Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị.. Ví dụ 2: Giải phương trình:..[r]
(1)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Phƣơng pháp
Giải phương trình: log a x = f(x) (0 < a ≠ 1) (*)
(*) phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y = log a x (0 < a ≠ 1) y = f(x)
Khi ta thực hai bước:
Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số: y = log a x (0 < a ≠ 1) y = f(x)
Bước 2: Kết luận nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện: x > -
Phương trình cho tương đương hay
Đặt suy {
=> 9t – 8t =
Tức: (*)
Xét hàm f(t) = , ta thấy hàm f(t) nghịch biến, lại có f(1) = nên t = nghiệm (*)
Vậy, phương trình cho có nghiệm x =
(2)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Lời giải
Đặt t = => x = 6t
Phương trình cho trở thành: 6t + 3t = 2t , chia vế cho 2t
Xét hàm số f(t) = – , > > nên f(t) tăng f(-1) = f(t) = xảy t = -1 tức x =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x =
Ví dụ 3: Giải phương trình: Lời giải
Đặt t = , phương trình cho đưa về: (t + 2)(t + x – 3) = Với t = -2 x = 0,25
Với t = – x, ta xét f(x) = , g(x) = - x
Dễ thấy f(x) hàm đồng biến g(x) hàm số nghịch biến
Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) g(x) cắt giao điểm có hồnh độ x = Phương trình cho có nghiệm x = 0,25 ; x =
Ví dụ 4: Giải phương trình: (3x – 5) Lời giải
Điều kiện: x >
Đặt t = , phương trình trở thành: (3x – 5)t2
(3)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Khi x ≠ , ta có: ∆ = (9x – 11)2 , phương trình có nghiệm t = -3 t =
Với t = -3 tức x = 3-3 =
Với t =
tức =
Cách 1: Xét hàm số f(x) =
với < x ≠
Ta có: , với < x ≠
; ;
Lập bảng biến thiên dễ thấy phương trình f(x) = ln có nghiệm phân biệt, f(3) = f( ) = nên phương trình f(x) = ln có nghiệm x = x =
Vậy, phương trình có nghiệm x ∈ {
} Cách 2:
TH1: Nếu < x < : hàm số đồng biến khoảng (0; ,
f( nên phươn trình ch có n h ệm x =
TH2: Nếu x > : hàm số đồng biến khoảng ( ), f(3) = nên phươn trình ch có n h ệm x =
Vậy, phươn trình có n h ệm x ∈ {
}
Ví dụ 5: Giả phươn trình: Lời giải
(4)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
x =
Xét hàm số: f(x) = với x > -1
Ta có: f ’ x n
, ∀x > -1 suy f(x) hàm số nghịch biến
trên khoảng (-1; + , từ suy đồ thị hàm số cắt trục hoành tạ đ ể có h ành độ x =
D phươn trình f x có n h ệm x = Vậy, phươn trình ch có n h ệm x = 0; x =
Ví dụ 6: Giả phươn trình:
1
Lời giải
1 Đ ều kiện: x >
Phươn trình ch v ết lại:
Xét hàm số g(t) = t + có ’ t
> 0, ∀t suy t hà đồng
biến, kh = g(6x – 5) hay 7u = 6u +1
Với u = x –
Tiếp tục xét hàm số g(u) = 7u – 6u - có ’ u u ln – ’ u kh
(5)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Vì hàm số u đồng biến khoảng (- ; u) nghịch biến khoảng (u; + ) nên hàm g(u) = có khơng q hai nghiệm
Mặt khác g(0) = g(1) u = u = hai nghiệm phươn trình g(u) =
Khi u = tức x – = hay x = Khi u = tức x – = hay x =
Vậy, phươn trình ch có tập nghiệm S = {1; 2}
Chú ý: Cần tìm α, β ∈ R sa ch α x – 1) + β(6x -5) = (α + 6β)x - α - 5β Đồng hai vế ta α = -6, β =
Vì tức ta có phươn trình
Để hiểu thê kĩ thuật phân tích trên, bạn tìm hiểu thêm cuốn: “Phươn pháp giả t án chuyên đề phươn trình, Bất phươn trình, hệ phươn trình – Bất đẳng thức” – nhóm tác giả: Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu
2 Phươn trình ch tươn đương:
(*)
Xét hàm số: f(t) = , t f ‘ t > với ∀ t > nên hàm f(t) đồng biến khoảng (0; + )
Phươn trình * có dạng f(2x – 1) = f[3(x – 1)2] 2x – = 3(x – 1)2, phươn
trình có nghiệm x = x =
(6)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giả phươn trình:
1 lg (x2 – x – 6) + x = lg (x +2) +4
3 3x = + x +
Bài 2: Giả phươn trình:
1
Bài 3: Giả phươn trình:
1
√
3
Bài 4: Giải phương trình:
1
Bài 5: Giải phương trình:
√
3
5
(7)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Bài 6:
1 Tìm nghiệm dương phương trình:
n
Chứng minh rằn phươn trình: có nghiệ dươn
3 Chứng rằn phươn trình có đún ba n h ệm phân biệt
HƢỚNG DẪN GIẢI Bài 1:
1 Điều kiện x > 0, phương trình cho viết lại
Xét f(x) = khoảng (0; + ∞) g(x) = -2x +11 R
Dễ thấy, f ‘(x) > 0, ∀ x > suy hàm số f(x) đồng biến khoảng (0; +∞) g’(x) < , ∀ x ∈ R suy hàm số g(x) nghịch biến R
Vẽ f(x) g(x) lên hệ trục, ta thấy f(x) g(x) cắt giao điểm có hoành độ x = 5, suy x = nghiệm phương trình
Vậy, x = nghiệm pt cho
2 Biến đổ phươn trình dạng: lg (x – 3) = – x Hàm số f(x) = lg (x – 3) hàm số đồng biến x > Hàm số g(x) = – x hàm số nghịch biến x >
Hơn f(4) = g(4) = => x = nghiệm phương trình cho Ta cần chứng minh ngồi x = khơng có nghiệm khác
(8)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! * Với x < f(x) < f(4) = g(4) < g(x) nên khơng thỏa mãn
3 Phương trình cho f( = f(2x +1)
Hàm số f(t) = hàm đồng biến (0; +∞)
Nên f( x = 0; x =
Bài 2:
1 Điều kiện: x >
Lấy logarit số hai vế phương trình: Đặt t = => x = 2t
Khi ta có: 2t
+ = 5t
Xét hàm số: f(t) = , ta có: f’(t) < 0, ∀ t thuộc R suy f(t) hàm số nghịch biến R, f(t) cắt đường thẳng g(t) = tạ a đ ể có h ành độ t = tức => x =
Vậy, phươn trình ch có n h ệm x =
2 Với x > 0, ta biến đổ phươn trình (*)
Đặt t = , phươn trình * trở thành:
Ta thấy, f(x) = nghịch biến R cắt g(x) = a đ ểm có h ành độ t = tức x = nghiệm
Bài 3:
1 Phươn trình ch v ết lại:
(9)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Xét hàm số : f(t) =
Ta có: f’(t) = n n n < ∀ t thuộc R
Suy f(t) nghịch biến R đồ thị hàm số cắt đường thẳng g(t) = giao đ ể có h ành độ t = Từ suy x n h ệm phươn trình ch Phươn trình ch v ết dạng:
Đặt t = x2 – 2x - , sau đặt y = => t = 4y
Ta có hệ: { =>
3 Đ ều kiện:
Phân tích kĩ thuật, ta cần tìm a,b,c thuộc R cho: x2 -18x – 31 = a(x – 1)2 + b(2x – 1) + c
Đồng hai vế, ta tì a = 1, b = -8 , c = -24 Kh phươn trình ch viết lại:
hay
Xét hàm số g(t) = – t g(t) hàm đồng biến khoảng (0; +∞)
(10)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10
4 f(x) =
có f ’(x) > R, f(x) đồng biến R
g(x) = -3x +10 nghịch biến R
Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) g(x) cắt giao điểm có hồnh độ x =
Bài 4:
1 Xét hàm số f(x) = , x >
Ta có: f(x) hàm đồng biến f(1) =
* Nếu x > => f(x) > f(1) = => (2) vô nghiệm * Nếu < => f(x) < f(1) = => (1) vô nghiệm
Vậy x = nghiệm phương trình cho
2 Điều kiện: x >
Đặt t = , ta có phương trình: (x +1)t2
- (2x + 5)t + =0 (1) Phương trình (1) có ∆ = (2x + 5)2
– 24(x +1) = 4x2 – 4x + = (2x – 1)2 Nên (1) có hai nghiệm: t1 = 2; t2 =
t =2 x = t =
(2)
Vì VT (1) hàm đồng biến, VP (2) hà nghịch biến x = nghiệm phương trình (2) nên nghiệm phương trình (2)
Vậy, phương trình cho có hai nghiệm: x = x =
Bài 5:
