ Fermat b, ta cõ

(1)k

2017

2017

k

2017

≡ −k2015 ∀k ∈Z+, k <2017

Gåi v¸ trĂi cừa ()l L, ta ỵ 220162017 1 theo nh lỵ Fermat b ta cõ

L2017

504

X

k=1

k2015 2017≡ 2×

504

X

k=1

(2k)2015 2017≡

504

X

k=1

(2k)2015−

504

X

k=1

Vá phÊi cừa() chẵnh l

R=−3

2016

X

k=1 2017

k

2017

!

=−3

2016

X

k=1 2016

k−1

k

!

Cho nản náu ỵ (20172k)20152017 (2k)2015 k= 1; 1008, ta s cõ

R2017≡

2016

X

k=1

(−1)kk2015 2017≡

1008

X

k=1

(2k)2015

ỗng thới

3

1008

X

k=1

(2k)2015 =

1008

X

k=1

(2k)2015 + 22016

1008

X

k=1

(k)2015

2017

≡

1008

X

k=1

(k)2015 −

1008

X

k=1

(20172k)2015; (ii)

Ta lÔi cõ ¯ng thùc sau

504

X

k=1

(2k)2015−

504

X

k=1

(2017−2k)2015 =

1008

X

k=1

(k)2015−

1008

X

k=1

(2017−2k)2015; (iii)

Tø (i), (ii) v  (iii) ta câ i·u c¦n chùng minh

B i to¡n 11 (Vi»t Nam TST 2017) Vỵi mội số nguyản dữỡng n, t xn =

2n n

Chùng minh rơng náu 2017k

2 < n < 2017

k vợi k l số nguyản dữỡng no õ thẳ x n l 

bëi cõa 2017

2 T¼m tĐt cÊ số nguyản dữỡng h >1 tỗn tÔi cĂc số nguyản dữỡng N, T cho xn+T xn (mod h)∀n > N

Líi gi£i

1 Theo nh lỵ Legendre ta cõ

v2017(xn) = k

X

i=1

2n

2017i

−2j n 2017i

k

= +

k−1

X

i=1

2n

2017i

−2j n 2017i

k

ỵ rơng, vợi mồi số thỹc x ta luæn câ

b2xc −2bxc ≥0

2 Do h >1 nản nõ cõ ữợc nguyản tố, giÊ sỷ p l ữợc nguyản tố lợn nhĐt cõa h Gåi T

l  chu ký nhä nh§t ựng vợin lợn, ta viátT =pmT0 (trong õ gcd(T0; p) = 1) theo

nh lỵ Lucas cõ

2n n p ≡

2pmn pmn

p

≡

2pmn+ 2T pmn+T

p

≡

2(n+T0)pm

(n+T0)pm

p

≡

2n+T0 n+T0

Vªy m= 0, gií n¸up l´ v  T vi¸t theo h» cì sèp câr chỳ số thẳ vợi số nguyản dữỡng R lợn (R > r) thẳ lÔi theo nh lỵ Lucas s câ

p ≡

2pR

pR

p

≡

2pR+ 2T

pR+T

p ≡ 2T T Tùc l  2T T p

≡1v  tø õ vợi K lợn thẳ

2KT KT

= 1, nh÷ng dogcd(T; p) = nản

tỗn tÔi K lợn cho p| (KT + 1) iÃu õ kát hủp vợi viằc (KT + 1)|

2KT KT

(bi toĂn 2), dăn án iÃu vổ lỵ l 1≡p

Vªy p= tùc l  h= 2k (k Z+), lÔi vẳT l v tữỡng tỹ lỵ luên tr¶n chån K sao cho

h| (n+KT + 1) s³ câ

2n n h ≡

2n+ 2KT n+KT

h

≡0 vỵi måi n lợn Giớ chồn n = 2N

thẳ sè c¡c sè

n k

l´ (k ∈N; k ≤n) l  n¶n s³ câ

2n n

≡2 (mod 4) Tø â, k =

tùc h=

Vợi h= 2, thẳ ró rng

2n n

chđn vợi mồin Vêy nản kát quÊ lh=

Bi toĂn 12 (Iran TST 2012) Tẳm cĂc số nguyản dữỡng n cho vỵi måi k; l tho£

0≤k; l ≤n th¼

k+l≡2

n k + n l

Líi gi£i Vỵi 0≤k;l ≤n, gi£ sû ta cõ cĂc biu diạn nh phƠn m rởng n = (n0n1 nm)2

k = (k0k1 km)2

l = (l0l1 lm)2

Chú ỵ rơngn0 = 1, cĂc hằ số ki; lj cõ th bơng tÔi bĐt ký ch số no Theo nh lỵ

Lucas chóng ta câ

k+l≡2 km+lm

Ta thĐy rơng ỗng trản, kát quÊ ch phử thuởc km; lm, õ náu tỗn tÔi ch sè

i < mn o â tho£ ni = th¼ ta chånki =li =lm = v km = 0lóc â s³ khỉng x£y (∗)

