MAT CAU VA MAT TRON XOAY

Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón HD: a) * S xq = π Rl = π .OB.AB = 15 π Tính: AB = 5 ( ∨ ∆ AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 15 π + 9 π = 24 π b) V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OB .OA π = 2 1 3 4 3 . .π = 12 π Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * S xq = π Rl = π .OB.SB = 2 π a 2 * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + π a 2 = 23 π a 2 b) V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OB .SOπ = 3 2 1 3 3 3 3 a .a .a π π = Tính: SO = 2 3 3 2 a a = (vì SO là đường cao của ∆ SAB đều cạnh 2a) Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Email: phuocxuansang@gmail.com - 1 - 2a A B S 3 4 A B O Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vng cân tại S nên A ∧ = B ∧ = 45 0 * S xq = π Rl = π .OA.SA = π a 2 2 Tính: SA = a 2 ; OA = a ( ∨ ∆ SOA tại O) * S tp = S xq + S đáy = π a 2 2 + π a 2 = (1 + 2 ) π a 2 b) V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OA .SO π = 3 2 1 3 3 a .a .a π π = Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vng. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vng cân tại S nên A ∧ = B ∧ = 45 0 * S xq = π Rl = π .OA.SA = π . 2 l .l = 2 2 lπ Tính: OA = 2 l ( ∨ ∆ SOA tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 2 lπ + 2 2 l π = 2 1 1 2 2 l   + π  ÷   b) V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OA .SO π = 2 3 1 3 2 2 6 2 l l l . . π π = Tính: SO = 2 l ( ∨ ∆ SOA tại O) Email: phuocxuansang@gmail.com - 2 - 45 S B A l 45 S B A O Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120 0 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A ∧ = B ∧ = 30 0 hay A SO ∧ = BSO ∧ = 60 0 * S xq = π Rl = π .OA.SA = π . 3a .2a = 2 2 3a π Tính: OA = 3a ; SA = 2a ( ∨ ∆ SOA tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 2 3a π + 3 π a 2 = ( ) 2 2 3 3 a + π b) V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OA .SO π = 2 3 1 3 3 . a .a aπ = π Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A ∧ = B ∧ = α * S xq = π Rl = π .OA.SA = π . lcos α .l = 2 l cos π α Tính: OA = lcos α ( ∨ ∆ SOA tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 l cos π α + π l 2 cos 2 α = ( ) 2 1 cos l cos+ α π α b) V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OA .SO π = 2 1 3 2 .l cos .lsinπ α α = 3 3 2 l cos sin π α α Tính: SO = lsin α ( ∨ ∆ SOA tại O) Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2 π a 2 . Email: phuocxuansang@gmail.com - 3 - 120 a S B A O α l S B A O Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu Tính thể tích của hình nón HD: * S xq = π Rl ⇔ π Rl = 2 π a 2 ⇒ R = 2 2 2 2 2 a a a l a π = = π * Tính: SO = 3a ( ∨ ∆ SOA tại O) * V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OA .SO π = 3 2 1 3 3 3 3 a .a .a π π = Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 0 và diện tích đáy bằng 9 π . Tính thể tích của hình nón HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều * S đáy = π R 2 ⇔ 9 π = π R 2 ⇔ R 2 = 9 ⇔ R = 3 * SO = 3 2 3 3 3 2 2 AB R = = * V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OA .SO π = 2 1 3 3 3 9 3 3 . .π = π Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 0 . Tính diện tích của thiết diện này Email: phuocxuansang@gmail.com - 4 - 2a S A O 60 S B A O C M 45 a S B A O Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu HD: a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB vng cân tại Snên A ∧ = B ∧ =45 0 * S xq = π Rl = π .OA.SA = π . 2 a .a = 2 2 a π Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó HD: a) * S xq = π Rl = π .OA.SA = π .25.SA = 25 π 1025 (cm 2 ) Tính: SA = 1025 ( ∨ ∆ SOA tại O) S tp = S xq + S đáy = 25 π 1025 + 625 π b) V = 2 1 3 R hπ = 2 1 3 .OA .SO π = 2 2 1 25 20 3 . .π (cm 3 ) c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH = 12cm * S SAB = 1 2 .AB.SI = 1 2 .40.25 = 500(cm 2 ) * Tính: SI = OS.OI OH = 20 12 .OI = 25(cm) ( ∨ ∆ SOI tại O) * Tính: 2 1 OI = 2 1 OH - 2 1 OS ⇒ OI = 15(cm) ( ∨ ∆ SOI tại O) * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = 2 2 20OA OI− = (cm) ( ∨ ∆ AOI tại I) Email: phuocxuansang@gmail.com - 5 - l h O I H B A S Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một ∆ vng cân có cạnh huyền bằng 2a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 0 . Tính diện tích tam giác SBC HD: a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB vng cân tại S nên A ∧ = B ∧ = 45 0 * S xq = π Rl = π .OA.SA = π . 