K¸t qu£ r§t m¤nh sau cõa Jacopsthal, l mð rëng ành lþ Wolstenholm, tæi ÷a ra v khæng chùng minh... Cho sè nguy¶n tè p.[r]
(1)MËT SÈ TNH CHT SÈ HÅC CÕA CC H SÈ NHÀ THÙC
Nguy¹n Song Minh∗ Ng y 11 th¡ng n«m 2017
Tâm tt nëi dung
é bi viát ny, tổi trẳnh by mởt số kián thực bờ trủ, cĂc kát quÊ sỡ cĐp v cỡ bÊn nhĐt và chừ à "Tẵnh chĐt số håc cõa c¡c h» sè nhà thùc" v câ mët số bi têp minh hoÔ
(2)(3)Mưc lưc
1 C¡c ki¸n thùc cì b£n
1.1 Khai triºn Newton v c¡c h» sè nhà thùc
1.2 Nhâm ìn v nghàch £o modulo
1.3 nh lỵ Fermat-Euler v nh lỵ Wilson
1.4 ành gi¡ p-adic
1.5 nh lỵ Lucas 12
1.6 nh lỵ Wolstenholm 12
2 Mët sè b i to¡n minh håa 15
3 B i tªp 27
(4)(5)Mð ¦u
C¡c h» sè nhà thùc l c¡c h» sè sau khai triºn cõa a thùc (x+ 1)n, mởt khai trin cỡ bÊn
Ôi số sỡ cĐp Viằc phĂt hiằn v tẳm hiu cĂc tẵnh chĐt số hồc thú v cừa cĂc hằ số nh thực, vẳ thá rĐt tỹ nhiản v cõ lch sỷ di lƠu Số Hồc CĂc kát quÊ kinh in và chừ à ny, thoÔt nhẳn rĐt sỡ cĐp v tững chứng ch àp thiáu hỳu dửng ToĂn Hồc hiằn Ôi Tuy nhiản trản thỹc tá, viằc tẳm hiu và cĂc tẵnh chĐt số hồc cừa cĂc hằ số nh thực văn ữủc tiáp tửc v ph¡t triºn Cỉng vi»c n y em ¸n nhúng k¸t qu£ Ưy ỵ nghắa Số Hồc, ngoi cỏn cõ nhỳng õng gõp rĐt hỳu ẵch cho Tờ Hủp, XĂc SuĐt, GiÊi Tẵch p-adic hay nhỳng lắnh vỹc cừa Ôi số hiằn Ôi nhữ Ôi Số Hopf, Ôi Số Steenrod
1 C¡c ki¸n thùc cì b£n
Ð mưc ny, tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ s bÔn ồc l hồc sinh dng tiáp cên chừ Ã Những trữợc tiản, bÔn ồc hÂy ỵ án cĂc kỵ hiằu v quy ữợc dữợi Ơy
CĂc quy ữợc v kỵ hiằu
Suốt bi viát ny, tổi sỷ dửng cĂc kỵ hiằu vợi ỵ nghắa ữủc quy ữợc thống nhĐt nhữ sau:
ã gcd(a; b): ìợc số chung lợn nhĐt cừa a; bZ ã lcm(a; b): Bởi số chung lợn nhĐt cừa a; b Z
ã m-a: Số nguyản a khổng chia hát cho số nguyản m (vợi m6= 0)
ã bxc: Số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ số thỹc x (phƯn nguyản cừa x)
ã {x}: PhƯn l cừa số thỹc x, tực l {x}=x bxc ã amb: Náu a≡b (mod m)
• a
b
m
≡c
d: N¸u a b v
c
d viát dữợi dÔng tối giÊn lƯn lữủt l a0 b0 v
c0 d0 vỵi a
0d0≡mb0c0.
ã P: Têp hủp chựa tĐt cÊ cĂc số nguyản tố
ã ordm(a): CĐp cừa số nguyản a theo mod m (vỵi m∈Z∗ v gcd(a; m) = 1), iÃu ny
cõ nghắa ordm(a) l số nguyản dữỡng k nhọ nhĐt thoÊ mÂn ak m
1 ã
n k
= n¸u k; n∈N v k > n cán
0
=
(6)1.1 Khai triºn Newton v c¡c h» sè nh thực Vợi n k
l số cĂc têp cõ k phƯn tỷ cừa mởt têp cõ n phƯn tỷ, ta cõ khai trin sau
nh lỵ 1.1 (Khai trin Newton) Cho n l số nguyản dữỡng, â ta câ khai triºn
(x+y)n=
n + n
xyn−1+ .+
n n−1
xn−1y+
n n
xn
Tæi khæng trẳnh by chựng minh cho khai trin trản, vẳ bÔn åc câ thº xem c¡c c¡ch chùng minh khai triºn õ sĂch giĂo khoa Ch lữu ỵ l cõ mởt trữớng hủp riảng cừa khai trin trản ta rĐt hay sû dưng, â l vỵiy = ta câ
(x+ 1)n =
n + n
x+ .+
n n−1
xn−1+
n n
xn
Nh¼n v o khai triºn n y, ta thĐy
n k
chẵnh l h» sè cõa xk sau khai triºn cõa a thùc
(x+ 1)n, â ng÷íi ta gåi chóng l cĂc hằ số nh thực TĐt nhiản, chúng Ãu l cĂc số tỹ
nhiản Cỏn sau Ơy, l mët sè ¯ng thùc cì b£n cõa c¡c h» sè nhà thùc Vỵi k ∈N, n∈Z+ v k ≤n ta câ
n k
= n!
k!(n−k)!
2 Vỵi k ∈N, n∈Z+ v k ≤n ta câ
n k = n n−k
3 Vỵi c¡c số tỹ nhiản k; n bĐt ký ta cõ
n k + n k+
=
n+
k+
4 Vợi cĂc số tỹ nhiản m; n; k â
n k m + n k−1
m + .+ n m k =
m+n k
5 Vợi cĂc số tỹ nhiản m; n; k tho£ m≥n≥k, â
n k m n = m k
m−k n−k
(7)
C¡c ¯ng thùc tr¶n câ th chựng minh rĐt ỡn giÊn bơng php ám, cho nản tổi khổng trẳnh by chựng minh Ơy Thay cho vi»c â, tỉi ÷a v chùng minh chi tiát mởt nh lỵ liản quan án tẵnh chĐt số hồc cừa hằ số nh thực
nh lỵ 1.2 Số nguyản dữỡng p >1 l số nguyản tố v ch¿
p|
p k
∀k= 1; p−1
Chùng minh Ta chia vĐn à cƯn quan tƠm, lm hai phƯn Náu p l mởt số nguyản tố, õ tứ cỉng thùc t½nh
p k
ta câ
k! (p−k)!
p k
=p! = (p−1)!.p p(∗)
M°t kh¡c, p l mët sè nguy¶n tè n¶ngcd(j; p) = vợi mồi số nguyản dữỡngj < p
v k = 1; p1thẳ k!cũng vợi (pk)! l tẵch cĂc số nguyản dữỡng b hỡn p, cho
n¶n
gcd (k!; p) = gcd ((p−k)!;p) =
Tø (∗), ta câ
p|
p k
∀k= 1; p−1
2 Náu p l mởt hủp số, thá thẳ p =mn vỵi m; n ∈ Z+ v m >1; n > 1, do m > 1 n¶n
nâ câ mët ữợc nguyản tốp no õ Giớ náu xÊy án sỹ ki»n p|
p k
k= 1; p1
Thá thẳ phÊi xÊy rap|
p p∗
, khai triºn
p p∗
ta câ
p(p−1) .(p−p∗+ 1)
p∗! p
i·u ny s dăn án
(p1) (p2) .(pp+ 1) p!
