Đề, đáp án KS HSG Toán 8 lần 1

Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.[r]

PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU

ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP LẦN 1 NĂM HỌC 2020 – 2021

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x 

b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020.

Câu : (1.5 điểm) Cho a – b = a.b = Tính :

a ) A = a3 – b3

b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)

Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để:

a ) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố.

b ) B= n5-n+2 số phương (n N n ; 2)

Câu 4: (1 điểm)

a) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh :

       

 a b c

c b

c a

b a

c b

a

b)Cho a > b > so sánh số x , y với :

x =

1

a a a



  ; y = 1

b b b

  

Câu 5: (1,5 điểm)

a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015

Câu : (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc

với cắt BC P R, cắt CD Q S

a) Chứng minh Δ AQR Δ APS tam giác cân.

b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật

c) Chứng minh P trực tâm Δ SQR.

PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN NĂM HỌC 2020 - 2021

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(1,5đ)

a )x4 + = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2- (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x)

0,5

b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 =    

4

x  x  2020x 2020x 2020 0.5

=     

2

x x x x 1 2020 x x 1

=    

2

x x x  x 2020 0,5

Câu 2

(1.5đ)

a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5 b)

a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2 = (25 + 2.2)2 – 2.22

= 833 a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2

= [(a – b)2 + 2ab] (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a) = [(a – b)2 + 2ab] (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a) = (25 + 4) (25 + 6) – 4.5

=4475

Vậy B = 833 + 4475 = 11449

0.25

0,5 0,25

Câu 3

(2đ)

a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; không thỏa mãn đề

+)Nếu n = thỏa mãn đề p = (22 + 1)(2 - 1) = 5

+)Nếu n > không thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n – 1> n2 + > n – 1> 1

0.5 - Vậy n = thìp = n3 - n2 + n - số nguyên tố 0.25 b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2

=n(n-1)(n+1)n2  45 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 0.5 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)5 (tích 5số tự nhiên liên tiếp)

và n(n-1)(n+1)5 Vậy B chia dư 2 0.25 Do số B có tận 7nên B khơng phải số phương

Vậy khơng có giá trị n để B số phương 0.25

Câu 4

(1đ)

a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ suy a= ; ;

y x c z x b z

y 

   

;

=>A=                 ) ( ) ( ) ( 2 2 y z z y x z z x y x x y z y x y z x x z y

Từ suy A 2(2 2)

  

hay A3 0.25

b)Ta có x,y >

2

2 2

1 1 1

1 1

1 1 1

1

a a a

a

x a a y

a a a b b

 

         



 

 

Vì a> b > nên 2 1

a b

1

ab Vậy x < y.

0,5

Câu 5

(1,5 đ) a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019 = (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019)

Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019  A = 31 + 32 + 33 + … + 32018 + 32019

3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020 ⇒ 3A – A = 32020 - 31

⇒ A =

32020−3

 B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019 2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020

⇒ 2B – B = 22020 - 21 ⇒ B = 22020 –

Vậy S =

32020−3 −(2

2020−2)

=3

2020

−22021+1

b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015

= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010

Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy (x =

; y = 

) Vậy A = 2010 (x =

2

Vẽ hình, cân đối đẹp

a) Δ ADQ = Δ ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư vng góc) DA = BD (cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên

Δ AQR tam giác vng cân Chứng minh tương tự ta có: Δ ABP = Δ ADS

do AP =AS Δ APS tam giác cân A. 0,5

b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN ¿ SP AM ¿ RQ.

Mặt khác : PAN PAM = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN

có ba góc vng, nên hình chữ nhật

c) Theo giả thiết: QA ¿ RS, RC ¿ SQ nên QA RC hai đường

cao Δ SQR Vậy P trực tâm Δ SQR.

d) Xét tam giác vng cân AQR có MA trung tuyến nên AM = QR

⇒ MA = MC, nghĩa M cách A C

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC

e) Vì ABCD hình vuông nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng

Chú ý:

- Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa

- Học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm hình

0,5 0,5