Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC.[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH
TỔ TỐN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1(20 điểm):
a) Rút gọn biểu thức sau
1
M x y
x y x y
với x0,y0,xy
b) Giải hệ phương trình
5
3
x y
x y
Câu 2(20 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y x đường thẳng (d)
1
2
y x
a )Vẽ đồ thị (P) (d) mặt phẳng tọa độ
b) Không dùng đồ thị xác định tọa độ giao điểm (P) (d) Câu 3(20 điểm): Cho phương trình x2 2mx2m1 0 ( m tham số).
a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm với tham số m b) Gọi x x1, hai nghiệm phân biệt phương trình cho Xác định m để
1 2
2
x x
x x
Câu 4(30 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi H G lần lượt trực tâm trọng tâm tam giác ABC, E trung điểm cạnh BC Kẻ đường kính AD, đường cao AH tam giác ABC cắt đường tròn (O) K.
a) Chứng minh H K đối xứng qua BC.
b) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng OH =3OG
c) Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r, kẻ đường thẳng qua O và I cắt đường tròn (O R, )lần lượt M N Gọi P giao điểm AI với đường trịn
(O R, ), vẽ đường kính PQ, gọi J hình chiếu I lên AC Chứng minh R2- OI2 =2Rr Câu 5(10 điểm): Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện
2
2
1
x
y z yz
Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z
(2)Họ tên thí sinh……… Số báo danh………
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM HỌC 2018 - 2019
MƠN: TỐN
Câu Nội dung Biểu điểm
1
20
điểm 1a
Rút gọn biểu thức sau
1
M x y
x y x y
10 điểm =
x y x y
x y
x y x y
5.0 = 2 y x y x y 2.5
=2 y 2.5
1b
Giải hệ phương trình
5 x y x y 10 điểm Lấy trừ ta 2y = -1
y =
5.0
Với y =
1 11
2 x
5.0
2
20
điểm
2a Vẽ đồ thị (P) (d) mặt phẳng tọa độ.
10
điểm +y x 2: Lập bảng
x -2 -1
2
y x 1
2.5
+ Vẽ đồ thị 2.5
+
1
2
y x
qua A(0;
)
2 , B(3;0)
2.5
+ Vẽ đồ thị 2.5
2b Không dùng đồ thị xác định tọa độ giao điểm (P) (d).
10
điểm PTHĐGĐ
2
2
(3)1 x x
2.5
1
3
2
x y
x y
2.5
Kết luận giao điểm 2.5
3
20
điểm 3a Chứng minh phương trình
2
x mx m ln có nghiệm
với tham số m 5.0 điểm
/ m2 2m 1
2.5
= (m1)2 0 m 2.5
3b Gọi x x1, hai nghiệm pb phương trình cho Xác định m
để
1 2
2
x x
x x
15
điểm
ĐK m1 2.5
1 2 , 2
x x m x x m 2.5
2
2
2 (2 )
x x
m
x x
5.0
m = 0( TM) 5.0
4
30
điểm 4a Hình vẽ câu a, b
10
điểm 2.5
Gọi F giao điểm BC HK.
+ Chứng minh: BHCD HBH 2.5
BF đường trung bình tam giác HKD 2.5
(4)4b Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng OH=3OG.
10
điểm Ta có H, E, D thẳng hàng.
Xét tam giác AHD có AE HO hai trung tuyến, nên G thuộc HO, suy H, G, O thẳng hàng.
5.0 Chứng minh hai tam giác AHG EOG đồng dạng, suy ra
3
OH = OG. 5.0
4c Chứng minh 2
2
R - OI = Rr. 10
điểm
4c Hình vẽ 2.5
Ta có R2- OI2=(R OI R OI- ) ( + )=IM IN 2.5 Tam giác IMA đồng dạng với tam giác IPN,
suy
IM IA
IM IN IA IP
IP =IN Û = .
2.5
Chứng minh tam giác IAJ đồng dạng với tam giác PQC, suy ra
IA IJ
IA PC PQ IJ R r
PQ=PC Û = = .
Mà PI=PC, suy R2- OI2 =2Rr
2.5
5
Cho
2
1
x
y z yz
Tìm GTLN biểu thức P x y z 10 điểm
Ta có
2
2 2
3
1
2
x x
y z yz yz y z
2.5
P = x + y + z B2 = x2 +y2 z2 + 2(xy +yz + xz)
2
2 2 2( 1 2 )
2 x
P x y z xy y z xz
(5) P2 =2 (x y )2(x z )2 2
Vậy Max P = 2.5