Luyện thi cấp tốc đại học 2011 phần Giải tích – Thầy Đồ – Dạy toán – Học toán

Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).[r]

(1)

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số y f x ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x y 0; 0   C .

 Tính đạo hàm giá trị f x' 0 .

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0.

Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x y 0; 0   C có hệ số góc k f x' 0 . Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k

 Giải phương trình: f x' k , tìm nghiệm x0  y0.  Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x   0y0. Chú ý: Cho đường thẳng :Ax By C  0, đó:

 Nếu d//   d :y ax b   hệ số góc k = a  Nếu d     d :y ax b   hệ số góc

1

k a



Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A x y A; A   C .

 Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k,  d :y k x x  A yA

 Điều kiện tiếp xúc  d và  C hệ phương trình sau phải có nghiệm:

   

 

'

A A

f x k x x y

f x k

   

 

 



Tổng quát: Cho hai đường cong  C y: f x  C' : y g x   Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với

nhau hệ sau có nghiệm

   

' '

f x g x

 

 

 

 .

1. Cho hàm số y x  2x2

a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số. b Viết phương trình tiếp tuyến  (C):

i. Tại điểm có hồnh độ x 

ii. Tại điểm có tung độ y = 3.

iii.Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1: 24x y 2009 0 .

iv.Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: d2:x24y2009 0 .

2. Cho hàm số

2 3

1

x x

y x

  



 có đồ thị (C).

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số trên. b Viết phương trình tiếp tuyến (C):

(2)

iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 13

3. Cho hàm số

2 1

1

x x

y x

 



 có đồ thị (C).

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số trên.

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = 0.

c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = 0.

d Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C).

4. Cho hàm số

2 3 3

1

x x

y x

 



a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C).

b Chứng minh qua điểm M(3;1) kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho hai tiếp tuyến đó vng góc với

5 Cho hàm số:

2

1

x y

x



 có đồ thị (C).

a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b Tìm M (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng qua M tâm

đối xứng (C).

6. Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (C

m) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1),

B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nhau.

Lời giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + 1  x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (C

m) ba điểm phân biệt g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác 0.  

2 4 0 2

2

0

g m m

m g

     



     

  



 .

Vì xB , xC nghiệm g(x) = 0 B C B C

S x x m

P x x

  

  

 

 .

Tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nên ta có: f x C f x B1 3  3 

B C B C

x x x m x m

     x xB C9x xB C6m x B xC4m2 1

 

1 6 m m 4m 

       2m2 10

   m 5 (nhận so với điều kiện) 7. Cho hàm số

2 1

x y

x

 

Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ để từ kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc

Lời giải:

Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k y = k(x – x0) + y0 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d:    

2

0

1

,

x

k x x y kx

x



   

1 k x y0 kx x0 * 

     

d tiếp xúc với (C):    

2

0

1

4

k

y kx k

    

     

 

   

2 2

0 0

0

1

2 I

k

x k x y k y

y kx

  

      

 

(3)

Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vng góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 2

,

1

k k k k

 

  

 

0 2

2

0

1

x y

x

y x

 



 



  

 

 

 

0

2

0

x

x y

y x

  

   

 

 .

Vậy tập hợp điểm thỏa mãn u cầu tốn đường trịn: x2y2 4 loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận

8. Cho hàm số

2

x y

x



 . (ĐH KhốiD 2007)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác

OAB

1

ĐS:

1 ; 2

M  

  M1;1.

9. Cho hàm số

2 1

2

x x

y x

 



 . (ĐH KhốiB 2006)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho.

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên. ĐS: b yx2 5

10. Gọi (Cm) đồ thị hàm số:

3

1

3

m

y x  x 

(*) (m tham số). (ĐH KhốiD 2005) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2.

b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng 5x y 0

ĐS: m=4.

11. Cho hàm số yx3  3mx2 x3m C m Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành.

12. Cho hàm số y x4 x3 m 1x2  x m C  m Định m để Cmtiếp xúc với trục hoành.

13. Cho đồ thị hàm số  

2 4

:

1

x

C y

x

 

 Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp

tuyến đến (C).

