Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Chứng minh rằng:... Chứng minh rằng:..[r]

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010) a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3(a + x)(b + y)(c + z) b) Từ suy : 333333 33 2 33

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011) a) Cho số dương a b Chứng minh :

1 1

( )

4 a b  a b

b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn

1 1

2010 xyz  Tìm giá trị lớn biểu thức:

1 1

2 2

P

x y z x y z x y z

  

     

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) a) Chứng minh với x, y > : 2

2

x 2y 3xy y 1 

b) Cho số dương a,b,c với abc = Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2 2

1 1

2 3

M

a b b c c a

  

      .

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 xy, x, y số thực thoả mãn điều kiện: 2013 2013 2 1006 1006

x y  x y .

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:

3

a b c

b c c a a b     

Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y 3.

a) Chứng minh rằngxy y 4

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

3

P

xy y

 

 . Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn

1 1

2 2 x1 2 y1 2 z  . Chứng minh

1 64 xyz 

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)

a) Với

4

3 x < <

, chứng minh 2( )

4 x

x - x ³ .

b) Cho a, b, c ba số dương nhỏ

3 cho a + b + c = Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

3

3 3 3

a b+ -c +b c+ a- +c a+ -b ³ . Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) Với a, b, c số thực dương, chứng minh rằng:

a)

a a

a b a b ;

b) 2

a b c

a b  b c  c a  .

Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z =

Chứng minh  

1 1

2 9xyz 21

x y z

 

    

 

 

Đẳng thức xảy nào?

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a  b c ab bc ca   6abc0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

1 1

P

a b c

  

Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020) Cho , ,a b c số thực dương thỏa mãn ab bc ca   Chứng minh rằng1

2 1 1 1 2

a b  b c  c a   Dấu “=” xảy nào?

Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: F 5x22y2 2xy 4x2y3 Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè

y= x +1 x2+x+1 b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

1

1    

 b

ca a

bc c

ab

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho ba số dương a b, c thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1

2 3

a  b  b  c  c  a  

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh

1 1

2

2 2

ab a   bc b   ca c   Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz  

Chứng minh rằng:

2

2 1 1

1 1   1 1

 y  

x z

xyz

x y z

Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c  4. Tìm giá trị lớn biểu thức P a b b c c a abc3     ab3bc3ca3bca2

Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)

a)Tìm x y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – b)Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc Chứng minh rằng:

     

3 2 2 2

bc ca ab

a c b b a c c b a 

c)Cho ba số thực    , , Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

x y z

M

y z z x x y

  

  

   Với x, y, z > 0.

Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho x, y số thực dương thõa mãn xy = Chứng minh : (x + y + 1)(x2 + y2) +

4

x y  8 Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho số x, y ,z>0 thỏa điều kiện x+ y+ z=1

Tìm giá trị lớn biểu thức: P=

x x+1+

y y+1+

z z+1

Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng:

2 2

1 1 1 1

2

x yz y xz z xy xy yz zx

 

      

Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018)

a)Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c2 22 ab + bc + ca  p, q, r ba số thỏa mãn p + q + r = Chứng minh rằng: apq + bqr + crp  0.

b)Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =   

2

a + b + a + b + a + b Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b31 b c31 c a31 5

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho x, y số thực thỏa mãn x y 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

   

4 3

P 2x x 2y 1 y 2x 1 2y

Bài 28: ( HSG TĨNH GIA – THANH HểA NM HC 2013 2014) Cho số x,y,z thoả mÃnx+y+z =1

Tìm giá trị bé biểu thøc : M =

2 2 2

x xy y  y yz z  z zx x Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3 Chứng minh rằng: 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)

a) Cho a, b hai số thực , x, y hai số thực dương. Chứng minh rằng:

 2

2 a b

a b

x y x y



 

 .

b) Cho x, y hai số thực dương cho x + y = 1. Chứng minh rằng: 2

4

1

x y

x  y 

  .

