Đề và đáp án HSG 6,7,8

PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 6 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) : a) Tính tổng S = 32.29 6 . 11.8 6 8.5 6 5.2 6 ++++ và chứng tỏ tổng S < 1 ? b) So sánh hai phân số a a 1 − và b b 1 + ( với a ; b là số nguyên cùng dấu và a ; b ≠ 0 ) Bài 2 ( 2,5 điểm ) : a) Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất. Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2009 . x 2006 - 2008 . y 2007 b) Tìm x biết 22) 42424242 33333333 303030 333333 2020 3333 12 33 .( 4 7 =+++− x Bài 3 ( 2,0 điểm ) : Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ? Bài 4 ( 3,0 điểm ) : Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ta kẻ các tia Om và On sao cho mOx = a 0 ; mOn = b 0 ( a > b ). Vẽ tia Ot là phân giác của xOn : a) Tính số đo mOt theo a và b trong hai trường hợp ( tia On nằm giữa hai tia Ox và Om ; tia Om nằm giữa hai tia Ox và On ) ? b) Trên nửa mặt phẳng bờ là xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với tia Ot . Chứng tỏ trong cả hai trường hợp trên ta đều có tia Ot’ là tia phân giác của nOy ? ---------- Hết ---------- PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 7 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) Tìm số nguyên x biết : a)       −+       −+       −= 1 939393 929292 1 626262 616161 313131 303030 1 186 x . b) ( ) 0 5 2 : 5 2 12 5 2 333 =       −       +−− + xxxx m m ( với m ∈ N ; x ≠ 0 ) . Bài 2 ( 2,0 điểm ) : a) Chứng minh : 3 2005 + 3 2006 + 3 2007 + 3 2008 + 3 2009 chia hết cho 11 . b) Cho : 2009 2008 5 4 4 3 3 2 2 1 . x x x x x x x x x x ===== . Chứng tỏ rằng : 2009 1 2008 2009432 2008321 . . x x xxxx xxxx =         ++++ ++++ . Bài 3 ( 2,0 điểm ) : Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ thuận với các số 1 ; 2 và 3 ? Bài 4 ( 3,5 điểm ) : Cho ∆ABC có A < 90 0 , đường cao AH . Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN. Nối MN lần lượt cắt AB và AC tại I và K. Chứng minh : a) CI // HM và BK // HN . b) Trong trường hợp A ≥ 90 0 , chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN . ----------- Hết ----------- PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 8 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,0 điểm ) : Cho biểu thức P = 2 )1( : 1 1 1 1 2 2233 − −         − + +         + − − x xx x x x x x x a) Tìm tập xác định của P rồi rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị là số nguyên. Bài 2 ( 2,5 điểm ) : a) Cho biểu thức M = 32 2 2 ++ xx . Với giá trị nào của x thì M có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ? b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó ? Bài 3 ( 2,5 điểm ) : a) Cho a ≥ 1 và b ≥ 1 . Chứng minh : ab ba + ≥ + + + 1 2 1 1 1 1 22 . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? b) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : mx xm mm mx m + = − +− + − 1343 22 2 Bài 4 ( 3,0 điểm ) : Cho ∆ABC vuông ở A, có B = 20 0 . Vẽ phân giác BI của ABC ( I ∈ AC ) và lấy điểm H ∈ AB sao cho ACH = 30 0 : a) Chứng minh BI 2 < AB . BC ? b) Vẽ CK là phân giác của HCB, chứng minh CK // IH ? c) Tính số đo của CHI ? ----------- Hết ----------- PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 6 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm S = 2.       +++ 32.29 3 . 11.8 3 8.5 3 5.2 3 0,25đ S = 2.       −++−+−+− 32 1 29 1 . 11 1 8 1 8 1 5 1 5 1 2 1 . 0,25đ S = 2.       − 32 1 2 1 = 32 30 0,25đ Vì 30 < 32 nên S < 1 0,25đ b) 1,5 điểm Có a a 1 − = 1 - a 1 và b b 1 + = 1 + b 1 .0,5đ * Nếu a > 0 và b > 0 thì a 1 > 0 và b 1 > 0 0,25đ ⇒ 1 - a 1 < 1 + b 1 hay a a 1 − < b b 1 + 0,25đ * Nếu a < 0 và b < 0 thì a 1 < 0 và b 1 < 0 .0,25đ ⇒ 1 - a 1 > 1 + b 1 hay a a 1 − > b b 1 + 0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm Theo bài ta có x = - 99 + ( - 98 ) + + ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + .+ 98 + 99 . 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + . + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .0,25đ x = 0 ⇒ x 2006 = 0 và y = - 1 ⇒ y 2007 = ( - 1 ) 2007 = - 1 0,25đ Do đó ta có A = 2009 . x 2006 - 2008 . y 2007 = 0 - 2008.( -1 ) = 2008 .0,25đ b) 1,5 điểm Ta có 22) 42424242 33333333 303030 333333 2020 3333 12 33 .( 4 7 =+++− x ⇒ 22) 42 33 30 33 20 33 12 33 .( 4 7 =+++− x 0,25đ ⇒ 22) 42 1 30 1 20 1 12 1 .(33. 4 7 =+++− x 0,25đ ⇒ 22) 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 .(33. 4 7 =−+−+−+−− x 0,25đ ⇒ 22) 7 1 3 1 .(33. 4 7 =−− x ⇒ 22 21 4 .33. 4 7 =− x .0,5đ ⇒ -11.x = 22 ⇒ x = - 2 .0,25đ Bài 3 ( 2,0 điểm ) Gọi phân số tối giản lúc đầu là b a . Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số b a bb a 2 = + ; phân số này nhỏ hơn phân số b a 2 lần .0,5đ Để b ba 2 + gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a 0,5đ ⇒ Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a .0,5đ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là 3 1 .0,5đ Bài 4 ( 3,0 điểm ) m t’ a) 2,0 điểm . Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm giữa hai tia Ox và Om t + Vì tia On nằm giữa hai tia Om và Ox ⇒ xOn = a 0 - b 0 0,25đ x y O + Vì Ot là phân giác của xOn nên nOt = 2 1 xOn = 2 00 ba − 0,25đ + Số đo của mOt là : mOt = mOn + nOt = 2 00 0 ba b − + = 2 00 ba + 0,5đ * khi tia Om nằm giữa hai tia Ox và On m n t’ + Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và On t ⇒ xOn = xOm + mOn = a 0 + b 0 . 0,25đ + Vì Ot là phân giác của xOn nên xOt = 2 1 xOn = 2 00 ba + 0,25đ x O y + Số đo của mOt là : mOt = xOm - xOt = − 0 a 2 00 ba + = 2 00 ba − .0,5đ b) 1,0 điểm Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 90 0 0,5đ Mà tOn = xOt ( do Ot là phân giác của xOn ) 0,25đ ⇒ nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác của nOy 0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 6 ) đúng vẫn cho điểm tối đa ---------- Hết ---------- PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 7 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) a) 1,25 điểm + Rút gọn vế phải có       −+       −+       − 1 93 92 1 62 61 31 30 1 .0,25đ = 93 1 62 1 31 1 −− = 186 1 .0,5đ + Vậy ta có 186 x = 186 1 ⇒ x = 1 0,25đ + Tính được x = ± 1 .0,25đ b) 1,25 điểm + Viết tách x m + 3 = x 3 .x m và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng .0,25đ + Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 ) m - x m = 0 0,25đ + Chuyển vế có ( 2x - 1 ) m = x m và xét : * Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x ⇒ x = 1 .0,25đ * Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x ⇒ x = 1 và x = 3 1 ( loại ) 0,25đ + Vậy x = 1 0,25đ Bài 2 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Đặt 3 2005 làm nhân tử chung đúng .0,25đ + Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 .0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 3 2005 .121 cũng chia hết cho 11 0,5đ + Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 0,25đ b) 1,0 điểm + Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì 2009 2008 5 4 4 3 3 2 2 1 . x x x x x x x x x x ===== = 2009432 2008321 . . xxxx xxxx ++++ ++++ .0,5đ + Lập tích các tỉ số để có 2009 1 2008 2009432 2008321 . . x x xxxx xxxx =         ++++ ++++ 0,5đ Bài 3 ( 2,0 điểm ) + Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1 ≤ x ≤ 9 ; 0 ≤ y ≤ 9 ; 0 ≤ z ≤ 9 0,25đ + Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 ⇒ ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1) .0,25đ + Theo điều kiện trên thì 1 ≤ x + y + z ≤ 27 (2) .0,25đ Từ (1) & (2) ⇒ x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) 0,25đ Theo bài thì 6321 zyxzyx ++ === ∈ N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 0,25đ + Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 0,25đ Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 .0,25đ Bài 4 ( 3,5 điểm ) a) 1,5 điểm A N K I M B H C + Vì I ∈ đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1) + Vì K ∈ đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2) + Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của ∆IHK 1,0 điểm + Do AH ⊥ BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của ∆IHK (3) Từ (2) & (3) ⇒ IC là phân giác trong tại đỉnh I của ∆IHK, kết hợp với (1) ⇒ IC ⊥ AB + Có HM ⊥ AB & IC ⊥ AB nên CI // HM * Chứng minh tương tự, ta cũng có BK ⊥ AC & HN ⊥ AC nên BK // HN 0,5đ b) 2,0 điểm * Trong trường hợp A = 90 0 , chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A 1,0đ * Trong trường hợp A > 90 0 , Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự .0,75đ Vậy trong trường hợp A ≥ 90 0 ta vẫn có CI // HM và BK // HN 0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 7 ) đúng vẫn cho điểm tối đa ---------- Hết ---------- PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 8 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x ≠ 1; x ≠ - 1 và x ≠ ± 2 . 0,25đ + Rút gọn P = x x 2 2 − .0,75đ b) 1,0 điểm + Viết P = x - x 2 0,25đ + Để P có giá trị nguyên thì x là ước của 2 ⇔ x = ± 1 ( loại ) 0,25đ x = ± 2 ( nhận ) .0,25đ + Từ đó các giá trị nguyên của P là 1 và - 1 0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Viết M = 2)1( 2 2 ++ x 0,25đ + Vì ( x + 1 ) 2 ≥ 0 với mọi x ⇒ ( x + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 với mọi x .0,25đ + Có M ≤ 1 2 2 = nên M có giá trị lớn nhất là M = 1 .0,25đ + Dấu “ = ” xảy ra khi x = -1 .0,25đ b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + 7 (m), điều kiện x > 0 .0,25đ Theo định lý Pi-ta-go thì x 2 + ( x + 7 ) 2 = 13 2 0,25đ ⇔ x 2 + x 2 + 14x + 49 = 169 ⇔ 2x 2 + 14x - 120 = 0 ⇔ ( x + 12 )( 2x - 10 ) = 0 Vậy x = -12 ( loại ) hoặc x = 5 ( nhận ) .0,5đ Tính được diện tích của hình chữ nhật S = 60m 2 .0,5đ Bài 3 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Chuyển vế và tách - ab + 1 2 = - abab + − + 1 1 1 1 0,25đ + Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng .0,25đ + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có : )1)(1)(1( )1()( 22 2 abba abab +++ −− 0,25đ + Vì a ≥ 1 và b ≥ 1 nên phân thức trên ≥ 0 ; từ đó suy ra điều cần c/m .0,25đ b) 1,5 điểm + ĐKXĐ : x ≠ ± m .0,25đ + Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) 0,25đ + Với m ≠ 1 ta có x = 2m -3 0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - 3 ≠ m ⇔ m ≠ 3 và 2m - 3 ≠ - m ⇔ m ≠ 1 0,25đ Vậy khi m ≠ 1 và m ≠ 3 thì PT đã cho có 1 nghiệm x = 2m - 3 0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = 0 ⇒ mọi số thực x ≠ ± 1 đều là nghiệm của PT 0,25đ Bài 4 ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B + Có BIC > A ⇒ Vẽ BIN = A ( N ∈ BC ) . 0,25đ ⇒ ∆ABI ∽ ∆IBN ( g-g ) .0,25đ ⇒ AB/ BI = BI/ BN ⇒ BI 2 = AB.BN 0,25đ M + Có BN < BC nên BI 2 < AB.BC 0.25đ K b) 1,5 điểm + Tính được HCB = 40 0 ⇒ HCK = BCK = 20 0 .0,25đ H N + Tam giác vuông AHC có ACH = 30 0 ⇒ AH = CH/2 0,25đ (1) + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) A I C ⇒       =       = BK BC HK CH HK AH 2 1 2 1 0,25đ (2) + Vẽ KM ⊥ BC tại M thì ∆BMK ∽ ∆BAC ( g-g ) ⇒ BM AB BK BC = ⇔ BM AB BK BC 22 = 0,25đ Kết hợp với (2) ⇒ HK AH BC AB BK BC == 2 (3) ; vì BI là phân giác ABC nên BC AB IC IA = (4) .0,25đ + Từ (3) & (4) ⇒ HK AH IC IA = ⇒ HI // CK 0,25đ c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 20 0 ( 2 góc so le trong ) 0,5đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 8 ) đúng vẫn cho điểm tối đa ----------- Hết ----------- . THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 6 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5. 11.8 6 8.5 6 5.2 6 ++++ và chứng tỏ tổng S < 1 ? b) So sánh hai phân số a a 1 − và b b 1 + ( với a ; b là số nguyên cùng dấu và a ; b ≠ 0 ) Bài 2 ( 2,5