Vªy, n0 =n1 = .=nm1 = 1, lÔi cõ nm =

0 + 1≡2

n

0

+

n

1

2

≡n+

Vªy ta cõ n= (111 10)2 = 2m+22

Ngữủc lÔi n¸u m = 2m+2 −2, lóc â n

i = n = 0; m1, cho nản vợi ki; li {0; 1}

tuý ỵ ta luổn câ

ni

ki

=

ni

li

=

Riảng vẳ nm = v â

nm

km

+

nm

lm

=

0

km

+

0

lm

= (1−km) + (1−lm)

2

≡km+lm

Tø õ, xÊy ()

Vêy, tĐt cÊ cĂc số cƯn tẳm cõ dÔng n= 2m+22vợi m

N

Bi toĂn 13 (IMO Shortlist 2007) Cho số nguyản dữỡng k ≥2, chùng minh r¬ng

v2

2k+1

2k

−

2k

2k−1

= 3k

Líi giÊi Vợi số nguyản dữỡngn kỵ hiằu (2n1)!! = 1.3 .(2n−1) v  (2n)!! = 2.4 .2n

Ta câ ¯ng thùc sau

2k+1

2k

−

2k

2k−1

=

2k

2k−1

!! (2k)!





2k−1 Y

i=1

2k+i

−

2k−1 Y

i=1

2ki

Theo nh lỵ Legendre ta câ v2 2k

!= 2k−1v  2k−1

!! l´, cho n¶n

v2

22k

2k−1

!! (2k)!

!

= 2k− 2k−1

=

X²t a thùc h» sè nguy¶n P(x) =

2k−1 Q

i=1

(x+i)−

2k−1 Q

i=1

(x−i), ta th§y P(x) l  mởt hm l v

vẳ thá s tỗn tÔi a thực hằ số nguyản Q(x) v hơng sốC ZthoÊ

Trong â

C = 2k−1!!

2k−1

X

i=1

1

2i−1 =

k 2k−1

!!

2k−1

X

i=1

1

(2i−1) (2k−2i+ 1)

Chúng ta ỵ rơng nhõm ỡn v R2k gỗm tĐt cÊ cĂc số l b hỡn 2k, náu ta kỵ hiằu

ri l nghch Êo cừa ri = 2i−1 th¼

2k−1!! (2i−1) (2k−2i+ 1)

2k

ri2

Khi ta cho ri chÔy khưp R2k thẳ ri cụng thá, vêy nản

2k1!!

2k−1

X

i=1

1

(2i−1) (2k−2i+ 1)

2k

≡ −

2k−1

X

i=1

ri22

k

≡ −2k−1

4k−1

3

i·u n y cho ta v2(C) = k+k−1 = 2k−1, cho n¶n

v2





2k−1 Y

i=1

2k+i−

2k−1 Y

i=1

2k−i



=v2 P 2k

=v2 C.2k

= 3k−1

V¼ th¸

v2

2k+1

2k

−

2k

2k−1

= + 3k−1 = 3k

B i to¡n 14 (IMO Shortlist 2012) T¼m c¡c sè nguyản dữỡng m2sao cho vợi số nguyản

dữỡng n bĐt ký thoÊ mÂn m

3 n

m

2 th¼

n m−2n

n

Líi gi£i Gi£ sû m l  số nguyản dữỡng thoÊ yảu cƯu, ta xt ba trữớng hủp

1 Náu m l mởt hủp số chđn, lúc õ viát m= 2k v vợi n =k s thĐy khổng thoÊ mÂn

2 Náu m l mởt hđp sè l´, ta vi¸t m = p(2k + 1) õ p l ữợc nguyản tố cừa m (tĐt nhiản p l) cỏn k l mởt số nguyản dữỡng Chån n = pk, õ tho£ iºu ki»n

m

3 ≤n≤

m

2 Do

n m−2n

n n¶n n

n m−2n

∈Z, nh÷ng

n

n m−2n

=

pk

pk p

= (pk−1).(pk−2) .(pk−p+ 1)

p!

