Giải phương trình logarit bằng phương pháp đồ thị

Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị.. Ví dụ 2: Giải phương trình:..[r]

(1)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Phƣơng pháp

Giải phương trình: log a x = f(x) (0 < a ≠ 1) (*)

(*) phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y = log a x (0 < a ≠ 1) y = f(x)

Khi ta thực hai bước:

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số: y = log a x (0 < a ≠ 1) y = f(x)

Bước 2: Kết luận nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Lời giải

Điều kiện: x > -

Phương trình cho tương đương hay

Đặt suy {

=> 9t – 8t =

Tức: (*)

Xét hàm f(t) = , ta thấy hàm f(t) nghịch biến, lại có f(1) = nên t = nghiệm (*)

Vậy, phương trình cho có nghiệm x =

(2)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Lời giải

Đặt t = => x = 6t

Phương trình cho trở thành: 6t + 3t = 2t , chia vế cho 2t

Xét hàm số f(t) = – , > > nên f(t) tăng f(-1) = f(t) = xảy t = -1 tức x =

Vậy, phương trình cho có nghiệm x =

Ví dụ 3: Giải phương trình: Lời giải

Đặt t = , phương trình cho đưa về: (t + 2)(t + x – 3) = Với t = -2 x = 0,25

Với t = – x, ta xét f(x) = , g(x) = - x

Dễ thấy f(x) hàm đồng biến g(x) hàm số nghịch biến

Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) g(x) cắt giao điểm có hồnh độ x = Phương trình cho có nghiệm x = 0,25 ; x =

Ví dụ 4: Giải phương trình: (3x – 5) Lời giải

Điều kiện: x >

Đặt t = , phương trình trở thành: (3x – 5)t2

(3)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Khi x ≠ , ta có: ∆ = (9x – 11)2 , phương trình có nghiệm t = -3 t =

Với t = -3 tức  x = 3-3 =

Với t =

tức =

Cách 1: Xét hàm số f(x) =

với < x ≠

Ta có: , với < x ≠

; ;

Lập bảng biến thiên dễ thấy phương trình f(x) = ln có nghiệm phân biệt, f(3) = f( ) = nên phương trình f(x) = ln có nghiệm x = x =

Vậy, phương trình có nghiệm x ∈ {

} Cách 2:

TH1: Nếu < x < : hàm số đồng biến khoảng (0; ,

f( nên phươn trình ch có n h ệm x =

TH2: Nếu x > : hàm số đồng biến khoảng ( ), f(3) = nên phươn trình ch có n h ệm x =

Vậy, phươn trình có n h ệm x ∈ {

}

Ví dụ 5: Giả phươn trình: Lời giải

(4)

  x =

Xét hàm số: f(x) = với x > -1

Ta có: f ’ x n

, ∀x > -1 suy f(x) hàm số nghịch biến

trên khoảng (-1; + , từ suy đồ thị hàm số cắt trục hoành tạ đ ể có h ành độ x =

D phươn trình f x có n h ệm x = Vậy, phươn trình ch có n h ệm x = 0; x =

Ví dụ 6: Giả phươn trình:

1

Lời giải

1 Đ ều kiện: x >

Phươn trình ch v ết lại:

Xét hàm số g(t) = t + có ’ t

> 0, ∀t suy t hà đồng

biến, kh = g(6x – 5)  hay 7u = 6u +1

Với u = x –

Tiếp tục xét hàm số g(u) = 7u – 6u - có ’ u u ln – ’ u kh

(5)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Vì hàm số u đồng biến khoảng (- ; u) nghịch biến khoảng (u; + ) nên hàm g(u) = có khơng q hai nghiệm

Mặt khác g(0) = g(1) u = u = hai nghiệm phươn trình g(u) =

Khi u = tức x – = hay x = Khi u = tức x – = hay x =

Vậy, phươn trình ch có tập nghiệm S = {1; 2}

Chú ý: Cần tìm α, β ∈ R sa ch α x – 1) + β(6x -5)  = (α + 6β)x - α - 5β Đồng hai vế ta α = -6, β =

Vì tức ta có phươn trình

Để hiểu thê kĩ thuật phân tích trên, bạn tìm hiểu thêm cuốn: “Phươn pháp giả t án chuyên đề phươn trình, Bất phươn trình, hệ phươn trình – Bất đẳng thức” – nhóm tác giả: Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu

2 Phươn trình ch tươn đương:

(*)

Xét hàm số: f(t) = , t f ‘ t > với ∀ t > nên hàm f(t) đồng biến khoảng (0; + )

Phươn trình * có dạng f(2x – 1) = f[3(x – 1)2]  2x – = 3(x – 1)2, phươn

trình có nghiệm x = x =

(6)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giả phươn trình:

1 lg (x2 – x – 6) + x = lg (x +2) +4

3 3x = + x +

1

√

3

Bài 4: Giải phương trình:

1

Bài 5: Giải phương trình:

√

3

5

(7)

Bài 6:

1 Tìm nghiệm dương phương trình:

n

Chứng minh rằn phươn trình: có nghiệ dươn

3 Chứng rằn phươn trình có đún ba n h ệm phân biệt

HƢỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

1 Điều kiện x > 0, phương trình cho viết lại

Xét f(x) = khoảng (0; + ∞) g(x) = -2x +11 R

Dễ thấy, f ‘(x) > 0, ∀ x > suy hàm số f(x) đồng biến khoảng (0; +∞) g’(x) < , ∀ x ∈ R suy hàm số g(x) nghịch biến R

Vẽ f(x) g(x) lên hệ trục, ta thấy f(x) g(x) cắt giao điểm có hoành độ x = 5, suy x = nghiệm phương trình

Vậy, x = nghiệm pt cho

2 Biến đổ phươn trình dạng: lg (x – 3) = – x Hàm số f(x) = lg (x – 3) hàm số đồng biến x > Hàm số g(x) = – x hàm số nghịch biến x >

Hơn f(4) = g(4) = => x = nghiệm phương trình cho Ta cần chứng minh ngồi x = khơng có nghiệm khác

(8)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! * Với x < f(x) < f(4) = g(4) < g(x) nên khơng thỏa mãn

3 Phương trình cho   f( = f(2x +1)

Hàm số f(t) = hàm đồng biến (0; +∞)

Nên f(   x = 0; x =

Bài 2:

1 Điều kiện: x >

Lấy logarit số hai vế phương trình: Đặt t = => x = 2t

Khi ta có:  2t

+ = 5t 

Xét hàm số: f(t) = , ta có: f’(t) < 0, ∀ t thuộc R suy f(t) hàm số nghịch biến R, f(t) cắt đường thẳng g(t) = tạ a đ ể có h ành độ t = tức => x =

Vậy, phươn trình ch có n h ệm x =

2 Với x > 0, ta biến đổ phươn trình (*)

Đặt t = , phươn trình * trở thành:

Ta thấy, f(x) = nghịch biến R cắt g(x) = a đ ểm có h ành độ t = tức x = nghiệm

Bài 3:

1 Phươn trình ch v ết lại:

(9)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 

Xét hàm số : f(t) =

Ta có: f’(t) = n n n < ∀ t thuộc R

Suy f(t) nghịch biến R đồ thị hàm số cắt đường thẳng g(t) = giao đ ể có h ành độ t = Từ suy x n h ệm phươn trình ch Phươn trình ch v ết dạng:

Đặt t = x2 – 2x - , sau đặt y = => t = 4y

Ta có hệ: { => 

3 Đ ều kiện:

Phân tích kĩ thuật, ta cần tìm a,b,c thuộc R cho: x2 -18x – 31 = a(x – 1)2 + b(2x – 1) + c

Đồng hai vế, ta tì a = 1, b = -8 , c = -24 Kh phươn trình ch viết lại:

hay

Xét hàm số g(t) = – t g(t) hàm đồng biến khoảng (0; +∞)

(10)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10

4 f(x) =

có f ’(x) > R, f(x) đồng biến R

g(x) = -3x +10 nghịch biến R

Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) g(x) cắt giao điểm có hồnh độ x =

Bài 4:

1 Xét hàm số f(x) = , x >

Ta có: f(x) hàm đồng biến f(1) =

* Nếu x > => f(x) > f(1) = => (2) vô nghiệm * Nếu < => f(x) < f(1) = => (1) vô nghiệm

Vậy x = nghiệm phương trình cho

Đặt t = , ta có phương trình: (x +1)t2

- (2x + 5)t + =0 (1) Phương trình (1) có ∆ = (2x + 5)2

– 24(x +1) = 4x2 – 4x + = (2x – 1)2 Nên (1) có hai nghiệm: t1 = 2; t2 =

 t =2   x =  t =

 (2)

Vì VT (1) hàm đồng biến, VP (2) hà nghịch biến x = nghiệm phương trình (2) nên nghiệm phương trình (2)

Vậy, phương trình cho có hai nghiệm: x = x =

Bài 5:

(11)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Đặt t = => x = 7t

phương trình cho trở thành:

t =   √

Vì hàm số f(t) = √ hàm nghịch biến f(2) =

Nên (1) có nghiệm t =  x = Vậy, phương trình cho có nghiệm: x =

2 Điều kiện: {

<=> x >

Khi đó, phương trình cho    (2)

