Các bài toán trên lưới nguyên - Lê Phúc Lữ

 Vị trí thắng: là vị trí mà tồn tại một cách đi đến vị trí thua (vị trí ở đây ý nói giá trị n hiện tại, thắng này chỉ người chơi hiện tại và đi đến chỉ số sỏi còn lại sau lượt chơi đó[r]

Chủ đề

CÁC BÀI TOÁN TRÊN LƯỚI NGUYÊN

Bài Cho n số nguyên dương lớn Trên parabol y x2, ta lấy điểm A A1, , ,2 An có hồnh độ 1,2, 3, ,n Gọi Sn diện tích đa giác OA A A1 2 n Chứng minh Sn hợp số

Gợi ý

Sử dụng cơng thức tính diện tích hình thang vng, chia nhỏ hình cần tính ta có

3

6

n

n n S  

Xét trường hợp để có Sn hợp số

Bài

1) (Kỹ sư tài ĐH Bách khoa 2012) Cho cấp số cộng ( )an cấp số nhân ( )bn có số hạng dương Biết a1 b a1, n bn Chứng minh

k k

a b với k 2, 3, ,n1

2) (VMO 2012) Cho hai cấp số cộng ( ),( )an bn xét dãy đa thức P xk( )x2 a xk bk với 1,2, ,

k  n Giả sử P x P x1( ), ( )n vô nghiệm Chứng minh đa thức P xk( ) với 2  k n vô nghiệm

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho dãy điểm phân biệt có tọa độ dương A x yn( ; )n n với 1,

n  dãy số thực dương ( ),( )xn yn xác định công thức

2

2

2

1 2 , 2

n n

n n

n n

y y

x x

x  y 

 

  

  



   

 

 

Biết điểm O A A, ,1 2015 nằm đường thẳng d Chứng minh không tồn hai số i j, với 1  i j 2015 cho đoạn thẳng A Ai j cắt d

Lời giải

1

( ) ( 1)

1

n k

n k a k a a

n

  





1

1 n k k n

k n

b   b b 

Áp dụng trực tiếp BĐT AM-GM cho n1 số, ta có đpcm

2) Theo giả thiết a124b1 0,an2 4bn 0 Ta cần chứng minh ak24bk 0 với

1 k n

Ta có ( ) ( 1) , ( )1 ( 1)

1

n n

k k

n k a k a n k b k b

a b

n n

     

 

  nên đưa

2

1

2 2

1 1

( ) ( 1) ( ) ( 1)

4

1

( ) ( 1) 2( )( 1) 4( 1) ( ) ( 1)

n n

n n n

n k a k a n k b k b

n n

n k a k a n k k a a n n k b k b

                                   

Theo BĐT AM-GM

2 1 2 n n a a

a a   nên 2(nk k)( 1)a a1 n (nk k)( 1)(a12 an2)

Chú ý (nk)2 (nk k)(  1) (nk n)( 1) (k1)2 (nk k)(  1) (k 1)(n1) nên ta viết thành

2

1

(nk n)( 1)(a 4 )b (k1)(n1)(an 4 )bn 0 BĐT cuối nên ta có đpcm

3) Theo giả thiết, ta thấy hai dãy ( ),( )xn yn thỏa mãn 2015 2015

0

x x

k y  y  

Ta chứng minh với i 2, 2014 i i x

k

y  Thật vậy,

Ta thấy

2 2

2

2

1 2 2

n n n n

n n

x x x x

x  x 

 

 

   nên dãy ( )xn2 lập thành cấp số cộng Do

đó, với i 2, 2014, đặt 2015 ,

2014 2014

i i

i i

      i i 1,2 i 2014 ta có

2 2 2

1 2015 2015

i i i i i i

x x x x  x x

Tương tự, ta có  

2

1 2015

i i i

y   y  y nên  

2

1 2015

i i i

ky   x  x

 2

2

1 2015 2015

ix ix i x i x

     với 2 i 2014 (*)

Tuy nhiên, (*) theo BĐT Cauchy-Schwarz

      

 

2

2

1 2015 2015 2015

4

1 2015

( )( )

i i i i i i i i i i

i i

x x x x x x

x x

         

 

      

 

Do điểm phân biệt nên A1 A2015 x1 x2015 đẳng thức (*) khơng xảy Từ suy tất điểm A A2, , ,3 A2014 nằm đường thẳng d Ta có đpcm

Bài

1) (Olympic Toán SV 2016) Cho 2016 2016 điểm xếp thành lưới vng Hỏi có

bộ điểm tạo thành hình vng có cạnh 5?