2 2 a .a = 2 2 2 a π Tính: OA = 2 AB = 2 2 a ; Tính: SA = a ( ∨ ∆ SOA tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 2 2 a π + 2 2 a π = 2 2 1 2 ( ) a + π Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ HD: Email: phuocxuansang@gmail.com - 6 - C M a 2 S B A O Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu a) * S xq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA ’ = 2 π .R.2R = 4 π R 2 * OA =R; AA ’ = 2R * S tp = S xq + 2S đáy = 4 π R 2 + π R 2 = 5 π R 2 b) * V = 2 R h π = 2 .OA .OO ′ π = 2 3 2 2.R . R R π = π Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên HD: a) * S xq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA ’ = 2 π .5.7 = 70 π (cm 2 ) * OA = 5cm; AA ’ = 7cm * S tp = S xq + 2S đáy = 70 π + 50 π = 120 π (cm 2 ) b) * V = 2 R h π = 2 .OA .OO ′ π = π .5 2 .7 = 175 π (cm 3 ) c) * Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI = 3cm * ABB A S ′ ′ = AB.AA ’ = 8.7 = 56 (cm 2 ) (hình chữ nhật) * AA ’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) ( ∨ ∆ OAI tại I) Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho Email: phuocxuansang@gmail.com - 7 - A B O O' A' B' l h h r l B' A' O' I O B A Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30 0 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ HD: a) * S xq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA ’ = 2 π .r. r 3 = 2 3 π r 2 * S tp = S xq + 2S đáy = 2 π r 2 3 + 2 π r 2 = 2 ( 3 1)+ π r 2 b) * V = 2 R h π = 2 .OA .OO ′ π = 2 3 3 3.r .r r π = π c) * OO ’ //AA ’ ⇒ BA A ∧ ′ = 30 0 * Kẻ O ’ H ⊥ A ’ B ⇒ O ’ H là khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO ’ của hình trụ * Tính: O ’ H = 3 2 r (vì ∆ BA ’ O ’ đều cạnh r) * C/m: ∆ BA ’ O ’ đều cạnh r * Tính: A ’ B = A ’ O ’ = BO ’ = r * Tính: A ’ B = r ( ∨ ∆ AA ’ B tại A ’ ) Cách khác: * Tính O ’ H = 2 2 O A A H ′ ′ ′ − = 2 2 3 4 2 r r r − = ( ∨ ∆ A ’ O ’ H tại H) * Tính: A ’ H = 2 A B ′ = 2 r * Tính: A ’ B = r ( ∨ ∆ AA ’ B tại A ’ ) Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O ’ , bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ Email: phuocxuansang@gmail.com - 8 - r 3 H A B O O' A' r Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu HD: a) * S xq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA ’ = 2 π .R. R 2 = 2 2 π R 2 * S tp = S xq + 2S đáy = 2 2 π R 2 + 2 π R 2 = 2 ( 2 1) + π R 2 b) * V = 2 R h π = 2 .OA .OO ′ π = 2 3 2 2.R .R R π = π Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ ĐS: a) * S xq = 2 π Rl = 5000 π (cm 2 ) * S tp = S xq + 2S đáy = 5000 π + 5000 π = 10000 π (cm 2 ) b) * V = 2 R h π = 125000 π (cm 3 ) c) * O ’ H = 25(cm) MỈt cÇu Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), ∆ ABC vng tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D Email: phuocxuansang@gmail.com - 9 - R 2 R A' O' O A Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn Bài tập khối tròn và khốâi cầu b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD. * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: ∆ DAC vng tại A ⇒ OA = OC = OD = 1 2 CD (T/c: Trong tam giác vng trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) * Chứng minh: ∆ DBC vng tại B ⇒ OB = 1 2 CD * OA = OB = OC = OD = 1 2 CD ⇔ A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; 2 CD ) b) * Bán kính R = 2 CD = 1 2 2 2 AD AC+ = 1 2 2 2 2 AD AB BC+ + = 1 2 2 2 2 5 2 25 9 16 2 a a a a + + = * S = 2 2 5 2 4 50 2 a a   π = π  ÷   ; * V = 4 3 π R 3 = 3 3 4 5 2 125 2 3 2 3 a a   π π =  ÷   Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) Gọi O là tâm hình vng (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS b) R = OA = 2 2 a ; S = 2a 2 π ; V = 3 2 3 a π Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Email: phuocxuansang@gmail.com - 10 - O D C B A [...]... ngoại tiếp Bài tập2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B, AB = a, BC = a 3 Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải: Trong mp( SAC), dựng SH ⊥ AC tại H ⇒ SH ⊥ (ABC) 1 V = B.h , trong đó B là diện tích ∆ABC, h = SH 3 B= 1 a2 3 Trong tam giác đều SAC có AC = 2a ⇒ AB BC = 2 2 SH = 2a 3 =a 3 2 a3 Vậy V = (đvtt) 2 Bài tập3 Cho hình chóp đều... 2 a3 2 (đvtt) V= 6 b) Áp dụng cơng thức Sxq = π r.l trong đó r = OA, l =SA= a Thay vào cơng thức ta được: a 2 a2 2 Sxq = π a =π 2 2 (đvdt) Bài tập4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ Giải: a) Ta có V = B.h , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều... tròn và khốâi cầu a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài giải: a) Áp dụng cơng thức V = h = SA = a ⇒ V = 1 Bh trong đó B = a2, 3 1 3 a ( đvtt) 3 b) Trong tam giác vng SAC, có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1) BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆ SBC vng tại B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB . đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC. Giải: Trong mp( SAC), dựng SH ⊥ AC tại H ⇒ SH ⊥ (ABC). 1 . 3 V B h= , trong đó. chóp. Bài giải: a) Áp dụng cơng thức 1 3 V Bh = trong đó B = a 2 , h = SA = a ⇒ 3 1 3 V a = ( đvtt) b) Trong tam giác vng SAC, có AI là trung tuyến ứng