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:

3 4

a b c a b c

b c a a b b c c a

 

       

  

 

Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010) Cho số dương a b c, , Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 a b b c c a

a b c ab bc ca

  

    

Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)

2 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NM HC 2008 2009)

Các số thực x,y,z thoả mÃn: x4 + y4 + z4 = Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc :

P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x)

Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011) Cho a, b, c > vµ abc =

Chøng minh r»ng            

  

     

3 3

a b c

1 b c c a a b Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013)

Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+ y+ z=1 .Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

F= x

4

(x2+y2) ( x + y )+

y4

(y2+z2) ( y + z )+

z4

(z2+x2) ( z + x )

Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015) Cho a,b   thỏa mãn:

9 (2 )(1 )

2

a b

  

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 16a4 4 1b4 Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

2

( 1)

( 1)

x y xy y x

A

xy y x x y

   

 

    (Với x; y số thực dương). Bài 39: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab6bc2ac7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức

4 9 4

2 4

ab ac bc

C

a b a c b c

  

  

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz   Tìm giá trị lớn biểu thức:

1 1

4 3

M

x y z x y z x y z

  

      .

Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017) Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a2 b2 c2  3

Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

a 3ab b b 3bc c c 3ca a

3

6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

     

  

      .

Cho số thực dương , ,x y z thỏa mãn xy yz xz  

Chứng minh bất đẳng thức

2 2

3 3

8 8

x y z

x   y   z   .

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017) Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng:

     

3 3

3 3

3 3

a b c

1 a  b c  b  c a  c  a b 

Bài 44: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010) Cho hai số a, b thoả mÃn a1; b , tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa tỉng:

1

A a b

a b

   

Bài 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho m số cố định, x y số thay đổi Tìm giá trị nhỏ của:

2

( 1) (2 4)

P x y  x my 

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011) a) Cho x > 0, y > 0, z >

1 1 1 4 x  y  z  .

Chứng minh rằng:

  

   

1 1 1

1 2x + y + z x 2y z x y 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x2011 y2011 z2011 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: Mx2 y2 z2

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4x+3 A

x 1 



Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012) Cho a > 0, b > a + b ¿1 Tìm GTNN biểu thức A = a

2+b2 +

a2+ b2

Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho , ,a b c  thỏa mãn0 a b c   Chứng minh rằng: 3 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017)

2 2

2a b c

P

1 a 1 b 1 c

  

   .

Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4 4

a b c

P

a b b c c a

     

     

  

     

Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014) Cho {

a,b,c>0

a+2b+3c≥10 , chứng minh : a+b +c +4 a3 + 9 8 b+

1

c≥

13 2

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

19 19 19

1 1

a b c

T

b c a

  

  

  

Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2 2

2 2 2

P a ab b  b bc c  c ca a Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho , , a b c độ dài ba cạnh tam giác thỏa hệ thức a b c   Chứng1 minh

2 2 a b c 

Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh

1 1 1 1 1

a b c b c a c a b         a b c

Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015) Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện: x y 6 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

6 8 P 3x 2y

x y

   

Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

1 1 1 2

a b 4 c b 4 a c 43

Chứng minh rằng:

3 ab bc ca

4

  

Chứng minh rằng: 2

1

2019 2019 2019

x x x

x  yz  y  zx z  xy x y z  Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Tìm GTLN yx x .

Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho ba số thực khơng âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= √2x2+3 xy+2 y2+√2 y2+3 yz+2z2+√2 z2+3 zx+2 x2

Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè x, y, z có tổng số không âm

3 3

x y z 3xyz

b) Cho m, n số thỏa mÃn điều kiện

1 mn

2

Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc

2 2

2 2

m n m n

P

m n m n



 



Bài 63: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiÖn: xy + yz + zx = 670 Chøng minh r»ng

2 2

1

2010 2010 2010

x y z

x  yz y  zx z  xy x y z  Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a,b,c số thực dương CMR: 3 2a

ab bc ca a b c

a b c b c c a b

 

  

     

Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho số thực dương , ,x y z thỏa mãn x y z  

