ĐỀ CƯƠNG ôn tập CUỐI học kỳ 2 TOÁN 6 dapan

www.mathx.vn Tốn lớp ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II MƠN TỐN – KHỐI NỘI DUNG ƠN TẬP A LÝ THUYẾT I Số học Nêu quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc? Viết dạng tổng quát phân số Cho ví dụ Thế hai phân số nhau? Cho ví dụ Nêu tính chất phân số? Viết dạng tổng quát Phát biểu quy tắc rút gọn phân số? Thế phân số tối giản? Cho ví dụ Muốn so sánh hai phân số không mẫu ta làm nào? Cho ví dụ Phát biểu quy tắc quy đồng mẫu số nhiều phân số? Cho ví dụ Phát biểu viết dạng tổng quát quy tắc thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số? Phát biểu tính chất phép cộng phép nhân phân số a) Nêu quy tắc tìm giá trị phân số số cho trước? Cho ví dụ b) Nêu quy tắc tìm số biết giá trị phân số nó? Cho ví dụ c) Nêu cách tính tỷ số hai số a b? Tỷ số phần trăm? Cho ví dụ II Hình học Góc nào? Kí hiệu? Hình vẽ minh họa Thế góc vng, góc nhọn, góc tù, góc bẹt? Thế hai góc phụ nhau; bù nhau; kề nhau, kề bù? Khi xOy + yOz = xOz ? Vẽ hình minh họa Thế tia phân giác góc? Cách vẽ tia phân giác góc? Tam giác ABC nào? (O; R) nào? Nêu cách chứng tỏ tia nằm hai tia? (đưa ví dụ minh họa) A CÁC DẠNG BÀI TẬP I Bài tập trắc nghiệm Câu Phân số sau không phân số Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 www.mathx.vn A −4 −10 Toán lớp B 15 −20 C D 12 30 Đáp án: C Câu Phân số sau phân số A − B −3 7 C −7 D − −7 Đáp án: D Câu Cho −15 = Khi giá trị x là: x A 20 B – 20 C 63 D 57 Đáp án: B Câu Cho biết A −4 x + −9 Khi giá trị x là: = 12 B −2 C D C – 10 D 16 C – 13 D 13 C – D Đáp án: A Câu Tính ( −6 ) + ( −10 ) A 10 B – 16 Đáp án: B Câu Tính ( −5 ) −8 A – 40 B 40 Đáp án: A Câu Khi x = x bằng: A B – Đáp án: C Câu Tập hợp số nguyên ước là: A 1; 2 B −1; −2 C 0; 2; 4; 6;  D −2; −1;1; 2 Đáp án: D Câu Viết tích ( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) dạng lũy thừa A ( −3 ) B ( −3 ) Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 C ( −3 ) D ( −3 ) www.mathx.vn Toán lớp Đáp án: D Câu 10 Hỗn số −2 A viết dạng phân số là: 13 B − 13 C − 10 D − Đáp án: B Câu 11 Kết phép tính A 10 1 − + 20 B C −1 10 D 10 Đáp án: B là: 20 15 Câu 12 Tỉ số % A 100% B 12% C 30% D 15% C 45 D 90 Đáp án: A Câu 13 75% 60 là: A 40 B 80 Đáp án: C Câu 14 A là: 41 20 B 10 21 C 10 D Đáp án khác Đáp án: C Câu 15 Biết A 63 25 x x bằng: 10 B C 38 25 D Đáp án: A Câu 16 Học kì I lớp 6A có 20 học sinh giỏi Học kì II số học sinh giỏi tăng thêm 20% Số học sinh giỏi lớp 6A học kì II là: A 16 B 24 C 40 D Đáp án: B Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 www.mathx.vn Toán lớp Câu 17 Trong câu sau, câu đúng, câu sai? Hình tạo hai tia cắt góc Góc tù góc nhỏ góc bẹt Nếu tia Om tia phân giác xOy xOm = yOm Nếu aOb = bOc Ob tia phân giác aOc