Do p! = (p1)!p, nản hằ dăn án viằc
(p1) (p2) .(pp+ 1) p
LÔi vẳp |p, cho nản lĐy ỗng ta s cõ ÷ñc
0p
∗
≡(−1)p∗−1
(p∗ −1)!
Vẳ p l mởt số nguyản tố, cỏn (p1)! l tẵch cĂc số nguyản dữỡng khổng vữủt quĂ
p cho nản ỗng phẵa trản khổng th xÊy ¸n Vªy, gi£ thi¸t ph£n chùng l khỉng
thº x£y
(8)1.2 Nhâm ìn v nghàch £o modulo
Vỵi m ∈Z∗ v a l số nguyản thoÊ mÂn gcd(a; m) = 1, theo nh lỵ Bzout s tỗn tÔi cĂc
số nguyản k v l cho
ka+lm=
L§y ỗng theo mod m, ta thĐy s tỗn tÔi a0 =k cho aa0≡m1 Ta cơng d¹ d ng kiºm
chùng r¬ng gcd(a0; m) = gcd(k; m) = Nhữ vêy, ta cõ nh lỵ sau Ơy
nh lỵ 1.3 Cho m l số nguyản khĂc 0, õ vợi a l mởt số nguyản nguyản tố
nhau vợi m s luổn tỗn tÔi số nguyản a0 nguyản tố vợi m thoÊ mÂn aa0m1
Số nguyản a0 nh lỵ trản cỏn gåi l nghàch £o cõa a theo mod m T§t nhiản,
náu a0 l mởt nghch Êo cừa a theo mod m th¼ s³ câ vỉ sè c¡c nghàch Êo nhữ thá v mồi
nghch Êo cừaa theo mod mlúc õ Ãu cõ dÔng a0+tmvợi t Z CĂc nghch Êo modulo
cõ ỵ nghắa quan trồng xỷ lỵ ngữủc cĂc tẵch ỗng dữ, hay nõi khĂc i l cĂc phữỡng trẳnh dÔng
axmb
BƠy giớ, náu ta xt trữớng hủp m > v têp hủp cĂc số nguyản dữỡng khổng vữủt quĂ m
v nguyản tố vợi m l
Rm =
r ∈Z+: r≤m; gcd(r; m) = 1
VÃ bÊn chĐt,Rm chẵnh l têp hủp tĐt cÊ cĂc số cõ th ta lĐy mởt số nguyản anguyản
tố vỵi m em chia cho m
Vỵi a; b Rm, thẳ ró rng gcd(ab; m) = nản sè d÷ cõa ab chia m s³ thuëc Rm Do
õ trản Rm, náu ta nh nghắa php to¡n hai ngỉi ◦ bði quy tc cho t÷ìng ùng mët c°p
(a; b)∈ R2
m vỵi a◦b ∈ Rm l sè d÷ chiam cõa ab Ta dng kim tra cp (Rm, )s
tÔo thnh mët nhâm giao ho¡n vỵi ìn l 1, tùc l câ c¡c kh¯ng ành sau • a◦b∈ Rm ∀a; b∈ Rm
• a◦(b◦c) = (a◦b)◦c∀a; b;c∈ Rm
• 1∈ Rm v a◦1 =a∀a∈ Rm
• ∃a0 ∈ Rm : a◦a0 = 1∀a∈ Rm
• a◦b=b◦a∀a; b∈ Rm
Nhâm Rm vỵi ph²p to¡n ◦ nâi trản, ữủc gồi l nhõm ỡn v mod m Lỹc lữủng (cĐp) cừa
(9)1.3 nh lỵ Fermat-Euler v nh lỵ Wilson
Vợi nhõm Rm  nõi án mửc trữợc v a Rm, ta xt
aRm={ar : r Rm}
Tứ nh lỵ 1.3, ta dng kim tra aRm =Rm lĐy tẵch tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ lÔi v ỵ tẵnh
giao ho¡n v k¸t hđp cõa ph²p to¡n◦ ta câ (a◦a◦ .◦a)
| {z }
ϕ(m)l¦n
◦ Y
r∈Rm
r = Y
r∈Rm
(a◦r) = Y
r∈Rm
r
NhƠn vợi nghch Êo mod m cừa Q
rRm
r, v ỵ rơng abmab a; b Z s cõ
ữủc nh lỵ nời tiáng Số Hồc sỡ cĐp sau Ơy nh lỵ 1.4 (nh lỵ Euler) Cho m Z+, a
Z vỵi gcd(a; m) = 1, ϕ(m) l sè cĂc số
nguyản dữỡng khổng vữủt quĂ m v nguyản tố vợi m, õ a(m)m1
Trong tr÷íng hđp m=p∈ P, ta câϕ(p) = p−1, ta cõ nh lỵ quen thuởc sau
nh lỵ 1.5 (nh lỵ Fermat) Cho số nguyản tố p v số nguy¶na tho£gcd(a; m) = 1,
â s³ x£y án ỗng thực
ap1p
Náu p l số nguyản tố, theo nh lỵ và nghich Êo modulo vợi mội r Rp s tỗn tÔi
nh§t r0 ∈ Rp cho rr0 p
≡1 Rã r ng, ch¿ câ hai sè r ∈ Rp câ nghàch £o mod p l ch½nh
nâ, â l r1 = v r2 =p−1 Tø â Rp ={1; 2; ; p−1} \ {1; p−1} ÷đc chia l m c¡c
c°p ríi nhau(r;r0) cho rr0≡p LĐy tẵch tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ cừa Rp cõ nh lỵ sau
nh lỵ 1.6 (nh lỵ Wilson) Cho p l mởt số nguyản tố, õ
(p1)! 1p
nh lỵ Wilson trản ÷đc ph¡t biºu theo mod nguy¶n tè, tr÷íng hđp têng qu¡t
mod m vỵi m∈Z+, ta cơng câ ph¡t biºu mð rëng (xem b i to¡n ð ph¦n b i tªp)
1.4 ành gi¡ p-adic
Gi£ sû tĐt cÊ cĂc số nguyản tố ữủc sưp theo thự tỹ tông dƯn
2 = p1 < p2 = 3< p3 = 5< < pn <
Vợi mội số nguyản dữỡng n cho trữợc, theo nh lỵ cỡ bÊn cừa Số Hồc ta cõ biu diạn
thứa số nguyản tố n = Q
k∈Z+ pλk