2) Cho lưới tam giác có ba điểm đỉnh A B C, , cạnh AB BC CA, , có

n điểm (kể đỉnh) Hỏi có hình bình hành lưới mà có cạnh song song với hai cạnh ba cạnh AB BC CA, , ?

3) Cũng lưới tam giác trên, hỏi có tam giác có ba đỉnh lấy tùy ý từ ba điểm lưới mà cạnh song song với AB BC CA, , ?

4) Câu hỏi tương tự cạnh tam giác khơng song song với AB BC CA, , ?

Lời giải

1) Chú ý 52 32 42 nên ta thấy có loại hình vng thỏa mãn là: hình vng có cạnh 5 song song với cạnh hình vng gốc hình vng có cạnh 5 lại nằm chéo (cạnh huyền tam giác vng có hai cạnh góc vng 3, 4) hình vng kích thước 7 Đáp số là: 20112  2 20092

2) Ta thấy có loại hình bình hành dựa theo hướng cạnh chúng là: song song với ,

Xét hình bình hành loại 1, cách kẻ thêm đường thẳng d phía tam giác cách BC khoảng chiều cao tam giác Kéo dài đường thẳng lưới xuống cắt d n 1 điểm

Dễ dàng chứng minh song ánh số hình bình hành loại số cách chọn giao điểm n 1 giao điểm nên số lượng hình bình hành Cn41 Đáp số tốn 3Cn41

3) Đếm truy hồi kết hợp với bù trừ, ta gọi Sn số tam giác thỏa mãn có

1

3

n n n n n

S  S   S  S  a ,

2

n

a  n chẵn an 1 n lẻ

Công thức hiểu dễ dàng việc thu nhỏ số cạnh lại đơn vị tương ứng với đỉnh, ta có tam giác; thực cộng số tam giác đỉnh có phần chung, trừ ra, lại bù vào Sau cùng, ta cộng thêm tam giác lớn Tuy nhiên, ý trường hợp số chẵn, tam giác tạo trung điểm cạnh chưa xét vào nên thay cộng 1, ta cộng thêm Đáp số

( 2)(2 1)

, (mod2)

8

( 2)(2 1)

, (mod 2)

8

n

n

n n n

S n

n n n

S n

  

  



   

  



4) Ý tưởng tương tự công thức truy hồi đẹp là:

1

3 ( 1)

n n n n

S  S   S  S   n

Bài (Cuộc thi Brilliant.org)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tập hợp S gồm điểm thỏa mãn:

( , ) 0x y x y, 999; ,x y 

Hai bạn A B, chơi trò chơi sau: Ban đầu, có quân cờ vị trí thuộc tập hợp

S họ di chuyển quân cờ theo cách sau:

• Bạn A trước di chuyển quân cờ xuống đơn vị sang trái đơn vị • Bạn B sau di chuyển quân cờ xuống đơn vị sang trái đơn vị Hai bạn luân phiên chơi buộc phải di chuyển quân cờ khỏi góc phần tử thứ thua Hỏi có tất vị trí mà A có chiến lược để thắng trò chơi?

Lời giải

Trước tiến hành xây dựng tương tự trên, bạn cần hai định nghĩa sau trò chơi tổ hợp cân (tức hai bên có cách chơi nhau):

 Vị trí thắng: vị trí mà tồn cách đến vị trí thua (vị trí ý nói giá trị n tại, thắng người chơi đến số sỏi cịn lại sau lượt chơi đó)

 Vị trí thua: vị trí mà ln phải đến vị trí thắng

Ta thực kiểm tra trực tiếp vị trí gần gốc tọa độ để thử tìm quy luật đó:

Trong hình trên, ta quy ước điểm trắng người A có chiến lược thắng, điểm đen người

B có chiến lược để thắng Ta thấy dựa vào số kiểm tra trực tiếp vét cạn với vị trí

(0, 0),(0,1),(1, 0),(2, 0),

thì có quy luật vị trí thắng thua hình vng 3 sát gốc tọa độ lặp lại Điều giải thích thơng qua đặc điểm: A sang trái đơn vị B sang trái đơn vị, tổng cộng đơn vị; tương tự xuống