Xấp xỉ tương đương cơ tính vật liệu tổ hợp có các cốt liệu phức hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - NGUYỄN THỊ HƯƠNG GIANG XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ TÍNH VẬT LIỆU TỔ HỢP CÓ CÁC CỐT LIỆU PHỨC HỢP LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội – Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - NGUYỄN THỊ HƯƠNG GIANG XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ TÍNH VẬT LIỆU TỔ HỢP CÓ CÁC CỐT LIỆU PHỨC HỢP Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 44 01 07 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Phạm Đức Chính PGS.TS Trần Bảo Việt Hà Nội – Năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết luận án trung thực chưa có tác giả khác cơng bố cơng trình nghiên cứu từ trước tới Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nội dung khoa học cơng trình Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Hương Giang LỜI CẢM ƠN Với lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Phạm Đức Chính, TS Trần Bảo Việt – người thày tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q Thày, Cơ giảng dạy thời gian học chuyên đề khn khổ chương trình đào tạo Tiến sĩ, cán Học viện Khoa học & Cơng nghệ, nhóm nghiên cứu Viện Cơ học giúp đỡ hỗ trợ tơi tài liệu, kinh nghiệm để hồn thiện luận án Các nghiên cứu luận án hỗ trợ Quỹ phát triển Khoa học Công nghệ quốc gia (NAFOSTED) Xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Giao thông Vận tải, nơi công tác, hỗ trợ học phí tạo điều kiện thời gian cho tơi hồn thành luận án Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình nhỏ tôi, người gần gũi động lực cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình vẽ, đồ thị 10 MỞ ĐẦU 13 CHƯƠNG TỔNG QUAN 18 1.1 Phân loại vật liệu Composite 18 1.2 Hệ số dẫn 19 1.3 Các mô đun đàn hồi 21 1.4 Phần tử thể tích đặc trưng 23 1.5 Các xấp xỉ đánh giá xác định giá trị hiệu dụng vật liệu 24 1.5.1 Phương pháp xấp xỉ trung bình .24 1.5.2 Đường bao giá trị hiệu dụng 29 1.5.3 Phương pháp cốt tương đương .30 1.6 Phương pháp số 34 1.7 Kết luận 35 CHƯƠNG XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ SỐ DẪN VĨ MÔ VẬT LIỆU CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP 36 2.1 Vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh cốt đẳng hướng 37 2.1.1 Mơ hình vật liệu 37 2.1.2 Các công thức đánh giá hệ số dẫn vật liệu cốt tròn 38 2.1.3 Xấp xỉ tương đương với cốt tròn phủ 43 2.1.4 So sánh với kết thực nghiệm 52 2.2 Vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh cốt dị hướng 55 2.2.1 Mơ hình vật liệu 55 2.2.2 Xấp xỉ tương đương với cốt tròn phủ, lớp phủ dị hướng 55 2.3 Kết luận 58 CHƯƠNG XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MƠ VẬT LIỆU CĨ CỐT LIỆU PHỨC HỢP 59 3.1 Mô đun đàn hồi vật liệu Composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp 59 3.1.1 Mô hình vật liệu 59 3.1.2 Mơ đun đàn hồi thể tích 59 3.1.3 Mô đun đàn hồi trượt 63 3.1.4 Công thức tổng quát 70 3.1.5 Kiểm tra so sánh 71 3.2 Mô đun đàn hồi vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương 79 3.2.1 Mơ hình vật liệu 79 3.2.2 Mơ đun đàn hồi diện tích hiệu dụng .80 3.2.3 Mô đun đàn hồi trượt doc hiệu dụng 81 3.2.4 Mô đun đàn hồi Young dọc trục hệ số Poisson 82 3.2.5 Mô đun đàn hồi trượt ngang 84 3.3 Kết luận 85 CHƯƠNG MÔ PHỎNG SỐ PHẦN TỬ HỮU HẠN VẬT LIỆU PHỨC HỢP………………………………………………………………………… 86 4.1 Vật liệu tuần hoàn 86 4.2 Các công thức xuất phát 86 4.2.1 Mô đun đàn hồi 87 4.2.2 Hệ số dẫn 88 4.3 Phần mềm Cast3M 89 4.4 Tính tốn cho mơ hình vật liệu cụ thể so sánh kết 91 4.4.1 Vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương 4.4.1.1 Hệ số dẫn ngang pha đồng nhất, đẳng hướng 91 4.4.1.2 Hệ số dẫn ngang lớp vỏ bọc dị hướng 96 4.4.1.3 Mô đun đàn hồi 99 4.4.2 Vật liệu Composite với cốt hình cầu 106 4.5 Kết luận 118 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 119 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 PHỤ LỤC 130 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT A Ten xơ mật độ biến dạng σ Trường ứng suất  ij Toán tử Krӧnecker c, ceff Hệ số dẫn nhiệt, hệ số dẫn nhiệt hiệu dụng Ceff Ten xơ độ cứng hiệu dụng ε, E Trường biến dạng