Đang tải... (xem toàn văn)
• Áp dụng các kiến thức trên, cùng cách tính toán giải phương trình bậc nhất.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
ĐỀ DỰ BỊ (Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 13/03/2018 Câu (3,0 điểm).Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
; ; 4 12
f x y z x y z xy yz y x
Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2 3
1
2 x y
x xy y x xy y Câu (6 điểm)
1) Tìm tất cặp số nguyên x y; thỏa mãn
2 2 5
x xy y x y
2) Có số nguyên dương có chữ số abcde cho abc 10d e chia hết cho 101?
Câu 4(6,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O M N; hai điểm thuộc cung nhỏ AC cho MN song song với AC tia BM nằm hai tia BA BN; BM giao AC P Gọi Q điểm thuộc cung nhỏ BC cho PQ vuông góc với BC QN giao AC R
1) Chứng minh bốn điểm B P R Q; ; ; thuộc đường tròn 2) Chứng minh BR vng góc với AQ
3) Gọi F giao AQ BN Chứng minh AFB BPQ ABR
Câu (2,0 điểm) Giả sử A tập tập số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ 1, phần tử lớn 100 có tính chất, x thuộc A (x 1) tồn a b; thuộc A cho x a b (a b) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ
……… Hết ……… Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi khơng giải thích thêm
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
ĐỀ DỰ BỊ
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 13/03/2018 HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu (3,0 điểm).Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
; ; 4 12
f x y z x y z xy yz y x
Hướng dẫn
Ta có f x y z; ; 2x y y z 9 Vậy fmin x y z
Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2 3
1
2 x y
x xy y x xy y Hướng dẫn
Cộng vế hai phương trình ta có 2x2 xy 3x y 1
2
x x y x x y
1
x x y
TH1: x y2 y y y (thỏa mãn) TH2: 2x y y 2x, suy
2
1 2
x x x x 7x2 5x
0
5
7
x y
x y
Đáp số ; 1; , 1; , 0; , 5;
7
x y
Câu (6 điểm)
1) Tìm tất cặp số nguyên x y; thỏa mãn
2 2 5
x xy y x y
Hướng dẫn
Dễ thấy với x y không thỏa mãn Xét x y, vai trò nhau, giả sử x y Khi ta có x2 xy y2 3x2
(3)+ Nếu y 1 x2 x 6 x2 x 6 + Nếu y x2 x x2 x + Nếu y 2 x2 2x 4 4x2 5 x loại. + Nếu y x2 2x 4x2 x loại Đáp số: x y; 6; , 6; , 1; , 1;
2) Có số nguyên dương có chữ số dạng abcde cho abc 10d e chia hết cho 101?
Hướng dẫn
Ta có abcde abc00 de abc 100 de
101 101
abc de abc abc de
Suy abcde chia hết cho 101 abc de abc 10d e chia hết cho 101 Ta có 101 99999 99999 990
101 101
m m
Suy số có chữ số lớn chia hết cho 101 990 101 Ta có 101 9999 999 99
101
n n
Suy số có chữ số nhỏ chia hết cho 101 100 101
Vậy số số có chữ số thỏa mãn yêu cầu toán là: 990 100 891 Đáp số: 891 số
Câu 4(6,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O M N; hai điểm thuộc cung nhỏ AC cho MN song song với AC tia BM nằm hai tia BA BN; BM giao AC P
Gọi Q điểm thuộc cung nhỏ BC cho PQ vuông góc với BC QN giao AC R 1) Chứng minh bốn điểm B P R Q; ; ; thuộc đường tròn
2) Chứng minh BR vng góc với AQ
(4)A
B C
O
D M
F
E
N
A
B
C O
M
N P
Q
R
E
D G
F
1) Tứ giác BMNQ nội tiếp suy BMN BQN 180 Mà BPR BMN (do MN BC)
Từ BPR BQN 1800, suy tứ giác BPRQ nội tiếp Tức B P R Q; ; ; cùng thuộc đường tròn
2) Gọi PQ giao BC D, AQ giao BR E ta có biến đổi góc sau
EQD DQB AQB PRB ACB RBC EBD
Vậy tứ giác BEDQ nội tiếp, suy BEQ BDQ 900 BR AQ
3) Ta có BPQ BRQ RBN RNB EBF BAE 900 BFE 900 ABE
180 BFE ABE AFB ABR
(5)Câu (2,0 điểm) Giả sử A tập tập số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ 1, phần tử lớn 100 có tính chất, x thuộc A (x 1) ln tồn a b; thuộc A cho x a b (a b) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ Hướng dẫn
• Từ đến 100 có 100 số tự nhiên Tập hợp A tập hợp tập có phần tử nhỏ lớn 100 nên tập hợp A không vượt 100 phần tử
Tổng quát, tập hợp A có n 100 phần tử, xếp phần tử theo thứ tự
1 2
1 x x x xn 100
• Theo đề có x a b với x, a, b thuộc tập hợp A nên ta có x a
x b
1,2,3, ,
k n ta có xk 1 xi xj xk xk 2xk với i j, k
• Áp dụng kết xk 1 xi xj xk xk 2xk ta
2 1
x ; x3 2 4; x4 8; x5 16; x6 32; x7 64, suy tập A phải có phần tử
• Giả sử n 8theo thứ tự giả sử ta suy x8 100
• Áp dụng kiến thức trên, cách tính tốn giải phương trình bậc + Vì x6 x7 32 64 96 x8 2x7 x7 50
+ Vì x5 x6 16 32 48 x7 2x6 x6 25
+ Vì 4 5 6 5 5 25
2
8 16 24 25
x x x x x (mâu thuẫn)
• Vì A tập hợp có phần tử mà xét trường hợp có phần tử cho kết mâu thuẫn nên tập hợp A có phần tử
Với n theo thứ tự giả sử ta suy x9 100 từ ta tìm tập hợp