Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi X là tập các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt lập từ năm chữ số đó, lấy ngẫu nhiên một số từ X. Tính xác suất của biến cố lấy được một số chia hết cho 3.[r]
(1)Chuyên đề
Bài NHỊ THỨC NEWTON
I Kiến thức cần nắm vững
Nhị thức Newton khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:
0 1 2 1
0
( )
n
n k n k k n n n n n n n
n n n n n n
k
a b C a − b C a C a−b C a −b C −ab− C b
=
+ =∑ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +
Nhận xét khai triển nhị thức:
+ Trong khai triển (a b± )n có n + số hạng hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu 1 số hạng cuối nhau: k n k
n n
C C −
=
+ Số hạng tổng quát dạng:
k n k k
n n
T+ =C a− b số hạng thứ N k=N− + Trong khai triển (a b− )n dấu đan nhau, nghĩa ,+ ,− ,+ ….… + Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n
+ Nếu khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thu công thức đặc biệt Chẳng hạn như:
0 1 1
• (1 )n n n n x n n
n n n n n n
x C x C x − C = C C C
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + → + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =
1
0 1
(1 ) ( 1) ( 1)
x
n n n n n n n
n n n n n n
x C x C x C C C C
=− −
• − = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = Cơng thức hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):
+ Hoán vị: Pn=n! =n n.( −1).(n−2) 3.2.1, (n≥1) + Chỉnh hợp: ! , 1( )
( )! k
n n
A k n
n k
= ≤ ≤
−
+ Tổ hợp: ! , (1 )
!.( )! !
k
k n
n
A n
C k n
k n k k
= = ≤ ≤
−
1
1
k k k
n n n
C C + C+
+
+ =
II Tìm hệ số số hạng thỏa mãn điều cho trước 1) Khai triễn dạng: p q n
(ax +bx ) kết hợp với việc giải phương trình chứa k k
n n n
A , C , P
BT Tìm số hạng khơng chứa x (độc lập với x) khai triễn nhị thức:
a)
12
1
,
x x
x
+ ∀ ≠
ĐS: 924 b)
5
2
1 x
x
− ⋅
ĐS: 10.−
c)
10
1
2x , x x
− ∀ ≠
ĐS: 8064.− d)
12
3 x
x
+ ⋅
ĐS: 924
e)
12
1
,
x x
x
+ ∀ >
ĐS: 495 f) ( )
18
1
2x , x x
+ >
ĐS: 6528
g)
7
4
1
,
x x
x
+ ∀ >
ĐS: 35 h)
17 3
1
,
x x
x
+ ∀ ≠
ĐS: 24310
BT Tìm hệ số số hạng M cho biết số hạng thứ khai triễn nhị thức:
a) (2x−3 ) y17 M=x y8 9. ĐS: 9
17
3 C −
b) (x y+ ) 25 M=x y12 13. ĐS: 13
25
C
c) (x −3) 9 M=x4. ĐS: 5
9
3 C −
(2)d) (1 ) − x 11 M=x6. ĐS: 6 11
3 C
e) (3x x− 12) M=x15. ĐS:
12
3 C −
f) (x2−2 ) x10 M=x16. ĐS: 3360
g)
40
1
,
x x
x
+ ∀ ≠
31.
M=x ĐS:
40
C
h)
10 2
,
x x
x
− ∀ ≠
11
M=x ĐS: 3
10
2 C − i) (3x−2 x) 7
+ M=x2. ĐS: 35
j)
10
, 0, x
xy xy y
y
+ ∀ ≥ ≠
6 2.
M=x y ĐS: 45
k) (1+ +x x2+x3 5) M=x10 ĐS: 101
l) x(1 )− x5+x2(1 ) + x10 M=x5. ĐS: 3320
m)
(2x+1) +(2x+1) +(2x+1) +(2x+1) M=x5. ĐS: 896
BT Tìm hệ số số hạng thứ n khai triễn nhị thức, ứng với trường hợp sau:
a)
5
1
,
x x
x
+ ∀ ≠
n =4 ĐS: 120
b) (3−x) 15 n =13. ĐS: 12285
c)
15
1
,
x x
x
− ∀ >
n =6 ĐS:
5 15
C
d) (2 ) − x 25 n =21. ĐS: 20 20
25
2 C
BT Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (dạng có điều kiện)
a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 5 1.
n n
C = C Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton
4
2
,
n
x x
n x
+ >
−
? ĐS:
4 35
C =
b) Tìm hệ số
x khai triển biểu thức , 0, n
x x
x
− ∀ ≠
biết n số tự nhiên thỏa mãn hệ thức:
4 454
n
n n
C − n A
− + = ? ĐS: n =8; 1792.−
c) Tìm số hạng độc lập với x khai triển:
5 28
1
, 0,
n
x x x
x
+ ∀ ≠
biết n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: Cnn+Cnn−1+Cnn−2 =79 ? ĐS: 792
d) Cho
log
5 x
a= −+
1
1 log ( 1)
5
x
b
−
− +
= Tìm số thực ,x biết số hạng chứa a khai 3
triển Newton: (a b+ )8 224 ĐS: x=1 ∨ x=2.
e) Tìm giá trị ,x biết khai triển 2lg(10 )−x 52(x−2)lg 3n
+
có số hạng thứ 21 2
n n n
C +C = C ĐS: x=0 ∨ x=
f) Cho n số nguyên dương thỏa mãn: 3 2 3 15
n n
C + A = n + Tìm số hạng chứa x khai 10
triển nhị thức Newton:
3
2 ,
n
x x
x
− ∀ ≠
ĐS:
4 10 10.2
C x
g) Cho khai triển:
1
(1 )n n
o n
x a a x a x a x
+ = + + + + với n ∗
∈ ℕ Biết a3=2014a2
(3)h) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển: , 0.
n
x x
x
+ >
Biết n thỏa mãn điều
kiện:
2
3
n n n n n
C + C + C +C = C+ ĐS:
6
15.2 320320
C =
i) Cho n +
∈ ℤ , , (a b b >0) Biết khai triển nhị thức Newton
n a
b b
+
có hạng tử chứa
4 9,
a b tìm số hạng chứa tích a b với số mũ ? ĐS: 5005a b 6
j) Cho n số nguyên dương thỏa mãn: 2
1
n n
n n n n
C − −C − =C C− ++ Tìm hệ số số hạng chứa 11
x khai triển: , 0.
