UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán Ngày kiểm tra 30/12/2020 Câu (2,0 điểm) 1) Thực phép tính b) a) 12 27 108 192 2) Giải phương trình 4x 12 42 3 9x 27 x 3 Câu (2,0 điểm) Với x 0, x cho biểu thức P x7 x 1) Tính giá trị biểu thức P x 2) Chứng minh Q Q x 1 x 3 x x 3 x 3 9x x x 3 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A P.Q Câu (2,0 điểm) 1) Cho hàm số bậc y (m 3)x 3m có đồ thị (d) (m tham số; m 3 ) a) Vẽ (d) m b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ c) Xác định m để đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x 2) Hãy tính chiều cao tháp Eiffel mà khơng cần lên tận đỉnh tháp biết góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 620 bóng tháp mặt đất 172m ( làm tròn kết tới chữ số thập phân thứ nhất) Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB ( AB 2R ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Lấy điểm C thuộc nửa đường trịn ( C khác A B), qua C kẻ tiếp tuyến nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự M N a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O thuộc đường tròn b) Nối điểm O với điểm M, điểm O với điểm N Chứng minh AM.BN R c) Đoạn ON cắt nửa đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp CNB d) Cho AB 6cm Xác định vị trí M N để hình thang AMNB có chu vi 18cm Câu (0,5 điểm) Cho a 1,b 9,c 16 a.b.c 1152 Tìm giá trị lớn biểu thức P bc a ca b ab c 16 EDIT BY CUMINHQUANG & TEAM XOXIEN -Hết - ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 1) Thực phép tính 12 27 108 192 10 12 a) b) 3 1 3 1 3 4x 12 2) Giải phương trình 9x 27 x ĐK: x 3 x3 x3 4 x3 x3 x3 x ( thỏa mãn điều kiện x 0, x ) Vậy phương trình có tập nghiệm S 7 Câu (2,0 điểm) Với x 0, x cho biểu thức P x7 x x 1 Q x 3 x x 3 x 3 9x 1) Tính giá trị biểu thức P x x thỏa mãn điều kiện x 0, x Thay x vào biểu thức P ta có: P 47 11 11 3.2 Vậy: với x ta có P x x 3 2) Chứng minh Q x 1 Ta có Q x 3 x 3 x 1 11 x x 3 x 3 x 1 x x 3 9x x9 x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x x x 2x x x x x 3 3x x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Vậy với x 0, x , ta có Q x x 3 x x 3 x 3 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A P.Q Với x 0, x , ta có A P.Q x7 x x7 x x 3 x 3 16 x 3 x 3 6 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số khơng âm ta có: x 3 16 x 3 8 x 3 16 Dấu " = " xảy x x 3 16 x 3 6 x ( thỏa mãn điều kiện x 0, x ) Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x Câu (2,0 điểm) 1) Cho hàm số bậc y (m 3)x 3m có đồ thị (d) (m tham số; m 3 ) a) Vẽ (d) m Khi m ta có cơng thức y 3x Bảng giá trị tương ứng x y x y 3x 1 1 Đồ thị hàm số y 3x đường thẳng qua điểm (0; 1) ;0 3 0.5 O 0.5 1.5 b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 3m m 2 c) Xác định m để đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x m m 1 m 1 ( thỏa mãn điều kiện m 3 ) 3m m Vậy m 1 đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y 2x 2) Hãy tính chiều cao tháp Eiffel mà khơng cần lên tận đỉnh tháp biết góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 620 bóng tháp mặt đất 172m ( làm tròn kết tới chữ số thập phân thứ nhất) Bài tốn mơ tả hình vẽ Chiều cao tháp Eiffel độ dài đoạn BH ABH vng H nên ta có BH AH.tan BAH ( Hệ thức lượng tam giác vuông) BH 172.tan620 323,5 m Vậy chiều cao tháp Eiffel 323,5 m Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB ( AB 2R ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By nửa đường trịn Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn ( C khác A B), qua C kẻ tiếp tuyến nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự M N a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O thuộc đường tròn y x N C I M H A O B MA tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A (gt) MA OA ( tính chất tiếp tuyến ) OAM 900 OAM vuông A ( định nghĩa) Ba điểm O, A, M thuộc đường trịn đường kính OM MC tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C (gt) MC OC ( Tính chất tiếp tuyến ) (1) OCM 900 OCM vuông C ( định nghĩa) Ba điểm O, A, M thuộc đường trịn đường kính OM (2) Từ (1) (2) suy bốn điểm A, M, C, O thuộc đường trịn đường kính OM b) Nối điểm O với điểm M, điểm O với điểm N Chứng minh AM.BN R MA, MC hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A C (gt) MA = MC (3) OM tia phân giác AOC ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) Chứng minh tương tự có NC = NB (4) ON tia phân giác BOC Mà AOC BOC hai góc kề bù OM ON OMN vuông O MC tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C (gt) OC MC ( tính chất tiếp tuyến ) OC MN OM đường cao OMN OMN vng O, có OM đường cao OC2 MC.NC (5) Từ (3), (4), (5) suy OC AM.BN Mà OC = R suy AM.BN R c) Đoạn ON cắt nửa đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp CNB Gọi giao điểm CB ON H NC, NB hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C B (gt) NO tia phân giác CNB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) NH tia phân giác CNB Nửa đường tròn (O) có OC = OI ( bán kính ) OCI cân O ( định nghĩa) OCI OIC ( tính chất tam giác cân ) Có OC MN (chứng minh trên) OCN 900 Mà OCN OCI NCI OCI NCI 900 (7) Mặt khác NC = NB ( chứng minh ) NCB cân N ( định nghĩa) Mà NH tia phân giác CNB ( chứng minh ) Suy NH đường cao ứng với cạnh CB ( tính chất tam giác cân ) NH CB HIC vuông H (6) HIC ICH 900 OIC ICH 900 (8) Từ (6), (7), (8) ICH NCI Mà tia CI nằm hai tia CN CH CI tia phân giác NCB CNB có hai đường phân giác NH CI cắt I Suy I tâm đường tròn nội tiếp CNB (đpcm) d) Cho AB 6cm Xác định vị trí M, N để hình thang AMNB có chu vi 18cm Ax, By hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A B (gt) Ax AB By AB ( tính chất tiếp tuyến ) Ax // By ( từ vng góc đến song song ) AM // BN Tứ giác AMNB có AM // BN Tứ giác AMNB hình thang ( định nghĩa) Chu vi hình thang AMNB AM MN NB AB AM MC NC NB AB AM AM NB NB AB AB 2(MA NB) Đặt MA a, NB b (a 0, b 0) 2(a b) 18 a b (9) Nửa đường tròn (O) có AB 6cm OA OB 3cm R 3cm Mà AM.BN R AM.BN ab (10) Từ (9) (10) a2 6a (a 3)2 a Suy b Vậy điểm M nằm tia Ax, điểm M cách điểm A khoảng 3cm Điểm N nằm tia By, điểm N cách điểm B khoảng 3cm Câu (0,5 điểm) Cho a 1,b 9,c 16 a.b.c 1152 Tìm giá trị lớn biểu thức P bc a ca b ab c 16 Lời giải Với a 1,b 9,c 16 Áp dụng bất đẳng thức Cosi có a 1 a 1 a abc bc a bc 2 Chứng minh tương tự ta có: b abc ca b ca 16 c 16 abc ab c 16 ab Suy P bc a ca b ab c 16 abc abc abc 19abc 19.1152 912 24 24 Dấu " = " xảy a 2, b 18, c 32 Vậy P đạt giá trị lớn 912 a 2, b 18, c 32 ... Chứng minh I tâm đường tròn n? ?i tiếp CNB G? ?i giao ? ?i? ??m CB ON H NC, NB hai tiếp tuyến nửa đường tròn (O) C B (gt) NO tia phân giác CNB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) NH tia phân giác CNB... 90 0 (8) Từ (6), (7), (8) ICH NCI Mà tia CI nằm hai tia CN CH CI tia phân giác NCB CNB có hai đường phân giác NH CI cắt I Suy I tâm đường tròn n? ?i tiếp CNB (đpcm) d) Cho AB 6cm Xác định... tia phân giác CNB ( chứng minh ) Suy NH đường cao ứng v? ?i cạnh CB ( tính chất tam giác cân ) NH CB HIC vuông H (6) HIC ICH 90 0 OIC ICH 90 0 (8) Từ (6), (7), (8) ICH NCI