THỂ TÍCH HÌNH CHÓP

THỂ TÍCH HÌNH CHĨP A - LÝ THUYẾT TĨM TẮT 1) Nếu khối chóp cho có chiều cao h diện tích đáy B thể tích tính theo công thức V = B.h 2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao ta phải xác định vị trí chân đường cao đáy a) Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao cạnh bên b) Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy c) Chóp có mặt bên vng góc đáy chiều cao mặt bên vng góc đáy d) Chóp chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy e) Chóp có hình chiếu vng góc đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao từ đỉnh tới hình chiếu Chú ý: Các cơng thức tính diện tích đáy a) Tam giác: 1 1 1 • S = a.h a = b.h b = c.h c • S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C 2 2 2 abc • S= • S = pr • S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) 4R • ∆ABC vng A: 2S = AB.AC = BC.AH • ∆ABC đều, cạnh a: b) Hình vng cạnh a: S = a2 c) Hình chữ nhật: S = a.b a2 (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước) S= d) Hình bình hành ABCD: S = đáy × cao = AB.AD.sinBAD e) Hình thoi ABCD: S = AB.AD.sinBAD = AC.BD f) Hình thang: S = ( a + b ) h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc: S = AC.BD B – BÀI TẬP HÌNH CHĨP ĐỀU Câu 1: Thể tích (cm3) khối tứ diện cạnh Hướng dẫn giải: A B 2 81 cm : 3 C 81 Gọi cạnh tứ diện a Dễ dàng tinh V = a3 D 18 2 2 ta V = Thay a = 12 81 Chọn đáp án B Câu 2: Thể tích khối bát diện cạnh a là: 2 A a B a C a 3 Hướng dẫn giải: D a Thề tích khối chóp tứ giác có cạnh a tích V1= a3 Mà thể tích khối bát diện 2V1 Do thể tích khối bát diện V= a Chọn đáp án A Câu 3: Kim tự tháp Kê-ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m Thế tích V khối chóp là? A V = 2592100 m3 B V = 7776300 m3 C V = 2592300 m3 D V = 3888150 m3 Hướng dẫn giải: + Thể tích kim tự tháp Kê - ốp V = 147.2302 = 2592100 m3 Chọn đáp án A Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tất cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 a3 a3 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi H giao điểm AC BD Do S.ABCD chóp nên SO ⊥ (ABCD) Theo giả thiết ta có SAO = SBO = SCO = SDO = 600 Trong tam giác OBS ta có a a SO = OB.tan 600 = 3= 2 1 a Thể tích khối chóp V = S ABCD SO = a = a 3 Chọn đáp án B Câu 5: Một khối chóp tam giác có cạnh bên b, chiều cao h Khi thể tích khối chóp là: 3 B C (b − h )b (b − h ) h (b − h ) h 4 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC hinh chóp S.ABC H hình chiếu S mặt phẳng (ABC) Khi AH= b − h2 , AM= b − h Gọi x cạnh tam giác ABC suy A b2 − h x x ⇒ = ⇒ x = 3(b − h ) 2 Diện tích tam giác ABC: 3 (b2 − h2 ) S= ⇒ VSABC = (b − h ) h 4 Chọn đáp án B (b − h ) 12 D S AM = A C H M B Câu 6: Tính thể tích khối chóp S.ABCD có tất cạnh 3 A B C 6 Hướng dẫn giải: 1 = Gọi O tâm ABCD, ta có V = SO.S ABCD = 3 Chọn đáp án C D 2 Câu 7: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên tạo với đáy góc 600 Thể tích khối chóp bằng: a3 a3 A B 12 Hướng dẫn giải: a tan ϕ a 3 V= = nên 12 12 Chọn đáp án A C a3 36 D a3 18 Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABCD, cạnh đáy a Mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích V hình chóp S.ABC a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 24 Hướng dẫn giải: Gọi điểm hình vẽ Theo đề suy SIA = 600 a a a Ta có AI = ⇒ HI = ⇒ SH = a3 Vậy V = 24 Chọn đáp án D Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a , SA=a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB CD Tính thể tích V tứ diện AMNP a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 36 48 48 12 Hướng dẫn giải: a Gọi O tâm đáy ABCD Tính SO= 1 1 VAMNP= VABSP= VABCD= SO AB 