ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI

Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC.[r]

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH

TỔ TỐN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1(20 điểm):

a) Rút gọn biểu thức sau





1

M x y

x y x y

 

   

 

  với x0,y0,xy

b) Giải hệ phương trình

5

3

x y

x y

  



 



Câu 2(20 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y x đường thẳng (d)

1

2

y x

a )Vẽ đồ thị (P) (d) mặt phẳng tọa độ

b) Không dùng đồ thị xác định tọa độ giao điểm (P) (d) Câu 3(20 điểm): Cho phương trình x2 2mx2m1 0 ( m tham số).

a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm với tham số m b) Gọi x x1, hai nghiệm phân biệt phương trình cho Xác định m để

1 2

2

x x

x  x 

Câu 4(30 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H G lần lượt trực tâm trọng tâm tam giác ABC, E trung điểm cạnh BC Kẻ đường kính AD, đường cao AH tam giác ABC cắt đường tròn (O) K.

a) Chứng minh H K đối xứng qua BC.

b) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng OH =3OG

c) Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r, kẻ đường thẳng qua O và I cắt đường tròn

(

O R,

)

lần lượt M N Gọi P giao điểm AI với đường trịn

(

O R,

)

, vẽ đường kính PQ, gọi J hình chiếu I lên AC Chứng minh R2- OI2 =2Rr Câu 5(10 điểm): Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện

2

2

1

x

y z yz

   

Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z  

Họ tên thí sinh……… Số báo danh………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM HỌC 2018 - 2019

MƠN: TỐN

Câu Nội dung Biểu điểm

1

20



điểm 1a

Rút gọn biểu thức sau





1

M x y

x y x y

          10



điểm =





x y x y

x y

x y x y

              5.0 =





2 y x y x y           2.5

=2 y 2.5

1b

Giải hệ phương trình

5 x y x y        10



điểm Lấy trừ ta 2y = -1

y = 

5.0

Với y =

1 11

2 x

   5.0

2

20



điểm

2a Vẽ đồ thị (P) (d) mặt phẳng tọa độ.

10



điểm +y x 2: Lập bảng

x -2 -1

2

y x 1

2.5

+ Vẽ đồ thị 2.5

+

1

2

y x

qua A(0;

)

2 , B(3;0)

2.5

+ Vẽ đồ thị 2.5

2b Không dùng đồ thị xác định tọa độ giao điểm (P) (d).

10



điểm PTHĐGĐ

2

2

1 x x

     

2.5

1

3

2

x y

x y

  

  

2.5

Kết luận giao điểm 2.5

3

20



điểm 3a Chứng minh phương trình

2

x  mx m  ln có nghiệm

với tham số m



5.0 điểm

/ m2 2m 1

    2.5

= (m1)2  0 m 2.5

3b Gọi x x1, hai nghiệm pb phương trình cho Xác định m

để

1 2

2

x x

x  x 

15



điểm

ĐK m1 2.5

1 2 , 2

x x  m x x  m 2.5

2

2

2 (2 )

x x

m

x  x   

5.0

m = 0( TM) 5.0

4

30



điểm 4a Hình vẽ câu a, b

10



điểm 2.5

Gọi F giao điểm BC HK.

+ Chứng minh: BHCD HBH 2.5

BF đường trung bình tam giác HKD 2.5

4b Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng OH=3OG.

10



điểm Ta có H, E, D thẳng hàng.

Xét tam giác AHD có AE HO hai trung tuyến, nên G thuộc HO, suy H, G, O thẳng hàng.

5.0 Chứng minh hai tam giác AHG EOG đồng dạng, suy ra

3

OH = OG. 5.0

4c Chứng minh 2

2

R - OI = Rr. 10



điểm

4c Hình vẽ 2.5

Ta có R2- OI2=

(

R OI R OI-

) (

+

)

=IM IN 2.5 Tam giác IMA đồng dạng với tam giác IPN,

suy

IM IA

IM IN IA IP

IP =IN Û = .

2.5

Chứng minh tam giác IAJ đồng dạng với tam giác PQC, suy ra

IA IJ

IA PC PQ IJ R r

PQ=PC Û = = .

Mà PI=PC, suy R2- OI2 =2Rr

2.5

5

Cho

2

1

x

y z yz

   

Tìm GTLN biểu thức P x y z  



10 điểm

Ta có

2

2 2

3

1

2

x x

y z yz yz y z

         2.5

P = x + y + z



B

2

= x

2

+y

2

z

2

+ 2(xy +yz + xz)

2

2 2 2( 1 2 )

2 x

P x y z xy y z xz

         



P

2

=

2 (x y )2(x z )2 2

Vậy Max P =

2.5