Toán lớp 12 (lần 7)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục Ox được tính bởi công thức.. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.[r]

Trang

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số f(x) liên tục, không âm [a; b], trục hoành đường thẳng x = a, x = b:

b a

Sf x dx( )

 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành đường thẳng x = a, x = b:

b a

S f x dx( )

Chú ý: Nếu [a; b] hàm số f(x) giữ nguyên dấu thì:

b b

a a

f x dx( )  f x dx( )

 

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành

  2

y x x

     

    

( ) ( )

y f x y 0 H

x a x b a c1 c2

 ( ) y f x y

O c b3 x

( ) b

a

Trang Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm:

Ta có:

Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng

Giải: Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Đặt

suy ; chọn

Do

2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), y g x( ) liên tục đoạn a b hai đường thẳng x; a , x b xác

định: ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

      

 

2 2 0

2 x

x x

x

   

         

 

2 2 2

0

0

4

2

3

x

S x xdx x x dx x

S

 

.ln y x x 0;

x x

1

0

ln

S x x dx

ln

u x dv xdx

3

3

du dx

x

2

9

18 x v

1

1

0 0

9

ln ln 3

18 18

x

S x x dx x x dx

1

2

2

0

9 3

ln ln ln

18 18 12 12

x

Trang Chú ý:

- Nếu đoạn [ ; ]a b , hàm số f x( ) khơng đổi dấu thì:

( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

- Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g y( ), x h y( ) hai đường thẳng y c, y d xác định:

( ) ( ) d

c

S g y h y dy

Các ví dụ:

Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường

cong

Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là:

Ta có:



y x 

y x   

    

3

0 x x x

x

    

 

   

             

   

1 0 1 6

1

1

1

4 6 4 6 6

x x x x

S x x dx x x dx x x dx

 



 

     

1

2

( ) : ( )

( ) : ( )

( )

C y f x

C y f x

H

x a x b

( )C

2

( )C

1( ) 2( )

b

a

S f x  f x dx

a c1 y

Trang

Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

và

Giải : P/ trình hồnh độ giao điểm:

Tacó:

Đặt

Suy

Các câu hỏi trắc nghiệm :

Câu Cho hàm số liên tục Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số Cơng thức tính diện tích cơng thức trong cơng thức đây?

A B

C D

Câu Cho hình phẳng giới hạn

bởi đường

Đường

thẳng chia hình

thành hai phần có diện tích (hình vẽ) Tìm để

 

 1

y e x y 1 e xx

          

0

1

1

x x

e x e x

x

   

1  1 

0

x x

S x e e dx x e e dx

 x  x

u x du dx

dv e e dx v e ex

   

     



     

         

 

1

1

0

0

1

2

x x e x e

S x ex e ex e dx x e

( )

f x [0;1] ( )D

( ),

y f x y0,x0

x S ( )D

1

0

( )

S  f x dx

1

0

( )

S f x dx

1

( )

S  f x dx

1

( )

S  f x dx

H

2

, 0, 0,

y x y x x

1

0

y k k H

Trang

A. B

C. D

Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường ,

trục hoành

hình vẽ

A B

C D.

Câu Cho hàm số liên tục đoạn cắt trục hồnh điểm (như hình

vẽ) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng Trong khẳng định sau, khẳng định khẳng định đúng?

A B.

C D

Câu *THPT Thăng Long+ Cho hàm số liên tục , đồ thị hàm số hình vẽ Diện tích

3

k k

4

k k

2 y x

1

3

y x

7

56 39

2

11

 

y f x  a b; xc

S

 

y f x , xa xb

  b

a

S  f x dx  d  

c b

a c

S  f x xf x dx  d  

c b

a c

S  f x xf x dx  d  

c b

a c

S f x x f x dx

f x ' y f x

2

y = - 1 3x+

4 3 y = x2

1

4

y

O

Trang

các hình phẳng A, B Biết ,

tính

A. B. C D

Câu *Đặng Thúc Hứa-Lần 2+ Cho đồ thị hàm số đoạn hình vẽ có

diện tích Tính tích

phân

A. B

C D

Câu Cho hai hàm số có đồ thị liên tục Diện tích hình phẳng giới hạn

hai đường thẳng tính cơng thức:

A. B

C D

5 12

8

19

12 f

2 f

11

6

f 2

3

f f f

( ) y f x 0;

1

11

,

6

S S

4

0 ( ) I f x dx

8

I 19

3 I

3

I 19

3 I

 ( ),  ( )

y f x y g x  C1  C2 a b; 

   C1 , C2 x a x b ,     

 

b

a

S f x g x dx        b

a

S f x g x dx

   

 

b b

a a

S f x dx g x dx       b

a

Trang

Câu Cho đồ thị hàm số Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch

hình) là:

A.

B.

C D.

Câu Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường Khẳng định sau đúng?

A. B.

C. D.

Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đường trục Ox tính cơng thức

A. B.

C. D.

Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đường

và

A. B.

 ( ) y f x



0 4

3

( ) ( )

S f x dx f x dx



 4

3

( ) S f x dx



 4

( ) S f x dx



 0 4

3

( ) ( )

S f x dx f x dx

 

–

y x y x

 1 

2 ( 1)

S x dx   

1

0

2 (1 )

S x dx



 1 

1

2 ( 1)

S x dx



 1 

2 (1 )

S x dx

 ,  2

y x y x

   

2

0

2

x x dx    

2

0

2 x x dx

 

 

1 2

0

2

xdx x dx    

2

0

2

xdx x dx

 y x  

2

y x

 

 

