* Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém số hạng liền trước n lần ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểu thức sau khi nhân trừ cho [r]
(1)CHUN ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TỐN TÍNH NHANH PHÂN SỐ: Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số mẫu phân số sau gấp mẫu số phân số liền trước lần.
VD:
4 +
8 +
16 +
32 +
64
Cách 1: Bước 1: đặt A =
4 +
8 +
16 +
32 +
64
Bước 2: Ta thấy
2 =
-2
4 =
2
-4
8 =
4
-8
Bước 3: Vậy A =
2
1 +
4
1 +
8
1 + … +
64 32
1
A = - 2
8
1 + … +
64 32
1
A =
-64
A =
64 63 64
1 64
64
Đáp số:
64 63
Cách 2:
Bước đặt A =
4 +
8 +
16 +
32 +
64
Bước 2: Ta thấy.
2 =
(2)
4 =
4 1
2
4 +
8 =
8 1
……… Bước 3: Vậy A =
2
4 +
8 +
16 +
32 +
64
=
-64 =
64 63 64
1 64
(3)Dạng 2: Tính tổng nhiều phân số có tử số mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước n lần ( n>1).
Ví dụ: A = + + 16 + 32 + 64
Cách giải: Bước 1: Tính A x n ( n = 2).
Ta có: A x = x
64 32 16 = 64 32 16 2
2
= + + + 16 + 32
Bước 2: Tính A x n – A = A x ( n - 1)
A x – A =
32 16
1 -
64 32 16
A x ( - 1) – A = + + + 16 + 32
1 -
2 -8 -16 -32 -64
A =
-64 A = 64 63 64 64
64
Ví dụ: B =
486 162 54 18
5
Bước 1: Tính B x n ( n = 3)
B x = x
486 162 54 18 5 = 162 54 18 5
15
Bước 2: Tính B x n – B
B x – B =
162 54 18 5
15 -
(4)B x (3 - 1) = B x = 15
486 162
5 54
5 18
5 5 162
5 54
5 18
5
5
B x =
486 15
B x =
486 3640 486
5 3645
B =
243 910 486
1820
: 486
3640
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính nhanh a
-192 96
2 48
2 24
2 12
2
2
b -
4 +
8 +
16 +
32 +
64 +
256 128
1
c
-729 243
1 81
1 27
1
1
d - 1+
64 32
5 16
5
5
d
-512 128
3 32
3
3
c - 3+
625 125
3 25
3
3
f
-1280 40
1 20
1 10
1
1
8
-59049 81
1 27
1
(5)Dạng 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số n ( n > 0); mẫu số là tích hai thừa số có hiệu n thừa số thứ mẫu phân số liền trước thừa số thứ mẫu số liền sau:
Ví dụ 1: A =
6 5 4 3 x x x
x
A = 5 4 3 2 x x x x = 5 6 4 5 3 4 2 3 x x x x x x x
x
= 5 4 3
1
= 6 6
1
Ví dụ 2: B = 14 11 11 8 5 x x x
x
B = 14 11 11 14 11 8 11 5 2 x x x x B = 14 11 11 14 11 14 11 8 11 11 5 8 2 5 x x x x x x x
x
= 14 11 11 8 5
1
= 14 514 14
1
BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1:Tính nhanh
a -27 23 23 19 19 15 15 11 11 7 x x x x x
x
b -10 9 3 2 2 15 13 13 11 11 9 7 5 x x x x x x x x x x
(6)c -100 93 77 23 16 77 16 77 77 10 5 4 3 3 x x x x x x x x x
x
d -15 12 12 9 6 x x x
x
e - + 12 + 110 42 30 20
1
g -340 238 154 88 40 10
1
Bài 2:Cho tổng S= 1995 664 15 11 11 7
4
x x
x
a, Tìm số hạng cuối S ? b, Tổng S có số hạng ?