vi mô, vĩ mô Eeff Mô đun đàn hồi Young hiệu dụng q Véc tơ dịng nhiệt keff, Keff Mơ đun đàn hồi thể tích, diện tích hiệu dụng T Nhiệt độ u Trường chuyển vị μeff Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng νeff Hệ số nở ngang hiệu dụng  Tỉ lệ thể tích pha α Trung bình đại lượng  Tốn tử gradient Δ Tốn tử Laplace (Δ =    ) HSU, HSL Kết đường bao Hashin – Strickman PTHH Phần tử hữu hạn RVE Phần tử thể tích đặc trưng TN Kết thí nghiệm CTĐ Cốt tương đương CTĐĐG Cốt tương đương đơn giản VP-CTĐ Xấp xỉ vi phân sử dụng cốt tương đương TĐLN Xấp xỉ theo mơ hình đĩa trịn lồng TT3Đ-CTĐ Xấp xỉ tương tác ba điểm sử dụng cốt tương đương MA Xấp xỉ Maxwell DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Mối quan hệ mô đun đàn hồi Bảng2.1 Thơng tin hình học bậc ba  vật liệu có cốt dạng đĩa trịn phân bố ngẫu nhiên (không chồng lấn) Bảng 2.2 Hệ số dẫn hiệu dụng c1  1, c2  5, c3  20 ,2  3 Bảng 2.3 Hệ số dẫn hiệu dụng c1  20 , c2  5, c3  1,2  3 Bảng 2.4 Kết thí nghiệm hệ số dẫn composite sợi abaca Bảng 2.5 Hệ số dẫn composite sợi abaca Bảng 3.1 Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng  M  GPa,  I  GPa,  I  25 GPa , I1   I   M  0.3, I1  2 I Bảng 3.2 Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng  M  GPa ,  I1  GPa ,  I  25 GPa , I1   I   M  0.3, I1  2 I Bảng 3.3 Mơ đun đàn hồi thể tích hiệu dụng  M  25 GPa ,  I1  GPa ,  I  GPa , I1   I   M  0.3, I1  2 I Bảng 3.4 Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng  M  25 GPa ,  I1  GPa ,  I  GPa , I1   I   M  0.3, I1  2 I Bảng 4.1 Hệ số dẫn hiệu dụng c1  1, c2  5, c3  20 ,2  3 Bảng 4.2 Hệ số dẫn hiệu dụng c1  20 , c2  5, c3  1,2  3 Bảng 4.3 Hệ số dẫn hiệu dụng c1  1, c3  100 , cn  30 , cT  50 ,2  0.13 Bảng 4.4 Hệ số dẫn hiệu dụng c1  100 , c3  1, cn  50 , cT  70 ,2  0.13 Bảng 4.5 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng EM  1, M  0.2, EI1  5,  I1  0.3, EI  10 , I  0.4, I   I1 Bảng 4.6 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng EM  10 , M  0.4, EI1  5,  I1  0.3, EI  1, I  0.2, I   I1 Bảng 4.7 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng EM  1, M  0.2, EEI  7.515 , EI  0.558 Bảng 4.8 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng EM  10 , M  0.4, EEI  3, EI  0.273 Bảng 4.9 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng nhân tử lập phương đơn giản K M  1,  M  0.4, K I1  4,  I1  2, K I  20 ,  I  20 Bảng 4.10 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng nhân tử lập phương tâm khối K M  1,  M  0.4, K I1  4,  I1  2, K I  20 ,  I  20 Bảng 4.11 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng nhân tử lập phương tâm mặt K M  1,  M  0.4, K I1  4,  I1  2, K I  20 ,  I  20 Bảng 4.12 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng nhân tử lập phương đơn giản K M  20 ,  M  12 , K I1  1,  I1  0.4, K I  4,  I  Bảng 4.13 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng nhân tử lập phương tâm khối K M  20 ,  M  12 , K I1  1,  I1  0.4, K I  4,  I  Bảng 4.14 Các giá trị mô đun đàn hồi hiệu dụng nhân tử lập phương tâm mặt K M  20 ,  M  12 , K I1  1,  I1  0.4, K I  4,  I  120 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Các kết luận án cơng bố tạp chí quốc tế (01 SCIE, 01 Scopus), tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải (01 bài) tuyển tập báo cáo hội nghị nước (04 báo cáo hội nghị) Cụ thể: [1] Tran, B V., Pham, D C., & Nguyen, T H G., Equivalent-inclusion approach and effective medium approximation for elastic moduli of compound-inclusion composites, Archive of Applied Mechanics, 2015, 85(12), 1983-1995 [2] Bao-Viet Tran, Duc-Chinh Pham, Thi-Huong-Giang Nguyen, Effective medium approximation for conductivity of unidirectional coated-fiber composites, Computational Thermal Sciences, 2017, 9(1), 63-76 [3] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Phương pháp cốt tương đương xác định hệ số đàn hồi vật liệu cốt sợi dọc trục có cấu trúc phức hợp, Tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải, 2017, 59, 10-16 [4] Trần Bảo Việt, Nguyễn Thị Hương Giang, Hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc đa cốt liệu phức hợp, Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc Đà nẵng, 03-05/08/2015, 328-333 [5] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Phạm Đức Chính, Phương pháp xấp xỉ tương đương xác định hệ số đàn hồi vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc phức tạp, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII Đại học Duy Tân, TP Đà Nẵng, 7/8/2015, 480-487 [6] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Mô đun đàn hồi Young dọc trục hệ số Poisson vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp, Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Hà Nội, 8-9/12/2017, 316-321 [7] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Nghiên cứu ảnh hưởng lớp vỏ dị hướng tới hệ số dẫn nhiệt vật liệu composite cốt sợi dọc trục nhiều pha, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XIV Đại học Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh, 19-20/7/2018 [8] Tran Bao Viet, Nguyen Thi Hương Giang, Pham Duc Chinh, Effective medium approximation for conductivity of coated-inclusion composites with anisotropic coating,Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 41, No (2019), pp 233 – 241 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] https://www.machinedesign.com [2] Patrick R Jackson, Triplicane A Parthasarathy, Aric Ros, Donald W Radford, Use of interphase in geopolymer matrix composites for improved toughness, Ceramics International , 2019, 45, 5139-5149 [3] http://www.saigonxaydung.com/nhung-dieu-can-biet-ve-tong-cot-soi/ [4] J D Achenbach, H A Lauwerier, P G Saffman, L Van Wijngaarden, J R Willis, Applied mathematics and mechanics, 1993, North - Holland Amsterdam [5] W Voigt, Lehrbuch der Krystallphysik., 1928, Teuber, Leipzig [6] A Reuss, “Berechnung der Fliessgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung fur Einkristalle”, ZAMM 9, 1929, pp.49-58 [7] J C M Garnett, Colours in metal glasses and in metallic films, Philos Trans R Soc London A 203, 1904,pp 385–420 [8] J C M Garnett, Colours in metal glasses, in metallic films, and in metallic solutions II, Philos Trans R Soc London 205, 1906, pp 237–288 [9] J D Eshelby, “The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems”, Proc R Soc Lond., 1957, A41, pp.376-396 [10] D A G Bruggeman, Berechnung verschiedener physikalisher Konstanten von heterogenen Substanzen I, Annalen der Physik, 1935, 24, 636-663 [11] R Roscoe, The viscosity of suspensions of rigid spheres, British Journal of Applied Physics, 1952, 3, 267-269 [12] S Boucher, On the effective moduli of isotropic two – phase elastic composites Journal of Composite Materials, 1974, 8, 82-89 [13] R McLaughlin, A study of the differential scheme for composite materials, International Journal of Engineering Science, 1977, 15, 237-244 [14] A N Norris, A differential scheme for effective moduli of composites Mechanics of Materials, 1985, 4, 1-16 [15] Z Hashin, The differential scheme and its application to cracked materials, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1988, 36, 719-734 [16] A Einstein, Eine neue Berechnung der Molekuldimention, Annales de Physique, 1905, 19, 289-306 122 [17] D A G Bruggeman, Berechnung verchiedener physikalisher Konstanten von heterogenen Substanzen I, Annalen der Physik, 1935, 24, 636-663 [18] A V Hershey, The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals, ASME Journal of Applied Mechanics, 1954, 21, 236-240 [19] E H Kerner, The elastic and thermo-elastic properties of composite media, Proceedings of the Royal Society London, B, 1956, 69, 808-813 [20] R Hill, Continuum micromechanics of elastic – plastic polycrystal, Journal of the Mechanics and Physics of Solid, 1965, 13, 89-101 [21] N Laws, On thermostatics of composite materials, Journal of the Mechanics and Physics of Solid, 1973, 21, 9-17 [22] N Laws, The overall thermoelastic moduli of transversely isotropic composites according to the self-consistent method, International Journal of Engineering Science, 1974, 12, 79-87 [23] R M Christensen, & F M Waals, Effective stiffness of randomly oriented fiber composites, Journal of Composite Materials, 1972, 6, 518-532 [24] J G Berryman, Long wavelength propagation in composite