3 n
n n
P x x x
x
−
= − ≠
ĐS:
8 12.4
C k) Cho n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
1
6 n 160
n n
C − A
+ = + Tìm hệ số
x khai triển: (1 )(2− x3 +x)n ? ĐS: 2224−
l) Cho 12
1 12
(1 ) o
P= − +x x −x =a +a x a x+ + +a x Tìm a ? 7 ĐS: 40− m) Tìm hệ số x khai triển: 5 P=x(1 )− x n+x2(1 ) ,+ x2n biết
1
n n n
A C −
+
− =
ĐS: 3320
n) Cho 10 11 10
1 10 11
( ) ( 1) ( 2)
P x = x+ x+ =x +a x +a x + +a x a+ Tìm a ? 5 ĐS: 672 o) Cho: ( )
20 10
3
1
,
P x x x x
x x
= − + − ∀ ≠
Sau khai triển rút gọn biểu thức gồm
bao nhiêu số hạng ? ĐS: 29 số hạng
2) Khai triễn dạng: (a+bxp+cx )q n
kết hợp với việc giải phương trình chứa A , C , P kn kn n Viết
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n k
n
p q n p q k n k p q k k n k i p k i q i
n n k
k k i
P x a bx cx a bx cx C a− bx cx C a− C bx − cx
= = =
= + + = + + =∑ + =∑ ∑
0
.( ) ( ) , n k
p q
k n k i k i i
n k
k i
C a− C bx − cx
= =
=∑∑ với , k i ∈ ℕ
BT Tìm hệ số số hạng M cho biết số hạng thứ khai triễn nhị thức:
a) (1+ +x 3 ) x2 10 M=x4. ĐS: 1695
b) (1 2+ x+3 ) x2 10 M=x4. ĐS: 8085
c) (1+ +x 2 ) x2 10 M=x17. ĐS: 38400
d) (2+ x−3 ) , x2 ∀ ≥x 0. M=x2. ĐS: 230.−
e)
(x + −x 1) M=x3. ĐS: 10.−
f)
(1+x −x )
M=x ĐS: 238
g) (1+ +x x2+x3 5) M=x10. ĐS: 101
h)
12
1 x , x
x
− − ∀ ≠
8.
M=x ĐS: 27159.−
BT Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (dạng có điều kiện)
a) Cho 10 20
1 20
(1+ −x x ) =ao+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tìm a ? 8 ĐS: a =8 45 b) Cho ( ) ( 2) , 0.
n
P x x x x
x
= − + ∀ ≠
Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển ( )
P x biết n thỏa:
2
n n
C + n=A+ ĐS: 98.−
c) Tìm hệ số x4 khai triển biểu thức 3 1 , ( 0)
n
x x
x
+ − >
? Biết n số nguyên
(4)d) Cho khai triển nhị thức: 3
1
(1 )n n
o n
x x a a x a x a x
− + = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Xác định hệ số a biết 6, rằng:
15
1
2
1
2 2
n
o n
a
a a
a + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅
ĐS: a = −6 150
e) Cho: 10 2 14
1 14
(1 ) (3 4+ x + x+4 )x =ao+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tìm a ? 6 ĐS: a =6 482496 f) Tìm hệ số x khai triển Newton: 10
2
3
1 ( 2)
n x
x x
+ + +
với n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: n 14
n n
A C − n
+ = ĐS: a =10 2956096
3) Khai triển (axp+bx ) ; aq n ( +bxp+cx )q n kết hợp tính tổng đơn giản Khai triển Newton: ( )n n n1 n1 n1 n n,
n n n n
a b C a C a −b C −ab − C b
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + với:
Số mũ a giảm dần số mũ b tăng dần Nếu biểu thức khơng có số mũ tăng giảm (a b)
Nếu dấu biểu thức đan khai triển có dạng (a b− ) n Trong biểu thức có 2k 4k
n n n
C +C +C (toàn chẵn tồn lẻ) dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a b− )n (a b+ )n chọn , a b cộng lại (khi toàn chẵn) trừ (khi toàn lẻ) theo vế
BT Biết tổng hệ số khai triển (1+x2)n 1024 Tìm hệ số x ? 12 ĐS: n =10; 210.
BT Tìm hệ số x khai triển 6 ,
n x x
+
với n số nguyên dương biết tổng hệ
số khai triển 1024 ? ĐS: n =10; 210
BT Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 8 ( )
2 n
P x x
x
= +
với x > Biết n thỏa mãn 0
điều kiện: n1 n 4095
n n n n
C C C − C
+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = ĐS:
12.2 7920
C =
BT 10 Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2+x) ,n biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3n 3n 1 3n 2 3n 3 ( 1)n n 2048
n n n n n
C −C − C − C C
− + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ĐS: 10
10 11.2 22
a =C =
BT 11 Tìm hệ số x10 khai triển ( x−3 ) , (x2 n x>0), biết n số nguyên dương tổng
các hệ số khai triển 2048− ? ĐS: 4455.−
BT 12 Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2+x) ,n biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3n 3n 1 3n 2 3n 3 ( )1 n n 2048
n n n n n
C −C − C − C C
− + − + + − = ĐS: 22
BT 13 Tìm hệ số x19 khai triển biểu thức
(2 1) ( 2) ,n
P= x− x+ biết n số nguyên dương: n 2048
n n n n
C +C +C + +C = ? ĐS: 8960
BT 14 Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 – ) ,x2n n số nguyên dương thỏa mãn
điều kiện:
2 2 1024
n
n n n n
C C C C +
+ + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = ? ĐS : a = −7 2099520
BT 15 Tìm hệ số x4 khai triển (1+ +x 2 ) ,x2 n biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
0
2 2 512
n
n n n n
C +C +C + +C = ĐS: 105
BT 16 Hãy tìm hệ số x5 khai triển: P x( ) (1 2= − x+4x2 3)n
Biết rằng: 1006 503
2014 2014 2014 2014 2014
n
C +C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C = − với n số nguyên dương
ĐS: 5
5 12 34 12 44 ( 2) 12
a = − C C − C C + − C C
BT 17 Tìm hệ số chứa x18 khai triển P x( ) (= x+2) (13 x2−2x+4)n Biết n nguyên dương thỏa mãn
điều kiện: 20
2 2
n
n n n
(5)4) Tìm hệ số lớn khai triển n (a+bx)
Xét khai triển nhị thức Newton (a bx+ )n có số hạng tổng quát:
1
k n k k k
k n
T C a−b x
+ =
Đặt k n k k, k n
a C a−b k n
= ≤ ≤ dãy hệ số { }a Khi hệ số lớn khai triển thỏa k hệ phương trình:
1
k k o k k
a a
k
a a
+ −
≥
⇒
≥
max
o o o o
k n k k
k n
a C a − b
⇒ =
BT 18 Trong khai triển
11
1
3
x
+
thành
2 11
1 11
o
a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tìm k để hệ số a lớn k
tính ? (0≤ ≤k 11, :k nguy n)ê ĐS:
8 max 11 11
2 k
a = C
BT 19 Cho khai triển : (1 ) ,
n n
n
x a a x a x
