Bài toán tĩnh và động của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp

Nghiên cứu hiện tượng mất ổn định khí động dẫn tới nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình Van der pol với hệ số phụ thuộc vào tần số của lực kích động và có giá trị[r]

DẠỈ n ọ c QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

* * *

BÀI TOÁN TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA MÔI TRỪỜNG ĐÀN - DẺO

CHỊU TẢI PHỨC TẠP

M ã số: Q T - 02 - 02

T P U S G Ĩ A V 'i i i Í Á i t : í i l ự 7! ẼM Ko 0T U ầ ?

CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI P G S.T S Đ À O V Ă N D Ũ N G CÁN B ộ THAM GIA GS TSK H Đ À O H U Y BÍC H

A BÁO CÁO KẾT QUẢ THƯC HIỆN ĐE t i

NĂM 2002 2003

1 Tên đề tài:

"Bài tốn ữnh động mơi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp" (Static and dynamic problems in elastoplastic media subjected

to complex loading processes) Mã số: QT - 02 - 02 2 Chủ trì đề tài: PGS.TS ĐÀO VÃN DŨNG

3 Cán tham gia: GS TSKH ĐÀO HUY BÍCH, trường ĐHKHTN 4 M ục tiêu nội dung nghiên cứu:

Trong thực tế người ta thấy nhiều kết cấu bị khả làm việc không phải không đủ độ bền mà bị ổn định mạc dù thời gian làm việc chúng chưa nhiều Do nghiên cứu vấn đề ổn định kết cấu thành mỏng nhiều tác giả nước quan tâm.

Đặc biệt vấn đề ổn định vỏ mỏng đàn - dẻo chịu tải phức tạp cịn có cơng trình nghiên cứu Do đề tài nhằm giải tốn sau đây:

* Ơn định đàn dẻo vỏ trịn xoay.

* Ơn định mảnh vỏ trụ trịn theo lý thuyết q trình đàn dẻo.

* Ôn định đàn dẻo vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp với điểu kiện biên động học khác nhau.

* Các tính toán số cho số toán ổn định.

* Cách tìm nghiệm tính chất nghiệm phương trình Matchie.

* ứng dụng phương trình Van der Pol để nghiên cứu tượng ổn định khí động.

5 Các kết đạt được.

a) B ài tốn ổn định vỏ trịn xoay: Bài toán ổn định vỏ đàn hồi tròn xoay nghiên cứu, nhiên với vỏ đàn - dẻo cịn quan tâm Vì cỏng trình tác giả sử dụng lý thiiyết trình đàn - dẻo dể thiết lập hệ thức cho toán ổn định vỏ tròn xoay

đàn - dẻo chịu tải phức tạp Đã khảo sát tốn ổn định trịn vỏ cầu Từ biểu thức lực tới hạn nhận lại kết Timoshenco Hutchinson cho vỏ đàn hồi Phương pháp đề xuất phù hợp, khoa học có độ tin cậy cao.

b) Vê' vấn đ ề ổn định mảnh vỏ trụ tròn đàn - dẻo.

Trong báo, tác giả dựa tiêu chuẩn rẽ nhánh trạng thái cân và phương pháp Bubnop - Galerkin nghiên cứu hai vấn đề sau đây:

* Thiết lập hệ phương trình ổn định mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu nén dọc theo đường sinh, giải toán, đưa hệ thức chung lực tới hạn đồng thời phân tích chi tiết trường hợp riêng cho phép nhận kết cụ thể hơn.

* Giải toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt phương pháp Bubnop - Galerkin, dẫn hệ phương trình đại số Am Từ nghiên cứu lực tới hạn gần thứ nhất, thứ hai thứ ba.

c) Về ổn định mảnh vỏ trụ đàn dẻo chịu tải phức tạp với liên kết biên tựa lề liên kết biên ngàn.

* Đã xây dựng hệ phương trình ổn định.

* Giải toán phương pháp Bubnov - Galerkin. * Xây dựng hệ thức tìm lực tới hạn cho mảnh trụ dài.

d) Phương pháp s ố cho toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt: Trong cơng trình tác giả sử dụng cơng cụ máy tính để tính tốn bằng số cho số dạng kết cấu cụ thể mảnh vỏ trụ thép 30XTCA Đã nhận bảng số liệu tính tốn, từ đưa nhận xét Kết khá phù hợp với tính chất học kết cấu.

e) Cách tìm nghiệm tính chất nghiệm phương trình Matchie. * Khảo sát xem trường hợp phương trình Matchie có nghiệm đúng. * Trường hợp khơng có nghiệm cách tìm nghiệm gần đúng. f ) ứng dụng phương trình Var der pol đ ể nghiên cứu tượng ổn định khí động.

* Sử dụng phương pháp tựa cân điều hoà để nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình.

* Tương tác yếu tố phi tuyến yếu tố cưỡng bức. * Điều kiên ổn định khí động.

Các kết nghiên cứu thể trẽn báo báo cáo khoa học sau:

Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích, ứng dụng phương trình Van der pol để nghiên cứu tượng ổn đinh khí động Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học Tồn quốc lần thứ v n , Hà Nội, 12-2002.

2 Đào Văn Dũng, v ề toán ổn đinh mảnh vỏ trụ theo lý thuyết quá trình đàn - dẻo Tuyển tập cơng trình Hội nshị Cơ học toàii quốc lần thứ VII, Hà Nội, 12 - 2002.

3 Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích Cách tìm nghiệm phương trình Matchie Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VII, Hà Nội, 12 - 2002.

4 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem o f the cylindrical

panels subjected to complex loading with the simply supported and clamped boundary constraints VNU Journal of science, Mat - Ph T.XIX, No.3, 2003.

5 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem o f the thin round

cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various kinematic boundary conditions.

(Tạp chí học nhận đăng vào số năm 2004).

6 Dao Huy Bich On the elastoplastic stability problem of shells of

revolution Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.

* Năm 2003:

+ Các báo báo cáo khoa học thù lao chuyên môn 10.000.000d

6 Tình hình kinh phí hai năm 2002 2003: * Nám 2002:

+ Chi hội nghị khoa học 200.000đ

6.000.000đ l.OOO.OOOđ 800.000đ + Bồi dưỡng chuyên môn xemina khoa học

+ Chạy chương trình máy tính

+ In ấn tài liệu, đánh máy chi phí khác

Tổng cộng: 8.000.000đ

+ Hội thảo xemina khoa học + Chế điện tử, chạy chương trình + Các chi phí khác

2.400.000đ 1.600.000đ l.OOO.OOOđ

T ổ n g c ộ n g : 0 0 0 đ

7 Nhận xét đánh giá kết thực đề tài.

* Đã hoàn thành tốt mức dự kiến mục tiêu đề tài, vượt chì riêu về số bào báo báo cáo khoa học: báo đăng tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc tháng 12 năm 2002; đăng tạp chí khoa học ĐHQG năm 2003; đăng Tạp chí Cơ học tập 25, số 1, năm 2003; gửi đăng Tạp chí Cơ học năm 2004.

* Các vấn đề nghiên cứu cập nhật cần thiết.

* Đề tài khơng góp phần lý luận khoa học mà cịn có ý nghĩa trong ứng dụng thực tiễn.

* Đề tài góp phần thúc đẩy chun mơn cán góp phần đào tạo cao học, NCS thông qua xemina khoa học định kỳ thường xuyên Điều góp phần phát triển đội ngũ cán ngành Cơ học của Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

* Đã hướng dẫn sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp.

* Đang hướng dẫn sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp theo hướng đề tài. * Nhóm đề tài kiến nghị tiếp tục nghiên cứu theo phương hướng này.

XÁC NHẬN CỦA BAN CHỦ NHIỆM KHOA CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI

PGS TS Đào Ván Dủn.'■g

SCIENTIFIC PROJECT Branch Mathematics - Mechanics

1 Title: STATIC AN D DYNAMIC P R O B L E M S IN ELASTO PLASTIC M EDIA SU BJEC TED TO CO M PLEX LOADING P R O C E S S E S

2 Code: QT - 02 - 02

3 Key implementors: Dao Van Dung Dao Huy Bich 4 Duration: From 2002 to 2003 5 Main results:

In this project, our staff have studied the following topics.

1 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Application o f Van der pol equation for solving aerodynamic instability problems Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

2 Dao Van Dung On die stability problems of cylindrical panels in the theory of elastoplastic processes Proceedings of the seventh National Congress On Mechanics, Hanoi, December, 2002.

3 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Solutions and propeties of solution o f Matchie equation Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

4 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem of the cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported and clamped boundary constraints VNU Journal of science, Mat - Ph T.XIX, No.3, 2003.

5 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem o f the thin round cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various kinematic boundary conditions Accepted to publication in the Vietnam Journal of Mechanics, 2004.

6 Dao Huy Bich On the elastoplastic stability problem of shells of revolution Vietnam Journal o f Mech, NCST, Vol 25, N2 I, 2003

6 Results: research papers have been published in the Proceedings of

the Seventh National Congress on Mechanics Hanoi, December 2002 and research paper published in VNU Journal of Science Math-Phys TXIX, N23, 2003; research paper published in Vietnam Journal o f Mech, Vol 25, N21, 2003; research paper accepted to publication in the V Journal o f mech 2004.

B NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐE t i.

I Lòi mở đầu:

Vấn đề tĩnh động lực học môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp có nội dung quan trọng việc nghiên cứu ổn định kết cấu đàn dẻo chịu tác động trình tải phức tạp.

Để giải toán đặt cần phải xây dựng phương trình ổn định, đưa lời giải, tìm biểu thức xác định lực tới hạn Sau tính toán bằng số cho số dạng kết cấu.

Nội dung thứ hai cần quan tâm xây dựng phương pháp giải cho hệ phi tuyến, tính chất nghiệm, tương tác yếu tố phi tuyến điều kiện ổn định khí động.

Do đề tài có ý nghĩa khoa học thời góp phần vào việc phát triển học vật rắn biến dạng đào tạo đội ngũ học.

ũ Nội dung chính.

1 Vấn đ ề ổn định vỏ tròn xoay đàn - dẻo.

Bài toán Ổn định đàn hồi cúa vỏ tròn xoay giải quyết, nhiên bài tốn ổn định theo lý thuyết q trình đàn dẻo cịn quan tâm Đề tài nhằm thiết lập hệ thức toán ổn định đàn dẻo vỏ tròn xoav chịu trình tải phức tạp Đã xây dựng hệ phương trình ổn định Khảo sát tốn ổn định vỏ cầu tròn, nhận biểu thức lực tới hạn cho trường hợp sau:

* Bản tròn đàn - dẻo chịu tải đối xứng. * Vỏ cầu đàn - dẻo chịu tải phân bố đều.

* So sánh kết tìm với kết biết trước đây. 2 Bài toán ổn định đàn - dẻo mảnh vỏ trụ.

Xét mảnh trụ tròn tựa lể ngàm theo cạnh, mặt trung bình có bán kính R, bề dày h Vạt liệu khơng nén được, không xét đến cất tải Giả sử kết cấu chịu lực Pjj = p,j(t) Vấn đề cần phải xác đinh giá trị tới hạn t* tương ứng lực tới hạn Pij* = Pjj(t*) Đề tài xây dựng biểu thức tìm lực tới hạ II ch'j trường hợp sau:

* Mảnh trụ chịu nén dọc đường sinh. * Mảnh trụ chịu tác dụng lực trượt.

* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương, tựa lể bôn cạnh.

* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương có hai canh tựa lề hai canh kia chịu ngàm.

* Tính tốn sơ' với quy luật tải phức tạp khác nhau. * Các kết phản ánh ý nghĩa học kết cấu làm việc. 3 Bài tốn Ổn định vỏ trụ trịn chịu tải phức tạp.

Xét vỏ trụ tròn dài 1, bán kính R bề dầy h, chịu nén theo hai phương bởi lực p = p(t), q = q(t) Bài tốn cần tìm tải tới hạn p* = p(t‘), q* = q(t*) sử dụng tiêu chuẩn tựa tĩnh để xét ổn đinh vỏ trụ Đã tìm lực tới hạn phương pháp Bubnov-Galerkin cho trường hợp sau:

* v ỏ trụ tròn tựa lề = Xị = L

* Vỏ trụ tròn chịu ngàm = X; = L

* Tính tốn số vỏ thép 30XrCA với quy luật đặt tải bậc 2, bậc 3.

4 Cách tìm nghiệm tính chất nghiệm phương trình Matchie Trong kỹ thuật có nhiều tốn dao động hệ bậc tự dẫn đến việc khảo sát phương trình Matchie:

ỷ - ( c o - u)y =

trong co2 khơng đổi, u = u(t) Đề tài xét trường hợp sau:

* Khi phương trình Matchie có nghiệm đúng.

* Khi phương trình Matchie khơng có nghiệm cách tìm nghiệm gần nó.

* Đã khảo sát tính chất nghiệm phụ thuộc vào tham số phương trình điều kiộn đầu.

5 ứ ng dụng phương trình Van der pol đ ể nghiên cứu tượng ổn định khí động.

Nghiên cứu tượng ổn định khí động dẫn tới nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình Van der pol với hệ số phụ thuộc vào tần số lực kích động có giá trị hữu hạn, khơng áp dụng phương pháp tham số bé Để tài áp dụng phương pháp tựa cân bàng điều hồ để giải tốn Vấn đề đặt áp dụng phương pháp có cần đưa vào giả thiết nào hệ số.

+ Bài báo đưa điều kiện cho phép bỏ qua đại lượng điều hồ bậc cao.

+ Phát sơ' tính chất phù hợp với kết thực nghiệm, góp phần giải thích phương diện lý thuyết tượng đó.

+ Tương tác yếu tố phi tuyến yếu tố cưỡng phương trình Van der Pol điều kiện ổn định khí động khảo sát bài.

III Kết luận.

Đề tài QT - 02 - 02 thực với đăng ký nghiên cứu hoàn thành tốt Các kết đạt có ý nghĩa khoa học Đây những vấn đề thời nước nước quan tâm Đề tài góp phần phát triển chun mơn đào tạo sinh viên, cao học, nghiên cứu sinh Đã góp phần hướng dẫn sinh viên làm khố luận tốt nehiêp hướng dẫn sinh viên theo hướng nghiên cứu này.

IV Các kết quả.

1 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Application of Van der pol equation for solving aerodynamic instability problems Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

2 Dao Van Dung On the stability problems of cylindrical panels in the theory of elastoplastic processes Proceedings of the seventh National Congress On Mechanics, Hanoi, December, 2002.

3 Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich Solutions and propeties o f solution of Matchie equation Proceedings of the seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

4 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem of the cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported and clamped boundary constraints VNU Journal o f science, Mat - Ph T.XIX, No.3, 2003.

5 Dao Van Dung On the elastoplastic stability problem of the thin round cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various kinematic boundary conditions Accepted to publication in the Vietnam Journal of Mechanics, 2004.

6 Dao Huy Bich On the elastoplastic stability problem o f shells of revolution Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.

c PHỤ LỤC

T u y ể n t ậ p c c c o n g t r ì n h H ộ i n g h ị C c r Ỉ1ỌC : o a a u ố c l ầ n t i ứ v u

Hà íVội, 12-2002

VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH CỦA MẢNH v ỏ TRỤ THEO LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH DÀN DẺO

Đào Văn Dũng

Đ ại học Quác gia Hà iVộj

T ó m feắt Dựa trin tiêu crulán rê nhánh trạng thái càn binq phuơnq pnáọ 3uònoo - Gaitriãn, báo cáo ngnie'n cưu nán đ ì t điruĩ cùa mánh vó trti đàn - iio làm ịdnq vát liêu khónq nén đuơe, chiu nén dọc ứìeo inq sữúi node chiu lực iru ợ t ã záy dung đutre àiétẩ thúc tim tái tài 'nạn. Vỡĩ két cáu đàn hài node đàn dio nhá, từ két qua náy có th ỉ nilận itạ tác truớnq hạp òiét irướe đây.

1 ỉ :o n án định

Xét mánh rò trụ ĩròn tựa bàu lề theo cạnh, mạt trung bìnn có bán kính bàng R , bè dầy k Vật liệu k iòn g nén không xét dến cắt tải Chọn hệ tọa độ trụ cảo trục r hướng dọc đường sinh, trục y = R8\ :heo aưcmg vòng tròn, :rục 2 theo hướng pháp tuyến cùa mành võ, dây 91 ià 3-óc ịm tâm Gọi a, b chiêu dài chiêu rộng mánh vò tưcmg ứng theo :rục O x O y Già sừ kết cấu chịu tác dụng lực a?oài pij ĩhay đổi tùy ý theo ;ham số tài í Vấn đè đặt xác định giá trị :ới han í "tnmg ứng ì ực tói ỉxạn p-j ciio •nrọrt auá giá :rị nàỵ thi kết cáu bị mát ổn dịnh.

Sau giải toán đá nêu h.ai tnrờng hạn

2 M ả n h v ò tr ụ cìũ u n én d oc đ n g sin h

Già thiết rin g man j trụ bị nén dọc đưcm? sinii bời iực phân bó đêu với caróm? dộ bàng P(t) Tại thời điếm tồn rrạng ihái ứng suát ọảằng két

~ p (^ )j Gyy = , &zy = &z z = &'jz = Q zz = Qĩ

<T% = p(t) = ?■ (2-1)

xác định :heo lý tiiuyết crìnii dàa dẻo Í2Ị là

- - — p ẻ = ỉ"**)

“ ỷ ị s ) ' ” ~ 2®/(ị) ’ s? 1 j

Độ dài cung cùa quỹ dạn biến dạng cảo bời

— — — lè2 • C1 • - - J \ 1(,: — Ếííl

V r ™ ytf =»' “ ®'(s)

Tích phàn phương trình tìm đưọrc

®(J) = pit) = O'u- (2.3)

Phương 'rình, đa định đàn - dẻo -nành trụ có dạn? [3i

d*Sxu _ d*5w d*5w 9 ! 325w 1 <52\3'

<*1c^ỉtí/ a 9w ơ ỡw y / crỉu / 1 ỡ*\3\ ,

d ĩ * đ i - ỡ y - ~ ởy* “ Ã*]ỹ l p <?=- " I ĩ / °

34,ị5 N d 25w

^ J x ^ ' ^ d x - d y àx- = ^ ‘5) trong đó

V — ĩ a — í ■ - — ' — >t \

3 ’ ai = Ì ^ Ú ’ 3 = W’

3 1 V 'V _ V

@1 - , — , “ 7 — — -J , J5 = -7 (2.6)

4 4 © ạr <0;

Ta chọn biếu tiiứe gia só độ võng, cho thõa d ã n điều kiện biên tựa bàn lè, dạng

m-TX n-zy

01» = A s in -s in —— ■ (2.7)

a i

Tỉiay hệ thức vào (2.5) tim phương trình, xác dinh p, aghiệm riêng cùa pnirơng trinii là

m ir z riĩr y

ạ = B s i n - s in - (2.3)

a 0

trong đó.

3 - - r , , , ( ? ) •

T * ( = ) * - * ( = ) ( t ) s ^ ( t ) ‘

9 fr r v K \' f m i r \ 4%/m i r \ /TOT\ /n ỉT \*

h?iV ( a ) p~ ai\ ~r ) * 2{ ~ J ( t ) ~ ( t )

k R *

ư c lược biến đổi Hầ-n đến

* u ầ ' y ( Ề ! ^ ^ ) V ™

Sau Qgiiiên cứu chi tiết hệ thức (2.9).

Trường hợp 1: Nếu mành trụ vuông (tức a = á) m = n = tìù (2.9) trờ thành

_ Nh? / T \ • .V a2 t

p = 9 U J ( a i 3 ) - ^ ( ^ - * - * ) • Thay biếu thức cùa a i , Ị3\, 0Z, Í3s từ (2.6) vào :a được

Nt: Ị h \ (1 3<d'\ N c r 4®'

p ~ ~ ~ ( ỉ ) ( “ ỉ i v “ x i (15« ' - ,V) ( )

Khi R — -hoo từ (2.10) suy ra

Nir1 f h\ *( i z ó'

p = f h \ ' (1Z 2 Ó '\

( ĩ ) ( r + ĩ f ) (2-u)

Đây hệ thức xác dinh lực tới hạn bân đàn - dẻo ciiỊu aén theo phương [3|

Trường hợp 2: Nếu giả thiết z ~ — ss (xem (lỊ), ;iù tử (2.6) dễ dàng suy

X , \ N „ -V

ĩ \ = £3 = ^7 3- ^ - 1) » 2^7 , ,35 = ~

(p' ợ \ ỵ J ợ o'

Đ ặt i = ^- x = (mr) a i ^ j ” - -T ^ j ”j , (2.9) đưa vè dạng

■’ - ĩ L ỵ - ĩ L — - -

r ~ p p ã ’ N X

Suy hệ tíiức xác dịnh i là

,2 N X * „ _ iV b2 i t ,

B ây ta tìm g iá trị ahị Tì hất t" Trước àết ta :ín i

d i i V X * - X a x p [ X -- 3) = 0

dẫn đến X m M ặt khác vì

d2i2

d X 2

2 N „

= —- > 0

X = X ' p 3

Vậy giá trị niiò là

Tĩr tìm biếu thức xác đinh lực p tới kạn

(2.13)

(2.14)

Nếu kết cấu đàn dẻo niiò tức iV = — , o' = d ịĩ- i) từ (2.14) nhận kết -ti

quà [lị.

Ip /

T rvờn g hợp 3: Ta không sứ dụng già thiết 3 - as 2. Trước hết đặt

3Ố /TTIỐN2

* = T « & = í h \naJì ’ * =

khi hệ thức (2.9) trờ ihànii

r n r J ,

, -V , „ 1 iV à3

0 ' ' p i ỉ 2 ứ T suy ràng

, _ V ý ( a x g - T -T

3 / „ „ „ \ -VỊ'

Cực tiểu hóa biếu tixứe aày theo é nhận dược

-V ố2 / đ5\ - l

Thay (2.16) Tào hệ thúc của i“ dẫn rign

Sừ dụng biểu thức (2.6) ữ ị, 01, /?3, 0S s trong (2.16), từ dây tìm đtrợc

D l dàng tháy ràng, aéu sử dụng già thiết ^ - as (2.17) trờ thành àệ chức (2.13).

Trường hợp kết cáu đàn hoi tức V = é' = 3G từ (2.IT) suy ra

„ Gb , 2 Gk

i = 6—— hay = ——

pR R

K é t auả trùng với àệ thức [l|

3 Mành vỏ trạ chịu tác dung lưc trượt

Giả thiết mành trụ ciiỊii tác dụng bời lực tnrơt phân bố đêu với ctrịng độ r (í), kìù trạng tiiái tn iớ c tới hạn là

<TS X ~ ’ ^ s y = ~ r i & 'j y ~ O i & Z Z ~ G 'J Z = G z z — ,

( )

ffu = ì / r ; r = rịt) (3.1)

Các :hành phần teaxor tốc độ biến dạng tương ứng đirợc cho bời

3 t

0, e „ = 0, : ty = (3.2)

Do độ dài (mug cda quỹ đạo biến dạng xác dịnà sau

T suy ra

Phư ơng -rùm ổn đính dàn - dẻo m ành trụ mơ tả san 3Ị

d 4Sia d*Sru d*5vi 18r 3*510 9 di*v _ , ,

dx* ' ° d x 2d y ' dy* ' ii2y d x y k2ỈÝ R â x 1 * 1

d ÁV d * v d * v IV 3*510 _ . dx* 0 * d x 2d y ởy* R d x ( } đr dây

«8 = + ^ , & = ^ - i , -V = — , *>' = *'(*)

Ta tìm biểu thức gia 30 độ võng dạng cào 'hòa mãn diều kiện biên tự a bàn ỉè canh, vậy

T- ' V—' m i r z n iry . _

5w = > > rlmn sin — — sin —r~ (3.S)

*—> & 0

m = n =L

khi tỉiay ÕVJ vào (3.5), ta ;ìm nghiệm riêng 'P niur sau

iV

2 mT3 ^7ry 31H - sin —T—

1 ó

a l ( = )

4 - ^

( = )Mí t )

í ^

i J

' ■ E E ' ị / T Í T T71T ' T Ì X ' ■ ’ í n r ; < A " " ( - T )

( t v + * ( ) It) ” ( * )

Bây sứ dụng phương pháp Bu'onop - Galerkin đói với phương trình (3.4) ta được

n _

/■ [ f d w d w d w 1 r <5tí/ 9 1 d ’Ọ \ i v z j i r y

] j \ ~ d ĩ r ~ CLz d x 2d y -~ ~ w ~ HJn d z d y ' I ^ N R Ĩ Ĩ ) T y

-0 ó

Thay biểu thức 5w ÌỌ vào hệ thức ầy, thực phép đạo Hàm

riêng v lấy tícà Dàân, vớ i CÌLÚ ý rằng

1 ( a

[ m iĩx iirx - khi m = í

/ s in -s in -a x = <

ị a a { kiũ m = i

v - , „ •

* ( a i , ,

f iirx rm rz I -7 iiũ m — ! lẻ / s i n - C O S -0 =

J a a

khi ta thu kết sau đây

a ó f ( m i ỉ \ * f T m ỉ \ - f m r \ z T \*

4 Ỉ ( a ) + * » ( « ) ( ) - ( ĩ ) 9 f mĩr) 4

k*R* v ~ j _

/ m i \ / m i \ - ! i l l \ - ỉ TƯK

(v ) +*(t ) (f) -Gr

T r ^ T71TLI]

Ĩ^N f - f - ; - m-)(7- - »-) A'7

vớ i m - r i ; n ~ r j lẻ

■ A ^ Ế Í ^ Í * - - ™ ^ - * 5)

r n r \4 Amn

J

Bây già ký hiệu.

^ ( t ) ! ( ” ) (? )T 1=

khỉ kệ (3.3) dược viết dạng

f m n A mn -i- f r J 2 (,-2 _ m ‘ ) ( p - a- ) Ai j ~ ^ - 10)

Đ iy hệ vị hạn phưcmg trình, đại số tuyến tính, Amn, giải hệ ầy rắt phức tạp sau dây xét m ột vài gằn đứng.

a) Gần thứ Ta chọn m, n, i, j thuộc tập {1 ,2 } tức là

m ,n (1,1) (2,2)

(i,j) I (2,2) (1,1)

Hệ (3.10) trường họrp trờ thảnh 4

h i M i — ~ĨT M2 =

g Ĩ TM l — J22-A.11 — 0

Do diễu kiện A ll Ỷ 0* Ă-22 Ỷ nẽn ciịnh tầức sau phải không

(3.11)

/1 V T

\ ĩ r / a = 0

suy hệ thức xác định lực tới hạn là

/1 /2 — =

Kỉiai triến cụ tiiể phương trìnii dẫn đến ()2 í f/'ir\ l _ ó'

r~ =

X ý hiệu c = T , i h i ta danz khác để tìm lực tới hạn là

ở ■ •

rét Nếu R —» -Ị-oo till Í3.12Ì SITV ra r =

A 1/2

1 /2

(3.12)

N hận xét Nếu R —<•-i-oo tỉù (3.12) suy ra r * N h r

32c-5 ố2

Đây- kết dã có [lị đối vớ i tnrợt

Nếu theo lý thuyết đàn dẻo nhị (3.12) dẫn đến hệ :hửc (lỊ.

b) Gằn thứ 'nai Ta lấy ba số hạng

TTX T y 2TTZ 2x y Zirz 3x y

õw = A n sin —- sin -7- — A22 s i n -3in —— - A33 s in - sin —7—

a o a 0 a o

khi ta có

(nui) (1,1) (2,2) (3,3)

Hệ (3.10) có dạng

(2,2) (1,1) (2,2)

(3,3)

f l l M l + g / ' ^ ĩ2 = 0

g f TMi + Ỉ22A22 T -^frAzz = 0

4

~ / r "4.22 - ĩ z z M z = 0

Do hệ số A n , -^33 không dông thời bần? khơng dẫn đến định íiiúrc hệ 3ố bàng khơng ta được

= 0

K hai triển n gọn tim hệ tinrc xác dịnh lực tới hạn là

r* = / n

9 / r

- f r

9 /2 ẳ/r

0

ắ /r /33

/1 /3 /3

trong đó

k‘ R2 = a * {íu +

/ « = f ( l 6* 1 + ^

, _ < t / 01 9 /3 = —

}

‘11 /33= 9 V81?11 + Ã2fl2AuJ

( ĩ ) * ( í ) ‘

* - ■ - ( ; ) * [ ( : ) - * ( ỉ ) ‘ ( ĩ ) - ( ĩ ) l

c) Găn đúng thứ ba Ta càọn m, n, t, j niiir sau

(m,a) I (1,1) (1,3) (3,1) (3,3) (2,2)

(*\i) I M (2,2) (2,2) (2,2) (1,1)

( )

( ,1 )

(3.3)

Trường hợo này, ỉiệ (3.10) dẫn đến.

ỹ ỉ r M2 — 0

4 .

- — / > ^ 2 -!- /13-^13 — 0

4

~ ^ g / r -A?2 ~ /31-^31 = 4

—: r^ ~ /33^33 = 0

1 9 1 1

T - /2 - ^ 2 ■+■ - z z f r A z z - Í ~ Ả \ Z — z f r A = 0

9 25 5 5 (3.13)

Vì hệ só A u , A22, ^33, ^13, A31 khơng đơng thời bang kỉiông suy dịnà tiiức hệ số cda aó (3.13) phải 0, khai trim dinh thúc ta được

r = Ị \ / 1 / 2 /3 /1 /3

4 ^ \

( ^ / 1 / 3 / T j ^ f 1 / 3 / T ^ /1 /1 /3 T ^ /3 /1 /3 J / 2

trong dại lượng fm n. xác định cừ biếu tầứe (3.9).

4 X ết luận

Trong báo cáo tác giả giải dược hai~váa đè eMail sau đay a) Đã xây dựng hệ pỉnrơng trình, mơ t i an rtịnh minh trạ chịu nén dọc đường 3ink, biểu diễn, nghiệm pỉurorng trình, đong thời phàn tích chi tiết các trường hợp cho phép tìm lực tới hạn kết cấu

b) Đ ối r ó i toán mAnh trụ chịu lục trượt phtrcmg pháp Babnop - Gaierkm, dẫn dược hệ phương trình đại số Amn Từ nghiên cứa lực tá i hạn ẻr gần thứ nhất, thứ hai Tà thứ ba

Cơng trình dược hồn thành v ó i tài tro' Chương trình nghiên cứu Car bàn Khoa học tự nhiên

T i lĩệ u t h a m k ilâ o

[lị Volmir A s ổn đùìA hệ biến dartạ Muxcơva, 1963

[2| Đ Huy B íc ìl Lý thut q ừinn đàn áio N h ì x u bán £)ại học Qc ỊÍi Hà Nội, Hà Nội 1999.

[3j Đ o V ỉ a Đ ũng Sái tốn ch định ngối giới hạn dàn hịi theo iý thuyết trinh biỉn dạng đàn

dio. Luận án P T S, Hà Nội 1993.

[4| Don o Brush, Bo o Alm roth SuddiruỊ o/ ban, pỉata and ihtilt Me Graw-Hill book

PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO BÀI TOÁN

MẢNH V ỏ TRỤ CHỊU TÁC DỤNG CỦA L ự c TRƯỢT

Đào Văn Dũng

Đ ại học Q uốc g ia H N ộ i

Phần trình bày kết tính tốn số cho tốn mảnh vỏ trụ bán kính R chịu tác dụng lực tnrợt Khi ta có hộ thức xác định lực tới hạn gần thứ ([2]).

X = r c 4N h

128c3b 2 1 +

f d>^ 1 + -^

V N y

1

c + c + - 9cJb 4

h 2R V [ l + (3 — - l ) c + c 4]

L ộ' J

16[1 + (1 + —)c: + c 4] + N

9cJb ‘

h - R 27i4[l + (3 — - l ) c : + c 4] <t>'

Để tính tốn thuận lợi ta đặt

N = ^ = — = E (s)

( )

<Ị>’(s) = Et( s ) ; i = — ! c = ■“

h b

Khi hệ thức (1) đưa dạng

s = 9V3V

128c3i 2 1 + 1 +

E,(s)

E0(s)yc -r c4 T

9cjb4 h 2R V

1

1 + .Eọ(s) t

V e ’ ( s ) \

9 c4b4

h 2R 2J t

c + c 4

1

16 1 +

E.(s).

2

c + c

(2)

Hệ thức (2) phi tuyến đối vói s, ta giải phương pháp lặp ở bước lặp thứ lấy Et(s) = E0(s) = 3G ta có:

s, = 9V37Ĩ4

128c3i2 (1 + c ) +

c 4i 4 7C4(1 + c 2) 2

16(1 + c 2) + c 4i 4

9Í—Ỵ t t 4C1 + c ) I h J

(3)

Nếu S[ < Ss (giới hạn đàn hồi) vịng lặp kết thúc ta nhận giá trị tới

hạn miền đàn hổi Tcr(1) = -j=(ị) (S ị)

Nếu s, > e, ta tiếp tục thực bước lặp công thức lặp sau đây:

s„ = 9^3714

128c3i 2 1 +

■> 4 c + c +■

4-4 c 1

9j — I 7T4 V h J

1

1 + c + c■» 4

<16 1- 1 + jL(0 |c2+c4

4 - c i / D A

u

JC* + -, Eọ(Sn-i) 1 c : + C J Lực tới hạn bước lặp thứ n là

^cr(n) = =

(4)

Bây tính tốn cụ thè cho mánh vó loại thép 30XTCA (xem bang sị

liệu bảng 8) vói Eo = Ec Các đại lượng khác sau

3G = ,6 MPa ơs = 400 MPa

Tĩnh toán cho hai trường hợp:

R 3b a.

1) Tỷ số — thay đổi — lấy giá tri cố đinh, tỷ số c = — cũng

h h b

cố định.

2) Đai lương i = — thay đổi — c = — cố đinh.

h h b '

Qua kết tính tốn bảng bảng ta có nhận xét sau đây: Mảnh vỏ mỏng lực tới hạn nhỏ điều phù hợp với tính chất học vật liệu.

Q trình tính tốn thường dừng vịng lăp thứ toán — thav h đổi, cịn — thay đổi dừng vịng lăp 14

h

Tỷ số c = — ảnh hưởng đến giá tri lưc tói han b

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đào Huy Bích Lý thuyết q trình đàn - dẻo Nhà xuất Đại học

Quốc gia Hà Nội, 1999.

[2] Đào Văn Dũng Về toán ổn định mảnh vỏ trụ theo lý thuyết

trình đàn - dẻo Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ

v n , Hà Nội, - 0

A. K ết q uả lực tới hạn R/h thay đổi b / h =■ J U t :+ c = 0 S a i = 0 E -

R / h s Un g s u a t T a o [ l a p

5 E + 1 E - E + 2 5 E + 5 E + 1 E - E + 2 5 E + 5 E + 1 E - ỉ E + 2 5 E + E + 1 E - E + 2 5 E + 14 E + 1 E - E + 2 E + ỉ 15 E + 1 E - E + 2 E + ỉ E + 1 E - E + 2 E + E + 1 8 E - E + 2 E +

3 b / h = E + c = 00 S a i s o = 0 E - R / h s Ung s u a e I T a o l a p

5 E + ! E - ! E + ! 2 E + ỉ 2E- Ì - 02 Ị E - 58E-TŨ2 ! 2 E+0 1 S E + 2 E - E + i Ĩ + i E + Ị 3 E - ị E - i “ £ + ! E + i E - E - C Z z ■ - ; OE+0 2 E - 5 E ^ ! E - E + 2 E - Ũ 5 S + " I Õ2H>02 I

3 b / h = E + c = 30 a i = E - Q R / h rJ n g s u a ũ T a o l a p ;

5 E + 2 E - E + i E + E + 2 E - ỉ 73E-Ĩ-02 ! ~ £ + i Ị E + í E - Ị E + ! ' E + I E + 2 E - E + ! 73E- Ì - 02 E + 2 E - E + 2 E + E + 2 E - E + Ũ 2 E + E + 2 E - E + C 2 ~ E + i i

3 b / h = Ũ E + c = 0 S a i s o = 0 E - R / h s ữ n g s u a c T a o l a p i

5 E + ! E - E + i E > I E + E - E + 2 H - E + E - E + C 2 S + E + E - E + 2 E - ! OE+0 E - E + C ! E - ị : E + E - E + í 2 32Z +02 1 E + E - S E + 2 E + i

3 b / h = 0E-Ì-02 c = 10 00 S a i = 0 E - R / h s Ung s u a : Ị T a o l a p

3 b / h = R / h

0 E + c = s

0 S a i 50 i u n g s u a e i

- C E - T a o l a p

5 E + 2 7 E - E + 2 E + 5 E + 2 E - E + 2 E + E + 2 E - E + 2 E + I 14 E + 2 E - E + 2 E - 1 15 S E + 2 E - E + 2 T I E - E + 2 E - S E + 2 Ó8 E ^ I s E + 2 E - E + 2 E + I E + 2 E - E + 2 0"7E-t0 14 E + 2 E - E + 2 ÕÕE- 02 15 !

3 b / h = E R / h

r c =

0 a i 30 Ung s u a r

= OCE - T a o ! l a p

I K ết q u ả lục tới hạn 3b/h thay đổi R / h = 5 E + c = 0 S a i s o = 1 0 E - 5 i - b / h s 1 Ong s u a t 1 T a o l a p

3 E + 6 E - 3 1 5 - 36 E+0 1 3 E + 2 5 E + 5 9 E - 3 1 5 E + 1 3 Ũ5 E+ 2 14 E + 6 E - 3 I 5 E + i 3 E + 2 15 3 6E+02 5 E - 3 1 5 E + Ị 2 99E+02 6 4 2E+02 4 3 E - 3 1 5 E + 1 2 92E+02 14 4 2E+02 4 E - 3 1 5 E + i 2 93E+02 15 E + 4 E - 3 1 5 01E+02 i 2 E + 2 6 E + 4 E - 3 1 5 E + ! 39 EÍ - 14 E + E - 4 9 E + ; E + 15 E + E - Q3 E+0 90EH-02 13

R / h = E + c = S a i s o = Ũ E - i = b / h ' J ng s u a t T a o l a p

3 0E- Ì - 02 E - 3 E + E - E + E - Ị E + E + 14 E + E - i X E - r ■ E + ■) c E + E - ; E + 2 E + E + E - E + ! E + OE-i-02 E - 5 E + ; E + 14 E + 9 E - t E + E - r 15 E + E - E + ! EH- 7 E + E - E + i E + R / h = E + c = S a i s o = 0 E - i = b / h ' J n g s u a t ! T a o l a p

3 E + 2 E - E + : 67E+Ũ2 E + 2 E - E + ; S E + E - 2 E - Ị E + 2 61EH-02 E- Ì - 2 E - E + : E + E + 2 E - ! E + 2 E + 14 E ^ E - ! E + 2 E + 15 E r 2 E - j E + ■ E + C 14 OE-i-02 E - 3 E + : 50EÌ-Ũ2 15 Et0 2 E - E + 2 E - C 14 E- Í - 2 E - E + ■ E + 15

R / h = E + c = a i s o = Ũ E - i = b / h s ' J ng s u a t ■ T a o l a p

R / h = E + c = 00 S a i s o = 1 0 E - 5 i = b / h s ' J n g s u a : : T a o l a p

3 E + X E - 4 3 E + 2 E + E + 2 E - 3 E + 2 E + 14 E + 1 E - 3 1 E + 2 E + 1 S E + E - 4 E + 2 E + E + E - E + 2 5 E + E + E - E + 2 5 E + 6 E + E - 3 E + 2 E + Í E + E - E + 2 E +

R / h = E + c = 00 S a i = 0 E - i = b / h s Un g s u a t T a o l a p

3 E + E - 42E-I-02 5 E r E + E - 33EH-02 E- Ì - ! 6E-r02 5 E - 17E-TŨ2 E + : 2E-T-02 E - E - 2 3 E- Í - i E + E - 3 E > 2 Et0 i E - E - 3 48E- Ì - 02 E - i E + E - 3 1 E - 2 4EÍ - 02 Ị

R / h = OEh-0 c = 50 S a i s o = 0 E - i = b / h rJ n g s u a e T a o Í l a p

3 E ^ 2 E - E - 2 E - E + E - Ỉ , E ^ 2 5 E - 14 E + 3 E - i E + 2 E + : E + 6 E - 17E-TŨ2 i z - r i 14 E + i E - E - 2 4 E + i 15 E + E - 3 E + 2 E + E + 1 E - 3 6E-Í-02 8 E + S OE-i-02 1 E - 3 OOEi-02 1 E + 1 E + E - 3 E + 74E- Ì - 02

R / h = E + c = 30 S a i = 0 E - i = b / h s ■Jng s u a e T a o l a p

3 E - 2 E - I 73 E- Í - 2 E - Í - E + 2 E - E + i E + oE-^-02 0 E - Í E - ! E + 4 E ^ 1 E - j 11 E+Q2 ; E + 1 E - Ị 2 E - ! E - i E + Í E + E - 5 E - ! E + E + E - E + I 28E-Í-02

R / h = E + c = 10. 00 S a l s o = 0 E - i = b / h s i Ling s u a e ! T a o i a D

3 E - E - Et0 i E + I E + E - i 1 E + 2 E - Ì - E + E - E + 2 E + 2 E + 2 E - E + 2 E + 2

Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ hoc tồn quốc lần thứ vn

Hà Nội, 12 - 2002

CÁCH TÌM NGHIỆM VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

Tóm t ắ t : Trong kỹ thuậr nhiều tốn dao động lìé bậc tự dán đến việc klião sát phương trình Matchie Trường hợp phương trình Mchie có nghiệm dũng Tnrớiig

hợp khơng có Iighiệm dùng VCI cách lìm nghiệm gàn ching Tính chất nghiệm phụ rlic

vào tham s ố cùa phương trình điéu kiện (láu dó Iiliữìig vấn đ ế dược kháo sát toán này.

1 Trường hợp phương trình Matchie có nghiệm [1]

Để xét xem trường hợp phương trình M atchie có nahiệm đúng, ta nghiên cứu mối quan hệ nghiệm hai phương trình :

TRÌNH MATCHIE Đ Huy Bích Đ ại học Q uốc gia H N ội

N guyễn Đ ãng Bích

Viện K H C N 'Xây Dựng - Bộ Xàv Dựng

( 1) Z + (co - V ) z =

(1.2)

ở : ũ) - tham số không đổi, u = u (t), V = v ( t) G iả sử m ối quan hệ nghiệm z y có dạng :

(1.3)

(1.4) (1.5)

( 1.6 ) à : Ằ2 - số tích phân

Bằng cách đ ặ t :

(1.7) a

phương trình (1.6) có thê đưa dạng cúa phương trình (1.1):

(1.7)

Như a nghiệm riẻng cùa phương trình (1.1) thay co - X.

Từ (1.5) (1.7) suy r a :

' = u -2- ^ ( l n a ) dt v ' Đ ật (1.8) vào (1.2) ta đuợc

Z +

J 2 co2 - u + 2—7 0n a )

dt v ’

Phương trình (1.9) viết lại dạng ;

Z — - „2 X - C ũ + a —— -d2 f l dt l a

z =

z =

(1.8)

(1.9)

( 1.10)

Như : y nghiệm tổng quát phương trình (1.1), a nghiệm riêng phương trình (1.1) thay co = X, t h ì :

z = ỷ - y í - I v a nghiệm phương trình (1.9) (1.10)

Để làm ví dụ, ta tìm nghiệm tổng quát phương trình (1.1) chọn u = a r = const Khi ta tìm :

y = c , e “‘ + C2e ~ °', (1.12)

trong d6 : C „ C j - số tích phân

N ghiệm riêng phương trình (1.1) suy từ (1.12) thay c, = c: = — co = À ta

có : a = ch^-t

Trong trường hợp phương trình (1.9) (1.10) có dạng :

Z = - o - V , 2X2 12 ■ ch A.t J

(1.13)

(1.14)

hay : z + (co2- 2Ã2th2^t)z =

Nghiệm tổng quát phương trinh (1.14) có dạng

z = c , e “' (ũ) - Ã thẰ t)- C j e '“ (<D + ÂthÂt) (1.15)

N ghiệm (1.15) ổn định hay không ổn định chi phụ thuộc vào điểu kiện đấu: - Đ iều kiện đầu dẫn tới c , = nshiệm ổn định v ì : z t -> 00

- Đ iều kiện đầu dẫn tới c ^ nshiệm khổng ổn định v ì : z -> oo t -> co

Như v ậ y :

• T ổn phương trình M atchie có nghiệm đúng, ví dụ phương trình (1.14) có nghiệm (1.15)

• Việc chọn u = u(t) bước thứ tuv V , sao cho tìm nahiệm tổng quát của phương trình ( 1.1)

2 Trường hợp phuơng trình Matchie khơng có nghỉệin đúng Trong phương trình (1.1) chọn :

u = q c o s p t , trong : q - biên độ, p - tần số

Khi phương trình (1.1) có dạng :

ỹ + (or -q co sP t)y = (2.1)

Phương trình (2.1) chưa tìm nghiêm Vấn đề đặt tìm nghiệm gần phương trình (2.1) khơng dùng giả thiết tham số bé Từ phương trình (2.2) suy r a :

í ■ \ i + í ì ì ơ )

d_ dt

Đặt — = X , ta : y

X + X2 + ũ )2 - q c o s p t =

N hân hai v ế phương trình (2.3) với e kl lấy tích phàn theo t ta :

(2.2)

X + e " kl J ( x - k x ) s k'd t + - sin(ị3t + <p) = 0,

(2.3)

(2.4) k (p2 + k : f

trong : k - số tuỳ ý chọn trình giải

tgcp = ^ - (2.5)

N shiêm gần phương trình (2.4) tìm theo phương pháp tựa cân điều hịa [2] M uốn tìm gần thứ ta cho X dấu tích phân bầng biểu thức có dạng:

X = B + c sin((3t + (p + y )

trong : B c , V|/ - số thực xác định trình giải Bằng cách thay ta tìm :

X + - I B2 - k B + ị c +C02 + 2BC - kC p2 + k

(k sin lị/ p COS vị/)cos(pt + (p)

-2 B C - k C ,

- T , (k COS Vị/ + p sin Vị>) — —

p + k (p + k /

sin(pt + o) —

c-2(4P; + k 2Ỷ'2

sin (p t + cp + Vị/ + ệ ) =

trong :

tg2(ị> = — 2(3

(2.6)

(2.7)

Để xác định B, c, V|/ ta đ ặ t :

- - Ị b : - k B + - C 2+ o r j = B ,

2B C - k c / „ V

- j p — ị- ỹ - (k sin Vị/ — p cos y ) = - C sin lị/ ,

2B C - kC /, _ _ V p2 ị^2 (k COS \Ị/+ p sm 1|/)

-(p: + k 2) ^

(2.8)

= -C c o s v |/ I

Vói cách đ ặt (2.8) biểu thức (2.6) v i ế t :

X = - B + c sin Vị/ cos(Ị3t + cp) + c COS Vị/ sin(Ị3t + <p) +

2(4P2 + k 2Y'~

sin 2(pt + (p + V)/ + <|>)

Từ (2.8) suy :

l(p + k 2f

-B2 - k B + —c2 +C0 =

(p2 + B2) c2 - q =

(p2+ B 2>!- | ( B - k ) k

q q((32+ k ^

(2B - k ) p • (32 -r2 B k + B2 - k2 '

(2.9)

(2.10) (2.11) (2.12)

Để nghiệm B, c hệ phương trình (2.10), (2.11) số thực, ta chọn :

k = B (2.13)

Đặt (2.13) vào phương trình từ (2.10) + (2.12) ta :

sin \ị/ = c

2 C4 +((32 +4co: ) c2 - q2 =

(p2 + B 2) !:

(2.14)

(2.15)

- — — COS \ ụ = c

q(p2 + Bl Y1

t g v : BỊ3

p2 - B2

Dựa vào (2.13) biểu thức (2.9) viết dạng :

X = - B + C s in (p t + (p + ụ/)+ c2 2(4Ị32 + w f

Biểu thức (2.17) gần thứ cùa phương trình (2.3) bình phươna ty sị siữ a hệ số hai điều hồ nhỏ đơn v ị :

Đặt (2.14) vào (2.18) ta được:

c 2 4(4[32+ B 2) <

c2

2(c: +8(32 +2co: ) <

(2.18)

( )

Bất đẳng thức (2.19) thoả mãn, không cần đặt điều kiện lên hệ sỏ phương trình (2.3)

Dựa vào (2.5), (2.7), (2.16) ta có nhận xét, B đồng thời k đổi dấu cp ộ, \ụ đổi dấu

Phương trình (2.15) có hai nghiệm c2 trái dấu, để c sô' thực ta chi chọn nahiệm dương c2

Từ suy :

c - - - ( p + c o ) + - ì /( ( 3: + c o : ) - q :

c, = c, C2 = - C

i- ( p2 +4co2) + i- V ( p2 +4t» ) +8q2

(2.20)

c = Đặt (2.20) vào (2.14) ta

B2= ( p2- o r ) + U ( p2+4co2)2+ q :

0

Dựa vào (2.22) ta có :

(2 )

(2.22)

B =

B, = B, Bj = -B.

A (p2 - 4cj2) + g V (p2+ “ : ) - 8q : ; - (2.23)

Dựa vào (2.17) trờ lại biến y ta

= - B + C s in (p t + cp + >|/) +

Từ (2.24) suy :

y = D ex p - Bt - - c cos(pt + <p + Vị/)

-2(4p2 + B : }^

c2

sin (p t-r(p + \ị/ + <ị>) (2.24)

p 4p

trong : D - hầng số tích phân

’(pt + + lị/+ <ị>) 1

, (2.25) ịp (4 p2 + W -Ỵ l

Vì phưcmg trình (2.1) là tuyến lính, phương trình (2.20) (2.22) cho hai nghiệm cùa c B nẽn từ nghiệm (2.25) ap dụng phương pháp chổng chất nghiệm để dược

y = D ,.e ‘ Bl.exp

+ D2.eBl.exp

- ^ C c o s ( p t + (p + M/ ) -— — — _

p 4 p (4 p + B f :

1 _ p2

— — C c o s ( B t - ( p - u » ) -p 4 p(4p: + B : )^

cos 2(pt + <p + Vị/ + <Ị>)

cos 2(pt — cp — Vị/ — <ị>) , (2.26)

trong : Dj, D2 - h ằng sơ' tích phân

Các đại lượng (2.26) xác định sau : (p xác định theo (2.5), (ị) xác định theo (2.7), V|/ xác định theo (2.16), c xác định theo (2.20), B xác đinh theo (2.22)

Biểu thức (2.26) goi gần thứ cùa phương trình (2.1) Cấu trúc nghiệm gần tổng quát (2.26) giống cấu trúc cùa nghiệm tổng quát (1.15) Nghiệm (2.26) ổn định hay không ổn định phụ thuộc vào điều kiện đầu :

- Đ iều kiện đầu dẫn tới D2 = nghiệm ổn định v ì : y —» t - » 0 Đ iều kiện đầu dẫn tới D, * nghiệm khỏng ổn định v ì : V —> 00 t —> co Như :

• Đ ể tìm nghiệm theo phương pháp tựa cân điểu hồ [2], khơng cần đặt điều kiện lên hệ số cúa phươns trình xuất phát, khỏng cần giả thiết tham số bé

• Đ ể xác định B, c, Vị/ áp đặt (2.8) không cứng nhắc, linh hoạt lựa chọn c h o tìm đư ợc B, c , Vị/ n h ữ n g số thực

3 Phương trình đưa dạng phương trình (2.1) Xét phương trình :

z + 2vz + (co: -q c o s (3 t)z = (3.1)

Dùng phép đổi biến :

z = ye

Ta :

ỷ + [(or - v2) - q c o s p t ] y =

Phương trình (3.3) có d ạn a tươna tự phương trình (2.1) co2 - v: > Dựa vào (3.2) (2.6) ta viết lại biểu thức nghiệm cùa phương trình sau :

Q-cos 2(pt + cp + y + (ị>) (3.2)

(3.3)

z = D ,.e '(B+v)l.ex p - I c c o s ( p t + <p + y ) - - y

p 4p(4p +b Ỵ

+ D2.e(B‘v)'.e x p — C c o s ( p t- ( p - > |/) - - COS 2(pt — cp — V|/ — 4>)

p “ ' ■ 4 p (4 p + B 2}^

trong đ ó B, c tính theo (2.21), (2.23) n h n g với o r thay co2 - V2 Nghiêm (3.4) ổn đ ịn h không phụ thuộc vào điểu kiện đáu B < V Cõng trình h ồn thành với tài trợ H ội đ ổ n g Khoa học Tự nhiên

(3.4)

Tài liệu tham khảo

[1] G L LAMBER Element o f soliton theory A Wiley - Interscience Publication John Wiley and sons New York - Chichester - Brisbane - Toronto, 1980

[2] ĐÀO HUY BÍCH, NGUYÊN ĐẶNG BÍCH, ứng dụng plncơiig trình Van der Pol d ể ngliién cini hién

tượng ổn định khí động Tuyển tập cồng trình Hội nghị Cơ hoc tồn quốc lần thứ v n Hà Nội

Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ vn

H Nội, 12 - 2002

ÚNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VAN DER POL ĐỂ NGHIÊN c ứ u HIỆN TƯỢNG MẤT Ổn ĐỊNH KHÍ ĐỘNG

Đ H uy Bích Đ ại học Q uốc gia H Nội

N guyễn Đ ãng Bích

Viện KHCN - Xáv Dicng

Tóm t ấ t : Nghiên ciat liiện lượng m ất ổn định klú động dẩn tới ngiiiỂn cicií tinh chất nghiệm của phương trinh Van der Pol với hệ s ố phụ thuộc vào rán s ố cùa lực kicli dộng có giá trị hữu hạn khơng áp dụng phương pháp tham s ố bé Phương phái) lìirợc áp dụng đây phươìĩg pháp tựa cân bâng điểu hồ chimg tị dược việc bó qua điểu hồ bậc cao tà có sờ Tương tác yếu tố phi tuyến yếu tó cưỡng phương trình Van der Pol điếu kiện m ất ổn dịnh độníỊ đ ã nghièn cim bùi báo Iirìv.

1 Vài nét tượng ổn định khí động

1.1 M ấ t ổn định kích động xốy

Khi tách xốy xẩy phía sau m ặt đón gió có tính chất chu kỳ, tần số tách xốy vận tốc gió liên hệ với biểu thức

Sh = ^ , (1.1)

u : Sh - số Struhal, ns - tần số tách xốy,

D - kích thuớc tiết diện ngang, u - vặn tốc gió

Các kết nghiên cứu [1] cho thấy vận tốc aió tăng tần số tách xốy tăng tần sơ' tách xốy bầng tần số dao động riêng cùa kết cấu xẩy cộng hường, kết cấu lắc lư theo phươna cắt ngang luồne gió với bién độ lớn xẩy ổn định khí động Lúc liên hệ (1.1) khơng cịn nữa, tần số ns khơng tăng mà trì bang tần sô dao động riêng cùa kết câu, vận tốc 2ÍĨ vãn tăng M iền tán sơ tách xốy trì bảng tần sơ dao động riêng kẽt cấu gọi miền cô két tần số tách xốy, biên độ tăng giảm đột n g ộ t theo kiêu cộng hưởng Như kích động xốy xẩy m iền cố kết tần số

1.2 M ấ t ổn định G alloping

1.3 M hình nghiên cứii tượng m ất ổn định kh í động

Có nhiều m hình nghiên cứu tượng m ất ổn định khí độna, m ột nhữno mị hình m hình phi tuyến V an der Pol Trong trường hợp phương trinh chuven động có dạng [3]

m ịỹ + 2ệco, y+ m?yj = p u ^ Ị y, ( k ị l - e ( k ) ^ ị i + y2( k ) ^ + I CL(k)sin(cot + <p)Ị

(1.2)

, Dco

ở : k -tẩn số q uy đ ố i ,

Dcừ

co - tần số tách xoáy thoả mãn hệ thức : — = 27iSh (1.3)

Trong m ô hình y,, y2, CL £ hàm k, giá trị hàm lấy theo kết nghiên cứu thực nghiệm

1.4 Phương p h p giải

Đã có m ột sơ' phương pháp giải phương trình (1.2)

a) N ếu m iền cố k ết tần số tách xoáy co a co,, nếv xẩy trường hợp y2 = 0, C|_ = giải phưcmg trình (1.2) bầng cách áp dụng giả t h i ế t : gía trị trung bình cùa lượng hao tán sau chu kỳ bãng không [1]

I

/ 2m£ -p c o D 2y ỳ 2dt = 0, (1.4)

ớ thực tế xem y thay đổi theo quy luật điều hoà

y = y„coscừt (1.5)

b) Ta giải phương trình (1.2) cách áp dụng phương pháp Krưlov- B ogoliubov phương pháp phải có sử dụng giả thiết tham sô' bé c) G iải ph ơn g trìn h (1 ) cũ n g thực h iệ n phương pháp cân b àn g đ iều h o

[4] N hưng với phương pháp có cần giả thiết ràng buộc hệ số không ? Đ ây vấn đề cần xem xét thảo luận

2 Mơ hình nghiên cứu tượng ổn định khí động

Để nghiên cứu tượng m ất ổn định k h í động ta dùng mô hinh phi tuyến Van der Pol :

X - ( v - a x : )x + a r x + y x3 = q c o s ( p t) (2.1)

Nhân hai vế phương trình (2.1) với e kl, sau lấy tích phân theo t ta :

[x + (k + v ) x + a x 3]ek’ - J V l Ị q c o s ( p t ) - [ k ( k + v ) + o r ]x - (y - a k ) x jdt = c ,(2.2)

ờ k - sô' chọn cho :

k(k + v ) + (ú: =

Phưcmg trình (2.3) có hai nghiệm :

k, = - v + yjv- - C D ,

k , = - v - v v : - Cử2

(2.3)

(2.4)

Thay (2.4) (2.5) vào phương trình (2.2) ta :

x - ( k , + v )x + a x3 - e ~ k|' {ek|,[ q c o s ( p t ) - ( Y - a k , ) x 3]dt = c , e " k|' , (2.6) x - ( k , + 2v)x + ctx3 - e ’k!' j e k!,[ q c o s ( | t ) - ( y - a k , ) x 3]dt = c ;e_k:' , (2.7) Trừ v ế với v ế hai phưcmg trình (7) (6) ta :

(k, - k )x = e"k:' J e kỉ' [ q c o s ( p t ) - (y - a k ) x 3]dt - e ' k'' J e k,‘ [q c o s ( p t ) - (y - a k , ) x ]dt +

+ C2e - k=t - C , e - k' \ (2.8)

ờ c , Cj - số tích phân Hộ thức (8) viết dạng :

X = 1 [ v * 1' | e k|,x 3d t - A.2e ' k;t | e kỉ' x 3d t] + A c o s(p t + cp0) + — !— ( c , e ‘ k:‘ - c , e ‘ k

k , k k , - k

(2.9)

ở đ â y : X | = Ỵ - a k | , Ằ j = Ỵ - a k , ,

A = q [ p J + ( v - c o 2]p2 + co4] ^ , tg(p0 = - ^

Cũ - p

(2 10)

Nếu k,, k2 thực c „ c , chọn thực

Nếu k „ k2 phức liên hợp c , , c , chọn phức liên hợp 3 Tìm nghiệm riêng phương pháp gần

Nghiệm riêng phương trình (2.1) tìm từ biểu thức (2.9) cho c =c,=0 X = — ỉ— Ị^ie "k|1 j e k|tx 3d t - A.2e ‘ kjt | e k2' x 3d t] + A cos(ị3t + ©0) (2.11)

k, - k , 3.1 Gần th ứ khơng

M uốn tìm gần thứ k h ô n s ta cho X dấu tích phân khơng, ta gần th ứ k h ô n g m ộ t đ iề u ho b ậc n h ất

X = A c o s ( p t + cp0 ), (2.1 )

ớ đ â y A 0,cp x ác đ ịn h th eo cô n g thứ c (2 )

3.2 Gần thứ nhất

M uốn tìm gần t h ứ nhất, (2 1 ) t a thay X dấu tích phân bàng biểu thức c ó dạng gần thứ khơng :

X = A | c o s ( p t + (p0+ ( P | ) , (2.1 )

ờ ApCp, - số xác định trình giải

Bằng cách thay ta tìm :

X = - A ?

- a ( p ) + Í2vy + ao )2 )3Ị3 / \ -— u , ■— sin3(Bt + <p0 +<p,) + (3(3) + ( v - 2co: )(3P) +(D4

-♦ ỉ <

(y + 2a v )p2 - y u r / X

t F # ^ # w cosfe,+ip,+,,')

Hộ thức (2.14) k ết hợp với (2.10) viết lại dạng :

1 A

+ A0cos(p: + cp0) (2.14)

x = - A|

: r ^ ( k s in c p i + h c o s ( Pi) + 7

4 M M cos(pt + cp0) +

3 Ai ^

^ ( k s m c p , - h c o s c p ,)

ờ đ â y : k = - a p + (2vy + aco2 )p ,

h = (y + a v )p -yco2,

M : = [34 + ( v2 - c o )p: +C04 ,

a(3py-^vY + aco^p

(y + 2avX 3p)2 - y o r

sin(pt + cp0),

(2.15)

(2.16)

Một cách gần ta đ ặ t :

A, coscp, = —^ - ( k s i n c p , + h c o s ( p ,)+ —

4 M ; M

3 A

- A | sincpj = —— ^(kcoscp, - h s in (p ,) M

A ,- = — A? [ q 2(3 p )2 + r Ỵ l 3P) + ( v2- c o2X3P) + “ j p

(2 )

(2.18)

Với cách đặt (2.17), (2.18) biểu thức (2.15) viết thành tổng cùa hai điều hồ bậc bậc ba không cuns pha :

X = A , cos(pt + (p0 + ọ , ) + A,3 c o s3 (p t + (p0 +<p, ^<ị>) (2.1 ) Từ (2.17) suy :

A f - - - T - T 7A|* + — - j A | ị - = (2.2 0)

3 a p + y 9 a p +Ỵ 9 a p +

tgcp, = A, k

A,2h - - M

(2.21)

(p0 xác đ inh theo (2.10); A,,q>, xác định theo (2.20), (2.21) : A, (ị> xác dịnh theo (2.18), (2.16)

Biểu thức (2.19) gọi gần thứ Tính gần thể chỏ áp đặt hệ thức (2.17), áp đật đồng nghĩa với việc bỏ qua sỏ' hạng thứ hai (2 ) xem A,3 nhỏ A,

Vì áp đ ặt (2.17) chấp nhận k h i :

An < , (2.22)

A,

Bất đẳng thức điều kiện đặt lên hệ số cùa phương trình (2.20), (2.1) 3.3 Gần th ứ hai

M uốn tìm g ần đ ú n g th ứ h a i, tro n g (2 1 ) th ay X dấu tích p h ân b ằn g b iểu thức có dạng gần thứ

X = A , cos(pt + cp2) + A23 cos3(pt + cp2 +cpr ), (2.23)

ở A , , (p,, A 23, cp23 - h ằn s số xác định trình giải

Bằng cách thay ta tìm :

X = A , cos(pt + <p2) + A 23 cos[3(pt + <p,) + 3(p23 ] + - — A ị A ,3cos[5(ị3t + cp, + ộ 5) + 3<p, ] +

+ - — A 2A23 cos[5(pt + <p, + (|)5) + 6cp,3] + A ,a Ị3 cos[7(pt + + ộ ) + 6cp13 ] +

4 M j iM7

+ - - ^ - A L cos[9(pt + (p, + ộ9)+ c p ,3], (2.24)

4 M ,

trong A 2, A 23 tìm từ hệ phương trình :

A jM f - A 2(k ,b + h ,a ) + d ^ (a2 + b2) - q2 = ,

Aị3M ^ - A ^ A Ỉ + ^ A ; 3j + d ị A ^ | A ; + ^ A ; 3j

=°-1 (2.25)

K hi giải hệ phương trình (2.25) cần thoả mãn điều kiện

A » <1 (2.26)

A :

Bất đẳng thức đặt điểu kiện lên hệ sơ cùa phương trình (2.25) (2.1) ta thay

(p23 - tìm từ hệ thức

- k; n

tg3cp;3 = - Ỵ - — -3 T

4 h , - d ^ | A ; + j A Ỉ 3J

<p21 - tìm từ hệ thức

<p0 - tìm từ hệ thức (2.1 0)

(p2 - tìm từ hệ thức cp, = c p „ + ( p ; ] (2.29)

ờ đ â y : = —o t ( n p ) + ( v y + a c o ) n Ị ,

h „ = ( y + a v X n | ) - Ỵ C Ũ ,

tg(n<Ị)n) = - ^ , h„

d n = a2(np)2 + y 2,

M n2 = (n p )4 + ( v - 2co2 Xnp)2 + Cú4! 9 Aị

4 A 2

n = 1, 3, 5, 7, (2.30)

A 2d : ’

A : d ị

(2.31)

(2.32)

Biểu thức (2.24) gần thứ hai Quy trình tính tiến hành cho ốn tiếp theo, cho phép nhận nghiệm ngày xác

4 Ví dụ áp dụng

M ục trình bầy m ột vài ví dụ tìm gần thứ nhất, khn khổ báo khơng trình bầy gần

4.1 M ấ t ổn định kh í đ ộng x o y từ kích động ban đầu nhỏ.

Trong trường hợp tham số phương trình (2.1) lấy sau

2v = ; 3oc = 0.2ơ ; co2 = 1; y = 0,005 : q = p2

Khi từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm A „ A,3 hàm tần số tách xoáy p ứng với giá trị khác tham số = 0,05; = 0,45; = 0,60; = 75 Đồ thị A |, A|J phụ thuộc tần số tách xoáy p cho hình la , lb

H ình la Đ ường cong cộng hường A,

Phương trình (2.1) trường hợp khảo sát ona [5] b ần s phươna pháp khác Đ ường cong cộng hưởng A | hình la hoàn toàn trùng với kết [5],

H ình lb Đ uờng cộng hường A, Nhận x é t :

M ất ổ n định xẩy vùng tần số tách xoáy ,9 -ỉ-1,17 nghĩa vùng cộng hưởng biên độ tăng đột ngột, vùng cộng hường bièn độ giảm, vùng tán số chứa tần số dao động riêng k ết cấu £0 =

T rong vùng cộng hường = 0,60 = 0,75 phương trình (2.20) có ba nghiệm thực A, cịn = 0,05 = 0,45 phương trình (2.20) có nghiệm thực A,

Bất đẳng thức (2.22) thoả m ãn v ì :

0,185 8,539

0,48 5,192

< với = 0,05

< vói = 0,60 :

A „ 0,41

5,362

0,56

< với = 0,45 ;

1 1 = < với = 0,75 ;

A 5,081

- M ất ổn định xẩy vùng tần số 0,94 -ỉ- 1,17 có chứa tần sộ dao động riêng goi m ất ổn định kích động xoáy, tượng thường xẩy với kết cấu cao mềm tiết diện ngang tròn Đường cong biên độ A, thu trường hợp có dạng tương tự đường cong biên độ thu đuợc [3] tr 161

4.2 M ấ t ổn định kích động x o y từ kích độ n g ban đấu lớn

Trong trường hợp tham sô cùa phương trinh (2.1) lây sau : 2v = ơ; a = ,2 ; co2 = 1; Y = 0,005(3; q = p2

Khi đ ó từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm A „ A,3 hàm tần số tách xoáy (3 úng với g iá trị khác tham sô = 0,325; = 0,45: = 0,60; = 0,75

ĐỒ thị A |, A|J phụ thuộc tần số tách xốy p cìiO trên hmh 2a, 2b

H ình 2a Đ ường cong cộng hườns A|

H lnh 2b Đ ường cộng hường A|1 Nhân x é t :

M ất ổn định xẩv vùng tần sị tách xốy 0.94 1,17 vùng tán sơ chứa tần số d ao động riẻna cùa kết câu (0 =

T rong vùng cộng hường = 0,60 = 0.75 phương trình (2.20) có ba nghiệm thực A, cịn = 0.325 = 0.45 phương trình (2.20) có nghiêm thực có giá trị tăng giảm đột ngột

Bất đẳng thức (2.22) thoả mãn cá hai điểm cực đại cúa đổ thị déu I

< với = 0.325

A,3 4,3

<1- A,3 0.4

A, 29,738 A, 5,627

A „ 2,285

< 1.A,3 0,421

A, 21,580 A, 5,364 a;3 1,281

■<1‘.A,3 = — — <0,491 A, 16,083 A, 5,176 A „ 0,782

< • A,3 0,561

A, 12,695 A, 5,055

với = 0,60

M ất on định xẩy vùng tần sơ 0,94 -ỉ- 1.17 có chứa tần sô dao động riêng gọi m ất ổn định kích động xốy Trước tăng đến cộna hưởng có '.'ùng tần số biên độ Aị giảm gọi m ất ổn định kích động xốy từ kích động ban đầu lớn Đường cong biên độ A | thu trường hợp có dạng tương tự đường cong biên độ thu [3] tr 163

4.3 H iện tượng G alloping

Trong trường hợp tham số phương trình (2.1) lấy sau :

2 v = ; a = |3 ; co2 = l ; = 0,0 : q = p

Khi từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm A |, A,3 hàm tần số tách xoáy p ứng với giá trị khác tham số = 0,03: = 0,04; = 0,05: = 0,06 Đồ thị A , A l, phụ thuộc tần số tách xoáy p cho trẽn hinh 3a, 3b

p

-H inh 3a Đường cong cộng hường A,

-Al3

H ình 3b Đường cộng hường A, N hận x é t :

M ất ổn định xẩy không m ột vùng tần số m tần số tới hạn lớn tần số dao động riêng kết cấu, sau tần số tới hạn biên độ tăng tãng tiệm cận vói m ột giá trị định

Đường cong cộng hưởng A, ứng với khác có điểm giao cắt chung điểm tói hạn (P = 1,27 ; A = 10,0 )

Trong khoảng tần số 0,2 + 0,9 phương trình có nghiệm thực A[ < , vì vậy khơng có đồ thị A, m ặt phẳng hệ trục toạ độ thực

Bất đẳng thức (2.22) thoả mãn

15.561 26399

13,246 : 21,053

<1 với = 0,03; —- = — — - < 1; với = 0,04 ;A,3 14.162

A, 23.264

A u 12.869 = — —— < A, ' 19,495

< với = 0,05 ; —— = — < 1; với - 0,06 ;

M ất ổn định xẩy m ột tần số tới hạn lớn tần số dao động riêng sau tần sô tới hạn biên độ dao động tăng tiệm càn với m ột giá trị nhát định gọi mãt ổn định G alloping, tuợng thường xẩy đơi với vật thê có tiẽt diện ngang bao quanh xấu Đ ường cong cộng hường A, thu đựơc trường hợp có dạng tư n g tự n h đ ờng c o n g b iên đ ộ th u tro n g [3] tr 167

4.4 Trường hợp tìm nghiệm gần dũng khơng dìừig rấp XI thứ nhát.

Trong trường hợp tham số cùa phương trình (2.1) lấy sau :

(3.10-2v = ơ; a = ơ(3; co2 = 1; = 0,005; q = p2

K hi từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm A „ A,3 hàm tần số tách xoáy p ứng với g iá trị khác cùa tham số = 0,25: = 0.4 5: = 0.7 5: = 13 Đổ thị củ a A „ A,3 phụ thuộc tần số tách xoáy [3 cho trẽn hình 4a, 4b

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199 210 221 232 243 254 265 276 287 298

Hình 4a Đường cong cộng hưởng A|

Hình 4b Đ ường cộng hường A „

Nhận x é t :

Đ ường cong cộng hường A | úng với khác có miền kết tẩn sơ biến thiên trong khoang 0,84 -ỉ- 1,0 Các tần sò nằm khoảns nàv nhỏ tần sò dao động rièng kết cấu

Bien độ dao động VƠI p < 0,84 diên biến phức tạp, với p > diễn biến gần Bất đẳng thức (2.22) không thoả mãn v ì:

A,3 22,524 , ^ „

A = 14 * > = > 1: với = 0,45

A ,3 37,624

A, 14,287

A 13 104,941 A , : 14,171

A,3 60,105 , ,,

= > với = 0,75 ; > 1; với =

A, 14,203 A , 14,171 ’

A

- Vì —^ > với nằm khoảng 0,25 -ỉ- 1,3 nên tìm nghiệm theo gần

A-1

đúng thứ m phải tìm nghiệm theo gần thứ hai 5 Kết luận

- Đề xuất phương pháp tính gần - tựa cãn điều hoà.

- Để bỏ điều hồ bậc cao phải có điều kiện đặt lên hệ số phươna trình (2.1)

- Phát m ộ t s ố tính c h ấ t p h ù h ợp với kết q u ả thực ng hiệm G óp ph ần giải thích m ặt lý thuyết tượng

- Sự hội tụ phương pháp m ới thực số, cần có chứng m inh lý thuyết chặt chẽ

Cơng trình hồn thành với tài trợ cùa Hội đồng Khoa học Tự nhiên

T i liệu th a m k h ảo

[1] R H SCA LA R Flutter Derivatives at Vortex Lock - in Struc E n g , ASCE (to appear Apứi 1998).

[2] G V PARKINSON Aeroelastic Galloping in One Degree o f Freedom , in Proceeding of Symposium on W ind Effects on Buildings and Structures, Vol National Physical Laboratory, Teddinston, UK., 1963 pp 581 - 609

[3], E SIMIU R H SCALAN Wind Effects on Structures A Wiley - Interscience Publication John Wiley and sons, 1986 509p

[4], Ueda Y The road to chaos Aerial Press, Inc, 1992.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘI

V IE TN A M N A T IO N A L U N IVER SITY H AN O I

I55N DB6Ê-B612

T KHO

J O U R N A L

T Ữ Á

VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY, HANOI JOURNAL OF SCIENCE

T XIX, No 3, 2003

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TẠP CHÍ KHOA HOC

T XIX, SỎ' 3, 2003

EDITORIAL COUNCIL

CHAIRMAN

V ũ M in h G ian g E ditor in C hief

MEMBERS

• N guvẻn V ãn T h o ả (Deputy Editor in Chief) • N guvẻn N h ụ v (Editorial Secretary)

• VŨ D u o n g N in h

EDITORIAL BOARD OF MATHEMATICS - PHYSICS

• N guvễn Đ ìn h Đ ức ( H e a d o f B o a rd ) • L u V ãn Bói

• N guvẻn Đ ìn h Đức

• L ê V ãn C ả m • N guvẻn V ăn Lọi

• N g u v ẻn C h â u • N g u v ẻn X u â n H n

• Đ ặn g H ù n g T h n g

• N guvẽn H ữu C õng • N guvẽn V ãn M in h

• N guyễn P h ú T h ù y

VN U JO U R N AL O F SCIENCE, Mathematics - Physics T.XIX, Nq3 - 2003

ON THE ELASTOPLASTIC STABILITY PROBLEM OF THE CYLINDRICAL PANELS SUBJECTED TO THE COMPLEX LOADING W ITH THE SIMPLY SUPPORTED

A N D CLAMPED BOUNDARY CONSTRAINTS D a o V a n D u n g

Department OĨ Mathematics, College o f Science, VNU

A b s t r a c t In th is p ap er, an elasOoplastic s ta b ility problem of the cylindrical panels under th e action of th e com pression force along th e g en eratrix and external pressure has been in vestigated By th e B ubnov-G alerkin m eth o d , we have established th e expression for d e te rm in in g th e critical loads T h e sufficient condition of extrem um for a long cylindrical p anels w as considered Som e num erical resu lts have been also given an d discussed

1 F o r m u la tio n o f t h e s ta b ili ty p r o b le m a n d f u n d a m e n ta l e q u a tio n s

Let us consider a round cylindrical panel of thickness h and radius of the middle surface equal to R We choose a orthogonal coordinate system O xyz so th a t the plane O xy co in c id e s w ith t h e m id d le s u rfa c e a n d th e a x is Ox lie s a lo n g th e g e n e trix o f cy lin d rica l p a n e l w h ile y = R 91 w i t h -th e a n g le c c u la r a r c a n d in th e d ire c tio n o f th e n o rm a l to th e m id d le s u rfa c e D e n o te t h e sid e s o f c y lin d r ic a l p a n e l b y a a n d b re sp e c tiv e ly to th e axis O x and Oy.

■ Suppose th a t th e cylindrical panel is sim ultaneously subjected to the compression fo rce o f i n te n s ity p(t) a lo n g t h e g e n e r a tr ix a n d e x te r n a l p r e s s u r e o f in te n s ity qi(t') in c re a s in g m o n o to n o u s ly a n d d e p e n d in g a r b it r a r i l y o n a n y lo a d in g p a r a m e te r Í W e h a v e to find th e c ritic a l v a lu e s t = t „ p = p ( i , ) , Vi„ = <?1 (t„ ) a t w h ic h a n in s ta b ility o f th e s tr u c tu r e s a p p e a r s In o r d e r t o in v e s tig a te t h e p r o p o s e d w e w ill u se th e c r ite r io n o f b ifu rc a tio n o f e q u ilib riu m s t a t e s a n d d o n t ta k e in to a c c o u n t t h e u n lo a d in g in th e c y lin d ric a l p a n el A fte rh e r e w e w ill p r e s e n t t h e f u n d a m e n ta l e q u a tio n s o f s ta b ility p ro b le m

1.1 P re - b u c k lin g p r v c e s s

S u p p o s e t h a t a t a n y m o m e n t t in t h e p r e -b u c k lin g s ta g e , th e r e e x is ts a m e m b n e p la n e s tr e s s s t a t e

= - p ( t ) - ~p< ơvv = - ) - ^ - “ ?(*) -

&12 = ơ 13 = <723 = <733 = ;

ơ = “ (p + g), ơu = (p2 - PQ + ợ2)1/2- í1-1)

T h e m a te r ia l is a s s u m e d to b e in c o m p re s s ib le

£33 = - ( - 1 + £22

)-T y p e s e t by

The c o m p o n e n ts o f t h e s t r a i n v e lo c ity te n s o r d e te r m in e d a cc o rd in g to th e th e o r y o f e la sto - p la s tic p ro c e s s e s a r e o f th e fo rm [1]

On the ela sto p la stic s ta b ility ■problem o f y

i l l = ^ ( - i > + ị q ) - Q ( s , t ) ( p - ị q ) , S2 2 = j ỹ ( - q + ị p ) - Q { s , t ) ( q - ị p ) ,

£ 3 — — ( ẻ ll + £22); é i l = C13 = '23 = 0,

( 1.2)

w here

/ 1 N PP + 99 - - õ?<7

Q (s ’í ) = p2_ p ọ +

T h e a r c - le n g th o f t h e s t r a in t r a j e c t o r y is re sp e c tiv e ly c a lc u la te d b y th e fo rm u la

fa = + =1 ^ 2 + -22) 1/2 - ^ ( s : - (1-3)

So th e e q u ilib riu m e q u a tio n s a s s o c ia te d w ith th e re la tio n s (1 ), (1.3) a n d b o u n d a r y co n ­ d itio n s e n tire ly d e fin e th e s tr e s s a n d s t r a in s t a te a t a n v p o in t M in th e s t r u c tu r e a t any m o m e n t o f p r e -b u c k lin g p ro c e s s

1.2 P o s t- b u c k lin g p r o c e s s

T h e s y s te m o f s t a b il i ty e q u a tio n s o f th e th in c y lin d ric a l p a n e l e s ta b lis h e d in [5] is w r itte n in th e fo rm

d^Sw ỡ 4(5w d^Sw f d 2Sw d 25w d2(fi\

a i l W + a d x 2d y + a ' ° l W + J M \ Pl W + q l W ~ R d ^ ) = ’ (14)

, a v , Ớ V „ Ỡ V N d 25iu „

w here th e c o efficie n ts O j, Pi (i = ,3 , 5) a re c a lc u la te d as follow s _ , / N /, _ v _ \ p q

W iV \ ( q - p ) 2

a i = L - - A l - N ) ^ u ’ ữ3 = 2 \ N J Ỡ Ĩ

n ' - V /V

" s = I1 A - + l ỹ _ J ^ Ỉ

„ n l ( N , \ { V - q ) ( q - V) a , I f N A (2p - q f

A = 2+ l ^ " V - - ; «72

( )

For s o lv in g th e s t a b il i ty p r o b le m o f c y lin d ric a l p a n el, w e c o n sid e r tw o ty p e s o f k in e m a tic c o n s tra in ts fo llo w in g

* T h e c y lin d r ic a l p a n e l is s im p ly s u p p o r te d a t th e fo iư e d g e s X = X = a , y = 0,

y = b.

D a o V a n D u n g

2 T he solvin g m eth od for th e sim ply supported cylindrical panel at four edges

We find the increment of deflection Sw in the form

M M „

r A ĨITĨX 2 m r y

ò w = > > Amnsin — sin ——

a b

m = l n = l

(2.1)

i t is e a s y t o see t h a t t h is s o lu tio n s a tis fie s th e k in e m a tic b o u n d a r y c o n d itio n s

S u b s ti t u ti n g t h e e x p re s s io n o f Sw in to (1.5) w e re ce iv e th e p a r tic u la r s o lu tio n ý as follow s

M M m = i n =

m r x 2rmy

, sin — — s in (2.2)

w h e re

N / r r i n\ - /■ r m r \4 / m - \ / ? z ; r \ „ / n T \ ] -

= a ) M M v ) + M x ) ( ) + H ) ] ■ (2 -3)

Br,

I t is se e n t h a t th e sv st.em o f fu n c tio n s

TTL7TCC 2 n i r y

SiVmn - sin ——— sin (m, n = , , , M )

a b

is linearly independent Therefore we can apply the Bubnov-Galerkin m ethod for estab­ lishing an expression of critical forces

F i r s t o f 'a ll , s u b s ti t u te t h e e x p re s s io n s o f Ỗw a n d Ifi fro m (2 ), (2 ) in to (1.4),

i~ x 2j Try

a fth w a rd m u ltip ly b o t h sid e s o f th e j u s t re ce iv e d e q u a tio n b y ỖtL'ij = s i n - s in — a n d in te g r a te t h a t e q u a tio n fo llo w in g X a n d y F in a lly w e g e t

f f \ dA6u' d i 6w d 4Su: / d 2ỗw d2Sw d2i f \

J J ° l l ^ + a d x 2d y + a l ) y r + h ? N \ P d x + q d y ~ R d ĩ )

0

sin sin dxdy = (i j = , , M). (2.4)

a 0

F o r ta k in g th is in te g r a l, it n e e d s to u s e th e re s u lt

a b - _ n f w ith m / i : n / j

f f rrưĩTx i~ x n n y 2 j n y I r

s m - s i n - s in — -— sin -^7— = < ab

J J a a b — w ith m = I n = J.

0 K

A fte r s e rie s o f c a lc u la tio n s , th e r e la tio n (2 ) giv es u s

Because o f t h e c o n d itio n o n t h e e x is te n c e o f n o n - tr iv ia l s o lu tio n i.e ,4mn ^ th e n receiv e th e expression, fo r d e te r m in in g c ritic a l lo a d s

O n the ela sto p la stic sta b ility problem o f .

+

( m i r y f i f m y ( m r \ * 9 - / m - \ i / 2n ~ \ ^

( a ) l b ) + M ) - l h p \ a ) + n )

9 /m T \ r /m T \ /r m r \2 / r m \ i „ / n - ' , - i

a ) 1A ( « ) + A ( „ ) ( ) + * ( ff ! ] “ I2-6) P u t t in g X = ^2~ ) > ^ = n > j ; th e r e la tio n (2.6) c a n b e r e w r itte n in th e o th e r

4 N n + Q3 + — j + ,Ỡ3 + -jjr'J y 2

1 = X T n r r (2.7)

j ' ( p * + ) ( / ? 1* + /2j + ệ ) -477 2H 2

, di di

M in im iz in g i , it m e a n s —~p = = t h a t y ield s

Ơ-/Í ƠI

^ = — - — - -g— ; (2.8)

2*2# ( p + £ ) ( / ? ! * + f t + § )

( a , - ậ ) (a x + /?3 + I ) - (a - | | ) ( a ,A - + S3 + y

+ _ ^ 2q g y f o i * - + a + ặ ) ( a x + J + y ) = 0- (2-9) X2

S u b s titu tin g th e e x p re s s io n s (2.8) a n d (2.9) in to (2.7) w e o b ta in

4/V262

* ( ’ ♦ * )

r + a + -ỵ I + A + "y I (2.10)

w h e re X is fo u n d fro m th e e q u a tio n (2 )

A p p ly in g th e lo a d in g p a r a m e te r m e th o d [1], a n d so lv in g s im u lta n e o u s ly th e e q u a tio n (1.3) a n d (2 ) w e c a n fin d th e c r itic a l v a lu e s i„, p = p{t*), q, = g i t )

F o r long cylindrical panel, i.e y = X <c we h a v e fro m (2.7)

j N f a s f c b2N

(jjX + q)/35 - CoX* ° i - 2R 2

C a lc u la tin g - T - = le a d s u s X = = X In a d d itio n

ỜẤ. 2Co

g2i2 = Z C y N j S a v h

^ D a o V a n D u n g

S u b stitu tin g th e values of a 5, j3b and X = X into (2.11) we ob tain

,2 4N 2b2

i — w f V N ) p ? — p g + g 2 R ĩ { P2 \ + l ( ỉ í _ 1\ j z j ) L w ĩ ỉ L

L \ < Ể > ' J j P — p q + q ] 7T2 / ? ^

} • (2.12)

3 T h e s o lv in g m e th o d fo r t h e s im p le s u p p o r t e d c y lin d r ic a l p a n e l a t y —

y = bs im u lta n e o u s ly c la m p e d a t t h e sid e s X = X = a

T h e k in e m a tic b o u n d a r y c o n s tr a in ts o f s ta b ility p ro b le m a re sa tis fie d c o m p le te ly b y c h o o sin g

6w ~ Cmn Í1~ 008 2m7rx)sin ■ (3.1) U sin g th e e q u a tio n (1 ) a n d th e e x p re s s io n o f Sw w e c a n fin d th e p a r ti c u l a r s o lu tio n if in th e fo rm

V’' ^ 2miTx 2 m r y

<p = V V A n n COS — sin —ỵ — (3.2)

w h e re

Dmn

jV / 277Ỉ7T \ r ( m T T \A [ r r v K \2 f m r \ 2

= a(; a ) H a ) + M a ) ( ) + M ) J • (3-3)

( m ~ x \ 2 m r y

I t is p o ss ib le t o p ro v e t h a t t h e s y s te m o f fu n c tio n s ow-mn = — COS - sin —-—

V a J b

is lin e a rly in d e p e n d e n t T h e n w e c a n u se th e B u b n o v -G a le rk in B y t h e sa m e m e th o d p re s e n te d in t h e a b o v e p a r t w e c h a n g e th e e q u a tio n (1 ) in to a r e la tio n a s follow s

f f r d ^ỏu: d i S w d AS w Ị d 2ỏ w c P õ w \

J J \ a x d ^ +azd ^ + a i d ^ + l^N\p d ^ + q d ^ )

0

- m m s } i - cos2J? ) sin 2Jr d x d y = ( i ’ J‘ = ’ A /)- (3-4)

F o r ta k in g t h i s in te g r a l a b o v e a ll w e s u b s ti t u te ỖVŨ a n d if r e p re s e n te d b y (3.1) a n d (3.2) in to (3 ), a f te r w a r d s i n te g r a t e t h a t re c e iv e d e x p re s s io n W e w ill o b ta in a s y s te m o f lin e a r algebraic equations w ith t h e u n k n o w n s Cij w h ic h is w r i t te n in th e m a t r i x fo rm

[0jj][Cjj] = 0; i, j = , , M (3.5)

B e c a u se o f t h e - c o n d itio n o n t h e e x is te n c e o f n o n - tr iv ia l s o lu tio n i.e Cij — th e n th e d e te r m in a n t o f tile c o e ffic ie n ts o f Cij m u s t b e e q u a l to zero

O n the ela sto p la stic sta b ility pro b lem o f . 13

A s s o c ia tin g t h is e x p re s s io n w i t h (1 ) w e c a n d e te rm in e th e c ritic a l v a lu e s t p = p(t ) <J» = ?(£•)•

N o te t h a t a d e v e lo p m e n t o f t h e d e te r m in a n t (3.6) in g e n e l c a s e is c o m p lic a te d m a th e m a tic a lly th e r e f o r e w e w ill ta k e th e s o lu tio n in th e firs t a p p r o x im a tio n

I n th is c a s e w e c h o o se Sw a n d (p in th e fo rm

6w= c m„_ ^1 - co s / 7 7 \ — -— j sin —— ,'I n - x y N (2rrvn\2^

z _) _ _ - / 2m r\4 „ /2 m n\ / 2íiĩr \ , /2 n T \ ( <1 ) + *1^ ) ( i r ) + A ( i r )

í 2? ) c ™ 2m « 2„ * „

(3 ' , o Õ - ; c o s - s in — — •»v A a lii

-2t w tỴ a

6 /

S u b s titu tin g ỔIƯ a n d Í/P in to (3 ), in te g r a tin g t h a t r e la tio n a n d ta k in g in to a cc o u n t the c o n d itio n c mn7^ le a d s u s

ab ( /2m -7T \4 f2m-iĩ\ / 2717TN2 /2 n T \4 r {2m -K \2 / n r \2 -

t M a ) + a ( T ) ( T ) +3C ) + * h r ) j

9 /2 m T \4 r /2 m T \4 /'2m7i\2 f'2m r\2 /2 n T \4i -1-1

+ ĩ í ĩ ĩ ( a ) if t ( a ) + A ( « ) ( ) + f l > ( i ) ' } - “• <3-8>

' m b \ 2 36

U sing n o ta tio n s £ = 722 ; 77- (— ) ; i = — , th e e q u a tio n (3.8) is r e w r itte n as follows

\ n a / h

4 /Vtt2 ^Cti77 4- q3 + — + 0 + —

3<n 7 _ /3 s \ F T 3.9)

<9i2 Ỡ22

M in im izin g th is r e la tio n i.e -T— = — - = gives u s

ơ£ <777

(3,10)

(«1 - ặ ) + + ệ ) - (ft - ặ ) (a^ + +

+ (Qlĩ? + Q + + * + f ) = °‘ 3Q;

V

(3.11)

P u ttin g t h e j u s t fo u n d v a lu e s o f £ a n d 7] in to (3.9) w e h av e

L - J | a 177 + Q3 + ^ Ị | A ^ + A + Ệ } , (3.12)

i2 = 4/v2fr2

R 2

14 D a o V an Dung

F o r fin d in g t h e c r itic a l v a lu e t , o f l o a d in g p a r a m e te r Í, w e n e e d t o so lv e s im u lta n e ­ o u sly th e e q u a tio n (1 ) a n d (3 )

A fte r d e te r m in in g u w e c a n o b t a i n t h e c ritic a l fo rces as follow s p = p ( M > - = ? ( * ) ■

N ow co n sid er t h e c a s e o f a lo n g c y lin d ric a l p a n e l B a se d o n [2] le a d s u s

T h e m in im iz a tio n o f t h e e x p re s s io n i2 in (3.13) i.e = y ie ld s TỊ =

OT\ Co

M oreover

S i - — ° t f ' \ > (3.14)

So th e sufficient c o n d itio n o f e x tr e m u m is sa tisfie d T a k in g in to a c c o u n t Q5, /?5, tị., th e re la tio n (3.13) b e c o m e s

1 / ậ' \ cf

12b2N f l N J p i - p q + q2

R9 "1 „ r ( N \ (2p - q ) 2 3b2N J

I2

R e m a r k s

1) I f th e c y lin d r ic a l p a n e l h a s a v e ry s m a ll c u r v a tu r e i.e R —» + o o ; q = a n d

m = 1,77 = th e n t h e e x p re s s io n (2.7) co in cid es w ith t h e r e s u lt o f [1 5, 7]

2) If b = 2ttR t h a t m e a n s t h e c y lin d ric a l p a n e l b e co m es a c lo s ed ro u n d cy lin d rica l shell, th e n t h e e x p re s s io n s (2 ) (2 ), (3 ), (3.15) r e tu r n re s p e c tiv e ly t o th e p re v io u s w ell-know n re s u lts

4 N u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s a n d d i s c u s s i o n

A n u m e ric a l a n a ly s is is c o n s id e re d o n th e lo n g c y lin d ric a l p a n e l m a d e o f th e steel X rC A w ith a n e la s tic m o d u lu s 3G = 2.6 • 105 M P a , a n y ie ld p o in t ƠS = 400 M P a a n d th e m a te ria l f u n c tio n 4>{s) p r e s e n te d in [1]

T h e r e la tio n s fo r d e te r m in in g th e c ritic a l lo a d s a r e g iv en in th e form :

* Formulae (2.12) and (1.3) f o r the p art a ) o f th e e x a m p le s

* F o rm u la e (3 ) a n d (1 ) fo r th e p a r t b) o f th e e x a m p le s T h e n u m e ric a l r e s u lts a r e re a liz e d b y th e p ro g m o f M A T L A B

E x a m p l e T h e c o m p le x lo a d in g law is given in th e fo rm

p = p(t) = po + P1Í 4; q = q{t) = qo + Q\U

a) Num erical results for th e simply supported cylindrical panel

On th e elaâiũplastic s ta b ility problem, o f .

Table : = -

R

R

h t s ■ 1 p , M P a q, M Pa ơ'u M Pa

1 0 8.27 2.639 470.7 2.827 469.3

2 0 1 1.780 434.7 2.811 433.3

300 8.03 1.636 418.7 2.803 417.3

400 7.94 1.533 399.8 2.794 398.4

500 7.64 1.308 342.4 2.764 341.1

s ric a l r e s u lts fo r th e c la m p e d c y lin d ric a l p a n e l

Table 2 Ỏ _

: R ~ 5 R

h t s ■1 p » MPa g, MPa Ơ* MPa

1 0 8.44 4.392 • 508.3 2.843 506.9

2 0 8.25 2.440 464.7 2.825 463.3

300 8.13 1.880 439.6 2.813 438.2

400 8.09 1.734 429.7 2.809 428.3

500 8.04 1.647 420.3 2.804 418.9

MPa

16 D ao V an Dung

E xam ple 2 Suppose th a t th e complex loading law is of th e form p = p(t) = P0+ P i i 3; po = M P a, p ! = M P a

q = q(t) = 90 + Ợ1Í2; 90 = MPa, i= M P a

a) Results of num erical calculation for th e simply supported cylindrical panel

Table : =

-R

R

h t s ■1 p , M Pa g M Pa cr* M Pa

1 0 16.90 2.581 484.7 30.563 470.2

2 0 16.47 1.775 448.5 29.117 434.7

300 16.25 1.609 431.1 28.408 417.6

400 15.83 1.479 399.1 27.075 386.2

500 14.54 1.145 23.146 298.6

b) Results of num erical calculation for th e clamped cylindrical panel

Tabl e4 : ị = ị

R

h t s -1 p» M Pa q, M Pa <7* MPa

1 0 17.34 • 4.278 523.1 32.059 507.9

2 0 16.82 2.373 478.1 30.301 463.7

300 16.52 1.831 452.6 29.282 438.7

400 16.37 1.689 440.8 28.804 427.2

500 16.21 1.588 428.0 28.279 414.6

O n the e la sto p la stic sta b ility p ro b lem o f . 17

T h e a b o v e r e c e iv e d r e s u lts le a d s u s to so m e co n clu sio n s

1 By using th e Bubnov-G alerkin we have solved the elastoplastic stability problem o f th e c y lin d ric a l p a n e ls w i t h tw o ty p e s o f k in e m a tic b o u n d a r y c o n s tra in ts

2 W e h a v e sh o w n , fo r lo n g c y lin d ric a l p a n e l, th e su fficient c o n d itio n s o f e x tre m u m T h e c r itic a l lo a d s o f t h e s im p ly s u p p o r te d c y lin d ric a l p a n e ls axe alw ay s sm a lle r th a n c ritic a l lo a d s o f th e c la m p e d c y lin d ric a l p a n e ls (see ta b le s 3, a n d fio n res 2)

4 T h e m o r e t h e c y lin d r ic a l p a n e l is t h in t h e m o re th e v a lu e o f c ritic a l s tre s s in te n s ity Ơ-* is s m a ll (see ta b le 1-, 3, 4)

T h is p a p e r is c o m p le te d w i t h fin a n c ia l s u p p o r t fro m t h e N a tio n a l B asic R esearch P ro g m in N a t u r a l S cien ces

R e fe re n c e s

1 D a o H u y B ich , Theory of elastoplastic processes, V ie tn a m N a tio n a l U n iv e rs ity P u b ­ lis h in g H o u s e , H a n o i 1999 (in V ie tn a m e s e )

2 Volmir A s Stability o f defoi-mable systems, Moscow 1963 (in Russian).

3 U lo L ep ik , B if u r c a tio n a n a ly s is o f e la s tic -p la s tic c y lin d ric a l shells, Int Journal of

Non-linear Mech 34(1999), 299-311.

4 w T K o ite r , B u c k lin g a n d p o s tb u c k lin g b e h a v io u r o f a c y lin d ric a l p a n e l u n d e r a x ia l c o m p re s s io n , Nat Luchtvaart labort Rep., N o (1 ), A m s te rd a m D a o V a n D u n g O n th e s t a b il i ty p ro b le m o f c y lin d ric a l p a n e ls a c c o rd in g to th e

th e o r y o f e la s to p la s tic p ro c e s s e s P r o c e e d in g o f th e S e v e n th N a tio n a l C o n g re ss on M e c h a n ic s , H a n o i, 18-H20 D e c e m b e r 2002, p p 141-150 (in V ie tn a m e se )

6 Dao Van Dung, Solving m ethod for stability problem x>i elastoplastic cylindrical sh e lls w ith c o m p re s s ib le m a t e r i a l s u b je c te d to co m p lex lo a d in g p ro c ess es , Vietnam

Journal o f Mechanics N CST of Vol 23, No 2(2001) pp 69-86.

VNU JO U RN AL OF SCIENCE, M»thematics - Physics T.XIX, N03 - 2003

REMARKS ON THE SHOOTING METHOD FOR NONLINEAR TWO-POINT BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

A b s t r a c t In th is note, we prove a convergent theorem for th e sh o oting m ethod combin­ ing th e explicit E u le r’s schem e w ith th e N ew ton m ethod for solving nonlinear two-point bo u n d ary problem s (T P B V P s) Some illu strativ e num erical exam ples are also considered A convergent re su lt o btained before by T Jankow ski is a p articu la r case of our result, w hen th e b o u n d ary condition (BC) becom es linear

1 I n t r o d u c t i o n

T h e s h o o tin g m e th o d fo r T P B V P s h a s b e e n s tu d ie d th ro u g h ly in m a n y w o rk s (c.f Ịl-lO ]) H ow ever, th e c o n v erg e n ce o f th e m e th o d d id n o t receiv e a d e q u a te a tte n tio n o f re se a rc h e rs I n 1995, T J a n k o w s k i g av e a n a d e q u a te p r o o f for a c o n v e rg e n t th e o re m o f a s h o o tin g m e th o d

I n th is p a p e r , w e w ill g e n e liz e th is r e s u lt fo r n o n lin e a r o rd in a r y d ifferen tia] e q u a ­ tio n s (O D E s ) w ith n o n lin e a r b o u n d a r y c o n d itio n s

C o n s id e r th e p ro b le m

w h e re / : J X E ’’ —> R ’’ is c o n tin u o u s in Í a n d c o n tin u o u s ly d iffe re n tia b le in y , ộ : R ” X R '’ —> R p c o n tin u o u s ly d iffe re n tia b le in b o t h v a ria b le s

I f w e d e n o te y = y(t: s) a s o lu tio n o f ( l a ) s u b je c t to in itia l c o n d itio n

w h e re <t>'(s) = y(b\ s ) ) + y(b; s)).y's (b; s) a n d o u <h axe p a r ti a l d e riv a tiv e s o f Ộ

w ith re sp e c t to th e first a n d t h e s e c o n d v a ria b le s , re sp e c tiv e ly In a d d itio n , y ( i : s ) —

y1 (t: s) c a n b e fo u n d a s a s o lu tio n o f th e rvp

N g u y e n T r u n g H i e u

Department o f Mathematics, College of Science, VNU

y' = t e J = [q.6] <t>(y(a),y(b)) = 0,

( l a )

( l b )

y(a) = s.

th e n th e p ro b le m is r e d u c e d t o t h a t o f fin d in g s = s w h ic h solves th e e q u a tio n

é ( y { a :s ) ,y ( b \s ) ) = ậ(s,y (b;s)) = T h is e q u a tio n c a n b e so lv e d a p p r o x im a te ly b y th e N ew ! o n s ite r a tio n

S j - ! = S j - ộ l(s:i,y(b]sj ))~ 1<p(sj , y { b \ s j ) ) ĩ j > ,

(1c)

(2)

(3)

(4)

Typeset by Ạạ^S-TeX

VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY, HRNOI

JOURNAL OF SCICNCC

MATHEMATICS - PHYSICS

T.XIX, No - 2003

CONTENTS

N guyen T u a n A n h , P h u n g Q u o c B ao, A black-box m odel o f optical am plifier chains in optical fibre telecom m unications system s

D ao V an D u n g On the elastoplastic stability problem o f the cylindrical panels subjected to th e com plex loading w ith the sim ply supported and claim ped b o u ndary co n strain ts

N guyen T r u n g H ie u , R em arks on the shooting m ethod for nonlinear two- point boundary-value p ro b lem s 18

N guyen V an M in h , N g u y en M in h M a n , On the asym ptotic behavior o f solutions o f neutral delay difference equations 26

V u D u e M in h T he advantages o f the new proposals in the dipole-dipole induced p o larization sounding m ethod 39

THỂ LỆ GỬI BÀI CHUYÊN SAN TOÁN - VẬT LÝ

I Chun san Tốn - Lý Tạp chí Khoa học - Đại học Quốc gia Hà Nội cịng bó cồng trinh nghiên cứu thuộc lĩnh vực: Toán học, Cơ học, Vật lý Tin học có nội dung khoa học mới, chưa đăng gửi tạp chí

Bài viết soạn thảo máy vi tính chương trinh AM S-TEX in làm hai gửi kèm theo đĩa mềm Các ký hiệu cơng thức rõ ràng xác, ảnh vả hình vẽ rõ ràng, để chỗ, có đánh số thích

3 Các thuật ngữ khoa học viết theo quy định thức Nhà nước Nếu dùng thuât ngữ hay thuật ngữ chưa dùng rộng rãi, cẩn thích tiếng mà thuật ngữ xuất xứ bên cạnh

ị Bài viết tác giả phải viết tiếng Anh, nội dung đọng, súc tích Bải có nội dung q 12 trang phải bố cục cho đăng làm kỳ

5 Phẩn tài liệu tham khảo nêu tài liệu liên quan đến báo ghi theo quy cách sau:

a Đối với tài liệu sách: Tên tác giả, Tên sách (in nghiêng), Nhà xuất bản, nơi xuất bản, năm xuất Thí dụ:

1 Nguyễn Hổng Dương, Điện dộng lực học, NXB Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nọi 1982, 316 trang

b Đối với tài liệu tạp chí: Tên tác giả, Tên báo, Tên tạp chí (in nchiẽng), Nơi xuất bản, tập, số, năm xuất bản, trang Thí dụ:

2 M Fukigita, Simple Particle-Physics Model , Phys Rev Lett New York, V.6, N06(1989), pp 585 - 595

5 Cuối ghi rõ họ tê n , địa c h ỉ, s ố đ iệ n th o i cần liên lạc với tác giả

7. Tồ soạn khơng trả lại thảo bải khơng dăng Trong trường hợp phải gửi lại để tác giả sửa chữa thêm ngày nhận tính từ ngày nhận thảo hồn chỉnh

3 Thư từ, viết gửi theo địa chỉ:

V ietnam J o u r n al

OF

\

r p r i r

i b u i

f p l b

V o lu m e N u m b e r 1

1

2003

VIETNAM JOURNAL OF

MECHANICS

N A T I O N A L C E N T R E F O R N A T U R A L S C I E N C E A N D T E C H N O L O G Y O F V I E T N A M

E d ito r in Chief: N G U Y E N VAN DAO

D eputy E d ito rs in Chief: N G U Y E N VAN D IE P D U O N G NG OC HAI

Editorial Board

N g u y en D o n g A n h D ao H u y B ich, N guyen D ang B ich N go H u y C an , N g u y en H im C hi, N g u y en V an D ao, N guyen T a t D ac N g u y en V an D iep, B u i V an G a, D u o n g N goe H N g h iem H uu H a n h N g u y en X u a n H u n g , P h a m H u y en , N g u y e n V an K h a n g , N guyen T ie n K h iem , B u i T a L ong, N g u y en C ao M e n h , Le T h i M in h N ghia N guyen A n N ien, P h a m V an N in h , N g u y en V an P h o , V u D u v Q u an g P h a n K y P h u n g , N g u y en T h ie n P h u c , D o S an h , N g u y e n H o a T h in h T n Ich T h in h , P h a m Si T ien

Aims and Scope

V ietn am Jo u rn a l o f M echanics is published q u arterly in English by th e N ational C entre for N atu ral Science a n d Technolog}- of V ietnam

T h e Jo u rn a l publishes original research p apers on all fundam ental aspects of Me­ chanics: Solid M echanics, F lu id M echanics, G eneral M echanics, and also on th e o th er branches of A pplied M echanics: S tru c tu l Mechanics Soil M echanics, M echatronics, H ydraulics, M achinery M echanics, etc

T h e p ap ers will be published in forms: Invited Papers Scientific P ap ers and S h o rt C om m unications T h e In v ited P a p e rs are prepared on the in v itatio n of the E ditorial B oard T h e o th ers a re s u b m itte d by A uthors to th e E ditorial B oard and will be reviewed and assessed by referees

All papers m ust b e p rep ared by following th e Xotes for C o n trib u to rs

C orrespondence: Technical E ditor PH U N G VAN T IE U

V ietnam Journal o f M echanics, N C ST o f Vietnam Vol 25, 2003 No (9 - 18)

ON THE ELASTO-PLASTIC STABILITY PROBLEM OF SHELLS OF REVOLUTION

Da o Hu y Bi c h H a n o i N a t io n a l University

S u m m a r y T h is p a p er deals w ith th e elasto-plastic stab ility problem s of shells o f revolution su b je cted to com plex loading process T h e governing equations were derived and were solved by using th e B ubnov-G alerkin m eth o d and th e loading p aram eter m ethod Some exam ples were considered

1 Introduction

N u m ero u s so lu tio n s o f th e e la sto -p la stic s ta b ility problem s o f re c ta n g u la r p lates a n d c irc u la r c y lin d rica l shells hav e b e e n p u b lish ed in th e lite tu re by using different th e o ries o f p la stic ity T h e c ritic a l lo ad s a c tin g on th e se stru c tu re s w ere d eterm in e d a n d th e in fluence o n w hich o f th e co m p lex lo ad in g process was considered

M a n y s tr u c tu l shell co n fig u tio n s a re shells o f revolution, th e elastic sta b ility p ro b lem s o f w hich w ere in v e stig a te d widely, b u t for e lasto -p la stic problem s th e re was a few o n ly re su lts, esp ec ially w h en co n sid erin g th e com plex loading process ac tin g on th e se s tru c tu re s [5, 6, 8, 10]

In th is p a p e r by u sin g th e th e o ry o f e lasto -p la stic processes and th e ad jacen t- e q u ilib riu m c rite rio n we d eriv e th e govern in g e q u a tio n s o f th e elasto -p la stic stability- p ro b lem o f shells o f rev o lu tio n H ere w e re s tric t ourselves, th e applied lo a d is axisym - m e tric a n d th e lin e ar b e n d in g e q u a tio n s a re used for th e p rebuckling d eform ation T h e B u b n o v -G ale rk iii m e th o d a n d th e lo a d in g p a m e te r m e th o d are ap p lied in solving p ro b lem

For illu s tr a tio n we co n sid e r th e a x isy m m e tric b uckling of a circ u lar p la te su b ­ je c te d to u n ifo rm co m p ressiv e lo a d in g a n d a shallow sp h e ric al cap su b je c te d to u n ifo rm e x te rn a l p ressu re P ro m th e o b ta in e d resu lts we can g e t a g a in th e resu lts of T im o sh e n k o a n d H u tc h in so n for e la stic shells, th is fact provides th e reliab ility of th e o b ta in e d resu lts

2 Prebuckling state of a shell of revolution

L et u s c o n sid er a sh e ll o f re v o lu tio n , th e m iddle su rfa ce of w hich m ay be form by ro ta tio n o f a p la n e cu rv e a b o u t a n axis in th e plane o f th e curve P la n e s n o rm al to axis o f re v o lu tio n in te rs e c t th e su rfa c e in curves called parallels a n d p la n es th a t c o n ta in th e ax is in te rse c t th e s u rfa c e in cu rv es called m erid ian s P o in ts o n th e su rfa ce

m a y b e referre d to c o o rd in a te s tp, 9, w here ip denotes th e angle betw een th e axis of rev o lu tio n a n d a n o rm a l to th e su rface a n d is a circum ferential c o o rd in a te T he p rin c ip a l d ii o f c u rv a tu re o f th e surface in th e -p a n d directions m ay be d en o ted by i?2 a n d R i respectively I t is convenient to in tro d u c e an a d d itio n a l variab le r defined b y th e re la tio n

r ■ dr

r = R ịSÌm p, — = R2 cos ip (2.1)

Ư th e ap p lie d lo a d is ax isy m m e tric, th e deform ation also is ax isy m m etric p rio r to loss o f sta b ility In th e p reb u c k lin g s ta te th e m em brane forces N ^ , N g, N^g are fu n ctio n s o f ip alone, th e y sa tisfy th e corresponding lin e ar m em b ran e eq u a tio n s [3]

^ - ( r N °) - R 2N jjco sip = - r R 2p v ,

+ R 2N°gCOS<p = - r R 2pe , (2 ) r N ° + R 2Njj sin ip = r R 2p z

w here N ° = h ị , N $ = h ữg, N°g = hơịg.

E q u a tio n s are seen to b e s ta tic a lly d eterm in a te, so th a t solutions ca n be o b ta in e d w ith o u t use o f c o n s titu tiv e a n d k in e m a tic relations If th e shell is n o t su b je c te d to to rsio n a l loading, N°g = 0 a n d th e second of equations is discarded

3 Stability equations

T h e lin e a r s ta b ility e q u a tio n m a y be o b ta in ed by ap p lic a tio n of th e ad jac en t- eq u ilib riu m crite rio n F or th is p u rp o se we p u t

u = Uo + u , V = v 0 + 6v, w = w0 + 6 w ,

w here ( u 0, v 0, w 0) re p re se n t th e eq u ilib riu m configuration whose s ta b ility is u n d er co n sid eratio n , (u , v , w ) is a n a d ja c e n t equilibrium co n figuration co rresp o n d in g to th e sam e value o f ap p lie d lo a d as co n fig u ratio n (u0 v 0, w 0) a n d (Su, Sv, ỏw) is an a r b itra r y sm all in c re m e n ta l d isp lac em e n t F u rth erm o re

N ^ = N ° + ỗ i \ , M V = ỖMV

Ng = Ng + SNff, Me = SMg

N ^e = N % + SN^e, = SM^e,

w here N V, N g , Ỗ N ^ a n d ỖMV, ỎMg, ỗM ^e are g en eralized force a n d m o m en t in c re m e n ts c o rre sp o n d in g to (ỏ u , ỖV, Sw) A lth o u g h th e p rebuckling s ta te is axisym - m e tric , b u t th e p o st-b u c k lin g is m o re gen eral, so th a t th e s ta b ility eq u a tio n s o f shells

o f re v o lu tio n m a y b e o b ta in e d as follows [1]:

— Ị r S N y ) + R 2- ^ ( Ố N ^ ) - R 2SNgcosip = 0,

— ( r ỗ N ^ ) + R ^ ( N e ) + R 25 Nọo c o s ip = 0,

d r 1 d Õ , R a d S M * \ ,

é i i é 0r5M + { w - + r d 6 COSV +

H - - QQ2 — Q ~ ( S M g COS <p) (t N v + R 2ỎNg s in if)

-d „ n _ a

(3.1)

+ r N > M + ^ ( R N ° S ( e + R 2N ^ S P v ) 0,

w here

S0V = d w 1 d S w

R dtp ’ S0e r ’

N ° , Nff, N^g a re d e te rm in e d fro m e q u a tio n s (2.2) of th e prebuckling sta te

A c c o rd in g to th e th e o ry o f e la sto -p la stic defo rm atio n processes th e force and mo­ m e n t in te n sitie s a re re la te d to th e in te rn a l stresses an d d eform ation by th e eq u atio n s [4]

and

S N V = h

5Ng = h

Ỗ N ^ ^ h

h?

12

I f 12 h 3

™ ( e ; + ỏe;) + ( ệ ' - NƠ°<k* + ơ2ổe'a + 2ơ°eố£’^ 0' ) ^ ơ f ’ r

ơ ° S e ; + ơ°9ỔE'e + ị eỗ £ ^

_0-V 2

ĩệ ( e ; + Se'v ) + ( / - N )

2 N <7° & ’ + ị ỗ e l + 2crUffSe'g n

— e \e + (ộ ' - N ) - - Z -°— -aỌ— Ể *

(3 )

L T0 I

S M r = — r™ ( , ỏ X « + ăxe) + ( ộ ' - N )

12 r27V

^ ( 2ổ x fl + ố x v ) + ( <p' - i V)

2 N

^ ỏ X ^ + ( ó ' - N )

o ị X v + ơ$ỖXe + ^ ổ x ^ e

ơ aJ x v + ơ°g5 ỵ + 2ơ^e5 ỵ v0 - -,

+ ơ9ỗXe + ^ ó ỵ ^ _(

(3.3)

w here

, _ # ( s ) ds

í « + f c; + + ' Ĩ ! * ) 1'"

^ í - ^ + o ỉ í - « ỉ » ỉ + « ỉ

a n d th e lin e a r m id d le su rfa ce k in e m a tic rela tio n s are of th e form

, 1 ( d ỗ v \ _ 1 /ƠÒU \

ỗ£* = R \ d ĩ ~ ) ’ ố£e = ị ( d + S v C S i p - i w S m V ’

1 ỡ ố in

0£* = R-2 { - d ĩ - ° WJ '

-1r r d f ỗ u \

^ _ [ ^ \ / + r ¥ J ’ ° Xv

1 / dSPg \ r a /

5x9=r{-00 + S0- Costp) = r.de{

r _ 1 d v 1 d / 1 d w \

Xip _ R t l f y ~ I h t y K l h f y ) ' (3.4)

1 ( d o p e \ l r ỡ / d ỗ w \ 1 dSw

- Ĩ K m + 1‘ A - ' H = r l » ( r » ) + i * r “ H '

_ r 7- ỡ /ố /?0\ ỡiĩ/3 ^ l r r Ỡ / ỠỐUM 1 d t \ d v j \ '

Xv9~2V ^ l i r l ^ J ~ l ^ c V V ^ l F / + r ã ỡ l r l ^ Ả '

T h e o b ta in e d e q u a tio n s (3.1) -7- (3.4) form a closed system of hom ogeneous equa­ tio n s o f th e e la sto -p la stic s ta b ility p ro b lem of shell o f revolution C om bining bound­ a ry c o n d itio n s to th is s y ste m we ca n get th e so lu tio n of the problem by using th e B u b n o v -G a le rk in m e th o d a n d th e load in g p a m e te r m ethod For illu stratio n , solu­ tio n s o f th e s e e q u a tio n s a re discu ssed in co n sid eratio n of circular p lates an d spherical caps

4 Circular plates

T h e m id d le p la n e of a c irc u la r p la te m ay b e defined by p o la r coo rd in ates r and 9 in sp e c ia liz a tio n o f th e shell o f revolution e q u a tio n s for th e p la te, R i a n d go to infinity, th e an g le ip goes to zero, sin ip = 0, cosy;

T h e e q u a tio n (3.1) becom e

1 an d lim Rọdíp = dr.

R.2—►OO

Ỡ d N Te

i r { r N ' ) + d e SNg = 0,

ị { r f N r l ) + Ẽ ^ Ỉ + S N r ,

d , L n ( d H M Te

d A ( d r d d + - - r

0, 1 d ỗ M rS \

(4.1)

1 d 2ỖMg w ~ ) + r d d 2

[ ị - { i - N ? P T + rN°gS(3g) + ^ ( K p r + N°50e)

dỗ Mb

d r =

w here th e s u b s c rip t ip h a s b e e n rep la ce d by r.

T h e e q u a tio n s (3.2), (3.3) a re th e sam e, b u t rep lacin g su b sc rip t ip by T T h e rela tio n s (3.4) now a re of th e form

(4.2)

d ỏ v

d r f e ; =

1 ( d ỗ u \

Lr ( d + v ) ' K , = \ r d

r d r (t ) + ;

d v ~ ẽ ẽ J dSPr

ỏxe

1 ( d S P e '

1 , &Xr« =- H r S i

^ ỉ*

_ dôBr

d r ’ - r ( a s + i r Ldr r ) r de

F or e x a m p le w e c o n sid er th e a x isy m m e tric buckling o f a p la te su b je c te d to uni­ form co m p re ssiv e lo a d in g p = p h P re b u c k lin g s ta te occurs in th e p la te

a°T= <7° = - p , N ? = N ° = - P , N?9 = 0 To _ UOI _ ds

ơ r \ = p , = | ẽ r ị, ẻ r =

m * )

(see [4])

d s TP

o r ệ ' ( s ) d s = flip, i.e, p = 0(s) = cr“

B ecause o f a x isy m m e tric b u ck lin g th e d e te rm in e d q u a n titie s n o d d e p e n d on variab le a n d 50e = T h e th ir d e q u a tio n o f (4.1) specializes to th e expression

r S M r ) - ^ ( S M g ) + ị { r p h ỏ T) = 0 a n d th e re la tio n s (3.3), (4.2) le ad to th e following

ỏ X r = d S r

d r

h [2 „ { „ d S r , 50,

' _ W r

à ỵe = — , r

5 M g =

-In te g tio n o f th e e q u a tio n (4.3) gives

(4.3)

(4.4)

- j - ( r S M r ) - 5M e + rphỗpr = c,

d r (4.5)

b u t o M r = Mg = for p = 0, th e n c = S u b s titu tin g th e expression o f S M r ,

5 Mg in to th e e q u a tio n (4.5) we h av e

r 2—t-t- + r ~ — — ^ —

d r 2 d r

1 2 p

T~, N \

h 2

2) ỏ r (4.6)

L et a 2 2 p , th e g e n e l so lu tio n of (4.6) is

Pr = C l Ji(atr) + C 2Y i ( a r ) ,

J u Yi a re B essel fu n c tio n s o f firs t o rd e r o f th e first a n d second k in d s respectively B u t 5(3r = a t T = 0, y i( ) = oo, th e re fo re c2 = a n d 50r = C i J i { a r )

If th e p la te is c la m p e d on its ed g e, so SPr = a t r = a, w here a is th e p la te rad iu s, th e n J \ ( a a ) = 0, th e sm a lle st r o o t for w hich J \ = is a a = 3.83 C o n se q u e n tly we

g e t th e r e la tio n for d efining c ritic a l load

P = L 2 '— J • (4-7)

Since ệ ' = Y = £ t (s), N = — = ^ = £:c(s) a n d s = _1(p), from (4.7) th e c ritica l load Per ca n b e d e te rm in e d

F or elastic s ta b ility o f p la te m a d e o f incom pressible m a te ria l E t (s) = E c( s ) = 3G th e ex p ressio n (4.7) red u c es to th e re s u lt of T im oshenko [9]

T h e e q u a tio n (4.6) m a y b e solved b y B u bnov-G alerkin m e th o d by p u ttin g sỏr = A r ( a - r ) , w hich satisfies c o n d itio n s 50r = a t T = 0 a n d r = a S u b stitu tin g th e expression o f SPr in to (4.6), m u ltip ly in g o b ta in e d resu lt w ith r ( a - r ) and in te g ratin g over th e p la te su rface, < r < a, < < 2tt, gives

/ „ A'n h2

«, = L25( ^ + ) ^ |4 '8)

th e e rro r co n sists o f m o re th a n 2%

5 Shallow spherical shell

P o in ts of th e m id d le su rface m ay b e referred to co o rd in a tes r an d 19, th e rise of th e shell is m uch sm a lle r th a n th e base rad iu s a W e have R = R = const.

T

s i r u p = — and approximately COS tp % 1, R 2d ( f = d r

T h e governing e q u a tio n s now have th e form

ị - ( v ỗ N r ) + ậ ỹ ự N r t ) - SNg = 0,

p r ô N re) + ^ + SN re = 0, (5.1)

9 , c r s n ( d 25 M Te 1 d M r i ) \ f l d 25Mg d ỗ M e \

d r r d d / ( r d o d r )

- I ( S N r + 5Ne) - [ j- ( r N ? ỏ P r + rN% 53e) + + N°S0e)

w here ỗ N r, S N e, N re - g e n e raliz ed force increm ents

=

ỐNr = h \ N { ỗ e ' r + ôel) + (o' - N ) Ó

o ? S s ; + agỏ£g + 2ơ% 5e;e J

_ Õ -r

r2 , ơ°ỏ£‘r -f CTgdEg + 2cr%ỗ£’g o]

ỎNe = h [ ị N ( S e ; + Se'r ) + (o ’ - A ) r ~ 2 - —

r ơ ® ỗ E *

5 N re = A [ | i V ố e ^ + ( '

-(5.2)

cr?ốe; - J d 0 + 2^ 1):;» T0

a n d 5M r , 5M g, S M rg - g en eralized m o m e n t in c re m en ts

sMt= ~ u [ l N { s x r + + w - N ^ ° rSXr - °s5ỵ - , 5M ° = ~ u [ f ^ 2<5** + **■) + w - AT)^ Xr + <^ f f + <7&* * * g ° ] ,

Í M r , = [ | N Ô X r e + ( ' - N ) ^ k - - ơ °t< , Xt9 a °rg ] ,

u

T h e m id d le su rfa ce k in e m a tic rela tio n s in th is case are o f th e form

d ỗ v 5w 1 ( d ỗ u \ 5w - , l r / ổ u \ l ỡ ố t n

Ỗ£' = f r + R ' S£° = r ( d + v ) + R ' 0^ = i l r d r ( r ) + r d O

(I 5Xr =

dSPr d r

rq d w

5P r - d r

, 5 x e = zr \ do1 /d ỗ P e 6 = ^ 5

r Ơ0

+ w ) , SXrfi = \ [_ l ị - 1 d ỗ p ,

d r \ r J r 36 J ’

T h e e q u a tio n s (5.1) -f- (5.5) le ad to a coupled se t o f th re e hom ogeneous e q u a tio n s in Su, ỖV, 5w T h is s e t ca n b e red u c ed to tw o e q u a tio n s in 5w a n d a stress fun ctio n F.

F rom (5.4) we c a n g et th e c o m p a tity eq u atio n5.4) we c a n g et th e c o m p a tity eq u atio n

1 d 2K _ ± d _ f r2M f i ) _ l _ Ẽ L ( r S e \ ) = r d o r d r r d r V d r ) r d r d O rB

A ỗ w

~ T (5.6)

d2 I d 1 a2 w here A = ^ + ^ + ^ ■

Inversely, fro m (5.2) th e s tr a in in crem en ts can b e expressed as follows

K = ề h ^ - 5Ns)

+ ầ [ ị ~ n ) [(2ơ ° “ ơ*)SN r + {2ơ°e ~ °r)ỏ N e + 6ơ°eỏNreì ’

fe ỉ = ^ ( S N e - S N r ) (5.7)

+ ầ ( ị ~ w ) f(2t7° ■ °e)ỔNr + {2ơ°s ~ °r) ỏ N e + 6ơ°6ỖNt^ ’

= ề h ăK e + U v ' n ) [(2ơ? - ơ °°)ỖNr + {2ơ°9 ■ ơ°r)ỖN° + ỗơ%ỐNre] Ệ '

T w o first e q u a tio n s (5.1) a re sa tisfie d id en tically if

5 N r = l d F + 1 d 2F - S N e - a _, , ỈAr _ d 2F 5 N rB g r [ r q o)

r d r r do2 d r 2 (5.8)

T h e th ir d e q u a tio n o f (5 )a n d th e e q u a tio n (5.6) in use of expressions (5.3), (5.7) a n d (5.8) le a d to th e e q u a tio n s for w a n d F.

F or e x a m p le we co n sid er a sp h e ric al c a p s u b je c te d to u niform ex te rn a l p ressu re p L et u s assu m e th e p reb u c k lin g s ta te m a y b e a p p ro x im a te d by a m em b ran e analysis, th e n N ° = Nff = - p | , N% = 0, so t h a t <7r° = = - g , d = ,o°u = |a? | = g , a n d cr2 = 0(s)

In th is case, th e th ir d e q u a tio n o f (5.1) h as th e form

d n f d 26 M re 1 d M Tg \

1 d25Mg dỗMg r , ỈAT p R A

+ r & p - a T - + SNe) - = (5-9)

a n d th e in te rn a l m o m e n t in c re m e n ts (5.3), th e s tr a in in crem en ts (5.7) are re w ritte n as follows

h \ N ( d 25 w 1 d 2ỏw 1 d S w \ , n AJ -

w ( + Ẳ a ? + r s r ) + w - N ) A S w ’

h r N f 2 d 25w 2 d S w d 25 w \ , ]

5 M ° = - Ĩ t ( # a * + r f r + + iộ - N ) A W '

an* h f l d 25 w 1 d w \ .

5Mr e = 18 \ r f r d e ( )

1 ( d F d 2F d 2F \ / 1 \

* _ 2W7i Vr ỡ r + r Ỡ02 dr2 ) + 2h\<p n ) '

1 / d 2F l d F 1 d 2F \

2 N h \ d r r d r r ) 2h \ ậ / n )

r ( d F 1 d 2F \ (K i n

đe; * _ 2Ã ^ V r2 ớớ r ỡ r ỡ J ' j

I n tro d u c tio n o f ex p re ssio n s (5.8), (5.10) in to e q u a tio n (5.9) a n d expressions (5.11) in to e q u a tio n (5.6) gives

£ ( j + ệ ' ) AAỎU) + Sw = ~ , (5 )

+ (5.13)

\ N ệ ' J R

T h e B u b n o v -G a le rk in m e th o d c a n b e ap p lied to th e sy stem of eq u a tio n s (5.12), (5.13) by choosing ex p re ssio n s o f F a n d 5w, sa tisfy in g b o u n d a ry conditions In re­ su lts we g e t th e e q u a tio n for fin d in g c ritic a l load O th erw ise, b ecause of th e a p p e a r­ ance o f only L ap la c e o p e to r in (5.12), (5.13) we ca n use th e following c o o rd in a te tra n s fo rm a tio n [7]

d I d I d r

X = r c o s , y = r s i n , A = ị r + ị ị : + - d ? + w ’

th e d iffe ren tia l eq u a tio n s axe seen to b e satisfied by so lu tio n s o f th e form

w h ere k ị , &2 axe w avelength p a m e te rs In tro d u c tio n o f th e se expressions into (5.13) gives c = y - T"\ - S u b s titu tin g o b ta in e d re su lt for F an d ex p ressio n o f 5w in to (5.12) yields

4/1 r h? ( N A / h ,

p r ( + ) u + yfcf + 24/ e ( + « G v + ỹ ) •

\ N <t/J

A n a p p ro x im a te expression for che critic a l p ressu re m ay b e o b ta in e d by m in im iz atio n of p w ith re s p e c t to k,Ị + k ị T h e sm a lle st p is fo u n d as following

4 ( h \ l l ỉ - ỉ + t y ) , ỹ

p 3V2 \ r ) ]Ị n Z<V (514)

T ak in g in to ac c o u n t N = — = = E c(s), ộ ' = E t (s), s = ệ ~ L(ơ°)\ by th e loading p a m e te r m e th o d from (5.14) we can get th e critical pressure Per•

For a n e la stic shell o f inco m p ressib le m a te ria l E c(s) = E t (s) = 3G, from (5.1-.:) we o b ta in

tHis value is th e sa m e as t h a t given in [2, 7]

R e m a r k In [8] th e se tw o p a r tic u la r cases; circ u lar p la te u n d e r un ifo rm com ressive load a n d sp h e ric a l cap u n d e r e x te rn a l pressure, hav e been co n sidered by use o f th e in c re m e n ta l th e o ry o f p la s tic ity a n d th e d efo rm a tio n th e o ry of p la stic ity by g en e ral­ izing d ire c tly fo rm u lae o f elastic so lu tio n s B u t o u r form u latio n ca n be a p p lie d not only to th e se p a r tic u la r cases, b u t to m ore g en eral cases o f shells of re v o lu tio n as well T h e in v e stig a te d cases o n ly p la y a role of illu s tra tio n o f th e m e th o d

6 Conclusions

T h e g o v ern in g eq u a tio n s o f th e e la sto p la stic s ta b ility p ro b lem of shells ">f re­ v o lu tio n s u b je c te d to co m p lex lo a d in g are d erived by using th e o ry of elc-stop ^astic p rocesses a n d th e a d ja c e n t-e q u ilib riu m criterion

T h e B u b n o v -G a le rk in m e th o d a n d th e loading p a m e te r m e th o d ca n b e used for so lv in g p ro b lem , in som e p a r tic u la r in v e stig a te d cases we can g e t a n a ly tic a l so lu tio n s

T h e e la sto -p la stic s ta b ility of circ u lar p la te s a n d sph erical shells is investigated O b ta in e d e x p re ssio n s o f c ritic a l loads reduce to resu lts o f T im oshenko a n d H utch in ­ son for e la stic shells

T h is p u b lic a tio n is co m p leted w ith financial s u p p o rt of th e C ouncil for N a tu l Science o f V ie tn a m

R E F E R E N C E S

1 B ru sh D O , A lm ro th B uckling of bars, p la te s a n d shells Me G raw -H ill 1975

2 B u sh n ell D S tre ss, s ta b ility a n d v ib tio n o f com plex bran ch ed shells of revolu­ tio n P ro c A IA A /A S M E /S A E 14th S tru c t, D yn M a ter Conf W illiam sburg Va, 1973

3 D ao H B T h e o ry o f E la stic ity VNƯ P u b lish in g House 2000

4 D ao H B T h e o ry o f E la sto p la stic processes V N U P u b lish in g House 1999 G rig o ly u k E I Loss of s ta b ility of th in p la stic shells w ith o u t unloading P n k l

M a th M ech 21, 1957, 846-849

6 Hill R P la s tic d e fo rm a tio n a n d in sta b ility in th in -w alled tu b e s u n d er com bined loading: a g e n e l theory J o u rn a l of Mech a n d P hvs of Solids 47 1999, 921-933

7 H u tch in so n J w Im p e rfe c tio n sen sitiv ity of ex tern ally pressurized spherical shells J o u rn a l o f A ppl M ech 34, 1967, 49-55

8 L u b lin er J P la s tic ity theory M acm illan P u b lish in g C o m p an y 1990

9 T im o sh e n k o s p , G ere J M T h e o ry of elastic sta b ility , 2d ed M e G raw -H ill 1961

10 Ulo L epik B ifu rc a tio n an a ly sis of elastic-p la stic cy lin d rical shells Int Jo u rn a l of N o n -lin ea r M ech 34, 1999, 299-311

Received October 4, 2002

V Ề B À I T O Á N Ổ N Đ ỊN H Đ À N DẺO C Ủ A v ỏ T R Ò N XOAY

B ài to n Ổn đ ịn h đ àn hồi c ù a vỏ trò n xoay d ã đư ợ c giải q u y ết, tu y nhiên ổn định đ àn dẻo cịn d ợ c q u a n tâ m T rong báo này, s d ụ n g lý th u y ế t q u trìn h đ àn dẻo tá c g iả th iế t lậ p hệ th ứ c b n c ù a to n ổn định đ àn dẻo c ủ a vó tr ị n x o ay chịu q u tr ìn h d ặ t tải phứ c tạ p Có th ể s d ụ n g p h n g p h p B u b n o v -G ale rk in v p h n g p h p th a m số tài dể giải to n , tro n g m ột Su trư n g hợ p riên g có th ể n h ậ n d ợ c n g h iệ m giải tích Để m in h h ọ a d ã kháo s t õn đ ịnh dàn dẻo c ủ a b ả n tr ò n v vỏ cầu T biểu th ứ c n h ậ n đ ợ c c ủ a lự c tớ i h ạn có th ẽ n h ậ n lại k ế t q u c ủ a T im o sh e n k o v H u tch in so n cho vỏ dàn hoi Đ iều bảo đảm độ tin cậ y c ủ a p h n g p h p tín h to n

N A TIO N A L C E N T R E F O R N A TU R A L SC IE N C E AND T E C H N O L O G Y O F V IETNAM V IE T N A M J O U R N A L O F M E C H A N IC S V O L U M E 25, N 1, 2003

CONTENTS

Pages

1 D ang D inh A ng, N guyen D ung, N guyen Vu H uy an d D ang D ue T rong Uniqueness

of elastic c o n tin u atio n in a sem ilinear elastic body ị

2 D ao H uy Bich O n th e elasto -p lastic sta b ility problem of shells of revolution g

3 N guyen Van D inh T h e P oincare m eth o d for a stronglv nonlinear duffing oscillator

4 N guyen Van H anh, N guyen Van D iep and Ngo Huy C an O n some num erical m ethods for solving th e 1-D S aint-V enant eq uations of general flow regime P a rt 2: Verification

an d ap p licatio n 26

5 N guyen M an h Hung Long shore sedim ent tra n s p o rt co m p u tatio n for Hai H au beach

N am D inh province 3 9

6 T ran G ia Lich, N guyen M inh Son and Le Viet Cuong C alculation of the horizontal tw o-dim ensional u n stead y flows by th e m ethod of characteristics 4g

Trang

NỘI DUNG

1 Đ ặng Đ ình Á ng, N guyễn D ũng, N guyễn Vũ Huy v Đ ặng Đ ứ c Trọng, v ẽ tín h thác

triền n h ấ t v ậ t th ể đ n hồi không thu ần n h ấ t ị

2 Đ H uy Bích, v ề to án ổn định đ àn dẻo vò trò n xoay g

3 N guyễn V ăn Đ ình P h n g p h p Poincaré cho chấn t Duffing phi tu y ến m ạnh 19

4 N guyễn V ăn H ạnh, N guyễn V ăn Đ iệp v Ngô H uy c ẩ n v ề m ột số p hư ng pháp giải số hệ p h n g trìn h S a in t-V enant m ột chiều tro n g chế độ dòng chảy tổng quát

P h ầ n 2: K iểm định ứ n g d ụ n g 26

5 N guyễn M ạnh Hùng T ín h to n v ận chuyền bùn c t cho khu vực ven bờ biển Hải

H ậu - N am Đ ịn h 39

6 T rần G ia Lịch, N guyễn M in h Sơn v Lê Việt C ng T ính dịng chảy khơng dừng

V ietnam Jo u rn a l of M ECH A N ICS

N o t e s fo r C o n t r i b u t o r s

1 M a n u sc rip ts m u s t b e ty p e w r itte n d o u b le - sp a ce d "vith m a rg in s on one side of w h ite A p a p e r, a n d co p ies m u s t b e s u b m itt e d

T h e m a x im u m le n g th o f th e S cientific P a p e r is pages, a n d of S h o rt C o m m u ­ n ic a tio n is pages, in c lu d in g fig u res, ta b le s a n d references S pecial cases w ill be d ecided b y th e E d ito r

2 M a n u s c rip ts m u s t b e p re p a re d follow ing th e order: T itle , A u th o rs Affilia­ tions, A b s tr a c t, In tro d u c tio n , M a in T ex t C o n clu sio n , A cknow ledgem ents, R efer­ ences, A p p e n d ix , A d d re sse s o f all a u th o rs

3 A b s tr a c ts m u s t give concise fa c tu a l in fo rm a tio n a b o u t th e o b je c tiv e s o f th e ■vork, th e m e th o d s u sed , th e re s u lts o b ta in e d A s u ita b le le n g th w ill n o t exceed /3 o f a page O n e c o p y o f th e a b s tra c t tr a n s la te d in to V ietn am e se is req u ired

4 R eferen ces m u s t b e lis te d follow ing th e o rd e r of d o c u m e n ts c jte d in th e te x t R eferences to p u b lis h e d p a p e rs m u st in c lu d e th e iu ti or(s), th ,; title o f t; ; paper, the Journal name, the volume, the year and ELI Liber, the Kĩ; , A last pi num bers

R eference to b o o k s, r e p o r ts a n d th e ses m u s t in c lu d e th e a u tb • t he title, d a te o f p u b lic a tio n , n a m e o f p u b lis h e r a n d p la c e o f p u b lic a tio n

R eferences in la n g u a g e s o th e r th a n E n g lish m u s t b e r e f e n e d tf by an Entijfib tra n s la tio n (w ith th e o rig in a l lan g u ag f in d ic a te d in p a re n th e se s)

5 Illu s tra tio n s a n d T ab le s m u s t b e p ro v id ed w ith a n o rig in a l o f t.if m a n u sc rip t Illu s tr a tio n s (p h o to g p h s , g r a p h s a n d d raw in g s, .) are to b f r^ferrv ! to as “F ig u re (s )” , th e ta b le s as “T a b le ( s ) ” a n d sh o u ld b e n u m b e re d constcuvively in eke o rd er to w hich th e y axe re fe rre d

6 M a th e m a tic a l sy m b o ls a n d fo rm u lae ih o u ld b e ty p e d to avo id a m b ig u ities E q u a tio n n u m b e rs s h o u ld a p p e a r in p a re n th e se s a n d b e n u m b e re d consecutively A ll e q u a tio n n u m b e rs m u s t a p p e a r on th e r ig h t- h a n d side o f th e s r itio n and sh o u ld b e re fe rre d to w ith in t h e te x t

7 A u th o rs o f a c c e p te d p a p e r s m u s t p ro v id e a copy on floppy d isk to fa c ilita te p id p ro c e ssin g o f m a n u s c rip ts

8 N o re s p o n s ib ility is a s s u m e d b y th e E d ito ria l B o a rd for permk'C ’On to pu b lish th e p a p e r

9 P a p e rs w ill b e re fu se d for p u b lic a tio n if th e a u th o rs d o n c i foil: V-' tiiese N o tes for c o n trib u to rs in p r e p a rin g m a n u s c rip ts

10 A d d re ss for c o rre s p o n d e n c e : E d ito ria l B o a rd o f th e J o u r r ; of y > -± t:n ic s 70 TYan H u n g D ao , H a n o i, V ie tn a m Tel: 84.4.9.4228^6; -J-: :_.&2.vn

Printed by THONG NEAT PRJN'CIlK; CL ■ Ậ : - • '■ I r

-ON THE ELASTOPLASTIC STABILITY PROBLEM OF THE THIN ROUND CYLINDRICAL SHELLS

SUBJECTED TO COMPLEX LOADING PROCESSES WITH THE VARIOUS KINEMATIC BOUNDARY CONDITIONS

Da o Va n Du n g

H a n o i Natio nal University

S u m m a r y In th is p ap er, th e elastoplastic stab ility of cylindrical shells simu!+aneously sub­ jected to com pression force along th e generatrix and ex tern al pressure has baen presented Tw o ty p es o f considered kin em atic boundary conditions a re sim ply su p p o rted and clam ped a t th e b u tt-e n d s T h e expressions for determ ining th e critical forces by using the Bubnov- G alerkin m eth o d [3] have been established T h e sufficient condition o i extrem um for a long cylindrical shell also is considered Some resuits of num erical calculation have been aiso given a n d discussed

1 Stability problem

L e t’s co n sid e r a ,th in r o u n d cy lindrical shell o f le n g th L , d iu s R a n d thickness h. W e choose a o r th o g o n a l c o o rd in a te system O x 1X2X3 so th a t th e axis C-X\ belonging to th e m id d le su rfa c e a n d ly in g alo n g th e g e n e trix o f th e shell, 2'» = R \ w ith 0!-th e an g le o f c irc u la r a rc a n d £ in th e d irec tio n o f th e n o rm a l to th e m iddle surface

A ssum e t h a t a m a te ria l o f sh ell is incom pressible a n d shell is su b je c te d to th e com pression force p ( t) alo n g th e g e n e trix a n d e x te rn a l p ressu re qi (t ) w hich d e p e n d a rb itra rily o n a lo a d in g p a r a m e te r t O ne o f th e m ain aim s o f th e s ta b ility pro b lem is to find th e m o m e n t t , w h en th e in sta b ility of th e s tru c tu re h a p p e n s a n d respectively th e critic a l lo a d s p * = p ( t , ) , q{ = <Zi(i*)- S uppose t h a t th e u n lo a d in g does not h a p p e n in th e s tr u c tu re W e u se th e criterio n o f b ifu rc a tio n of e q u ilib riu m s ta te to in v e stig a te th e p ro p o se d p ro b lem

A n in v e stig a tio n o f th e e la sto p la stic s ta b ility pro b lem is alw ays m a d e tw o p arts: pre-b u ck lin g p ro ce ss a n d p o st-b u c k lin g process

1.1 Pre-buckling process

ơ n = - p i t ) = - p ; <722 = - q i ( t ) j = - q ( t ) = - q , ơ l2 = 13 = 0 3 = ơ33 = 0.

(1.1)

T h u s

O ' l l + Ơ’22 ĩ

ơ = 2 I I (Tu - y/>& 1 — ư l l I 22<7uơ 22 + Ơ22 = \ /V fp2— pq + q2. C o m p o n e n ts o f th e s tra in velocity te n s o r d e te rm in e d according to th e th e o ry o f e la sto p la stic p ro cesses [1] are of th e form

ẻ n = J ỹ ( - p - ị q ) - Q ( s , t ) ( p - ị q ) , £2 2 = j ỹ ( - q - ị p ) - Q ( s , t ) ( q - -p ),

ẻ33 = —{ é u + -22), £ 2 = £ 3 = t; 23 = (1.2)

w here

; ,

/ 1 s P P + W - T i P q - - J q „

Q { s , t ) = ( ± - ± ) - - , m' = ặ ( s ) , -V = — ■

\ ( ự N J p PQ-r q s

T h e a rc -le n g th o f th e s tra in tra je c to ry is given resp ectiv ely by th e form ula

d s X>2 V1/2

= - ỳ = [ è 2n - Èn è2 2 + é ị 2) = F { s , t ) (1 ) So, we c a n d e te rm in e , from eq uations (1.1) -7- (1.3) s so c ia tin g w ith b o u n d a ry ­ d itio n s a n d th e eq u ilib riu m equations, s tre s s a n d s tr a in s ta te s &i any p o in t M t z th e cy lin d ric a l shell a t anv m om ent of th e p reb u c k lin g process

1 P o s t - b u c k l i n g p r o c e s s

As sh o w n in [1, 4], th e sy stem of s ta b ility eq u a tio n s of th e cylindrical shell is w ritte n in th e form

- d^ip - <940? N d 25w

+ + d ễ + R t e i t = (L4)

d ^ S w d*5w d^5w 9 ( d 25w d 2SuI 1 2’J \

a i ^ + a d ĩ ị d + a ~ ^ ’ ~ N ^ y }~ d x f + q ' x [ ~ n d ĩ ĩ ) ~

w here th e coefficients , Pi (i = 1, 5) a re c a lc u la te d as follows / V \ (2q — p ) 2

A = + ( ^ - _ ’

4 \ d ) p — pq T Ợ*

^ ^ ì ề - ih2 \ d / p* - pq -r <rq r ?) V d ) p - p q - r q2

o

- ' - Ị O - D ĩ t:f _ _pq + q2

pq

■pq + q2 '

— ^ / ì Q2

In o rd er t o solve th e s ta b ility p ro b lem of th e cylindrical shell, we consider two tvpes of k in e m a tic b o u n d a r y c o n d itio n s following

* th e sh e ll is sim p ly supported at th e planes x x = a n d X ị = L * th e sh e ll is clamped at th e plan es Xi = an d Xỵ = L.

H e re a fte r we will s tu d y th e so lu tio n of th ese two sta b ility problem s

2 Solving the elastoplastic stability problem of simply supported

cylindrical shell

We fin d th e so lu tio n 5w w hich satisfies th e m en tio n ed b o u n d a ry conditions in th e form

M M _

_ ^ \ — > rr iT X i TLXo

° w = / / / A mn s i n — siu ~ ■

771=1 71=1

1 1 r r p • 'TCl'ZXx riX'i I t is ea sy to see t h a t th e sy ste m of functions owmn = sin — r— sin — is linearlv in d ep en d en ce

S u b s titu tin g th is ex p ressio n in to (1.4), we can o b ta in th e p a rtic u la r solution Ọ as follows

M M _

\ > V — \ 77l7TXi 77.X o .

^ = E E S m" si n i sin £ (1 )

m = l 71=1 w here

(2.3,

Now we p a s s to find th e ex p re jion d eterm in in g th e c ritica l forces by th e B ubnov- G ale rk in m e th o d F or d o in g th a t, one n ee d to realize th e following steps:

a) S u b s titu tin g th e ex p ressio n s of 5w a n d if from (2.1), (2.2) m to (1.5). b) M u ltip ly in g b o th sides of t h a t s ta b ility eq u a tio n by

• Ì7rxl i x * ow-i = sin —— sin — - •

J L A

-F in ally , we re a c h

f } Ị d* w t d*5w t d*5w 9 ( d 25w d 25 w \

J J \ d x ị + a d x ị d x ị + a d x ị + Ĩ ^ N [ P ~ d Ĩ Ị + q ~ d ĩ ỉ )

0 1

9 Ỡ V ì iiĩ X i j x , ,

h 2N R d x Ị Ỉ ~ L ~ R 1 2 = = (2.4)

For ta k in g th is in te g l, it needs to use th e re su lt

L 2ir R Ị

f f rm rxi in x i n x 7X2 , 0 w ith 771 -ệ i, n Ỷ j

/ / s i n — -— sin —— sin ——1 sin —^ - d x xd x2 = <

J J L L R R Ị ± t R L w i t h m = t , n = j

A fter series o f c a lc u la tio n s, th e re la tio n (2.4) gives us

7tR L ( / m7T\ /77i7r \2/ n \ / n \ r / m7T\ / n \2-|

2 {< l ) + < l ) (r) + < r) - ĩẴ v Á l ) + <1{r)

9 / ' T i r \ r / m T \ ^ / T i r \ / n \ „ / r c \ ' | - 'i _ _

+ h R \ ~ L ) W t ) + ^ { ~ ) ( f l ) + ^ ( r ) } A m " = - ( -5 )

T a k in g in to a c c o u n t th e existence o f n o n -triv ia l so lu tio n i.e Aran Ỷ 0, we receive th e ex p re ssio n for d e te rm in in g critic a l loads

/ TTVK \ 2 / n \ 2 h 2N r /7717T\4 / r m r \ f n \ / n \ 4i

H i ) + <?© = s f w L ) + flH L ) © +asG ) }

(2.6) JV ( TTVK \ 4 f _ ( ttvk \ f m n Y f n Y n / n \ 4V

m L ) w £ ) + * ( i ) (fl) +3s( « ) } N oticing t h a t th e re la tio n (2.6) coincides w ith one estab lish ed by a n o th e r m e th o d in [1, 4],

B y p u tti n g lị) — n 2, = f ——— ) ; i = th e re la tio n (2.6) is w ritte n in th e

\ TIL ! h

form

N t p 2( a i + q3 + -7p) ( A # + 03 + ậ )

i2 = - : - -z - -5 - - - (2.7)

M inim izin g th is expression, i.e -5 - = 0, -rnr = 0, a fte r som e calcu latio n s we get

Oĩp ƠU

1> = - — ^ -Õ - - (2-8)

(p + | ) + & + y )

( “ 1 - | l ) { w + & + f ) - (/31 - ậ ) (a x + a3 + ^ ) +

^ + a3 + ? ) (Aớ + 03 + f ) = °- (2.9)

0 (

S u b s titu tin g th e values (2.8) a n d (2.9) in to (2.7) we have

a ^ r r / < A p2 r / (0S p<?

(p0 + g)2 U V N ) p * - p q + q*\ + L \ N J p t - p q + q* \ +

1 i l q2 r f l I V (2<? p ) I f2 I

4 V N J p — pq + q2 Ỉ IL ị \ ệ f ) p — pq + q2\

2 I i i (2g p ) (2p - g ) Ị Ị I + Ì Í Ỉ L - A j g P z i l ! r Í2 0Ì , V f t ) p - p q + q2 J 4 V ệ/ ) p - p q + q2 )

w here is a so lu tio n of th e e q u a tio n (2.9).

A p p ly in g th e lo a d in g p a m e te r m e th o d [1], we solve sim u ltan eo u sly th e eq u atio n (1.3) a n d (2.10) A fter finding th e c ritica l value t", we ca n d eterm in e th e critical forces as follows

p * = p(t*), q* = q{t*)

F or long cy lin d rica l shells, i.e ijj = 1, <c 1, see [2], we deduce from (2.7)

(2.11)

{pO + q)P5 - N 3z^

M inim izing th e expression of I2, i.e QQ - Q ’ gives us

ữ = ? Ẽ l = tì

9 = N ~ e

-N ow co n sid er th e sufficient c o n d itio n o f ex tre m u m [5]

B ecause

_ 1 _ l ( ^ - q2 _ (2 p Ị Ể I - ỉ - Ẳ > 0

05 V N J ị 4<j2 A N ị

g — I + _ ( ? L - = + > 0,

4 ^ y <7-2 A ị ^

So QÕĩ\g=3 > 0, th e sufficient co n d itio n o f m in im u m is satisfied S u b s titu tin g th e values o f a 5, /?5 a n d = into (2.1 1) we o b ta in

d2i21

z2 =

3Í1 ^ ?

4 \ i W p2 — pq + q2. p2

[ -

( N (2p - <?)2

+ N q / p2 — P<J +

q2-(2.12)

3 Solving th e elastoplastic stability problem of clamped cylindrical shell

T h e k in e m a tic b o u n d a ry c o n d itio n s o f th e clam p e d shell a t th e planes I i = a n d Xi — L a r e sa tisfie d co m pletely by choosing

M M „ _

r _ V ' n ( 2rm rX i\ n x 2

0W = 2 ^ ^ “ cos ~ J si n '

m=l n=l

(3.1)

U sing th e ex p re ssio n o f 5w a n d th e eq u a tio n (1.4) we c a n find th e p a rtic u la r solu tio n ip in th e fo rm

M M V = Ỳ , Ỳ s E '

771=1 n=l

2rm rx1 n x .

'mn COS L - sin (3.2)

w here

In o rd e r to a p p ly th e B ubn o v -G alerk in m e th o d , we n ee d to verify th e linearly inde­ p en d e n ce o f th e sy s te m of fu n ctio n s in th e (3.1)

L e m m a T h e s y s t e m o f fu n c tio n s

( m T X A n x , , n , , ,

Swrnn = ( l - COS L •] sin (m , n = , , , M )

is linearly in d e p en d e n t.

Proof L e t’s c o n s id e r a linear co m b in atio n

7mnSwmn = V£ 6 [0, L ], V x € [0 ,2irR], (3.4)

m = ln = l

M u ltip ly in g b o th sides o f (3.4) by s i n ^ ( j = 1,2, , M ) a n d in te g tin g th e received ex p re ssio n w ith resp e c t to x on th e segm ent [0, 2irR] we have

2irR M M

'y ^ ^ ] 7m niw mn sin —— d x2 = (3.5)

m = l 71=1

Since

2 n R /

/ j x2 I w i t h Tl ỹ í j

ow m n s i n —— d x = < / 2m7r x 1\

[ ( c o s — jF— J w ith n = j

T h u s th e re la tio n (3.5) becom es

M

7TÌ? 7mj ( l - cos ) = V * i G [ , I ] , V j = 1,2— , M (3.6) m=l

For d e m o n s tra te 7mj = V n , j = , , 771, we choose

L _ L L

* i -

S u b s titu tin g in tu r n th ese values o f Xi in to (3.6), we receive

7 ij = 0, 72; = , , Mj = V j = , , , M.

T h is le ad s to = V m, j = , , , M

T h is re s u lt d e m o n stra te s t h a t th e sy ste m of fu n ctio n s <5u>mn is linearly in d e p en ­ d en t So th e le m m a is proven

F rom th e chosen sy stem of fun ctio n s, we can use th e B ubnov-G alerkin m e th o d to get

L 2*r

f f f d ^ S w d*5w d ^ w 9 f d Sw d w \

J J íai dxị + a z dxịdxị +a5 dxị + h2N v dx\ dx\ /

- j ề ĩ ỉ a | } ( 1' cosSF 1) sinấf l <'I“iIí = <M = 1'2 ,3J)

For ta k in g th is in te g l, first o f all s u b s titu tin g 5w a n d <~p rep resen ted by (3.1) an d (3.2) in to (3.7), afte rw a rd s in te g tin g t h a t received expression, we will o b ta in a sy ste m o f lin e a r alg eb raic e q u a tio n s w ith th e u n k n o w n s Dij w ritte n in th e m a trix form a s follows

'aij ][Dij] = 0; i , j = , , , M.

/0

B ecause o f th e c o n d itio n o n th e ex iste n ce o f n o n -triv ial solu tio n i.e Dịj Ỷ th e n th e d e te rm in a n t o f th e coefficients of D ij m o st be equal to zero

d etfa y ] = i, j = h , , M (3.7a)

A sso c iatin g th is ex p re ssio n w ith (1.3) a n d by using th e p a m e te r m eth o d , we can find th e c ritic a l v alu e t* o f th e lo a d in g p a m e te r a n d th e critical forces p*, qm.

N o te t h a t th e d ev e lo p m e n t o f th e d e te rm in a n t (3.7a) in general case is m a th ­ e m atic a lly co m p lic a te d , th e re fo re we w ill ta k e th e solu tio n in th e first an d second a p p ro x im a tio n s

a) T h e f i r s t approxim ated solution: we choose 5w a n d <p in th e form X _ n i t 2 m ir x i \ n x

d w = A n n ^ l - cos — - — J sin

N /2m7T \ _ '2mnxi n x 2

A , O S sin ^

^ - /2 m T \ / r m r \ ' f n \ / \

fl( L ) + A ( L ) (i) * H r!

S u b s titu tin g Sw, (f in to (3.7) a n d ta k in g t h a t in teg ral, gives us

1 f / m n \ * /2TO7T\2 / n \ „ / n \ r /2m7T\ „ _ / n \ 2i

+Q3( L ) (r) +3as© - v nH l ) +3n i ) J

9 / m r \4r „ / r w r\ „ / m n \ / n \ _ n

+ / ^ ( L ) H l ) + /M L ) (r) + P < r) \ K " = a

B ecause o f th e ex iste n ce o f n o il-triv ia l so lu tio n i.e D mn Ỷ 0| yields a re la tio n for finding c ritic a l lo ad s

/ m T \ „ ( n \ h 2N f / r m r \ * / t o t \ / n \ / n \ l

P ( l ) + (r ) = 9 \ Q l ( L ) + < l ) (r) + H r) I

N / m r \ r / t o t \ / m r \ / n \

+ M l ) w l ) + H l ) ( i ) + A ( f i ) }

(3.8)

U s in g n o t a t i o n s £ = u 2, r] = ^ ^ , Ỉ = t h e e q u a t i o n (3.8) IS w r i t t e n in t h e form

■víí (o.»+«3 + 5f ) ( a » + A + ệ )

I = - : - - - j- - >

M inim izin g th is re la tio n i.e = 0, — -0, a fte r som e calculations we have

i =

_2N

(p + ^ ) ( h v + h + j )

(3.10)

( al ■ * r ) {01V+^ + ệ ) “ (A - ậ ) (al?7+ a * + ^ ) +

_ _ ^ _ ( a l7? + a3+ ^ ) ( A7? + / ?3+ ệ ) =

(3.11)

S u b s titu tin g th e values o f £ a n d T] in th e expressions (3.10), (3.11) in to (3.9), gives

us

? = 4AT2772 f r / <t>\ p> r / 4 > \ _pq _

(p77 + 3g) 11 \ N / p - p q + q2\ [ 2 \ N ) p - pq H

2 4 ( N / \ (2g - p ) (2p - g ) j I l ( N A ( S p - g) r

2 \(f / ) p — pq + q2 J V Ộ' ) p2 — pq + <72 i

+

+

(3.12) w here 77 is a so lu tio n of th e e q u a tio n (3.11)

In o rd e r to rea ch a valu es of c ritica l loads, we need to solve sim ultaneously th e e q u a tio n (1.3) a n d (3.12) b y ap p ly in g th e loading p a m e te r m e th o d [1], A fter d e te rm in in g th e critic a l v alu e t ‘ , we ca n find th e critical forces as follows

p ' = p ( t * y , q‘ = q (tm).

Now c o n sid er a n in te re stin g case It is a long cylindrical shell B ased on [2], we have 3iV a5/?5

£ ri « 1; i {pn + q ) p _ N r )

d i‘^

T h e m in im iz a tio n o f th e re la tio n (3.13), i.e — • = 0, yields

P0S _

r i = N = r i

(3.13)

A nd ag a in

d 2i _ 6 N 2a 5p 5

w ~ ~ ( * > ■ + § ) '

(3.14)

Since a5 > 0, /Ớ5 > th e n ^ ị \ = > 0; T h e sufficient co n d itio n of m inim um is

satisfied T a k in g in to a c c o u n t Qs, Ổ5, 77*, th e re la tio n (3.13) is w ritte n in th e form

(3.15) i =

127V2 Ị f ọ' \ Q2

4 \ N ) - p - p q + q2

> +

( N \ (2 p - q ) 2

p Kậ/ J p - p q +

b ) T h e second approxim ated solution: W e ta k e th e solu tio n as follows

5 w = ( l - cos ^ 1) sin I + ( ! - cos i ^ l ) sm 2 ;

V = D ll COS cos sin — ,

L t i L R

w here

-

-

(3.16)

(3.17) D21

-S u b s titu tin g (3.16) in to (3.7) a n d ta k in g th is in teg ral, we o b ta in a sy stem of two lin e a r alg eb raic eq u a tio n s w ith th e unknow ns D n , D 21- P rom th e co n d itio n D l l Ỷ 0, D 21 Ỷ 0 we have th e r e la tio n w hich p e rm its to d eterm in in g th e critical loads

{ ( § ) - - ( I m y + M ẩ ) ‘ - - ) +

9 (

h ? R ': ! ) ■

Pi 1© 1 + 03 ị

ị2i ĩ'

K LjI2 |( s r ^ )

1 \4 r / T \ 1\ 2] h 2R 9 ( V

4 ; r y

T )

0 11i f ) 1 + 03 ịi f ) 2( -\ R ) + & lf 1\ J { R j

-Hi1 \ 4a s 18? 1

h 2R 2N = (3.18)

4 Som e results of numerical calculation and discussion

W e co n sid er a long cy lin d ric a l shell m ade o f th e steel X r c A w ith a n elastic m o d u lu s 3G = 2.6 • lC P M P a, an yield p o in t Ơ, = 400 M P a (see '1]).

T h e re la tio n s for d e te rm in in g th e critic a l loads are given in th e form * fo rm u lae (2.12: a n d (1.3) for th e p a r t a) o f th e exam ples

* F o rm u lae (3.15) a n d (1.3) for th e p a r t b) of th e exam ples T h e n u m e rical re su lts a r e rea lize d b y th e M A T L A B program

E x a m p l e S uppose t h a t th e co m p lex loading law is o f th e form

p = p ( t ) = (p ° + Pl L J q = q(t) = q0 + q\t\ Pi

w h ere Po = M P a, Pi = M P a , <7o = M P a, q\ = M P a.

a) N u m e ric a l re su lts for th e sim p ly s u p p o rte d cylindrical shell

Table 1 R

h f s -1 p ’ M P a q’ M P a <7* M P a

2 59.34 10.51 629.5 7.9 625.6

31 54.81 5.031 559.6 7.5 555.9

40 52.95 3.469 531.7 7.3 528.1

50 51.17 2.469 506.5 7.1 502.9

59 49.45 1.905 482.3 6.9 478.9

65 48.10 1.669 463.8 460.4

6 41.13 1.276 373.7 370.7

77 28.21 0.7346 232.4 4.8 230.0

b) N u m eric al re su lts for th e c la m p e d cylindrical shell

Table 2 R

h t* - p* M P a q* M P a ơ'u M P a

2 62.45 15.46 679.8 8.245 675.7

31 56.47 6.844 584.7 7.647 581.0

40 54.02 4.285 547.9 7.402 544.2

50 51.87 2.821 516.5 7.187 512.9

59 50.11 2.090 491.5 7.011 488.1

65 48.62 1.739 470.9 6.862 467.5

6 47.11 1.579 450.4 6.711 447.1

71 36.97 1.087 324.6 5.697 321.7

77 28.55 0.747 235.7 4.855 233.3

E x a m p l e T h e com plex lo a d in g law is given in th e form

p = p{t) = p + P it3 -, Po = M P a; Pi = 0.1 M Pa;

q = q{t) = q0 + q i t 2\ go = M P a; qi = 0.1 M Pa.

a) R e s u lts o f n u m e rical c a lc u la tio n for th e sim ply s u p p o rte d cylindrical shell

Table 3 R

s -1

h f p* M P a q* M P a cr; M P a

17 17.52 5.329 539.7 32.69 Õ24.2

2 17.27 3.961 517.0 31.82 501.9

23 17.03 2.992 495.5 30.99 480.7

25 16.89 2.563 484.2 30.54 469.7

28 16.67 2.060 465.6 29.80 451.5

30 16.49 1.798 450.3 29.19 436.4

33 15.62 1.440 382.8 26.39 370.3

35 14.66 1.173 316.9 23.49 305.9

b ) R e s u lts for th e clam p e d cylin d rical shell

Table ị R

h t* s -1 p * M P a qm M P a Ơ' M P a

17 17.60 5.864 547.4 32.98 531.7

2 17.33 4.222 522.1 32.02 506.9

23 17.07 3.165 499.4 31.14 484.6

25 16.93 2.671 487.3 30.66 472.7

28 16.71 2.117 468.2 29.91 454.0

30 16.52 1.828 452.5 29.28 438.6

33 15.65 1.446 385.0 26.48 372.5

35 14.68 1.178 318.4 23.55 307.3

T h e ab o v e re su lts le ad us to som e conclusions

1 W e h av e u sed th e B u b n o v -G alerk in m e th o d for solving the e la sto p la stic s ta ­ b ility p ro b le m o f th e cy lin d rical shells w ith tw o ty p e s of v arious k in em atic b o u n d a ry c o n d itio n s In th is p a p e r, th e lin e arly in d e p en d e n ce of th e system s of fu n ctio n s Swij axe also in v e stig a te d

2 F or long shells we have show n th e necessary a n d sufficient c o n d itio n s of m in im u m

3 T h e m o re th e sh e ll is th in th e m o re th e value o f critic a l stress in te n sity ơ'u is sm a ll (see ta b le s 1, 2, 3, 4)

4 T h e c ritic a l lo a d s of th e sim p ly s u p p o rte d cy lin d rical shells su b je c te d to c o m p lex lo a d in g axe alw ays sm a lle r th a n c ritic a l ones w h en th e cy lin d rical shells are c la m p e d T h is re s u lt co rre sp o n d s to th e real p ro p e rty o f m a te ria l (see ta b le s 1, 2, 3, 4)

5 T h e o ry o f e la sto p la stic processes c a n be ap p lied to th e sta b ility pro b lem of cy lin d ric a l shells w h en b o th p re-b u ck lin g a n d p o st-b u ck lin g processes are com pli­ ca te d

T h is p a p e r is c o m p le te d w ith financial su p p o rt from th e N atio n al B asic R esearch P ro g m in N a tu l Sciences

R E F E R E N C E S

1 D ao H uy Bich T h e o ry o f e la sto p la stic processes, V ietn am N atio n a l U niversity P u b lis h in g H ouse, H anoi 1999 (in V ietnam ese)

2 V olm ir A s S ta b ility o f d efo rm ab le sy stem s Moscow 1963 (in R ussian) O gib alo v P M , K o n tu n o v M A P la te s a n d shells, Moscow, 1969 (in R ussian) D ao V an D ung S ta b ility p ro b le m o u tsid e elastic lim it according to th e th e o ry

o f e la sto p la stic processes P h D T hesis, H anoi 1993 (in V ietnam ese)

5 D ao V an D ung S olving m e th o d for s ta b ility p roblem of elasto p lastic cylindrical shells w ith com p ressib le m a te ria l su b je c te d to com plex loading processes V iet­ n a m J o u rn a l o f M echanics, N C S T o f Vol 23, 2001, No 2, pp 69-86

6 H ill R P la s tic d e fo rm a tio n a n d in sta b ility in thin -w alled tu b e r u n d er com bined loadding: a g en e ral theory J o u rn a l o f M ech a n d P hys of Solids , 1999, pp.921-933

Received M ay 23, 2003

V È BÀ I T O Á N Ổn Đ ỊN H Đ À N D ẺO C Ủ A v ỏ T R Ụ T R Ò N MỎNG C H ỊU T Ả I P H Ứ C T Ạ P V Ớ I C Á C Đ IỀ U K IỆN B IÊN Đ Ộ N G HỌC KH ÁC NHAU

B i b áo tr ìn h b y b i to n ổn đ ịnh c ủ a vỏ t r ụ chịu tá c d ụ n g dồng th i lực n én d ọ c đ n g sin h v p lực Đ ã x é t hai d n g điều kiện biên dộng học t ự a b ả n lề v n g m tạ i X i = 0; X i = L s d ụ n g p h n g p h áp B ubn o v -G alerk in dã th iế t lậ p d ợ c hệ th ứ c dể tìm tả i tớ i h n Đ iều kiện đủ c ủ a cực tr ị cho vỏ dài dã d c x em x ét M ơt số k ế t q u ả tín h to n b ă n g so cũ n g d ợ c trin h b a y v a th ả o luạn

ĐAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN HÀ NỘI KHOA TOÁN Cơ TIN HỌC

Trần Thị Thanh Hà

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ

ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA TẤM MỎNG CHỮ NHẬT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Nsành Cơ học

Cán hướng dẫn: PGS-TS Đào Văn Dũng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

KHOA TOÁN - C - TIN HỌC

Hoàng Văn Tùng

NGHIÊN c ứ ỔN ĐỊNH TRONG VÀ NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỐI CỦA BẢN MỎNG CHỊU CÁC

LIÊN KẾT BIÊN KHÁC NHAU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành : Cơ học

Cán hướng dẩn: Go.TSKH Đào Huy Bích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TựNHIÊN

KHOA TOÁN - Cơ - TIN HỌC

Nguyễn Đức Trọng

ỔN ĐỊNH ĐÀN DẺO CỦA MẢNH v ỏ TRỤ MỎNG CHỊU TÁC DỤNG ĐỔNG THỜI CỦA CÁC

Lực NÉN THEO HAI PHƯƠNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: c HỌC

PHIẾU ĐĂNG KÝ

k ế t q u ả n g h iê n Cứu KH-CN

Tên đề tài:

Bài toán tình động mơi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp" (Static and dynamic problems ill elastoplastic media subjected

to complex loading processes) Cơ quan chủ trì đề tài:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, địa chỉ: 334 đường Nguyễn Trãi Tel: 8.585.277

Cơ quan quản lý đề tài:

Đại học Quốc gia Hà Nội, địa 144 đường Xuân Thuỷ Tel: 8.340.564

Tổng kinh phí thực thi: 23.000.000đ (Hai mươi ba triệu đồns)

Trong kinh phí Nhà nước là: 23.000.000đ (Hai mươi ba triệu đồne) Thời gian nghiên cứu: Năm 2002 2003

Tên cán phối hợp:

1 GS.TSKH Đào Huy Bích, trường ĐH KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội

Sỏ đăng ký đề tài: Số chứng nhận kết quả Bảo mật:

nghiên cứu:

a) Phổ biến rộng rãi b) Phổ biến hạn chế c) Bảo mật

Đã nghiên cứu vấn đề sau đây:

1 Bài toán ổn định đàn dẻo vỏ tròn xoay.

2 Bai toan ổn đụih manh vỏ trụ theo lý thuyết trình đàn dẻo. 3 On đinh đàn dẻo vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp với điều kiện

biên động học khác nhau.

4 Phương pháp sơ để giải sơ tốn ổn định.

5 Cách tìm nghiệm tính chất nghiệm phương trình Matchie.

6 Ưng dụng phương trình Van der Pol để nghiên cứu tượng mất

Ổn định khí động.

Đã đăng báo Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ VII, Hà Nội, tháng 12 nãm 2002 báo Tạp chí Khoa học ĐHQG tập 21, số 3, năm 2003 báo Tạp chí Cơ học tập 25, sơ 1,

năm 2003 nhận đăng ở Tạp chí Cơ học năm 2004.

- Kết đào tạo: Góp phần đào tạo sinh viên tốt nghiệp. Kiến nghị quy mô đối tượng áp dụng nghiên cứu:

* Đề tài góp phần nâng cao chuyên môn đào tạo sinh viên, cao học, nghiên cứu sinh.

* Góp phần vào việc nghiên cứu vấn đề ổn định kết cấu trong xây dựng, kiến trúc, giao thông v.v

Chủ nhiệm đề tài

Thủ trưởng quan chủ trì đề tài

Họ tên Đào V ăn Dũng

Học hàm PGS.TS

Học vị Có ĩ?

Chù tịch Hội đồng đánh giá thức

Thủ trưởng quan quản lý đề tài

p & t f u k y