Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận).. ĐỀ CHÍNH THỨC..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2012 - 2013
Mơn thi: Tốn
(Dành cho thí sinh dự thi lớp chun: Tốn, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
a) 201222012 20132 220132 Cho A = Chứng minh A số tự nhiên.
b)
2
1 x
x 3
y y
1 x
x 3
y y
Giải hệ phương trình
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho Parbol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương.
b) 2 (4 x)(2x 2) 4( x 2x 2) Giải phương trình: + x +
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm tất số hữu tỷ x cho A = x2 + x+ số phương.
b)
3 2
(x y ) (x y )
8 (x 1)(y 1)
Cho x > y > Chứng minh :
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S, gọi BC OS cắt M
a) Chứng minh AB MB = AE.BS
b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng
c) Gọi AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR NP vng góc với BC Bài 5: (1 điểm)
Trong giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với nhau trận).
(2)a) Chứng minh sau vòng đấu (mỗi đội thi đấu trận) ln tìm ba đội bóng đơi một chưa thi đấu với nhau.
b) Khẳng định cịn khơng đội thi đấu trận?
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm)
a) 201222012 20132 220132 Cho A =
2 2
2012 2012 2013 2013 a2a (a 1)2 2(a 1) (a2 a 1)2 a2 a 1Đặ
t 2012 = a, ta có
b) x a y 1 x b y 2 1 x x 3 y y 1 x x 3 y y 1 x x 3 y y 1 x x 3 y y
Đặt Ta có
2
b a 3 b b 0
b a 3 b a 3
a 6 a 1
v
b 3 b 2
nên
Bài 2:
a) ycbt tương đương với PT x2 = (m +2)x – m + hay x2 - (m +2)x + m – = có hai nghiệm dương phân biệt.
4 x 2x 2 b) Đặt t =
Bài 3:
a) x = 0, x = 1, x= -1 không thỏa mãn Với x khác giá trị này, trước hết ta chứng minh x phải số nguyên.
+) x2 + x+ số phương nên x2 + x phải số nguyên.
m x
n
+) Giả sử với m n có ước nguyên lớn 1.
2
2
m m m mn
n n n
2
m mnTa có x2 + x = số nguyên chia hết cho n2
m mnnên chia hết cho n, mn chia hết cho n nên m2 chia hết cho n m n có ước nguyên lớn 1, suy m chia hết cho n( mâu thuẫn với m n có ước nguyên lớn 1) Do x phải số nguyên.
(3)Ta có 4x2 + 4x+ 24 = k2 hay (2x+1)2 + 23 = k2 tương đương với k2 - (2x+1)2 = 23
3 2 2
(x y ) (x y ) x (x 1) y (y 1)
(x 1)(y 1) (x 1)(y 1)
2
x y
y x 1
2
(x 1) 2(x 1) (y 1) 2(y 1) 1
y 1 x 1
2
(x 1) (y 1) 2(y 1) 2(x 1) 1 1
y 1 x 1 x 1 y 1 y x 1
=
Theo BĐT Côsi
2 2
(x 1) (y 1) (x 1) (y 1)
2 . 2 (x 1)(y 1)
y 1 x 1 y 1 x 1
2(y 1) 2(x 1) 2(y 1) 2(x 1)
. 4
x 1 y 1 x 1 y 1
1 1 1 1
2 .
y x 1 y x 1
1 1 1 1
2 . (x 1)(y 1) 2.2 . (x 1)(y 1) 4
y x 1 y x 1
Bài
a) Suy từ hai tam giác đồng dạng ABE BSM
b)
AE MB
AB BS Từ câu a) ta có (1)
P
N
F E
M S
O
A
B
C
(4)Mà MB = EM( tam giác BEC vuông E có M trung điểm BC
AE EM
AB BS Nên
MOB BAE,EBA BAE 90 , MBO MOB 90 Có
MBO EBA MEB OBA( MBE) Nên
MEA SBA Suy (2)
Từ (1) (2) suy hai tam giác AEM ABS đồng dạng(đpcm.)
c) Dễ thấy SM vng góc với BC nên để chứng minh toán ta chứng minh NP //SM. + Xét hai tam giác ANE APB:
NAE PAB Từ câu b) ta có hai tam giác AEM ABS đồng dạng nên ,
AEN ABP Mà ( tứ giác BCEF nội tiếp)
2 2
(a a 1) a a 1
Do hai tam giác ANE APB đồng dạng nên
AM AE
AS ABLại có ( hai tam giác AEM ABS đồng dạng)
AM AN
AS AP Suy nên tam giác AMS có NP//SM( định lí Talet đảo)
Do tốn chứng minh. Bài 5
a Giả sử kết luận toán sai, tức là trong ba đội có hai đội đấu với nhau Giả sử đội gặp đội 2, 3, 4, Xét (1; 6; i) với i Є{7; 8; 9;…;12}, các phải có cặp đấu với nhau, nhiên không gặp hay i nên gặp i với mọi i Є{7; 8; 9;…;12} , vơ lý đội đấu trận Vậy có đpcm.
b Kết luận khơng Chia 12 đội thành nhóm, nhóm đội Trong nhóm này, cho tất đội đôi thi đấu với Lúc rõ ràng đội đấu trận Khi xét đội bất kỳ, phải có đội thuộc cùng nhóm, đội đấu với Ta có phản ví dụ.
Có thể giải quyết đơn giản cho câu a sau: