A/. 4/ Baát cöù soá naøo cuûng chia heát cho 1.. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp[r]
(1)ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN S ph n t c a m t t p h p.T p h p conố ầ ủ ộ ậ ợ ậ ợ
1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng có thể khơng có phần tử nào.
2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø.
3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu AB hay BA.
Nếu AB BA ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B.
*.D¹ng 1: Rèn kĩ viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A chữ cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh a HÃy liệt kê phần tử tập hợp A
b Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A c A h A
Bài 2: Cho tập hợp chữ X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ chữ tập hợp X
b/ Viết tập hợp X cách tính chất đặc trng cho phần tử X Bài 3: Cho tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C phần tử thuộc A không thuộc B b/ Viết tập hợp D phần tử thuộc B không thuộc A c/ Viết tập hợp E phần tử võa thc A võa thc B d/ ViÕt tËp hỵp F phần tử thuộc A thuộc B Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a/ HÃy rõ tập hợp cđa A cã phÇn tư b/ H·y chØ râ tập hợp A có phần tử
c/ TËp hỵp B = {a, b, c} cã phải tập hợp A không?
Bi 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} Hỏi tập hợp B có tất tập hợp con? *Dạng 2: Các tập xác định số phần tử tập hợp
Bµi 1: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số Hỏi tập hợp A có phần tử? Bài 2: HÃy tính số phần tử tập hợp sau:
(2)Bi 3: Cha mua cho em số tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 256 Hỏi em phải viết chữ số để đánh hết sổ tay?
C.HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:
Bài 1.Hãy xác định tập hợp sau cách liệt kê phần tử tập hợp a, A tập hợp chữ số số 2002
b, B lµ tập hợp chữ cụm từ cách mạng tháng tám c, C tập hợp số tự nhiên có chữ số
d, D tập hợp số tự nhiên có hai chữ khác và có chữ số tận Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vu«ng
3
N 1,2,3,4 N N* N N* N* N* Bài 3 Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp
a. A = 1;3;5;7; ;49
b. B = 11;22;33;44; ;99
c. C = 3;6;9;12; ;99
d. D = 0;5;10;15; ;100
Bài 4 Hãy viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp
a A = 1;4;9;16;25;36;49 b.B = 1;7;13;19;25;31;37
A1;4;9;16;25;36; 49;64;81;100 B2;6;12;20;30;42;56;72;90
Bài toán 5: Cho a) A x N x 2; 3;x x100 b) B x N x 6;x100
A x N x ab a ; 3.b B x N 20x c) Cx N x 11.n3;n N x ; 300 HÃy viết tập hợp A, B cách liệt kê phần tử
Bài 5 Tìm số phần tử tập hợp sau
a A = b B = xN/ x2;2x100 c C = xN / x10 d D = xN/x3 Bài 6 Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp
a Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = b Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < c Tập hợp C số tự nhiên x mà x – = x + d TËp hỵp D số tự nhiên x mà x : = x : e Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = x
Bài 7 Cho A = 1;2;3
Tìm tất tập hợp tập hợp A
Bài 8 Ta gọi A tập hợp thực cđa B nÕu A B vµ A ≠ B HÃy viết tập hợp thực tập hợp B = 1;2;3;4
Bài 9 Cho tËp hỵp A = {a, b, c, d, e } a Viết tập A có phần tư b ViÕt c¸c tËp cđa A cã hai phÇn tư
(3)Bài 11 Gọi A tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số, B tập hợp số tự nhiên có ba chữ số , C tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D tập hợp số tự nhiên có ba chữ số tận Dùng kí hiệu sơ đồ để biểu thị quan hệ tập hợp trên
Bài 12 Cho tập hợp A = 4;5;7 , lập tập hợp B gồm số tự nhiên có ba chữ số khác từ phần tử tập hợp A Bảo tập hợp A tập hợp tập hợp B hay sai? Tìm tập hợp chung hai tập hợp A B
Bµi 13 Tìm tập hợp tập hợp sau a A = 9;5;3;1;7
b B tập hợp số tự nhiên x mà x = c C tập hợp số lẻ nhỏ 10
d D tập hợp số tự nhiên x mà x : =
Bài 17 Trong lớp học , học sinh học tiếng Anh tiếng Pháp Có 25 ngời học tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, 18 ngời học hai thứ tiếng Hỏi lớp học có học sinh
Bài 18 Kết điều tra lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá bơi;13 học sinh thích bơi bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền; 10 học sinh thích ba mơn ;12 học sinh khơng thích mơn nào.Tìm xem lớp học có học sinh
Bµi 19 Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thích văn
a Nếu có học sinh không thích toán văn có học sinh thích hai môn văn toán
b Có nhiều học sinh thích hai môn văn toán c Có học sinh thích hai môn văn toán Bài toán 1: Cho tập hợp Aa b c d e, , , ,
a) ViÕt c¸c tËp hợp A có phần tử b) Viết tập hợp A có hai phần tử c) Có tập hợp A cã ba phÇn tư ? cã phÇn tư ?
d) Tập hợp A có tập hợp ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có tập hợp tập hợp B không trờng hợp sau a) A1;3;5 ; B1;3;7 b) Ax y, ; Bx y z, ,
c) A tập hợp số tự nhiên có tận 0, B tập hợp số tự nhiên chẵn
Bài toán 3: Ta gäi A lµ tËp thùc sù cđa B nÕu AB A B; H·y viÕt c¸c tËp thực tập hợp B1; 2;3
Bài toán 4: Cho tập hợp A1; 2;3; 4 ; B3;4;5
Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài toán 5: Cho tập hợp A1; 2;3; 4
a) Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn b) Viết tất tập hợp tập hp A
Bài toán 6: Cho tập hợp A1;3;6;8;9;12 vµ B = x N * / 2 x 12
a)Tìm tập hợp C phần tư võ thc tËp hỵp A võa thc tËp hỵp B Tìm tập hợp D phần tử thuộc hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp M 30;4; 2005; 2;9 HÃy nêu tập hợp tËp M gåm nh÷ng sè: a) Cã mét ch÷ sè b) có hai chữ số c) Là số chẵn
Bài toán 11: Cho Ax N x 2; 4;x x100 ; B x N x 8;x100 a) HÃy liệt kê phần tử tập hợp A ; tËp hỵp B
b) Hai tËp hỵp A, B có nahu không ? Vì ?
Bài toán 13: Cho A tập hợp số tự nhiên đầu tiên, B tập hợp số chẵn
(4)Bài toán 14: Cho Ax N x 7.q3;q N x ; 150
a) Xác định A cách liệt kê phần tử ? b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 Tìm x y M; biết 30 x y40
Bài toán 10: Cho a) A1; 2 ; B1;3;5 b) A x y, ; Bx y z t, , , Hãy viết tập hợp gồm phần tử phần tử thuộc A, phần tử thuộc B Các phép tốn N
1 Tính chất giao hoán phép cộng phép nhân. a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi. 1 Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
2 Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p cho a= b.p.
5 Trong phép chia có dư
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia.
NÕu a b= a = b =
II Bài tập
*.Dạng 1: Các toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau cách hợp lý a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau: a/ 17 125 b/ 37 25 Bµi 3: Tính nhanh cách hợp lí:
a/ 997 + 86 b/ 37 38 + 62 37 c/ 43 11; 67 101; 423 1001 d/ 67 99;
đ, 998 34 c/ 43 11 67 101 B i 4:à TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh:
a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 Bµi 5: TÝnh nhanh:
a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14 Bµi 6 :TÝnh nhanh:
a) 25 12 b) 34 11 c) 47 101 d) 15.302 e) 125.18 g) 123 1001
(5)c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 f) 347 + 418 + 123 + 12
Bµi 8: Tính cách hợp lí nhất:
a) 125 41 b) 25 10 c) 12 125 d) 36 25 50
Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a b+ a.c = a (b+ c) a b + a c + a d = a.(b + c + d) e) 25 + 37 + 38 12
Bµi 9: Tính cách hợp lí nhất:
6 38 63 + 37 38 b) 12.53 + 53 172– 53 84 c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41
*Chú ý:Muốn nhân số có chữ số với 11 ta cộng chữ số ghi kết váo chữ số Nếu tổng lớn ghi hàng đơn vị váo cộng vào chữ số hàng chục.