elastic media II, Ellipsoidal inclusion, Journal of the Acoustical Society of America, 1980, 68, 18201831 [25] L J Walpole, Elastic behavior of composite materials Theoretical foundation In Advanced in applied mechanics , 1981, (Vol 21, pp 169-242), New York: Academic [26] T Mori, & K Tanaka, Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions, Acta Metallurgica, 1973, 21, 571-574 [27] G J Weng, Some elastic properties of reiforced solids, wwith special reference to isotropic ones containing spherical inclusions, International Journal of Engineering Science, 1984, 22, 845-856 [28] Y Benveniste, G J Dvorak, & T Chen, Stress fields in composites with coated inclusions, Mechanics of Materials, 1989, 7, 305-317 [29] T Chen, G J Dvorak, & Y Benveniste, Mori-Tanaka estimates of the overall elastic moduli of certain composite materials ASME Journal of Applied Mechanics, 1992, 59, 539-546 123 [30] D.C Pham and S.Torquato, Strong-contrast expansions and approximations for the effective conductivity of isotropic multiphase composites, J Appl Phys., 2003, 94, 6591-6602 [31] D C Pham, T K Nguyen, Polarization approximations for macroscopic conductivity of isotropic multicomponent materials, International Journal of Engineering Science, 2015, 97, 26-39 [32] Duc Chinh Pham, Nguyen Quyet Tran and Anh Binh Tran, Polarization approximations for elastic moduli of isotropic multicomponent materials, Journal of Mechanic of Materials and Structures, 2017, 12(4), 391-406 [33] Bao Viet Tran, Duc Chinh Pham, Refined polarization approximations for conductivity of isotropic composites, International Journal of Thermal Sciences, 2018, 131, 72-79 [34] R Hill, Theory of mechanical properties of fiber-strengthened materials: I Elastic behaviour, J Mech Phys Solids , 1964, 12, 199 [35] B Paule, Prediction of elastic constants of multiphase materials, Trans ASME , 1960, 218, 36 [36] Z Hashin, S Shtrickman, Avariational approach to the theory of the effective magnetic permiability of multiphase materials, J Appl Phys , 1962, 33, 3125-3131 [37] Z Hashin, S Shtrickman, Avariational approach to the theory of the elastic behaviour of polycrystals, J Appl Phys , 1962, 10, 343 [38] D C Pham, Bounds on the effective shear modulus of multiphase materials, International Journal of Engineering Science, 1993, 31, 11-17 [39] D C Pham, Bounds for the effective conductivity and elastic moduli of fullydisordered multicomponent materials, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1994, 127, 191-198 [40] D C Pham, Bounds on the effective properties of some multiphase matrix mixtures of coated-sphere geometry, Mechanic of Materials, 1998, 27, 249-260 [41] D C Pham, On macroscopic conductivity and elastic properties of perfectlyrandom cell composites, International Journal of Solids and Structures, 1996, 33, 1745-1755 [42] D C Pham, Estimation for the overall properties of some isotropic locallyordered composites, Acta Mechanica, 1997a, 121, 177-190 124 [43] D C Pham, Overall properties of planar quasisymmetric randomly inhomogeneuos media: estimates and cell models, Physical Review E, 1997b, 56, 652-660 [44] D C Pham, N Phan-Thien, Bounds and extremal elastic moduli of isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals, International Journal of Solids and Structures, 1998, 49, 2646-2659 [45] D C Pham, On the elastic constants of transversely isotropic, quasisymmetric composites, ASME Journal of Applied Mechanics, 1999, 66, 262-264 [46] D C Pham, Weighted self-consistent approximations for elastic completely random mixtures, Mechanics of Materials, 2000a, 32, 463-470 [47] D C Pham, Differential nonhomogeneous models for elastic randomly cracked solids, International Journal of Solid and Structures, 2000b, 37, 7759-7768 [48] D C Pham, Three-point interpolation approximation for the macroscopic properties of isotropic two-component materials, Philosophical Magazine, 2007, 87, 3531-3544 [49] D C Pham, Weighted effective medium approximations for conductivity of random composites, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2008, 51, 33553361 [50] D C