• Bước 2: Xác định VTPT (nếu viết theo phương trình tổng quát) hoặc VTCP (nếu viết theo phương trình tham số hoặc chính tắc) hoặc hệ số góc (nếu viết theo phương trình hệ số góc) bằng c[r]
(1)Mục lục
PHẦN ĐẠI SỐ
Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I BẤT ĐẲNG THỨC
1 Tính chất bất đẳng thức
2 Bất đẳng thức Cô si
3 Bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
4 Một số bất đẳng thức thường dùng khác
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1 Dấu nhị thức bậc
2 Bất phương trình bậc
3 Hệ bất phương trình bậc ẩn
III BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1 Bất phương trình bậc hai ẩn
2 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn
IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1 Dấu tam thức bậc hai
2 Bất phương trình bậc hai ẩn
3 Một số phương trình bất phương trình quy bậc hai
Chương V THỐNG KÊ
I KHÁI QUÁT
II BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT
III BIỂU ĐỒ
1 Biểu đồ hình cột
2 Biểu đồ đường gấp khúc
3 Biểu đồ hình quạt
IV SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
V SỐ TRUNG VỊ
VI MỐT
VII PHƯƠNG SAI
VIII ĐỘ LỆCH CHUẨN
Chương VI LƯỢNG GIÁC
I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Công thức
Hệ công thức
2 Công thức cộng 10
Hệ công thức cộng 10
3 Công thức biến đổi tổng thành tích 11
4 Cơng thức biến đổi theo f x a( )= sinx b+ cosx 11
5 Công thức biến đổi theo tan = x t 12
(2)2 Giá trị góc cung lượng giác đặc biệt 12
3 Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác đặc biệt 13
PHẦN HÌNH HỌC 14
Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Oxy 14
I HỆ TỌA TRỤC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 14
1 Hệ trục tọa độ 14
2 Tọa độ véc-tơ 14
3 Tọa độ điểm 14
4 Liên hệ tọa độ véc-tơ tọa độ điểm 15
II ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 15
1 Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương đường thẳng 15
2 Các dạng phương trình đường thẳng 15
3 Cách viết nhanh phương trình đường thẳng 15
4 Vị trí tương đối đường thẳng với điểm đường thẳng 16
5 Góc hai đường thẳng 16
6 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 17
III ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 17
1 Các dạng phương trình đường tròn 17
2 Cách viết nhanh phương trình đường trịn 17
3 Vị trí tương đối đường trịn với điểm, đường thẳng đường tròn 17
4 Phương trình tiếp tuyến với đường trịn 18
IV ELIP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 19
1 Định nghĩa đường elip 19
2 Phương trình tắc elip 19
(3)PHẦN ĐẠI SỐ
Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC
1 Tính chất bất đẳng thức • a b> ⇔ + > +a c b c.
• c> ⇒ > ⇔0 a b ac bc c> ; 0< ⇒ > ⇔a b ac bc< • > ⇒ + > + > > ⇒ >
> > >
0
;
a b a b
a c b d ac bd
c d c d
• a b> ⇔a2 1n+ >b2 1n+ ,n∈*.
• a b> > ⇒ > ⇔0 a b a2n>b n2n, ∈*. • a b> > ⇒ > ⇔0 a b a > b • a b> ⇔ 3a >3b.
2 Bất đẳng thức Cơ si
• Nếu a b hai số thực khơng âm a b+ ≥2 ab (Dấu “=” xảy ⇔ =a b)
• Nếu có n số khơng âm a a1, , ,2 an a a1+ + +2 a n a a an≥ n n (Dấu “=” xảy ⇔a a1 = = = an) 3 Bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
• ∀ ∈x : x ≥0; ; x x x≥ ≥ −x • x a≤ ⇔ − ≤ ≤a x a a ( > ) • ≥ ⇔ ≥≤ − ( > )
x a
x a x a a
• a b a b a b− ≤ + ≤ +
4 Một số bất đẳng thức thường dùng khác • Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
• Áp dụng cho hai số a, b x, y ta được: ax by+ ≤ (a b x2+ 2)( 2+y2) (Dấu “=” xảy ⇔ =a b).