(10)duy nhĐt mởt số tỹ nhiản k l bêc cừa pk biu diạn õ Nõi mởt cĂch khĂc, vợi mởt số
nguyản tố p cho trữợc x¡c ành ÷đc mët h m ìn trà vp : Z+ → N bði quy tc
vp(n) =λ â l bêc cừa ptrong biu diạn cừa n thứa số nguyản tố VÃ bÊn chĐt,
vp(n) = n¸u gcd(n;p) = 1, cán vp(n) = λ∈ Z+ náu nhữ p | n v p1+ - n th¡c triºn
h m n y tø Nl¶n Z, ta ch¿ cƯn quy ữợcvp(0) = +v vp(n) =vp(n)náu n Z+ Chúng
ta dng kim tra ữủc cĂc tẵnh chĐt cì b£n sau cõa h m vp
1 Vỵi k ∈N, th¼ vp(a) =k v ch¿ a =pkq â gcd(p; q) =
2 Vỵi c¡c số nguyản a; b bĐt ký, a |b thẳ vp(a)vp(b)
3 Vợi cĂc số nguyản a; b bĐt ký ta cõ vp(ab) =vp(a) +vp(b)
4 Vợi số nguyản a v số tỹ nhiản m bĐt ký ta cõ vp(am) =mvp(a)
5 Vợi cĂc số nguyản a; b b§t ký, â
vp(a+b)≥min{vp(a); vp(b)}
v vp(a)< vp(b) th¼ vp(a+b) = vp(a)
H mvp ho n to n cõ th thĂc trin lảnQ, nhớ viằc viát mội số hỳu tr nhữ giĂ tr cừa mởt
phƠn số dÔng a
b õ aZ, bZ
∗ cịng vỵi quy tc
vp
a
b
=vp(a)−vp(b)
Vỵi ngỉn ngú ành giĂ p-adic, nh lỵ àp cừa Legendre dữợi Ơy, s giúp ẵch cho rĐt nhiÃu cĂc bi toĂn và tẵnh chĐt Số Hồc cừa cĂc hằ số nh thực
nh lỵ 1.7 (Legendre) Vợi n l mởt số nguyản dữỡng v pl số nguyản tố, giÊ sỷ k l số
tỹ nhiản thoÊ mÂn pk ≤n < pk+1 â
vp(n!) =
n p
+
n p2
+ .+
n pk
Chựng minh Trữợc hát ta cõ nhên xt rơng, náu m; n l cĂc số nguyản dữỡng thẳ
cĂc số nguyản dữỡng tứ án n s cõ jn m
k
bëi sè cõa m Do â, vỵi i l mởt số nguyản
dữỡng, thẳ số cĂc số nguyản dữỡng j khổng vữủt quĂ n m vp(j) = is³ l
Ni =
n pi
−
n pi+1
Rã r ng
vp(n!) = n
X
j=1
vp(j) = k
X
i=1
(11)V ỗng thới
n pk+1
= 0, cho n¶n
k
X
i=1
iNi =
n p
−
n p2
+
n p2
−
n p3
+ .+k
n pk
−
n pk+1
=
n p
+
n p2
+ .+
n pk
Nhúng lỵ l õ, cho ta iÃu cƯn chựng minh
Tứ nh lỵ Legendre, náu ta viát số nguyản dữỡng n= (am a1a0)p (theo cì sè p) ta s cõ
nh lỵ 1.8 Vợi p l số nguyản tố v n l mởt số nguyản dữỡng, giÊ sû n= (am a1a0)p
khi â ta s³ câ
vp(n!) =
n−(a0+a1+ .+am)
p1
Chựng minh Theo nh lỵ Legendre ta câ
vp(n!) =
n p
+
n p2
+ .+
n pm
= a1+a2p+ .+ampm−1
+ a2+a3p+ .+ampm−2
+ .+am
=a1+a2(1 +p) + .+am +p+ .+pm−1
= a1(p−1) +a2(p
2−1) + .+a
m(pm−1)
p−1 = a0+a1p+ .+amp
m−(a
0+a1+ .+am)
p−1
V â, chẵnh l iÃu cƯn chựng minh
þ r¬ng
n k
= n!
k!(n−k)!, n¶n tø
vp
n!
k! (n−k)!
=vp(n!)−vp(k!)−vp((n−k)!)
chúng ta lÔi cõ ữủc nh lỵ rĐt hỳu dửng sau Ơy
nh lỵ 1.9 Vợi p l số nguyản tố l mởt số nguyản dữỡng thoÊ mÂn pm ≤n < pm+1
vỵi m∈N, gi£ sû k ∈N tho£ k ≤n â
vp
n k
=
m
X
j=1
n pj
−
k pj
−
n−k pj
(12)
1.5 nh lỵ Lucas
nh lỵ sau l mởt cổng cử trỹc tiáp xỷ lỵ cĂc ỗng theo modulo nguyản tố, liản quan án cĂc hằ số nh thực
nh lỵ 1.10 (nh lỵ Lucas) Cho c¡c sè tü nhi¶n a v b, gi£ sû biºu di¹n cì sð p
cõa chóng l
a=a0+a1p+ .+anpn
b =b0+b1p+ .+bnpn
Ð ¥y ai; bi ∈N v ai; bi < p, õ cõ ỗng thực
a b
p
≡
a0
b0
a1
b1
an
bn
Chùng minh Tr¶n tr÷íng Zp câ(1 +x)p
i
= +xpi, bði th¸
(1 +x)a=
n
Y
i=0
1 +xpi
ai
=
n
Y
i=0
ai X
j=0
ai
j
xjpi
!
ỗng nhĐt hằ số cõa xb ¯ng thùc â, cho ta i·u c¦n chựng minh
CĂc m rởng cừa nh lỵ n y, xin xem ð b i b¡o "Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (18782014)" dăn link cuối bi viát ny
1.6 nh lỵ Wolstenholm
Trong cĂc ti li»u v· Sè Håc, c¡c ph¡t biºu c¡c ành lỵ tứ 1.11 án 1.14 m tổi trẳnh by dữợi Ơy Ãu cõ tản gồi chung l nh lỵ Wolstenholm
nh lỵ 1.11 Cho p P v p > 3, â +
2+
3+ .+ +
p−1
p2
≡0
Chùng minh Chóng ta câ
2
p−1
X
k=1
1
k
!
=
p−1
X
k=1
1
k +
1
p−k
=p
p−1
X
k=1
1
k(p−k)
!