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ + n ∈ ℤ hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn n hệ thức
0 4096
2
n n a a
a + + ⋅ ⋅ ⋅ + = Tìm số lớn số a a0, , ,1 a ? ĐS: n amax =126720
BT 20 Cho khai triển
0
1
n
n n x
a a x a x a x
+ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ +
Tìm số lớn số a a a0, , , ,1 a ? n Biết n số tự nhiên thỏa mãn n 2 n2 n1 n1 11025
n n n n n n
C C − C −C − C C −
+ + = ? ĐS: max 1001
62208
a = ⋅
BT 21 Tìm số nguyên dương n nhỏ cho khai triển (1+x)n có tỉ số hai hệ số liên tiếp khai triễn
15 ? ĐS: n =21
5) Tìm số hạng hữu tỉ ( số hạng số nguyên) khai triển n (a+b) Xét khai triển (a b+ )n có số hạng tổng quát: . .
m r p q k n k k k
n n
C a−b C
= α β với , α β số hữu tỉ Số
hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ: ( , ) o m
p
k k n k
r q
∈
∈ ≤ ≤ ⇒
∈
ℕ ℕ ℕ
o o o k n k k n C a− b
⇒ số hạng cần tìm
BT 22 Tìm số hạng số nguyên khai triển nhị thức:
( 3+ 2) ,n biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ( )3 n 2n 3n 27
n n n n
P C C C =P ĐS: 3
93
C
92
C
BT 23 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển:
3
1
5
2
n+
+
Biết n số nguyên dương thỏa mãn
điều kiện: 2
2
2
n n n n
n n n n
C C − C − C −
+
+ + = ĐS:
0 10; 102
32 32
C C
⋅ III Chứng minh tính tổng
1) Sử dụng nhận xét tính chất, cơng thức A , C , P kn kn n
• Trong khai triển (a b− )n dấu đan nhau, nghĩa ,+ ,− ,+ ….… • Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n • Vận dụng linh hoạt tính chất: 1
1,
k k k k n k
n n n n n
C C + C+ C C −
+
+ = =
1
1
1
k k
n n
C C
k n
+ +
=
+ +
• Khi gặp tổng tích hai cơng thức tổ hợp ( i j ), n n C C
(6)BT 24 Tính tổng sau:
a)
5 5
S C= +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C ĐS: S =2 5
b) 2 5
5 5
S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =3 5
c) 0 1 8
8 8
4 4
S= C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =5 8
d) 2010
2010 2010 2010 2010
S C= +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C ĐS: S =22010.
e) 2 2010 2010
2010 2010 2010 2010
S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =32010.
f) 10
10 10 10 10 10
S C= +C +C +C +C ĐS: S =386
g) 2 100
100 100 100 100
S C= +C x +C + ⋅ ⋅ ⋅ +C ĐS: S =2 99
h) 3 5 2009 2009
2010 2010 2010 2010
2
S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 1(32010 1)
2
S = −
BT 25 Tính 1 2 ( ) 1 ( )2 2
2 2
1 1
1
2
k k n n
n n n n
S C C C C
k n
+ −
= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −
+ ĐS:
2
2
n S
n =
+
BT 26 Tính tổng: 1 1
2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014!
S = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ĐS:
2013
2
2014!
S= −
BT 27 Hãy tính tổng sau:
a) 2 2 2013
1 2013 2013 2013 2013 2013
S = C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 2013.2014.22011
b) 02013 12013 22013 20132013
1 2014
C C C C
S = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ĐS:
2014
2
2014
S = −
BT 28 Chứng minh: 2
2
( ) ( ) ( n) n
n n n n
C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C =C với n≥2, n∈ ℕ
BT 29 Cho số tự nhiên n ≥2, chứng minh đẳng thức:
2 2
0 1
2 2
1
1 ( 1)
n n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−
+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅
+ +
BT 30 Tính 1212 1312 1412 122013 201412
11.12 11.12 11.12 2012.2013 2013.2014
C C C
C C
S = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ? ĐS: 11
2013
1 132
S= C
BT 31 Chứng minh ∀ ≥n 2, n∈ ℕ, ta ln có:
1 1 2
1 n n n n n n
C C C
n
−
−
≤
−
BT 32 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức sau đây:
0 2 2 2 2 2 15 16
2 3 3 (2 1)
k k n n n n
n n n n n
C C C C − − C
+ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + = + ĐS: n = 8
2) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng a) Sử dụng đạo hàm cấp I
• Nhận dạng: hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần (1, 2, 3, ., hay , , ., )n 2 n 2
giảm dần dạng ( , ., 3, 2, hay n n2, , , )2 (khơng kể dấu) Hay tổng qt có
dạng k C dạng nk . k n k k1
n
k C a −b− • Phương pháp giải:
+ Bước Xét khai triễn: (a x)n C an0 n C a1n n 1x C a2n n2x2 Cnn1axn1 C xnn n
− − − −
+ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +
+ Bước Lấy đạo hàm hai vế được:
( )n1 n1 2 n ( 1) n1 n n n1.
n n n n
n a x − C a − C a− x n C −ax − C x−
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ( )i
+ Bước Chọn giá trị x a thích hợp dựa vào đề để vào (i)
BT 33 Chứng minh n 1, n ∗,
∀ ≥ ∈ ℕ thì: 1.3n1 2. 2.3n 3. 3.3n3 . n .4 n–1
n n n n
C − C − C − n C n
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + =
BT 34 Chứng minh n 1, n ∗,
∀ ≥ ∈ ℕ thì: 2n1 2n1 2n 3 2n4 n .3 n1
n n n n n
C C C C nC n
− − − − −
+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =
BT 35 Tìm n +,
∈ ℤ thỏa: 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C +
+ − + + + − + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + = ĐS: 1002
(7)a) 100
100 100 100 100
4 12 200
S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =100.2 99
b) 2000
2000 2000 2000 2001 2000
S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =1001.22000.
c) 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
2008 2007 2006
S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ + C +C ĐS: S =2009.22006.
