Phương pháp giảin toan hình học

Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị Chuyên Đề : RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH. A-ĐẶT VẤN ĐỀ: - trường THCS dạy toán là một hoạt động toán học cho Học Sinh, trong đó giải toán là hình thức chủ yếu . Do vậy việc giải một bài tập toán có một vò trí quan trọng trong dạy học toán. Đặc biệt hơn là giải một bài toán hình học và chứng minh toán hình học. Giải toán hình học nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học , hổ trợ học sinh học tốt những môn học khác. -Thông qua việc giải toán hình học của học sinh nhằm đánh giá mức độ kết quả của dạy và học , đánh giá khạ năng độc lâp học toán và trình độ nhận thức và tiếp thu kiến thức toán học của học sinh. Với một bài toán hình học việc vẽ hình, đònh hướng tìm ra lời giải, trình bày chính xác lời giải là một công việc rất quan trọng, nhất là đối với Học Sinh mới tiếp xúc với môn hình học. Khi Học Sinh đứng trước một bài tập hình , để có một đònh hướng tìm ra lời giải quả thật không phải là một công việc đơn giản chút nào. Vì vậy việc giải toán hình và chứng minh hình học là rất khó đối với học sinh, dẫn đến các em sợ học hình, chán nãn trong học tập và chất lượng của bộ môn Toán thấp, học yếu, kém…Để nâng cao chất lượng bộ môn toán đồng thời giúp các em tháo gỡ những khó khăn trong giải toán hình học nhóm Toán Trường THCS Phước Hòa xây dựng chuyên đề “ RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH”. B- NỘI DUNG: I. QUY TRÌNH DẠY GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC : Giáo Viên khi dạy học sinh giải một bài toán hình học nên hình thành cho học sinh có kó năng theo đúng qui trình như giải một bài toán theo các bước sau. 1) Bước 1: Tìm Hiểu Kó Nội Dung Đề Toán Hình Học : a) Học Sinh phải tự đọc kó nội dung đề toán và trả lời các câu hỏi như: − Cái gì phải tìm( chứng minh gì, so sánh gì, yêu cầu gì….)? − Bài toán cho gì? − Cái phải tìm ( chứng minh…) cần phải thõa mãn diều kiện gì? − Những điều kiện đó có đủ để đi đến cái phải tìm không ? Thiếu hay thừa ? Mâu thuẫn nhau không? b) Hựớng cho học sinh vẽ hình cẩn thận chính xác: Cần dùng những dụng cụ nào để vẽ hình, xác đònh thứ tự vẽ các yếu tố trong hình vẽ cần vẽ yếu tố nào trước yếu tố nào sau, dánh dấu các yếu tố đã cho trên hình vẽ như vuông góc , góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, ghi các số trò đã cho trên hình vẽ như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo cung, diện tích, thể tích cùng đơn vò đo thống nhất. Đánh dấu yếu tố phải tìm như số đo góc, số đo cung, độ dài đoạn thẳng, diện tích……… - 1 - Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị c) Tóm tắt giả thiết và kết luận ( Chú ý thể hiện các kí hiệu, qui ước hình học. cần chú ý sự chuyển đổi sang tóm tắt kí hiệu toán học vì học sinh khối 6, khối 7 mới bắt đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học) d) Nhắc lại những kiến thức liên quan đến bài toán (Khái niệm, tính chất, đònh lí , hệ quả, tính chất đã được công nhận qua một bài toán nào đó đã được chứng minh….) Giáo Viên tái hiện lại kiến thức liên quan hoặc tóm tắt trên bảng dưới dạng công thức, bảng tóm tắt, sơ đồ… Giúp cho Học Sinh lựa chọn và vận dụng tìm hướng giải bài toán. Ví Dụ: Bài tập 52/tr 128 SGK Toán 7 t1 Cho góc xoy có số đo 120 0 , điểm A thuộc tia phân giác của góc đó. Kẽ AB vuông góc với Ox( B ∈ Ox) , kẽ AC vuông góc với Oy ( C ∈ Oy). Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? a) Các yếu tố bài toán cho như: · · · 0 0 120 ; 60xOy AOx AOy= = = ; AB ⊥ OB; AC ⊥ OC Yêu cầu nhận dạng V ABC.( Tam giác vuông , cân , vuông cân , đều) b) Dùng các dụng cụ vẽ hình như − Thước đo góc vẽ góc có số đo 120 0 − Thước hai lề ( hoặc compa) vẽ tia phân giác của góc . − ke để vẽ hai đường thẳng vông góc c) Thứ tự vẽ hình: Góc xOy có số đo 120 0 , tia phân giác Ot của góc xOy, vẽ điểm A ∈ Ot, vẽ đường thẳng đi qua A vuông góc Ox tại B, vẽ đường thẳng đi qua A vuông góc Oy tại C, nối OC. Đánh dấu góc bằng nhau, góc vuông , ghi số đo góc đã choo trên hình vẽ. d) Tóm tắt giả thiết và kết luận: chú ý sử dụng kí hiệu ∈ , ⊥ để tóm tắt bài toán. e) Cho Học Sinh nhắc lại các kiến thức như: - Dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, đều - Khái niệm tia phân giác của một góc. - Các trường hợp bằng nhau đã học của hai tam giác vuông. 2) Bước 2 : Tìm Lời Giải Bài Toán Hình Học: Để hướng dẫn Học Sinh tìm đường lối giải bài toán Giáo Viên phải tạo sự liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh . Dùng hai đường lối chủ yếu sau: a) Cách 1:   →    - Liên he äbài tập tương tự đa õgiải. - Các yếu tố đa õcho của bài toán Hướng giải bài toán - Khái niệm, đònh nghóa, tính chất, đònh lí he äquả . b) Cách 2: ( thường sử dụng) - 2 - 60 0 60 0 C B O A Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị Sử dụng phương pháp phân tích để phân tích bài toán bằng phương pháp phân tích đi lên, hình thành sơ đồ phân tích đi lên, tìm hướng giải bài toán. Giáo Viên thực hòên các phương pháp trên có thể đặt học sinh vào các tình huống chủ yếu sau: − Đã lần nào gặp bài toán này chưa? Có thể gặp bài toán dưới dạng tương tự nào khác, hình thức nào khác? − Hãy suy nghó và nghiên cứu yêu cầu phải chứng minh. Đã gặp bài toán nào có yêu cầu chứ ng minh như thế chưa? − Giáo Viên giới thiệu bài tập đã giải yêu cầu học sinh tìm hiểu bài tập này có giúp gì việc giải bài tập này không? Có thể áp dụng kết quả của bài tập này không? − Có thể đưa vào yếu tố, phần tử phụ , vẽ yếu tố phụ để giải bài tập này không? − Nếu chưa tìm ra hướng chứng minh bài toán cho học sinh giải một bài toán tương tự dễ hơn, đặc biệt hơn. − Chứng minh một phần bài tóan, chia bài toán thành những b toán nhỏ . − Thay đổi dự kiện bài toán xét sự thay đổi cần phải chứng minh. − Đã sử dụng hết giả thiết của bài toán chưa, xét hết các khái niệm đã cho liên quan đến bài tóan chưa. Ví Dụ1: Bài tập 35/tr 72 SBT ( Hình vẽ) : Cho AB=12cm, AC= 15cm, AN= 8cm, AM=10cm, BC=18cm. Tính MN? Giáo Viên : Để giải bài tập trên giáo viên yêu cầu học sinh liên hệ từ bài tập tương tự đã giải như. Bài tập: 80/tr80 toán 8 tập 2 Cho V ABC, trong đó AB=15cm, AC= 20cm. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm. Hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng với nhau không? Vì sao? bài tập này V ABC không đồng dạng với V ADE nhưng V ABC V AED (cgc) Từ đó tìm hướng giải bài tập đã cho là chứng minh: V ANM V ABC (cgc) ⇒ tính MN ? Ví Dụ 2: Bài tập 40/tr 83 toán 9 tập 2: - 3 - 8 6 15 20 A B C E D 10cm 8cm 18cm 12cm 15cm A B C N M Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA=SD. Giáo Viên phân tích đi lên như sau: » » · » » » » · 2 2 BE CE sd AB sd CE sd AB sd BE SAD = ⇓ + + = = = ⇓ ⇓ V ADS SAD cân tại S SA = SD 3) Bước 3: Trình Bày Bài Giải Bài Toán Hình Học: − Trình bày lời gải gọn gàn hợp lí , chú ý cách diễn đạt ( dùng phương pháp tổng hợp để trình bày bài giải) − Giáo viên thường xuyên uốn nắn sửa chữa để đư đến cách trình bày hợp lí phù hợp với qui tắc suy luận. − Thường trình bày theo 3 đoạn suy luận sau. ↓ ↓ Tiền đe àlớn ( ít nêu) Tiền đe å nhỏ( lí luận viết bằng lời văn, kí hiệu .) kết luận 4) Bước 4: Nghiên Cứu Lời Giải Bài Toán Hình Học: − Kiểm tra lại tổng thể bài tóan, các bước giải trình bày đã phù hợp chưa, lập luận có chính xác logic không? Có đảm bảo căn cứ không? Thể hiện các kí hiệu toán học có hợp lí không? − Rút kinh nghiệm sau khi chứng minh bài toán nhất là phương pháp giải, kiến thức đã vận dụng, có thể xem là bài toán chứng minh tổng quát thường gặp vận dụng khi gặp bài toán tương tự. − Tìm thêm cách giải khác của bài tóan nếu có. − Khai thác thêm bài toán theo các hướng sau: Cách 1: Thay đổi một phần giả thiết của bài toán , đặc biệt hóa bài toán , thay đổi giả thiết như thế nào mà bài giải không thay đổi. Cách 2: Phát hiện bài toán mới , mệnh đề mới, tính chất mới . Ví Dụ 1:( hình học 7) Cho · xOy ≤ 90 0 , A là điểm nằm trong góc đó . Vẽ các điểm B và C, sao cho Ox là trung trực của AB, Oy là trung trực của AC. Chứng minh. - 4 - 1 2 3 D E B O A S C Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị a) OB=OC b) · · 2BOC xOy= Giải: a) OI là trung trực AB ⇒ OA= OB OK là trung trực của AC ⇒ OA = OC Vậy OB= OC ( = OA) b) Ta có Ox là phân giác cũa tam giác cân BOA cân tại A ⇒ · · 1 2 xOA BOA= (1) Tương tự: · · 1 2 yOA COA= (2) Từ (1) và (2) ta có : · · · · ( ) · · 1 2 2 yOA xOA AOB AOC BOC xOy + = + ⇒ = Đặt biệt hóa bài toán: Góc · xOy có số đo bao nhiêu để B, O, C thẳng hàng? Một bài toán mới từ bài toán trên:Cho điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ các điễm B và C sao cho Ox là trung trực của AB, OY là trung trực của AC. Chứng minh là trung điểm của BC. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM TÒI LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP: 1. Một Số Phương Pháp Vẽ Đường Phụ: Khi giải bài toán hình học , ta gặp một số bài toán nếu nếu không vẽ thêm đường phụ thì bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán sẽ được thuận lợi hơn. Vẽ đối tượng có liên quan đếin một đối tượng của bài toán: − Trung điểm: vẽ đường trung tuyến , đường trung bình, đường trung trực… − Vẽ tia phân giác một góc , đường thẳng song song hay vuông góc với đường thẳng cho trước , đường thẳng qua điểm, giao điểm đường thẳng. − Tỉ số : Vẽ đường thẳng song song, vẽ góc bằng góc cho trứơc, vẽ đoạn thẳng bằng hoặc tỉ lệ… − Tiếp tuyến: bán kính đi qua tiếp điểm. − Dây cung: bán kính đi qua trung điểm hoặc một đầu dây cung. − Đường tròn: Đường tròn nối tâm, đường tròn có dây chung với đường tròn, đường tròn ngoại , nội tiếp tam giác. 2. Phương Pháp Chứng Minh Phản Chứng: Các bước của phương pháp chứng miinh phản chứng: − Bước 1: Giả sử kết luận của bài toán không đúng. - 5 - y x O I K B A C y x O B A C Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị − Bước 2: Từ điều giả sử lập luận dẫn đến điều vô lí ( vô lí có thể trài với giả thiết hoặc trái với thực tế hoặc dẫn đến điều mâu thuẫn với kiến thức đã học . − Bước 3; khẳng đònh kết lận của bài toán đúng. Ví Dụ: ( Hình học 7) Chứng minh nếu đường thẳng a vuông góc với cạnh Ox của góc nhọn xOy thì a cắt Oy. Giải: giả sử a // Oy Vì a ⊥ Ox (GT) ⇒ Oy ⊥ Ox Vậy · 0 90xOy = (trái GT) Do đó a cắt Oy 3. Phương Pháp Dùng Diện Tích: Có những bài toán hình học bế tắc trong phương pháp giải nhưng ta có thể sử tính diện tích hình, liên hệ diện tích các hình , vận dụng tính chất về diện tích hình có thể tháo gỡ được bài toán hoặc giúp ta giải bài toán hoàn hảo và đơn giản hơn những cách giải khác. Ví Dụ: ( Chứng minh: Đònh lí tính chất đường phân giác của tam giác: Hình Học 8) “Trong một tam giác , đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành haii đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy” Chứng minh: ( Ngoài cách chứng minh SGK có thể hứơng dẫn Học Sinh chứng minh) Kẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC Ta có DE = DF (1) Kẽ đướng cao AH ta có SABD = 1 2 AH.DB = 1 2 AB.DE (2) SACD = 1 2 AH.DC= 1 2 AC.DF (3) Từ (1) , (2) và (3) ta có DB AB DC AC = 4. Phương Pháp Lập Phương Trình: Ví Du1ï: ( Bài tập 21: diện tích tam giác Hình Học 8) Tìm x sao cho diện tích hình chữ nhật ABCD gấp 3 lần diện tích V ADE. ( hình vẽ) Giải : ta có ABCD là hình chữ nhật: AD=BC= 5cm SAED= 1 2 AD.EH= 1 2 .5.2=5 (cm 2 ) SABCD= AB.BC= 5x Theo bài toán: SABCD=3 SAED ⇒ 5x=3.5 ⇔ x=3 (cm) - 6 - x y a O D A B C E F x 5cm 2cm A D B C E H Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị Ví Dụ 2: ( Hình Học 9) Cho ( O; R) và (O / ; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. các đường kính từ A của đường tròn (O) và (O / ) lần lượt cắt hai đường tròn trên tại C và D. a) chứng minh biểm C, B, D thẳng hàng. b) Nếu CD=2a tính CB, BD? Giải: a) chứng minh dưa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. b) Gọi độ dài của BC, BD lần lượt là x, y Ta có : x+y =2a (1) p dụng đònh lí pytago trong tam giác vuông ABC và ABD ta có: AB= (2R) 2 - 2 x = (2r) 2 – 2 y (2) Kết hợp (1) và (2) tìm x,y? 5. Phương Pháp Dùng Bất Đẳng Thức Một vấn đề thường gặp trong hình học làm cho HS lúng túng đó là những bài toán về bất đẳng thức hình học. Thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề khó. Đây là những bài toán có nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết. Một trong những nguyên nhân khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp cận, mổ xẻ vấn đề không phải là phương pháp thông thường hay được áp dụng trong hình học. a) Đối với các bất đẳng thức đại số : Ta thường sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc như côsi, Côsi-Bunhiacôpxki- Swarz, bất đẳng thức trung bình cộng của hai số dương, công thức tính diện tích (công thức Hêrông). * Với hai số dương x và y tùy ý, ta luôn có : 2 x y xy + ≥ với đẳng thức chỉ khi x = y * Cho trước hai bộ số n ≥ 1 số thực tùy ý x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n và y 1 , y 2¸ , y 3 , . . . , y n ta có bất đẳng thức : (x 1 y 1 + x 2 y + x 3 y 3 + . . . + x n y n ) 2 ≤ (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + . . .+ x 2 n )( y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 + . . .