(1)
Vợi k Z+ vk < p, náu kỵ hiằu k l nghàch £o cõa k theo mod pth¼ rã r ng
k
p
k vẳ thá
p−1
X
k=1
1
k(p−k)
p
≡
p−1
X
k=1
k(p−k)≡ −p
p−1
X
k=1
(13)ỵ rơng 1; 2; ; (p−1)l mët ho¡n cõa (1,2, , p−1) n¶n
p−1
X
k=1
k2 =
p−1
X
k=1
k2 = (p+ 1) (2p+ 1)
6 p (3)
Vỵi số nguyản tố p > thẳ (p+ 1)(2p+ 1)
6 ∈ Z, n¶n tø (1), (2), (3) v gcd(2; p) = ta câ
i·u ph£i chùng minh
Dũng chẵnh suy luên trản, ta cụng cõ khng nh sau nh lỵ 1.12 Cho p P v p > 3, â
1 + 22 +
1
32 + .+ +
1 (p1)2
p
0
nh lỵ 1.13 Cho p∈ P v p > 3, â
2p−1
p−1
p3
1
Chựng minh Sau bián ời, ta ữa iÃu c¦n chùng minh v· vi»c kh¯ng ành
(p+ 1) (p+ 2) .(2p−1)p
3
≡(p−1)!
X²t a thùc P(x) = (x+ 1)(x+ 2)(x+p−1)−(p−1)!, gi£ sû sau khai triºn ta câ
P (x) =a0+a1x+ .+ap−1xp−1
Thá thẳ
P(p) = (p+ 1) (p+ 2) .(2p−1)p
3
≡a0 +a1p+a2p2 (∗)
Rã r ng a0 = 0, cán
a1 = (p−1)!
p−1
X
k=1
1
k; a2 = (p−1)!
X
1≤k<l≤p−1
1
kl
Tứ nh lỵ 1.11 phƯn trản, ta cõ a1
p2
0v ỵ
X
1≤k<l≤p−1
1
kl =
p−1
X
k=1
1
k
!2
−
p−1
X
k=1
1
k2
!
Nản cụng tứ nh lỵ 1.11 v 1.12, ta câa2
p
≡0v tø (∗) ta cõ ữủc iÃu cƯn chựng minh
nh lỵ 1.14 Cho p P v p > 3, õ vợi a; bZ+ thẳ
ap bp
p3
≡
a b
(14)Chùng minh Gi£ sû câ a gõi kào, mội gõi l mởt loÔi khĂc v mội gõi cõ pchiác Ta
cƯn lĐy bp c¡i kµo tø a gâi â, â sè cĂch lĐy kào s l
ap bp
= X
0≤ki≤p
k1+k2+ +ka=bp
p k1
p k2
p ka
(Ch¿ sè ki têng tr¶n, chẵnh l số kào lĐy tứ gõi thự i)
Bði
p k
p
≡0n¸u 1≤k ≤p−1 cán
p
0
=
p p
= 1, n¶n
ap bp
ỗng (modp3) vợi tờng
cĂc hÔng tỷ
p k1
p k2
p ka
m â câ nhi·u nh§t hai ch¿ sèki tho£1≤ki ≤p−1
õ cụng l số cĂch lĐy kào, m khổng cõ quĂ hai loÔi kào ữủc lĐy vợi số kào (ki) kh¡c
ho°c p Ta s³ x²t sè cĂch lĐy kào kiu õ
Vẳ tờng số kào ữủc lĐy l số cừa p (l bp), nản khổng th cõ úng mởt loÔi kào vợi số
kào ữủc lĐy khĂc 0v p Vêy cõ hai khÊ nông lĐy kào, m khổng cõ quĂ hai loÔi kào ữủc
lĐy vợi số kào khĂc hoc pnhữ sau
ã Náu cõ úng hai loÔi kào vợi số kào ữủc lĐy khĂc 0v p, tờng số kào hai loÔi õ phÊi
lp số kào mội loÔi cỏn lÔi l 0hoc p (tống số l bp) Số cĂch lĐy kào kiu ny l
a
2
a−2
b−1
p−1 X
i=1
p i
p p−i
=
a
2
a−2
b−1
2p p
−2
=
a
2
a−2
b−1
2p−1
p−1
−1
p3
≡0
ã Náu khổng cõ loÔi kào no cõ số kào ữủc lĐy khĂc v p, thẳ mội gõi a gâi
â ho°c l chån t§t ho°c khổng ữủc chồn Vêy số cĂch chẵnh l số cĂch chånb gâi kµo
tøa gâi kµo, l
a b
Ta câ iÃu cƯn chựng minh, tứ nhỳng lỵ l trản
Kát quÊ rĐt mÔnh sau cừa Jacopsthal, l m rởng nh lỵ Wolstenholm, tổi ữa v khổng chựng minh BÔn ồc cõ th tẳm hiu chựng minh cừa nõ bi "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients" ữủc dăn link cuối bi viát ny
nh lỵ 1.15 Cho số nguyản tố p >5 v hai số nguyản dữỡng a; b, â
ap bp
pm
≡
a b
Trong â m= +vp(a2b−ab2) +vp
a b
(15)
2 Mët sè b i to¡n minh håa
Sau ¥y, l mởt số bi toĂn minh hoÔ cho chừ Ã
Bi toĂn (Kvant) Cho cĂc số nguyản dữỡng m; n nguy¶n tè cịng nhau, â
m n
s³ chia h¸t cho m
Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sau
n
m n
=m
m−1
n−1
Do â, n
m n
s chia hát cho m Những gcd(m; n) = cho n¶n
m n
s chia hát cho m
Tữỡng tỹ lới giÊi bi toĂn trản Ơy, ta cõ lới giÊi cho b i to¡n ìn gi£n sau B i to¡n Chùng minh rơng náu m l số nguyản dữỡng thẳ
(m+ 1) |
2m m
Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sau
(2m+ 1)
2m m
= (m+ 1)
2m+
m+
Do â,(2m+ 1)
2m m
s³ chia h¸t chom+ Nh÷nggcd(2m+ 1; m+ 1) = gcd(m;m+ 1) =
cho n¶n
2m m
s³ chia h¸t cho m+
Tứ bi toĂn vứa giÊi quyát, ta thĐy giĂ trà cõa Cm =
1
m+
2m m
s³ l mët số nguyản Xt và bÊn chĐt tờ hủp, thẳ nõ l sè Catalan thùm, tùc l sè c¥y nhà ph¥n ¦y õ câ m+ l¡
V i·u â, công câ thº coi l c¡ch chùng minh thù hai cho bi toĂn trản Bi toĂn Chựng minh rơng náu p l số nguyản tố v k = 0; p−1 th¼
p−1
k
p
(16)Líi gi£i Ta câ bi¸n êi sau
(−1)k
p−1
k
= (−1)
k(p−1)(p−2) .(p−k)
k!