Góc vng góc có số đo 90o Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh cịn lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung Tam giác ABC hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA Mọi điểm nằm đường trịn cách tâm khoảng bán kính Đáp án: S, Đ, Đ, S, Đ, Đ, S, Đ Câu 18 aOb + bOc = aOc A Tia Oa nằm hai tia Ob, Oc B Tia Oc nằm hai tia Oa, Ob C.Tia Ob nằm hai tia Oa, Oc D Cả ba phương án sai Đáp án: C Câu 19 Biết xOy = 70o , yOz = 110o hai góc hai góc A Kề bù B Phụ C Kề D Bù Đáp án: A Câu 20 Biết xOy = 60 , yOz = 30 Hai góc hai góc A Kề bù B Phụ C Kề D Bù Đáp án: B II Bài tập tự luận Dạng 1: Thực phép tính Bài Thực phép tính  1 a) 11 −  −  +  2 3 7 3 c) :   5 7 b) 17 11 −1 + : 20 15 20  15   :  23 29  23 d)  Hướng dẫn: Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 www.mathx.vn a) Toán lớp 133 12 b) 49 15 c) d) 12 Bài Thực phép tính  2   a) 11 −  − +   3  c)  17   b)  − − 0,  : 13   12  −  −2 − 4 15   15   23 26 −4 −15 d) 0, 375 ( −10 ) 24 Hướng dẫn: a) 133 12 b) 13 12 c) 1642 105 b) −3 −3 −3 + + 7 d)  4  +  39  3 5 d) – Bài Thực phép tính a) : − :  7 1 c)  −4 +  − 11 11 3   Hướng dẫn: a) 15 b) − c) − d) 10 Bài 4: Thực phép tính cách hợp lý 2 a) + − 11 11 11 3 b) ( −0, ) − 2,75 + ( −1, ) : 11 5.27 3.4  55.2 6.3 c) :  10 65 64      5 15 15 5− − − 15 − + 27 : 11 121 d) 8 16 16 8− − − 16 − + 27 11 121 44 c) 648 Hướng dẫn: a) 37 b) − d) Bài Thực phép tính cách hợp lý 7 7 + + + + a) 10.11 11.12 12.13 69.70 52 52 52 b) + + + 1.6 6.11 26.31 c) + 2 + + + 50 1 1 d) + + + + + 1024 Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 www.mathx.vn Toán lớp Hướng dẫn: a) b) 150 31 c) 251 − d) 2047 1024 Dạng 2: Tìm x Bài Tìm x, biết: a) x − = : 10 15  3   b) c) x :  −1  + = −1 21 46 = x 23 24 d) x − 25%.x = 0, Hướng dẫn: a) x = 97 90 b) x = d) x = c) x = Bài Tìm x, biết: a) x +  c)  −2  27 11 = 22 121 b) 1 :x= − 5 2 :x−4 =  11  d) x + 16 = −13, 25 Hướng dẫn: a) x = 22 b) x = c) x = − 48 121 d) x = −9 Bài Tìm x, biết a) 1 x − = ( x − 3) + x 4 b) 30%x − x + = 49 d) 3.22x+1 + = 2 c) ( 2x − 1)( 3x + 12 ) = Hướng dẫn: a) x = 23 b) x = c) x = −4 x = d) x = Bài Tìm x, biết a) 2x − = Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216  2 b)  +  ( 2x + 1) = 13  13 13  10 www.mathx.vn b) x − Toán lớp 3  8 x − = x +−   7 d) x3 − x = 16 Hướng dẫn: a) Xét x  Xét x  ta có: 2x − =  x = (thỏa mãn) 1 ta có: −2x + =  x = − (thỏa mãn)  5 Vậy x = − ;   8  1 b) x = − ;   8 c) x =  11 180  3 d) x = − ; 0;   4 Dạng 3: Bài tốn có nội dung thực tế Bài 10 Lớp 6A có 50 học sinh Trong có số học sinh thích chơi đá cầu, số học sinh thích chơi đá bóng, 80% số học sinh thích chơi cầu lơng Hỏi: 10 a) Lớp 6A có học sinh thích chơi bóng đá? b) Lớp 6A có học sinh thích chơi đá cầu? c) Lớp 6A có học sinh thích chơi cầu lơng? Hướng dẫn: a) Lớp 6A có số bạn thích chơi bóng đá là:  50 = 30 (học sinh) b) Số học sinh thích chơi đá cầu lớp 6A là: 80%  50 = 40 (học sinh) c) Số học sinh thích chơi cầu lơng lớp 6A là:  50 = 35 (học sinh) 10 Bài 11 Một bể nước hình chữ nhật có chiều cao 1,6 m, chiều rộng chiều cao, chiều dài 150% chiều rộng Tính thể tích bể Học tốn online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 www.mathx.vn Toán lớp Hướng dẫn: Chiều rộng bể nước là:  1, = 1, (m) Chiều dài bể nước là: 150%  1, = 1, (m) Thể tích bể nước hình chữ nhật là: 1,  1,  1, = 3, 456 (m3) Bài 12 Một ô tô 120 km ba Giờ thứ xe quãng đường Giờ thứ hai xe 40% quãng đường lại Hỏi thứ ba xe kilômét? Hướng dẫn: Trong thứ xe số km là: 120  = 40 (km) Trong thứ hai xe số km là: (120 − 40)  40% = 32 (km) Trong thứ ba xe số km là: 120 − 40 − 32 = 48 (km) Bài 13 Khối trường THCS có ba lớp gồm 120 học sinh Số học sinh lớp 6A chiếm 35% số học sinh khối Số học sinh lớp 6B 20 số học sinh lớp 21 6A, lại học sinh lớp 6C Tính số học sinh lớp Hướng dẫn: Số học sinh lớp 6A 42 học sinh, số học sinh lớp 6B 40 học sinh, số học sinh lớp 6C 38 học sinh Bài 14 Học sinh lớp A trồng 56 ba ngày Ngày thứ trồng số Ngày thứ hai trồng số cịn lại Tính số học sinh lớp A trồng ngày? Hướng dẫn: Ngày thứ lớp 6A trồng 21 cây, ngày thứ hai trồng 20 cây, ngày thứ trồng 15 Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 www.mathx.vn Toán lớp Bài 15 Một cửa hàng bán số mét vải ba ngày Ngày thứ bán mét vải Ngày thứ hai bán số số mét vải lại Ngày thứ ba bán nốt 40 mét vải Tính tổng số mét vải cửa hàng bán Hướng dẫn:  3 Ngày thứ hai cửa hàng bán số phần là:  −   = (số mét vải)   35 Số phần ứng với 40 mét vải là: − = (số mét vải) 35 Vậy cửa hàng có số mét vải là: 40 : = 140 (m) Bài 16 Nam đọc sách ba ngày Ngày thứ đọc sách, ngày thứ hai đọc sách, ngày cuối đọc nốt 35 trang lại Hỏi sách dày trang? Hướng dẫn: Quyển sách dày 120 trang Bài 17 Tổng kết năm học ba lớp 6A, 6B, 6C có 45 em đạt học sinh giỏi Số học sinh giỏi lớp 6A tổng số học sinh giỏi lớp Số học sinh giỏi lớp 6B 120 % số học sinh giỏi lớp 6A Tính số học sinh giỏi lớp ? Hướng dẫn: Số học sinh giỏi lớp 6A 15 học sinh, Số học sinh giỏi lớp 6B 18 học sinh, Số học sinh giỏi lớp 6C 12 học sinh Bài 18 Một người mang bán số trứng Sau bán số trứng cịn lại 21 Tính số trứng mang bán Hướng dẫn: Số trứng mang bán 56 Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 www.mathx.vn Toán lớp Bài 19 Hai lớp 6A 6B có tất 102 học sinh Biết 6A số học sinh lớp 3 số học sinh lớp 6B Hỏi lớp có học sinh ? Hướng dẫn: Số học sinh lớp 6A 54 học sinh, Số học sinh lớp 6B 48 học sinh Bài 20 Khối trường có lớp Trong số học sinh lớp 6A số học sinh ba lớp lại Số học sinh lớp 6B lớp lại Số học sinh lớp 6C tổng 13 tổng số học sinh ba 12 24 tổng số học sinh ba lớp lại Số học 61 sinh lớp 6D 32 học sinh Tính tổng số học sinh lớp? Hướng dẫn: Số học sinh lớp 6A 40 học sinh, số học sinh lớp 6B 50, số học sinh lớp 6C 48 Vậy tổng số học sinh lớp 170 học sinh Bài 21 Giá vé vào sân vận động xem bóng đá 200000đồng/ vé Sau giảm giá vé, số khán giả tăng thêm 25%, doanh thu tăng 12,5% Hỏi giá vé sau giảm bao nhiêu? Hướng dẫn: Giá vé sau giảm 180000 đồng Bài 22 a) Tính tỉ lệ xích vẽ, biết chiều dài vẽ 2,5cm chiều dài thật 2,5km b) Trên đồ có tỉ lệ xích 1:1000000, hai thành phố cách 13cm Hỏi thực tế hai thành phố cách km? c) Hai địa điểm A B thực tế cách 350km Hỏi đồ có tỉ lệ 1:500000, A B cách cm? Hướng dẫn: a) Tỉ lệ xích vẽ 1:100000 Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 10 www.mathx.vn Toán lớp t z y x' x O a) Xét nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có: xOy  xOz (vì 30o  150o )  Tia Oy nằm hai tia Ox Oz Khi ta có: xOy + yOz = xOz hay 30o + yOz = 150o  yOz = 120o ( )( b) Các cặp góc kề bù là: xOy; yOx ' ; xOz; zOx ' ) yOz 120o = = 60o c) Vì Ot tia phân giác góc yOz nên yOt = tOz = 2 Vậy tOz = 2.xOy Bài 30 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Ot cho xOt = 550, xOy = 1100 a) Chứng tỏ Ot tia phân giác góc xOy b) Gọi Ox’và Oy’ tia đối hai tia Ox, Oy Tính góc x' Oy ' Kể tên cặp góc kề bù Hướng dẫn: t y x' x O y' a) Xét nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOt  xOy (vì 55o  110o )  Tia Ot nằm hai tia Ox Oy (1) Khi đó: xOt + tOy = xOy hay 55o + tOy = 110o  yOz = 55o Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 14 www.mathx.vn Toán lớp  xOt = tOy = 55o (2) Từ (1) (2) suy Ot tia phân giác góc xOy b) x' Oy' = 110o Học sinh tự kể tên cặp góc kề bù Bài 31 Cho góc kề bù xOt yOt , biết góc yOt = 60o a) Tính số đo góc xOt b) Vẽ phân giác Om góc yOt phân giác On góc tOx Hỏi hai góc mOt tOn có quan hệ gì? Góc mOy góc xOn có quan hệ gì? Hướng dẫn: n t m y O x a) xOt = 120o b) Do Om tia phân giác góc yOt nên 2.tOm = yOt Tương tự On tia phân giác góc xOt nên 2.tOn = xOt ( ) Suy mOt + tOn = yOt + xOt = 180o  mOt + tOn = 180o = 90o Vậy mOt tOn hai góc phụ Tương tự ta có góc mOy góc xOn hai góc phụ Bài 32 Cho hai góc kề bù xOy yOt , xOy = 40o Gọi Om tia phân giác yOt a) Tính mOx Học tốn online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 15 www.mathx.vn Toán lớp b) Trên nửa mặt phẳng khơng chứa tia Oy có bờ đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On cho xOn = 70o Chứng tỏ tia Om tia On hai tia đối Hướng dẫn: m y t x O n a) Ta có xOy + yOt = 180o (Vì góc kề bù) hay 40o + yOt = 180o  yOt = 140o Ta có: Om tia phân giác tOy nên tOm = tOy = 70o Vì góc xOy yOt kề bù nên Ox Ot hai tia đối suy tOm mOx hai góc kề bù  tOm + mOx = 180o hay 70o + mOx = 180o  mOx = 110o b) Ta có mOx + xOn = 110o + 70o = 180o  mOx xOn hai góc bù (1) Do Om Oy thuộc nửa mp có bờ đường thẳng chứa tia Ox; Lại có On Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox nên Om On nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox  mOx xOn hai góc kề (2) Từ (1) (2) suy mOx xOn hai góc kề bù hay tia Om tia On hai tia đối (đpcm) Bài 33 Cho điểm M N nằm phía A, nằm phía B Điểm M nằm A B Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm Chứng tỏ rằng: a) Bốn điểm A, B, M, N thẳng hàng b) Điểm N trung điểm đoạn thẳng MB c) Vẽ đường tròn tâm N qua B đường tròn tâm A qua N, chúng cắt C, tính chu vi  CAN Hướng dẫn: Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 16 www.mathx.vn Toán lớp C A M N B a) Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN b) Vì điểm M nằm A B nên ta có: BM = AB – AM = (cm) M, N  tia AB mà BM > BN (2 cm > cm)  N nằm B M Do ta có: MN + NB = BM  MN = BM – BN = cm  MN = BN Vậy N đường trung điểm BM (đpcm) c) Đường tròn tâm N qua B nên CN = NB = cm Đường tròn tâm A qua N nên AC = AN = AM + MN = cm Vậy chu vi tam giác CAN là: AC + CN + NA = + + = (cm) Bài 34 Cho đoạn thẳng OO’ = 6cm Vẽ đường trịn tâm O bán kính 4cm tâm O’ bán kính 3cm chúng cắt A B; cắt đoạn thẳng OO’ M N a) Tính AO, BO, AO’, BO’? b) N có phải trung điểm đoạn thẳng OO’ khơng? Vì sao? c) Tính MN? Hướng dẫn: A O M N O' B a) Vì A, B thuộc đường trịn tâm O bán kính 4cm nên AO = BO = 4cm Vì A, B thuộc đường trịn tâm O’ bán kính 3cm nên AO’ = BO’ = 3cm b) Vì N thuộc đường trịn tâm O’ bán kính 3cm nên O’N = 3cm Lại có N nằm đoạn OO’ nên điểm N nằm hai điểm O O’(1) nên ta có: ON + NO ' = OO ' hay ON = OO’ – NO’ = – = 3cm Suy ON = NO’ Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 17 www.mathx.vn Toán lớp Vậy N trung điểm đoạn thẳng OO’ c) MN = 1cm Bài 35 Trên đoạn thẳng AB = cm lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AM = AN a) Tính độ dài đoạn thẳng BN BM = cm b) Hãy xác định vị trí M (trên đoạn thẳng AB) để BN có độ dài lớn Hướng dẫn: N A M B Điểm M nằm hai điểm A, B nên MA = AB – MB = – = (cm) Suy AN = AM = 2cm Điểm A nằm hai điểm N, B nên BN = AN + AB = + = (cm) BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn AN lớn AN lớn AM lớn Mà AM lớn AM = AB, M trùng với B BN = cm Bài 36 Cho đường thẳng xy, O thuộc xy Trên nửa mặt phẳng bờ xy vẽ tia Ot, Oz cho xOt = 60o , yOz = 45o a) Kể tên cặp góc kề nhau, kề bù có hình vẽ b) Tính xOz , zOt, tOy Hướng dẫn: t z 45 60 x y O ( )( )( )( a) Các cặp góc kề là: xOt ; tOz ; tOz; zOy ; xOt; tOy ; xOz; zOy ( )( Các cặp góc kề bù là: xOt; tOy ; xOz; zOy ) ) b) xOz = 135o ; zOt = 75o ; tOy = 120o Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 18 www.mathx.vn Toán lớp Bài 37 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy Oz cho xOy = 90o , xOz = 120o a) Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nằm hai tia cịn lại? Tại sao? b) Tính yOz c) Vẽ tia Ot tia phân giác xOz Tính tOz Hướng dẫn: y z t O x a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có xOy  xOz (vì 90o  120o ) nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz b) Vì tia Oy nằm hai tia Ox Oz nên ta có: xOy + yOz = xOz hay 90o + yOz = 120o  yOz = 30o c) tOz = 60o Bài 38 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy Oz cho xOy = 60o , xOz = 120o a) Chứng minh Oy tia phân giác xOz b) Gọi Ox’ tia đối tia Ox Trên nửa mặt phẳng bờ Ox, vẽ tia Ot cho tOy = 90o Chứng minh Ot phân giác zOx ' Hướng dẫn: y z t x' Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 O x 19 www.mathx.vn Toán lớp a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có xOy  xOz (vì 60o  120o ) nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz (1) Vì tia Oy nằm hai tia Ox Oz nên ta có: xOy + yOz = xOz hay 60o + yOz = 120o  yOz = 60o suy xOy = yOz (2) Từ (1) (2) suy Oy tia phân giác xOz b) Vì x ' Oz zOx hai góc kề bù nên x ' Oz = 180o − 120o = 60o Vì x ' Oy yOx hai góc kề bù nên x ' Oy = 180o − 60o = 120o Trên nửa mặt phẳng bờ Oy ta có yOt  yOx ' (vì 90o  120o ) nên tia Ot nằm hai tia Oy Ox’ x ' Ot + tOy = x ' Oy  x ' Ot = 120o − 90o = 30o Xét nửa mặt phẳng bờ Ox’ ta có x ' Ot  x ' Oz (vì 30o  60o ) nên tia Ot nằm hai tia Ox’ Oz (3) Vì tia Ot nằm hai tia Ox’ Oz nên x ' Ot + tOz = x ' Oz  tOz = 60o − 30o = 30o Do x ' Ot = tOz (4) Từ (3) (4) suy Ot phân giác zOx ' (đpcm) Dạng 5*: Một số tập nâng cao Bài 39 a) Cho M = 3 3 + + + + Chứng minh  M  10 11 12 13 14 b) Chứng tỏ N = 1 1 không số tự nhiên + + + + + 16 17 Hướng dẫn: a) M = M= 3 3 3 3 3 + + + +  + + + + M1 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 15 20 + + + +  + + + + S  =2 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10 Vậy  M  Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 20 www.mathx.vn Tốn lớp b) Ta có  1 1 1 1 1 1 1   1   1 N = + + + + + + + + + + + + + + +       10 11   12 13 14   15 16 17  Vì 1 1 1 1 1 1 1 + +  = ; + +  = ; + +  = ; 10 11 12 13 14 12 1 1 + +  15 16 17 1 1 1 1 1 1 Nên N   + + +    + + +  = 2 5 2 4 Chứng minh tương tự ta có N  Vậy ta chứng minh  N  nên N số tự nhiên 1319 + 1320 + Bài 40 So sánh hai số sau: A = 18 B = 19 13 + 13 + Hướng dẫn: 18 1319 + 13 − 12 13 (13 + 1) − 12 12 Ta có: A = = = 13 − 18 18 18 13 + 13 + 13 + 1320 + 12 Tương tự ta có: B = 19 = 13 − 19 13 + 13 + Vì 1318 +  1319 +  12 12   A  B 1318 + 1319 + 6n + (nN) 3n + a) Chứng minh phân số p phân số tối giản b) Với giá trị n phân số p có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn Hướng dẫn: Bài 41 Cho phân số: p = a) Gọi d ước chung 6n+5 3n+2 Ta có ( 6n + 5) d (3n + 2) d (3n + 2) d  (3n + 2) d hay (6n + ) d  6n + − ( 6n + )  d  d  d = Vậy phân số p = 6n + (nN) phân số tối giản 3n + Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 21 www.mathx.vn b) Ta có p = Toán lớp 6n + 6n + + 1 = = 2+ 3n + 3n + 3n + Phân số p đạt giá trị lớn đạt giá trị lớn nhất, 3n+2 đạt giá 3n + trị nhỏ Vì 3n +  nên 3n + nhỏ n = Vậy giá trị lớn p Bài 42 Cho phân số A = n = 5n + 8n + (n  ) Với giá trị n A rút gọn được? Hướng dẫn: A rút gọn (5n + 6; 8n + )  Đặt (5n + 6; 8n + ) = d 5n + d   (5n + ) − ( 8n + ) = 13 d  d  1;13 8n + d Để (5n + 6; 8n + )  d = 13 Khi d =13  5n + 13  (5n + ) = 40n + 48 = (39n + 39) + ( n + 9) 13 Mà (39n + 39) 13  ( n + 9) 13 Suy n có dạng 13k + (kN) Vậy n số tự nhiên chia 13 dư A rút gọn Bài 43 a) Tìm số nguyên n để phân số 6n − có giá trị số nguyên 3n + b) Tìm tất số tự nhiên n để phân số n + 13 phân số tối giản n −2 Hướng dẫn: Ta có: 6n − 6n + − 5 = = 2− 3n + 3n + 3n − Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 22 www.mathx.vn Để phân số Toán lớp 6n − có giá trị số ngun có giá trị số 3n + 3n + nguyên Suy 3n + ước nên 3n +  −5; −1; 1; 5 Xét trường hợp ta tìm n = n = -2 thỏa mãn Thử lại ta thấy n = 0, n = -2 Vậy n =0 n = -2 phân số b) Ta có: 6n − có giá trị số nguyên 3n + n + 13 15 =1+ ( n  2) n −2 n −2 Để phân số n + 13 15 phân số tối giản phân số phân số tối giản n −2 n −2 Khi 15 n – phải hai số nguyên tố Vì 15 có hai ước khác 1, khác 15 Từ suy n – không chia hết cho 3, không chia hết cho Vậy n  3k + n  5k + ( k  N, k  ) Bài 44 Tìm x, biết: a) 1 1 101 + + + + = 5.8 8.11 11.14 x ( x + ) 1540 1 1 + + + + 200 = b) ( x − 20 ) 198 199 200 + + + + + 199 198 197 Hướng dẫn: a) Ta có: 3 3 303 + + + + = 5.8 8.11 11.14 x ( x + ) 1540 1 1 1 1 303  − + − + − + + − = 8 11 11 14 x x + 1540 1 303  − =  x = 311 x − 1540 b) Ta đặt P = 198 199 + + + + + 199 198 197 Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 23 www.mathx.vn Toán lớp        198   P =1+ + 1 +  + 1 +  +  + +  + 1  199   198   197    P= 200 200 200 200 200 1 1  + + + + + = 200  + + + +  200 199 198 197 2  200 199 198 1 1 + + + + 200 = Do đó: ( x − 20 ) 198 199 200 + + + + + 199 198 197  ( x − 20) 1 =  x − 20 =  x = 21 200 200 Vậy x = 21 Bài 45 1) Tìm cặp số nguyên x, y cho: a) x −1 + = 14 y b) y −1 − = x −1 2) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2x + 3y = 14 Hướng dẫn: 1) a) 2x + 1 = 14 −y (2x + 1)( −y ) = 14 Mà x, y  Z nên 2x +  Z, (- y) Z Suy 2x+1; (-y) ước 14 Mà 2x + số lẻ nên ta có bảng sau: 2x + 1 -1 -7 -y 14 -14 -2 x -1 -4 y -14 14 -2 Vậy cặp số nguyên (x;y) cần tìm là: (0;-14); (-1;14); (3;-2); (-4; 2) b) Học sinh giải tương tự cặp số nguyên (x;y) cần tìm là: (-29;0); (31;1); (-9;-1); (11; 2); (7;3); (-5;-2); (3;8); (-1;-7) Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 24 www.mathx.vn Toán lớp 2) Xét 2x + 5y = 14 Ta có: 14 2; 2x  5y Do (5,2)=1 nên y Ta có 5y < 14  y  Mà y số nguyên dương y nên y = Ta có 2x + 5.2 = 14  2x =  x = Vậy x=2, y=2 Bài 46 a) Chứng minh ( 7x + 4y ) 37 ( 13x + 18y ) 37 b) Tìm n ( n  ) cho A = 1!