8 Chọn đáp án Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a , góc mặt bên mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 4a 3 a3 2a 3 2a A B C D 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm CD Khi SO đường cao hình chóp, góc SMO góc mặt bên mặt đáy hình chóp AD 2a OM = = = a ⇒ SO = OM tan 600 = a Suy 2 1 4a 3 VS ABCD = S ABCD SO = ( 2a ) a = 3 Chọn đáp án A Câu 11: Khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Khi độ dài đường cao h khối chóp là: a a A h = 3a B h = C h = D h = a 2 Hướng dẫn giải: a 2 a h = SO = a −   =   Chọn đáp án B Câu 12: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Cho biết diện tích tứ giác MNPQ 1, tính thể tích tứ diện ABCD 11 2 11 A V = B V = C V = D V = 24 24 Hướng dẫn giải: Ta chứng minh MNPQ hình vng, suy cạnh tứ diện 2, V = 2 Chọn đáp án B Câu 13: Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên a Tính thể tích V khối chóp a3 a3 a3 A V = a B V = C V = D V = Hướng dẫn giải: Gọi đỉnh hình chóp tứ giác hình vẽ bên đặt cạnh AB = x Khi SO = x 2, OH = x suy a3 SH = x Vậy x = a Khi V = SO AB = 3 Chọn đáp án B Câu 14: Để làm hình chóp tứ giác từ tơn hình vng có cạnh + , người ta cắt tôn theo tam giác cân MAN , NBP, PCQ, QDM sau gị tam giác ABN , BCP, CDQ, DAM cho bốn đỉnh M , N , P, Q trùng nhau(hình vẽ) Biết rằng, góc đỉnh tam giác cân 1500 Tính thể tích V khối chóp tạo thành +5 2 52 + 30 B V = C V = D V = 24 3 Hướng dẫn giải: + AMN = DMQ = 150 ⇒ AMD = 600 ⇒ ∆MAD Vì hình chóp tứ giác tạo thành có tất cạnh MA A V = ( ) 1+ MN = = 2sin 750 6+ + Dễ dàng chứng minh rằng: Trong đó, MA = “Một khối chóp tứ giác có tất cạnh x tích V = + Với x = V = Chọn đáp án B Câu 15: Trong thi làm đồ dùng học tập bạn Bình lớp 12S2 trường THPT trưng Vương làm hình chóp tứ giác cách lấy tơn hình vng MNPQ có cạnh a, cắt mảnh tơn theo tam giác cân MAN; NBP; PCQ; QDM sau gò tam giác ANB; BPC; CQD; DMA cho bốn đỉnh M;N;P;Q trùng (như hình) thể tích lớn khối chóp x3 ” a3 36 Hướng dẫn giải: A B a3 24 C 10a 375 Gọi cạnh hình vng ABCD x đường cao mặt bên là: SM= phối chóp SO = D a3 48 a 2−x suy chiều cao 1 2a − 2ax Vậy V = x 2a − 2ax lập bbt suy V lớn x = 2a Ta tìm maxV = 10a 375 Chọn đáp án C Câu 16: Cho hình chóp lục giác SABCDEF có SA = 5; AB = Tính thể tích khối chóp SABCDE A 45 B 18 C 54 D 15 Hướng dẫn giải: Lưu ý lục giác ABCDEF lục giác giống xếp tam giác AOB theo chiều kim đồng hồ Ta cần xác định hai yếu tố: Chiều cao (để ý tam giác AOB nên OA = AB = ): h = SO = SA2 − OA2 = 53 − 32 = Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE lần diện tích tam giác AOB nên ta có: 45 S = 5.S AOB = AB sin ( 600 ) = 1 45 h = 15 Do đó, ta có: V = Sh = 3 Chọn đáp án D Câu 17: Người ta gọt khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt nội tiếp (tức khối có đỉnh tâm mặt khối lập phương) Biết cạnh khối lập phương a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó: a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Hướng dẫn giải: Dựng hình bên + Thấy thể tích khối cần tính lần thể tích hình chóp S.ABCD + Nhiệm vụ tìm thể tích S.ABCD + ABCD hình vng có tâm O đồng thời hình chiếu S lên mặt đáy a SO = ; BD = cạnh hình lập phương = a Suy cạnh 2 a 2   a a =     12  hình vuông ABCD = 1  VS ABCD = Sh =  3  Vkhôi đa diên = 2.VS ABCD = a3 Chọn đáp án B Câu 18: Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 60° Gọi A′ , B′ , C′ tương ứng điểm đối xứng A , B , C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC , A′B′C ′ , A′BC , B′CA , C ′AB , AB′C ′ , BA′C ′ , CA′B′ 3a B 3a Hướng dẫn giải: Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S ABC : A C 3a D 3a a Góc đường thẳng SA