x y
• Áp dụng cho n số a a1, , , , , ,2 an b b1 b3 ta được:
( )( )
+ + + ≤ 2+ 2+ + 2+ 2+ +
1 2 n n n n
a b a b a b a a a b b b (Dấu “=” xảy ⇔ = = =
n) n
a
a a
b b b
• Bất đẳng thức Svác-xơ:
• Áp dụng cho hai số a, b x, y ta + ≥( + ) +
2 2 a b a b
x y x y (Dấu “=” xảy ⇔ = )
a b x y
• Áp dụng cho n số a a1, , , , , ,2 an b b1 2 b3 ta được:
( + + + )
+ + + ≥
+ + + 2
2
1 2
1 2
n n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b (Dấu “=” xảy ⇔ 11 = 22 = =
n) n
a
a a
b b b
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1 Dấu nhị thức bậc
• Xét nhị thức bậc f x ax b a( )= + 0( ≠ ) ta có bảng xét dấu:
x −∞ −b
(4)Cách nhớ: Trái trái – Phải • Từ bảng xét dấu ta có kết luận:
• Dấu f x( ) dấu với hệ số a x> −b a • Dấu f x( ) trái dấu với hệ số a x< −b
a 2 Bất phương trình bậc
• Giải biện luận bất phương trình ax b+ >0 (1) • TH1 Nếu a>0 (1)⇔ > −x b
a Vậy tập nghiệm (1)
= − +∞ ;
b S
a • TH2 Nếu a<0 (1)⇔ < −x b
a Vậy tập nghiệm (1)
= −∞ − ;
b S
a • TH3 Nếu a=0 (1)⇔0.x< −b.Khi đó:
+ Nếu b≥0 (1) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm (1) S= ∅
+ Nếu b<0 (1) có nghiệm với x Vậy tập nghiệm (1) S=
• Các bất phương trình ax b+ <0; 0; 0ax b+ ≥ ax b+ ≤ có giải biện luận tương tự 3 Hệ bất phương trình bậc ẩn
• Hệ bất phương trình bậc ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc ẩn
• Để giải hệ bất phương trình bậc ẩn ta giải bất phương trình để tìm nghiệm bất phương trình tìm giao hai tập nghiệm
• Trong q trình tìm giao hai tập nghiệm ta nên vẽ trục số để việc giải trở nên thuận lợi dễ dàng
III BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1 Bất phương trình bậc hai ẩn
• Để giải bất phương trình ax by c+ + >0 (1) ta làm sau:
• Bước 1: Vẽ đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 hệ trục tọa độ Oxy • Bước 2: Chọn điểm M x y( 0; 0) khơng thuộc đường thẳng ∆.
• Bước 3: Tính giá trị biểu thức T ax by c= 0+ 0+ xét dấu để thu miền nghiệm bất phương trình cho mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cách:
+ Nếu T>0 tức dấu với (1) miền nghiệm (1) nửa mặt phẳng không kể bờ ∆ chứa điểm M
+ Nếu T<0 tức trái dấu với (1) miền nghiệm (1) nửa mặt phẳng không kể bờ ∆ không chứa điểm M
• Nếu bất phương trình có chứa dấu “=” kết luận miền nghiệm nửa mặt phẳng kể bờ • Các bất phương trình ax by c+ + <0; 0; 0ax by c+ + ≥ ax by c+ + ≤ có cách giải 2 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn
• Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai phương trình trở lên • Giả sử giải hệ bất phương trình ++ + >+ >
0
' ' '
ax by c
a x b y c ta làm sau: • Bước 1: Vẽ dường thẳng ∆:ax by c+ + =0 ': '∆ a x b y c+ ' + =' 0 • Bước 2: Xác định tọa độ giao điểm (nếu có) ∆ '.∆
(5)IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1 Dấu tam thức bậc hai
• Xét tam thức bậc hai f x ax bx c a( )= 2+ + 0( ≠ ) có biệt thức ∆ =b2−4ac, ta có trường hợp sau: TH1 Nếu ∆ <0 = + − ∆
2 ( )
2b
f x a x
a a dấu với hệ số a với x∈ Bảng xét dấu:
TH2 Nếu ∆ =0 = +
2 ( )
2 b f x a x
a dấu với hệ số a với
∈ −
\ b x
a Bảng xét dấu:
TH3 Nếu ∆ >0 với x x1< 2 nghiệm phương trình f x ax bx c( )= 2+ + =0 + f x a x x x x( )= ( − 1)( − 2) dấu với hệ số a với x∈ −∞( ;x1) (∪ x2;+∞) + f x a x x x x( )= ( − 1)( − 2) trái dấu với hệ số a với x∈(x x1; 2)
Bảng xét dấu:
• Định lí đảo tam thức bậc hai f x ax bx c a( )= 2+ + 0( ≠ ) trường hợp ∆ =b2−4ac>0 < x x nghiệm phương trình f x ax bx c( )= 2+ + =0 thì:
α α
α
∆ >
< < ⇔ > <
0 ( )
2
x x a f
S
α α
α
∆ >
< < ⇔ > >
0 ( )
2
x x a f
S
α α
< < ⇔ <
1 ( )
x x a f
2 Bất phương trình bậc hai ẩn • Ta dùng tam thức bậc hai để giải
• Bất phương trình f x ax bx c( )= 2+ + >0 có nghiệm với ∈ ⇔ > ∆ <
0 a
x
• Bất phương trình f x ax bx c( )= 2+ + <0 có nghiệm với ∈ ⇔ < ∆ <
0 a
x
• Bất phương trình f x ax bx c( )= 2+ + ≥0 có nghiệm với ∈ ⇔ > ∆ ≤
0 a
x
• Bất phương trình f x ax bx c( )= 2+ + ≤0 có nghiệm với ∈ ⇔ < ∆ ≤
0 a
x
(6)• = ( ≥ )⇔ = = ⇔ =
= − = −
: A B ; A B
A B ĐK B A B A B A B
• < ⇔ − < < > ⇔ < −> > ⇔ >
2
; ; A B
A B B A A A B A B A B A B
• Chú ý = = ≥
<
2 , 0.