vd : 34 11 =374 ; 69.11 =759
*Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 101 kết số có cách viết chữ số lần khít nhau
vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ;
*Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 1001 kết số có cách viết chữ số lần khít nhau
VÝ dơ:123.1001 = 123123
*.Dạng 2: Các tốn có liên quan đến dãy số, tập hợp
1:Dãy số cách đều:
VD: TÝnh tæng: S = + + + + + 49 Ta tÝnh tæng S nh sau:
Bµi 1:TÝnh tỉng sau:
a) A = + + + + + 100
Số số hạng dãy là: (100-1):1+1 = 100 A= (100 + 1) 100 : = 5050
b) B = + + + + + 100
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499
c) C = + + 10 + 13 + + 301 d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 Bài 2: Tính tổng:
a) A = + + 11 + 14 + + 302 b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ 203
c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + + 351
Bµi 3: Cho tỉng S = + + 11 + 14 + a)Tìm số hạng thứ100 tổng
b) Tính tổng 100 số hạng
Gii: lu ý: số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách - số đầu
(6)b S= (292 + 5) 100:2 = 23000
Bµi 4: Cho tæng S = + 12 + 17 + 22 +
a)Tìm số hạng tứ50 tổng
b) Tính tổng 50 số hạng Bài 5:Tính tổng tất số tự nhiên x, biết x số có hai chữ số 12 < x < 91
Bµi 6: TÝnh tỉng số tự nhiên a , biết a có ba chữ số 119 < a < 501 Tính tổng chữ số a
Bài 7: Tính + + + + 1998 + 1999 Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất số tự nhiên có chữ số b/ Tất số lẻ có chữ số b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999
Bµi 9TÝnh tổng a/ Tất số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bµi 10: Cho d·y sè:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, HÃy tìm công thức biểu diễn dÃy số
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ số không chia hết cho 2, biểu diễn 2k1, k N Các số tự nhiên chẵn số chia hết cho 2, công thức biểu diễn 2k, k N)
*Dạng 3: Tìm x Bài 1:Tỡm x N bit
a) (x –15) 15 = b) 32 (x –10 ) = 32 Bµi 2:Tìm x N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = b)575- (6x +70) =445 c) 315+(125-x)= 435
Bµi 3:Tìm x N biết :
a) x –105 :21 =15 b) (x- 105) :21 =15
Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = e/ (x – 36):18 = 12
BTNC a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999;
b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số
1.Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000
(7)3.Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn lớp số lẻ.hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu?
4 Điền chữ số thích hợp vào chữ để phép tính : a) 1ab + 36 = ab1 ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5 Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c:
b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng chữ a + b + c
5 Cho bảng vng gồm vng hình vẽ
hãy điền vào ô bảng số tự nhiên từ đến 10
(mỗi số viết lần) cho tổng số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo
6 Kí hiệu n! tích số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7 Trong tờ giấy kẻ vng kích thước 50.50 vng ô người ta viết số tự nhiên biết bốn tạo thành hình vẽ tổng số bốn chứng tỏ số
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số theo thứ tự ngược lại tổng số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có chữ số chẵn
9.Cho bảng gồm 16 vng hình vẽ điền vào ô bảng bảng số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số viết lần.) cho tổng số hàng, cột , đường chéo
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bơ na xi) số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số
số liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số số dãy cho
11 Một số chắn có bốn chữ số, số hàng trăm số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số
12.Tìm số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321
13.Hai người chơi trò chơi bốc viên bi từ hai hộp ngoài.mỗi người đến lượt bốc số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cacr hai hộp người thắng cuộc.biết hộp thứ có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi người thắng
Bài tập cñng cè
1 Tính giá trị biểu thức cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ;
B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130
4 Tổng hai số 78293.số lớn hai số co chữ số hàng dơn vị ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm 2.nếu ta gạch bỏ chữ số ta số số nhỏ tìm hai số
4
10
8
15 29
23
3 17
(8)5.Một phếp chia có thương dư tổng số bị chia ,số chia số dư 195.tìm số bị chia số chia
6.Tổng hai số có a chữ số 836.chữ số hàng trăm số thứ ,của số thứ hai gạch bỏ chữ số hai số có hai chữ số mà số gấp lần số kia.tìm hai số 7.Một học sinh giải toán phải chia số cho cộng thương tìm với nhâm lẫn em nhân số với sau lấy tích tìm trừ kết hỏi số cần phải chia cho số nào?
Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2.tích số phải tìm với số có chữ số tận
Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiên b thương dư 35 10 Viết số A có chữ số ,viết tiếp chữ số lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng phép chia 11 Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thương 233 số dư số r sau bỏ chữ số số M chữ số số N thương khơng đổi số dư giảm 1000.tỡm s M v N?
* Các toán dÃy số viết theo quy luật. Bài toán 1: TÝnh c¸c tỉng sau
a) n b) 2 2. n c) (2. n1) d) 10 2005 e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001 Gi¶i; a)
( )
n n
b)sè sè h¹ng (2n – 2) : + 1= n Tæng = Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A 16 8192 Bài toán 3: a) Tính tổng số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng số chẵn cã hai ch÷ sè
Bài tốn 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có số hạng để kết tổng 190 b) Có hay khơng số tự nhiên n cho n 2004
c) Chøng minh r»ng: (1 n) 7 không chia hết cho 10 n N Bài toán 5: a) TÝnh nhanh 1.2 2.3 3.4 1999.2000
b) áp dụng kết phần a) tính nhanh B1.1 2.2 3.3 1999.1999 c) TÝnh nhanh : C 1.2.3 2.3.4 48.49.50.
HÃy xây dựng công thức tính tổng a) c) trờng hợp tổng quát Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n d·y sè sau:
a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14;24;36;50; g) 4; 28;;70;130;
Bài toán 7: Cho dÃy số 1;1 2;1 3;1 4;
Hỏi dÃy số có số có chữ số tận không ? Tại ?
Bài toán 8: Cho S1 2;S2 3 5;S3 6 9;S4 10 11 12 13 14; Tính S100. Bài toán 9: Tính cách hợp lý
a)
41.66 34.41 11 79
A
b)
1 200 10 34
B
c)
1 5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
C
Bµi 21 H·y chøng tá r»ng hiƯu sau cã thĨ viÕt thµnh mét tÝch cña hai thõa sè gièng : 11111111 – 2222
Bài 22. Tìm kết phép nhân sau a) 2005 2005
33 3.99 c s c s
A
b) 2005 2005
33 3.33 c s c s
(9)Bài 23 Chứng tỏ số sau viết đợc thành tích hai số tự nhiên liên tiếp a 111222 b 444222 c A=
11 122 n c.s1 n c.s2
Gi¶i : Do 111222 : 111 = 1002 nªn 111222 = 111.1002 = 111 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số a) Viết tập hợp A b) Tính tổng phần tử tập hợp A
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c cho 0a b c
a) ViÕt tËp A số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số
b) Biết tổng hai sè nhá nhÊt tËp A b»ng 448 T×m ba chữ số a, b, c nói
Bài to¸n 11: Ngêi ta viÕt liỊn d·y sè tù nhiên 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số thứ 659 chữ số ?
Bài toán 12: Cho S 7 10 13 100
a) Tính số số hạng tổng b) Tìm sè h¹ng thø 22 cđa tỉng c) TÝnh tỉng S Bài toán 14: Chứng tỏ số A=
11 122
n c.s1 n c.s2 tích hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết 100 chữ số 3, số B đợc viết 100 chữ số Hãy tính tích A.B
Các toán số chữ số
Bài1 Một số có chữ số, tận chữ số Nếu chuyển chữ số lên đầu ta đợc số mà chia cho số cũ đợc thơng d 21 Tìm số
Bài 2. Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trớc số đợc số lớn gấp lần so với số có đợc cách viết thêm chữ số vào sau s ú
Bài 3 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần
Bi 4 Nu ta viết thêm chữ số vào chữ số số có hai chữ số ta đợc số có chữ số lớn số lần Tìm số
Bài 5. Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số đó, ta đợc số có bốn chữ số 99 lần số Tìm số
Bài 6 Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số có hai chữ số số đơn vị đợc số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số Hãy tìm số
Bài 7 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số viết theo thứ tự ngợc lại nhân với số phải tìm đợc 3154; số nhỏ hai số lớn tổng chữ số 27
Bài 8 Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị đợc thơng 18 d Tìm số cho
Bài 9 Cho hai số có chữ số chữ số mà tổng hai số 2750 Nếu hai số đợc viết theo thứ tự ngợc lại tổng hai số 8888 Tìm hai số cho
Bài 10 Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết viết thêm chữ số vào hàng nghìn hàng trăm đợc số gấp lần số phải tìm
Bài 11 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta đợc số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 12 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta đợc số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 13 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, cho nhân số với ta đợc số gồm năm chữ số viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 14 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết xoá chữ số hàng trăm số giảm lần Bài 15 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết xố chữ số hàng nghìn số giảm lần Bài 16 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết chữ số hàng trăm xố chữ số số giảm lần
Bài 17 Một số tự nhiên tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm số
(10)Bµi 1 TÝnh nhanh
a 417 + 235 + 583 + 765 +8 +11 +14 + + 38 + 41
b 16 25 13 250 c ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435 + 213) – 13
d 2023 - ( 34 + 1560) 1972 – ( 368 + 972)
e 364 – ( 364 – 111) 249 – ( 75 51)
Bài 2. Tính nhanh tæng sau
a 1+2+3+4+5+ +n e 2+5+11+ +47+65
b 1+3+5+7+ + ( 2n – 1) g 3+12+48+ +3072+12288
c 2+4+6+8+ +2n h 2+5+7+12+ +81+131
d 1+6+11+16+ +46+51 i 49-51+53-55+57-59+61-63+65
Bµi a TÝnh nhÈm 204 36 499.12 601.42 199.41
b Tính nhẩm cách nhân thừa số này, chia thõa sè cho cïng mét sè
66.50 72.125 38.5 15.16.125
c TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nhân số bị chia số chia với số khác không 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 81000 : 125
d TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dơng tÝnh chÊt ( a b ) : c = a : c b : c
169 : 13 660 : 15 119 : 204 : 12 Bài 4 Tìm x
a (158 - x) :7 = 20 b 2x – 138 = 23 32 c 231 - (x – ) =1339 :13
d 10 + 2x = 45 : 43 a 70 - 5.(2x - 3) = 45 b 156 – (x + 61) = 82 c 6.(5x + 35) = 330 d 936 - (4x + 24) = 72 a 5.(3 x + 34) = 515 b (158 - x) : = 20 c (7x - 28) 13 = d 218 + (97 - x) = 313 (2x – 39) + = 80 b)[(3x + 1)3 ]5 = 150 c) 2436 (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 311 : 316 + 62 a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130
a 420 + 65 = ( x + 175) : + 30 b (x32) 17 = 42
c ( 32 15 ) : = ( x + 70 ) : 14 – 40 d 61(53 x) 17 = 1785
e x – 4867 = ( 175 2050 70 ) : 25 + 23
f 697 : x
x 364
15
= 17
g. 92.4 – 27 = x
x350
+ 315 Bµi 5 TÝnh nhanh
a 110
58 168 168 168 74 13 37 ) 912 11 456 (
b 864.48.432
96 432 48 864 15 45 28 17 16 45
c 3650 4375.7255
725 4375 7256 14 74 13 26 ) 315 372 ( ) 372 315 (
d 1980.1979 1978.1979
1958 21 1980 1979 1978 18 16 14 55 27 45 27
1. e.32 28 24 20 16 12
12 26 108 26 127 36 + 64 127 – 27 100 12 : {390 : [500 – (125 + 35 7)]}
2. 57 : 55 - 70 2.125.18 + 36.252 + 4.223.9
3. 50 + 51 + 52 + + 99 + 100 B = 12 62 32 + 32 + 72 + 20
4. 24:{300 : [375 – (150 + 15 5]} 1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
5. 56 : 53 + 32 2195.1952 - 952 427 - 1952 1768
6. 20 + 22 + 24 + 96 + 98 H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 31 32.33
7. 35 + 38 + 41 + + 92 + 95 A = 46 – ( 16 + 71.4) : 15 – 8. B = 24 – 131 – ( 13 – )2 222 + 224 + 226 + + 444
9. 33 35 : 34 + 22 20 (5346 – 2808) : 54 + 51
10. 187 (38 + 62) – 87 (62 + 38) 23 16 - 23 14
(11)L thõa víi sè mị tự nhiên I/ Kiến thức
Định nghĩa: an a.a……….a ( n N*) n thừa số
2 Quy ước: a1 = a ; a0 = ( a 0) Nhân, chia hai lũy thừa số:
( , *)
: ( , *, , 0)
m n m n
m n m n
a a a m n N
a a a m n N m n a
4.Lũy thừa tích: (a.b)n = an bn Lũy thừa lũy thừa: ( am
)n = am.n Lũy thừa tầng: mn (mn)
a a
7 Số phương số mà bình phương số tự nhiên Ví dụ: số 0; 1; 4; 9; 16; 25;… số phương
. Bài tập:
1 Viết số sau dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số ); a) ; 25; 625; 3125;
2.So sánh số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
3.Viết tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
4.So sánh: a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh m a) tính thể tích hình lập phương;
b) cạnh hình lập phương tăng lên lần , lần thể tích hình lập phương tăng lên lần
6 Trong cách viết hệ thập phân số 2100 có chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THƯ C CƠ BẢN:Ù
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng dạng hai lũy thừa có số (lớn 1) số mũ (lớn 0) so sánh Nếu am = an m = n, an = b n a = b
Nếu m > n am > an (a> 1) Nếu a > b an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a < b a.c < b.c (với c > 0) II/ Bài tập
Bài tập 1: Viết gọn biểu thøc sau b»ng c¸ch dïng luü thõa
a, =
b, a a a + b b b b =
(12)k 210 30 b) 27 8125 c) 25 12550 d) 64 163
a) 5 5x x x b) x x1 .2 x2006 c) x x x .4 x100 d) x x x2 .5 x2003
a) : 38 ; ; 19 :197 :810 3; 12 : 67 ; 27 : 815
b) 10 :106 ; : 258 ; : 649 ; : 3225 ; 3
18 : ; 125 : 253
a) 16 : 46 b) 27 : 98 4c) 125 : 255 d) 514 28 e) 12 : 2n 2n g) 64 16 : 44 20
Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức
a, 38 : 34 + 22 23 b, 42 – 32 c,
6 12
4
6 d,
2
21 14.125 35 e,
3
45 20 18 180 g,
13 10 2 2
e 108 54 72 x
g 3 2 3 3 10 10 11
h .104
65 13 2 2 2 10 10
y ( 1253 75 – 1755 : ) : 20012002 k 16 64 82 : ( 43 25 16)
Bµi 4 Cho A = 415 99 – 320 89 B = 5.29.619- 7.229.276 TÝnh A : B C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723 729 TÝnh C : D a) (21717 ).(92 15 ).(215 4 )2 b) (71997 71995) : (71994.7)
c) (12 23344 ).(15 323334 ).(33 8 81 )2 d) (288 ) : (2 )3 a) 104
65 13 10 10
b) (1 + +…+ 100)(12 + 22 + … + 102)(65 111 – 13 15 37)
a)
10 10
9
3 11
A
b)
10 10
8
2 13 65 104
B
c)
9
4
4 36 64 16 100
C
d) 72 54 108 D e)
6 12
4 E f) 13 10 2 2
F
g)
2 21 14.125 35 G h)
3
45 20 18 180
H
i)
22 15 14
11.3 (2.3 )
I
Bài tập 5: Tìm x N biÕt a, 2x = 128 b, x15 = x 1 c, (2x + 1)3 = 125
d, (x – 5)4 = (x - 5)6
d/ x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3 Bài 1: Tìm số mũ n cho luỹ thừa 3n thảo mÃn điều kiện: 25 < 3n < 250
Bài 2. Tìm số tự nhiªn n biÕt
a 5n = 125 34 3n = 37 27 3n = 243 49.7n = 2401
b < 3n < 81 25 5n 125
Bài 3 Tìm x số tù nhiªn, biÕt r»ng : a 2x = 128
b x15 = x
c ( 2x + )3 = 125
d ( x – )4 = ( x – )6 e x2006 = x2
Bài : Tìm x N biÕt
a) 3 243x b) x20 x c) 16x 1024 d) 64.4x 168
Bài 5 Tìm x N biÕt g) 2x15 17
h) (7x11)3 2 55 2200 i) 3x25 26.2 22.30
l) 49.7x2041 m) 64.4x 45 n) 3x 243 p) 34 n 37 Bài 6: Tìm n N biÕt:
a) 3 n 81 b) 25 5 n 125 a) 50 < 2n < 100 b) 50<7n < 2500 Bài 7 Tìm x biết
a) (x1)3125 b) 2x2 2x 96 c) (2x1)3 343
d)
3
(13)a) 2x = 224 b) (3x + 5)2 = 289
c) x (x2)3 = x5 d) 32x+1 11 = 2673 Bài 8: Tìm n N * biÕt
a) 32 2 n 128 b) 2.16 2 n 4
d) (2 : 4).22 n 4 e)
4
1
.3 3
n
g)
5
1
.2 4.2 9.2
n n
h)
1
.27
n n
i) 64.4n 45 k) 27.3n 243 Bài 9: Tìm x N biết
a) 16x 128
b)
1 18
18 /
5 5x x x 100 : c s
chuyên đề: Các toán so sánh hai lu tha
1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa so sánh hai luỹ thừa số số mũ + Nếu hai luỹ thừa có số (lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn h¬n
+ NÕu hai luü thõa cã cïng sè mũ (>0) luỹ thừa có số lớn h¬n sÏ lín h¬n
2 Ngồi hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân
(a<b th× a.c<b.c víi c>0)
VÝ dơ: So sánh 3210 1615, số lớn hơn. Hớng dẫn:
Các số 32 16 khác nhng luỹ thừa lên ta tìm cách đa 3210 1615 luỹ thừa số
3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260
V× 250 < 260 suy 3210 < 1615.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh số sau?