mặt phẳng 1 a a3 (ABC) 600 ⇒ SCH = 60o ⇒ SH = a ⇒ VS ABC = S H S ABC = a = 3 12 2a 3 V = 2VB ACA ' C ' = 2.4VB ACS = 8VS ABC = a3 Cách 2: Ta tích khối chóp S ABC là: VS ABC = 12 a 39 Diện tích tam giác SBC là: S ∆SBC = 12 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là: Gọi H tâm tam giác ABC cạnh a ⇒ CH = d ( A, ( SBC ) ) = 3a 13 Tứ giác BCB ' C ' hình chữ nhật có hai đường chéo cắt trung điểm đường 2a 2a a 39 Có SB = ⇒ BB ' = ⇒ B 'C = 3 a 39 Diện tích BCB ' C ' là: S BCB ' C ' = 2a 3 Thể tích khối mặt cần tìm là: V = d ( A, ( SBC ) ) S BCB ' C ' = 3 Cách (Tham khảo lời giải Ngọc HuyềnLB) Thể tích khối bát diện cho V = 2VA ' B ' C ' BC = 2.4VA '.SBC = 8VS ABC = SG.S ABC Ta có: ( SA; ( ABC ) ) = SAG = 600 Xét ∆SGA vuông G : SG ⇔ SG = AG.tan SAG = a AG 1 a 3a Vậy V = SG.S ABC = .a = 3 Chọn đáp án A tan SAG = HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH VNG GĨC VỚI ĐÁY Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh BA, BC, BD đơi vng góc với nhau: BA = 3a, BC =BD = 2a Gọi M N trung điểm AB AD Tính thể tích khối chóp C.BDNM 2a 3a A V = 8a B V = C V = D V = a 3 Hướng dẫn giải: Khối chóp C.BDNM có CB đường cao nên tích V = BC.S BDNM , + BD = 2a + Tứ giác BDNM hình thang vng B, M MN đường trung bình tam giác ABD nên có diện tích: 3a (a + 2a ) ( MN + BD ).BM = 3a (đvtt) S BDNM = = 2 Chọn đáp án C Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình cữ nhật, SA vng góc với mặt đáy (ABCD), AB = a, AD = 2a Góc cạnh bên SB mặt phẳng (ABCD) 450 Thể tích hình chóp S.ABCD a3 2a 6a 2a A B C D 3 18 Hướng dẫn giải: 1 2a V = SA.S ABCD = a.a.2a = 3 Chọn đáp án D Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = a vng góc với đáy, M trung điểm SD Thể tích khối chóp MACD là: a3 a3 a3 A B C D a 12 36 Hướng dẫn giải: Khoảng cách từ M đến mặt phẳng đáy nửa khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy suy thể tích khối chóp MACD là: 1 VMACD = VSACD = VSABCD = a 12 Chọn đáp án B Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có AB = a, BC = a 3, AC = a SA vng góc với mặt đáy, SB tạo với đáy góc 450 Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 11 3 15 B C D a a a 12 12 12 12 Hướng dẫn giải: SB tạo với đáy góc 450 nên SA = AB = a Áp dụng cơng thức Hê rơng, có AB + BC + CA   S ABC = p ( p − AB )( p − AC )( p − BC )  p =    a2 a 11 = + + −1 + + − + + − = 4 (sử dụng máy tính để tính biểu thức dấu căn) 11 Suy VS ABC = SA.S ABC = a 12 Chọn đáp án A A ( )( )( )( ) Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SC = Tính thể tích khối chóp S ABCD 3 B V = Hướng dẫn giải: Đường chéo hình vng AC = C V = A V = D V = 15 Xét tam giác SAC, ta có SA = SC − AC = Chiều cao khối chóp SA = Diện tích hình vng ABCD S ABCD = 12 = Thể tích khối chóp S.ABCD là: (đvtt) VS ABCD = S ABCD SA = 3 Chọn đáp án A Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a, AC = a , SA vuông góc với mp đáy Góc tạo (SBC) mặt đáy 300 Thể tích S.ABC a3 a3 a3 a3 A B C D Hướng dẫn giải: Xét ∆ABC vuông A S BC2 = AB2 + AC2 BC2 = a + a ⇔ BC = a ( ) AB AC a.a a ⇔ AH = = BC a Góc tạo (SBC) (ABC) góc SHA SA a a = Tan 300 = => SA = AH.tan300= AH 3 AH BC = AB AC => AH = a3 1 a SA AB AC = a.a = 3 Chọn đáp án C a A C 300 a H B VS.ACB= A B C H Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có AB = BC = 2a , góc ABC = 1200 Tính thể tích khối chóp cho 2a 3 A VS ABC = 3a 3 B VS ABC = 2a 3 C VS ABC = a3 D VS ABC = Hướng dẫn giải: Ta có S ∆ABC = BA.BC.sin1200 = a Vậy VS ABC = SA.S∆ABC = a 3 Chọn đáp án C Câu 8: Cho hình chop S.ABCD có SC ⊥ (ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh a ABC = 1200 Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chop