Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.[r]
(1)PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP LẦN 1 NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020.
Câu : (1.5 điểm) Cho a – b = a.b = Tính :
a ) A = a3 – b3
b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)
Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để:
a ) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố.
b ) B= n5-n+2 số phương (n N n ; 2)
Câu 4: (1 điểm)
a) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh :
a b c
c b
c a
b a
c b
a
b)Cho a > b > so sánh số x , y với :
x =
1
a a a
; y = 1
b b b
Câu 5: (1,5 điểm)
a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
Câu : (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc
với cắt BC P R, cắt CD Q S
a) Chứng minh Δ AQR Δ APS tam giác cân.
b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật
c) Chứng minh P trực tâm Δ SQR.
(2)PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(1,5đ)
a )x4 + = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2- (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x)
0,5
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 =
4
x x 2020x 2020x 2020 0.5
=
2
x x x x 1 2020 x x 1
=
2
x x x x 2020 0,5
Câu 2
(1.5đ)
a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5 b)
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2 = (25 + 2.2)2 – 2.22
= 833 a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2
= [(a – b)2 + 2ab] (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a) = [(a – b)2 + 2ab] (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a) = (25 + 4) (25 + 6) – 4.5
=4475
Vậy B = 833 + 4475 = 11449
0.25
0,5 0,25
Câu 3
(2đ)
a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; không thỏa mãn đề
+)Nếu n = thỏa mãn đề p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
+)Nếu n > không thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n – 1> n2 + > n – 1> 1
0.5 - Vậy n = thìp = n3 - n2 + n - số nguyên tố 0.25 b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)n2 45 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 0.5 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)5 (tích 5số tự nhiên liên tiếp)
và n(n-1)(n+1)5 Vậy B chia dư 2 0.25 Do số B có tận 7nên B khơng phải số phương
Vậy khơng có giá trị n để B số phương 0.25
Câu 4
(1đ)
a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ suy a= ; ;
y x c z x b z
y
;
(3)=>A= ) ( ) ( ) ( 2 2 y z z y x z z x y x x y z y x y z x x z y
Từ suy A 2(2 2)
hay A3 0.25
b)Ta có x,y >
2
2 2
1 1 1
1 1
1 1 1
1
a a a
a
x a a y
a a a b b
Vì a> b > nên 2 1
a b
1
ab Vậy x < y.
0,5
Câu 5
(1,5 đ) a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019 = (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019)
Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019 A = 31 + 32 + 33 + … + 32018 + 32019
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020 ⇒ 3A – A = 32020 - 31
⇒ A =
32020−3
B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019 2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020
⇒ 2B – B = 22020 - 21 ⇒ B = 22020 –
Vậy S =
32020−3 −(2
2020−2)
=3
2020
−22021+1
b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010
Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy (x =
; y =
) Vậy A = 2010 (x =
2
(4)Vẽ hình, cân đối đẹp
a) Δ ADQ = Δ ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư vng góc) DA = BD (cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên
Δ AQR tam giác vng cân Chứng minh tương tự ta có: Δ ABP = Δ ADS
do AP =AS Δ APS tam giác cân A. 0,5
b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN ¿ SP AM ¿ RQ.
Mặt khác : PAN PAM = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN
có ba góc vng, nên hình chữ nhật
c) Theo giả thiết: QA ¿ RS, RC ¿ SQ nên QA RC hai đường
cao Δ SQR Vậy P trực tâm Δ SQR.
d) Xét tam giác vng cân AQR có MA trung tuyến nên AM = QR
⇒ MA = MC, nghĩa M cách A C
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC
e) Vì ABCD hình vuông nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa
- Học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm hình
0,5 0,5
(5)