, A A A A A A
• Phương trình bất phương trình chứa thức: •
≥ ≥
= ⇔ = ⇔ ≥
=
=
0
; A B
A B A B B
A B A B
•
<
≥ ≥ ≥
< ⇔ > > ⇔ > ⇔ ≥ ≥
< >
>
2
0 0
0 ; ;
B
A A A
A B B A B B A B B
A B
A B A B
Chương V THỐNG KÊ I KHÁI QUÁT
Phân bố tần số tần suất rời rạc
Giả sử dãy n số liệu thống kê cho có k giá trị khác (n k x x≤ ): , , , 1 2 xk Số lần suất giá trị
( =1,2, , ) i
x i k dãy số liệu cho gọi tần số giá trị xi, kí hiệu ni Tỉ số fi =nni gọi tần suất giá trị xi
Phân bố tần số tần suất ghép lớp
Giả sử dãy n số liệu thống kê cho phân vào k lớp (n k L L< ): , , , 1 2 Lk Mỗi lớp nửa khoảng đóng bên trái Số ni số liệu thống kê thuộc lớp
( =1,2, , ) i
L i k gọi tần số lớp Tỉ số = i
i n f
n gọi tần suất lớp Li Trung điểm +
+
=
2 i i i x x
c nửa khoảng xác định lớp Li gọi giá trị đại diện lớp Li
II BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT
Phân bố tần số tần suất rời rạc
Giá trị x1 x2 … xk Cộng
Tần số n1 n2 … nk n
Tần suất f1 f2 … fk 100%
Phân bố tần số tần suất ghép lớp
Lớp L1 L2 … Lk Cộng
Tần số n1 n2 … nk n
Tần suất f1 f2 … fk 100% Giá trị đại diện c1 c2 … ck
III BIỂU ĐỒ
1 Biểu đồ hình cột
• Dùng cho tần số tần suất • Cách vẽ:
• Chọn hệ tọa độ vng góc Trên nửa khoảng xác định lớp dựng hình chữ nhật với đáy nửa khoảng chiều cao tần số lớp ta có biểu đồ tần suất hình cột (Hình 1)
(7)2 Biểu đồ đường gấp khúc
• Dùng cho tần số tần suất • Cách vẽ:
• Gọi ci giá trị đại diện ni tần số lớp Li Trên mặt phẳng tọa độ ta xác định điểm (c ni; i) với i=1,2, , k Vẽ đoạn thẳng nối điểm (c ni; i) với điểm (c ni+1; i+1) với i=1,2, ,k−1 Ta thu đường gấp khúc gọi đường gấp khúc tần số (Hình 3)
• Nếu lấy đơn vị trục tung phần trăm nối điểm (c fi; i) với i=1,2, , k Trong fi tàn suất lớp Li tương tự ta thu đường gấp khúc gọi đường gấp khúc tần suất (Hình 4)
3 Biểu đồ hình quạt • Chỉ dùng cho tần suất
• Cách vẽ: Vẽ đường trịn chia hình trịn thành hình quạt Mỗi hình quạt tương ứng với lớp có diện tích tỉ lệ với tần suất lớp ta có biểu đồ hình quạt (Hình 5)
IV SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
Số trung bình dãy số gồm n số liệu x x1, , ,2 xn kí hiệu x tính theo cơng thức:
+ + +
= x x1 xn. x
(8)Phân bố tần số tần suất rời rạc
+ + +
= 1 2 = + + +
1 2
k k
k k n x n x n x
x f x f x f x
n
Phân bố tần số tần suất ghép lớp
+ + +
= 1 2 = + + +
1 2
k k
k k n c n c n c
x f c f c f c
n
V SỐ TRUNG VỊ
Kí hiệu Me dãy số gồm n số liệu xếp theo thứ tự không giảm x x1≤ 2≤ ≤ xn là: + Nếu n số lẻ = +1
2 e n
M x
+ Nếu n số chẵn + + = 2 1.
2 n n e x x M VI MỐT
Cho dãy số liệu dạng bảng phân bố tần số Mốt kí hiệu M0 giá trị có tần số lớn Một bảng phân bố tần số có hai hay nhiều mốt
VII PHƯƠNG SAI
Phương sai dãy gồm n số liệu x x1, , , ,2 xn kí hiệu s2, tính theo cơng thức:
( )
= − = ∑
2 .
n i i x x s n
Phân bố tần số tần suất rời rạc
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= − + − + + −
= − + − + + −
2 2
2
1 2
2 2
1 2
1
k k
k k
s n x x n x x n x x
n
f x x f x x f x x
Phân bố tần số tần suất ghép lớp
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= − + − + + −
= − + − + + −
2 2
2
1 2
2 2
1 2
1
k k
k k
s n c x n c x n c x
n
f c x f c x f c x
VIII ĐỘ LỆCH CHUẨN
Độ lệch chuẩn bậc hai phương sai kí hiệu s Khi số liệu có đơn vị mét, ki-lơ-gam, … độ lệch chuẩn có đơn vị với số liệu Đơn vị phương sai bình phương đơn vị số liệu
Chương VI LƯỢNG GIÁC I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Công thức
[1] + = ⇒ = −
= −
2
2
2
sin cos
sin cos
cos sin
a a
a a
a a
[2] tan = sin ⇒sin =tan cos cos
a
a a a a
a
[3] cot =cos ⇒cos =cot sin sin
a
a a a a
a
Hệ công thức [4] tan cot = ⇒1 cot = .