Bài 3:Tính nhanh a, 90 89 72 71 56 55 42 41 30 29 20 19 12 11
5
b, Tính tổng 10 phân số phép cộng sau:
110 109 90 89 72 71 56 55 42 41 30 29 20 19 12 11
1
Bài 4:Tính nhanh:
50 1 1 1 1
Bài 5:So sánh S với 2, biết rằng. S= 45 10
1
Bài 6:Chứng minh rằng:
1 91 73 57 43 31 21 13
(7)Bài 7:Điền dấu < , > = vào ô trống 10000 25 16
1 1
Dạng 4: Tính tổng nhiều phân số có tử số n, có mẫu số tích của thừa số thứ n đơn vị hai thừa số cuối mẫu phân số liền trước thừa số đầu mẫu phân số liền sau:
Ví dụ: Tính A = 13 11 11 9 7 5 x x x x x x x x x
x
= 13 11 9 13 11 7 11 5 3 1 x x x x x x x x x x = 13 11 9 13 11 13 11 7 11 11 5 9 3 7 1 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
= 13 11 11 11 9 7 3 1 x x x x x x x x
x
= 13 11 1 x x = 429 140 429 143 13 11 3 13
11
x x
x
BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1:Tính nhanh
a, 19 15 13 15 13 13 9 6 x x x x x x x x x
x
b, 19 15 13 15 13 13 9 7 1 x x x x x x x x x
x
c, 100 98 96 14 12 10 12 10 10 8 6 x x x x x x x x x x x
(8)d,
40 36 33
5
15 12
5 12
8
5
5
x x x
x x
x x
(9)Dạng 5:Tính tích nhiều phân số tử số phân số nàu có quan hệ với tỉ số với mẫu số phân số kia.
Ví dụ: 997 995 1993 1994 1992 1993 1991 1992 1990
1991x x x x
= 1991 1992 1990
1991x x
1993 1994 1992
1993x x
997 995 = 1992 1994 1990
1992x x
997 995 = 997 995 1990 1994x = 997 995 995
997x
BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1:Tính nhanh
a, 468 164 984 432 164 435 432 468 435
328x x x x
b, 2000 2006 2004 2003 2002 2001 2003 2002 2001
2000x x x x
Bài 2: Tính nhanh a, 151515 424242 143143 165165 2121
1313x x
b, 95 1995199519 93 1993199319 19931993 19961996 1996
1995x x
Bài 3:Tính nhanh
a, 1 1 1
1 x x x
b, 100 97 13 10
1 x x x x x
c, 99 97 11
(10)Bài 4: Cho M =
39 37 15 13 11
9
1x x x x x
N =
37 39 13 15 11
7x x x x
Hãy tính MxN ?
Bài 5:Tính tích 10 hỗn số dãy hỗn số sau:
35
1 24
1 15
1 1
(11)Dạng 6: Vận dụng tính chất phép tính để tách, ghép tử số hoặc mẫu số nhằm tạo thừa số giống mẫu số tử số rồi thực rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1:
1004 999
2004
999 2003 1999
2003
x
x x
=
1004 999
999 2003
1000 2003 1004
999 2003
999 1999 2003
x x x
x =
1000 2003
1000 2003 2003
999 2003
1000 2003
x x x
x
= ( Vì tử số mẫu số ) Ví dụ 2:
1994 1996 1000
996 1995 1996
x x
=
1994 1996 1000
996 1994 1996
x x
=
1994 1996 1000
996 1996 1994
1996
x x
=
1994 1996 1000
1000 1994
1996
x x
x = ( Vì tử số mẫu số )
Ví dụ 3:
232323 242424 373737
535353 48
23 53
37x x x
=
10101 23
10101 24
10101 37
10101 53
48 23 53 37
x x x x
x x x =
23 24 37 53 48 23 53
37x x x
=
23 24 48 23 37 53 53
37x x x
= 1x
2 48 24 48
24
(12)Bài 1:Tính nhanh a, 1996 1997 1995 1996 1997 x x d, 253 399 254 145 399 254 x x b, 1002 1997 1995 995 1996 1997 x x đ, 69 6001 5932 5931 6001 5932 x x c, 1994 1995 1996 1997 1995 x x
Bài 2: Tính nhanh a, 1996 1995 1996 1997 1995 1997 1996 1988 x x x e, 1986 1994 1993 1992 1993 1992 1993 1994 x x x x b, 1995 1991 1996 1995 399 55 45 399 x x x x
g,
2006 2005 , : , 2006 x x c, 1979 1978 1979 1980 1958 21 1980 1979 1978 x x x x h, 37 , 55 33 , , 28 55 1, 20 45 1230 , 24 12300 34 , x x x x x d, 1997 1997 1999 1997 1994 1998 1997 1996 x x x x đ, 2002 504 503 2002 2002 2002 2001 1988 14 2003 x x x x
Bài 3: Tính nhanh a, 60 155 46 215 48 215 35 , 352 18 , 453 65 , 432 82 , 546 x x b, 334 102 334 334 201 321 334 2004 59 2004 2004 37 2004 x x x x x x x c, , 10 , 11 , 12 , 13 , 12 , 11 , , , , , 16 , , , 16
x x x
x
Bài 4: Tính nhanh a, 95 1995199519 93 1993199319 19311931 19961996 1996