a) 2711 vµ 818 b) 6255 vµ 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n N* ) Híng dÉn:
a) §a số b) Đa số c) Đa số mũ 12 d) §a vỊ cïng sè mị n Bµi 2: a) 523 vµ 6.522 b) 7.213 vµ 216c) 2115 vµ 275.498
Híng dÉn:
a) Đa hai số dạng tích có thừa số giống 522. b) Đa hai số dạng tích có thừa số giống 213. c) Đa hai số dạng tích luỹ thừa số
Bµi 3: a) 19920 vµ 200315. b) 339 vµ 1121.
Híng dÉn :
a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540.
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 = 260.545 b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
Bài 4: So sánh hiệu,hiệu lớn hơn? 72 45-7244và 72 44-7243.
Híng dÉn:
7245-7244=7245(72-1)=7245.71. 7244-7244=7244(72-1)=7244.71. Bµi 5: 27 vµ 72
Ta cã: 27 = 128 ; 72 = 49 V× 128 > 49 nên 27 > 72
Bài 6 a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300 a) Ta cã: 95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
Vì 310 > 39nên 95 > 273 b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
V× 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300 c, 3500 7300
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 NÕu m>n th× am>an (a>1).
(14)7300 = 73.100 (73 )100 = (343)100 V× 243100 < 343100 => 3500 < 7300
d, 85 vµ 47 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47 => 85 < 47
e, 202303 vµ 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101 Ta so s¸nh 2023 vµ 3032
2023 = 23 101 1013 vµ 3032 => 3032 < 2023
3032 = 33 1012 = 9.1012 vËy 303202 < 2002303 f, 321 vµ 231
321 = 20 = 910 ; 231 = 230 = 810 910> 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = (372)660 = 1369660
V× 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979
Bµi 7: So sách cặp số sau:
a/ A = 275 vµ B = 2433 Ta cã A = 275 = (33)5 = 315 vµ B = (35)3 = 315 VËy A = B
b/ A = 300 vµ B = 3200
A = 300 = 33.100 = 8100 vµ B = 3200 = 32.100 = 9100 Vì < nên 8100 < 9100 vµ A < B.
Bµi 8: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714
Ta thÊy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714
Bài 1: So sánh số sau, số lớn
a) 1030 vµ 2100 b) 333444 vµ 444333 c) 1340 vµ 2161 d) 5300 vµ 3453
Bµi 2: So sánh số sau
a) 5217 11972 b) 2100 vµ 10249 c) 912 vµ 277 d) 12580 vµ 25118 e) 540 vµ 62010 f) 2711 818 Bài 3: So sánh số sau
a) 536 vµ 1124 b) 6255 vµ 1257 c) 32n vµ 23n (n N *) d) 523 6.522 Bài 4: So sánh số sau
a) 7.213 vµ 216 b) 2115 vµ 27 495 c) 19920 vµ 200315 d) 339 vµ 1121 Bài 5: So sánh số sau
a) 7245 7244 vµ 7244 7243 b) 2500 vµ 5200 c) 3111 vµ 1714 d) 324680 vµ 237020 e) 21050 vµ 5450 g) 52n vµ ;(5n n N ) Bài 6: So sánh số sau
(15)d) 202303 vµ 303202 e) 321 vµ 231 g) 111979 vµ 371320 h) 1010 vµ 48.505 i) 19901019909 vµ 199110
Bµi 7: So sánh số sau
a) 10750 7375 b) 291 vµ 535 c) 544 vµ 2112 Bài 8: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 1031
* So s¸nh 2100 víi 1030
Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So s¸nh 2100 víi 1031
Ta cã: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 .5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53
= 231 6257 53 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:
231 5127 43 < 231 5127 53 Hay 2100 < 1031 ( **)
Tõ (*),( **) ta cã: 1031 < 2100 < 1031
Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Sè cã 32 ch÷ sè nhá nhÊt Nên 2100 có 31 chữ số cách viết hệ thập phân
Bài 10: So sánh A B biết a) A = 19
5 19 31 30
; B = 19
5 19 32 31
b)
3 20 18
; B =
3 22 20
c) A = 5 5
; B = 3 3 Bài giải:
A = 19
5 19 31 30
Nªn 19A = 19
) 19 ( 19 31 30
= 19
95 19 31 31
= + 19
90
31
B = 19
5 19 32 31
nªn 19B = 19
) 19 ( 19 32 31
= 19
95 19 32 32
= + 19
90
32
V× 19
90
31
> 19
90
32
Suy + 19
90
31
> + 19
90
32
Hay 19A > 19B Nªn A > B
b) A =
3 20 18
nªn 22 A =
) ( 22 18
=
12 20 20
= -
9
(16)B = 3 22 20
nªn 22.B =
) ( 22 20
=
12 22 22
= 1-
9
22
V×
9
20
> 2
9
22
Suy - 2
9
20
< 1- 2
9
22
Hay 22 A < 22 B Nªn A < B
c) Ta cã:
A = 5 5 = ) ( 5 5 1 5 ) 5 ( 5 5 ) 5 ( 8 8 T¬ng tù B =
) ( 3 3 1
2
Tõ (1) vµ (2) Ta cã A = 52 58
1
+ > > >1 32 38
1
+ =B nªn A > B Bµi tËp 10: Cho A = + + 22 + +230
ViÕt A + díi d¹ng lũy thừa Bài 4: Tìm x N biÕt
a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 b) + + + + 99 = (x -2)2
Bài giải: a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2
( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 2
55 = x +1 x = 55- x = 54
b) + + + + 99 = ( x -2)2
2 99
= ( x - 2)2 502 = ( x -2 )2
50 = x -2 x = 50 + x = 52
( Ta cã: + + 5+ + ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm cặp x ; y N tho¶ m·n 73 = x2 - y2
Ta thÊy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
VËy cỈp x; y thoả mÃn là: x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N* biÕt
A = 111 - 777 số phơng x ch÷ sè x ch÷ sè
Bài giải: + Nếu x =
(17)+ NÕu x >
Ta cã A = 111 - 777 = 34 2x ch÷ sè x chữ số mà 34 Suy A số phơng ( loại) Vậy x =
c) Dïng tÝnh chÊt chia hÕt Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + = 5y *)NÕu x = ta cã: 350 + = 2.5y
10 = 2.5y 5y =
y =1
*) NÕu x >0
+ NÕu y = ta cã: 35x + = 2.50 35x + = ( v« lý)
+ NÕu y > ta thÊy:
35x + v× ( 35x ; ) Mµ 5y ( vô lý 35x + = 2.5y) VËy x = vµ y =
Bµi 1: TÝnh tỉng A = + + 22+ + 2100 B = - 32 + 33 - - 3100
Bài giải: A = + + 22 + + 100
=> 2A = + 22 + 23 + + 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100) VËy A = 2101 -
B = - 32 - 33 - - 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101
VËy B = ( 3- 3101) : 4
Bµi 2: a) Viết tổng sau thành tích: 2 2 ; 2 2 223 ; 2 2 22324 b) Chøng minh r»ng: A 2 2223 2 2004 chia hÕt cho 3; vµ 15. Bµi 3: a) ViÕt tỉng sau thµnh mét tÝch 34353637
b) Chøng minh r»ng: B 1 32 40 99 Bµi 4: Chøng minh r»ng:
a) S1 5 5253 5 20046;31;156 b) S2 2 2223 2 10031 c) s3 1652 3315
Bµi 5 Tính tổng sau cách hợp lý
a) A202122 2 2006 b) B 1 32 3 100 c) C 4 4243 4 n d) D 1 52 5 2000
Bµi Cho A 1 2223 2 200 H·y viÕt A+1 dới dạng luỹ thừa Bài Cho B 3 3233 3 2005 CMR: 2B+3 lµ luü thõa cđa
(18)Bµi 9: Chøng minh r»ng:
a) 55 545 73 b) 7675 114 c) 10910810 2227 e) 106 597 g) 3n2 2n23n 10n n N*
h) 817 279 4513 i) 810 89 558 k) 10910810 5557 Bµi 10 TÝnh nhanh
a S = + + 22 + 23 + + 262 + 263 b S = + +32+ 33+ + 320 c S = + + 42 + 43+ + 449 Bµi 11 TÝnh tỉng
a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301
Bài giải: a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200
25 A = 52 + 54+ + 5202 25 A - A = 5202 - VËy A = ( 5202 -1) : 24
b) T¬ng tù B =
1 304
Bµi 3: TÝnh A =
1
+ 72
1
+ 73
1
+ + 7100
1
B =
4
+ 52
4
- 53
4
+ + 5200
4
Bài giải:
A =
1
+ 72
1
+ 73
1
+ + 7100
1
7A = +
1
+ 72
1
+ + 799
1
=> 7A - A = - 7100
1 A = 100 1 : B =
4
+ 52
4
- 53
4
+ + 5200
4
5B = -4 +
4
+ 53
4
+ + 5201
4
B+5B = -4 +5200
4 B = 200 4 : Bµi 3: TÝnh
A = 25 25 25 25
1 25 25 25 25 26 28 30 20 24 28 Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 + +252 +
(19)= (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252) VËy A = 252
1
= 626
1
Bµi tËp 11: ViÕt 2100 số có chữ số tính giá trị nó. Bài tập 13: Tìm số tù nhiªn abcbiÕt (a + b + c)3 = abc (a b c)