tan
a a a
a Chứng minh:
= sin cos = ⇒
tan cot
cos sin
a a
a a dpcm
a a
[5] + =
2
1 tan
cos a
a Chứng minh:
+
+ = + = 2 = ⇒
2 2
sin cos sin
1 tan
cos cos cos
a a a
a dpcm
(9)[6] + =
1 cot
sin a
a Chứng minh:
+
+ = + = 2 = ⇒
2 2
cos sin cos
1 cot
sin sin sin
a a a
a dpcm
a a a
2 Công thức cộng
[7] cos(a b− =) cos cosa b+sin sin a b [8] cos(a b+ )=cos cosa b−sin sin a b [9] sin(a b− =) sin cosa b−sin cos b a [10] sin(a b+ )=sin cosa b+sin cos b a
[11] ( − =) −
+
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b
[12] ( + )= +
−
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b Hệ công thức cộng
a Công thức nhân hai
[13] cos2a=cos2a−sin2a=2cos2a− = −1 2sin 2a Chứng minh:
( )
( )
( )
= + = − = − ⇒
= − = − − = − ⇒
= − = − − = − ⇒
2
2 2 2
2 2 2
cos2 cos cos cos sin sin cos sin
cos2 cos sin cos cos 2cos
cos2 cos sin sin sin 2sin
a a a a a a a a a dpcm
a a a a a a dpcm
a a a a a a dpcm
[14] sin2a=2sin cos a a Chứng minh:
( )
= + = + = ⇒
sin2a sin a a sin cosa a sin cosa a 2sin cosa a dpcm
[15] =
−
2tan
tan2
1 tan a a
a Chứng minh:
( ) +
= + = = ⇒
− −
tan tan 2tan
tan2 tan
1 tan tan tan
a a a
a a a dpcm
a a a
Hệ công thức nhân hai
Công thức hạ bậc
[16] cos2 =1 cos2+ .
a
a
Chứng minh:
Từ công thức nhân hai cos2 =2cos2 − ⇔1 cos2 =1 cos2+ ⇒ .
a
a a a dpcm
[17] sin2 =1 cos2− .
a a
Chứng minh:
Từ công thức nhân hai cos2 = −1 2sin2 ⇔sin2 =1 cos2− ⇒ .
2 a
(10)b Cơng thức biến đổi tích thành tổng
[18] cos cos =1cos( − +) cos( + )
a b a b a b
Chứng minh:
Cộng vế với vế [7] [8] ta cos(a b− +) cos(a b+ )=2cos cosa b⇒dpcm. [19] sin cos =1sin( − +) sin( + )
2
a b a b a b
Chứng minh:
Cộng vế với vế [9] [10] ta sin(a b− +) sin(a b+ )=2sin cosa b⇒dpcm. [20] sin sin =1cos( − −) cos( + )
2
a b a b a b
Chứng minh:
Trừ vế với vế [7] [8] ta cos(a b− −) cos(a b+ )=2sin sina b⇒dpcm.
c Công thức nhân ba
[21] cos3a=4cos3a−3cos a Chứng minh:
( ) ( )
( = ) + = − = ( − −)
= − − = − − − = − ⇒
3
2 3
cos3 cos cos2 cos sin2 sin 2cos cos 2sin cos sin
2cos cos 2sin cos 2cos cos cos cos 4cos 3cos
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a dpcm
[22] sin3a=3sina−4sin 3a Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
= + = + = + −
= + − = − + − = − ⇒
2
2 3
sin3 sin sin2 cos sin cos2 2sin cos cos sin 2sin
2sin cos sin 2sin 2sin sin sin 2sin 3sin 4sin
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a dpcm
[23] = −
−
3 3tan tan
tan3
1 3tan
a a
a
a
Chứng minh:
( ) + − + −
= + = = = ⇒
− − −
−
3
2
2tan tan
tan2 tan 1 tan 3tan tan
tan3 tan 2tan
1 tan2 tan 1 tan 3tan
1 tan
a a
a a a a a
a a a a dpcm
a a a a
a 3 Công thức biến đổi tổng thành tích
[24] cos +cos =2cos + cos −
2
a b a b
a b
[25] cos −cos = −2sin + sin − .
2
a b a b
a b
[26] sin +sin =2sin + cos − .
2
a b a b
a b
[27] sin −sin =2cos + sin − .