Pham, Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals, International Journal of Solid and Structures, 2012, 49, 2646-2659 [51] Z A Moschovidis, T Mura, Two ellipsoidal inhomogeneities by the equivalent inclusion method, J Appl Mech., 1975, 42, 847-852 [52] H M Shodja, I Z Rad, R Soheilifard Interacting cracks and ellipsoidal inhomogeneities by the equivalent inclusion method, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2003, 51, 945-960 [53] Z Hashin, Thermoelastic properties of fiber composites with imperfect interface, Mechanics of Materials, 1990, ,333-348 [54] Y P Qui, G J Weng, Elastic moduli of thickly coated particle and fiberreinforced composites, J Appl Mech, 1991, 58, 388-398 125 [55] D C Pham, B V Tran, Equivalent-inclusion approach and effective medium approximation for conductivity of coated-inclusion composites, European Journal of Mechanics A/Solids, 2014, 47, 341-348 [56] T K Nguyen, D C Pham, Equivalent-inclusion approach and effective medium estimates for elastic moduli of two-dimensional suspensions of compound inclusions, Philosophical Magazine, 2014, 94:36, 4138-4156 [57] H L Duan, J Wang, Z P Huang, B L Karihaloo, Size-dependent effective elastic constants of solids containing nanoinhomogeneities with interface stress, J Mech Phys Solids, 2005, 53, 1574-1596 [58] T Chen, G J Dvorak, C C Yu, Size-dependent elastic properties of unidirectional nano-composites with interface stresses, Acta Mech , 2007, 188, 3954 [59] Vũ Lâm Đông, Đánh giá mô mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, 2016, Hà Nội [60] Nguyễn Tiến Luật, Đánh giá tính chất dẫn vật liệu nhiều thành phần đa tinh thể hỗn độn, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, 2017, Hà Nội [61] Vương Mỹ Hạnh, Đánh giá mô hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn, Luận án tiến sĩ học vật rắn, 2019, Hà Nội [62] Đỗ Quốc Hồng, Một cách tiếp cận xấp xỉ mơ hình hóa phần tử hữu hạn hệ số dẫn mơ đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, 2019, Hà Nội [63] K J Bathe, Finite element procedures, 1996, Prentice-Hall [64] E B Becker, G F Carey and J T Oden, Finite elements: an introduction, 1980, Prentice-Hall [65] P Wriggers, Nichtlineare Finite-Element-Methoden, 2001, Springer-Verlag [66] T J R Hughes, The finite element method, 1989, Prentice Hall [67] H Moulinec, P Suquet, A fast numerical method for computing the linear and nonlinear properties of composites, CR Acad Sc Paris II, 1994, 318, 1417-1423 [68] Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien, FFT-simulation and multi-coated inclusion model for macroscopic conductivity of 2D suspensions of compound inclusions, Vietnam Journal of Mechanics, 2015, 37, 169-176 126 [69] Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên, Phạm Đức Chính, Các đánh giá bậc ba mô số FFT cho hệ số dẫn số vật liệu nhiều thành phần, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 2013 [70] D.C Pham and S.Torquato, Strong-contrast expansions and approximations for the effective conductivity of isotropic multiphase composites, J Appl Phys., 2003, 94, 6591-6602 [71] S Torquato, Random Heterogeneous Materials, Springer-Verlag, New York, 2002 [72] H Le-Quang, D.C Pham, G Bonnet, Q.C He, Estimation of the effective conductivity of anisotropic multiphase composites with imperfect interfaces, Int J Heat Mass Transf., 2013, 58, 175-187 [73] D.S Liu, D.Y Chiou, Modeling of inclusions with interphases in heterogeneous material using the infinite element method, Comput Mater Sci., 2004, 31, 405-420 [74] R M Christensen, Mechanics of Composite Materials, 1979, New York: Wiley [75] D C Pham, A B Tran, Q H Do, On the effective medium approximations for the properties of isotropic multicomponent matrix-based composites, Int J Eng Sci, 2013, 68, 75-85 [76] A S Sarvestani, On the overall elastic moduli of composites with spherical coated fillers, Int J Solids Struct., 2003, 7553-7566 [77] S Nemat-Nasser, M Hori, Micromechanics: Overall Properties of Heterogeneous Materials, 1993, North-Holland, Amsterdam [78] Z Hashin, Viscoelastic fiber reinforced materials, 1966, AIAA Journal, 4(8), 1411-1417 [79] George J