Vỵi ≤ k ≤ p−1, v rk l sè d÷ cõa k! chia p thá thẳ gcd(k!; p) = nản rk Rp
ỗng thới
(1)k
p1
k
rk p
≡(−1)
k(p−1)(p−2) .(p−k)
k! k!
p
≡(−1)k(p−1)(p−2) .(p−k) p
≡(−1)k.(−1).(−2) .(−k) p
≡rk
NhƠn cÊ hai vá vợi nghch Êo modp cừa rk, ta câ i·u c¦n chùng minh
Ba bi toĂn Ưu tiản trản Ãu l cĂc b i to¡n ìn gi£n, tỉi ÷a vøa º khði ëng vøa º l m c¡c bê · cho c¡c b i toĂn phực tÔp hỡn phẵa sau
Bi toĂn (Kvant) Cho a;b; n l cĂc số nguyản dữỡng thoÊ m¢n < a; b < n Chùng
minh r¬ng
gcd
n a
,
n b
>1
Lới giÊi Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sỷa b, ỵ ng thực sau
n a
n b
=
b a
n−a n−b
Bði v¼ < a ≤ b < n n¶n
b a
<
n a
, cho n¶n tø ¯ng thực trản ta thĐy phƠn số
n a
n b
chữa th l phƠn số tối giÊn, cho nản cõ ữủc iÃu cƯn chựng minh
Bi toĂn (John Berman) Cho p∈ P v p >2, a l số nguyản thoÊ ordp(a) = Chựng
minh rơng
a−a
2
2 +
a3
3 − · · · −
ap−1
p−1
p
(17)Líi gi£i Tø b i to¡n v ¯ng thùc p
p−1
k−1
=k p k
ta câ (−1)k−1p
k p2 ≡ p k
, bði vªy
p
p−1
X
k=1
(−1)k−1ak
k p2 ≡ p−1 X k=1 p k !
ak p
≡(a+ 1)p−ap−1
Nhªn x²t r¬ng p >3 v gi£ sû r l nghi»m cừa phữỡng trẳnh x2+x+ = 0, ta cõ 2p23 2
n¶n tø r2 =−(r+ 1) ta câ
(r+ 1)prp1 =r2prp1 =
Chữa hát, xt P(x) = (x+ 1)p−xp −1 =p
−1 P k=1 p k
xk v p|
p k
nản P(x) s cõ mởt nhƠn
tû l a thùc p∗(x) = (x2+x+ 1)p tø â nhí p|(a2+a+ 1) ta câ
P (a) = (a+ 1)p −ap−1p
2
≡0 (4)
Tø ¥y ta câ i·u c¦n chùng minh
B i to¡n (AMM) Cho số nguyản tố p v số nguyản dữỡng n Gi£ sû h» cì sè pta
câ biu diạn n = (n0n1 nm)p Chựng minh rơng, c¡c sè
n ; n ; ; n n sè c¡c bëi sè cõap l
n+ 1−(1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm)
Lới giÊi VÃ bÊn chĐt bi toĂn, ta cƯn chùng tä c¡c sè
n ; n ; ; n n sè c¡c sè khỉng chia h¸t chop l (1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm) Thªt vªy, gi£ sû p
n k
lóc â ta biºu diạn k = (k0k1 km)p, theo nh lỵ Lucas ta s³ câ
n k p ≡ n0 k0 n1 k1 nm km , (∗)
Bi vẳ ni < p, cho nản p
ni
ki
vỵi måi ki ∈ N v ki ≤ ni Cán vỵi ki ∈ N v ki > ni thẳ
s xÊy án vi»c p |
ni
ki
= Do vêy, tứ () ta thĐy º x£y vi»c p
n k
th¼ méi ki câ
1 +ni cĂch chồn Nguyản lỵ nhƠn cho ta số cĂc h» sè
n k
khỉng chia h¸t cho pl
(1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm)
(18)B i to¡n Cho trữợc số nguyản dữỡng n, tẳm gcd n ; n ; ; n n−1
Líi gi£i Gi£ sû gcd
n ; n ; ; n n−1
= d Khi â n¸u d > v p l ữợc
nguyản tố bĐt ký cõa d Lóc â
n = n n
= cho n¶n sè c¡c bëi sè cõa p c¡c
h» sè
n k
vỵi k = 0; n l n−1 N¸u ta vi¸t n = (n0n1 nm)p theo h» cì sè p, th¼ tø b i
to¡n ta câ
(1 +n0) (1 +n1) .(1 +nm) =
Ta ỵn0 1vni Ncho nản iÃu õ ch xÊy án v ch n0 = v ni = ∀i >1
Tùc l n=pm vợi m
Z+, vêy ta cõ kát luên sau
ã Náun =pm vợi p l số nguyản tố v mZ+ thẳ
gcd n ; n ; ; n n−1
=p
ã Náun = hoc cõ ẵt nhĐt hai ữợc nguyản tố thẳ gcd n ; n ; ; n n−1
=
B i to¡n (AMM) Chựng minh rơng vợi n l số nguyản dữỡng th¼
lcm n ; n ; ; n n
= lcm (1; 2; ; n; n+ 1)
n+
Líi gi£i Ta s³ i chùng minh
(n+ 1) lcm
n ; n ; ; n n
= lcm (1; 2; ; n; n+ 1) ; (∗)
Tø ành lỵ Legendre, ta thĐy rơng
n k
khổng th cõ ữợc nguyản tố lợn hỡn n Do vêy, náu pl mởt ữợc nguyản tố bĐt ký cừa vá trĂi hay vá phÊi cừa ng thùc (∗) th¼ p≤n+ Lóc
â ta gi£ sû r∈Z+ tho£
pr ≤n+ 1< pr+1
Rã r ng vp(lcm (1; 2; ; n; n+ 1)) =r, v vợi mn+ ta lÔi cõ
vp m k = r X j=1 m pj − k pj −
m−k pj
(19)
Vẳ thá, náu pr+1 |(n+ 1)
n k
th¼ tø c¡c ¯ng thùc
(n+ 1)
n k
= (k+ 1)
n+
k+
= (n−k+ 1)
n+
n−k+
Ta cõ p l ữợc nguyản tố chung cừa n+ 1; k+ v n−k+ 1, i·u â l khæng thº bði (n−k+ 1) + (k+ 1)−(n+ 1) =
Vêy, náu l l bêc cừa p phƠn tẵch thứa số nguyản tố cừa vá trĂi cừa () thẳ l r
iÃu õ kát hủp vợi pr l ữợc cừa (n+ 1)
n pr−1
=pr.
