Bài toán ba hình vuông

Lấy K đối xứng với A qua E và các điểm khác như hình vẽ... Vậy tam giác QIL vuông cân nên ta có điều phải chứng.[r]

(1)

BÀI TỐN BA HÌNH VNG

Nguyễn Đăng Khoa - THCS Lâm Thao - Lâm Thao - Phú Thọ Ngày 12 tháng năm 2018

(Dành tặng bạn bè, thầy cô trường THCS Lâm Thao)

1 Bài tốn ba hình vng

Cho ba hình vng xếp hình vẽ Chứng minh rằng: α+β = 45◦

2 Một số lời giải cho tốn hình vng

2.1 Tiếp cận toán phương pháp đồng dạng

(2)

Ta có: 4BCA∼ 4BAD(c.g.c) nên BCA[ +BDA\=BCA[ +BAC[ = 45◦ Lời giải 2:

Ta có: 4AIP ∼ 4AP Q(c.g.c)suy AP F[ +AQP[ =AP F[ +AP I[ =IP F[ = 45◦ Lời giải 3:

(3)

Ta có: 4CIQ∼ 4EAP(c.g.c)suy AP E[ +AQE[ =CQI[ +AQE[ =COQ[ = 45◦ Lời giải 5:

(4)

Ta có: 4IAP ∼ 4EAQ(c.g.c) suy AQE[ +AP E[ =IP A[+AP E[ =BP E\= 45◦

Lời giải 7:

Ta có: 4IAQ∼ 4EAP(c.g.c) suy AQE[ +AP E[ =AQE[ +IQA[ =CQE[ = 45◦

(5)

2.2 Tiếp cận toán cặp tam giác nhau, tam giác vng cân

Lời giải 8:

Ta có:4ABL =4AEP =4LF Q(c.g.c)nên ta có4ALQlà tam giác vng cân vàAP E[+AQE[ =

[

F QL+AQE[ =AQL[ = 45◦

Lời giải 9:

Ta có: 4AKL=4P EA(c.g.c)và 4AEQ=4LIP(c.g.c)

(6)

Lời giải 10:(Bạn đọc tự chứng minh)

(7)

Lời giải 12:

Ta có: 4F P N =4EAP(c.g.c)và 4ABN =4AEQ(c.g.c)Suy 4AP N vuông cân vàAQE[ +

[

AP E =\AN B+\F N P =\AN P = 45◦

(8)

Ta có 4AN Q vng cân 4AEP ∼ 4N RQ(c.g.c) Từ suy điều cần chứng minh

(9)

Ta có: 4AQM vng cân 4ACM ∼ 4AEP(c.g.c)từ ta điều phải chứng minh

(10)

Ta có:4AQL vng cân và4AEP ∼ 4ACL(c.g.c)từ giúp ta có điều phải chứng minh

2.3 Tiếp cận toán phương pháp sử dụng tứ giác nội tiếp

(11)

Ta có: AIQ[ =AEQ[ = 90◦ nên tứ giác AEQI nội tiếp từ AQE[ =AIE[ Kết hợp với AP E[ =EIF[ do4IEF =4P AE Từ ta có lời giải tốn

Lời giải 19:

Ta có tứ giác AIPE nội tiếp suy AP E[ =AIE[ Kết hợp với 4IEH ∼ 4QAE(c.g.c) ta có điều phải chứng minh

Lời giải 20:

(12)

Mặt khác: AF

F I = QF

EF = 2⇒ AQk EI ⇒AQE[ =F EI[ Suy AP E[ +AQE[ = F EI[ +F IE[ =

[

IF Q= 45◦

(13)

Ta có tứ giác IDQA nội tiếp nên AP E[ = IDB[ =CQA[ Suy AP E[ +AQE[ =CQA[ +AQE[ =

[

CQE = 45◦

2.4 Tiếp cận toán cách sử dụng định lý Pythagoras

Lời giải 23:

Lấy K đối xứng với P qua E Hạ QH vng góc với KA Đặt cạnh hình vng a(đvđd)

Ta có:AP E[ +AQE[ =AKE\+AQE[ =\HAQ Vậy ta cần chứng minh tam giác HAQ vuông cân

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác AEK ta tính AK =√5a Mặt khác AK.KH =KE.KQ= 10a2 ⇒KH = 2√5a;AH =√5a.

Ta lại áp dụng tiếp định lý Pythagoras tam giác KHQ ta có: HQ=√5a

Suy HA=HQ=√5a Suy tam giác HAQ vng cân hay ta có điều phải chứng minh

(14)

Lấy K đối xứng với Q qua E Hạ PH vng góc với KA Làm tương tự lời giải 23 ta có điều phải chứng minh

LấyK đối xứng với P qua E Gọi H chân đường cao kẻ từK xuống QA Ta có tam giácHKA vng cân hồn tất chứng minh

Lời giải 26:

LấyK đối xứng với A qua E điểm khác hình vẽ Ta có: AQE[ +AP E[ =QILd

(15)

Ta tính EH =

√

5

5 a suy QL=

√

5 a

Ta có: AI

AT =

AK AK+QT =

4

5 mà AT =AP +P T = 3√5

2 a nên AI = 6√5

5 a

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác QLA ta có: AL=

√

5 a

Suy IL = AL−AI =

√

5

5 a = QL Vậy tam giác QIL vng cân nên ta có điều phải chứng

minh

Lời giải 27:

LấyK đối xứng với P qua E Lấy I đối xứng với A quaE Kẻ QLvng góc với KI Ta có:AP E[ +AQE[ =EKI[ +IQE[ =QILd

Vậy ta cần chứng minh tam giácQIL vng cân

Ta có: KI.KL =KE.KQ = 10a2 ⇒KL= 2√5a⇒IL=√5a.

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác KLQ ta có: LQ = √5a = IL Suy tam giác ILQ vuông cân

(16)

3 Tổng qt cho tốn hình vng

Bài tốn tổng qt: Cho hình chữ nhật tạo (2m+ 1)x(2n+ 1) hình vng (vớin > m) xếp kề hình vẽ

Chứng minh rằng: ∠OAn+m+1Bn−m+∠OA2n+1B2m+1 = 45◦

Khi n = m= ta có tốn hình vng

(17)

4 Tài liệu tham khảo

[1] Nâng cao phát triển tốn - Vũ Hữu Bình Nxb Giáo dục Việt Nam

[2] Phương pháp sáng tạo tốn hình học trung học sở - TS Nguyễn Ngọc Giang Nxb đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

[3] Tài liệu chun tốn trung học sở tốn - Vũ Hữu Bình(chủ biên) Nxb Giáo dục Việt Nam

[4] Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học - Nguyễn Đức Tấn Nxb Giáo dục Việt Nam

[5] https://diendantoanhoc.net/

[6] https://violet.vn/