2
a b a b
a b
4 Công thức biến đổi theo f x a( )= sinx b+ cosx
(11)Bước 1: Bấm qw4để chuyển đơn vị góc radian (rad) Bước 2: Bấm qlgiá trị b agiá trị a =để thu kết
Chứng minh: ( α α ) ( α) = + + = + + = + + + +
2 2 2
2 2
( ) sin a b cos sin cos sin cos sin
f x a b x x a b x x a b x
a b a b
Trong α = α =
+ +
2 2
cos a sin b ,
a b a b suy tanα =
b a Từ cơng thức trên, ta tính số cơng thức thường gặp sau:
π
± = ±
sin cos sin
4
x x x ± = ±π
sin cos 2sin
3
x x x ± = ±π
3sin cos 2sin
6
x x x
5 Công thức biến đổi theo tan =
2 x t Nếu đặt tan =
2
x t = = −
+ +
2
2
2
sin cos
1 t t x x t t Chứng minh: = = = = = = + + 2 2tan 2
sin sin 2sin cos 2tan cos cos 2tan cos
2 2 2 2 1 tan
2 x
x x x x x x x x t
x x t − − = = − = − = = + + + 2 2 2 tan
2 2
cos cos 2cos 1
2 1 tan 1 tan
2
x
x x t
x x x
t
Từ ta suy công thức tan cotx x theo t = = = = −
−
2
sin cos
tan cot
cos sin
x t x t
x x
x t x t
II GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
1 Góc cung lượng giác
• Đơn vị đo góc cung gồm độ ( )α° radian (α rad ) • ° = π = °
180
1
180 rad rad x
• Ta có bảng chuyển đổi:
Độ 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° Radian π
6 π π π π π π
6 π
π
3
2 π • Độ dài cung trịn l có bán kính R số đo α° là: =πα .
180 R
l
2 Giá trị góc cung lượng giác
• Đường trịn lượng giác gắn với hệ trục tọa độ: đường tròn định hướng có tâm gốc tọa độ bán kính Điểm A( )1;0 điểm gốc Với điểm M mà α =(OA OM , ) radta nói M định góc cung α Ngược lại, với số thực α tôn điểm M đường tròn lượng
(12)• Giá trị lượng giác góc cung α: Trên đường tròn lượng giác gắn với hệ trục tọa độ cho cung lượng giác AM có số đo α Tọa độ điểm M x y( ); Khi đó:
( ) ( )
α = α = α = ≠ α = ≠
cos x; sin y; tan y x ; cot x y
x y
• Các kết thừa nhận:
• sin(α+k2π)=sin ,α ∀ ∈k cos(α+k2π)=cos ,α ∀ ∈k . • tan(α +kπ)=tan ,α ∀ ∈k cot(α+kπ)=cot ,α ∀ ∈k • − ≤1 sinα ≤ ∀1, α cos− ≤ α ≤ ∀1, α
• tanα xác định với α ≠ +π π, ∈
2 k k cotα xác định với α ≠k kπ, ∈
• Nếu góc α =(OA OM , )=AOM tạo điểm cuối M cung lượng giác AMnằm góc phần thứ (I) hình chiếu vng góc M xuống trục hồnh (Trục côsin) điểm H nên dấu cosα >0 (nằm bên số 0) cịn hình chiếu vng góc M xuống trục tung (Trục sin) điểm K nên dấu sinα >0 (nằm bên số 0) Như vậy, để biết dấu giá trị lượng giác góc α ta xác định điểm M nằm góc phần tư tìm hình chiếu vng góc xuống trục cơsin sin để tìm dấu giá trị góc phần tư Từ đó, ta có bảng dấu giá trị lượng giác góc α phụ thuộc vào điểm cuối M cung lượng giác AM là:
Góc phần tư thứ I →π
0 2 II
π π
→
2 III
π π
→
3
2 IV
π π
→
3 2
2
α
cos + − − +
α
sin + + − −
α
tan + − + −
α
cot + − + −
• Bảng giá trị lượng giác góc cung lượng giác đặc biệt:
α π
6
π
4
π
3
π
2 α
cos
2 22
3
2
α
sin
2
2
1
2
α
tan
3 ||
α
cot || 3
3
3 Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt
• Hai góc đối α −α: ( )−α = − α
sin sin cos( )−α =cosα tan( )−α = −tanα cot( )−α = −cotα
• Hai góc bù α π α− : (π α− )= α
sin sin cos(π α− )= −cosα tan(π α− )= −tanα cot(π α− )= −cotα
(13)π α α − =
sin cos
2 π α α
− =
cos sin
2 π α α
− =
tan cot
2 π α α
− =
cot tan
2
Ta thấy, giá trị lượng giác cung góc đặc biệt hệ cơng thức cộng, vì: • Với hai góc đối nhau: sin( )−α =sin 0( −α)=sin0cosα−sin cos0α = −sinα ⇒dpcm • Với hai góc bù nhau: sin(π α− )=sin cosπ α−sin cosα π =sinα ⇒dpcm.
• Với hai góc phụ nhau: π −α= π α − α π = α ⇒
sin sin cos sin cos cos
2 2 dpcm
Hoàn toàn tương tự với giá trị lượng giác cos, tan cot
PHẦN HÌNH HỌC
Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Oxy
I HỆ TỌA TRỤC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 1 Hệ trục tọa độ
• Gồm trục Ox (là trục hồnh – nằm ngang) Oy (là trục tung – thẳng đứng) vuông góc với cắt điểm O (là gốc tọa độ – O(0; 0))
• Ta gọi i( )1;0 0;1j( ) véc-tơ đơn vị trục Ox Oy, ta có kết qủa sau: • i j.=0.