1 2

2 x dx 1  2

0

2 x dx

x y

4

Trang

C. D.

Câu 12 (Đề minh họa lần 2, Bộ GD&ĐT) Cho hình thang cong giới hạn

đường , , ,

Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích hình vẽ bên

Tìm để

A B

C D

Câu 13 (Đề minh họa lần 2, Bộ GD&ĐT) Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ

dài trục lớn độ dài trục bé Ông muốn trồng hoa dải đất rộng nhận trục bé

của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa đồng/ Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A đồng B đồng

C đồng D đồng

 

 

1 2

2 x 1dx 1 2 

0

2 x 1dx

 H  x

y e y0 x0 ln

x

 (0 ln 4)

x k k  H

1 S S2

k S1 2S2  2ln

3

k kln

ln8

k kln

16m 10m

8m

100.000 1m2

7.862.000 7.653.000

7.128.000 7.826.000

8m

O

x y

1

S

2

S

Trang Câu 14 (THPT Chuyên Thái Bình, lần

3) Cho hàm số có đồ thị cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ hình vẽ Mệnh đề đúng?

A. B.

C. D.

Câu 15 Cho hàm số liên tục đoạn Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong , trục

hoành,các đường thẳng là:

A B

C D.

Câu 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường trục hoành đường thẳng

A. B.

C. D.

Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số , trục đường thẳng là:

A. B. C. D.

Câu 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 ( ) y f x 

 ( ) y f x

  a b c

 

( ) ( ) ( )

f c f a f b f c( ) f b( ) f a( )

 

( ) ( ) ( )

f a f b f c f b( ) f a( ) f c( )

 

y f x  a b;

 

y f x ,

xa xb  d

b

a

f x x

  d

b

a

f x x



 d a

b

f x x

  d

b

a

f x x 

ln ,

yx x xe

2 Se 

2 1 e S 

1 e S 

2

e S  

2

yx x  Ox x1

2



3

 2

3



3



3

2

Trang 10

A. B. C. D.

Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ; tiệm cận ngang hai đường thẳng

được tính bằng:

A B C D

II TÍNH THỂ TÍCH 1 Thể tích vật thể

Cắt vật thể T hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với trục Ox x = a, x = b (a < b) Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với Ox điểm x (a  x  b) cắt T theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục [a; b] Khi thể tích V phần vật thể T giới hạn hai mặt phẳng (P), (Q) tính theo công thức:

b a

V S x dx( )

2 Thể tích khối lăng trụ

Tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B chiều cao h:

V = B.h

0

2

2 x x

y 



 x3;x e

2

3

2

d e

x x x

 





3

d e

x x







3

Trang 11 3 Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B:

V = 1Bh

4 Thể tích khối chóp cụt

Thể tích khối chóp cụt có chiều cao h và diện tích hai đáy B, B:

V = 1h B BB B 

3   

III THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

1 Thể tích khối trịn xoay tạo hình

thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox

tính cơng thức:

b a

V  f x dx2( )

2 Thể tích khối nón trịn xoay có chiều cao h bán kính đáy R

là: V R h2 3

Trang 12

O x

y

I A

x h

M R

3 Thể tích hình cầu bán kính R là: V R3

3 

VD1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = sinx, trục Ox, x = 0, x =  Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox

Giải: Thể tích khối trịn xoay cần tìm:

2

0 0

1

1

2 2

sin ( os2x)dx = sin

V xdx c x x



    

  

      

 

 

VD2 : Cho hình phẳng giới hạn đường , trục hồnh, trục tung, đường thẳng Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay quanh trục

Giải : Thể tích cần tìm là:

VD3: Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục điểm có hồnh độ

 H yx22x

1

x V

 H  H Ox

 

1

2

0

8

2

15 V  x  x dx 

0

x x3

Trang 13

hình chữ nhật có hai kích thước

Giải: Diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng

vng góc với điểm có hồnh độ ( thiết diện hình chữ nhật)

Thể tích vật thể cần tìm :

Các câu hỏi trắc nghiệm:

Câu Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng , trục Hình quay quanh trục tạo thành vật thể tròn xoay tích Hỏi tính cơng thức sau ?

A. B.

C. D.

Câu Cho hàm số liên tục đoạn

Hình phẳng giới hạn đường quay quanh trục tạo thành khối trịn xoay tích Khẳng định sau đúng?

A B.

C D

0 3

x  x x

2 9x

Ox x S x x.2 9x2

 

0

.2 18

b

a

V S x dxx x dx

 H

:

d y x Ox x3  H Ox

V V

3

0

4

V  x dx

3

0

2

V  x dx

2

0

4

V  x dx

3

0

2

V  xdx 

y f (x) a; b 

  

y f (x), y 0, x a 

x b Ox

V



 b a

V f (x) dx.   b

a

V f (x) dx.2

 b  a

V f (x) dx.2  b

a

Trang 14

Câu Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng , Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng quay quanh trục

A B.

C. D.

Câu Cho hình phẳng giới hạn đường

Khi quay xung quanh trục thu

được khối trịn xoay tích , với phân số

tối giản Khi bao nhiêu?

A. B. C. D.

Câu Cho hình phẳng giới hạn đường

quay xung quanh trục tạo thành khối tròn

xoay tích Tìm

A. B.

C. D.

Câu Cho hình phẳng giới hạn đường , trục Ox hai đường thẳng quay quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay

A B

C D.

 H  

y x 2 y0,x0,x2 V

 H Ox





V

3 V 

8





V . V 2.

 H

  

y 2x x , y2 0  

H Ox

 

   

 

a V

b

a b a.b



a.b 24. a.b15. a.b3. a.b12.

 y x ln x,

 

y 0, x e Ox

 

 

be . a

3

2 a b.

 

a 27; b 5. a26; b6.

 

a 24; b 5. a27; b6.

  

y x

 

x 1; x





V 32

3 V  

4 



V 229

6 V  