n+
pr
, s³ cho ta l=r
B i to¡n (Vi»t Nam TST 2010) GiÊ sỷ Sn l tờng bẳnh phữỡng cĂc hằ sè sau khai triºn
cõa (x+ 1)n Chùng minh r¬ng
3-(1 +S2n) ∀n ∈Z+
Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sauSn = n
P
k=0
n k
2
=
2n n
Cho n¶n cæng vi»c quy v· chùng tä
3
1 +
4n
2n
∀n ∈Z+
Gi£ sû h» tam phƠn, ta cõ biu diạn 2n= (n0n1 nm)3; ()
ã Náuni {0; 1} i= 0; m, thá thẳ4n = (N0N1 Nm)3 vợiNi = 2ni ỵ l
Ni
ni
=
n¸u ni = v
Ni
ni
= n¸u ni = 0, nản náu gồi k l số cĂc số1 biu diạn(), ta cõ
k chđn v theo nh lỵ Lucas ta cõ
1 +
4n
2n
3
≡ + 2k≡3 Tùc l tr÷íng
hñp n y +
4n
2n
khæng thº l bëi sè cõa
ã Náu cõ mởt sốni = 1, ta giÊ sỷ j l ch số lợn nhĐt cho nj = Khi Đy biu
diạn tam phƠn cõa 4n th¼ Nj = 1, tø â
Nj
nj
= v theo nh lỵ Lucas lÔi cõ
1 +
4n
2n
3
1
Tứ cĂc trữớng hủp  xt, ta cõ i·u c¦n chùng minh
(20)B i to¡n 10 (VMO 2017) Chùng minh r¬ng: P1008
k=1 k
2017
k
20172
≡
2 P504
k=1(−1)
k
2017
k
20172
≡ (22016−1)
Líi gi£i Ta câ k
2017
k
= 2017
2016
k−1
cho n¶n
1008
X
k=1
k
2017
k
= 2017
1008
X
k=1
2016
k−1
; (1)
M°t kh¡c, 2017 l sè nguy¶n tè cho n¶n
2016
k−1
=
2017−1
k−1
2017
≡(−1)k−1
Do vªy
1008
X
k=1
2016
k−1
2017
≡
1008
X
k=1
(−1)k−1 2017≡ 0; (2)
Tø (1) v (2) ta cõ iÃu cƯn chựng minh
2 Ta sđn câ nhúng i·u hiºn nhi¶n l 2017 |(22016−1), v 2017 |
2017
k
k Z+, k <2017
Vẳ thá m bi toĂn quy v· vi»c kh¯ng ành
504
X
k=1
(−1)k−1
2017
2017
k
2017
≡ −32
2016 1
2017 ; ()
LÔi thĐy l
k
2017
2017
k
=
2016
k−1
2017
≡(−1)k−1
Do â tø nh lỵ Fermat b, ta cõ
(1)k
2017
2017
k
2017
≡ −k2015 ∀k ∈Z+, k <2017
Gåi v¸ trĂi cừa ()l L, ta ỵ 220162017 1 theo nh lỵ Fermat b ta cõ
L2017
504
X
k=1
k2015 2017≡ 2×
504
X
k=1
(2k)2015 2017≡
504
X
k=1
(2k)2015−
504
X
k=1
(21)Vá phÊi cừa() chẵnh l
R=−3
2016
X
k=1 2017
k
2017
!
=−3
2016
X
k=1 2016
k−1
k
!
Cho nản náu ỵ (20172k)20152017 (2k)2015 k= 1; 1008, ta s cõ
R2017≡
2016
X
k=1
(−1)kk2015 2017≡
1008
X
k=1
(2k)2015
ỗng thới
3
1008
X
k=1
(2k)2015 =
1008
X
k=1
(2k)2015 + 22016
1008
X
k=1
(k)2015
2017
≡
1008
X
k=1
(k)2015 −
1008
X
k=1
(20172k)2015; (ii)
Ta lÔi cõ ¯ng thùc sau
504
X
k=1
(2k)2015−
504
X
k=1
(2017−2k)2015 =
1008
X
k=1
(k)2015−
1008
X
k=1
(2017−2k)2015; (iii)
Tø (i), (ii) v (iii) ta câ i·u c¦n chùng minh
B i to¡n 11 (Vi»t Nam TST 2017) Vỵi mội số nguyản dữỡng n, t xn =
2n n
Chùng minh rơng náu 2017k
2 < n < 2017
k vợi k l số nguyản dữỡng no õ thẳ x n l
bëi cõa 2017
2 T¼m tĐt cÊ số nguyản dữỡng h >1 tỗn tÔi cĂc số nguyản dữỡng N, T cho xn+T xn (mod h)∀n > N
Líi gi£i
1 Theo nh lỵ Legendre ta cõ
v2017(xn) = k
X
i=1
2n
2017i
−2j n 2017i
k
= +
k−1
X
i=1
2n
2017i
−2j n 2017i
k
ỵ rơng, vợi mồi số thỹc x ta luæn câ
b2xc −2bxc ≥0
(22)2 Do h >1 nản nõ cõ ữợc nguyản tố, giÊ sỷ p l ữợc nguyản tố lợn nhĐt cõa h Gåi T
l chu ký nhä nh§t ựng vợin lợn, ta viátT =pmT0 (trong õ gcd(T0; p) = 1) theo
nh lỵ Lucas cõ
2n n p ≡
2pmn pmn
p
≡
2pmn+ 2T pmn+T
p
≡
2(n+T0)pm
(n+T0)pm
p
≡
2n+T0 n+T0
Vªy m= 0, gií n¸up l´ v T vi¸t theo h» cì sèp câr chỳ số thẳ vợi số nguyản dữỡng R lợn (R > r) thẳ lÔi theo nh lỵ Lucas s câ
p ≡
2pR
pR
p
≡
2pR+ 2T
pR+T
p ≡ 2T T Tùc l 2T T p
≡1v tø õ vợi K lợn thẳ
2KT KT
= 1, nh÷ng dogcd(T; p) = nản
tỗn tÔi K lợn cho p| (KT + 1) iÃu õ kát hủp vợi viằc (KT + 1)|
2KT KT
(bi toĂn 2), dăn án iÃu vổ lỵ l 1≡p
Vªy p= tùc l h= 2k (k Z+), lÔi vẳT l v tữỡng tỹ lỵ luên tr¶n chån K sao cho
h| (n+KT + 1) s³ câ
2n n h ≡
2n+ 2KT n+KT
h
≡0 vỵi måi n lợn Giớ chồn n = 2N
thẳ sè c¡c sè
n k
l´ (k ∈N; k ≤n) l n¶n s³ câ
2n n
≡2 (mod 4) Tø â, k =
tùc h=
Vợi h= 2, thẳ ró rng
2n n
chđn vợi mồin Vêy nản kát quÊ lh=
Bi toĂn 12 (Iran TST 2012) Tẳm cĂc số nguyản dữỡng n cho vỵi måi k; l tho£
0≤k; l ≤n th¼
k+l≡2
n k + n l
Líi gi£i Vỵi 0≤k;l ≤n, gi£ sû ta cõ cĂc biu diạn nh phƠn m rởng n = (n0n1 nm)2
k = (k0k1 km)2
l = (l0l1 lm)2
Chú ỵ rơngn0 = 1, cĂc hằ số ki; lj cõ th bơng tÔi bĐt ký ch số no Theo nh lỵ
Lucas chóng ta câ
k+l≡2 km+lm
(23)Ta thĐy rơng ỗng trản, kát quÊ ch phử thuởc km; lm, õ náu tỗn tÔi ch sè
i < mn o â tho£ ni = th¼ ta chånki =li =lm = v km = 0lóc â s³ khỉng x£y (∗)
Vªy, n0 =n1 = .=nm1 = 1, lÔi cõ nm =
0 + 1≡2
n
0
+
n
1
2
≡n+
Vªy ta cõ n= (111 10)2 = 2m+22
Ngữủc lÔi n¸u m = 2m+2 −2, lóc â n
i = n = 0; m1, cho nản vợi ki; li {0; 1}
tuý ỵ ta luổn câ
ni
ki
=
ni
li
=
Riảng vẳ nm = v â
nm
km
+
nm
lm
=
0
km
+
0
lm
= (1−km) + (1−lm)
2
≡km+lm
Tø õ, xÊy ()
Vêy, tĐt cÊ cĂc số cƯn tẳm cõ dÔng n= 2m+22vợi m
N
Bi toĂn 13 (IMO Shortlist 2007) Cho số nguyản dữỡng k ≥2, chùng minh r¬ng
v2
2k+1
2k
−
2k
2k−1
= 3k
Líi giÊi Vợi số nguyản dữỡngn kỵ hiằu (2n1)!! = 1.3 .(2n−1) v (2n)!! = 2.4 .2n
Ta câ ¯ng thùc sau
2k+1
2k
−
2k
2k−1
=
2k
2k−1
!! (2k)!