14. Cho đồ thị hàm số  C :y x3  3x24 Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ được tiếp tuyến với (C).

15. Cho đồ thị hàm số  C :yx4 2x2 1 Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C).

16. Cho đồ thị hàm số  C :yx3  3x2 Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ được tiếp tuyến với (C).

17. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9).

Lời giải:

a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ =  x = hay x = 1. BBT :

x  +

y' +  +

(4)

b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hồnh độ tiếp điểm qua M có dạng :

4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.

 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1).  x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – = 0.  x = –1 hay x =

5

4; y’(1) = 24;

5 15

'

4

y  

  .

Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =

15

4 x

21 

Dạng 2: CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ

Cho hàm sơ y f x ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ:  Nghiệm phương trình f x '  hồnh độ điểm cực trị

 Nếu

   

0

'

''

f x

f x

 

 

 

 hàm số đạt cực đại x x 0.

 Nếu

   

0

'

''

f x

f x

 

 

 

 hàm số đạt cực tiểu x x 0.

Một số dạng tập cực trị thường gặp

 Để hàm số yf x  có cực trị '

0

y

a 

 

  



 .

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục hồnh  yCĐ.yCT 0.  Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục tung  xCĐ.xCT 0.  Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục hồnh

0

CĐ CT CĐ CT

y y

 

  



 .

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục hồnh

0

CĐ CT CĐ CT

y y

 

  



 .

 Để hàm số yf x có cực trị tiếp xúc với trục hồnh  yCĐ.yCT 0.

Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.

Dạng 1: hàm số y ax bx2 cx d

Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị. Dạng 2: Hàm số

2

ax bx c

y

dx e

 





Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng

 

2 '

ax bx c a b

y x

dx e d d

 

  

(5)

1 Chứng minh hàm số y =

 

2 1 1

x m m x m

x m

   

 ln có có cực trị với m Tìm m cho hai

cực trị nằm đường thẳng y=2x.

2 Cho hàm số  

3

1

2

3

y x  mx  m x

Định m để: a Hàm số ln có cực trị

b.Có cực trị khoảng 0;  c Có hai cực trị khoảng 0; 

3 Định m để hàm số  

3 3 2 1 2 4

y x  mx  m  x b  ac

đạt cực đại x = 2. 4 Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4.

a Khảo sát hàm số m = 0.

b.Định m để hàm số khơng có cực trị. c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu.

5 Cho hàm số y x  3mx2 9x3m 5 Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị

6 Cho hàm số

 

2 1 1

x m x m

y

x m

   



 Chứng minh đồ thị hàm số ln có cực đại, cực tiểu với mọi

m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hồnh.

7 Cho hàm số y x 31 2 m x 2 m x m  2 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ

8 Cho hàm số

2 2 1 3

x mx m

y

x m

  



 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục

tung

9 Cho hàm số    

3

1

2

3 m

y x  mx  m x m  C

Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương. 10 Cho hàm số

 

2 2 1 4

2

x m x m m

y

x

   



 (1). (ĐH KhốiA năm 2007)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ

O tạo thành tam giác vuông O.

ĐS: m  4

3 3 3 1 3 1

yx  x  m  x m 

(1), m tham số. (ĐH KhốiB năm 2007)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1.

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ

ĐS : b

1

m 

4 9 10

y mx  m  x 

(1) (m tham số). a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1.

(6)

a f(x)=x^4-8x^2+10

-30 -25 -20 -15 -10 -5

-20 -15 -10 -5 10

x y

b ĐS :

3

0

m m

  

  



13 Gọi (Cm) đồ thị hàm số

 

2 1 1

1

x m x m

y

x

   



 (*) (m tham số)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1.

b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) ln có hai điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20

a f(x)=x+1+1/(x+1) f(x)=x+1 x(t)=-1 , y(t)=t

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

b CĐ(2;m3), CT(0;m+1) MN   20 Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN

Cho hàm sơ y f x có tập xác định miền D.  f(x) đồng biến D  f' x 0,xD  f(x) nghịch biến D  f' x 0,xD

(chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D)

Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x  ax2 bx c Nếu  0thì f(x) ln dấu với a.

2 Nếu  0thì f(x) có nghiệm

b x

a



f(x) dấu với a

b x

a



3 Nếu  0thì f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) cùng

(7)

So sánh nghiệm tam thức với số 0

*

0

x x P

S

   

    

 

 *

1

0

x x P

S

   

    

 

 * x1 0 x2  P0

1 Cho hàm số y x  3m1x2 3m1x1 Định m để: a Hàm số đồng biến R.

b Hàm số đồng biến khoảng 2;  2 Xác định m để hàm số

3

2

3

x mx

y   x

a Đồng biến R.

b Đồng biến 1; 

3 Cho hàm số y x  2 m1x2 12m5x2 a Định m để hàm số đồng biến khoảng 2;  b Định m để hàm số nghịch biến khoảng   ; 1 Cho hàm số

2 6 2

2

mx x

y

x

 



 Định m để hàm số nghịch biến 1;.

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG

Quan hệ số nghiệm số giao điểm

Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (1)

(1) vơ nghiệm  (C1) (C2) khơng có điểm chung (1) có n nghiệm  (C1) (C2) có n điểm chung. (1) có nghiệm đơn x1  (C1) (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0)

1 Cho hàm số

 12

1

x y

x

 

b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2  m2x m  1 Cho hàm số    

2

1

y x x có đồ thị (C).

b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình  

2 1 2 1 0

x   m 

Cho hàm số y x 3kx2 

a Khảo sát hàm số k = 3.

b Tìm giá trị k để phương trình x3kx2  0 có nghiệm nhất.

4 Cho hàm số y x  3x2 (ĐH KhốiD 2006)

(8)

b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt

ĐS: b

15

, 24

4

m m

2 3 3

2

x x

y

x

  



 (1) (ĐH Khối

A 2004) a Khảo sát hàm số (1)

b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1. ĐS: b

1

2

m 

Cho hàm số

2

1

mx x m

y

x

 



 (*) (m tham số) (ĐH KhốiA 2003)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương. ĐS: b

1

0

2 m

  

7 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2 2 4

2

x x

y x

 



 (1). (ĐH KhốiD 2003)

b Tìm m để đường thẳng dm:y mx 2 2 m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt. ĐS: m>1.

8 Cho hàm số y =  x3 + 3mx2 + 3(1  m2)x + m3  m2 (1) (m tham số) (ĐH KhốiA 2002) a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m = 1.

b Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = có nghiệm phân biệt. c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) ĐS: b

1

0

k

k k

  

 

  

 , c y2x m m.

Dạng 5: CÁC BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các cơng thức khoảng cách:

Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng):    

2

B A B A

AB x  x  y  y

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng :Ax By C  0 điểm

M(x0;y0)

  0

2

, Ax By C

d M

A B

 

 

 .

1 Cho hàm số y x 3 3mx2  3x3m2 Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé

2

:

1

x

C y

x

 

 Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là

nhỏ

2 1

:

1

x x

C y

x

 



 Tìm điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ

nhất

2

:

1

x

C y

x

 

 Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN

(9)

2 1

:

1

x x

C y

x

  

 Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn MN

nhỏ

2 2 1

:

1

x x

C y

x

 



 .

a Tìm điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ nhất. 7 Gọi (Cm) đồ thị hàm số:

1

y mx x

 

(*) (m tham số) (ĐH KhốiA 2005) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m =

1

4.

b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên

1

2 . ĐS: m=1.

Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Từ hàm số yf x m ,  ta đưa dạng F x y , mG x y ,  Khi tọa độ điểm cố định có

nghiệm hệ phương trình

   

,

F x y G x y

 

 

 

 .

1 Cho hàm số yx3 3m1x2  3mx2 Cm Chứng minh Cm qua hai điểm cố định khi m thay đổi.

 

2

:

2

m

x m x

C y

mx

  



 Chứng minh đồ thị Cm qua điểm cố định khi m thay đổi.