Dvorak, Micromechanics of Composite Materials, 2013, New York [80] M L Accorsi, S Nemat-Nasser, Bounds on the overall elastic and instantaneous elastoplastic moduli of periodic composites, Mechanics of Materials, 1986, 5, 209220 [81] J L Teply, J N Reddy, A unified formulation of micromechanics models of fiber-reinforced composites, In G J Dvorak (Ed.), Inelastic deformation of composite materials, 1990, 341-372 New York: Springer 127 [82] J Aboudi, Mechanics of composite materials – A unified micromechanical approach, 1991, Amsterdam: Elsevier [83] S Nemat – Nasser, M Hori, Micromechanics: Overall properties of heterogeneous materials (2nd ed.), 1999, Amsterdam: Elsevier [84] J Fish, K Shek, M S Shephard, M Pandheeradi, Computational plasticity for composite structures based on mathematical homogenization: Theory and practice, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1997, 157, 69-94 [85] L Dormieux, D Kondo, F J Ulm: Microporomechanics, 2006, Wiley, London [86] http://www-cast3m.cea.fr PHỤ LỤC Tính tốn mơ đun đàn hồi trượt cốt tương đương theo công thức (3.32) phần mềm MATPLE > restart; > ur:=A*R-6*(v/(1-2*v))*B*R^3+3*C/R^4+(5-4*v)/(1-2*v)*D/R^2: 128 up:=A*R-((7-4*v)/(1-2*v))*B*R^3-2*C/R^4+2*D/R^2: >sr:=2*(A+3*(v/(1-2*v))*B*R^2-12*C/R^5-2*(5-v)/(1-2*v)*D/R^3)*m: sp:=(A-((7+2*v)/(1-2*v))*B*R^2+8*C/R^5+2*(1+v)/(1-2*v)*D/R^3)*m: > ur11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1},ur): up11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1},up): ur21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},ur): up21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},up): > ur22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},ur): up22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},up): ur32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3},ur): up32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3},up): > sr11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1,m=m1},sr): sp11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1,m=m1},sp): sr21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sr): sp21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sp): > sr22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sr): sp22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sp): sr32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3,m=m3},sr): sp32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3,m=m3},sp): > ex1:=ur11-ur21: ex2:=up11-up21: ex3:=ur22-ur32: ex4:=up22-up32: ex5:=sr11-sr21: ex6:=sp11-sp21: ex7:=sr22-sr32: ex8:=sp22-sp32: > C1:=0;D1:=0;A3:=E0;B3:=0; >solus:=solve({ex1=0,ex2=0,ex3=0,ex4=0,ex5=0,ex6=0,ex7=0,ex8=0},{A1,B1,A2,B2,C2,D2,C3, D3}): >A1:=eval(A1,solus);B1:=eval(B1,solus);A2:=eval(A2,solus);B2:=eval(B2,solus); C2:=eval(C2,solus);D2:=eval(D2,solus);C3:=eval(C3,solus);D3:=eval(D3,solus); Equivalent > ur2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e},ur): up2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e},up): ur3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3},ur): up3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3},up): 129 > sr2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e,m=m2e},sr): sp2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e,m=m2e},sp): sr3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3,m=m3},sr): sp3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3,m=m3},sp): > exe1:=ur2e-ur3e: exe2:=up2e-up3e: exe3:=sr2e-sr3e: exe4:=sp2e-sp3e: Ce2:=0;De2:=0;Ae3:=E0;Be3:=0: solue:=solve({exe1=0,exe2=0,exe3=0,exe4=0},{Ae2,Be2,Ce3,De3}): Equivallent - > Meff2:=m3*(1+fe*Aed*(me-m3)/m3): > Meff1:=m3*(1+f1*A1d*(m1-m3)/m3+f2*A2d*(m2-m3)/m3): > Mtess:=m3*(1+fe*(me-m3)/(m3+beta*(me-m3))): beta:=6*(k3+2*m3)/(5*(3*k3+4*m3)): > simplify(solve(Mtess-Meff1=0,me)): > Aed:=(Ae2-21/5/(1-2*ve)*Be2*R2^2+4*(4-5*ve)/5/(1-2*ve)*De2/R2^3)/E0: > A2d:=simplify((A12d-(R1/R2)^3*A1d)/(1-(R1/R2)^3)): > A1d:=((A1-21/5/(1-2*v1)*B1*R1^2+4*(4-5*v1)/5/(1-2*v1)*D1/R1^3)/E0): > A12d:=((A2-21/5/(1-2*v2)*B2*R2^2+4*(4-5*v2)/5/(1-2*v2)*D2/R2^3)/E0): >Ae2:=eval(Ae2,solue);Be2:=eval(Be2,solue):Ce3:=eval(Ce3,solue):De3:=eval(De3,solue): > A1:=eval(A1,solus):B1:=eval(B1,solus):A2:=eval(A2,solus):B2:=eval(B2,solus): C2:=eval(C2,solus):D2:=eval(D2,solus):C3:=eval(C3,solus):D3:=eval(D3,solus): > Meq:=simplify(solve(Meff1-Meff2=0,me)); Mơ hình tính hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp (khi pha đồng đẳng hướng) – lập trình Cast3m *Periodic-Homogeneization of Conductivity Properties *2D Problem (2 spherical inclusion) option dime elem tri3 echo 1; conm=1; N=0.05; conia=5; conib=20; m=1.; l=(3.)