Xét hàm số f(x) = , ta có:

f ‘(x) = n => f ‘(x) =  x = n Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trình f(x) = có nhiều nghiệm Mà f(1) = f(0) = => (2) có hai nghiệm x = 0; x =

Vậy, phương trình cho có hai nghiệm: x = 0; x =

3 Điều kiện: 6x -5 >  x >

Đặt y – = => 7y -1

= 6x -5 (3) Khi phương trình cho trở thành:

7x -1 = + = 6y -5 (4) Trừ vế (3) (4) ta được:

(12)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12  f(x -1) = f(y -1)

Trong đó: f(t) = 7t + 6t , có f ‘(t) = 7t.ln + > nên hàm số f(t) đồng biến R, dẫn

đến: f(x -1) = f(y – 1)  x = y

Thay vào (3) biến đổi ta phương trình: 7x – – 6(x – 1) – = (5) Hàm số g(t) = 7t – 6t – , có g’(t) = 7t ln –

=> g’(t) = 7t ln – = <=> t0 =

Hàm số g(t) nghịch biến khoảng (-∞; t0) đồng biến (t0; +∞) nên

khoảng g(t) có nhiều nghiệm nên phương trình g(t) = có nhiều nghiệm

Ta thấy t1 = 0; t2 = hai nghiệm g(t) suy phương trình (5) có hai nghiệm x1 = ; x2 = Hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

4 Ta thấy: (2x2 + 4x +5) – (x2 + x +3) = x2 + 3x +2 Do đó, ta đặt: a = x2

+ x +3 ; b = 2x2 + 5x + ta có phương trình: <=> f(a) = f(b) (1)

Trong đó, hàm f(t) = hàm số đồng biến

Do vậy: (1)  a = b  b – a =  x2 + 3x +2 =  x = -1; x = -2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = -1; x = -2

5 PT 

 (2)

(13)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 (2)  4x2 + 2= x6 + x2 +  x6 – 3x2 – = (3)

Đặt u = x2 ≥ 0, phương trình (3) viết lại u3 – 3u – = (4)

Xét f(u) = u3 – 3u – liên tục nửa khoảng [0; +∞)

Dễ thấy f(0).f(2) < => f(u) = có nghiệm khoảng (0; 2) nên đặt u = 2.cos t (0 < t < ) Khi phương trình (4) viết lại:

4cos3t – 3.cos t =  cos 3t =  t = => u = 2cos

Suy phương trình có nghiệm: x = √ c s

Ta có hàm số f(x) = 2x.( + hàm đồng biến (0; +∞) Hàm số g(x) = hàm nghịch biến (0; +∞)

Và f(2) = g(2) = 256 nên suy phương trình cho có nghiệm x =2 Bài 6:

1 Ta có: n

 (x + 1)ln ( (x2 + 1)ln (

) = – x  (x + 1)ln ( = n ( )

 x[(x +1)ln(1 + = x2

[(x2 + 1)ln( (vì x > 0) (1) Đặt: f(t) = t[(t +1)ln(1 + với t > (1) có dạng: f(x) = f(x2

(14)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Ta có: f’(t) = (2t +1)ln (1 + – = (2t +1)[ln(1 +

Xét hàm: g(t) = ln(1 +

, có:

g’(t) =

< , ∀ t >

D t n hịch biến (0; + ) mà

Suy g(t) > ; ∀ t f ’ t t t ∀ t nên f t đồng biến (0; + ) Vì f(x) = f(x2)  x = x2  x =

Tóm lại PT có nghiệm x =

2 Ta có: xx + = (x +1)x  (x +1)ln x = xln(x +1)

Xét hàm số f(x) = (x +1)lnx – xln(x +1), x > f ‘(x) = ln x + n = ln

= - ln(1 +

Vì ln(1 + t) < t , ∀ t > => n ( ) => f ‘(x) > , ∀ x > => f(x) hàm đồng biến => f(x) = có nhiều nghiệm

Mặt khác: f(2) = 3ln2 – 2ln = ln <

f(3) = 4ln3 – 3ln4 = ln

>

Nên phương trình cho có nghiệm thuộc (2; 3) Phương trình  xln4 + ln(4x2 + 1) =

(15)

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 Có f ‘(x) = ln +

=> f ‘(x) =  4x

2 ln + 8x + ln4 = (*)

Vì phương trình (*) có nhiều hai nghiệm nên suy phương trình f(x) = có nhiều ba nghiệm

Mà ta thấy: f(0) = f(- = ; f(-1).f(-3) < Suy phương trình f(x) =0 có nghiệm: x1 = 0; x2 = - ; x3 ∈ (-1; -3)