1995x x
b, 151515 424242 143143 165165 2121
1313x x
(13)d, 2525 2424 2323 2222 2121 2020 1919 1818 1717 1616 1515 141
Bài 5: Tính nhanh a, 25 25 ,1 275 , 725 , 25 25 ,1 , , x x x x x
x
b, 125 , : , , : , 30 25 , : , 15 , 15 , : , x x x x x x c, 256 129 25 , 20 , 40 , 25
x x x x x x d, ) : 52 ( 16 : 128 10 25 , 1, 20 , 40 , x x x x x x x x đ, , 25 ,1 8003 , 08 , , , 12 , 1997 , x x x x x x
e,
125 25 , 1, , 125 3476 , 6524 , 10 x x x x x x
Bài 6: Tính nhanh a, 10 25 , : 25 ,1 12 , 2 25 , , : 48 , 12 x x x x x x b, 125 , : , , : 88 , 88 , 25 , : , 13 44 , 44 , : , 19 x x x x x x
Bài 7: Tính nhanh
15151515 31313131 454545
989898
Bài 8: Tính nhanh
10101 x
(14)* Một số toán tính nhanh phân số
Bài 1:Tính nhanh
S = + 1/2 + 1/4 + 1/8 + + 1/128 + 1/256
Phân tích: Bài ta thấy số hạng liền sau 1/2 số hạng liền trước nên ta giải theo cách sau:
Cách 1:
S = + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/128 + 1/256
= + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + (1/128 – 1/256) = – 1/256 = 511/256
Vậy S = 511/256 Cách 2:
S x = + + 1/2 + 1/4 + + 1/128 S x – S = – 1/ 256 = 511/256
Vậy S = 511/256 Bài 2:Tính nhanh
S = + 1/3 + 1/9 + 1/27 + + 1/2187
Phân tích: Bài ta thấy số hạng liền sau 1/3 số hạng liên trước nên ta giải theo cách 1:
S x = + + 1/3 + 1/9 + 1/27 + + 1/729 S x – S = – 1/2187 = 6560/2187
Vậy S = 6560/2187 : = 6560/4374 Bài 3:Tính nhanh
(15)Phân tích: Bài ta thấy số hạng liền sau gấp lần số hạng liền trước Ta giải tốn theo cách sau:
Cách 1:
A x = + + + + 16384 A x – A = 16384 – = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2: Ta thấy: Tổng số hạng đầu là: + + = +
Tổng số hạng đầu là: + + + = + Tổng số hạng đầu là: + + + + 16 = 15 + 16
Theo quy luật ta tính kết tổng là:
A = + + + + + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383 Vậy A = 16383
Cách 3: Nhận xét: = +
4 = (1 + 2) + = (1 + + 4) +
8192 = (1 + + + + 4096) +
(16)* Kết luận: Với dạng có số hạng liền sau số hạng liền trước n lần ta có cách giải chung là: ta nhân biểu thức cho n lấy kết biểu thức sau nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta tính kết tốn Bài 4:Tính nhanh
1/1 x2 + 1/ x + 1/ x + + 1/ 2013 x 2014
Phân tích: Bài ta thấy mấu số tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta phân tích sau:
1/1 x2 + 1/ x + 1/ x + + 1/ 2013 x 2014
= 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + + 1/2013 – 1/2014 = – 1/2014 = 2013/2014
Bài 5:Tính nhanh
A = 1/1 x3 + 1/ x + 1/ x + + 1/ 2013 x 2015
Phân tích: Bài ta thấy giống với khác chỗ MS tích số lể liên tiếp Muốn đưa phân cách phân tích ta phải tìm cách đưa tử số Ta làm sau:
A x = 2/1 x3 + 2/ x + 2/ x + + 2/ 2013 x 2015
= 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + + 1/2013 – 1/2015 = – 1/2015 = 2014/2015
Vậy A = 2014/2015 : = 2014/4030 Bài 6:Tính nhanh
1/ x (1 + 2) + 1/ x (1 + + 3) + + 1/2 x (1 + + + + 9)
(17)tiếp nên ta dùng cách tính tổng số tự nhiên liên tiếp để đưa dạng tính nhanh Ta làm sau:
MS = x (1 + 2) + x (1 + + 3) + + x (1 + + + + 9) = x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + + x (9 x 10)/2
2 x3 + x + + x 10
Vậy TS/MS = 1/2x3 + 1/3x4 + + 1/9x10 = 1/2 – 1/10 = 2/5
* Kết luận: Với có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách a b; b c n đơn vị) ta phân tích sau:
n/a xb + n/b xc = 1/a - 1/b + 1/b - 1/c Bài 7:Tính nhanh
M = x + x + x + + 201 x 202
Phân tích: Bài ta thấy số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp Để tạo nhóm thừa số loại trừ hết cho ta phân tích sau:
M x = x x (3 - 0) + x x (4 - 1) + x x (5 - 2) + + 201 x 202 x (203 – 200) = x x + x x – x x + x x – x x + + 201 x 202 x 203 – 200 x 201 x 202
= 201 x 202x 203 = 8242206 Vậy M = 8242206 : = 2747402 Bài 8:Tính nhanh
N = x x + x x + x x + + 100 x 101 x 102
(18)N x = x x x (4 - 0)+ x x x (5 - 1)+ x x x (6 – 2) + + 100 x 101 x 102 x (103 – 99) = x x x + x x x - x x x + x x x - x x x + + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102 = 100 x 101 x 102 x 103 = 106110600
Vậy N = 106110600 : = 26527650 Bài 9:Tính nhanh
B = x + x + x + + 100 x 100
Phân tích: Bài thực thuộc dạng ta phải tìm cách đưa dạng Ta phân tích sau:
B = x + x + x + + 100 x 100 = x (2 - 1) + x (3 - 1) + x (4 - 1) + + 100 x (101 – 1) = x – + x – + x – + + 100 x 101 – 100 = (1 x + x + + 100 x 101) – (1 + + + + 100) = (100 x 101 x 102) : - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 = 338350
* Kết luận 3: Với dạng có số hạng tích số tự nhiên liên tiếp ta làm sau:
- Số hạng thứ nhân với n (trong n số tự nhiên liền kề thừa số lớn tích)
- Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) –
VD: x + x + x ta làm sau:
1 x + x + x = x x + x x (4 - 1)+ x x (5 - 2) Bài 10:Tính nhanh
(19)(Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014)
Phân tích: Với ta tìm cách đưa TS dạng tích thừa số có thừa số mẫu số Ta làm sau:
TS = (1 + + + 1) + 2011/2 + + 2/2011 + 1/2012 (2012 chữ số 1)
= (1 + 2011/2) + + (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + = 2013/2 + + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013 = 2013 x ( 1/2 + + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013) TS/MS = 2013
Bài 11: Tính nhanh
TS = + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 2014) MS = x 2014 + x 2013 + + 2013 x + 2014 x
Phân tích: Với dạng ta nhận thấy TS có 2014 số 1; 2013 số Vì ta giải sau:
TS = (1 + + + 1) + (2 + + + 2) + + (2013 + 2013) + 2014 (2014 chữ số 1) (2013 chữ số 2)
= x 2014 + x 2013 + + 2013 x + 2014 x Vậy TS/MS =
Bài 12:Tính nhanh
TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100 MS = 1/1x2 + 1/3x4 + + 1/99x100
(20)MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + + 1/99 – 1/100
= (1 + 1/3 + + 1/99) – (1/2 + 1/4 + + 1/100)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 1/100 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100
Vậy TS/MS = Bài 13:Tính nhanh
TS = + 1/3 + 1/5 + + 1/97 + 1/99 MS = 1/1x99 + 1/3x97 + + 1/49x51
Phân tích: Với dạng ta thấy tương tự ta tìm cách đưa TS MS tích thừa số có thừa số chung Ta làm sau:
TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + + (1/49 + 1/51) = 100/ 1x99 + 100/3x97 + + 100/49X51
= 100/ (1/1x99 + 1/3x97 + + 1/49x51) Vậy TS/MS = 100
Bài 14:Tính nhanh
TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100 MS = 1/99 + 2/98 + + 99/1
Phân tích: Với dạng ta phân tích MS sau:
MS = (100 – 99)/99 + (100 - 98)/98 + + (100 – 2)/2 + (100 - 1)/1 = 100/99 – + 100/98 – + + 100/2 – + 100/1 – = 100/99 + 100/98 + + 100/2 + 100/1 – x 99
(21)= 100/99 + 100/98 + + 100/2 + 100/100 = 100 x (1/99 + 1/98 + + 1/2 + 1/100) = 100 x (1/2 + 1/3 + + 1/99 + 1/100) Vậy TS/MS = 1/100
Bài 15:
a
-1 10 10
55 45 10
x x
x x
x
x
b
-) 20 19 3 2 ( ) 20 ( 20
1 20 19 18 17 18 19 20
x x
x x x
x x
x x
x x
x
Bài 16:Tính nhanh
1000 99 1000
87 1000
49 1000
37 1000
25 1000
13 1000
1
Bài 3: Tính nhanh
a, 1934
3 : 7 :
2 x
b, 1934
3 :
5 : :
1 x
c, ( 30 : 7 :(14,5 100)
9 ) ,1 ,
1 x x x
d,
8 8
7x x x
c, (1999x1998 + 1998x1997 )x( + ) 1 1 :