Lời giải một số câu đại số, số học đề thi chuyên toán Hà Nội 2017

Cho các số nguyên dương a, b, c.[r]

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO CHUYÊN TOÁN HÀ NỘI 2017 Bài 2:

2a Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh: 2017 p2 chia hết cho 24 Giải:

Vì p 3 suy p số lẻ nên p1p1 chia hết cho

Mặt khác p 3 nên p3k p3k với k số nguyên dương 2 +) p3k 1 p1p 1 3k  k2 3.

+) p3k 2 p1p 1 3k1 3  k3 3.

Do  

1

p  Mà    

8;3  1 p 1 24

Do 2

2017p 2016 ( p 1) chia hết cho 24 2b Tìm cặp số x, y nguyên dương cho 3

9

x y  xy (*) Giải:

Ta viết lại (*) thành 1  2 

9 x y xy x y

 

   

 

 

Vì    

2

2 2

( )

2 4

x y x y

x y xy xy     nên suy

   2

1

9

4 x y

x y x y



 

    

 

(*) viết lại xy39xy3(xy xy) Suy xy3 3 x y

Vậy x + y nhận giá trị 3, 6,

Tuy nhiên x + y = xảy x = y (Vô lý)

+) TH1: x + y = 3, suy x = 1, y = x = 2, y = Cả hai không thỏa mãn (*) +) TH2: x + y = , ta thấy có cặp (2, 4), (4, 2) thỏa mãn

Vậy phương trình chó nghiệm ngun dương (2, 4) (4, 2) 2c Cho số nguyên dương a, b, c Chứng minh

2

TH1: Nếu

ab c không số phương suy raa b 2 ab c số nguyên dương nên số nguyên tố

TH2: Nếu 2   

ab c k ab kc kc

Đặt k c m ab mn k c n

  

 

  



Khi a b 2 ab c   a b 2k     a b m n

+) Giả sử (a, m) = d, ad a ,1 md m a m 1( ,1 1) 1 a b1 m n1

Ta có n a1 n a t1  b t m 1    a b m n da1m t1 dm1a t1 dtm1a1

Vậy a b 2 ab c hợp số

(Theo lời giải thầy Cao Dũng) Câu 3: Cho số dương x, y, z thỏa mãn 2

3

x y z  Chứng minh

3 3

x y z

yz xz xy 

  

Lời giải

Từ giả thiết

 2

2 2 2

3 3( )

3

x y z x y z x y z

x y z

         

   

Ta có 2

6 2 yz 6 y z  3 x

Tương tự 2

6 2 xz 3 y , 2 xy 3 z

Khi ta có

  

2 2

2 2

3 3 6

2 2 2

3 3 2 2 2

1 1 3

( )

2 2

x y z x y z

yz xz xy yz zx xy

x y z x y z

x y z x y z

x y z

x y z

Bunhiacopxki

    

     

     

     

   

 