**(1./2.); ll=(-1)*l; listC=prog conm; listP=prog 0; nn=20; j=0; repere b1 nn; j=j+1; phii=0.05*j; phiib=(10./11.)*phii; phiia=phii-phiib; 130 a=((m*2.*l*phii/3.14)**(1./2.)); aa=(-1)*a; b=((m*2.*l*phiib/3.14)**(1./2.)); bb=(-1)*b; vt=2.*l*m; vib=(3.14*b*b); via=(3.14*a*a)-vib; vm=vt-via-vib; phiiaa=via/vt; phiibb=vib/vt; phim=vm/vt; p1=ll 0; p2=l 0; p3=l m; p4=ll m; p5=aa 0; p6=0 a; p7=a 0; p8=bb 0; p9=0 b; p10=b 0; p2a=l (m-a); p2b=l (m-b); p1a=ll (m-a); p1b=ll (m-b); p3a=(l-a) m; p3b=(l-b) m; p4a=(ll+a) m; p4b=(ll+b) m; l15=droi p1 p5 dini (N) dfin (N); l72=droi p7 p2 dini (N) dfin (N); l22a=droi p2 p2a dini (N) dfin (N); l2a2b=droi p2a p2b dini (N) dfin (N); l2b3=droi p2b p3 dini (N) dfin (N); l23=l22a et l2a2b et l2b3; l11a=droi p1 p1a dini (N) dfin (N); l1a1b=droi p1a p1b dini (N) dfin (N); l1b4=droi p1b p4 dini (N) dfin (N); l14=l11a et l1a1b et l1b4; l33b=droi p3 p3b dini (N) dfin (N); l3b3a=droi p3b p3a dini (N) dfin (N); l3a4a=droi p3a p4a dini (N) dfin (N); l4b4a=droi p4b p4a dini (N) dfin (N); l44b=droi p4 p4b dini (N) dfin (N); l58=droi p5 p8 dini (N) dfin (N); l810=droi p8 p10 dini (N) dfin (N); l107=droi p10 p7 dini (N) dfin (N); l567=cer3 p5 p6 p7 dini (N) dfin (N); l8910=cer3 p8 p9 p10 dini (N) dfin (N); l3b=cerc p2b p3 p3b dini (N) dfin (N); l3a=cerc p2a p3 p3a dini (N) dfin (N); l4b=cerc p1b p4 p4b dini (N) dfin (N); l4a=cerc p1a p4 p4a dini (N) dfin (N); dm=l15 et l72 et l567 et l22a et l3a et l3a4a et l4a et l11a; sm= surf dm; dia12=l567 et l107 et l8910 et l58; sia12=surf dia12; dia3=l2a2b et l3b et l3b3a et l3a; sia3=surf dia3; dia4=l1a1b et l4b et l4b4a et l4a; sia4=surf dia4; sia=sia12 et sia3 et sia4; dib12=l8910 et l810; sib12=surf dib12; dib3=l2b3 et l33b et l3b; sib3=surf dib3; dib4=l1b4 et l44b et l4b; sib4=surf dib4; sib=sib12 et sib3 et sib4; s=sia et sm et sib; *trac s; modia=mode sia thermique; matia=mate modia k conia; modib=mode sib thermique; matib=mate modib k conib; modm=mode sm thermique; matm=mate modm k conm; cia=cond modia matia; cib=cond modib matib; cm=cond modm matm;cim=cia et cib et cm; *blocage des periodicites n1 = nbno l22a; i = 1; k22a = rela T (point l22a) - T (point l11a); dk22a=depi k22a 2.*((3.)**(1./2.)); repeter bouc (n1-1); i = i + 1; tata=(rela T (point i l22a) - T (point i l11a)); toto=depi tata 2.*((3.)**(1./2.)); 131 k22a=k22a et tata; dk22a=dk22a et toto; fin bouc; n1 = nbno l2a2b; i = 1; k2a2b = rela T (point l2a2b) - T (point l1a1b); dk2a2b=depi k2a2b 2.*((3.)**(1./2.)); repeter bouc (n1-1); i = i + 1; tata=(rela T (point i l2a2b) - T (point i l1a1b)); toto=depi tata 2.*((3.)**(1./2.)); k2a2b=k2a2b et tata; dk2a2b=dk2a2b et toto; fin bouc; n1 = nbno l2b3; i = 1; k2b3 = rela T (point l2b3) - T (point l1b4); dk2b3=depi k2b3 2.*((3.)**(1./2.)); repeter bouc (n1-1); i = i + 1; tata=(rela T (point i l2b3) - T (point i l1b4)); toto=depi tata 2.*((3.)**(1./2.)); k2b3=k2b3 et tata; dk2b3=dk2b3 et toto; fin bouc; k11=k2a2b et k22a et k2b3; dk11=dk2a2b et dk22a et dk2b3; c1=bloq p9 T; dc1=depi c1 0; ctot=cia et cib et cm et c1 et k11; qtot=dk11 et dc1; r=reso ctot qtot; *trac r s; gria=grad modia r; grib=grad modib r; grm=grad modm r; xiia=intg modia gria t,x; xiib=intg modib grib t,x; xim=intg modm grm t,x; gria1=change chpo gria modia; gria2=vect gria1 0.2 t,x t,y rouge; grib1=change chpo grib modib; grib2=vect grib1 0.2 t,x t,y vert; grm1=change chpo grm modm; grm2=vect grm1 0.2 t,x t,y jaune; *trac (grm2 et gria2 et grib2) s; resm=(phim*conm*((xim/vm))); resa=(phiia*conia*((xiia/via))); resb=(phiib*conib*((xiib/vib))); res=resm+resa+resb; mess"result"; mess (phiiaa+phiibb) res; listC = listC 'ET' ('PROG' res); listP=listP et (prog phii); fin b1; 132 evo1 = 'EVOL' 'MANUEL' listP listC; dess evo1; list evo1; fin; Mơ hình tính hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp (khi lớp vỏ bọc dị hướng) – lập trình Cast3m *Periodic-Homogeneization of Conductivity Properties *2D Problem (2 spherical inclusion with anisotropic coated) option dime mode plan elem tri3 echo 1; conm=100; conib=1; *kt:he so dan tiep, kn: he so dan vuong goc cua inlusion a kn = 10; kt = 60; N=0.1; l=1.;ll=(-1)*l; phii= 0.5; phiib=(10./11.)