S ABCD 3a 3 3a 3a 3 3a A B C D 12 4 Hướng dẫn giải: Kẻ SK ⊥ AB thì: CK ⊥ AB ⇒ ( (SAB),(ABCD) ) = (SK,CK) = ABC = 450 ABC = 1200 ⇒ ABC = 600 ⇒ CB sin 600 = 3a 3a (1) 3a S ABCD = AB.BC sin1200 = (2) 3a Từ (1) (2) ⇒ VS ABCD = SC S ABCD = Chọn đáp án D ⇒ SC = CK tan 450 = Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = a , SA ⊥ ( ABCD ) góc SC đáy 600 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng: A 2a B 2a3 C 3a D 6a Hướng dẫn giải: Theo ta có, SA ⊥ ( ABCD ) , nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD) ( ) ⇒  SC , ( ABCD )  = SC , AC = SCA = 600   Xét ∆ABC vuông B, có AC = AB + BC = a + 2a = a Xét ∆SAC vng A, có ( SA ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ SA ⊥ AC Ta có: SA tan SCA = ⇒ SA = AC.tan SCA = AC.tan 600 = a 3 = 3a AC Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là: 1 VS ABCD = SA.S ABCD = 3a.a.a = a 3 Chọn đáp án A  ( SAC ) ⊥ ( ABCD )  Theo ta có  ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ;  SA = ( SAC ) ∩ ( SBD )  AB / / DC ⇒ d ( AB, SD ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) Ta có d ( B, ( SCD ) ) d ( O, ( SCD ) ) = a DB = nên d ( O, ( SCD ) ) = DO Vì O chân đường cao hình chóp nên ta có cách dựng khoảng cách từ O đẻn mặt phẳng ( SCD ) sau: Kẻ OH ⊥ CD, OK ⊥ SH ta có OK = d ( O, ( SCD ) ) = Áp dụng hệ thực lượng vào tam giác SOH vng O ta có a 2 1 = + ⇒ SO = a 2 OK SO OH 2 Thể tích hình cần tính V = a.a.2a = a 3 Chọn đáp án D Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; biết AB = AD = 2a , CD = a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD 5a 3 15a 3 15a 3 5a A B C D 8 Hướng dẫn giải: Như nhắc câu trước hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với (ABCD) nên SI ⊥ ( ABCD ) nên SI đường cao S ABCD Kẻ IK ⊥ BC K Khi ta chứng minh SKI = ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = 600 Ta vẽ hình phẳng mặt đáy Ta có M = AD ∩ BC ta chứng minh CD đường tủng bình tam giác ABM Khi AM = 4a; BM = ( 2a ) + ( 4a ) = 2a 5; IM = 3a Ta có ∆KMI ~ ∆AMB IM IK 3a 3a ⇒ = ⇒ IK = 2a = , BM AB 2a 5 SI = IK tan 600 = 3a 3= 3a 3a 3a 15 V= ( a + 2a ) 2a = 5 Chọn đáp án B Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi; hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng a cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a a3 3a 7a3 B C 3 Hướng dẫn giải: +Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a AC , BD vng góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vuông O AO = a ; BO = a , ABD = 600 Hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến chúng SO ⊥ ( ABCD ) +Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH ⊥ AB a DH = a ; OK / / DH OK = DH = 2 ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) A D 3a +Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ = + ⇒ SO = 2 OI OK SO Diện tích đáy: S ABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB = 3a ; Đường cao hình chóp SO = Chọn đáp án A a 3a Thể tích khối chóp S ABCD : VS ABCD = S ABCD SO = 3 HÌNH CHĨP KHÁC Câu 1: Cho hình chóp tam giác có đường cao 100 cm cạnh đáy 20 cm, 21 cm, 29 cm Thể tích hình chóp A 6000 cm3 B 6213 cm3 C 7000 cm3 D 7000 cm3 Hướng dẫn giải: 20 + 21 + 29 Nửa chu vi tam giác đáy P = = 35 Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích đáy B = 35 ( 35 − 20 )( 35 − 21)( 35 − 29 ) = 210 1 Thể tích khối chóp cần tìm V = B.h = 210.100 = 7000 cm3 3 Chọn đáp án C Câu 2: Cho hình chóp SABCD tích 48, đáy ABCD hình thoi Các điểm M, N, P, Q thuộc SA, SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM, SB = 3SN, SC = 4SP, SD = 5SQ Thể tích khối chóp S.MNPQ A B C D 5 5 Hướng dẫn giải: 1 