(20)C¸c dÊu hiƯu chia hÕt
A/ Mơc tiªu:
-Häc sinh nắm vững tính chất chia hết tdấu hiệu chia hết vào giải tập
-Vận dụng thành thạo phép biến đổi vào tập số học
-Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyờn
I/ Kiến thức
1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b (b 0)
a b q a b a bội b b ước a. 2) Tính chất:
1/ Bất số khác chia hết cho 2/ Nếu a b vàb c a c
3/ Số chia hết cho số b khác 4/ Bất số củng chia hết cho 5/ Nếu a m b m a b m vàa b m
6/ Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số lại chia hết cho m
7/ Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m a +b khơng chia hết cho m a - b không chia hết cho m 8/ Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m
9/ Neáu a m b n , ab mn Hệ Quả: Nếu a b anbn
Neáu a m a n m n , ,( , ) 1 a mn A/ LÝ THUYẾT:
1
0
1
2
1
1
:
2 2, 5
4 4, 25 25
8 8, 125 125
3
9
n
n n
n n
a a a a
A a A a
A a a A a a
A a a a A a a a
A a a a a a
A a a a a a
n
Goïi A = a Tacó
BÀI TẬP:
(21)a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số 4xy chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giaûi: a/ 275x x0;5 ; 275x 25 x 0 ; 275x 125 x 0 b/ 2xy x y, 0;1; 2; ;9 ; 9 4xy x0;1; 2; ;9 , y0, 2, 4,6,8
8xy x0; 2; 4;6;8 ; y2;6 hoặc x1;3;5;7;9;y0; 4;8 : LUYỆN TẬP
1) Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – 1
b/ n2 + n + không chia hết cho 4. c/ 10n - 9
d/ 10n +
Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 50 – = – = 0 4 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = – = 4.
+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – = …5 – = … 4 4 Vậy với n N, 5n – 1
b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, n2 + n + số lẽ nên không chia hết cho
c/ Ta có 10n - = 100…0 – = 99… 9 n chữ số n chữ số
d/ Ta có: 10n + = 100…0 + = 100…08 9 n chữ số n-1 chữ số 2) Chứng minh rằng:
a/ 1028 + 72 b/ 88 + 220 17
Giải: a/ Ta có: 1028 + = 100…0 + = 100……08 (1) 28 chữ số 27 chữ số
Soá 1028 + có tận 008 nên chia hết cho (2) Mặt khác (8;9) = Vậy 1028 + chia hết cho 72
b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 20 = 220(24 + 1) = 220 17 17 vây 88 + 220 chia hết cho 17.
3/ CMR với số tự nhiên n n 2 + n + không chia hết cho 5. Giải:
Với số tự nhiên n n 2 + n = n(n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng 0; 2; 6. Do n 2 + n + tận 6; 8; nên không chia hết cho
(22)Giaûi: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … =….0
Số có chữ số tận nên chia hết cho Bµi 1:Chứng minh rằng:
a) ab ba chia heát cho 11.
b) ab ba Chia hết cho với a > b.
a) Ta coù ab ba= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vaäy ab ba 11. b) Ta coù : ab ba= (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = (a – b)
Chú ý: Nếu ab cd 11 abcd11
Bµi Cho abc deg 7. Cmr abcdeg 7
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11
3) Cho số abc27Chứng minh số bca27 Giải:
: deg 1000 deg 1001 ( deg )
7.143 ( deg )
abc abc abc abc
abc abc
1)Tacoù
Mà : 7.143abc7 abc deg 7. Vậy abcdeg 7
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab.( < a 9, b 9, a,b N)
Khi viết thêm số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số: abba 1000 100 10
1001 110 7.11.13 11.10 11
: 11
abba a b b a
a b a b
abba
Vaäy
3) abc27 27
1000 27
999 27
27.37 27
27 ( 27.37 27)
abc a bc a a bc
a bca
bca Do a
LUYỆN TẬP
1) CMR tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho
2) CMR Tổng số chẳn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẽ liên tiếp không chia hết cho 10
3) Tìm n N để:
(23)4) Cmr ab cd eg 11thì abcdeg 11 5) Cho abc deg 37. Cmr abcdeg 37
6) Cho 10 k – 19 với k > CMR: 102k – 19 7) Cho n số tự nhiên CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 8) Chứng minh ab 2cd abcd 67
Giaûi:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n +
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n +
Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + khoâng chia hết cho 4n chia hết cho không chia hết cho
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho
2) Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) 10
Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + 10 3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ư(27) = 1;3;9; 27 5n < 27 nên n < Vậy n 1;3
b) n + n + => n + + n + 2, maø n +2 n + => n + => n + 1; 2; 4 => n
0; 2
c) 2n + n – => 2(n – 2) + n -2 => n - => n – 1;7 => n 3;9 d*) 3n + 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n
=> 11 – 2n 1;5;7;35 nhưng n < nên n 5;3; 2
4) : deg 10000 100 9999 99 ( )
9999 11; 99 11;( ) 11
Ta abc ab cd eg ab cd ab cd eg
Do ab cd eg
có
Vậy : abcdeg 11
5) : deg 1000 deg 999 ( deg) 27.37 ( deg)
27.37 37; ( deg) 37; : deg 37
Ta abc abc abc abc
abc abc
Do abc abc abc
có
Vậy
(24)Vây 102k – 19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chaün => n = 2k (k N)
Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ => n = 2k + (k N)
Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heát cho
Vaây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho
+ Trường hợp: n = 3k (k N) n chia hết A chia hết cho (1) Trường hợp: n khơng chia hết cho n = 3k + n = 3k +
Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia heát A chia hết cho (2)
Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết A chia heát cho (3)
Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho
8) Ta có abcd 100ab cd Mà: ab 2cd
Suy ra: abcd 2cdcd 200cd cd 201cd3.67cd 67
Vaäy: abcd67
Bài 3 Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành số co ba chữ số thỏa mãn điều kiên sau:
a) Số chia hết cho 5;
a) Số chia hết cho cho
Giải a) Một số chia hết cho số tận có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905
b)Một số chia hết cho cho số tận có hai số có chữ số chia hết cho cho là: 950 ; 590 ;
Bài 4 Cho số 123x43y thay x,y chữ số để số cho chia hết cho Giải Số 123x43y nên y = y = 5.
Với y = , ta có số 123x430 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3
hay 12 + (x+ 1) , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; 9. - Nếu x + = x = ,ta 1232430
(25)Với y = , ta có số 123x435 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 + hay 18 + x ,nên x = ; ; ; ta có số sau : 1230435; 1233435; 1236435 1239435 Bài 5:
1 Điền chữ số vào dấu * để số : a) Chia hết cho : 3*46 ; 199* ; 20*1; a) Chia hết cho : 16*5 ; 174* ; 53*6;
1 Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn chia hết cho 5;
a) Nhỏ chia hết cho 2;
Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho 1995 ≤ n ≤2001
Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; Chứng tỏ rằng:
a) (5n + )(4n + 6) với số tự nhiên n; b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n;
7 Người ta viết số tự nhiên tùy ý cho số số lẻ gấp đôi số số chẵn tổng số viết có chia hết cho hay khơng? Vì sao?
8 Có tờ giấy người ta xé tờ giấy thành mảnh lại lấy số mảnh giấy đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm hay sai?