*phii; phiia=phii-phiib; a=((4.*phii/3.14)**(1./2.)); aa=(-1)*a; b=((4.*phiib/3.14)**(1./2.)); bb=(-1)*b; vt=2*l*l; vib=(3.14*b*b)/2; via=((3.14*a*a)/2)-vib; vm=vt-via-vib; phiiaa=via/vt; phiibb=vib/vt; phim=vm/vt; p0=0 0; p1=ll 0; p2=l 0; p3=l l; p4=ll l; p5=aa 0; p6=0 a; p7=a 0; p8=bb 0; p9=0 b; p10=b 0; pe = table; po = table; loe = table; co = table; ce = table; da = table; sa = table; beta = table; modia = table; matia = table; k11d = table; k21d = table; k22d = table; cia = table; po.0 = p10; pe.0 = p7; loe.0 = droi po.0 pe.0 dini (N) dfin (N); *kk: so diem chia, kk tang gia tri se chinh xac, de kiem tra code, de kk gia tri nho kk = 45; i = 0; repere b2 (2*kk); i = i+1; alpha = 90.0/kk; beta.i = (i*alpha)-(alpha/2.); po.i=(b*(cos(i*alpha))) (b*(sin(i*alpha))); pe.i=(a*(cos(i*alpha))) (a*(sin(i*alpha))); loe.i = droi po.i pe.i dini (N) dfin (N); co.i = cerc po.(i-1) p0 po.i dini (N) dfin (N); ce.i = cerc pe.(i-1) p0 pe.i dini (N) dfin (N); da.i = loe.(i-1) et ce.i et loe.i et co.i; sa.i = surf da.i; k11d.i = (kn*(cos(beta.i)**2))+(kt*(sin(beta.i)**2)); k22d.i = (kn*(sin(beta.i)**2))+(kt*(cos(beta.i)**2)); k21d.i = ((sin(beta.i))*(cos(beta.i)))*(kn-kt); toto = (kn*(cos(beta.i)**2))+(kt*(sin(beta.i)**2)); tata = (kn*(sin(beta.i)**2))+(kt*(cos(beta.i)**2)); tete = ((sin(beta.i))*(cos(beta.i)))*(kn-kt); modia.i=mode sa.i thermique anisotrope; 133 matia.i=mate modia.i direction (1 0.) para k11 toto k21 tete k22 tata; cia.i=cond modia.i matia.i; fin b2; cot = co.1; cet = ce.1; sia = sa.1; ciat = cia.1; i = 1; repere b3 (2*kk-1); i = i+1; cot = cot et co.i; cet = cet et ce.i; sia = sia et sa.i; ciat=ciat et cia.i; fin b3; l15 = droit pe.(2*kk) p1 dini (N) dfin (N); l72 = droit pe.0 p2 dini (N) dfin (N); l810 = droit po.0 po.(2*kk) dini (N) dfin (N); dm=l15 et l72 et cet et l23 et l34 et l41; sm = surf dm; dib=cot et l810; sib=surf dib; s=sia et sm et sib; *trac s; modib=mode sib thermique; matib=mate modib k conib;modm=mode sm thermique; matm=mate modm k conm;cib=cond modib matib; cm=cond modm matm; cim=ciat et cib et cm; *blocage des periodicites n1 = nbno l23; i = 1; k11 = rela T (point l23) - T (point l41); dk11=depi k11 2; repeter bouc (n1-1); i = i + 1; tata=(rela T (point i l23) - T (point i l41)); toto=depi tata 2; k11=k11 et tata; dk11=dk11 et toto; fin bouc; c1=bloq p9 T; dc1=depi c1 0; ctot=ciat et cib et cm et c1 et k11; qtot=dk11 et dc1; r=reso ctot qtot; *trac r s; grib=grad modib r; grm=grad modm r; xiib=intg modib grib t,x; xim=intg modm grm t,x; resm=(phim*conm*((xim/vm))); resb=(phiib*conib*((xiib/vib))); gria=table; xiiax=table; xiiay=table; resaa=table; resa=0; i=0; repere b4 (2*kk); i=i+1; 134 gria.i=grad modia.i r; xiiax.i=intg modia.i gria.i t,x; xiiay.i=intg modia.i gria.i t,y; resai=(phiia/(2*kk))*(((k11d.i*xiiax.i)+(k21d.i*xiiay.i))/(via/(2*kk))); resai=(phiia/(2*kk))*(((k11d.i*xiiax.i)+(k21d.i*xiiay.i))/(via/(2*kk))); resa=resa+resai; resaa.i=resai; fin b4; res=resm+resb+resa; mess"result"; mess (phiiaa+phiibb) res; -fin; ... CHƯƠNG XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ SỐ DẪN VĨ MÔ VẬT LIỆU CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP 36 2.1 Vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh cốt đẳng hướng 37 2.1.1 Mơ hình vật liệu. .. cứu Cách tiếp cận theo phương pháp cốt tương đương vật liệu có tính đến ảnh hưởng pha trung gian - cốt lý lựa chọn đề tài Chương 2: Xấp xỉ tương đương hệ số dẫn vĩ mơ vật liệu có cốt liệu phức hợp. .. CTĐ Cốt tương đương CTĐĐG Cốt tương đương đơn giản VP-CTĐ Xấp xỉ vi phân sử dụng cốt tương đương TĐLN Xấp xỉ theo mơ hình đĩa trịn lồng TT3Đ-CTĐ Xấp xỉ tương tác ba điểm sử dụng cốt tương đương