Chứng minh

2 2 2 2 2

2 2

4

4 4

x y z y z x z x y

xyz

yz zx xy

     

  

  

Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2=3 Chứng minh

x

3

√yz+ y

3

√xz+ z

3

√xy≥xy+ yz+xz

Bài 67: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho số thực phân biệt a,b,c Chứng minh rằng

(a2+b2+c2)( (a−b)2+

1 (b−c )2+

1 (c−a )2)≥

Chứng minh   2

3 3

9 a b b c c a a b c

a ab b bc c ca

  

 

      

  

  với a b c, , độ dài ba cạnh một tam giác

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn

1 1 1 1

a b c 

Chứng minh rằng:             1

1 1 1 1 1 1

8

a b c  a b c

.

Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho a b, 0 thỏa mãn a b Tìm giá trị lớn biểu thức sau:

 

 

1 1

M

a b b a

Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho ba số thực dương thỏa mãn x y z xyz   

Chứng minh rằng: x y z xy      yz zx

Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng: a3

b + b3

c + c3

a≥ab+bc +ca Đẳng thức xảy nào?

Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.

Chứng minh abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥

Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho ba số thực , ,a b c thỏa , ,a b c Chứng minh :

a b c a c b

b c a  c b a  

Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3+ y3 Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a,b,c số dương thoả mãn

1 1

2

1 a b c      Tìm giá trị lớn nhất

của Q=abc

Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho a b c , , 0 Chứng minh

a b c

Chøng minh r»ng:

21.(a + 1

b ) + 3.(b +

1

a )  80 víi a  3, b 

Dấu xảy ?

Bi 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a , b hai số dương thỏa mãn a + b =

Tìm giá trị nhỏ biểu thức T =

2

2

1 1

a b

a b a b

   

      

   

Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho x + y = CMR :x5 + y5 ≥ 2.

Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c Biết P(x) > với x thuộc R a > 0.

Chứng minh rằng:

5

1

a b c

a b c  

  

Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a R thỏa mãn a5 – a3 + a = Chứng minh : < a6 < 4 Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn: a2b2  b2c2  c2a2  2011 Chứng minh rằng:

2 2

1 2011

2

a b c

b c c a a b     

Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y =

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3

1

B

xy x y

 

 .

Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn 2

2 a b c a b 6.

b a b a

   

   

   

    Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

4 .

(2 ) (2 ) ( )

bc ca ab

P

a b c b a c c a b

  

  

Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho số thực a b c, , thỏa mãn : 0a b c, , 2 a b c  5 Tìm giá trị nhỏ của

biểu thức : A a b c.

Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng

2

2

xz y x z

y yz xz yz x z 

  

Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y z   1

Tìm giá trị lớn biểu thức:       3

2 x y

P

x yz y xz z xy 

  

Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho số thực dương x, y thỏa điều kiện

2y

x 1

1 x y    Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy2

Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P =

ab bc ca

cab  abc  bca

Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)

Cho số thực dương a b c, , thoả mãn abc 2.Chứng minh rằng a3b3c3a b c b c a c a b     .

Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng2

3 3

a b c a b c b c a c a b     Dấu đẳng thức xảy nào?

Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010) Chứng minh rằng:

 2

3

1 1

( )( )( )

2

a b c abc

a b b c c a abc a b b c c a

  

   

      với , ,a b c 0 Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 4 8

2 2 3

a c b c

P

a b c a b c a b c



  

      .

Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012) Cho , , , a b c d số thực thỏa mãn điều kiện:

2012

abc bcd cda dab a b c d        Chứng minh rằng:

a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 2012

    

a) 2

a b c

b c c  a a  b .

b)

     

2 2 2

2 2

3 6

a b c b c a c a b

a b c

b c c a a b

  

    

   .

Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)

Cho biểu thức M = a2 + b2 biết a b nghiệm phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18

Tìm giá trị a b để : a) M đạt giá trị lớn b) M đạt giá trị nhỏ

Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007) Cho ≤ m ≤ ≤ n ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 3

(m n) A

m n

 



Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)