Dựng các hình vuông
(1)8 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM
MYTS 2019 MYTS 2019 Tìm kiếm Tài Tốn học trẻ
Ngày thi: 21/04/2019 Thời gian làm bài: 120 phút
Câu (10 điểm) Cho hai số 𝑎, 𝑏 có tích Chứng minh
𝑎𝑏(︀𝑎𝑏)︀≥
Hỏi dấu xảy nào?
Câu (15 điểm) Tìm tất số nguyên tố 𝑝 cho 𝑝 có hai ước ngun tố lớn 𝑝
Câu (15 điểm) Cho số 𝑎 , 𝑎, , 𝑎 có tổng lớn Chứng minh tồn
tại số nguyên dương 𝑛 ≤ cho tất số 𝑎𝑛, 𝑎𝑛𝑎𝑛− , , 𝑎𝑛𝑎𝑛− · · ·𝑎
đều số dương
Câu (20 điểm) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 số nguyên, cho 𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎 chia hết cho Chứng minh 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐 chia hết cho
Câu (20 điểm) Trên đoạn thẳng 𝐴𝐵, lấy hai điểm phân biệt 𝐶 𝐷 tuỳ ý cho
𝐶 nằm 𝐴 𝐷 Dựng hình vng 𝐴𝐶𝑀 𝑁, 𝐴𝐷𝐺𝐻, 𝐵𝐶𝑃 𝑄 𝐵𝐷𝐸𝐹, cho hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng 𝐴𝐵, nửa mặt phẳng chứa 𝑀, 𝑃, nửa mặt phẳng lại chứa 𝐺, 𝐸 Gọi 𝐼 giao điểm 𝑄𝐻 𝐹 𝑁 Chứng minh
𝐼𝐶 𝐼𝐷
Câu 6(20 điểm) Mỗi lớp𝐴,𝐵, 𝐶 cóhọc sinh Biết rằng, học sinh thuộc ba lớp đó, quen học sinh thuộc hai lớp cịn lại Chứng minh tồn hai học sinh, thuộc hai lớp khác nhau, quen quen
bạn thuộc lớp lại
(Lưu ý, 𝐴 quen 𝐵 𝐵 quen 𝐴.)