toán cao cấp 1 khoa hoc co ban

1 Lời giải các bài tập mà các bạn lớp KTK3A1 yêu cầu ở buổi thảo luận cuối.[r]

1 Lời giải tập mà bạn lớp KTK3A1 yêu cầu buổi thảo luận cuối

4.18

Cho 𝑢, 𝑣 hàm số 𝑥, 𝑦 xác định hệ thức

  

 

  

0 sin sinu x v y

y x v u

, tính

v d u d dv

du, , ,

Giải

Lấy vi phân vế hệ thức cho ta có:

𝑑 𝑢 + 𝑣 = 𝑑(𝑥 + 𝑦) 𝑑 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑢 − 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑣 =

⇔ 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 − 𝑠𝑖𝑛𝑣𝑑𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑣𝑑𝑣 = (2)𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 Giải hệ phương trình theo biến du, dv ta có:

𝑑𝑢 =

𝑥𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑣 + 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑑𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑣 − 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑑𝑦

𝑑𝑣 =

𝑥𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑢 − 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑑𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑑𝑦 Từ (2) ta tiếp tục lấy vi phân vế hệ ta được:

𝑑2𝑢 + 𝑑2𝑣 = 0

𝑦𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑2𝑢 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑣𝑑2𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠𝑣𝑑𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑣 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑢𝑑𝑢 − 2𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑦 𝑑𝑢

Giải hệ phương trình theo biến 𝑑2𝑢, 𝑑2𝑣 ta có:

𝑑2𝑢 = −𝑑2𝑣 =

𝑦𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑣 2𝑐𝑜𝑠𝑣𝑑𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑣 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑢𝑑𝑢 − 2𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑦 𝑑𝑢 Các 4.21, 4.22, 4.23 bạn làm tương tự

4.33 (Đây giải dở lớp) Giải phương trình

x z z

y y2 2 y  phép đổi biến ,v x,w xz y y

x

u   

Giải

Từ đẳng thức 𝑤 = 𝑥𝑧 − 𝑦 lấy đạo hàm riêng vế theo biến y ta có: 𝑤′

𝑦 = 𝑥𝑧′𝑦− (2)

Mặt khác theo đạo hàm hàm hợp ta có: 𝑤′

𝑦 = 𝑤′𝑢 𝑢′𝑦+ 𝑤′𝑣 𝑣′𝑦 = −𝑤′𝑢

2 Từ (2) (3) suy ra:

𝑥𝑧′

𝑦 = − 𝑤′𝑢

𝑥 𝑦2 (∗)

Lấy đạo hàm riêng theo biến y vế (2) ta có 𝑤′′

𝑦𝑦 = 𝑥𝑧′′𝑦𝑦 (4)

Mặt khác lấy đạo hàm riêng theo biến y vế (3) ta có 𝑤′′

𝑦𝑦 = − 𝑤′𝑢

𝑥 𝑦2

𝑦 ′

= − 𝑤′ 𝑢 𝑦′

𝑥

𝑦2+ 𝑤′𝑢

2𝑥

𝑦3 = − 𝑤′′𝑢𝑢 𝑢′𝑦 + 𝑤′′𝑢𝑣 𝑣′𝑦

𝑥

𝑦2+ 𝑤′𝑢

2𝑥 𝑦3

𝑤′′

𝑦𝑦 = 𝑤′′𝑢𝑢

𝑥2

𝑦4+ 𝑤′𝑢

2𝑥

𝑦3 (5)

Từ (4) (5) ta có:

𝑥𝑧′′

𝑦𝑦 = 𝑤′′𝑢𝑢

𝑥2

𝑦4+ 𝑤′𝑢

2𝑥

𝑦3 (∗∗)

Nhân vế phương trình cho với x ta có: 𝑦𝑥𝑧′′

𝑦𝑦 + 2𝑥𝑧′𝑦 = (∗∗∗)

Thế (*) (**) vào (***) ta có:

𝑤′′

𝑢𝑢 =

⇒ 𝑤′

𝑢 = 𝑔(𝑣)

⇒ 𝑤 = 𝑢𝑔 𝑣 + 𝑕 𝑣 =𝑥

𝑦𝑔 𝑥 + 𝑕(𝑥) Với 𝑔 𝑣 , 𝑕(𝑣) hàm tùy ý

4.6 (Bài chữa nhóm có số khác có dạng tương tự nên tơi đưa lên để bạn làm mẫu giải kia)

Tìm hàm số 𝑕 𝑥2− 𝑦2 cho h(x2y21)2xydy vi phân toàn phần hàm số

𝑓(𝑥, 𝑦) Tính 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓 0,0 = 𝑓𝑦′ 1,1 =

Giải Đặt

𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥2+ 𝑦2+ 1; 𝑄 𝑥, 𝑦 = −2𝑥𝑦 ⇒ 𝑃′

𝑥 = 2𝑥, 𝑃′𝑦 = 2𝑦, 𝑄′𝑥 = −2𝑦, 𝑄′𝑦 = −2𝑥

𝑕 𝑥2− 𝑦2 = 𝑕 𝑢 ⇒ 𝑕′

𝑥 = 𝑕′𝑢 𝑢′𝑥 = 2𝑥𝑕′𝑢, 𝑕′𝑦 = 𝑕′𝑢 𝑢′𝑦 = −2𝑦𝑕′𝑢

3 𝑑𝑓 = 𝑕𝑃𝑑𝑥 + 𝑕𝑄𝑑𝑦 = 𝑓′𝑥𝑑𝑥 + 𝑓′𝑦𝑑𝑦

Thì

𝑓′𝑥 = 𝑕𝑃, 𝑓′𝑦 = 𝑕𝑄 Do

𝑓′′

𝑥𝑦 = 𝑓′′𝑦𝑥 ⇔ 𝑕′𝑦𝑃 + 𝑕 𝑃′𝑦 = 𝑕′𝑥𝑄 + 𝑕 𝑄′𝑥

⇔ −2𝑦𝑕′

𝑢 𝑥2+ 𝑦2+ + 2𝑦 𝑕 = 2𝑥𝑕′𝑢 −2𝑥𝑦 − 2𝑦 𝑕

⇔ 4𝑦𝑕 = 2𝑦𝑕′

𝑢 𝑦2− 𝑥2+

⇒𝑕′𝑢

𝑕 =

2

𝑦2− 𝑥2+ 1=

2 − 𝑢 Suy ra:

𝑕 𝑢 = 𝐶

(1 − 𝑢)2=

𝐶 (1 − 𝑥2+ 𝑦2)2

Suy

𝑓′𝑦 =

𝐶

− 𝑥2+ 𝑦2 2(−2𝑥𝑦)

Từ 𝑓′

𝑦 1; = ta suy 𝐶 = −1

Vậy

𝑓′𝑦 = 2𝑥𝑦

− 𝑥2+ 𝑦2

Suy

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓′𝑦𝑑𝑦 + 𝑔 𝑥 = − 𝑥

1 − 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑔(𝑥)

Lấy đạo hàm vế theo x ta có :

𝑓′𝑥 =− − 𝑥2+ 𝑦2 + 𝑥(−2𝑥)

(1 − 𝑥2+ 𝑦2)2 + 𝑔′ 𝑥 =

−1 − 𝑥2− 𝑦2

(1 − 𝑥2+ 𝑦2)2+ 𝑔′ 𝑥

Mặt khác

𝑓′𝑥 = 𝑕𝑃 =

−1

− 𝑥2+ 𝑦2 2(1 + 𝑥2+ 𝑦2)

Suy 𝑔′ 𝑥 = ⇒ 𝑔 𝑥 = 𝐷

𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑥

4 Do

𝑓 0,0 = ⇒ 𝐷 = Vậy

𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑥

1 − 𝑥2+ 𝑦2+

5.5

Giải phương trình vi phân 0

2 1

' 2 

 

y x y

Gii :

Giải ph-ơng tr×nh:

0 y x 2

1 '

y 2 



 (1) Coi x= x(y) hàm y, theo công thức đạo hàm hàm ng-ợc y’ =

' x

1

Ph-ơng trình (1) trở thành ph-ơng trình tuyÕn tÝnh cÊp

x’ + 2x = y2 (2) Giải ph-ơng trình x + 2x = thu đ-ợc nghiệm:

x = Ce2y (3) coi C = C(y) hàm y, (3) vào (2) ta đ-ợc

C’(y) = y2e2y  C(y) =

2 1

y e2y -

2 1

ye2y +

4 1 2y

e + C Cuối nghiệm tổng quát (1) là:

x = C e2y +

2 1 2

y -

2 1

y +

4 1

5.26

Giải phương trình vi phân xy’ = y(1 + lny - lnx) với 𝑦 = 𝑒 Gi¶i :

xy’ = y(1 + lny - lnx) với y(1) = e (3) Biến đổi (3) dạng

y’ = 

  

  

x y ln 1 x y

5 Đặt

x y

= u, ta cã:

x

dx du

= u ln u (4) XÐt u lnu ≠ 0, tõ (4)



x dx u ln u

du

  lnu = Cx hay nghiƯm cđa (3) lµ :

ln

x y

= Cx  y = x Cx

e

Do y(1) = e  C = 1, suy nghiƯm cÇn t×m y = x x

e 5.37

Giải phương trình vi phân

y + x2y’ = xyy’ Gi¶i :

+ y’ = xyy’ (1)

Đây ph-ơng trình nhất, đặt y =ux  y’ = u’x + u, vào (1) đến

xu’ + u = xuu’ 

 u - lnu = lnx + C Thay u bëi y/x suy nghiƯm tỉng qu¸t cđa (1) lµ :

5.39

Giải phương trình vi phân (x - y

x y

cos )dx + x

x y

cos dy = a) Gi¶I

(x - y )dx + x dy = (1)

2

y x2

x dx du u

1

u 

C x ln x y ln x

y   

x y cos

6 Đặt = u y = ux + u

Biến đổi ph-ơng trình (1) ph-ơng trình xcosu u’ + = 

 sinu = - lnx + C

VËy tÝch ph©n tổng quát (1) là: sin = - lnx + C

5.41

Giải phương trình vi phân (x + 1) (y’ + y2) = - y a) Gi¶i:

(x + 1) (y’ + ) = - y (2)

Xét y  0, ta biến đổi (2) dạng

y’ + y = - (3)

đặt

= z  y’ = - = - z’ Thế vào (3) i n

(4)

ph-ơng trình nhất:

cã nghiƯm tỉng qu¸t

z = (x + 1) Coi = (x), vào (4) ta đ-ợc

(x) =

 (x) = lnx + 1 + C; v× vËy z = (x + 1) [lnx + 1 + C]

x y



  C

x dx du

. u cos

x y

2

y

1 x

1



2

y

y 1

2

z '

z

y

1 z 1 x

1 '

z 

 

0 z 1 x

1 '

z 

 

1

C

1

C C1

1

' C

1 x

1



1

7 Ngoài ta y = nghiệm (2) Từ (2) có hai nghiệm tổng qt

vµ nghiƯm kú dÞ y = 5.45

Giải phương trình vi phân ' 22 x y y 

Giải ph-ơng trình:

2 x 2 y '

y   (3)

Biến đổi (3) dạng:

2 ) xy ( ' y

x2 (4)

Đặt : z = xy  z’ = y + xy’ ThÕ vµo (4) suy

. x dx 2 z z dz 2 z z ' xz 2       

LÊy tÝch ph©n hai vế ta thu đ-ợc nghiệm:

x C 2 z 1 z ~    , ~

C - const t ý

VËy tÝch ph©n tỉng quát (3)

3 Cx 2 xy 1 xy    5.48

Giải phương trình vi phân (y + xy )dx = xdy Gi¶i:

(y + xy)dx = xdy (2)

Biến đổi (2) dạng (x ≠ 0)

2 y x 1 y x 1 '

y 

Đây ph-ơng trình bernoulli, đặt z =

1

y suy

8

x 1 z x 2

1 '

z (3)

(3) ph-ơng trình tuyến tính cấp 1, giải ta đ-ợc z = x(lnx + C)

Vậy nghiệm tổng quát (2) là:

2

) C x (ln x