• i = j =1. 2 Tọa độ véc-tơ
• Tọa độ véc-tơ a có hồnh độ a tung độ b mặt phẳng tọa độ Oxy viết là: ( )
;
a a b a=( )a b; a a i b j = .+ . • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai véc-tơ a a b( ); b c d( ); , đó:
• Tổng hiệu hai véc-tơ: a b± = (a c b d± ; ± ). • Tích vô hướng hai véc-tơ: a b a c b d const.= + =
• Tích véc-tơ với số: k a k a b.= ( ) (; = ka kb k const; ) ( = ). • Hai véc-tơ nhau: = ⇔ ==
a c.
a b b d
• Hai véc-tơ phương: a b, phương (song song trùng nhau)⇔ =a kb k const ( = ) • Độ dài véc-tơ: a = a b2+ >0.
• Góc hai véc-tơ: ( )= ⇔α α = + ( ° ≤ ≤α °)
+ +
2 2
, cos 180
a c b d a b
a b c d
3 Tọa độ điểm
• Tọa độ điểm M có hồnh độ a tung độ b mặt phẳng tọa độ Oxy viết là: ( );
M a b M=( )a b; OM=( )a b; OM a i b j= +
• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A x y B x y C x y( A; A) (, B; B) (, C; C), đó: • Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: + +
;
A B A B
x x y y
M
• Tọa độ điểm M thuộc đoạn thẳng AB thỏa mãn MA kMB k= 1( ≠ ) là: − −
− −
;
A B A B
x kx y ky M
(14)• Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: + + + +
;
A B C A B C
x x x y y y
G 4 Liên hệ tọa độ véc-tơ tọa độ điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A x y B x y C x y( A; A) (, B; B) (, C; C), đó: • Tọa độ véc-tơ qua hai điểm A B là: AB=(xB−x yA; B −yA).
• Độ dài đoạn thẳng AB là: AB AB= = (xB−xA) (2+ yB−yA)2 >0 • Liên hệ véc-tơ AB độ dài AB: AB AB AB. = = AB2 =AB2. • Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔AB kAC k const= ( = )
• Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác ⇔AB kAC k const≠ ( = )
II ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 1 Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương đường thẳng
• Véc-tơ pháp tuyến (VTPT – thường kí hiệu n) đường thẳng có giá vng góc với đường thẳng • Véc-tơ phương (VTCP – thường kí hiệu u) đường thẳng có giá song song trùng với đường
thẳng
• Một đường thẳng có vơ số VTPT VTCP
• VTPT VTCP có giá vng góc với nên n u =0, đó:
• Nếu biết tọa độ VTPT n=( )a b; tọa độ VTCP u b a( ;− ) u b a(− ; ) • Nếu biết tọa độ VTCP u=( )a b; tọa độ VTPT n b a( ;− ) n b a(− ; )
• Khi biết mối quan hệ đường thẳng ∆ với đường thẳng khác với điểm ta tìm VTPT n∆ VTCP u∆ đường thẳng ∆ sau:
• Nếu ∆ ⊥d ∆ nhận VTCP d làm VTPT nhận VTPT d làm VTCP • Nếu ∆d ∆ nhận VTPT d làm VTPT nhận VTCP d làm VTCP • Nếu ∆ qua điểm A B ∆ nhận AB làm VTCP
2 Các dạng phương trình đường thẳng
• Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M x y( 0; 0) có VTPT n=( )a b; có phương trình tổng qt là:
( ) ( )
∆:a x x− 0 +b y y− 0 =0 Hay ∆:ax by c+ + =0 với c= −(ax by0+ 0)
• Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M x y( 0; 0) có VTCP u=( )a b; có phương trình tham số là:
( )
= +
∆ = + ∈
0
: x x aty y bt t
• Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M x y( 0; 0) có VTCP u=( )a b; có phương trình tắc là:
( )
− −
∆:x x0 = y y ab0 ≠
a b
• Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M x y( 0; 0) có hệ số góc k thì có phương trình có hệ số góc là:
( )
∆:y k x x= − 0 +y0 =kx h+ với h y kx= 0− 0.
• Nếu đường thẳng ∆ qua điểm A a( );0 0;B b( ) có phương trình đoạn chắn là:
( )
∆: x y+ =1 ab≠ a b
3 Cách viết nhanh phương trình đường thẳng
(15)• Yếu tố 1: Tìm tọa độ điểm mà đường thẳng qua
• Yếu tố 2: Tìm tọa độ VTPT VTCP hệ số góc đường thẳng • Từ đó, ta có quy trình bước để viết phương trình đường thẳng sau:
• Bước 1: Xác định tọa độ điểm mà đường thẳng qua
• Bước 2: Xác định VTPT (nếu viết theo phương trình tổng quát) VTCP (nếu viết theo phương trình tham số tắc) hệ số góc (nếu viết theo phương trình hệ số góc) cách xét xem đường thẳng cần tìm có vng góc hay song song hay qua thêm điểm khơng mà từ xác định
• Bước 3: Áp dụng cơng thức dạng phương trình để viết 4 Vị trí tương đối đường thẳng với điểm đường thẳng • Vị trí tương đối đường thẳng điểm:
• Điểm A x y( A; A) thuộc đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 axA+byA+ =c 0, ngược lại điểm ( A; A)
A x y không thuộc đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 axA+byA+ ≠c 0.