BT 37 Cho
2
2
( ) ,
n
P x x n
x
∗
= − ∈
ℕ Hãy tìm số hạng chứa
6,
x biết n số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức: 1.2n1 2.2n2 3.2n 3 n 12.3n1
n n n n
C C C nC
− − − −
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ĐS: 6
12
2 C x
BT 38 Cho khai triển 100 100 99
1 98 99 100
(x−1) =a xo +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x +a x a+
Tính tổng: 100 99
1 98 99
100 2o 99 2 2
S= a + a + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a + a + ĐS: S =201
BT 39 Cho khai triển 2014 2014
1 2014
(1 )− x =ao+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x
Tính tổng S=ao+2a1+3a1+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2015a2014 ? ĐS: S =3022.22014
BT 40 Tính tổng: 2014
2014 2014 2014 2015 2014
S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =1008.22013
BT 41 Tính giá trị biểu thức: 2014
2014 2014 2014 1007 2014
A C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 1007.22013
2
A =
b) Sử dụng đạo hàm cấp II
• Nhận dạng: hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần 1.2, 2.3, .,( n−1)n giảm dần (n 1) , , 2.3, 1.2n
−
(không kể dấu), có dạng tổng quát: k C ak n kn
−
( 1) k n k k− C • Phương pháp giải: Các bước giải tương tự đạo hàm cấp
BT 42 Tính tổng: 2 2 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
1 2006 2007
S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C + C ĐS: 2007.2008.22005
BT 43 Chứng minh: 2 2 2012 2013 2011
2013 203 2013 2013
1 C +2 C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2012C +2013C =2013.2014.2
BT 44 Cho n ∈ ℤ thỏa mãn điều kiện: ,
3
35, ( 3) ( 1)( 2)
n n
A C
n
n n
+
= ≥
− −
Hãy tính tổng: 2 2 32 42 ( 1) n n
n n n n
S= C − C + C − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − n C ? ĐS: S =30 3) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng
• Nhận dạng: Số hạng tổng quát có dạng
1
1 k k
k n
a b
C k
+ +
− ⋅
+ ( có dạng phân số) • Phương pháp giải:
+ Bước Xét khai triễn: (cx d)n C cxn0( )n C cxn1( )n1d Cnn1cxdn1 C dnn n
− − −
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +
+ Bước Lấy tích phân hai vế với cận a b
0 1 1
( ) ( ) ( )
b b
n n n n n n n
n n n n
a a
cx d dx C cx C cx − d C −cxd− C d dx
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +
∫ ∫
1
0 1
1 ( )
1
b b
n n n
n n n n n n
n n n n
a a
cx d x x x
c C c C cd C d C x
c n n n
+ +
− −
+
⇔ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅
+ +
+ Bước Chọn , , , a b c d phù hợp dựa vào đề
BT 45 Các toán mở đầu sử dụng tích phân
a) Tính tổng: 1
2
n
n n n n
S C C C C
n
= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
+ ĐS:
1
2
1 n S
n
+
−
= ⋅
+ b) Tính tổng: 22 1 23 2 1
2
n n
n n n n
S C C C C
n
+
− − −
= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
+ ĐS:
1
3
1
n n
S n
+ +
−
= ⋅
+ c) Tính tổng: 1 20
1
n n n
n n n
C C C
S
n n
−
= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
+ ĐS:
1
3
2( 1) n S
n
+
−
= ⋅
(8)d) 2010 2009
2010 2010 2010 2010
2 2
2 2010
S= − C + − C + − C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C ⋅ ĐS:
2011 2011
3
4022 − −
⋅ e) 1.2 2.22 3.23 .2
2
n n
n n n n n
S C C C C C
n = + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ĐS: 2( 1) n S n + − = ⋅ +
f)
2 2
1 1
2
n
n n n n
S C C C C
n
−
= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ĐS:
2 2 n S n − = ⋅ − g) 1 2 3
2
n
n n n n
n
S C C C C
n = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
+ ĐS:
( 1)2
1 n n S n − + = ⋅ + h) Tìm n +
∈ ℤ thỏa:
2 2 2
1
2 123
n
n n n n n
n
C C C C C
n
− + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅
+ ĐS: n =61
BT 46 Tìm hệ số x khai triển Newton biểu thức 20 , n x x +
biết n số nguyên
dương thỏa mãn: 1 ( )1 1
2 13
n n
n n n n
C C C C
n
− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ⋅
+ ĐS:
7
12.2 25344
C =
BT 47 Tìm hệ số chứa x khai triển 2
4 , n x x +
biết n nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
2
0 2 2 6560
2
2 1
n n
n n n n
C C C C
n n
+
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =
+ + ? ĐS:
2
2
21
4
a − C
= =
BT 48 Tìm n +
∈ ℤ thỏa:
2
0 2 2 121
2 1
n n
n n n n
C C C C
n n
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅
+ + ĐS: n = 4
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 49 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton 5 , ( 0 )
n x x x − ≠
Biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 4Cn3+1+2Cn2=An3
BT 50 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton 3 n x x −
với x ≠0, biết
n ∗
∈ ℕ thỏa mãn điều kiện:
2
2 (4 5) n
n n n
P n P A −
−
− + =
BT 51 Tìm hệ số
x khai triển (1−x 3) , 2n n∈ ℕ Biết số nguyên dương n thỏa mãn mãn ∗ điều kiện: 22 143
3
n n n
C + C = ⋅
BT 52 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển:
1
, n x x x + >
Biết n số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2( 3) 3 5
n n
C +C = n − n
BT 53 Cho n số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 5 n1
n n
C − C
= Tìm số hạng chứa x khai 5
triển nhị thức Newton
2 1
, 14 n nx x x − ≠
BT 54 Tìm hệ số x khai triển 7 3 2 ,
n x x −
biết hệ số số hạng thứ ba 1080
BT 55 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức: 8
(x +2) ,n biết số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: 8 49