VSMNP = VSABC , VSMPQ = VSACD 24 40 1 ⇒ VSMNPQ = 24 + 24 = 24 40 Chọn đáp án D Câu 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có ASB = CSB = 60o , CSA = 90o , SA = SB = SC = 2a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 2a 2a a3 A B C D 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có tam giác ABC vng B, Hai tam giác SAB SBC Vì SA = SB = SC = 2a Hình chiếu S trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vng B nên hình chiếu trung điểm H AB ( 2a ) = a 3, AB = 2a ⇒ V = 2a a = 2a 3 SH = ( ) 3 Chọn đáp án C Câu 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB; AC; AD tạo với góc 600 Biết AB = 2a ; AC = 3a ; AD = 4a Tính thể tích ABCD a3 A B a C 2a3 D 4a3 12 Hướng dẫn giải: Đây tốn điển hình hình học khơng gian Mấu chốt tốn nằm việc lấy thêm điểm để tính tốn Lấy điểm M, N, P thuộc đoạn AB, AC, AD cho AM = AN = AP = a Suy tứ diện AMNP tứ diện có độ dài cạnh a Đến toán trở dạng đơn giản Ta dễ dàng tính a3 thể tích AMNP 12 VABCD AB AC AD Lại có: = = 2.3.4 = 24 ⇒ VABCD = 24VAMNP = 2a VAMNP AM AN AP Chọn đáp án C Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V Lấy điểm A’ cạnh SA cho SA ' = SA Mặt phẳng qua A’ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ Khi thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng: V V V V A B C D 27 81 Hướng dẫn giải: 1 Gọi thể tích VS.ABCD = a.ha h Với Sđáy = a.ha h chiều cao hính chóp S.ABCD 1 1 VS.A’B’C’D’ = a '.ha ' h ' mà: h ' = h , a ' = a , ' = 3 3 VS.ABCD Nên VS.A’B’C’D’ = 27 Chọn đáp án C Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi; hai đường chéo AC = 3a; BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng a cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) Tính thể tích khối chóp S.ABCD a3 a3 a3 A a 3 B C D 3 Hướng dẫn giải: Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có: a DH ⊥ AB; DH = a 3; OK DH ; OK = DH = 2 ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) Gọi I hình chiếu O lên SK ta có: OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao 1 a ⇒ = + ⇒ SO = 2 OI OK SO Diện tích đáy S ABCD = 4S ABO = 2.OA.OB = 3a a Đường cao hình chóp ASO = Thể tích khối chóp S.ABCD: a a3 V = 2a = 3 Chọn đáp án C a 17 , hình chiếu vng góc H S lên mặt ( ABCD ) trung điểm đoạn AB Tính chiều cao khối chóp H SBD theo a Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SD = 3a Hướng dẫn giải: A B a C a 21 D 3a  a 17    a 2  Ta có ∆SHD vng H ⇒ SH = SD − HD =   −  a +    = a 2     B a Cách Ta có d ( H , BD ) = d ( A, BD ) = S Chiều cao chóp H SBD H SH d ( H , BD ) d ( H , ( SBD ) ) = = SH +  d ( H , BD )  A 2 a 2 = a 6.2 = a 4.5a a2 3a + A 3 Cách S ABCD = SH S ABCD = a ⇒ VH SBD = 3 B a C I D C H D 1 3 VA.SBD = VS ABC = VS ABCD = a 2 12 a a 13 Tam giác ∆SHB vuông H ⇒ SB = SH + HB = 3a + = 5a a 13 a 17 Tam giác ∆SBD có SB = ; BD = a 2; SD = ⇒ S ∆SBD = 2 3V a ⇒ d ( H , ( SBD ) ) = S HBD = S ∆SBD Cách Gọi I trung điểm BD Chọn hệ trục Oxyz với O ≡ H ; Ox ≡ HI ; Oy ≡ HB; Oz ≡ HS z  a  a  Ta có H ( 0;0;0 ) ; B  0; ;0  ; S 0;0; a ; I  ;0;0  S   2  Vì ( SBD ) ≡ ( SBI ) ( ⇒ ( SBD ) : ) y 2x y z + + = ⇔ 2x + y + z − a = a a a 3 2.0 + 2.0 + Suy d ( H , ( SBD ) ) = − a 4+4+ = a C B O ≡H A I x D Chọn đáp án A Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, AB = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích V hình chóp S ABCD 3a 3a 3a 3a A V = B V = C V = D V = 12 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm OA ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Vẽ HE ⊥ CD E ⇒ HE / / AD Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD CD ⊥ ( SHE ) nên góc (SCD) (ABCD) góc ABC = 600 3a HE = AD = 4 3a a3 