• Hai điểm A x y( A; A) B x y( B; B) nằm phía so với đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 (axA+byA+c ax by)( B+ B+ >c) 0, ngược lại hai điểm A x y( A; A) B x y( B; B) nằm khác phía so với đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 (axA+byA+c ax by)( B+ B+ <c)
• Vị trí tương đối đường thẳng với đường thẳng:
Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ∆1:a x b y c1 + 1 + =1 0 và :∆2 a x b y c2 + 2 + =2 0 ta chọn cách sau:
• Cách số 1: Xét số nghiệm hệ phương trình ++ + =+ =
1 1 2
0 ( ) a x b y c
I
a x b y c với số nghiệm số giao điểm hai đường thẳng, đó:
+ Hệ (I) vơ nghiệm ⇔ ∆ ∩ ∆1 2 (hai đường thẳng cắt nhau)
+ Hệ (I) có nghiệm ⇔ ∆ ∆1 2(hai đường thẳng song song nhau) + Hệ (I) có vơ số nghiệm ⇔ ∆ ≡ ∆1 2 (hai đường thẳng trùng nhau)
• Cách số 2: Xét tỉ số hệ số a b c2 2 ≠0, đó: + ≠ ⇔ ∆ ∩ ∆
1 2
a b
a b + = ≠ ⇔ ∆ ∆1 2 2
a b c
a b c + = = ⇔ ∆ ≡ ∆1 2 2
a b c
a b c
• Cách số 3: Xét hệ số góc hai đường thẳng cách chuyển phương trình dạng ∆1: y k x h= 1 + 1 ∆2 = 2 + 2
và :y k x h với k1 k2 hệ số góc ∆1 , đó: ∆2 + k k1 ≠ 2 ⇔ ∆ ∩ ∆1 2 + ≠= ⇔ ∆ ∆
1
1 2
k k
h h +
=
⇔ ∆ ≡ ∆ =
1 2
k k
h h + k k1 = − ⇔ ∆ ⊥ ∆1 5 Góc hai đường thẳng
• Góc hai đường thẳng ∆1 có VTPT ∆2 n a b1( 1 1; ) n a b2( 2; 2) xác định công thức:
(∆ ∆ =) ( ) = = +
+ +
1 2
1 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2
cos , cos ,
.
n n a a b b
n n
n n a b a b
(16)(∆ ∆ =) ( ) = = +
+ +
1 22 2
1 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2
cos , cos ,
.
u u a a b b
u u
u u a b a b
• Góc hai đường thẳng ∆1 có hệ số góc ∆2 k1 k2 xác định công thức: (∆ ∆ =) −
+1 2
1
tan ,
1
k k k k 6 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng
• Khoảng cách từ điểm M x y( 0; 0) đến đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 0(a b2+ > ) là: ( ∆ =) + + >
+ 0
2
, ax by c d M
a b
• Khoảng cách hai đường thẳng song song ∆1:ax by c+ + =0 :∆2 ax by d+ + =0 (c d≠ ) là: (∆ ∆ =) − >
+
1, 2 2 c d d
a b
• Phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt ∆1:a x b y c1 + 1 + =1 0 ∆2 2 + 2 + =2
và :a x b y c là:
+ + = + + + + = − + +
+ + + +
1 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c
a b a b a b a b
III ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 1 Các dạng phương trình đường trịn
• Có loại phương trình đường trịn (C) sau: • Dạng 1: ( ) (C : x a− ) (2+ y b− )2 =R2
⇒ Đường trịn (C) có tâm I a b( ); có bán kính R • Dạng 2: ( )C x: 2+y2−2ax by c−2 + =0
⇒ Đường tròn (C) có tâm I a b( ); có bán kính R= a b c2+ −2 .
• Điều kiện để phương trình phường trình đường trịn R>0, điều kiện để phương trình dạng phương trình trịn là: a b c2+ − >2 0.
2 Cách viết nhanh phương trình đường trịn
• Để viết phương trình đường trịn ta cần biết hai yếu tố sau: • Yếu tố 1: Tìm tọa độ tâm đường trịn
• Yếu tố 2: Tìm độ dài bán kính đường trịn
• Từ đó, ta có quy trình bước để viết phương trình đường trịn sau: • Bước 1: Tìm tọa độ tâm đường trịn
• Bước 2: Tìm độ dài bán kính đường trịn
• Bước 3: Áp dụng cơng thức viết phương trình đường trịn theo dạng 3 Vị trí tương đối đường tròn với điểm, đường thẳng đường tròn
Cho đường tròn ( ) (C : x a− ) (2+ y b− )2 =R2 có tâm I a b( ); có bán kính R. • Với điểm M x y( 0; 0):
• Điểm M nằm đường tròn ⇔ < ⇔( − ) (2+ − )2 <
0
IM R x a y b R
• Điểm M nằm đường tròn ⇔ = ⇔( − ) (2+ − )2 =
0
(17)• Điểm M nằm ngồi đường trịn ⇔ > ⇔( − ) (2+ − )2 >
0
IM R x a y b R
• Với đường thẳng ∆:Ax By C+ + =0 :
• Đường thẳng ∆ khơng cắt đường trịn (C) ⇔ ( )∆ > ⇔ + + > + 2
, Aa Bb C
d I R R
A B
• Đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn (C) ⇔ ( )∆ = ⇔ + + = + 2
, Aa Bb C
d I R R
A B
• Đường thẳng ∆ cắt đường trịn (C) ⇔ ( )∆ < ⇔ + + < + 2
, Aa Bb C
d I R R
A B
• Với đường trịn ( )C' có tâm I' bán kính R R'> : • (C) (C’) đồng tâm ⇔II' 0.=
• (C) (C’) dựng ⇔II R R'< −' • (C) (C’) tiếp xúc ⇔II R R'= −'
• (C) (C’) cắt điểm ⇔ − <R R II R R' '< +' • (C) (C’) tiếp xúc ngồi ⇔II R R'= +'
• (C) (C’) ⇔II R R'> +' Chú ý:
• Đường thẳng ∆ tiếp xúc đường trịn (C) M IM⊥ ∆
• Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) A và B thì = + ( )∆
2
2
2 , .
