đáp án Đề thi đại học môn Toán khối A năm 2010 | dethivn.com

[r]

(1)

Trang 1/4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối A

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1 (1,0 điểm)

Khi m = 1, ta có hàm số y = x3 − 2x2 + • Tập xác định: R

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: 'y = 3x2 − 4x; '( )y x = ⇔ x = x = 4

0,25

Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) 4; ⎛ +∞⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠; nghịch biến khoảng 0;

3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = 1, đạt cực tiểu x =

3; yCT = 27 − - Giới hạn: lim

x→ − ∞y = − ∞ ; limx→ + ∞y= + ∞

0,25

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2 (1,0 điểm)

Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m =

⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = ⇔ x = x2 − x − m = (*) 0,25 Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt, phương trình (*) có nghiệm

phân biệt, khác 0,25

Ký hiệu g(x) = x2 − x − m; x

1 = 1; x2 x3 nghiệm (*)

Yêu cầu toán thỏa mãn khi:

2

0 (1)

3 g

x x

⎧∆ > ⎪

≠ ⎨

⎪ + < ⎩

0,25 I

(2,0 điểm)

⇔

1

0

1

m m

m + > ⎧

⎪− ≠ ⎨

⎪ + < ⎩

⇔

− < m < m ≠ 0,25

y +∞

−∞ '

y + − + x −∞

3 +∞

5 27 −

O y

x

4

1

2

(2)

Trang 2/4

1 (1,0 điểm)

Điều kiện: cosx ≠ + tanx ≠

Khi đó, phương trình cho tương đương: sin

x π

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠(1 + sinx + cos2x) = (1 + tanx)cosx

0,25

⇔ (sinx + cosx)(1 + sinx + cos2x) = sin cos cos cos

x x

+ ⇔ sinx + cos2x =

0,25 ⇔ 2sin2x − sinx − = ⇔ sinx = (loại) sinx = − 1

2 0,25

⇔ x = −

π + k2π x =

π + k2π (k ∈ Z)

0,25 2 (1,0 điểm)

Điều kiện: x ≥

Ta có: 2(x2− + = x 1) x2+(x−1)2+ > 1, suy − 1 2(x2− + < x 1)

Do đó, bất phương trình cho tương đương với: 2(x2− + ≤ − x + x (1) x 1)

0,25

Mặt khác 2(x2− + = x 1) 2(1−x)2+2( x)2 ≥ − x + x (2), đó: 0,25

(1) ⇔ 2(x2− + = − x + x (3) x 1)

Để ý rằng: + Dấu (2) xảy khi: − x = x đồng thời − x + x ≥ + − x = x kéo theo − x + x ≥ 0, đó:

(3) ⇔ − x = x

0,25 II

(2,0 điểm)

⇔ 20 (1 )

x

x x

− ≥ ⎧⎪ ⎨

− =

⎪⎩ ⇔

1

3

x

x x

≤ ⎧⎪ ⎨

− + =

⎪⎩ ⇔ x = 3

2

− , thỏa mãn điều kiện x ≥ 0,25

I =

d

x x

e

x x

e

⎛ ⎞

+

⎜ ⎟

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

∫

0

d x x

∫

0

d

x x

e x e +

∫

0,25

Ta có:

1

d x x

∫

0

1 3x =

1

3 0,25

và

1

d

x x

e x e +

∫

2

1

d(1 )

x x

e e + +

∫

0,25

III (1,0 điểm)

I = +

1

ln(1 )

x

e

+ =

3 +

1 ln

2

e + = 1

3 +

1 ln

2

e +

0,25

• Thể tích khối chóp S.CDNM

SCDNM = SABCD − SAMN − SBCM

= AB2 − 1

2AM.AN −

2BC.BM

= a2 −

a −

4

a = 5 a

0,25

VS.CDNM =

3 SCDNM.SH =

3

5 24

a

0,25

IV (1,0 điểm)

• Khoảng cách hai đường thẳng DM SC

∆ADM = ∆DCN ⇒ n nADM =DCN ⇒ DM ⊥ CN, kết hợp với DM ⊥ SH, suy DM ⊥ (SHC) Hạ HK ⊥ SC (K ∈ SC), suy HK đoạn vuông góc chung DM SC, đó:

d(DM, SC) = HK

0,25 A

B C

D S

N H

K M

(3)

Trang 3/4

Ta có: HC = CD2

CN =

2 a

HK =

2

SH HC

SH +HC =

2 19

a

, đó: d(DM, SC) = 2 19

a

0,25

Điều kiện: x ≤ 3 4; y ≤

5

Phương trình thứ hệ tương đương với: (4x2 + 1).2x = (5 − 2y + 1) 2y− (1)