2k−1 Y
i=1
2k+i
−
2k−1 Y
i=1
2ki
Theo nh lỵ Legendre ta câ v2 2k
!= 2k−1v 2k−1
!! l´, cho n¶n
v2
22k
2k−1
!! (2k)!
!
= 2k− 2k−1
=
X²t a thùc h» sè nguy¶n P(x) =
2k−1 Q
i=1
(x+i)−
2k−1 Q
i=1
(x−i), ta th§y P(x) l mởt hm l v
vẳ thá s tỗn tÔi a thực hằ số nguyản Q(x) v hơng sốC ZthoÊ
(24)Trong â
C = 2k−1!!
2k−1
X
i=1
1
2i−1 =
k 2k−1
!!
2k−1
X
i=1
1
(2i−1) (2k−2i+ 1)
Chúng ta ỵ rơng nhõm ỡn v R2k gỗm tĐt cÊ cĂc số l b hỡn 2k, náu ta kỵ hiằu
ri l nghch Êo cừa ri = 2i−1 th¼
2k−1!! (2i−1) (2k−2i+ 1)
2k
ri2
Khi ta cho ri chÔy khưp R2k thẳ ri cụng thá, vêy nản
2k1!!
2k−1
X
i=1
1
(2i−1) (2k−2i+ 1)
2k
≡ −
2k−1
X
i=1
ri22
k
≡ −2k−1
4k−1
3
i·u n y cho ta v2(C) = k+k−1 = 2k−1, cho n¶n
v2
2k−1 Y
i=1
2k+i−
2k−1 Y
i=1
2k−i
=v2 P 2k
=v2 C.2k
= 3k−1
V¼ th¸
v2
2k+1
2k
−
2k
2k−1
= + 3k−1 = 3k
B i to¡n 14 (IMO Shortlist 2012) T¼m c¡c sè nguyản dữỡng m2sao cho vợi số nguyản
dữỡng n bĐt ký thoÊ mÂn m
3 n
m
2 th¼
n m−2n
n
Líi gi£i Gi£ sû m l số nguyản dữỡng thoÊ yảu cƯu, ta xt ba trữớng hủp
1 Náu m l mởt hủp số chđn, lúc õ viát m= 2k v vợi n =k s thĐy khổng thoÊ mÂn
2 Náu m l mởt hđp sè l´, ta vi¸t m = p(2k + 1) õ p l ữợc nguyản tố cừa m (tĐt nhiản p l) cỏn k l mởt số nguyản dữỡng Chån n = pk, õ tho£ iºu ki»n
m
3 ≤n≤
m
2 Do
n m−2n
n n¶n n
n m−2n
∈Z, nh÷ng
n
n m−2n
=
pk
pk p
= (pk−1).(pk−2) .(pk−p+ 1)
p!
Nhữ vêy s dăn án iÃu vổ lỵ l
(25)3 N¸u m l sè nguyản tố, ta thĐy rơng tứn < m v m P m câ gcd(m−2n; n) = gcd(m; n) =
N¶n theo b i to¡n ta câ n |
n m−2n
Vêy, nhỳng số m thoÊ mÂn l tĐt cÊ cĂc sè nguy¶n tè
B i to¡n 15 (IMO Shortlist 2014) Vợi mội số thỹc x, ta kỵ hiằu kxk l khoÊng cĂch tứ x
án số nguyản gƯn x nhĐt Chựng minh rơng vợi cĂc số nguyản dữỡng a; b luổn tỗn tÔi số
nguyản tố p v số nguyản dữỡng k thoÊ
a pk + b pk +
a+b pk =
Líi gi£i Sè nguy¶n gƯn xnhĐt ró rng l
x+
, n¶nkxk=
x−
x+
Khỉng m§t
tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ ab v xt phƠn sè
M =
2a+ 2b a+b
2a a 2b b =
(2a+ 2b−1) (2a+ 2b−3) .(2a+ 1) 1.3 .(2b−1)
Ta thĐy M >1, nhữ thá náu viát dÔng tối giÊn thẳ tỷ số cừa nõ s l mët sè l´ lỵn hìn 1,
tû sè â cõ ẵt nhĐt mởt ữợc nguyản tố l l p Tứ nh lỵ Legendre ta cõ
0< vp(M) =
∞
X
k=1
2a+ 2b pk
−2
a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk
Nhữ vêy, phÊi tỗn tÔi k Z+ sao cho
2a+ 2b pk
−2
a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk
>0; (1)
ỵ r¬ng
0≤ b2xc −2bxc=
x+1
− bxc ≤1
Cho n¶n
2a+ 2b pk
−2
a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk
≤1; (2)
Tứ (1) v(2) ta dăn án
2a+ 2b pk
−2
a+b pk − 2a pk + a pk − 2b pk + b pk
(26)DĐu bơng cừa cĂc Ănh giĂ ny xÊy án v ch¿
2a+ 2b pk
−2
a+b pk
= 1, cán
2a pk −2 a pk = 2b pk −2 b pk
=
Nh÷ng
x+
− bxc= v ch¿ {x} ≥
2, cán {x}< th¼
x+
− bxc=
Nhữ vêy, ta phÊi cõ ữủc cĂc ¡nh gi¡
a+b pk ≥ > a pk ; b pk
LÔi thĐy rơng {x} ≥ th¼ kxk=
x−
x+
=|x− bxc −1|= +bxc −x
Cán {x}<
2 th¼
kxk=
x−
x+
=|x− bxc|=x− bxc
i·u â, k¸t hđp vỵi
a+b pk = a pk + b pk (bði a pk ; b pk <
2) cho ta
a pk + b pk +
a+b pk
= +
a+b pk
− a+b
pk +
a pk −
a pk
+ b
pk −
b pk
=
(27)3 B i tªp
B i tªp Cho m l mởt số nguyản dữỡng, ngữới ta lĐy tẵch tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡng
khổng vữủt quĂ m v nguyản tố vợi m cõ số Qm (và bÊn chĐt thẳQm tẵch tĐt
cÊ cĂc phƯn tû cõa Rm)
1 Chùng minh r¬ng ho°c l Qm m
≡1ho°c Qm m
≡ −1
2 Tẳm iÃu kiằn cƯn v vợi m Qm m
1
3 Tẳm iÃu kiằn cƯn v õ vỵi m º Qm m
≡ −1
Bi têp Chựng minh rơng náu m; n l cĂc số nguyản dữỡng thẳ
m+n m
|
2m m
2n n
Bi têp Chựng minh rơng náu m; n l cĂc số nguyản dữỡng v m > n th¼
gcd
m n
;
m+
n
; ;
m+n n
=
B i têp Chựng minh rơng, số cĂc số l b§t cù dáng n o cõa tam gi¡c Pascal ·u l luÿ thøa cõa