2 AB
R d I
4 Phương trình tiếp tuyến với đường trịn
• Phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn (C) điểm M x y( 0; 0): Vì IM⊥ ∆ nên đường thẳng ∆ nhận IM=(x a y b0− ; 0− ) làm VTPT
Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M x y( 0; 0) có VTPT ∆ = =( − − )
0 ;
n IM x a y b là:
( )( ) ( )( )
∆: x a x x0− − 0 + y b y y0− − 0 =0 • Phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn (C) qua điểm A a b( ); :
Gọi phương trình tiếp tuyến ∆ đường trịn (C) điểm M x y( 0; 0) có dạng: y kx h= + Vì A a b( ); ∈ ∆: y kx h= + nên b ka h= + ⇒ = −h b ka
Khi ∆: y kx b ka= + − ⇔kx y b ka− + − =0 (lúc phương trình tiếp tuyến ∆ ẩn k) Mà ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên ( )
( ) − + −
∆ = ⇔ =
+ − 2
,
1 I I
kx y b ka
d I R R
k (1)
Giải phương trình ẩn k ta tìm phương trình tiếp ∆ cần tìm
• Phương trình tiếp tuyến ∆ đường trịn (C) song song vng góc tạo góc với đường thẳng + + =
: :
d ax by c
• TH1: Tiếp tuyến ∆d ax by c: + + =0
Khi phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng ∆:ax by d+ + =0 (c d≠ ) Vì ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên ( )∆ = ⇔ + + =
+ 2 , ax by dI I
d I R R
a b (1)
(18)Khi phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng ∆:bx ay d− + =0 Vì ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên ( )
( )
− +
∆ = ⇔ =
+ − 2
, bx ay dI I
d I R R
b a (1)
Giải phương trình ẩn d ta tìm phương trình tiếp ∆ cần tìm
• TH3: Tiếp tuyến ∆ tạo với đường thẳng d ax by c: + + =0 góc α, tức ( )∆,d =α Gọi phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng: y kx h= + ⇔kx y h− + =0
Khi VTPT đường thẳng ∆ d n∆ =(k; 1− ) nd =( )a b;
Vì ( )∆,d =α nên ( )
( )
α ∆
∆
+ −
= =
+ − +
2
2 2
cos
1
d d
k a b
n n
n n k a b (1)
Giải phương trình ẩn k ta tìm ẩn k nên phương trình tiếp tuyến ∆ cịn ẩn h Vì ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên ( )
( ) − +
∆ = ⇔ =
+ − 2
,
1 I I
kx y h
d I R R
k (2)
Giải phương trình ẩn h ta tìm phương trình tiếp ∆ cần tìm • Phương trình tiếp tuyến ∆ tiếp tuyến chung hai đường tròn (C) (C’):
∆ tiếp tuyến chung hai đường tròn (C) (C’) ⇔ ( )( ∆ =∆ =)
,
', '
d I R
d I R
IV ELIP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 1 Định nghĩa đường elip
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm F c1(− ;0) F c2( );0 độ dài không đổi a thỏa mãn a c> >0. Elip (E) tập hợp điểm M thỏa mãn
+ =
1 2
MF MF a Các điểm F F1, gọi tiêu điểm elip (E) a gọi bán trục lớn elip (E)
2 Phương trình tắc elip
Phương trình tắc elip (E) là: x22 + y22 =1,
a b b2 =a c2−
3 Các thông tin elip
• Hai tiêu điểm: F c1(− ;0 ,) ( )F c2 ;0
• Bốn đỉnh: A a1(− ;0 ,) ( ) (A a2 ;0 ,B1 0;−b B) ( ), 2 0;b
• Độ dài trục lớn: A A1 =2a độ dài trục bé: B B1 =2 b • Tiêu cự: F F1 2 =2 c
• Elip nhận gốc độ O làm tâm đối xứng nhận trục hoành Ox trục tung Oy làm hai trục đối xứng • Bốn đường thẳng x= −a x a y, = , = −b y b; = tạo thành hình chữ nhật gọi hình chữ nhật sở
Elip Hình chữ nhật có chiều dài 2a chiều rộng 2b • Tâm sai elip: e= c 0( < <e )
a
• Biểu thức tính bán kính qua tiêu cự MF1 MF2 điểm M x y( M; M) nằm elip là:
= + = + = − = −
1 c M M, c M M
MF a x a ex MF a x a ex
a a