0,25

Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f( 2y− ), với f(t) = (t2 + 1)t Ta có 'f (t) = 3t2 + > 0, suy f đồng biến R Do đó: (1) ⇔ 2x = 2y− ⇔

0

5

x

x y

≥ ⎧ ⎪

⎨ = −

⎪⎩

0,25

Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 4x2 +

2

5

2 x

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ + 4x− −7 = (3) Nhận thấy x = x = 3

4 nghiệm (3) Xét hàm g(x) = 4x2 + 2 2

2 x

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ + 4x− − 7, khoảng 0;

4

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0,25 V

(1,0 điểm)

'( )

g x = 8x − 8x 2

2 x

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠−

4

3 4x− = 4x (4x

2 − 3) −

3 4x− < 0, suy hàm g(x) nghịch biến Mặt khác

2 g ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 0, (3) có nghiệm x =

2; suy y = Vậy, hệ cho có nghiệm: (x; y) = 1;

2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0,25

1 (1,0 điểm)

d1 d2 cắt O, cos(d1, d2) = | 3 1.1| 3

−

+ + =

1

2 tam giác OAB vng B, nAOB = 60D ⇒ nBAC = 60D

0,25

Ta có: SABC =

2AB.AC.sin 60

D=

4 (OA.sin 60

D).(OA.tan 60D)

= 3 OA

2 Do đó: SABC =

2 , suy OA 2 = 4

3

0,25

Tọa độ A(x; y) với x > 0, thỏa mãn hệ: 23 2 40

x y

⎧ + =

⎪ ⎨

+ =

⎪⎩ ⇒ A

1 ;

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Đường thẳng AC qua A vuông góc với d2, suy AC có phương trình: x − 3y − = Tọa độ C(x; y) thỏa mãn hệ:

3

x y

⎧ − =

⎪ ⎨

− − =

⎪⎩ ⇒ C

2 ; −

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0,25 VI.a

(2,0 điểm)

Đường trịn (T) có đường kính AC, suy tâm (T) I ; 2

−

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ bán kính IA = Phương trình (T):

2

1

1 2

x y

⎛ + ⎞ +⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

0,25 d2

y

x

C B O

A d1

I

(4)

Trang 4/4

2 (1,0 điểm)

Đường thẳng ∆ có vectơ phương vG = (2; 1; −1) mặt phẳng (P) có

vectơ pháp tuyến nG = (1; −2; 1) 0,25

Gọi H hình chiếu M (P), ta có cos nHMC= cos ,

( )

v n

0,25

d(M, (P)) = MH = MC.cos nHMC

( )

v n

0,25

= | 2 1| 6 − − =

6 0,25

Ta có: z = (1 + 2 i) (1 − i) 0,25

= + i, suy ra: 0,25

z = − i 0,25

VII.a (1,0 điểm)

Phần ảo số phức z bằng: − 0,25

1 (1,0 điểm)

Gọi H trung điểm BC, D trung điểm AH, ta có AH ⊥ BC Do tọa độ D(x; y) thỏa mãn hệ:

4 0 x y x y

+ − = ⎧

⎨ − =

⎩ ⇒ D(2; 2) ⇒ H(− 2; − 2)

0,25

Đường thẳng BC qua H song song d, suy BC có phương

trình: x + y + = 0,25

Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x + y + = B, C đối xứng qua H(− 2; − 2), tọa độ B, C có dạng: B(t; − − t), C(− − t; t)

Điểm E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác ABC, suy ra: ABJJJG CEJJJG = ⇔ (t − 6)(5 + t) + (− 10 − t)(− − t) =

0,25

⇔ 2t2 + 12t = ⇔ t = t = −

Ta được: B(0; − 4), C(− 4; 0) B(− 6; 2), C(2; − 6) 0,25 2 (1,0 điểm)

Đường thẳng ∆ qua điểm M(−2; 2; −3), nhận vG = (2; 3; 2) làm vectơ phương

Ta có: MAJJJG = (2; −2; 1), ,⎡⎣v MAG JJJG⎤⎦ = (7; 2; −10) 0,25 Suy ra: d(A, ∆) = v MA,

v

⎡ ⎤

⎣ ⎦

G JJJG

G = 49 100

4 + +

+ + = 0,25

Gọi (S) mặt cầu tâm A, cắt ∆ B C cho BC = Suy bán kính (S) là: R = 0,25 VI.b

(2,0 điểm)

Phương trình (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25 0,25

Ta có: (1− )i = − 0,25

Do z = 1 i

−

− = − − 4i, suy z = − + 4i 0,25

⇒ z + i z = − − 4i + (− + 4i)i = − − 8i 0,25

VII.b (1,0 điểm)

Vậy: z+iz = 0,25

- Hết - •

M

∆ B C

A

•

H M

∆

P C

• E

d A

B C

H D

dethivn.com