n n n
A − C +C =
(9)BT 57 Tìm hệ số x khai triển 4 , 0
n
x x
x
− >
Biết n số nguyên dương thỏa mãn phương trình:
4 454
n
n n
C − nA
− + =
BT 58 Tìm hệ số số hạng chứa x−1
khai triển
3
n x
x
−
thành đa thức Biết n số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 3
1
n n
n n n n
C C − C − C
− − +
− =
BT 59 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển: ( )
n
p x x
x
= +
Biết số nguyên dương n thỏa
mãn phương trình:
2
3
n n n n n
C + C + C +C = C+
BT 60 Tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x khai triển Newton nhị thức: 12 ,
n x
x
−
biết
n ∗
∈ ℕ thỏa mãn phương trình: 2 90
n n C +C =
BT 61 Cho số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: 6 4 100
n n n
A + C − C = Tìm hệ số chứa x 8
khai triển nhị thức Newton
3 2
5 n n x
+
BT 62 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển
2
, n
x x
x
− ≠
Biết n số nguyên dương
thay đổi thỏa mãn phương trình: 28
2 2 2
n
n n n n
C + +C + +C + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C + = −
BT 63 Tìm số hạng chứa x 10 ( ) 3 , 0
n
P x x x
x
= − ≠
Biết n ,
+
∈ ℤ thỏa:
1
n n n
A C − n
+
− = +
BT 64 Khai triển nhị thức: (2+x)n theo lũy thừa tăng dần x ta số hạng thứ tám 144 Tìm x biết n thỏa mãn phương trình: Cnn+13 2Cnn2 16(n 2), n *
+ + + = + ∈ ℕ
BT 65 Tìm hệ số
x , n x x
+
biết tổng hệ số khai triển 1024 ?
BT 66 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton
3 ,
1 2
n
x x
+ biết n thỏa mãn n số nguyên dương thỏa mãn: 4 3 322 4 423 n2n1 6561
n Cn Cn Cn nCn n
C −
+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =
BT 67 Tìm hệ số x khai triển biểu thức 19 P=(2x−1) (9 x+2) ,n biết n số nguyên dương thay đổi thỏa mãn phương trình: n 2048.
n n n n
C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ +C =
BT 68 Cho khai triển: 12 24
1 24
(1+ +x x ) =ao+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tính a 4
BT 69 Tìm hệ số x khai triễn 4 P x( ) (1= − −x 3 )x3 n, biết n +,
∈ ℤ thỏa: 2
1
6
n
n n
C − n A
+
+ + =
BT 70 Cho n số nguyên dương thỏa mãn phương trình: n1 n 255.
n n n n
C C C − C
+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = Hãy tìm số hạng chứa x khai triển: 14
( ) (1 ) n P x = + +x x
BT 71 Tìm hệ số x khai triển 13 ( )
3
3
1
n
x x x
+ + +
với n số tự nhiên thay đổi thỏa mãn phương trình: n 14
n n
A C − n
+ =
BT 72 Cho n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
255
n n
n n n n
C C C − C
+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = Hãy tìm số hạng chứa x khai triển: 14 P x( ) (1= + +x 3 ) x2 n
BT 73 Tìm hệ số chứa x khai triển 10 P x( ) (1= − +x x3−x4)n Biết n số nguyên dương thay
đổi thỏa mãn phương trình: 2
2 2 2
n n n n n
n n n n n
C + C + C + C − C
(10)BT 74 Tìm n +,
∈ ℤ thỏa: 2
0 2
( 1)n n
n
x + +x =a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x a1+2a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2na2n=81 ?
BT 75 Tìm hệ số x khai triển: 5 P x( )=x(1 )− x n+ (1 ) x2 + x 2n Biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
1
n n n
A C −
+
− =
BT 76 Khai triển nhị thức ( ) (1 )n 0 1 k n
k n
P x = − x =a +a x+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tính giá trị biểu
thức
0 ,
2
n n a a
T=a + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2 8
n n
C − C =n
BT 77 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển nhị thức Newton sau:
a/ (316+ 3)7 b/ ( 3+32)9 c/
10
1
+
d/
10
2
−
BT 78 Hãy tìm hệ số lớn khai triển nhị thức Newton:
13 13 12 11
0 12 13
( ) (2 1)
P x = x+ =a x +a x +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x a+
BT 79 Cho khai triển nhị thức
0
( ) (1 )n n
n
P x = + x =a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tìm hệ số lớn khai triển biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 27
2 2
n
n n n
C C C −
+ + + =
BT 80 Tính tổng: 1006
2014 2014 2014 2014 2014
T=C +C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C
BT 81 Tính tổng: 02013 20131 20132 20132013
0! 1! 2! 2013!
A A A A
S = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
BT 82 Tính tổng 2013
2013 2013 2013
1.2 2.3 2012.2013
S= C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C
BT 83 Tính tổng: 12 22 32 ( 1)2 n.
n n n n
S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + n+ C
BT 84 Tìm n ∗
∈ ℕ thỏa mãn điều kiện sau:
a/ C20n+2C22n+3C24n+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (n+1)C22nn=22n+1
b/ 2010 2009 2010 2010
2011 2011 2011 2010 2011 2011 2011 2011.2
k k n
k
C C C C C C − C C
−
+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =
c/ 2 2 2
2 1.2 2 1.2 2 1.2.3 (2 1) 1.3 2011
n n n n n n
n n n n
C C − nC − n C +
+ − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + + + + =
d/ ( )
1
1
2
2
1
2 2 32
n n
n n n n
n
C C C − nC
− + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ⋅
e/
2
0
1
(1 )
, (1 – 1)
2 24
n k n
k n
k k k
x a a x a x a x a x
a a a
k n
− +
+ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅
= = ≤ ≤
BT 85 Tính tổng trường hợp sau đây:
a/ 2000
2000 2000 2000 2001 2000
S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C
b/ S=1.2C162 −2.3C163 +3.4C164 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −14.15C1615+15.16C1616 c/
2
0 1 2 .
2
n n
n n n n
S C C C C
n
+
− − −
= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + d/
6
0
6 6 6 6
2 2 2
1
S= C + C + C + C + C + C + C
e/ 1 1 ( 1) .
2 2( 1)
n n
n n n n n
S C C C C C
n − = − + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
+ f/
2 3 9 10 10
0
9 9 9
3 3
2 10
S C= + − C + − C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C + − C
g/
2 100 101
0 99 100
100 100 100 100 100
2 2
3
2 100 101
S= C + − C + + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C + + C h/ ( )2 ( )2 ( 99)2 ( 100)2
100 100 100 100
1 99
100
100 99
S= C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C + C
i/ 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1
2 20 21
(11)Bài TỔ HỢP & XÁC SUẤT
I – Các qui tắc đếm
Qui tắc nhân
Giả sử nhiệm vụ X thực qua K giai đoạn sau: Giai đoạn thứ K có 1 n cách làm 1
Giai đoạn thứ hai K có 2 n cách làm 2 ……… Giai đoạn thứ K có n cách làm k
Mỗi cách làm việc không trùng với cách làm việc cịn lại Khi đó, để hồn thành cơng việc X ta phải thực đồng thời K giai đoạn trên, nên có: n(X)= n n n1 .2 3 nk cách thực công việc
Qui tắc cộng
Một công việc X bao gồm k công việc (trường hợp) X1, X2, X3, ., X với cơng việc độc lập k,
nhau, đó:
Giai đoạn thứ K có 1 n cách thực 1 Giai đoạn thứ hai K có 2 n cách thực 2 ……… Giai đoạn thứ K có n cách thực k
Để hồn thành X ta thực k công việc Xi, (i=1, ),k suy số cách thực công việc X n X( )= n1+n2+n3+ ⋅ ⋅ ⋅ +nk cách
Qui tắc bù trừ
Đối tượng x cần đếm chứa đối tượng X gồm x x đối lập Nếu X có m cách chọn , x có n cách chọn Vậy x có (m n− ) cách chọn
Về mặt thực hành, đề cho đếm đối tượng thỏa a b Ta cần làm: Bài toán : Đếm đối tượng thỏa a
Bài toàn : Đếm đối tượng thỏa ,a không thỏa b
Do đó, kết tốn = kết toán − kết toán
Lưu ý
• Nếu tốn chia trường hợp khơng trùng lập để hồn thành cơng việc dùng qui tắc
cộng, toán chia giai đoạn thực ta dùng qui tắc nhân Trong nhiều
toán, ta kết hợp hai qui tắc lại với để giải mà cần phải phân biệt cộng, nhân, trừ
• "Nếu cho tập hợp hữu hạn A B giao khác rỗng Khi số phần tử A∪ B số phần tử A cộng với số phần tử B trừ số phần tử A∩B, tức là:
( ) ( ) ( ) ( )"
n A∪B =n A +n B −n A∩B Đó quy tắc cộng mở rộng ⇒ Khi giải tốn đếm liên quan đến tìm số cho số số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực
(chọn) chúng trước để tránh trùng lặp
II – Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp
Hoán vị
Ví dụ: Cho tập hợp gồm ba phần tử A={a b c; ; } xếp ba phần tử A theo thứ tự khác ta có tất cách xếp ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( ,a b c a c b b a c b c a c a b c b a Số cách số hoán vị , ) phần tử, tức: P =3 3! 3.2.1 6= = cách xếp
Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥1). Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập hợp A
A B C
Có 2.3=6 cách từ A đến C
1 x
2 x x
4 x
n n2
4 n
n
1
( )
n X =n +n +n +n
(12)Số hoán vị n phần tử là: Pn=n!=n n( −1)(n−2) 3.2.1
Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử , (1A ≤ ≤k n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu ! , (1 )
( )! k
n n
A k n
n k
= ≤ ≤
−
Tổ hợp
Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm , (1k ≤ ≤k n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Lập tổ hợp chập k A lấy k phần tử A (không quan tâm đến thứ tự phần tử) Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu là: !