VS ABCD = SH S ABCD = Chọn đáp án C SH = HE.tan 600 = Câu 9: Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA = , tất cạnh lại Tính thể tích khối chóp S ABCD 39 39 39 A B C 32 96 32 Hướng dẫn giải: Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ BD, AO ⊥ OB Đặt AC = x ta có SO = SB − OB = AB − OB = OA2 = x Áp dụng CT đường trung tuyến: SA2 + SC AC / 16 + 4a 25 SO = − ⇒ x2 = − ⇒ x2 = 4 64 5 39 +) ⇒ x = ⇒ AC = , BD = BO = AB − AO = 4 25 ⇒ AC + SC = = AC ⇒ ∆SAC vuông S 16 SA.SC +) Kẻ SH ⊥ AC ⇒ SH = = 2 SA + SC Do BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ AH ⊥ ( ABCD ) D 39 16 1 39 39 VS ABCD = SH AC.BD = ⋅ ⋅ ⋅ = 4 32 Chọn đáp án C Câu 10: Cho tứ diện ABCD có ∆ABC vng B BA = a, BC = 2a, ∆DBC cho biết góc mặt phẳng (ABC) (DBC) 300 Xét câu: (I) Kẻ DH ⊥ ( ABC ) H trung điểm cạnh AC a3 Hãy chọn câu A Chỉ (I) B Chỉ (II) Hướng dẫn giải: DH ⊥ ( ABC ) , kẻ DE ⊥ BC (II) VABCD = C Cả sai ⇒ EB = EC (do tam giác đều), BC ⊥ HE ⇒ DEH = 300 D Cả  2a  3a Trong ∆DHE : HE =  =   2   a Gọi I trung điểm AC IE = ⇒ HE > IE nên nói H trung điểm AC sai: (I) sai a Trong ∆DHE : DH = a = 2 1 a a (II) VABCD = a.2a = 2 Chọn đáp án B Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, góc ABC = 60° Cạnh bên SD = Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn BD cho HD = 3HB Tính thể tích khối chóp S ABCD 15 15 15 A V = B V = C V = D V = 24 24 12 Hướng dẫn giải: Vì ABC = 60° nên tam giác ABC S 3 3 ; BD = BO = ; HD = BD = Suy BO = 4 Trong tam giác vng SHD , ta có SH = SD − HD = A D H Diện tích hình thoi ABCD S ABCD = S∆ABC = C B 15 Vậy VS ABCD = S ABCD SH = (đvtt) 24 Chọn đáp án B Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I có cạnh a, BAD = 600 Gọi H trung điểm IB SH vng góc với ( ABCD ) Góc SC ( ABCD ) 450 Tính thể tích khối chóp S AHCD 35 39 39 A B C a a a 32 24 32 Hướng dẫn giải: Ta tư nhanh sau: Nhìn vào hình dễ nhận hai khối chóp S.ABCD S.AHCD có chung chiều cao nên ta cần so sánh diện tích đáy Dĩ nhiên ta thấy S BCD S AHCD S AHD 3 = = = = , S ABCD S ABCD S ABCD 4 VSAHCD = VSABCD Mặt khác ta có BAD = 600 ⇒ tam giác ABD đều, nên a AB = BD = AD = a ⇒ IH = Khi D 35 a 24 2 a 13 a 13 a a 3 (do SCH = 450 nên tam HC = IH + IC =   +  Khi SH = HC =  =  4     giác SCH vuông cân H) a 13 a 3 a 39 ⇒ VSAHCD = SH.S ABCD = a = 4 32 Chọn đáp án C 2 Câu 13: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm BC SB = 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC 5a 3a 5a B V = C V = 24 Hướng dẫn giải: Xét tam giác SBH vuông a 15 3a S ABC = H : SH = SB − BH = 5a Vậy VS ABC = SH S ABC = Chọn đáp án C A V = D V = 3a 12 Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm BC SA hợp với đáy góc 600 Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a 3a 5a B V = C V = 24 Hướng dẫn giải: Do SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SA; ( ABC ) ) = SAH = 600 A V = Xét tam giác SAH vuông H : SH = AH tan SAH = D V = 3a 12 3a 3a 3a Vậy VS ABC = SH S ABC = Chọn đáp án A S ABC = Câu 15: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm BC SB hợp với đáy góc 600 Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a Hướng dẫn giải: A V = B V = 3a 24 C V = a3 D V = 3a 12 Do SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SB; ( ABC ) ) = SBH = 600 3a Xét tam giác SBH vuông H : SH = BH tan SBH = 3a a3 Vậy VS ABC = SH S ABC = Chọn đáp án C S ABC = Câu 16: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm BC ( SAB ) hợp với đáy góc 450 Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a a3 A V = B V = 16 16 Hướng dẫn giải: Do HK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SHK ) ⇒ AB ⊥ SK C V = a3 D V = 3a 