Lấy K đối xứng với A qua E và các điểm khác như hình vẽ... Vậy tam giác QIL vuông cân nên ta có điều phải chứng.[r]
(1)BÀI TỐN BA HÌNH VNG
Nguyễn Đăng Khoa - THCS Lâm Thao - Lâm Thao - Phú Thọ Ngày 12 tháng năm 2018
(Dành tặng bạn bè, thầy cô trường THCS Lâm Thao)
1 Bài tốn ba hình vng
Cho ba hình vng xếp hình vẽ Chứng minh rằng: α+β = 45◦
2 Một số lời giải cho tốn hình vng
2.1 Tiếp cận toán phương pháp đồng dạng
(2)Ta có: 4BCA∼ 4BAD(c.g.c) nên BCA[ +BDA\=BCA[ +BAC[ = 45◦ Lời giải 2:
Ta có: 4AIP ∼ 4AP Q(c.g.c)suy AP F[ +AQP[ =AP F[ +AP I[ =IP F[ = 45◦ Lời giải 3:
(3)Ta có: 4CIQ∼ 4EAP(c.g.c)suy AP E[ +AQE[ =CQI[ +AQE[ =COQ[ = 45◦ Lời giải 5:
(4)Ta có: 4IAP ∼ 4EAQ(c.g.c) suy AQE[ +AP E[ =IP A[+AP E[ =BP E\= 45◦
Lời giải 7:
Ta có: 4IAQ∼ 4EAP(c.g.c) suy AQE[ +AP E[ =AQE[ +IQA[ =CQE[ = 45◦
(5)2.2 Tiếp cận toán cặp tam giác nhau, tam giác vng cân
Lời giải 8:
Ta có:4ABL =4AEP =4LF Q(c.g.c)nên ta có4ALQlà tam giác vng cân vàAP E[+AQE[ =
[
F QL+AQE[ =AQL[ = 45◦
Lời giải 9:
Ta có: 4AKL=4P EA(c.g.c)và 4AEQ=4LIP(c.g.c)
(6)Lời giải 10:(Bạn đọc tự chứng minh)
(7)Lời giải 12:
Ta có: 4F P N =4EAP(c.g.c)và 4ABN =4AEQ(c.g.c)Suy 4AP N vuông cân vàAQE[ +
[
AP E =\AN B+\F N P =\AN P = 45◦
(8)Ta có 4AN Q vng cân 4AEP ∼ 4N RQ(c.g.c) Từ suy điều cần chứng minh
Lời giải 14:(Bạn đọc tự chứng minh)
(9)Ta có: 4AQM vng cân 4ACM ∼ 4AEP(c.g.c)từ ta điều phải chứng minh
Lời giải 16:(Bạn đọc tự chứng minh)
(10)Ta có:4AQL vng cân và4AEP ∼ 4ACL(c.g.c)từ giúp ta có điều phải chứng minh
2.3 Tiếp cận toán phương pháp sử dụng tứ giác nội tiếp
(11)Ta có: AIQ[ =AEQ[ = 90◦ nên tứ giác AEQI nội tiếp từ AQE[ =AIE[ Kết hợp với AP E[ =EIF[ do4IEF =4P AE Từ ta có lời giải tốn
Lời giải 19:
Ta có tứ giác AIPE nội tiếp suy AP E[ =AIE[ Kết hợp với 4IEH ∼ 4QAE(c.g.c) ta có điều phải chứng minh
Lời giải 20:
(12)Mặt khác: AF
F I = QF
EF = 2⇒ AQk EI ⇒AQE[ =F EI[ Suy AP E[ +AQE[ = F EI[ +F IE[ =
[
IF Q= 45◦
Lời giải 21:(Bạn đọc tự chứng minh)
(13)Ta có tứ giác IDQA nội tiếp nên AP E[ = IDB[ =CQA[ Suy AP E[ +AQE[ =CQA[ +AQE[ =
[
CQE = 45◦
2.4 Tiếp cận toán cách sử dụng định lý Pythagoras
Lời giải 23:
Lấy K đối xứng với P qua E Hạ QH vng góc với KA Đặt cạnh hình vng a(đvđd)
Ta có:AP E[ +AQE[ =AKE\+AQE[ =\HAQ Vậy ta cần chứng minh tam giác HAQ vuông cân
Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác AEK ta tính AK =√5a Mặt khác AK.KH =KE.KQ= 10a2 ⇒KH = 2√5a;AH =√5a.
Ta lại áp dụng tiếp định lý Pythagoras tam giác KHQ ta có: HQ=√5a
Suy HA=HQ=√5a Suy tam giác HAQ vng cân hay ta có điều phải chứng minh
(14)Lấy K đối xứng với Q qua E Hạ PH vng góc với KA Làm tương tự lời giải 23 ta có điều phải chứng minh
Lời giải 25:(Bạn đọc tự chứng minh)
LấyK đối xứng với P qua E Gọi H chân đường cao kẻ từK xuống QA Ta có tam giácHKA vng cân hồn tất chứng minh
Lời giải 26:
LấyK đối xứng với A qua E điểm khác hình vẽ Ta có: AQE[ +AP E[ =QILd
(15)Ta tính EH =
√
5
5 a suy QL=
√
5 a
Ta có: AI
AT =
AK AK+QT =
4
5 mà AT =AP +P T = 3√5
2 a nên AI = 6√5
5 a
Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác QLA ta có: AL=
√
5 a
Suy IL = AL−AI =
√
5
5 a = QL Vậy tam giác QIL vng cân nên ta có điều phải chứng
minh
Lời giải 27:
LấyK đối xứng với P qua E Lấy I đối xứng với A quaE Kẻ QLvng góc với KI Ta có:AP E[ +AQE[ =EKI[ +IQE[ =QILd
Vậy ta cần chứng minh tam giácQIL vng cân
Ta có: KI.KL =KE.KQ = 10a2 ⇒KL= 2√5a⇒IL=√5a.
Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác KLQ ta có: LQ = √5a = IL Suy tam giác ILQ vuông cân
(16)3 Tổng qt cho tốn hình vng
Bài tốn tổng qt: Cho hình chữ nhật tạo (2m+ 1)x(2n+ 1) hình vng (vớin > m) xếp kề hình vẽ
Chứng minh rằng: ∠OAn+m+1Bn−m+∠OA2n+1B2m+1 = 45◦
Khi n = m= ta có tốn hình vng
(17)4 Tài liệu tham khảo
[1] Nâng cao phát triển tốn - Vũ Hữu Bình Nxb Giáo dục Việt Nam
[2] Phương pháp sáng tạo tốn hình học trung học sở - TS Nguyễn Ngọc Giang Nxb đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh
[3] Tài liệu chun tốn trung học sở tốn - Vũ Hữu Bình(chủ biên) Nxb Giáo dục Việt Nam
[4] Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học - Nguyễn Đức Tấn Nxb Giáo dục Việt Nam
[5] https://diendantoanhoc.net/
[6] https://violet.vn/