(11)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Đặt t = => x = 7t
phương trình cho trở thành:
t = √
Vì hàm số f(t) = √ hàm nghịch biến f(2) =
Nên (1) có nghiệm t = x = Vậy, phương trình cho có nghiệm: x =
2 Điều kiện: {
<=> x >
Khi đó, phương trình cho (2)
Xét hàm số f(x) = , ta có:
f ‘(x) = n => f ‘(x) = x = n Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trình f(x) = có nhiều nghiệm Mà f(1) = f(0) = => (2) có hai nghiệm x = 0; x =
Vậy, phương trình cho có hai nghiệm: x = 0; x =
3 Điều kiện: 6x -5 > x >
Đặt y – = => 7y -1
= 6x -5 (3) Khi phương trình cho trở thành:
7x -1 = + = 6y -5 (4) Trừ vế (3) (4) ta được:
(12)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 f(x -1) = f(y -1)
Trong đó: f(t) = 7t + 6t , có f ‘(t) = 7t.ln + > nên hàm số f(t) đồng biến R, dẫn
đến: f(x -1) = f(y – 1) x = y
Thay vào (3) biến đổi ta phương trình: 7x – – 6(x – 1) – = (5) Hàm số g(t) = 7t – 6t – , có g’(t) = 7t ln –
=> g’(t) = 7t ln – = <=> t0 =
Hàm số g(t) nghịch biến khoảng (-∞; t0) đồng biến (t0; +∞) nên
khoảng g(t) có nhiều nghiệm nên phương trình g(t) = có nhiều nghiệm
Ta thấy t1 = 0; t2 = hai nghiệm g(t) suy phương trình (5) có hai nghiệm x1 = ; x2 = Hai nghiệm thỏa mãn điều kiện
4 Ta thấy: (2x2 + 4x +5) – (x2 + x +3) = x2 + 3x +2 Do đó, ta đặt: a = x2
+ x +3 ; b = 2x2 + 5x + ta có phương trình: <=> f(a) = f(b) (1)
Trong đó, hàm f(t) = hàm số đồng biến
Do vậy: (1) a = b b – a = x2 + 3x +2 = x = -1; x = -2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = -1; x = -2
5 PT
(2)
(13)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 (2) 4x2 + 2= x6 + x2 + x6 – 3x2 – = (3)
Đặt u = x2 ≥ 0, phương trình (3) viết lại u3 – 3u – = (4)
Xét f(u) = u3 – 3u – liên tục nửa khoảng [0; +∞)
Dễ thấy f(0).f(2) < => f(u) = có nghiệm khoảng (0; 2) nên đặt u = 2.cos t (0 < t < ) Khi phương trình (4) viết lại:
4cos3t – 3.cos t = cos 3t = t = => u = 2cos
Suy phương trình có nghiệm: x = √ c s
6 Điều kiện: x >
Ta có hàm số f(x) = 2x.( + hàm đồng biến (0; +∞) Hàm số g(x) = hàm nghịch biến (0; +∞)
Và f(2) = g(2) = 256 nên suy phương trình cho có nghiệm x =2 Bài 6:
1 Ta có: n
(x + 1)ln ( (x2 + 1)ln (
) = – x (x + 1)ln ( = n ( )
x[(x +1)ln(1 + = x2
[(x2 + 1)ln( (vì x > 0) (1) Đặt: f(t) = t[(t +1)ln(1 + với t > (1) có dạng: f(x) = f(x2
(14)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Ta có: f’(t) = (2t +1)ln (1 + – = (2t +1)[ln(1 +
Xét hàm: g(t) = ln(1 +
, có:
g’(t) =
< , ∀ t >
D t n hịch biến (0; + ) mà
Suy g(t) > ; ∀ t f ’ t t t ∀ t nên f t đồng biến (0; + ) Vì f(x) = f(x2) x = x2 x =
Tóm lại PT có nghiệm x =
2 Ta có: xx + = (x +1)x (x +1)ln x = xln(x +1)
Xét hàm số f(x) = (x +1)lnx – xln(x +1), x > f ‘(x) = ln x + n = ln
= - ln(1 +
Vì ln(1 + t) < t , ∀ t > => n ( ) => f ‘(x) > , ∀ x > => f(x) hàm đồng biến => f(x) = có nhiều nghiệm
Mặt khác: f(2) = 3ln2 – 2ln = ln <
f(3) = 4ln3 – 3ln4 = ln
>
Nên phương trình cho có nghiệm thuộc (2; 3) Phương trình xln4 + ln(4x2 + 1) =
(15)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 Có f ‘(x) = ln +
=> f ‘(x) = 4x
2 ln + 8x + ln4 = (*)
Vì phương trình (*) có nhiều hai nghiệm nên suy phương trình f(x) = có nhiều ba nghiệm
Mà ta thấy: f(0) = f(- = ; f(-1).f(-3) < Suy phương trình f(x) =0 có nghiệm: x1 = 0; x2 = - ; x3 ∈ (-1; -3)