9 Cho sáu chữ số : , ,5 ,6 ,7 ,9
a) cố số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ chữ số trên?
b) Trong số lập thành có số nhỏ 400? Bao nhiêu số số lẻ ? số chia hết cho 5?
Bài tập cñng cè:
1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + 2*3 chia hết cho 3; b) 5*793*4 chia hết cho 9;
2 Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà không chia hết cho : 51* 745*
3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho mà không chia hết cho
4 Phải thay chữ số x, y chữ số để số 123x44y Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho không?
102001 + ; 102001 –
(26)8 Tìm tất số có dạng 6a14b , biết số chai hết cho , cho cho
9 Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , có chữ số chia hết cho , biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau:
a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5;
c) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 9; d) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số chia hết cho 4;
C¸c ph ơng pháp chứng minh chia hết
Ph
ơng pháp 1: để chứng minh A b (b0) Ta biểu diễn A b k k N Bài 1: Cho n N Chứng minh rằng: (5 )n 100125
Bµi 2: Cho A 2 22 2 2004 Chøng minh r»ng: a) A6 b) A7 c) A30 Bµi 3: Cho S 3 32 3 1998 Chøng minh r»ng : a) S12 b) s39
Bµi 4: Cho B 3 32 3 100 Chøng minh r»ng: B120 Bµi 5: Chøng minh r»ng
a) 3636 4510 b) 810 89 558 c) 55 545 73 d) 767 115 4 e) 24 54 7254 24 10 63 g) 817 279 4513 h) 3n33n12n32n26 n N i) (2102112 ) : 712 số tự nhiên Ph
ơng pháp : Sử dụng hệ tính chất chia hÕt cđa mét tỉng NÕu a b m vµ a m b m
Ph
ơng pháp 3: Để chứng minh biểu thức chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b (b0)Ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia n cho b
Bµi 6: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tù nhiªn liªn liÕp chia hÕt cho 120
(Chú ý: Các toán đợc sử dụng chứng minh chia hết, khơng cần CM lại)
Bµi 7: Chøng minh r»ng: a) (5n7)(4n6) 2 n N b) (8n1)(6n5) không chia hết cho N Bài 8: Chøng minh r»ng: A n n ( 1)(2n1) 6 n N
Bài 9: a) Cho n N Chứng minh rằng: n23 n2 chia d 1 b) CMR: Không tồn n N để n2 1 300
Bài 10: Chứng minh rằng: m n N, ta ln có m n m ( 2 n2) 3 Bài 11: Chứng minh rằng: (n20052006)(n20062005) 2 n N Bài 12: CMR không tồn n N để
2
15 2004
1 20042004 2004 so
n
Ph ơng pháp 4: Để chứng minh A b Ta biểu diễn b dới dạng b m n Khi đó + Nếu (m, n)=1 tìm cách chứng minh A m A n A m n hay A b
+ NÕu ( ; ) 1m n ta biĨu diƠn A a a tìm cách chứng minh a m a n1 ; 2 th× tÝch a a m n1 2 tøc A b Bµi 13: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho
b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24
(27)Bµi 14 : Chøng minh r»ng: nÕu a lµ số lẻ không chia hết cho a2 1 Bµi 15: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai số chẵn liên tiếp chia hết cho
b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 c) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè chẵn liên tiếp chia hết cho 384 Bài 16 : Chøng minh r»ng: B10n18n 1 27
Bµi 16: Chøng minh r»ng:
a) 10n 36n1 27 n N n; 2 b) sè 27 /
11 27 c s
Ph ơng pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết
Bµi 17: Chøng minh r»ng: 1020006 8 72 Bµi 18: Chøng minh r»ng: a) Sè /
55
nc s kh«ng chia hÕt cho 125 ( b) 10n2 93 c) 3737 23 1023
Bµi 19:Chøng minh r»ng: a) 1033 8 2;9 b) 101014 3; 2 c) 1050 5 3;5 d) 1025 26 2;9
Bµi 20: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, sè chia hÕt cho
Bµi 21: Chøng minh r»ng n N th×
a) 24n1 3 5 b) 24n2 1 5 c) 92n1 1 10 d) 74n 1 e) 34n1 2
Bµi 22 : Chøng minh r»ng (2101) 2510
Bài 23: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a) Chứng minh r»ng: b a
b) Gi¶ sư b=k.a Chøng minh k ớc 10 c) Tìm số ab nãi trªn
Phơng pháp 6: để chứng minh A b ta biểu diễn A A 1A2 An chứng minh A ii( 1, )n b
Bµi 1: CMR: a) n N th× /
2 11 nc s
A n
b) a b n N, , th× /
(10n 1) (11 ) nc s
B a n b
c) /
88 9 nc s
n
Bài 24: Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số k Chứng minh a9 Bài 25: Tìm chữ số x, y để 1994xy72
Các tốn tổng hợp: Bài 1: Tìm n N để
a) n 6 n b) 4.n 5 n c) 38 3 n n d) n5n1 e) 3n4n1 g) 2n1 16 3 n Bài 2: Tìm n N để:
(28)d) n8n3 e) n6n1 g) 4n 2n1 h) 12 n8 n i) 20n k) 28n1 l) 113 n m) 113 n 13
Bài 3: Tìm n N để phân số sau có giá trị số tự nhiên a) n b)
n c)
1
n n
d)
2
5
n n
Bài 4: Tìm n N để
a) 4n 5 13 b) 5n 1 c) 25n 3 53 d) 18n
Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho phân số sau có giá trị sè tù nhiªn a) n n
b)
13
n n
c)
3 15 n n d) 13 n n
e)
3
2
n n
g)
6 n n Bµi 6: Tìm số tự nhiên n cho
a) n11n1 b) 7n n c)n22n6n4 d) n2 n 1n1 Bµi 4: Chøng minh r»ng: 882 1720
Bµi 5: Chøng minh r»ng: m4 13n 10m n 13 m n N,
Bµi 6: Có hay không hai số tự nhiên x, y cho (x y x y )( ) 2002 Bµi : Chøng minh r»ng nÕu ab cd 11 th× abcd11
Bài : Cho hai số tự nhiên abc deg chia 11 d Chứng minh số abcdeg 11 Bài 10 : Cho abc deg 13 Chứng minh rằng: abcdeg 13
Bµi 11:Cho biÕt sè abc7.Chøng minh r»ng: 2a3b c 7
Bài 12 : Cho số abc4 a, b chữ số chẵn Chứng minh rằng: a) c4 b) bac4
Bài 13: Tìm chữ số a, b cho a b 4;7 3a b
Bµi 14: Cho 3a2 17( ,b a b N ) Chøng minh r»ng: 10a b 17 Bµi 15:Cho a 17( ,b a b N ) Chøng minh r»ng: 10a b 17 Bµi 16: Chøng minh r»ng: 9.10n18 27 n N
Bµi 17: Chøng minh rằng: abcd99 ab cd 99 ngợc lại Bµi 3: BiÕt a b 7 Chøng minh r»ng: aba7
Bµi 4: BiÕt a b c 7 Chøng minh rằng: abc7 b=c Bài 5: Tìm số tù nhiªn ab cho 567 45a b
Bài 6: Tìm cặp số tự nhiên (a,b) cho a)
1
6
b
a b)
1
4
a b
(29)a) N4 a2 4b b) N8 a2b4 8c
c) N16 a2b4c8 16d víi b ch½n Bµi 8: Chøng minh r»ng:
a) 2x3 17y 9x5 17y b) a4 13b 10a b 13 c) 3a2 17b 10a b 17 Bµi 9: Chøng minh r»ng:
a) 10n72n1 81 n N b) 81 /
11 81 c s
Bài 11: Chứng minh số có hai chữ số chia hết cho tổng chữ số hàng chục lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho
Bµi 12: Víi a, b chữ số khác Chứng minh r»ng: a) abba11 b) aaabbb37
c) ababab7 d) abab baba 9 vµ 101 víi a>b Bµi 13:
Cho số tự nhiên A, Ngời ta đổi chỗ chữ số số A để đợc số B gấp ba lần số A Chứng minh B chia hết cho 27
(30)SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ
PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUN TỐ
A/ LÝ THUYẾT:
+ Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước
+ Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n
n chữ số
+ Cách xác định số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số ngun tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1)
+ Nếu ab Pvới P số nguyên tố a P b P. Đặc biệt: Nếu an P a P
B/ V DUẽ:
Dạng 1:
Bài 1: Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số: a/ 3150 + 2125
b/ 5163 + 2532
c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 225
Bài 2: Chứng tỏ số sau hợp số: a/ 297; 39743; 987624
b/ 1111 có 2001 chữ số 2007 ch÷ sè c/ 8765 397 639 763
Híng dÉn
a/ Các số chia hết cho 11
Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu số tự nhiên có tổng chữ số đứng vị trí hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ ( số thứ tự đợc tính từ trái qua phải, số số lẻ) số chia hết cho 11 Chẳng hạn 561, 2574,…
b/ Nếu số có 2001 chữ số tổng chữ số 2001 chia hết cho Vậy số chia hết cho Tơng tự số có 2007 chữ số số chia hết cho
c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 lµ hợp số Bài 3: Chứng minh tổng sau hợp số a/ abcabc7
(31)c/ abcabc39 Híng dÉn
a/ abcabc7 = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + 7 = 100100a + 10010b + 1001c +
= 1001(100a + 101b + c) +
Vì 1001 1001(100a + 101b + c) 7 7 Do abcabc 7 7, abcabc7 hợp số b/ abcabc22 = 1001(100a + 101b + c) + 22
1001 11 1001(100a + 101b + c) 11 vµ 22 11
Suy abcabc22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hÕt cho 11 vµ abcabc22 >11 nên 22
abcabc hợp số
c/ Tơng tự abcabc39chia hết cho 13 abcabc39>13 nên abcabc39 hợp số Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k số nguyên tố
b/ Tại số nguyên tố chẵn nhất? Híng dÉn
a/ Víi k = th× 23.k = không số nguyên tố với k = 23.k = 23 số nguyên tố
Với k>1 23.k 23 23.k > 23 nên 23.k hợp số.
b/ l s ngun tố chẵn nhất, có số chẵn lớn số chia hết cho 2, nên ớc số ngồi cịn có ớc nên số hp s
Bài 5: Tìm số nguyên tố, biÕt r»ng sè liỊn sau cđa nã cịng lµ mét sè nguyªn tè Híng dÉn
Ta biÕt hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê cịng cã mét sè chẵn số lẻ, muốn hai số nguyên tố phải có số nguyên tố chẵn số Vậy số nguyên tố phải tìm
Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết số nguyên tố
Ta dùng dấu hiệu sau để nhận biết số có số nguyên tố hay không:“ Số tự nhiên a không chia hết cho số nguyên tố p mà p2 < a a số nguyên tố.
VD1: Ta biết 29 số nguyên tố
Ta cã thĨ nhËn biÕt theo dÊu hiƯu trªn nh sau:
(32)- Thư c¸c phÐp chia 29 cho số nguyên tố Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố số 2, 3, Vậy 29 số nguyên tố
VD2: Hãy xét xem số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số số nguyên tố? Hớng dẫn
- Trớc hết ta loại bỏ số chẵn: 1992, 1994, ., 2004 - Loại bỏ tiếp số chia hÕt cho 3: 1995, 2001
- Ta cßn phải xét số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố nguyên tố p mà p2 < 2005 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43
- Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại
- Các số lại 1993, 1997, 1999, 2003 không chia hết cho số nguyên tố tên Vậy từ 1991 đến 2005 có số nguyên tố 1993, 1997, 1999, 2003
C.HDVN: xem lại chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số ngun tố,hợp số
Bài tập
Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100
a)Số A số nguyên tố hay hợp số?
b)Số A có phải số phương không?
Giải: a) Có A > 5; A ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số
b) Có 52 25, 53 25;… ;5100 25, 5 25 nên A 25 Số A A 25 nên A khơng số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước
Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước. Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = 1;2;3;6;9;18; 27;54
Ví dụ 3: Tìm số nguyên toá p cho p + , p + số nguyên tố
Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên
Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề
Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề
Vậy p = số nguyên tố cần tìm
C/ BÀI TẬP:
1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó?
2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không?
(33)a)p + vaø p + 10
b)P + 10 vaø p + 20
4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho
5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n N*, biết an Chứng minh: a2 + 150 25
Giaûi:
1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn
số số số nhỏ ba số nguyên tố cho
2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số
Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003
3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên
Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề
Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề
Vaäy p = số nguyên tố cần tìm
b/ Vì p số ngun tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên
Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề
Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề
Vaäy p = số nguyên tố cần tìm
4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + 1 (1)
p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k N)
Daïng p = 3k + không xãy
Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + 3 (2)
Từ (1) (2) suy p +
(34)Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có an mà số nguyên tố nên a => a2 25.
Mặt khác 15025 nên a2 + 150 25
Bài 1: Tìm hai số nguyên tố biết tỉng cđa chóng b»ng 2005
Bài 2: Tìm số nguyên tố p để 4p11 số nguyên tố nhỏ 30 Bài 3: Cho A 5 52 100
a) Số A số nguyên tè hay hỵp sè b) Sè A cã số phơng không ? Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số
a) A13.15.17 91 b) B2.3.5.7.11 13.17.19.21 c) C12.3 3.41 240 d) D45 36 72 81
e) E91.13 29.13 12.13 g) G4.19 5.4
h) H 323.17 34.3 i) I 7 72737475 k) A1.3.5.7 13 20
l) B147.247.347 13
Bµi 5: Cho n N * Chøng minh r»ng sè / /
11 1211 nc s nc s
A
hợp số
Bài 6: a) Cho n số không chia hết cho Chứng minh r»ng: n2 chia d b) Cho p số nguyên tổ lớn Hỏi p22003 số nguyên tố hay hợp số ?
Bi 7: Cho n N n ; 2 n không chia hết cho Chứng minh rằng: n21 n21 đồng thời số nguyên tố
Bµi 8: Cho p số nguyên tố lớn
a) Chứng tỏ rằng: p có dạng 6k1 6k5 víi k N *
b) BiÕt 8p1 cịng lµ số nguyên tố Chứng minh rằng: 4p1 hợp số
Bài 9: Cho p p8 số nguyên tố (p>3) Hỏi p+100 số nguyên tố hay hợp số Bài 10: Cho n29k với k N Với giá trị k n:
a) Là số nguyên tố b) Là hợp số
c) Không số nguyên tố không hợp số
Bµi 11: Chøng minh r»ng: nÕu 8p-1 vµ p số nguyên tố 8p+1 hợp số
Bài 12: Tìm tất số nguyên tố p, q cho 7p q pq11 số nguyên tố Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố
Bài 14: Tìm số nguyên tố p cho a) 3p5 số nguyên tố b) p+8 p+10 số nguyên tố
Bài 16: Cho n2.3.4.5.6.7 CMR: số tự nhiên liên tiếp sau hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7
Bài 17: Tìm số nguyên tố p cho p6;p8;p12;p14 số nguyên tố
Bµi 18:Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: (p1)(p1) chia hÕt cho 24 Bµi 19:Cho p vµ 2p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 4p+1 hợp số Bài 20:Cho p 10p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 5p+1 hợp sè
(35)Bài 22: Hai số 2n1 2n1 với n >2 đồng thời số nguyên tố hay đồng thời hợp số đợc khơng ?
