- Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua đường thẳng d. - Một hình có thể không có, c[r]
(1)
HÌNH THANG CÂN ĐỐI XỨNG TRỤC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa hình thang cân
Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy (h.14)
2 Tính chất hình thang cân Trong hình thang cân :
- Hai cạnh bên ; - Hai đường chéo
3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân 4 Hai điểm đối xứng qua đưòng thẳng
(2)
Quy ước : Nếu Bd điểm đối xứng với B qua d B 5 Hai hình đối xứng qua đường thẳng
• Hai hình F F' gọi đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình đối xứng qua d với điểm thuộc hình ngược lại
- Hai đoạn thẳng AB A'B' đối xứng với qua đường thẳng d A đối xứng với A'; B đối xứng với B' qua d (h.16a)
- Hai tam giác ABC A'B'C' đối xứng với qua đường thẳng d A đối xứng với A'; B đối xứng với B'; C đối xứng với C' qua đường thẳng d (h.16b)
Hình 16
(3)6 Hình có trục đối xứng
Đường thẳng d trục đối xứng hình F điểm đối xứng qua d điểm thuộc hình F thuộc hình F
Đặc biệt : Đường thẳng qua trung điểm hai đáy hình thang cân trục đối xứng hình thang cân (h.17)
7 Bổ sung
- Hai đường thẳng a a' đối xứng với qua đường thẳng d hai điểm đường thẳng đối xứng với hai điểm đường thẳng qua đường thẳng d
- Một hình khơng có, có một, có nhiều vơ số trục đối xứng
(4)B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Cho ABC vng A có điểm H chuyển động BC Gọi E, F 1à điểm đối xứng H qua AB ; AC
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh BEFC hình thang
c) Tìm vị trí H BC để BEFC hình thang vng
Giải (h.19)
a) Theo tính chất đối xứng trục, ta có : A = A ; A = A
Mà EAF =A + A + A + A1 =2.(A + A )2 =1800 => E, A, F thẳng hàng
b) Theo tính chất đối xứng trục, ta có : B = B ; C = C1 2
(5)
trí phía nên BE // CF hay BCFE hình thang c) Theo tính chất đối xứng : BEA = BHA
BEFC hình thang vng <=> BEA = 90 <=> BHA = 900 0 hay AH đường cao
Ví dụ Cho tam giác ABC có AD đường phân giác Điểm M nằm tam giác Các điểm N, X, Y theo thứ tự điểm đối xứng M qua AD, AB, AC Chứng minh AN đường trung trực đoạn XY
Giải
Trường hợp Xét MAB MAC (h.20)
• ĐặtMAB = ;MAD = Ta có :
( )
XAB = NAC = ; NAD = YAC = + , suy
NAY = + = NAX
Mặt khác : AX = AY = AN (2)
Từ (1) (2) suy AN đường trung trực đoạn XY Trường hợp Xét MAB > MAC Tương tự trường hợp
(6)
Cho tam giác ABC Điểm M nằm tam giác Điểm Y đối xứng với M qua AC ; điểm X đối xứng với M qua AB Điểm N nằm tam giác cho AN đường trung trực đoạn X,Y Chứng minh rằng: MAB = NAC
C BÀI TẬP
1 Bạn Việt nói "trong đỉnh hai tam giác đối xứng trục ln có bốn đỉnh tạo thành đỉnh hình thang cân" Bạn Nam nói "chưa !"
Ai đúng, sai, ?
2 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ phía ngồi tam giác ABC tia Ax Ay cho xAB = yAC = 1BAC
2 Trên tia Ax Ay lấy hai điểm M N thoả mãn AM = AN ABM < ABC Trong tam giác dựng PBC cho PBC = ABM; PCB = ACN Chứng minh P nằm đường thẳng cố định
3 Cho tam giác ABC vuông A, lấy điểm M thuộc cạnh BC Gọi E điểm đối xứng M qua AB, F điểm đối xứng N qua AC
a) Chứng minh A trung điểm EF
b) Xác định vị trí M để EF có độ dài ngắn
4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên AB, AC lấy M N cho AM + AN = AB Chứng minh trung điểm AB, AC, MN thẳng hàng
5 Trên tia phân giác ngồi góc đỉnh c tam giác ABC, ta lấy điểm M (M khác C) Chứng minh AC + CB < AM + MB
(7)
7 Cho tứ giác ABCD có góc ngồi tứ giác đỉnh C góc ACB Chứng minh : AB + DB > AC + DC
8 Cho ABC nhọn có A = 70°.AH đường cao Gọi M, N điểm đối xứng H qua AB AC Gọi I, K giao điểm MN với AB, AC
a) Tính IHK
b) Chứng minh CI⊥AB ; BK⊥AC
9 Chứng minh rằng, tam giác ABC, đường cao hakhông lớn p.(p - a) BC =
a, p nửa chu vi tam giác
10 Cho ABC, điểm E, F thuộc đường phân giác AD choABE = DBF Vẽ điểm I đối xứng với E qua AB, điểm H đối xứng với E qua AC, điểm K đối xứng với F qua BC Chứng minh :
a) FH = FI, FI = KE b) ACE = DCF