Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 9.Định lý góc có đỉnh ở bên[r]
(1)PHẦN II: HÌNH HỌC
LÝ THUYẾT CƠ BẢN CHƯƠNG I, II Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền
Định lý1 : Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền
2 Một số hệ thức liên quan tới đường cao
Định lý : Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền
Định lý : Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng
Định lý : Trong tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng
3 Tỉ số lượng giác góc nhọn
+ Định nghĩa : Xét góc nhọn tam giác vuông : Sin = ạ đố
ạ ề , cos = canhhuyen ke
canh , tg = ạ đố
ạ ề , cotg = ạ ề ạ đố
Nhận xét : < sin < , < cos <
tg cotg hai giá trị nghịch đảo Ta có tg.cotg = + Tỉ số lượng giác hai góc nhọn phụ :
Định lý : Nếu hai góc nhọn phụ sin góc cosin góc kia, tang góc cotg góc Tỉ số lượng giác góc đặc biệt :
300 450 600
sin
2
√2
√3
cos √3
2
√2
1
tg √3
3 √3
cotg
√3 √3
3
+ Các công thức lượng giác đơn giản :
sin2 + cos2 = , tg cotg = , tg = ∝
∝ , cotg = ∝ ∝ + tg2 =
∝ , + cotg
2
= ∝
+ Nhận xét : Khi góc tăng từ 00 đến 900 sin tg tăng cịn cos cotg giảm Với hai góc nhọn , : ∝ < ℎì <
∝ < ℎì <
∝ < ℎì > ∝ < ℎì > + Tìm tỉ số lượng giác góc máy tính bỏ túi casio fx -570
4 Một số hệ thức cạnh góc tam giác :
Định lý : Trong tam giác vuông, mổi cạnh góc vng : - Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cosin góc kề
(2)Áp dụng giải tam giác vuông :
Trong tam giác vuông, biết trước hai cạnh cạnh góc nhọn ta tìm tất cạnh góc cịn lại Bài tốn đặt gọi toán “ Giaỉ tam giác vuông ”
Để giải tam giác cần biết: hai cạnh góc nhọn cạnh Để giải tam giác cần biết cạnh, góc nhọn
6 Đường tròn :
+ Định nghĩa : Đường trịn tâm O bán kính R ( với R > ) hình gồm điểm cách O khoảng R
+ Đường tròn tâm O bán kính R kí hiệu ( O; R), ta kí hiệu (O) khơng cần ý đến bán kính
+Lưu ý : Hình trịn tâm O bán kính R ( với R > ) hình gồm điểm có khoảng cách đến O nhỏ R
+ Cách xác định đường tròn
- Một đường tròn xác định biết tâm bán kính đường trịn
- Một đường tròn xác định biết đoạn thẳng đường kính đường trịn - Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn
* Chú ý : Khơng vẽ đường trịn qua ba điểm thẳng hàng + Vị trí tương đối điểm đường tròn :
Xét đường tròn (O;R) điểm M , OM = d
M thuộc đường tròn (O;R) M nằm đường tròn (O;R) M nằm ngồi đường trịn (O;R) d = R d < R d > R
+ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ( tam giác nội tiếp đường tròn ) :
- Đường tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đường trịn ngoại tiếp tam giác ( tam giác gọi tam
giác nội tiếp đường tròn )
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn nằm tam giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tù nằm ngồi tam giác
Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền
- Trong tam giác đều, đường trung tuyến đường trung trực, đường phân giác, đường cao nên trọng tâm, điểm cách ba cạnh, điểm cách ba đỉnh, trực tâm trùng nên tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác điểm cách ba đỉnh (hoặc điểm cách ba cạnh trực tâm trọng tâm)
- Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác có cạnh a √
(3)+ Tâm đối, trục đối xứng đường tròn :
- Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn
- Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường trịn
7 Đường kính dây đường trịn + So sánh độ dài đường kính dây:
Định lý1 : Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính + Quan hệ vng góc đường kính dây:
Định lý2 : Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây
Định lý3 : Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây
Liên hệ dây khoảng cánh từ tâm đến dây
Định lý1 : Trong đường trịn : a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm Định lý2 : Trong đường tròn : a) Dây lớn dây gần tâm Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn :
* Xét đường tròn (O; R) đường thẳng a, OH a H OH = d (OH khỏang cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng)
9.1 Đường thẳng đường trịn khơng giao 9.2 Đường thẳng đường tròn tiếp xúc (Đường thẳng đường trịn khơng có điểm chung) (Đường thẳng đường trịn
có điểm chung)
R > d R = d
Đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn H tiếp điểm 9.3 Đường thẳng đường tròn giao (Đường thẳng đường trịn có điểm chung)
R < d
Đường thẳng a cát tuyến đường trịn
10 Tính chất tiếp tuyến đường trịn : 10.1 Tính chất tiếp tuyến đường tròn :
Định lý : Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm
N M
H O