Bài 23: Tìm số ngun tố p để có
a) p+10 p+14 số nguyên tố b) p+2; p+6 p+8 số nguyên tố c) p+6;p+12; p+24; p+38 số nguyên tố d) p+2; p+4 số nguyên tố
Bài 24: Tìm số nguyên tố a, b, c cho 2a3b6c78 Bài 25: CMR: 2001.2002.2003.2004+1 hợp số
Bài 26: Tìm số nguyên tố p cho p244 số nguyên tố
Bi 27: CMR: Hai số 19941001 19941001 đồng thời số nguyên tố Bài 28: Tìm số nguyên tố p cho p94 p+1994 số nguyên tố
(36)Ước chung bội chung, ƯCLN, BCNN A/ Mơc tiªu:
-Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào giải tập
-VËn dông thành thạo tính chất chia hết vào tập
-Rốn luyn cho hc sinh thúi quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên
I/ Kiến thức
1- Tính chÊt chia hÕt liªn quan a m
a n => a m.n (m,n)=1
a.b m => b m (a, m) =1
Bµi 1: Tìm ƯCLN a/ 12, 80 56
b/ 144, 120 vµ 135 c/ 150 vµ 50
d/ 1800 vµ 90 Híng dÉn
a/ 12 = 22.3 80 = 24 56 = 33.7 VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = 4.
b/ 144 = 24 32 120 = 23 135 = 33 5 VËy ¦CLN (144, 120, 135) =
c/ ¦CLN(150,50) = 50 v× 150 chia hÕt cho 50
d/ ¦CLN(1800,90) = 90 v× 1800 chia hÕt cho 90
Bài 2: Tìm
a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15) Híng dÉn
a/ 24 = 23 3; 10 = 5
BCNN (24, 10) = 23 = 120 b/ = 23 ; 12 = 22 ; 15 = 3.5 BCNN( 8, 12, 15) = 23 = 120
5/ Tìm số tự nhiên a lớn biết 480 a 600 a
Hướng dẫn : 480 a 600 a a lớn
Nên a ƯC LN (480,600)
Ta có 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN (480,600) =23.3.5= 120
(37)6/ Tìm số tự nhiên x biết 126 x 210 x 15 < x < 30
Hướng dẫn: Vì 126 x 210 x 15 < x < 30 nên x Ư C (126,210) 15 < x <30
Ta có 126= 2.32..7 210 = 2.3.5.7
=> Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do Ư C (126,210) =ƯC (42) = 1,2,3,6,7,.14,21,42 Vì 15 < x < 30 nên x =21
7/ Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a 15 a 18
Hướng dẫn : Vì a 15 a 18 a nhỏ khác nên a BCNN(15,18)
Ta có 15 =3.5 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90
Vậy a = 90
8/ Tìm bội chung 15 25 mà nhỏ 400
Hướng dẫn: Ta có : 15=3.5 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75
Nên BCNN(15,25) = B(75) = 0,75,150,225,300,375,450,
Các bội chung 15 25 mà nhỏ 400 0, 75, 150, 225,300, 375
Ví dụ1 Tìm số tự nhiên a biết chia 39 cho a dư 4, cịn chia 48 cho a dư
Giải Chia 39 cho a dư , nên a ước 39 – = 35 a > chia 48 cho a dư nên a ước 48 – = 42 a > a ước chung 35 42 dông thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}
ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a =
Ví dụ 2Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a dư 24 , cịn chia363 cho a thỡ d 43
Dạng 3: Các toán thực tÕ
Bài 1: Một lớp học có 24 HS nam 18 HS nữ Có cách chia tổ cho số nam số nữ đợc chia vào tổ?
Bài 2: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 ngời, 25 ngời, 30 ngời thừa 15 ngời Nếu xếp hàng 41 ngời vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có ngời, biết số ngời đơn vị cha đến 1000?
Hớng dẫnGọi số ngời đơn vị đội x (xN) x : 20 d 15 x – 15 20
x : 25 d 15 x – 15 25 x : 30 d 15 x – 15 30 Suy x – 15 lµ BC(20, 25, 35)
Ta cã 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = 5; BCNN(20, 25, 30) = 22 52 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (kN)
x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 300k + 15 < 1000 300k < 985 k <
17
(38)Chỉ có k = x = 300k + 15 = 615 41 Vậy đơn vị đội có 615 ngời
Bài 3: khối – – theo thứ tự có 300 học sinh- 276 học sinh – 252 học sinh xếp hàng dọc để điều hành cho hàng dọc khối nh Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng lẻ ? kho khối có hàng ngang?
Bài 4: Có 100 90 bút chì đợc thởng cho số học sinh lại 18 bút chì khơng đủ chia Tính số học sinh
Giải: Gọi số học sinh a: => 100 a; 90 – 18 a
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, cho 35 đợc số d 13 Giải Gọi số phải tìm a
=> a- 15 => a – + 30 15 => a + 22 35 a – 13 35 a – 13 + 35 35 a + 22 15
Bài 6: Tìm dạng chung sè tù nhiªn a cho chia 4; 5; lần lợt có số d 3; 4; chia hÕt cho 13
Gi¶i ; a + BC (4; 5; 6)
=> a + 60 => a + – 300 60 => a – 299 60 vµ a 13 a – 13 23 13 a – 299 13
=> a – 299 BCNN (60; 13) a – 299 780
=> a = 780b + 299 (b N)
Bµi 7: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5; cho 7; d 3; 4;
Giải ; Gọi số phải tìm A
=> 2a chia cho 5; 7; d 2a – = BCNN (5; 7; 9) = 315
2a – = 315 => a = 158
Bài 8: Số HS trờng khoảng từ 2500 đến 2600 Nếu toàn thể HS trờng xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn Tính số HS trờng ?
Lêp gi¶i: Gäi sè HS cđa trêng lµ x (x N, 2500 < x < 2600) Tõ giả thiết suy a + số chia hết cho 3, 4,
Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nªn a + chia hÕt cho 420, v× 2503 chia cho 420 b»ng d 403 2601 chia 420 d 81 nên a + = 420.6 tøc lµ a = 2518
VËy sè HS cđa trêng lµ 2518 em
Bµi 9: Một thiết bị điện tử 605 phát tiếng bíp; chiều thứ 625 bíp lúc 10h sáng kêu hỏi lúc kêu (10h 31p)
(39)Gäi sè HS cña trêng lµ x (xN) x : d x – 5
x : d x – 6 x : d x – 7 Suy x – lµ BC(5, 6, 7) Ta cã BCNN(5, 6, 7) = 210 BC(5, 6, 7) = 210k (kN)
x – = 210k x = 210k + mµ x số tự nhiên nhỏ có chữ số nªn x 1000 suy 210k + 1000 k
53
70 (kN) nên k nhỏ k = 5. Vậy số HS trờng x = 210k + = 210 + = 1051 (học sinh)
Bµi 11 Có 100 90 bút bi Cơ giáo chủ nhiểm muốn chia số bút thành số
phần thưởng gôm bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như cịn lại 18 bút bi khơng thể chia cho học sinh.tính sơ học sinh thưởng?
Bµi 12 Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 vừa hết ,thàng
chồng 12 thừa cuốn, thành chồng 18 thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách
Bµi 13 Một lớp học có 28 nam 24 nữ.có cách chia số học sinh lớp thành tổ
sao cho số nam nữ chia cho tổ
Bµi 14 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì 180 tập giấy thành số phần thưởng
nhau Hỏi chia nhiều phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bút bi , bút chì, tập giấy?
Bµi 15: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho
thì khơng cịn dư
a) Tìm số nhỏ có tính chất
a) Tìm dạng chung số có tính chất
Giải.
a) Gọi x số phải tìm x – ( ,3 ,4, , 6) nên x – bội chung 2, 3, 4, 5,
BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60
Vậy x – nhận giá trị: 60 ,120,180,240,300,… x nhân giá trị: 61 ,121 , 181,241,301,…
Trong số trên, số nhỏ chia hết cho số 301
a) Vì x – bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n N*) x ta có : x = 60n
+ = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n ,do để x phải có 4(n + 2) hay n +
7 dặt n + = 7k n = 7k – (k N*)
x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k giá trị : k = 1, 2, 3, …
Bµi 17 Ba em An , Bảo , Ngọc học trường lớp khác An ngày
(40)em trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại trực nhật vào ngày? Đến ngày em trực nhật lần?
Bµi 18 Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số số chia hết cho
bớt số chia hết cho ,nếu bớt 10 số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào?
Bµi 19 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung
quanh vườn cho góc vườn có khoảng cách hai liên tiếp Tính khống cách lớn hai liên tiếp (Khoảng cách số tự nhiên với đơn vị mét ) Khi tổng số ?
Hướng dẫn :Gọi khoảng cách liên tiếp a (mét) góc vườn có khoảng cách liên tiếp lớn nên
105 a 60 a a lớn
=> a ƯCLN(105,60)
Ta có 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5
ƯCLN (105,60) = 3.5.=15
Vậy khoảng cách lớn liên tiếp 15 m Chu vi mãnh vườn (105+60).2 =330 m
Tổng số 330 : 15 = 22
9/ Một khối học sinh xếp hàng hàng hàng hàng hàng thừa em xếp hàng vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số học sinh
Hướng dẫn: Gọi số hs cần tìm a (0<a<300) Theo đề ta có a+1 BC(2,3,4,5,6) 1<a+1<301
Mà BCNN (2,3,4,5,6) = 23.3.5 = 60
BC (2,3,4,5,6) = B(60) = 0,60,120,180,240,300,360, Vì 1<a+1<301nên a+1 0,60,120,180,240,300,
Do a nên a+1 = 120 => a = 119