Nhữ vêy s dăn án iÃu vổ lỵ l 

3 N¸u m l  sè nguyản tố, ta thĐy rơng tứn < m v m P m  câ gcd(m−2n; n) = gcd(m; n) =

N¶n theo b i to¡n ta câ n |

n m−2n

Vêy, nhỳng số m thoÊ mÂn l tĐt cÊ cĂc sè nguy¶n tè

B i to¡n 15 (IMO Shortlist 2014) Vợi mội số thỹc x, ta kỵ hiằu kxk l khoÊng cĂch tứ x

án số nguyản gƯn x nhĐt Chựng minh rơng vợi cĂc số nguyản dữỡng a; b luổn tỗn tÔi số

nguyản tố p v số nguyản dữỡng k thoÊ

a pk + b pk +

a+b pk =

Líi gi£i Sè nguy¶n gƯn xnhĐt ró rng l

x+

, n¶nkxk=

x−

x+

Khỉng m§t

tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ ab v xt phƠn sè

M =

2a+ 2b a+b

2a a 2b b =

(2a+ 2b−1) (2a+ 2b−3) .(2a+ 1) 1.3 .(2b−1)

Ta thĐy M >1, nhữ thá náu viát dÔng tối giÊn thẳ tỷ số cừa nõ s l mët sè l´ lỵn hìn 1,

tû sè â cõ ẵt nhĐt mởt ữợc nguyản tố l l p Tứ nh lỵ Legendre ta cõ

0< vp(M) =

∞

X

k=1

2a+ 2b pk

−2

a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk

Nhữ vêy, phÊi tỗn tÔi k Z+ sao cho

2a+ 2b pk

−2

a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk

>0; (1)

ỵ r¬ng

0≤ b2xc −2bxc=

x+1

− bxc ≤1

Cho n¶n

2a+ 2b pk

−2

a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk

≤1; (2)

Tứ (1) v(2) ta dăn án

2a+ 2b pk

−2

a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk

DĐu bơng cừa cĂc Ănh giĂ ny xÊy án v  ch¿

2a+ 2b pk

−2

a+b pk

= 1, cán

2a pk −2 a pk = 2b pk −2 b pk

=

Nh÷ng

x+

− bxc= v  ch¿ {x} ≥

2, cán {x}< th¼

x+

− bxc=

Nhữ vêy, ta phÊi cõ ữủc cĂc ¡nh gi¡

a+b pk ≥ > a pk ; b pk

LÔi thĐy rơng {x} ≥ th¼ kxk=

x−

x+

=|x− bxc −1|= +bxc −x

Cán {x}<

2 th¼

kxk=

x−

x+

=|x− bxc|=x− bxc

i·u â, k¸t hđp vỵi

a+b pk = a pk + b pk (bði a pk ; b pk <

2) cho ta

a pk + b pk +

a+b pk

= +

a+b pk

− a+b

pk +

a pk −

a pk

+ b

pk −

b pk

=

3 B i tªp

B i tªp Cho m l  mởt số nguyản dữỡng, ngữới ta lĐy tẵch tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡng

khổng vữủt quĂ m v nguyản tố vợi m cõ số Qm (và bÊn chĐt thẳQm tẵch tĐt

cÊ cĂc phƯn tû cõa Rm)

1 Chùng minh r¬ng ho°c l  Qm m

≡1ho°c Qm m

≡ −1

2 Tẳm iÃu kiằn cƯn v vợi m Qm m

1

3 Tẳm iÃu kiằn cƯn v  õ vỵi m º Qm m

≡ −1

Bi têp Chựng minh rơng náu m; n l cĂc số nguyản dữỡng thẳ

m+n m

|

2m m

2n n

Bi têp Chựng minh rơng náu m; n l cĂc số nguyản dữỡng v m > n th¼

gcd

m n

;

m+

n

; ;

m+n n

=

B i têp Chựng minh rơng, số cĂc số l b§t cù dáng n o cõa tam gi¡c Pascal ·u l  luÿ thøa cõa

B i tªp Cho n l số nguyản dữỡng l, chựng minh rơng

(8n+ 4)|

4n

2n

Bi têp Chựng minh rơng náu pl số nguyản tố v n l số nguyản dữỡng thẳ

n p

p

≡

n p

B i tªp Chựng minh rơng náu pl số nguyản tố l thẳ

2p + 1−

p

X

k=0

p k

p+k k

p2

B i tªp Cho số nguyản tố p5, chựng minh rơng

 p−1

2

X

k=0

p k

3k



2p+ p2

Bi têp Cho số nguyản tố p Tẳm iÃu kiằn cƯn v vợi số nguyản dữỡngn cho

gcd

p;

n

1

= gcd

p;

n

2

= .= gcd

p;

n n−1

B i tªp 10 (IMO Shortlist 2008) Cho số nguyản dữỡng n > 1, chựng minh rơng têp tĐt

cÊ cĂc số cừa cĂc số

2n−1

0

;

2n−1

1

;

2n−1

2

; ;

