Câu 1(4đ): Chứng minh rằng: M = a 4 + 6a 3 + 11a 2 + 30a Chia hết cho 24 với mọi số nguyên a Câu 2(4đ): a) Giải phương trình ( ) 2 2 1 2x x x+ = + . b) Giả sử hệ phương trình 1 4 3 12 1 3 10 5 x y z x y z − − = + + = có nghiệm ( ) ; ;x y z . Chứng tỏ x y z + + không đổi. Câu 3(4đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y x= có đồ thị là (G). Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là 1− và 3 . a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B. b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d). Câu 4(6đ): a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng với tam giác DBP. b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC Câu 5(2đ): Giải hệ phương trình: 2 x + y + z = 1 2x + 2y - 2xy + z = 1 . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh . Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu Nội dung Điểm Câu 1 Ta có: M = a 4 + 6a 3 + 11a 2 + 30a = a 4 + 6a 3 + 11a 2 + 6a + 24a = a(a 3 + 6a 2 + 11a + 6) + 24a = a(a + 1)(a 2 + 5a + 6) + 24a = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 24a. Vì: a là số nguyên => a; (a + 1); (a + 2); (a + 3) là 4 số nguyên liên tiếp => a(a + 1)(a + 2)(a + 3) chia hết cho 4! = 24 và 24a chia hết cho 24 với mọi số nguyên a nên M chia hết cho 24 với mọi số nguyên a. 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ Câu 2 a) Điều kiện 0x ≥ . 0,25đ PT ( ) ( ) 2 2 0x x x x⇔ − − − = . 0,5đ ( ) ( ) 1 2 0x x x⇔ − − = . 0,5đ Suy ra: 2 0, 1 0 1; 4x x x x x− = − = ⇔ = = . 0,5đ KL: Nghiệm PT là 1; 4.x x= = 0,25đ b) 3 4 12 (1) 10 3 6 30(2) x y z HPT x y z − − = ⇔ + + = . 0,5đ Trừ (2) cho (1) ta được: ( ) 7 18x y z+ + = 1,0đ KL : 18 7 x y z+ + = không đổi. 0,5đ Câu 3 a) HS vẽ đúng đồ thị y x= . 0,5đ Ta có: ( ) ( ) 1;1 , 3;3A B− . 0, 5đ PT đường thẳng AB: 1 3 2 2 y x= + . 1,0đ b) Nhận xét tam giác OAB vuông tại O. 0,5đ Hạ OH vuông góc với AB 2 2 2 1 1 1 OH OA OB ⇒ = + . 0,5đ KL: Khoảng cách cần tìm là 3 5 5 . 1,0đ Câu 4 a) F E C B O A P D 0,5đ sđ DCE = 1 2 sđ DE, sđ DPE = 1 2 sđ(DE - CF), sđ CAF = 1 2 sđ CF 0,5đ Do đó sđ(DPE + CAF) = 1 2 sđ(DE - CF + CF) = 1 2 sđ DE 0,5đ Vậy: DCE = DPE + CAF 0,25đ PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Ta có: BA 2 = BC . BD ⇒ BC BA BA BD = nhưng BA = BP 0,5đ Do đó: ; BC BP BP BD = PBC = PBD 0,5đ Vậy: tam giác PBC và DBP đồng dạng 0,25đ b) L M Y X D E F K I J B A C O L Y M X F E D J I K A CB 0,5đ Vẽ các tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F ta có: (1) OI ≤ OD ; OJ ≤ OE ; OK ≤ OF 0,5đ Qua O vẽ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt BC tại các điểm X và Y. Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB tại M; qua Y vẽ đường thẳng song song với BE cắt AC tại L. Ta có các kết quả sau: 0,5đ (2) OE = YL ( OELY là hình bình hành); OF = XM 0,25đ (3) ∆OXY ≈ ∆ ABC ⇒ OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY ⇒ OD < XY 0,25đ (4) ∆MBX ≈ ∆ FBC ⇒ MX < BX (vì ∆FBC cũng có cạnh BC lớn nhất) 0,25đ (5) ∆LYC ≈ ∆ EBC ⇒ YL < YC (vì ∆EBC cũng có cạnh BC lớn nhất) 0,25đ Từ 5 kết quả suy luận trên ta được: OI + OJ + OK ≤ OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC 0,5đ Câu 5 Ta có hệ phương trình : 2 2 x+y+z=1 x+y = 1-z 2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1 ⇔ 2 2 x + y = 1 - z 2xy = z - 2z + 1 = (1- z) ⇔ 2 2xy = (x + y)⇔ ⇔ 2 2 x + y = 0 x = y = 0 z = 1⇔ ⇒ . Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1). 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ MA TRẬN ĐỀ Nội dung – Chủ đề Mức độ Tổng Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao KQ TL KQ TL KQ TL Số học C1 4 1 4 Đại số C2a,C3a 4 C3b 2 C2b,C5 4 5 10 Hình học C4a 3 C4b 3 2 6 Tổng 2 4 3 9 3 7 8 20 Người ra đề: Nguyễn Thái Hòa. Đơn vị: Trường THCS Phúc Thịnh. . D 0,5đ sđ DCE = 1 2 sđ DE, sđ DPE = 1 2 sđ (DE - CF), sđ CAF = 1 2 sđ CF 0,5đ Do đó sđ(DPE + CAF) = 1 2 sđ (DE - CF + CF) = 1 2 sđ DE 0,5đ Vậy: DCE = DPE. x y z − − = ⇔ + + = . 0,5đ Trừ (2) cho (1) ta được: ( ) 7 18x y z+ + = 1,0đ KL : 18 7 x y z+ + = không đổi. 0,5đ Câu 3 a) HS vẽ đúng đồ thị y x= .