B i tªp Cho n l số nguyản dữỡng l, chựng minh rơng
(8n+ 4)|
4n
2n
Bi têp Chựng minh rơng náu pl số nguyản tố v n l số nguyản dữỡng thẳ
n p
p
≡
n p
B i tªp Chựng minh rơng náu pl số nguyản tố l thẳ
2p + 1−
p
X
k=0
p k
p+k k
p2
B i tªp Cho số nguyản tố p5, chựng minh rơng
p−1
2
X
k=0
p k
3k
2p+ p2
Bi têp Cho số nguyản tố p Tẳm iÃu kiằn cƯn v vợi số nguyản dữỡngn cho
gcd
p;
n
1
= gcd
p;
n
2
= .= gcd
p;
n n−1
(28)
B i tªp 10 (IMO Shortlist 2008) Cho số nguyản dữỡng n > 1, chựng minh rơng têp tĐt
cÊ cĂc số cừa cĂc số
2n−1
0
;
2n−1
1
;
2n−1
2
; ;
2n−1
2n−1−1
khi chia 2n l tªp
R={1; 3; ; 2n−1}
B i tªp 11 Cho p l số nguyản tố l, chựng minh rơng
p
X
j=0
p j
p+j j
≡2p+ (mod p2)
Bi têp 12 Chựng minh rơng vợi n l số nguyản dữỡng thẳ
lcm (1; 2; ; 2n)
2n n
Bi têp 13 Cho p l số nguyản tố cõ dÔng p = 4k+ 3, cỏn T;M l cĂc sè nguy¶n tho£
gcd(M; T) = v
1 02+ 1 +
1
12+ 1 + .+
1
(p−1)2+ =
T M
Tẳm số cừa T chia cho p
Bi têp 14 Cho p l số nguyản tố, k l số nguyản dữỡng l cho (p1)-(k+ 1) Gi£
sû T; M l c¡c sè nguy¶n tho£ gcd(M;T) = v
1k +
1
2k + .+
1 (p−1)k =
T M
Tẳm số cừa T chia cho p2.
Bi têp 15 Cho số nguyản tố l p Vợi mội số nguyản a, nh nghắa Sa = p−1
X
j=1
aj
j Gi£ sû m; n ∈Zthäa m¢n S3+S4−3S2 =
m
n Chựng minh rơng p chia hát m
B i tªp 16 Cho A;B l c¡c sè nguy¶n tho£
1
2005.2017 + +
1
2005.2017 + + .+
1
2005.2017 + 2016 =
A B
Chùng minh rơngA 20172.
Bi têp 17 Cho p l sè nguy¶n tè l´ v q = 3p−5 , °t
Sq =
1 2.3.4 +
1
5.6.7+· · ·+
1
q.(q+ 1).(q+ 2)
Gi£ sûm; n l c¡c sè nguy¶n nguy¶n tè cịng cho
p−2Sq = m
(29)Bi têp 18 XĂc nh số nguyản dữỡngk cho tỗn tÔi vổ số cĂc số nguyản dữỡngn tho£
m¢n
2n n
(n+k)
B i tªp 19 Cho p l mët số nguyản tố l, chựng minh rơng cĂc khng nh sau Ơy l
tữỡng ữỡng: Tỷ số cừa
1+
2+ .+
p−1 chia h¸t cho p
3.
2 Tû sè cõa
12 +
1
22 + .+
1
(p−1)2 chia h¸t cho p
2.
3
2p−1
p−1
≡1 (mod p4)
B i tªp 20 (nh lỵ Chebyshev v nh lỵ Sylvester) Chựng minh c¡c kh¯ng ành sau: N¸u n l mët sè nguyản dữỡng thẳ
n
2n
2n n
2 Náu n l mởt số nguyản dữỡng thẳvp
2n n
≤2n
3 Vỵi p l số nguyản tố l, v số nguyản dữỡng n tho£ 2n
3 < p≤n th¼ p
2n n
4 Vợi số thỹc x3 bĐt ký, náu kỵ hiằu#(x)l tẵch tĐt cÊ cĂc số nguyản tố khổng vữủt
quĂ xthẳ #(x)<22x3
5 Vợi số nguyản dữỡng n >1 bĐt ký, luổn tỗn tÔi số nguyản tố pthoÊ mÂn n < p <2n
6 Vợi cĂc số nguyản d÷ìng m v n tho£ m ≥n, â ln tỗn tÔi số nguyản tố p > n
sao cho p|
m+n n
(30)
4 Nguỗn tham khÊo
[1] David M Burton: "Elementary Number Theory"
http://drive.nguyensong.net/2016/10/11/m-elementary-number-theory-cua-d-burton/ [2] Andrew Granville: "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients"
www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/paper/binomial/html/binomial.html [3] Romeo Mestrovic: "Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (18622012)"
https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf
[4] Romeo Mestrovic: "Lucas' theorem: Its generalizations, extensions and applications (18782014)"
https://arxiv.org/pdf/1409.3820.pdf
[5] G H Hardy, E M Wright: "An Introduction to Theory of Numbers." http://drive.nguyensong.net/2016/10/24/theory-of-numbers-hardy-e-wright/ [6] Di¹n n Mathscope
www.mathscope.org [7] Di¹n n Mathlinks www.mathlinks.ro
[8] Di¹n n Mathoverflow www.mathoverflow.net/
http://drive.nguyensong.net/2016/10/11/m-elementary-number-theory-cua-d-burton/ www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/paper/binomial/html/binomial.html https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf https://arxiv.org/pdf/1409.3820.pdf http://drive.nguyensong.net/2016/10/24/theory-of-numbers-hardy-e-wright/ www.mathscope.org www.mathlinks.ro www.mathoverflow.net/