[Toán] Kỹ thuật casio giả toán nguyên hàm

Minh Nguyệt đã giải được bài toán và tìm ra đáp án chính xác 25 m   , rất tốt về mặt kết quả nhưng về mặt thời gian tính lại hơi lâu... Vậy đáp án A là sai.[r]

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL

BÀI 18 TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1) MỞ ĐẦU VỀ NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Hơm nhận câu hỏi thầy Bình Kami, câu hỏi tính quãng đường vật chuyển động thẳng biến đổi đều, câu hỏi xuất đề thi minh họa BGD-ĐT năm 2017

[Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô chạy với vận tốc 10



m s/



người lái đạp phanh , từ thời điểm , ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t

 

2 10t



m s/



, t khoảng thời gian tính giây , kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ?

A 15 m B 20 m C 25 m D.

40 m

Xem nào, xe dừng lại vận tốc hay 02 10t thời gian xe di chuyển thêm được 5( )s Vậy quãng đường s v t 10.5 50

 

m mà xe chạy chậm dần phải nhỏ hơn 50 m

 

, 40 m

 

phải không ?

Để chắn, có lẽ phải lập bảng mơ tả quãng đường : Mốc 0 Hết giây thứ

1

Hết giây thứ 2

Hết giây thứ 3

Hết giây thứ 4

Hết giây thứ 5

Vận tốc 10 8 6 4 2

Quãng đường 9 7 5 3 1

Như tổng quãng đường xe vận tốc giảm đến 25 m    

 

Cách tin cậy nhiều, thời gian đến phút !!! Vậy cách nhanh khơng ?

Thầy BìnhKami e làm

Minh Nguyệt giải tốn tìm đáp án xác25 m

 

, tốt mặt kết mặt thời gian tính lại lâu Bài ta hoàn thành thời gian 20 s

 

nhờ cơng cụ gọi tích phân





 

5

0

2 10 25

S 



 t dt m Ta bấm máy tính sau :

Khởi động chức tính tích phân : y

Nhập biểu thức cần tính tích phân nhấn nút = (p2Q)+10)R0E5=

Thầy BìnhKami, Tích phân cơng cụ mà hay ???

Tích phân cơng cụ tuyệt vời mà tốn học tạo , sử dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc vật thể tính diện tích hình phức tạp ví dụ hình trịn, hình tam giác, hình e líp … cịn có cơng thức diện tích mặt ao hồ hình thù phức tạp có tích phân xử lý được, tính thể tích khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp lại phải nhờ đến tích phân

Tích phân đại nhà tốn học Anh Isac Newton nhà tốn học Pháp Laibơnit cơng bố khoảng cuối kỉ 17 người đặt móng cho hình thành phát triển Tích phân nhà toán học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-si-met

Tích phân chia làm dạng : Tích phân bất định (không cận) thường biết tới tên Nguyên hàm Tích phân xác định (có cận) thường biết đến với tên Tích phân mà e học học kì lớp 12

2) CÁCH TÍNH NGUN HÀM

 Xây dựng cơng thức tính nguyên hàm : Ta có

 

5

' x  x

ta nói ngun hàm 5x4 x5 kí hiệu

4

5x dx x C



Tương tự



sinx



' cos x ta nói nguyên hàm cos x sin x, kí hiệu cosxdxsinx C



Tổng quát :



f x dx F x

 



 

C F x'

 

f x

 

VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số

 

2 x

F x e

nguyên hàm hàm số : A f x

 

e2x B f x

 

2 x e2x C

 

2

2

x

e f x

x 

D.

 

x2 1

f x x e 

GIẢI

Thưa thầy, e làm !

 Đầu tiên e tính đạo hàm F x

 

, F x

 

hàm hợp e nên em áp dụng công thức

 

' '

u u

e e u  Khi :

 

 

 

2 2

' x ' x ' x

F x  e e x  x e

 Vậy F x

 

nguyên hàm hàm hàm

 

2

2 x

f x  x e ta chọn đáp án B ạ. VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm hàm số y x e 2x :

A 2e2x



x 2



C B

1

2

x

e x C

 

C

2

2

2

x

e x C

  D





2

2

x

e x C

Thưa thầy, thử , với đáp án A F x

 

2e2x



x 2



Nhưng việc tính đạo hàm F x

 

2e2x



x  2



thì e thấy khó q , e quên công thức !!

Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều bị quên công thức đạo hàm hay thân chưa học phần ?? Thầy cho e thủ thuật Casio để e quên công thức đáp án :

 Ta biết F x'

 

f x( )việc với x thuộc tập xác định  Vậy với x 1 chẳng hạn Khi F' 1

 

f

 

1

 Tính giá trị f

 

1 7,3890 Q)QK^2Q)r1=

 Tính đạo hàm F' 1

 

với đáp án , đáp án A

 





2 x

F x  e x

qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1=

Vậy ta kết F' 1

 

14.7781 kết khác với f

 

1  Đáp án A sai

 Tính đạo hàm F' 1

 

đáp án B với

 

2

x

F x  e x 

 

qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$)$1=

Ta thu kết giống hệt f x

 

F x'

 

f x

 

hay

 

1

2

x

F x  e x    nguyên hàm f x

 

 Đáp án B đáp án xác

 Bình luận :

 Nếu F x

 

nguyên hàm f x

 

F x

 

C nguyên hàm hàm

 

f x



F x

 

C



'F x'

 

C'F x'

 

 0 F x'

 

f x

 

 Việc sử dụng Casio dể tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích với phức tạp, áp dụng nhiều cơng thức tính đạo hàm lúc , tránh nhầm lẫn việc tính tốn !!

A



 









 

2

2

3

f x dx x x C

B



 









 

1

2

3

f x dx x x C

C



 

  

1

2

3

f x dx x C

D



 

  

1

2

2

f x dx x C

GIẢI

 Cách : CASIO

 Nhắc lại lần công thức quan trọng Nếu F x

 

nguyên hàm f x

 

F x'

 

f x

 

Khi ta chọn giá trị x a thuộc tập xác định F a

 

f a

 

 Chọn giá trị x 2 chẳng hạn (thỏa điều kiện

1

2 x   x

) Khi f

 

2 1,732

s2Q)p1r2=n

 Theo quy trình ta chọn đáp án F x

 

đáp án A, B, C, D đáp án thảo mãn F' 2

 

f

 

2 1, 732

Thử với đáp án A

 





2

F x  x x qya2R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2=

Vậy F' 2

 

3, 4641 giá trị khác f

 

2 1,732 điều có nghĩa điều kiện

 

 

'

F x f x

không đáp ứng Vậy đáp án A sai  Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B Khi

 





1

2

3

F x  x x qya1R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2=

Ta F' 2

 

1,732 giống hệt f

 

2 1,732 có nghĩa điều kiện

 

 

'

F x f x

thỏa mãn Vậy đáp án xác B

 Cách tham khảo : Tự luận

 Dựa vào đặc điểm hàm f x

 

ta thấy 2x 1 mặt chất có dạng



2x 1



12

Ta nghĩ đến công thức đạo hàm

 

1 ' '

n n

+)Trong công thức đạo hàm số mũ u bị giảm Vậy hàm F x

 

có số mũ

lớn hàm f x

 

đơn vị Vậy F x

 

phải có số mũ

+)Vậy có đáp án A B thỏa mãn









2x1 2x1 2x1

 Ta thực phép đạo hàm







 



3

2

2 ' 2 ' 2

x x x x

 

     

 

 

 Cân hệ số ta





3

2 '

3 x x

 

  

 

  Điều có nghĩa nguyên hàm

 

1



2 1



32 1



2 1



3

F x  x  x x

 B đáp án đúng.

 Bình luận :

 Nếu có chút kiến thức đạo hàm việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án nhẹ nhàng Chúng ta việc thử với đáp án A B đáp án có số mũ

3

 Điều đặc biệt dạng số mũ nguyên hàm F x

 

lúc lớn số mũ hàm số f x

 

đơn vị

+) Chúng ta áp dụng cách linh hoạt Ví dụ tìm ngun hàm hàm số

m y

x



vơ đơn giản Ta thấy

1

y m x



mặt chất

x x

mũ 

chắn nguyên hàm phải x mũ

1

1

2

  

x +) Ta xét đạo hàm gốc

 

1 '

2

x

x



(*) Việc lại cân hệ số, để tạo thành

m

x ta nhân vế (*) với 2m xong Khi



2



'

m m x

x



Thật đơn giản phải không !!

VD4- Một nguyên hàm hàm số

 

2 3 2

x x

f x

x

  

: A 2x23x lnx B  

2

3 ln

2

x x

x

C

3 2ln

x

x x

  

D



2

x x

x

GIẢI

 Cách : CASIO

 Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định



x 0



x 5 Khi f

 

5 7.6

 Với đáp án C ta có

 

3 2ln

2

x

F x   x x

có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5=

Ta F' 5

 

7.6f

 

5 Vậy đáp án C đáp án xác.

 Cách tham khảo : Tự luận

 Hàm

 

2 3 2

x x

f x

x

 



có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ với bậc tử bậc lớn bậc mẫu bậc

 Phương pháp giải : Thực phép chia tử số cho mẫu số ta được:

 

2 f x x

x   

Khi hàm số trở thành dạng đơn giản ta dễ dàng tìm nguyên hàm +) Có

2

3 '

2

x

x x

 

  

 

 

2

x x



nguyên hàm x 3 +) Có





1 lnx '

x 

Cân hệ số ta có :





2 lnx '

x

 

2ln x nguyên hàm

2 x 

Tổng kết

2 2 3 2

3 2ln '

2

x x x

x x x

x x

   

     

 

 

Hay

3 2ln

x

x x

 

nguyên hàm cần tìm

3 2ln

2

x

x x

  

cũng nguyên hàm

 Cân hệ số ta





32

2 '

3 x x

 

  

 

  Điều có nghĩa nguyên hàm

 

1



2 1



32 1



2 1



3

F x  x  x x

 B đáp án đúng.

 Bình luận :

 Tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ dạng toán hay biết nguyên tắc tư duy, khó khăn

 Ta phải nhớ này, phân thức hữu tỉ có bậc tử lớn bậc mẫu thì ta thực phép chia tử số cho mẫu số thu hàm số dễ tính ngun hàm

VD5 - Nguyên hàm hàm số

 

4 f x

x 

 :

A ln



x 2



 ln



x2



C B 2 ln



x 2



ln



x2



C C

2 ln

2 x

C x

 

 D

  

2 ln

2

x

C x

GIẢI

 Cách : CASIO

 Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định



x 0



x 5 Khi f

 

5 7.6

aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n

 Với đáp án C ta có

 

3 2ln

2

x

F x   x x

có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5=

Ta F' 5

 

7.6f

 

5 Vậy đáp án C đáp án xác.

 Cách tham khảo : Tự luận

 Hàm

 

4 f x

x 

 có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích thành nhân tử

 Phương pháp giải : Chia phân thức phức tạp ban đầu thành phân thức phức tạp

+) Có



 



4

4 2

x   x x

+) Ta tách phân thức lớn thành phân thức nhỏ đơn giản :

4 1

4 m n

x   x  x

+) Để tách ta lại dùng phương pháp hệ số số bất định:











 



2

2

4 1

4 2 2

m x n x

m n

x x x x x x

  

   

     









4 m x n x

      0x 4 x m n







2m 2n

0

4 2

m n m

m n n

  

 

   

  

 

Vậy

4 1

4 2

 Thành công việc đưa phân số đơn giản, ta nhớ đến công thức



lnx



' 1, ln



u



'u

x u

 

Dễ dàng áp dụng :









ln ' '

2

x x

x x

   

 

   









1

ln ' '

2

x x

x x

   

 

   

Tổng hợp









1

ln ln '

2

x x

x x

    

 

   

2

ln '

2

x

x x

  

 

 

 

 

Vậy nguyên hàm f x

 

 

2 ln

2 x

F x C

x 

 



 Bình luận :

 Qua ví dụ thấy hữu hiệu phương pháp hệ số bất định, phân số phức tạp chia thành phân số đơn giản

 Về ngun tắc tích phân hàm phân thức chia thành hàng chục phân số đơn giản trương trình học THPT chia làm phân thức Chúng ta theo dõi phép chia sau :











 

 



2 2

3 2

4 5

2 2 1 1

x x x x x x m n p

x x x x x x x x x x x

     

    

          

 Tử số vế trái = Tử số vế phải













2 2

4x 5x m x n x x p x 3x

          

4

5

1

m n p m

n p n

m p n

   

 

 

      

    

 

Cuối ta thu :

3

4 1

2 2 1

x x

x x x x x x

 

  

     

Và ta dễ tính nguyên hàm

1

2 1

x  x  x là













ln x 2ln x1 ln x1 C

Thật hiệu phải không !!

VD6-[Báo toán học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm hàm số f x

 

sin cosx x tập số thực là:

A

1 cos

4 x C B

1 cos

4 x C

 

C sin cosx x D.

1 sin

4 x C

 

GIẢI

 Cách : CASIO

 Chuyển máy tính Casio chế độ Radian (khi làm toán liên quan đến lượng giác)

qw4

 Khi giá trị f x

 

x

0, 4330

f     jQ))kQ))rqKP6=n

 Theo đáp án A

 

cos

F x  x

Nếu đáp án A '

6

F f  

    Ta tính

được F

 

2 0, 4430 giá trị khác f 

  Vậy đáp án A sai qya1R4$k2Q))$aqKR6=

 Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. qypa1R4$k2Q))$aqKR6=

Ta F' 0, 4430 f

 

   

 

   

    Vậy đáp án xác B

 Cách tham khảo : Tự luận

 Dễ thấy cụm sin cosx x quen thuộc ta nhớ đến cơng thức có nhân đơi : sin 2x2sin cosx x

 Từ ta rút gọn

 

sin 2

f x  x

 Cái đạo hàm sin cos!! Ta nhớ đến công thức :



cosu



'u'.sinu Áp dụng



cos 'x



sin 'x



x



2sin 2x

Cân hệ số cách chia vế cho 4 ta :

1

cos ' sin

4 x x

 

 

 

 

 Từ ta biết

 

cos

F x  x

 Bình luận :

 Khi sử dụng máy tính Casio để làm tập liên quan đến hàm lượng giác ta nên đổi sang chế độ Radian để phép tính đạt độ chuẩn xác cao

Ta thiết lập quan hệ





sin x ' 2sin cos x x hay

2

sin ' sin cos

2 x x x

 



 

 

Vậy ta biết

 

2

sin

F x  x

nhiên so sánh đáp án lại khơng có đáp án giống Vậy ta tiếp tục biến đổi chút

2

1 1 cos 1

sin cos

2 2 4

x

x   x  F x

 

cos x 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm sin cos x dx x



:

A tan x C2  B 

1 tan

3 x C C 3 tan x C3  D.



3

1 tan

3 x C

Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số f x 

 

2016x :

A 

2016 ln 2016

x

C

B 2016 ln 2016x 

C

C  

.2016 ln 2016x

x C D

  2016 ln 2016 x x C

Bài 3-[THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017] Hàm số sau khơng phải nguyên hàm hàm số

 









2 x x f x x    : A    1 x x x B    1 x x x C    1 x x

x D 

2

1

x x

Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm hàm số

2

x x dc

x        



A   

3 3ln 3 x

x x C

B   

3 3ln 3 x

x x C

C   

3 3ln 3 x

x x C

D   

3 3ln 3 x

x x C

Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn nguyên hàm : A   



1 x x dx

x B



  

2 2 2

x x dx

C



sin 3xdx D



e dx3x Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017]

ln x dx x

A







1

2 ln x C B







3

2 ln

3 x C C



2 lnx C D.





3 

ln

2 x C

Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm hàm số

 

x



1 2017 2x



f x e e

 

:

A 

2017 

x x

e e C B 

 2017 

x x

e e C

C



2017 

2

x x

e e C

D  

2017

x x

e e C

Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm 2

2

x

dx x x

  



:

A    

2

ln ln

3 x x C B     

2

ln ln

3 x x C

C    

2

ln ln

3 x x C D     

1

ln ln

3 x x C

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm

2 sin cos

x dx x



: A 

tan x C B 

1 tan

3 x C C 

3 tan x C D.



3

1 tan

3 x C

GIẢI  Cách : CASIO

 Chọn chế độ Radian cho máy tính Casio chọn giá trị x

chẳng hạn  Ta có

 

2 sin cos

x f x

x



4

6

F    qw4ajQ))dRkQ))^4rqKP6=

 Tính đạo hàm

 

3

tan

F x  x

x  

ta

 

 

0, 44

9

F x  

qya1R3$lQ))^3$$aqKR6=

 Vậy

 

 

'

9 F x f x 

 Cách tham khảo : Tự luận

 Biến đổi

2

4

sin

tan

cos cos

x

x

x  x

 Theo công thức đạo hàm

 

1 ' '

n n

u n u  u 

Với utanx n 3 Ta có





3

2 tan ' 3.tan

cos

x x

x 

3

2

1

tan ' tan

3 x x cos x

 

  

  Vậy

 

3

tan

F x  x

nguyên hàm

3

tan

3 x C

 

họ nguyên hàm cần tìm

Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số

 

2016

x

f x 

: A 

2016 ln 2016

x

C

B 2016 ln 2016x C

C 2016 ln 2016x 

x C D





1

.2016 ln 2016

x

x

C

GIẢI  Cách : CASIO

 Chọn giá trị x 2 chẳng hạn  Ta có

 

2016

x

f x 

F

 

2 4064256 2016^Q)r2=

 Tính đạo hàm

 

2016 ln 2016

x

F x 

2 ta F' 2

 

4064256 qya2016^Q)Rh2016)$$2=

 Vậy F x'

 

f x

 

4064256  A đáp án xác

 Cách tham khảo : Tự luận

 Theo công thức đạo hàm

 

' ln

x x

a a x

Với a 2016 Ta có





2016

2016 ' 2016 ln 2016 ' 2016 ln 2016

x

x  x    x

 

  Vậy

 

2016 ln 2016

x

F x 

nguyên hàm

2016 ln 2016

x

C

 

họ nguyên hàm cần tìm

Bài 3-[THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017] Hàm số sau nguyên hàm hàm số

 









2

x x f x

x

 

A    1 x x x B    1 x x x C    1 x x

x D 

2

1

x x

GIẢI  Cách : CASIO

 Chọn giá trị x 2 chẳng hạn

 Ta có

 









2 x x f x x   

 

9

f 

aQ)(Q)+2)R(Q)+1)dr2=

 Tính đạo hàm

 

2 1 x x F x x   

 2 ta

 

 

10 ' 1.11

9

F  

qyaQ)d+Q)p1RQ)+1$$2=

 Vậy F x'

 

f x

 



 

2 1 x x F x x   

 nguyên hàm f x

 

 A đáp án xác

 Cách tham khảo : Tự luận

 Biến đổi





















2

2 2

2 1

1

1 1

x x x

x x x

  

  

  

 Theo công thức đạo hàm

2

1

' 'u

u u

  

  

  Với u x 1

Ta có





2 1 ' 1 x x         

x '





2 1 ' 1 x x x            





2

1 ( 2)

'

1

x x x x

x x

    

   

 

 

Vậy

 

2 1 x x F x x   

 nguyên hàm Đáp số C đúng



2 1

( )

1 x x F x x    

 nguyên hàm Đáp số B đúng



2 ( )

1

x F x

x

 

 nguyên hàm Đáp số D đúng

Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm ngun hàm hàm số 2

x x dc

x        



A   

3 3ln 3 x

x x C

B   

3 3ln 3 x

C   

3

3

4 3ln

3

x

x x C

D   

3

3

4 3ln

3

x

x x C

GIẢI  Cách : CASIO

 Chọn giá trị x 2 chẳng hạn  Ta có

 

2 2

f x x x

x   

 

11 2

2

f  

Q)d+a3RQ)$p2sQ)r2=

 Tính đạo hàm

 

3 3ln

3

x

F x   x x

ta

 

11 ' 2.6715

2

F   

qyaQ)^3R3$+3hQ))pa4R3$sQ)^3$$$2=

 Vậy

 

 

11 '

2 F x f x  



 

3

3 3ln

3

x

F x   x x

nguyên hàm f x

 

 C đáp án xác

 Cách tham khảo : Tự luận

 Theo công thức đạo hàm





lnx '

x





3lnx



' x

 

 Theo công thức

 

1 '

n n

x n x  

với n 

3

3 ' 3. ' 2 ' 2

2 3

x x x x x x

     

         

 

   

 Vậy

 

    

 

 

3

3

4

3ln '

3

x

x x x x

x hay

 

3

3 3ln

3

x

F x   x x

là nguyên hàm Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn nguyên hàm :

A

 





2 1

1

x x

dx

x B



  

2

2

x x dx

C



sin 3xdx D



e dx3x

GIẢI  Cách : CASIO

 Chọn giá trị x 2 chẳng hạn  Ta có

 

2 2 2

f x   x  x

Vậy hàm số đáp số C không tồn

 Cách tham khảo : Tự luận

 Dễ thấy





2

2 2 2 1 1 0

x x x

      

với giá trị x R  Vậy  x22x không tồn

Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017]

ln x dx x



:

A







1

2 ln x C B







3

2 ln

3 x C C



2 lnx C D.





3 

ln

2 x C

GIẢI  Cách : CASIO

 Chọn giá trị x 2chẳng hạn  Ta có

 

ln x f x

x 

f

 

2 0.4162 ashQ))RQ)r2=

 Tính đạo hàm

 





ln

F x  x

2 ta F' 2

 

0.4612 qya2R3$shQ))^3$$$2=

 Vậy F x'

 

f x

 

0.4162 

 





ln

F x  x

nguyên hàm f x

 

 B đáp án xác

 Cách tham khảo : Tự luận

 Theo công thức

 

1 ' '

n n

u n u  u 

với ulnx





3

3

2 2 2 ln

ln ' ln ' ln ln '

2 3

x

x x x x x

x x x

     

           

 

   

 Vậy





3

2 ln

ln '

x x

x

 



 

  hay

 





3

ln

F x  x

là nguyên hàm

Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm hàm số

 

x



1 2017 2x



f x e e

 

:

A 

2017 

x x

e e C B 

 2017 

x x

e e C

C



2017 

2

x x

e e C

D  

2017

x x

e e C

 Cách : CASIO

 Chọn giá trị x 2 chẳng hạn

 Ta có

 





2 2017

x x

f x e e

 

f

 

2 265.5822 QK^Q)$(1p2017QK^p2Q)$)r2=

 Tính đạo hàm

 

2017

x x

F x e e

 

ta F' 2

 

265.5822 qyQK^Q)$+2017QK^pQ)$$2=

 Vậy F x'

 

f x

 

265.5822 

 

2017

x x

F x e e

 

nguyên hàm f x

 

 A đáp án xác

 Cách tham khảo : Tự luận

 Biến đổi





1 2017 2017

x x x x

e e e e

  

 Theo công thức

 

'

x x

e e







2017



2017

x x x x

e e e e

   

Vậy





 

2017 '  2017

x x x x

e e e e

hay

 





2

2017 2017

x x x x

F x e e e e

   

là nguyên hàm

Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm 2

2

x

dx x x

  



:

A    

2

ln ln

3 x x C B     

2

ln ln

3 x x C

C    

2

ln ln

3 x x C D     

1

ln ln

3 x x C

GIẢI  Cách : CASIO

 Chọn giá trị x 2chẳng hạn  Ta có

 

2

2

x f x

x x  

 

 

5

f 

a2Q)+3R2Q)dpQ)p1r2=

 Tính đạo hàm

 

2

ln ln

3

F x  x  x

ta

 

7 ' 1.4

5

F  

 Vậy

 

 

'

5 F x f x 



 

2

ln ln

3

F x  x  x

nguyên hàm f x

 

 B đáp án xác

 Cách tham khảo : Tự luận

 Vì mẫu số tách thành nhân tử :



 



2x  x1 x1 2x1

nên ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để tách phân số :









2

2 1

1

2 1

x

m n x m x n x

x x x x



       

   





5

2 3

2

3

3

m m n

x m n x m n

m n

n

    

 

         

 

  

  Vậy ta tách

2

2 3

x

x x x x



 

   

 Theo công thức





lnu ' 'u

u

        

 

 

2 5

ln ln '

3 x x 3x 2x



 





3

ln

F x  x