(4)10.2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn :
10.2.a) Nếu đường thẳng đường trịn có điểm chung đường thẳng tiếp tuyến đường trịn
10.2.b) Nếu khỏang cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng bán kính đường trịn đường thẳng tiếp tuyến đường tròn
Định lý : Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn
10.3 Tính chất tiếp tuyến cắt đường tròn :
Định lý : Nếu tiếp tuyến đường tròn cắt điểm : - Điểm cách tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm qua tâm
tia phân giác góc tạo tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo bán kính qua tiếp điểm 11 Đường trịn ngoại tiếp tam giác :
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn qua đỉnh tam giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực tam giác
ABC tam giác nhọn ABC tam giác tù ABC vuông A
tâm O nằm tam giác tâm O nằm tam giác tâm O tr điểm c.huyền 12 Đường tròn nội tiếp tam giác :
- Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc ba cạnh tam giác ( Ba cạnh tam giác ba tiếp tuyến đường tròn )
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác tam giác Tâm đường trịn nội tiếp tam giác ln nằm tam giác
13 Đường tròn bàng tiếp tam giác :
- Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác góc ngồi B (hoặc C)
- Với tam giác, có đường trịn bàng tiếp 14 Ba vị trí tương đối hai đường trịn:
Xét đường tròn (O; R) đường tròn (O’; r), giả sử R > r OO’ = d 14.1 Hai đường trịn khơng giao ( đường trịn khơng có điểm chung )
B
A M
(5)OI CD IC = ID CD không qua tâm (CD không đường kính)
IC = ID OI CD
Hai đường trịn ngồi Đường tròn (O) đựng (O’) Hai đường tròn đồng tâm
d > R + r d < R – r d =
14.2 Hai đường tròn tiếp xúc ( đường trịn có điểm chung )
Hai đường trịn tiếp xúc ngồi Hai đường tròn tiếp xúc d = R + r d = R – r >
14.3 Hai đường tròn giao (2 đường trịn có điểm chung)
- Hai đường trịn giao có điểm chung, có dây chung R – r < d < R + r
- Đường nối tâm trục đối xứng hình gồm hai đường trịn cắt
* Định lý : (Tính chất đường nối tâm)
a) Nếu hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung
b) Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm 15 Tiếp tuyến chung hai đường tròn :
- Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn
I Lí THUYT CHNG
B Phần Hình học
I Lý thuyết
1 Đường kính vuông góc víi d©y
I I
O A O A
C
D
C
(6)O O' O
O'
+ ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn
+ TC: Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn 3600 trừ số đo cung nhỏ
(có chung hai điểm mút)
O B
A TiÕp tuyÕn cña đường tròn
Ax tiếp tuyến AxOA A Các t/c hai tiếp tuyến cắt AB AC lµ hai tiÕp tun cđa (O) + AB = AC
+ OAB = OAC + AOB = AOC
+ OA đường trung trực BC
3 Vị trí tương đối hai đường trịn
Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) a Hai đtròn cắt
b Hai đtròn tiếp xúc
c Hai đtròn không giao
4 Gãc ë t©m
x
O
A
I
O A
B
C
B A
O O'
B A
O O'
O O' A A
O O'
+ OO đường trung trực AB
+ R – R’ < OO’ < R + R’
(7)x
O A
B
O
B A
D C
5 Góc nội tiếp:
+ ĐN: Là góc có đỉnh nằm đ.trịn hai cạnh chứa hai dây cung đ.trịn + TC: Trong đ.trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn + Hệ quả: Trong đường tròn
- Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung
hai cung - Các góc nội tiếp khơng q 900 có số đo
nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng
6 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung:
+ TC: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
nửa số đo cung bị chắn
+ Hệ quả: Trong đường tròn,
góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung
7. Góc có đỉnh ngồi đường trịn:
+ Số đo góc có đỉnh bên đ.trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Số đo góc có đỉnh bên ngồi đ.trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
8 Tứ giác nội tiếp
+ Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đ.trịn gọi tứ giác nội tiếp đường trịn (đường trịn gọi đường trịn ngoại tiếp tứ giác)
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) A + C =1800 (B + D =1800)
+ Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện 1800
+ Định lý đảo: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn
+ Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp:
- Cách1: Chứng minh điểm A, B, C, D cách điểm O OA = OB = OC = OD
- Cách 2: * Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 1800 AˆCˆ 1800 BˆDˆ 1800
* Chứng minh góc góc đỉnh đối diện
- Cách 3: Chứng minh đỉnh liên tiếp tứ giác nhìn cạnh hai góc E
O D
C B
A
D C
O E
A