!.( )! ! k
k n
n
A n
C
k n k k
= = ⋅
−
Phân biệt tổ hợp chỉnh hợp:
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n≤ ) mà khơng thứ tự, khơng hồn lại k, n
C có thứ tự, khơng hồn lại k
n A
III – Xác suất nguyên tắc tính xác suất
Loại Sử dụng định nghĩa xác suất
Bước Tính số phần tử không gian mẫu ( )n Ω tập hợp kết xảy phép thử (giải toán đếm trước chữ "Tính xác suất")
Bước Tính số phần tử biến cố A xét kết phép thử làm xảy A (giải tốn sau chữ "Tính xác suất") ( ).n A
Bước Áp dụng công thức: ( ) ( ) ( ) n A P A
n
= ⋅
Ω
Loại Áp dụng nguyên tắc tính xác suất
Bước Gọi A biến cố cần tính xác suất , ( 1, )Ai i= n biến cố liên quan đến A cho: Biến cố A biểu diễn theo biến cố Ai, (A A1, 2, ., An)
Hoặc xác suất biến cố A tính toán dễ dàng so với i A Bước Biểu diễn biến cố A theo biến cố A i
Bước Xác định mối liên hệ biến cố áp dụng nguyên tắc: Nếu A A xung khắc 1, 2 (A1∩A2= ∅ ⇒) P A( 1∪A2)=P A( 1)+P A( 2) Nếu A A 1, 2 ⇒P A( 1∪A2)=P A( 1)+P A( 2)−P A A( 1 2) Nếu A A độc lập 1, 2 ⇒P A A( 1 2)=P A P A( 1) ( 2)
Nếu A A đối 1, 2 ⇒P A( 1) 1= −P A( 2)
Lưu ý Dấu hiệu chia hết
Gọi N=a an n−1 a a1 0 số tự nhiên có n + chữ số 1 (a ≠n 0) Khi đó: • Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 125 số tự nhiên N :
+ N 2⋮ ⇔a0⋮ 2⇔a0 ={0; 2; 4; 6; 8}
+ N 5⋮ ⇔a0 5⋮ ⇔a0={0; 5}
+ N ⋮ (hay 25)⇔a a1 ⋮ (hay 25)
+ N ⋮ (hay 125)⇔a a a2 ⋮ (hay 125)
• Dấu chia hết cho : N ⋮ (hay 9)⇔(a1+ + an) ⋮ (hay 9) Bài toán đếm xác suất cổ điển
BT 86 (A, A1 – 2014) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính
(13)BT 87 (A, A1 – 2013) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ
chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác
suất để chọn số chẵn ? ĐS: ( )
7 P A =
BT 88 Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ: 0; 1; 2; 3; 4; 5; Lấy ngẫu
nhiên phần tử X Tính xác suất để hai số lấy số chẵn ? ĐS: ( ) P A =
BT 89 Cho E tập hợp số có ba chữ số khác lấy từ: 0, 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên phần
tử E Tính xác suất để phần tử chọn số có ba chữ số chẵn ĐS: ( ) 25 P A =
BT 90 Gọi S tất số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu
nhiên số từ tập S Tích xác suất để tích hai số chọn số chẵn ? ĐS: ( ) P A =
BT 91 E tập số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Lấy ngẫu
nhiên số E tính xác suất để lấy số chia hết cho ĐS: ( ) 13 49 P A =
BT 92 Gọi E tập hợp số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4,
Tập E có phần tử ? Chọn ngẫu nhiên phần tử E, tính xác suất chọn chia
hết cho ? ĐS: ( )
5 P A =
BT 93 Gọi X tập hợp số có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập X
Tính xác suất để chọn số thuộc X số chia hết cho ? ĐS: ( ) P A =
BT 94 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Hãy tìm xác suất để có
tấm thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết
cho 10 ? ĐS: ( ) 99
667
P A =
BT 95 Cho tập hợp X ={0;1; 2; 4; 5; 7; 8} Ký hiệu G tập hợp tất số có bốn chữ số đôi khác lấy từ tập ,X chia hết cho Tính số phần tử G Lấy ngẫu nhiên số tập G, tính xác suất để lấy số không lớn 4000 ? ĐS: ( )
11 P A =
BT 96 Từ tập A ={0;1; 2; 3; 4; 5; 6} lập số tự nhiên chia hết cho 5, gồm năm chữ số khác mà ln có mặt chữ số 1, 2, chúng đứng cạnh ? ĐS: 66
BT 97 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ chữ số:
1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn lớn số
2014 ? ĐS: ( )
7 P A =
BT 98 Từ chữ số 0, 1, 2, , lập số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác
nhau đôi chữ số ln số ? ĐS: 1218
BT 99 Cho tập hợp X ={0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập số tự nhiên gồm năm chữ số khác đôi từ X, cho ba chữ số phải ĐS: 2280
BT 100 Cho tập E ={1; 2; 3; 4; 5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số khác thuộc E Tính xác suất để hai số có số có chữ số ĐS: 12
25 P = ⋅
BT 101 Cho tập A ={0; 1; 2; 3; 4; ,} từ A lập số tự nhiên gồm chữ số phân
biệt mà phải có chữ số số ? ĐS: 384
BT 102 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số khác
(14)BT 103 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số
số lập, tính xác suất để số lấy có hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ ? ĐS: ( ) P A =
BT 104 Gọi E tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt lập từ số 1, 2, 3, 4, Chọn
ngẫu nhiên hai số khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số chọn có số có
chữ số ? ĐS: ( ) 144
295
P A =
BT 105 Cho A={1; 23; 4; 5; , } B={0;1; 2; 3; 4; 5} Có số gồm sáu chữ số phân biệt cho: a/ Hai chữ số không đứng cạnh lập từ tập A ? ĐS: 480
b/ Chữ số đứng cạnh chữ số lập từ tập B ? ĐS: 192
BT 106 Có số tự nhiên gồm bảy chữ số cho:
a/ Chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt
không lần ĐS: 11340
b/ Khác tổng chữ số số số chẵn ĐS: 45.10 5
BT 107 Người ta viết lên bìa, dãy kí tự gồm hai chữ đứng đầu ba chữ
đứng sau, chữ lấy từ tập hợp {B, H, T, X}, chữ thứ hai lấy từ tập hợp {D, L, Q} chữ số đôi khác lấy từ tập hợp {1, 2, 7, 8, 9} (mỗi dãy kí tự viết bìa} Gọi A tập bìa viết dãy dãy kí tự nêu Lấy ngẫu nhiên bìa từ A đốt cháy bìa Tính xác suất để bìa bị đốt cháy có dãy kí tự HD 981 có phần tử TQ hay XL"
BT 108 (B – 2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm
nghiệm hộp sữa cam, sữa dâu sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm lấy ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp chọn có loại ? ĐS: ( )
11 P A = ⋅
BT 109 Trong hộp có bi đỏ, bi vàng bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi
Tính xác suất để viên bi lấy không đủ ba màu ? ĐS: 43 91 P = ⋅
BT 110 Trong hộp có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, viên bi xanh có bán kính khác
và viên bi vàng có bán kính khác Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác
suất để viên lấy có đủ ba màu ? ĐS: 42910
48620
P = ⋅
BT 111 Một ngân hàng đề thi gồm có 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm có câu lấy ngẫu nhiên từ
ngân hàng đề thi Thí sinh A học thuộc 10 câu ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc ? ĐS: ( ) 229
323
P X =
BT 112 Một lớp có 20 nam sinh 15 nữ sinh Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải
tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ ? ĐS: 4615 5236
P =
BT 113 Cần chọn ngẫu nhiên học sinh lớp học có 15 nam 10 nữ để tham gia đồng
diễn Tính xác suất cho học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số
học sinh nam ? ĐS: ( ) 325
506
P A =
BT 114 Trong kì thi thử TN THPT QG lần I năm 2015 TT LTĐH – Đại học Ngoại Thương có 13
học sinh đạt điểm 9,0 mơn Tốn, khối 12 có học sinh nam học sinh nữ, khối 11 có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ, có khối 11 khối 12 ĐS: 57 0,199
286
P = ≃
BT 115 Một nhóm gồm 10 học sinh có nam nữ Hỏi có cách xếp 10
(15)BT 116 Trong Thể dục, tổ I lớp 12A có 12 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ tập
trung ngẫu nhiên theo hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng cuối hàng
đều học sinh nam ? ĐS: ( )
22 P A =
BT 117 Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để
có hai em nữ A B đứng cạnh nhau, em nữ cịn lại khơng đứng cạnh ,
không đứng cạnh , A B ĐS:
63 P = ⋅
BT 118 Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để
khơng có hai em nữ đứng cạnh ? ĐS: 14
143 P = ⋅
BT 119 Một hộp có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Hỏi có cách lấy viên
bi, số bi đỏ lớn số bi vàng ? ĐS: 275
BT 120 Trong lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên
6 sản phẩm từ lơ hàng Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có khơng
một phế phẩm ? ĐS: 17
22 P =
BT 121 (D – 2014) Cho đa giác n đỉnh, n∈ ℕ n ≥3. Tìm n biết đa giác cho có 27
đường chéo ? ĐS: n =9
BT 122 Cho đa giác lồi n cạnh với n∈ ℕ n ≥4 Hỏi có đường chéo đa giác lồi ? Tìm n biết số giao điểm đường chéo đa giác 70 ĐS: , 8.