+ y 2 n ) với đẳng thức chỉ khi : 1 1 . n n x x y y = = * Trung bình cộng của hai số dương không nhỏ hơn trung bình nhân của nó b) Sử dụng nguyên lí đoạn thẳng "Đoạn thẳng AB là con đường ngắn nhất nối hai điểm A, B cho trước trên mặt phẳng. Nguyên lí này cũng đúng trong cả không gian ta đang sống". Từ nguyên lí trên ta có thể suy ra một số hệ quả : -Trong một tam giác, một cạnh thì nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu của hai cạnh kia” - 7 - 2a r R O / DC B A O Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị BC CA AB BC CA BC AB AC BC AB AB AC BC AB AC − < < + − < < + − < < + - Đường gấp khúc nối hai điểm A, B cho trước có độ dài lớn hơn độ dài đoạn thẳng AB - Độ dài của cung AB trên một đường tròn cho trước đi qua hai điểm A, B lơn hơn độ dài đoạn thẳng AB. d) Sử dụng nguyên lí về đường vuông góc và đường xiên « Con đường nào là con đường ngắn nhất nối từ một điểm cho trước tới một đường thẳng, Con đường nào là con đường ngắn nhất nối từ một điểm cho trước tới một mặt phẳng ». Nguyên lí chung là đoạn vuông góc bao giờ cũng nhỏ hơn đường xiên. e)Sử dụng nguyên lí cạnh và góc trong tam giác : Trong một tam giác ứng với góc lơn hơn là cạnh dài hơn Ví dụ1: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất HD : Gọi chu vi của hình chữ nhật là 2p và x, y là kích thước hình chữ nhật Ta có : x + y = p Áp dụng bất đẳng thức về trung bình cộng của hai số dương x, y : 2 2 x y a xy + = ≥ hay xy ≤ 2 4 a Đẳng thức xảy ra khi x = y = a/2, khi hình chữ nhật thành hình vuông Ví Dụ 2: ( hình học 7) HD : GS hai bờ sông là hai đường thẳng song song d//d’, với d là bờ sông cùng phía với làng A và d’ là bờ sông cùng phía với làng B. Theo hình vẽ , ta xét con đường từ A tới B là AMNB với M thuộc d, và N thuộc d’. Khi đó : AM + NB = A’N + NB ≥ A’B ; AM + MN + NB ≥ A’B + MN (vì MN không dổi và đạt giá trò nhỏ nhất khi đẳng thức xảy ra với N là giao điểm của A’B với d. III. MỘT VÀI LƯU Ý KHI DẠY HÌNH HỌC: 1. Đừng biến việc dạy bài tập hình cho Học Sinh thành việc giải bài tập hình mà hãy giúp cho học sinh rèn luyện tư duy Hình Học, kó năng gi toán Hình Học thông qua việc dạy bài toán hình học đó. 2. Đừng đưa ra quá nhiều bài toán trong một tiết học mà hãy chọn lọc số lượng bài tập vừa đủ, các bài tập khắc sâu kiến thức có tính chất tổng hợp, vận dụng nhiều trong giải toán nhằm phát huy năng lực cần thiết trong giải toán. - 8 - B A A' M N d' d Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị 3. Hãy sắp xếp các bài toán thành dạng, thành những hệ thống các bài toán liên quan với nhau. 4. Trong quá trình dạy học có thể có những bài tóan cần trình bày hoàn chỉnh thành những bài toán mẫu. Tuy nhiên có nhưng bài chỉ cần hướng dẫn cho học sinh tự tìm ra hướng giải và trình bày bài toán 5. Hãy để cho học sinh có thời gian cần thiết làm quen với bài toán, cùng chia sẻ với học sinh nghiên cứu lời giải. Nhìn nhận và rút kinh nghiệm sau khi giải xong bài toán. IV. KẾT LUẬN: Các bài toán Hình Học rất đa dạng và phong phú, các phương pháp chứng minh đã nêu trên chỉ là những phương pháp thông dụng. Có nhiều bài toán để giải phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí, vì nó không thuộc hẳn một phương pháp nào mà đòi hỏi cao về óc phán đoán, suy luận phân tích để dẫn đến kết quả . Trên đây chỉ là những ý kiến nhỏ của nhóm toán trường THCS Phước Hòa. Chúng tôi sẽ luôn học hỏi những kinh nghiệm ở đồng nghiệp các tố nhóm chuyên môn khác, và mong muốn sự góp ý chân tình của tổ chuyên môn cũng như lãnh đạo nhà trường. - 9 - . trong dạy học toán. Đặc biệt hơn là giải một bài toán hình học và chứng minh toán hình học. Giải toán hình học nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh,. tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học , hổ trợ học sinh học tốt những môn học khác. -Thông qua việc giải toán hình học của học sinh nhằm