3 Cho hàm số Cm:y1 2 m x 3mx2 m1 Tìm điểm cố định họ đồ thị trên.

4 Chứng minh đồ thị hàm số y m3x3  3m3x2 6m1x m 1Cm qua ba điểm cố định

Dạng 7: ĐỒ THỊ CH ỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C) yf x 

có đồ thị (C’) yf x  có đồ thị (C “)   0,

y f x   x D

Do ta phải giữ ngun phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên trên.

  yf x

có f xf x ,

x D

  nên hàm số chẵn do

đó có đồ thị đối xứng qua trục tung

Oy.

f(x)=x^3-2x^2-0.5

x y

(C)

f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) f(x)=x^3-2x^2-0.5

x y (C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5

(10)

Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ

2

:

2

x x

C y

x

 

 .

a Khảo sát hàm số

b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

2

x x

k x

 

 .

f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

2

x x y

x

 



f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

2

x x y

x

 



2 3 3

:

1

x x

C y

x

 



 .

b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

2 3 3

1

x x

m x

 

 

f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)

x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

23 3

1

x x y

x

  



f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

23 3

1

x x y

x

  



2

4 :

1

x x

C y

x

 

 .

a Khảo sát hàm số

(11)

f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

2

4

x x y

x

 



f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

2

4

x x y

x

 



2 1

:

2

x x

C y

x

  

 .

1 Khảo sát hàm số

2 Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 1 m x  2m1 0 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y2x3  9x2 12x

b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:

3

2 x  9x 12 x m. (ĐH Khối A

2006)

f(x)=2x^3-9x^2+12x

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

3

2 12 yx x x

f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

3

2 12 y x x x

a ĐS: b 4<m<5.

Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm I x y 0; 0là tâm đối xứng đồ thị  C y: f x   Tồn hai điểm M(x;y) M’(x’;y’)

thuộc (C) thỏa:    

0

'

x x x

f x f x y

 

  

 



    

0

'

2

x x x

f x f x x y

 

   

  

 

Vậy I x y 0; 0 tâm đối xứng (C)  f x 2y0  f 2x0  x. Cho hàm số

2

2 2

2

x x m

y

x

  



 có đồ thị Cm.

Tìm giá trị m để Cmcó hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O. Cho hàm số  

2 2 2

:

1

m

x m x m

C y

x

 



 .

Định m để Cmcó hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O. Cho hàm số y x  3x2 m  1 (m tham số).

a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ.

b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m=2. (ĐH Khối B2003) ĐS: a f x 0  fx0,x0 0 … m>0.

4 Cho hàm số

3

2 3 11

3

x

y x  x

(12)

5 Cho hàm số yx3ax2bx c  1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng I(0;1) đi qua điểm M(1;1)

6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) (ĐH Khối D2008)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị của hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB.

Lời giải:

a D = R.

y' = 3x2 6x = 3x(x  2), y' =  x = 0, x = 2.

y" = 6x  6, y" =  x = 1.

x   +

y' +  |  + y"   + +

y + 

CĐ CT

  U

2 d : y  = k(x  1)  y = kx  k + 2.

Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 3x2 + = kx  k +  x3 3x2 kx + k + = 0.  (x  1)(x2 2x  k  2) =  x =  g(x) = x2 2x  k  = 0.

Vì ' > g(1) ≠ (do k >  3) x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!

Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN

1. Định nghĩa:

(d) tiệm cận (C)   

0 lim      C M M MH

2. Cách xác định tiệm cận

a. Tiệm cận đứng:

   :

lim x x d x f x x      .

b. Tiệm cận ngang: limx f x y0  d :y y0

 







c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ đó:

  f x x

x x f

x

x  

  

  

 ; lim

lim

Các trường hợp đặc biệt:

*Hàm số bậc bậc (hàm biến)

n mx b ax y   

+TXĐ: D= R\       m n +TCĐ:   m n x d y m n x        : lim

+TCN:   m

a y d m a y x      : lim

* Hàm số bậc hai bậc (hàm hữu tỷ)

  n mx A x n mx c bx ax y          

+TXĐ: D= R\       m n +TCĐ:   m n x d y m n x        : lim

+TCX: limmxn 0

A

x  TCX: y=x+

(13)

f(x)=x/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t T ?p h?p

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

m a y 

m n x

I

f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=x/2+1/2 x(t )=1 , y(t )=t T ?p h?p

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

   x y

m n x

I

1 Cho hàm số

 

2 3 2 2

mx m x

y

x m

  



 , với m tham số thực.

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1.

b Tìm giá trị m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450.

(ĐH Khối A2008)

Lời giải:

a Khi m =1:

2 2 4

2

3

x x

y x

x x

 

   

  .