(8)(Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc vng cạnh
đường kính đường trịn)
9 Độ dài đường trịn, cung trịn Diện tích hình trịn, hình quạt trịn
a) Cơng thức tính độ dài đường trịn: C = 2R (R: bán kính đường trịn) Cơng thức tính diện tích hình trịn: S = R2
b) Cơng thức tính độ dài cung tròn n0 :
180 nR
l (R: bán kính đường trịn) Cơng thức tính diện tích quạt trịn n0:
2 360
Rn lR
Sq c) Cơng thức tính diện tích hình viên phân: SVP= Squat - S
10 Hình khơng gian
a) Hình trụ:
+ Diện tích: Sxq= 2rh Stp = Sxq + Sd = 2rh + 2r2
+ Thể tích hình trụ : V = Sđ.h = r2h
(Trong đó: r bán kính đáy; h chiều cao hình trụ; Sđ diện tích đáy) b) Hình nón:
+ Diện tích: Sxq = rl Stp = Sxq + Sd = rl + r2
+ Thể tích hình nón : V =
3
Sđ.h =
r2h
(Trong đó: r bán kính đáy; h chiều cao hình nón; l độ dài đường sinh)
c) Hình cầu:
+ Diện tích mặt cầu: S = d2 = 4R2 + Thể tích hình cầu : V=
3
R
(Trong đó: R bán kính; d đường kính hình cầu)
11 Một số công thức liên quan đến tam giác đường tròn
a) Bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam giác cạnh a + Đường cao tam giác h
3 a
+ Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R =
a
+ Bán kính đường trịn nội tiếp: r =
3
a
b) Độ dài cạnh đa giác nội tiếp đường tròn (có bán kính R): + Cạnh tam giác đều: a = R
+ Cạnh hình vng: a = R + Cạnh lục giác đều: a = R
c) Cơng thức tính diện tích tam giác:
+ Diện tích tam giác thường : S =(a.h):2( a độ dài cạnh, h chiều cao tương ứng) + Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b độ dài cạnh góc vng)
II
1 Khi sđAB sđAM sđMB ?
Nếu điểm M nằm cung AB chia cung AB thành hai cung AM cung MB So sánh cung: Trong đường tròn hai đường tròn nhau:
(9)3 Định lý hệ cung dây: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau:
- Hai cung căng hai dây ngược lại - Cung lớn căng dây lớn ngược lại
- Trong đường tròn hai cung bị chắn dây song song Định lý liên hệ đường kính, cung dây:
- Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung
- Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây cung ( khơng phải đường kính ) qua điểm cung
- Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại
5 Định lý góc tâm: Số đo góc tâm số đo cung bị chắn Định lý góc nội tiếp, hệ góc nội tiếp: Trong đường trịn: + Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn
+ Các góc nội tiếp chắn cung
+ Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung
+ Góc nội tiếp ( nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Định lý góc tạo tia tiếp tuyến dây cung:
Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn
8 Hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
9.Định lý góc có đỉnh bên đường trịn: Góc có đỉnh bên đường trịn có số đo nửa tổng số đo hai cung bị chắn
10 Định lý góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn có số đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
11 Định lý tứ giác nội tiếp:
+ ( Thuận ) : Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800
+ ( Đảo) : Nếu tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn
12 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn: + Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
+ Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
+ Tứ giác có đỉnh cách điểm Điểm gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc
13 Độ dài đường trịn bán kính R là: C 2 R
14 Độ dài cung tròn có số đo n độ, bán kính R là:
180
Rn l
(10)16 Diện tích hình quạt trịn cung n độ bán kính R :
2
360
q
R n S
17 Hình trụ bán kính đường trịn đáy r, chiều cao h: + Diện tích xung quanh là: Sxq 2rh
+ Diện tích tồn phần là: 2 2 2 tp
S rh r r h r
+ Thể tích là: V r h2
18 Hình nón có bán kính đường trịn đáy la r, đường sinh l, chiều cao h: + Diện tích xung quanh là: Sxq rl
+ Diện tích tồn phần là: S rl r2 r l r
tp + Thể tích là:
3
V r h
19 Hình nón cụt có bán kính đường tròn hai đáy r r chiều cao h, độ dài đường sinh l: 1,
+ Diện tích xung quanh là: Sxq r1r l2 + Thể tích là: 2
1 2
1
3 r r r r
V h
HÌNH TRỤ – HÌNH NĨN Hình trụ - Diện tích xung quanh – Thể tích hình trụ
A d
b c
d e a
c f
H×nh 73 b
"Mặt đáy'
"Mặt xung quanh' "Đường sinh' "Mặt đáy' d
r
h
(11)
- Đường kính đáy: d Sxq: Diện tích xung quanh - Chiều cao: h Stp: Diện tích tồn phần V S.h π.r h2
V: Thể tích S: Diện tích đáy
Hình nón – Diện tích xung quanh – Thể tích hình nón
a
c o
a
§êng cao
Đường sinh
o d
c Đáy
Sxq = π.r.l Stp = π.r.l + π.r2 V =1π.r h2
3
- Bán kính: r
- Độ dài đường sinh: l Hình nón cụt
r
l h
r2
1
Sxq = πr + r l1 2 1 2 1 2
1
V = π.h
3
2 2