2n−1

2n−1−1

khi chia 2n l  tªp

R={1; 3; ; 2n−1}

B i tªp 11 Cho p l  số nguyản tố l, chựng minh rơng

p

X

j=0

p j

p+j j

≡2p+ (mod p2)

Bi têp 12 Chựng minh rơng vợi n l số nguyản dữỡng thẳ

lcm (1; 2; ; 2n)

2n n

Bi têp 13 Cho p l số nguyản tố cõ dÔng p = 4k+ 3, cỏn T;M l cĂc sè nguy¶n tho£

gcd(M; T) = v 

1 02+ 1 +

1

12+ 1 + .+

1

(p−1)2+ =

T M

Tẳm số cừa T chia cho p

Bi têp 14 Cho p l số nguyản tố, k l số nguyản dữỡng l cho (p1)-(k+ 1) Gi£

sû T; M l  c¡c sè nguy¶n tho£ gcd(M;T) = v 

1k +

1

2k + .+

1 (p−1)k =

T M

Tẳm số cừa T chia cho p2.

Bi têp 15 Cho số nguyản tố l p Vợi mội số nguyản a, nh nghắa Sa = p−1

X

j=1

aj

j Gi£ sû m; n ∈Zthäa m¢n S3+S4−3S2 =

m

n Chựng minh rơng p chia hát m

B i tªp 16 Cho A;B l  c¡c sè nguy¶n tho£

1

2005.2017 + +

1

2005.2017 + + .+

1

2005.2017 + 2016 =

A B

Chùng minh rơngA 20172.

Bi têp 17 Cho p l sè nguy¶n tè l´ v q = 3p−5 , °t

Sq =

1 2.3.4 +

1

5.6.7+· · ·+

1

q.(q+ 1).(q+ 2)

Gi£ sûm; n l  c¡c sè nguy¶n nguy¶n tè cịng cho

p−2Sq = m

Bi têp 18 XĂc nh số nguyản dữỡngk cho tỗn tÔi vổ số cĂc số nguyản dữỡngn tho£

m¢n

2n n

(n+k)

B i tªp 19 Cho p l  mët số nguyản tố l, chựng minh rơng cĂc khng nh sau Ơy l

tữỡng ữỡng: Tỷ số cừa

1+

2+ .+

p−1 chia h¸t cho p

3.

2 Tû sè cõa

12 +

1

22 + .+

1

(p−1)2 chia h¸t cho p

2.

3

2p−1

p−1

≡1 (mod p4)

B i tªp 20 (nh lỵ Chebyshev v nh lỵ Sylvester) Chựng minh c¡c kh¯ng ành sau: N¸u n l  mët sè nguyản dữỡng thẳ

n

2n

2n n

2 Náu n l mởt số nguyản dữỡng thẳvp

2n n

≤2n

3 Vỵi p l số nguyản tố l, v số nguyản dữỡng n tho£ 2n

3 < p≤n th¼ p

2n n

4 Vợi số thỹc x3 bĐt ký, náu kỵ hiằu#(x)l tẵch tĐt cÊ cĂc số nguyản tố khổng vữủt

quĂ xthẳ #(x)<22x3

5 Vợi số nguyản dữỡng n >1 bĐt ký, luổn tỗn tÔi số nguyản tố pthoÊ mÂn n < p <2n

6 Vợi cĂc số nguyản d÷ìng m v  n tho£ m ≥n, â ln tỗn tÔi số nguyản tố p > n

sao cho p|

m+n n

4 Nguỗn tham khÊo

[1] David M Burton: "Elementary Number Theory"

http://drive.nguyensong.net/2016/10/11/m-elementary-number-theory-cua-d-burton/ [2] Andrew Granville: "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients"

www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/paper/binomial/html/binomial.html [3] Romeo Mestrovic: "Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (18622012)"

https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf

[4] Romeo Mestrovic: "Lucas' theorem: Its generalizations, extensions and applications (18782014)"

https://arxiv.org/pdf/1409.3820.pdf

[5] G H Hardy, E M Wright: "An Introduction to Theory of Numbers." http://drive.nguyensong.net/2016/10/24/theory-of-numbers-hardy-e-wright/ [6] Di¹n  n Mathscope

www.mathscope.org [7] Di¹n  n Mathlinks www.mathlinks.ro

[8] Di¹n  n Mathoverflow www.mathoverflow.net/

http://drive.nguyensong.net/2016/10/11/m-elementary-number-theory-cua-d-burton/ www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/paper/binomial/html/binomial.html https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf https://arxiv.org/pdf/1409.3820.pdf http://drive.nguyensong.net/2016/10/24/theory-of-numbers-hardy-e-wright/ www.mathscope.org www.mathlinks.ro www.mathoverflow.net/