+ 2!+ 3!+ + n! số phương Hướng dẫn: a) Xét hiệu: A = (7x + 4y ) − (13x + 18y ) = 37x  A chia hết cho 37 Vì 7x + 4y chia hết cho 37 nên (7x + 4y ) chia hết cho 37  (13x + 18y ) chia hết cho 37, mà ( 2; 37 ) = suy 13x + 18y chia hết cho 37 Vậy ( 7x + 4y ) 37 ( 13x + 18y ) 37 b) Với n = ta có A = 1! = 12 Với n = ta có A = 1!+ 2! = Với n = ta có A = 1!+ 2!+ 3! = = 32 Với n = ta có A = 1!+ 2!+ 3!+ 4! = 33 Với n = ta có A = 153 Với n = ta có A = 873 Nhận xét: với n  5!, 6!,….,n! tận Suy A = 33 + 5!+ 6!+ + n ! = A số phương (đpcm) Vậy n = n =3 Bài 47 Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 25 www.mathx.vn Toán lớp Hướng dẫn: - Vì a chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư nên ta có: ( a − 2) 3, ( a − 3) 5, ( a − ) Suy ( a + 1) 3, ( a + 2) 5, ( a + 3) Suy ( a + + 51) 3, ( a + + 50 ) 5, ( a + + 49 ) Suy ( a + 52) 3, ( a + 52) 5, ( a + 52) Vậy a + 52  BC(3; 5; 7) ( a + 52) 105 Suy a + 52 = 105k (k = 1, 2, 3,…) Lần lượt thử k = 1, 2, 3,… mà a số tự nhiên nhỏ nên với k = ta được: a = 105 – 52 = 53 Vậy a = 53 số cần tìm Bài 48 Cho phân số A = 2019 Tìm x  x − 49 để: a) A có giá trị lớn b) A có giá trị nhỏ Hướng dẫn: Điều kiện x  49 a) Nếu x < 49 x – 49 < 0, ta có A  Nếu x > 49 x – 49 > Vì x  Khi A = nên x − 49  x − 49  2019  2019 x − 49 A = 2019 x – 49 =1  x = 50 Vậy A có giá trị lớn 2019 x = 50 b) Nếu x > 49 x – 49 > 0, ta có A  Nếu x < 49 49 – x > Vì x  Khi A = nên 49 − x  49 − x  2019 −2019 =  −2019 x − 49 49 − x Vậy A = - 2019 49 – x = 1x = 48 Vậy A có giá trị nhỏ -2019 x = 48 Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu Hotline: 091.269.8216 26 www.mathx.vn Toán lớp Bài 49 Chứng minh rằng: Tồn n > cho ( 25n − 1) 101 Hướng dẫn: Xét 102 số: a1 = 251 − ; a2 = 252 − ;…; a102 = 25102 − Theo nguyên lý Dirichlet, 102 số chia cho 101 tồn số có số dư Giả sử số a m ; a n số dư chia cho 101 (m>n) ( ) ( )  ( a m − a n ) 101   25m − − 25n −  101  ( 25m − 25n ) 101  25n (25m−n − ) 101 Vì ( 25n , 101) = nên ( 25m−n − 1) 101 (đpcm) Bài 50 Cho A = + 1 1 + + + + 100 Chứng minh 50 < A < 100 −1 Hướng dẫn: 1 1  1 1  1  1   A = +  +  +  + + +  +  + + +  + +  99 + + 100  15  −1  2 3 2 7 2 2 Ta thấy 1 1 +  + = ; 2 1 1 1 1 + + +  + + + = 22 22 22 22 22 22 Làm tương tự với ngoặc cịn lại ta có: 1 1 A  + + 22 + 23 + + 99 299 = + + + + = 100 2 2 100 Vậy A 50 (2) Từ (1) (2) suy 50