12 ⇒ ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = SKH = 450 a Gọi M trung điểm AB ⇒ HK = CM = , a tam giác SHK vuông cân H ⇒ SH = HK = 3a S ABC = a3 Vậy VS ABC = SH S ABC = 16 Chọn đáp án B Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H cạnh BC cho CH = HB, SB hợp với đáy góc 600 Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 A V = B V = C V = 12 Hướng dẫn giải: Do SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SB; ( ABC ) ) = SBH = 600 Xét tam giác SBH vuông H : SH = BH tan SBH = D V = 3a 12 3a 3a a3 Vậy VS ABC = SH S ABC = 12 Chọn đáp án A S ABC = Câu 18: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H cạnh BC cho HC = BH , SA hợp với đáy góc 600 Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 7a3 B V = C V = 12 12 Hướng dẫn giải: Do SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SA; ( ABC ) ) = SAH = 600 A V = D V = 3a Xét tam giác AHB : AH = AB + BH − AB.BH cos ABH = 7a a Xét tam giác SAH vuông 21a 3a S ABC = H : SH = AH tan SBH = 7a3 Vậy VS ABC = SH S ABC = 12 Chọn đáp án B ⇒ AH = Câu 19: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H cạnh BC cho HC = BH , tam giác SAH vng cân Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 21a 7a3 A V = B V = C V = 36 12 Hướng dẫn giải: Do SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SA; ( ABC ) ) = SAH = 600 D V = 3a Xét tam giác AHB : AH = AB + BH − AB.BH cos ABH = 7a a Do tam giác SAH vuông cân H nên SH = AH 3a S ABC = 21a Vậy VS ABC = SH S ABC = 36 Chọn đáp án A ⇒ AH = Câu 20: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H cạnh BC cho HC = BH , ( SAB ) hợp với đáy góc 600 Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a 3a B V = 24 12 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AB Dựng HK ⊥ AB ⇒ HK / /CM a HK = CM = Ta có AB ⊥ ( SHK ) ⇒ AB ⊥ SK A V = C V = 3a D V = 3a ⇒ ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = SKH = 600 Xét tam giác SKH vuông a 3a H : SH = KH tan SKH = S ABC = 3a Vậy VS ABC = SH S ABC = 24 Chọn đáp án A Câu 21: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA = 1, SB = 2, SC = 3, AB = 3, BC = CA = Tính thể tích V khối chóp S ABC 3 A V = B V = C V = D V = 2 Hướng dẫn giải: Đáp án : Phương án C Lời giải: + cos ASB = + SA2 + SB − AB + − = = ⇒ ASB = 600 SA.SB 2.1.2 SB + SC − BC + − = = ⇒ BSC = 600 SB.SC 2.2.3 SC + SA2 − CA2 + − = = ⇒ CSA = 600 + cos CSA = SC.SA 2.3.1 + Trên SB lấy trung điểm D SC lấy E cho SE = SC cos BSC = + Khi SADE tứ diện cạnh thể tích VSADE = VSADE SD SE = = ⇒V = V SB SC Chọn đáp án C + Mặt khác, 12 Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB cho HB = 2HA Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) góc 60 Khoảng cách từ trung điểm K HC đến mặt phẳng (SCD) là: a 13 a 13 a 13 A B C a 13 D Hướng dẫn giải: ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , CH ) = SCH = 600 a 13 a 39 ; SH = HC.tan 600 = 3 1 a 39  a 2a  a 39 = SH ( S ABCD − S AHD − S BHC ) =  a − a − a  = 3  3  18 HC = BH + BC = VSHDC = SH S HDC VCKSD a 39 = ⇒ VCKSD = VCHSD = VCHSD 2 36 Tính độ dài cạnh SD, SC Khi đó: 2a 3V a 13 S SDC = ⇒ d ( K , ( SDC )) = KSDC = S SDC Chọn đáp án D Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tam giác SAB tam giác cân đỉnh S Góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy 450 , góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khoảng cách hai đường thẳng CD SA a 8a 3 4a 3 2a 3 a3 B C D 3 3 Hướng dẫn giải: + Gọi H hình chiếu vng góc S lờn mặt đáy, M trung điểm AB tam giác SAB cân S nên SM vng góc với AB kết hợp với SH vng góc với đáy suy AB vng góc với mặt A phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: ( SA,( ABCD) ) = SAH = 450 ⇒ SA = SH + ( ( SAB), ( ABCD ) ) = ( SM , MH ) = SMH = 60 + Từ điểm N kẻ NP vng góc với SM dễ thấy NP khoảng cách hai đường thẳng SA CD suy NP = a Ta có SH MN = NP.SM ⇔ SH AB = a 6.SH ⇔ AB = 2a ⇔ SH = a 3 SH + Trong tam giác SAM ta có SA2 = AM + SM ⇔ SH = + 2a ⇔ SH = a 3 a 3.8a 3a = VS ABCD = SH S ABCD = 3 Chọn đáp án A Câu 24: Cho mặt phẳng ( P ) chứa hình vng ABCD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( P) ⇒ SM = SH A, lấy điểm M Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng P C lấy điểm N (N phía với M so với mặt phẳng ( P ) ) Gọi I trung điểm MN Thể tích tứ diện MNBD ln tích cơng thức sau ? 1 A V = AC S IBD B V = AC S BDN C V = BD.S BMN 3 Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ sau: Gọi O giao điểm AC BD Suy IO song song với AM, suy IO vng góc với mặt phẳng ABCD ⇒ OI ⊥ AC Mà AC ⊥ BD; OI BD đường thẳng cát thuộc D V = BD.S MBD mặt phẳng ( IBD ) Khi AC ⊥ ( IBD ) ; hay AO ⊥ ( IBD ) Ta có MN giao với ( IBD ) I ⇒ d ( M ; ( IBD ) ) d ( N ; ( IBD ) ) = IM =1 IN VMIBD = ⇒ VMIBD = VNIBD = VMNBD (1) VNIBD 1 AC Mặt khác VMIBD = AO.DIBD = S IBS ( ) Từ (1) (2) ⇒ VMNBD = AC.S IBD 3 Chọn đáp án A ⇒ Câu 25: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB = AC = 5a, BC = 6a mặt bên tạo với đáy góc 600 Hãy tính thể tích V khối chóp đó? A V = 2a 3 B V = 6a 3 C V = 12a 3 D V = 18a 3 Hướng dẫn giải: Kẻ SO ⊥ ( ABC ) OD , OE , OF vng góc với BC , AC , AB Theo định lí ba đường vng góc ta có SD ⊥ BC , SE ⊥ AC , SF ⊥ AB (như hình vẽ) Từ suy ABC = ABC = ABC = 600 Do tam giác vng SDO, SEO, SFO Từ suy OD = OE = OF Vậy O tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên OA vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Suy A, O, D thẳng hàng D trung điểm BC Suy AD = AB − BD = 16a = 4a Gọi p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp Khi S ∆ABC = 6a.4a = 12a = pr = 8ar Suy r = a 2 3 a Do SO = OD.tan 600 = Vậy VS ABC = 3a Chọn đáp án B Câu 26: Cho hình chóp S.ABC, có tất mặt bên tạo với đáy góc α , hình chiếu đỉnh thuộc miền tam giác AB C Biết AB = 3a, BC = 4a AC = 5a Khi thể tích V khối chóp BC ? A V = 2a tan α B V = 2a cos α C V = 6a tan α D V = 6a cot α Hướng dẫn giải: Phân tích : cần xác định đường cao Việc tưởng trừng đơn gian không tinh ý lại trở nên khó khăn Mấu chốt tốn la tất mặt phẳng bên tạo với đáy góc α Ta có toán phụ sau: Nếu tất mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm nội tiếp mặt đáy Cơng thức cần dùng S= p.( p − a)( p − b)( p − c) = p.r = 6a Hay 6a2=6a.r hay r=a( r :bán kính nội tiếp tam giác) Chiều cao r tan α = a.tan α Vậy V = a tan α.6a = 2a tan α Chọn đáp án A Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có AC = BD = 4a , cạnh bên SA = a , AC hình chiếu vng góc đỉnh S (ABCD) điểm H cạnh AC cho AH = , M hình chiếu vng góc C SA Tính thể tích khối chóp SMBC theo a 4a a3 2a A B C D 2a 15 3 Hướng dẫn giải: SH = SA2 − AH = 2a ⇒ AM = AC.sin ∠MCA = AC.sin ∠ASH = AC AH 4a = SA AM S = ⇒ S SMC = SAC AS 5 V V SH AC.BD 4a ⇒ VB.SMC = B.SAC = S ABCD = = 10 60 15 Chọn đáp án A ⇒ Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều, SC = SD = a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Gọi I trung điểm AB; J trung điểm CD Gọi H hình chiếu S (ABCD) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt DA CB kéo dài M,N Các nhận định sau (1) Tam giác SIJ tam giác có SIJ tù (2) sin SIH = (3) MSN góc hai mặt phẳng (SBC) (SAD) (4) cos MSN = Chọn đáp án đúng: Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có IJ=a; a a 11 = Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có 3a 11a a2 + − 2 2 IJ + IS − SJ 4 =− a =−