n
C −n n=
BT 123 Cho hai đường thẳng a b song song với Trên đường thẳng a có điểm phân biệt
trên đường thẳng b có 10 điểm phân biệt Hỏi tạo tam giác có đỉnh điểm hai đường thẳng a b cho ? ĐS: 325
BT 124 Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Trên đường thẳng lấy
5 điểm cách khoảng x Hỏi thành lập hình bình
hành tạo thành từ 10 điểm ? ĐS: 30
BT 125 Cho d1 // ,d đường thẳng 2 d có 10 điểm phân biệt, đường thẳng 1 d có n điểm phân 2
biệt (n ≥2). Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n ? ĐS: n =20
BT 126 Cho đa giác A A A1 A (n nguyên) nội tiếp đường tròn ( ).2n O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A A A1 2 3 A nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n 2n điểm A A A1 2 3 A2n Tìm n ? ĐS: n = 8
BT 127 Cho đa giác 2n đỉnh (n 2, n +)
≥ ∈ ℤ Gọi a số đường chéo đa giác b số hình chữ nhật có bốn đỉnh đỉnh đa giác Tìm n biết 6a=23b ? ĐS: n =13
Công thức xác suất
BT 128 Có ba xạ thủ bắn vào bia Xác suất trúng đích là: 0, 6; 0, 0, Tính xác suất để có người bắn trúng bia ĐS: P A =( ) 0,976
BT 129 Nam Hải thi đấu với trận bóng bàn, thắng trước séc thắng trận Xác suất Hải
thắng séc 0,4 (khơng có séc hịa) Tính xác suất Hải thắng trận ? ĐS: P =0, 31744
BT 130 Một nhóm xạ thủ gồm có 10 người có xạ thủ loại I xạ thủ loại II Xác suất bắn
trúng đích lần bắn xạ thủ loại I loại II 0,9 0,8 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ 10 người cho bắn viên đạn Hãy tính xác suất để viên đạn
trúng đích ? ĐS: P =0,83
BT 131 Có ba lơ hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Biết xác suất để
(16)BT 132 Một hộp chứa 11 bi đánh số từ đến 11 Chọn bi cách ngẫu nhiên, cộng số
trên bi rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ ? ĐS: 118 231 P = ⋅
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 133 Trên giá sách có ba loại sách Tốn học, Vật lý, Hóa học, có 8 sách Tốn học,
quyển sách Vật lý sách Hóa học (các sách khác nhau) Hỏi có cách chọn sách sách cho loại có 1quyển sách ?
BT 134 Cho tập A tất số tự nhiên có 5 chữ số mà chữ số khác Hỏi lấy số tự nhiên từ tập A mà số có mặt ba chữ số khác ?
BT 135 Trong hộp có 8 viên bi xanh viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi chọn có bi xanh bi trắng ?
BT 136 Một người cần gọi điện thoại quên 3 chữ số cuối số điện thoại cần gọi Người nhớ chữ số khác chữ số chắn chữ số Tính xác suất để người gọi điện bấm số lần số điện thoại cần gọi ?
BT 137 Một hộp chứa 5 bi xanh, bi đỏ, bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để viên bi lấy có đủ màu ?
BT 138 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số chẵn có chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên
một số vừa lập Tính xác suất để lấy số lớn 2013 ?
BT 139 Tập A gồm tất số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từ {1; 2; 3; 4; 5} Chọn ngẫu nhiên số thuộc A Tìm xác suất số chọn số chẵn ?
BT 140 Một hộp có 15 viên bi, có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy có viên bi đỏ ?
BT 141 Có 10 học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp A ?
BT 142 Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử X Tính xác suất để hai số lấy số chẵn ?
BT 143 Một thầy giáo có 12 sách đơi khác nhau, có sách Tốn, sách Vật lý sách Hóa học Ơng muốn lấy đem tặng cho học sinh:
A, B, C, D, E, F em Tính xác suất để sau tặng sách xong loại ba loại Tốn, Vật lý, Hóa học cịn lại ?
BT 144 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số khác khác 0 Tính xác suất để số chọn số chia hết cho ?
BT 145 Một hộp chứa 30 bi trắng, bi đỏ 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng, bi đỏ
9 bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi viên bi Tìm xác suất để hai bi lấy màu ?
BT 146 Cho hai đường thẳng song song d , d1 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm
phân biệt Tính số tam giác có đỉnh 3 điểm số 37 điểm chọn d1 d2
BT 147 Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H
a/ Có tất tam giác ? Có tam giác có cạnh cạnh H b/ Có tam giác có cạnh cạnh H ? Có tam giác khơng có
cạnh cạnh H ?
BT 148 Có số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần
BT 149 Cho tập A={0;1; 2; 3; ; 9} Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số phân biệt nhỏ 60000 chia hết cho