TXĐ:D R  3

 

2

6

3

x x

y x

 

 

 y 0

 

1 1

5

x y

    

 

   



Tiệm cận: xlim 3y  tiệm cận đứng: x = 3

4

lim

3

x x   tiệm cận xiên: y = x – 2.

f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) f(x)=x-2 x(t)=-3 , y(t)=t

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-12 -10 -8 -6 -4 -2

x y

lim , lim

x  y  x y,xlim 3 y , limx 3y.

(14)

b

 

2 3 2 2

6

2

3

mx m x m

y mx

x m x m

   

   

 

Gọi (Cm) đồ thị hàm số (Cm) có tiệm cận đứng d x1: 3m0và tiệm cận xiên d2: mx y  0

1

0

m m

 

  

 

 .

Theo giả thuyết ta có:

2

cos 45

1

m m





2

2 1

m m

 

  m21  m1 (nhận).

 

2 1 1

mx m x m

y f x

x

   

 

Tìm m cho đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên đi qua gốc tọa độ

2 (2 1). 3

1,

2

ax a x a

y a a

x

   

  

 có đồ thị (C) Chứng minh đồ thị hàm số

này có tiệm cận xiên qua điểm cố định Cho hàm số

2

( )

1

x x

y f x

x

 

 

a Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M (C) đến hai đường đường tiệm cận một số không đổi

b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất. Cho hàm số

2

( )

1

x mx

y f x

x

 

 

 có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo

với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 6 Tìm m để đồ thị hàm số

1

x y

x mx

 

  có hai tiệm cận đứng x=x1 x=x2 thỏa mãn

1 3

1

5 35

x x

 

  

 



 .

7 Cho hàm số

1

x y

x

 

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.

b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

8 Cho hàm số

2

x y

x

 

 có đồ thị (H).

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số.

b Viết phương trình tiếp tuyến  (H) giao điểm với trục tung.

c Tìm điểm N (xN >1) thuộc (H) cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất.

(15)

f(x)=(2x+1)/(1-x) y=3x+1 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 Series f(x)=-(1/3)x-13/3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-12 -10 -8 -6 -4 -2

x y

N(2;-5) M

H

* Gọi M klà giao điểm (C) với trục tungM0;1 Phương trình tiếp tuyến y3x1 hay 3x y  1 0 

* Lấy

 0    

0

3

; ; ,

1

N x y H N x x

x

 

      



  Khi  

0

3

1 ,

10

x

x d N

  

  

Đặt  0

0

3

1

g x x

x

  

 d N ,min  g x min

* Khảo sát hàm  

0

3

1

g x x

x

  

 khoảng 0; ,  0  02

3

'

1

g x

x

  

,

 0

0

'

2

x g x

x

    



 ,

(lập bảng biến thiên …)

* Do x 0 nên ta nhận nghiệm x 0 2 thay vào N ta N2; 5  Vậy N2; 5   min

6 10 ,

5

d N  



Dạng 10: DIỆN TÍCH  THỂ TÍCH

Ứng dụng tích phân (Dạng thường xuất nhiều đề thi tốt nghiệp)

a Diện tích

Cho hai hàm số y=f(x) y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) hai đường thẳng x=a, x=b tính cơng thức:

    b

a

Sf x  g x dx

Chú ý:

Nếu diện tích thiếu đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.

b Thể tích

Thể tích hình phẳng giới hạn {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

được tính cơng thức:

 

 

 

b a

dx x f

V 

x y

O

f(x) g(x)

b a

x y

O

f(x)

(x)

b a

y

x c

d

(16)

Thể tích hình phẳng giới hạn {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy tính công thức:

 

 

 

d c

dy y

V  

Thể tích trịn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b]) tính cơng thức:

 

    

 

 



b a

dx x g x f

V  2

. *

* * Cho hàm số

2 1

1

m x m

y

x

 



 (1) (m tham số). (ĐH KhốiD

2002)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m=1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm đường cong (C) hai trục tọa độ. c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.

ĐS: b

4 ln

3

S  

, c m 1 Cho hàm số

2 2

3

x x

y x

 



 .

b Tính phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành

Dạng 10 trình bày cụ thể chuyên đề Tích phânỨng dụng.